吉林省第二实验学校2020届九年级下学期寒假第一次月考数学考试试题
吉林初三初中数学月考试卷带答案解析
吉林初三初中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A．若x2=4，则x=2B．若x2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8C．方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1D．若分式的值为零，则x=1，22.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠03.下列函数中，图象通过原点的是（）A．y="2x+1"B．y=x2﹣1C．y=3x2D．4.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说法正确的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0B．b2﹣4ac＜0C．当﹣1＜x＜2时，y＞0D．当x＜时，y随x的增大而减小5.如图，△ABC绕点C按顺时针旋转15°到△DEC，若点A恰好在DE上，AC⊥DE，则∠BAE的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°6.如图①是4×4正方形方格，已有两个正方形方格被涂黑，请你再将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定经过旋转后全等的图案都视为同一种，图②中的两幅图就视为同一种，则得到的不同图案共有（ ）A ．6种B ．7种C ．8种D ．9种7.放假了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.若实数a 、b 、c 满足9a ﹣3b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0必有一个根是 ．2.写一个你喜欢的实数m 的值 ，使关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根．3.已知二次函数y 1=ax 2+bx+c （a≠0）与一次函数y 2=kx+b （k≠0）的图象相交于点A （﹣2，4），B （8，2）（如图所示），则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是 ．4.如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为 ．5.如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从4这点开始跳，则经2015次跳后它停在数 对应的点上．6.已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为 （结果保留π）．7.随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是 ．8.甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是 ．9.如图所示，在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，OA=AB=5，将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA 1B 1．（1）线段OA 1的长是 ，∠AOB 1的度数是 ；（2）连接AA 1，求证：四边形OAA 1B 1是平行四边形．三、解答题1.已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．2.已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？3.某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．（1）求证：AM=AN ；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥DB 交AB 于点E ，设⊙O 是△BDE 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若DE=2，BD=4，求AE 的长．四、计算题1.小明和小芳做配紫色游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A 转出了红色，转盘B 转出了蓝色，或者转盘A 转出了蓝色，转盘B 转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，（1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；（2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由．2.已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D （如图）．（1）求证：AC=BD ；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．吉林初三初中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）A ．若x 2=4，则x=2B ．若x 2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8C ．方程x （2x ﹣1）=2x ﹣1的解为x=1D ．若分式的值为零，则x=1，2【答案】B【解析】试题解析：A 、若x 2=4，则x=±2，所以A 选项错误；B 、若x 2+2x+k=0有一根为2，则4+4+k=0，解得k=﹣8，所以B 选项正确；C 、方程x （2x ﹣1）=2x ﹣1，则（2x ﹣1）（x ﹣1）=0，则方程的解为x 1=1，x 2=，所以C 选项错误；D 、根据题意得x 2﹣3x+2=0且x ﹣1≠0，则x=2，所以D 选项错误．故选B ．【考点】解一元二次方程-因式分解法；分式的值为零的条件；一元二次方程的解；解一元二次方程-直接开平方法．2.若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＞﹣1且k≠0C ．k ＜1D ．k ＜1且k≠0【答案】B【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k ＞﹣1且k≠0．故选B ．【考点】1.根的判别式；2.一元二次方程的定义．3.下列函数中，图象通过原点的是（ ）A ．y="2x+1"B ．y=x 2﹣1C ．y=3x 2D ．【答案】C【解析】试题解析：A 、当x=0，y=2x+1=1，所以A 选项错误；B 、当x=0，y=x 2﹣1=﹣1所以B 选项错误；C 、当x=0时，y=3x 2=0，所以C 选项正确；D 、当x=0时，=﹣1，所以D 选项错误．故选C ．【考点】1.二次函数图象上点的坐标特征；2.一次函数图象上点的坐标特征．4.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说法正确的是（ ）A．a＞0，b＜0，c＞0B．b2﹣4ac＜0C．当﹣1＜x＜2时，y＞0D．当x＜时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，所以A选项错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以B选项错误；当﹣1＜x＜2时，y＜0，所以C选项错误；∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），∴当﹣1＜x＜2时，y＜0，所以C选项错误；∵抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＜时，y随x的增大而减小，所以D选项正确．故选D．【考点】二次函数图象与系数的关系．5.如图，△ABC绕点C按顺时针旋转15°到△DEC，若点A恰好在DE上，AC⊥DE，则∠BAE的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°【答案】A【解析】试题解析：∵△ABC绕点C按顺时针旋转15°到△DEC，∴∠ACD=15°，∠BAC=∠D，∵∠EAC=∠D+∠ACD，即∠BAE+∠BAC=∠D+∠ACD，∴∠BAE=∠ACD=15°．故选A．【考点】旋转的性质．6.如图①是4×4正方形方格，已有两个正方形方格被涂黑，请你再将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定经过旋转后全等的图案都视为同一种，图②中的两幅图就视为同一种，则得到的不同图案共有（）A．6种B．7种C．8种D．9种【答案】C【解析】试题解析：：如图，得到的不同图案共有8种．故选C．【考点】利用轴对称设计图案．7.放假了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题解析：用A，B，C分别表示红荷湿地、台儿庄古城、莲青山，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两家抽到同一景点的有3种情况，∴两家抽到同一景点的概率是：．故选A．【考点】列表法与树状图法．二、填空题1.若实数a、b、c满足9a﹣3b+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有一个根是．【答案】-3.【解析】试题解析：当把x=﹣3代入方程ax2+bx+c=0能得出9a﹣3b+c=0，即方程一定有一个根为x=﹣3.【考点】一元二次方程的解．2.写一个你喜欢的实数m的值，使关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根．【答案】1.【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得：m＜，∴实数m的值可以是1．【考点】根的判别式．3.已知二次函数y 1=ax 2+bx+c （a≠0）与一次函数y 2=kx+b （k≠0）的图象相交于点A （﹣2，4），B （8，2）（如图所示），则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是 ． 【答案】x ＜﹣2或x ＞8. 【解析】试题解析：【考点】1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．4.如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为 ．【答案】（，﹣）．【解析】试题解析：连接OB ，OB′，过点B′作B′E ⊥x 轴于E ，根据题意得：∠BOB′=105°，∵四边形OABC 是菱形，∴OA=AB ，∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°，∴△OAB 是等边三角形， ∴OB=OA=2， ∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2，∴OE=B′E=OB′•sin45°=2×=，∴点B′的坐标为：（，﹣）．【考点】1.坐标与图形变化-旋转；2.菱形的性质．5.如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从4这点开始跳，则经2015次跳后它停在数 对应的点上．【答案】2.【解析】试题解析：由4起跳，4是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在3上，3是奇数，沿顺时针跳两个点，落在5上，5是奇数，沿顺时针跳两个点，落在2上，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上，1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上，…3﹣5﹣2﹣1﹣3，周期为4；又由2015=4×503+3，经过2015次跳后它停在的点所对应的数为2．【考点】1.规律型：图形的变化类；2.规律型：数字的变化类．6.已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为 （结果保留π）． 【答案】. 【解析】试题解析：设扇形的弧长为l ，由题意，得l×3=2π， 解得l=．【考点】1.扇形面积的计算；2.弧长的计算．7.随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是 ．【答案】.【解析】试题解析：由树状图可知共有2×2=4种可能，至少有一次正面朝上的有3种，所以概率是． 【考点】概率公式．8.甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是 ．【答案】.【解析】试题解析：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，甲、乙二人相邻的有4种情况，∴甲、乙二人相邻的概率是：．【考点】列表法与树状图法．9.如图所示，在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，OA=AB=5，将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA 1B 1．（1）线段OA 1的长是 ，∠AOB 1的度数是 ；（2）连接AA 1，求证：四边形OAA 1B 1是平行四边形．【答案】（1）5，135°；（2）证明见解析.【解析】（1）△OAB 是等腰直角三角形，△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA 1B 1，则△OAB ≌△OA 1B 1，根据全等三角形的性质即可求解．（2）可证明OA ∥A 1B 1且相等，即可证明四边形OAA 1B 1是平行四边形．试题解析：（1）∵△OAB ≌△OA 1B 1，∴OA 1=OA=5；∵△OAB 是等腰直角三角形， ∴∠A 1OB=45°∴∠AOB 1=∠BOB 1+∠BOA=90+45=135°．（2）∵∠AOA 1=∠OA 1B 1=90°，∴OA ∥A 1B 1，又∵OA=AB=A 1B 1，∴四边形OAA 1B 1是平行四边形．【考点】1.旋转的性质；2.菱形的判定．三、解答题1.已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【答案】（1）k ＜1；（3）4．【解析】（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足△=b 2﹣4ac ＞0，由此可以得到关于k 的不等式，然后解不等式即可求出实数k 的取值范围；（2）利用假设的方法，求出它的另一个根．试题解析：（1）∵△=[2（k ﹣1）]2﹣4（k 2﹣1）=4k 2﹣8k+4﹣4k 2+4=﹣8k+8，又∵原方程有两个不相等的实数根，∴﹣8k+8＞0，解得k ＜1，即实数k 的取值范围是k ＜1；（2）假设0是方程的一个根，则代入原方程得02+2（k ﹣1）•0+k 2﹣1=0，解得k=﹣1或k=1（舍去），即当k=﹣1时，0就为原方程的一个根，此时原方程变为x 2﹣4x=0，解得x 1=0，x 2=4，所以它的另一个根是4．【考点】根的判别式．2.已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？【答案】（1）m=0或m=1（2）m 1≠0，m 2≠1【解析】根据一次函数与二次函数的定义求解．试题解析：（1）根据一次函数的定义，得：m 2﹣m=0解得m=0或m=1又∵m ﹣1≠0即m≠1；∴当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m 2﹣m≠0解得m 1≠0，m 2≠1∴当m 1≠0，m 2≠1时，这个函数是二次函数．【考点】1.二次函数的定义；2.一次函数的定义．3.某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．（1）求证：AM=AN ；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是菱形．理由见解析.【解析】（1）根据旋转的性质得出AB=AF ，∠BAM=∠FAN ，进而得出△ABM ≌△AFN 得出答案即可；（2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四边形ABPF 是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案．试题解析：（1）∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，在△ABM和△AFN中，，∴△ABM≌△AFN（ASA），∴AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵∠α=30°，∴∠FAN=30°，∴∠FAB=120°，∵∠B=60°，∴∠B+∠FAB=180°，∴AF∥BP，∴∠F=∠FPC=60°，∴∠FPC=∠B=60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB=AF，∴平行四边形ABPF是菱形．【考点】1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的判定．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若DE=2，BD=4，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图，连接OD，首先由DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，证明BE是直径，点O是BE的中点，由∠C=90°得到∠DBC+∠BDC=90°，由BD为∠ABC的平分线得到∠ABD=∠DBC，又OB=OD，利用等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ODB，然后等量代换即可证明题目结论；（2）首先利用勾股定理求出BE=,OE=，然后利用已知条件证明△ADB∽△AED，利用等腰三角形的性质得到AD=2AE，在Rt△AOD中由AO2=OD2+AD2，可以列出关于AE的方程，解方程即可解决问题．试题解析：（1）连接OD，∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，∴BE是直径，点O是BE的中点，∵∠C=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°，又BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90°又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．（2）∵DE⊥DB，DE=2，BD=4，∴BE=,OE=，∴∠ABD=∠ADE，又∠A为公共角，∴△ADB∽△AED，则有，∴AD=2AE，在Rt△AOD中，AO2=OD2+AD2，即（+AE）2=（）2+（2AE）2，解得AE=或AE=0（舍去），所以AE=．【考点】1.切线的判定与性质；2.角平分线的性质；3.相似三角形的判定与性质．四、计算题1.小明和小芳做配紫色游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B 转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，（1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；（2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由．【答案】（1）出现结果见解析；（2）不公平的．理由见解析.【解析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，即可得答案；（2）由（1）的表格，分析可能得到紫色的概率，得到结论．试题解析：（1）用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．（2）上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是，即小明获胜的概率是；故小芳获胜的概率是．而＜，故小芳获胜的可能性大，这个“配色”游戏对双方是不公平的．【考点】1.游戏公平性；2.列表法与树状图法．2.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8﹣2．【解析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．试题解析：（1）过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE=，AE=，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．【考点】1.垂径定理；2.勾股定理．。
吉林省第二实验学校2020-2021学年九年级下学期第一次月考数学试题
13．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿DF直线折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM的长为________．
14．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系 中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线 （ ＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则 的取值范围是__________．
20．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形ABCD的顶点均在格点上，仅用无刻度直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图①中的线段CD上找到一点E，连结AE，使得AE将四边形ABCD的面积分成1:2两部分．
（2）在图②中的四边形ABCD外部作一条直线l，使得直线l上任意一点与点A、B构成三角形的面积是四边形ABCD面积的 ．（保留作图痕迹）
21．已知A地，火神山医院、B地顺次在一条笔直的公路上，且A地、B地距火神山医院的路程相同，甲、乙两家车队分别从A、B两地向火神山医院运送货物，甲车队比乙车队晚出发0.75小时．为避免拥堵，总调度部门通知距火神山医院更近的车队进工地卸货（卸货时间忽略不计），然后原路原速返回，而另一车队则在火神山医院40千米处等待直到另一车队卸货完毕后再按原速继续行驶进入工地，卸货后原路原速返回．甲车队距A地的路程 （千米）与甲车队行驶的时间 （小时）之间的函数关系如图所示：
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点A在函数 （ ≠0， ＜0）的图象上，点C的坐标为（2， ），则 的值为( )
吉林省长春市吉林省第二实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题(解析版)
吉林省第二实验学校2023-2024学年度下学期九年级第一次月考数学试题本试卷包括三道大题、共24小题。
共6页。
全卷满分120分。
考试时间为120分钟。
考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1、答题前、考生务必将自己的姓名、校区、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2、答题时、考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区城内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择題（每小题3分，共24分）1. 的相反数是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据相反数定义解答即可．【详解】解：的相反数是．故选B ．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的概念成为解答本题的关键．2. 历时七年的建设，全长407000米的济南至郑州高速铁路于2023年12月8日10时58分实现全线贯通运营，济南至郑州最快1小时43分可达，济郑高铁的开通将结束两个人口亿级的大省没有高铁直连的历史．将407000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了科学记数法；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将407000用科学记数法表示为，1212-2-121212-440.710⨯54.0710⨯60.40710⨯44.0710⨯10n a ⨯110a ≤<54.0710⨯3. 若，则“□”内应填的运算符号为（ ）A. +B. ﹣C. ×D. ÷【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了整式的有关计算，根据合并同类项法则与单项式与单项式相乘，单项式与单项式相除法则，先分别计算这两个单项式的和差积商，然后根据计算结果进行判断即可．【详解】解：，，，，“□”内应填的运算符号为：÷，故选：D ．4. 如图是正方体的展开图，将它折叠成正方体后“龙”字的对面是（ ）A. 学B. 业C. 进D. 步【答案】C【解析】【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z ”字两端是对面，即可解答．熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．【详解】解：“龙”字的对面是“进”．故选：C ．5. 在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）A. 木工弹线B. 泥工砌墙C. 弯路改直D.射击瞄准3322a a = 33323a a a =+ 3332a a a -=33622⋅=a a a 330222a a a ÷==∴【分析】本题考查两点之间线段最短定理．根据题意利用两点之间线段最短定理逐一对选项进行分析即可得到本题答案．【详解】解： ∵把弯曲的公路改直，就能缩短路程即利用了“两点之间线段最短”，∴C 选项符合题意；故选：C ．6. 如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；根据坡角的概念可知，然后利用正弦函数的定义列式即可．【详解】解：由题意得，∴，∴，故选：B ．7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）A.B. C. D.18︒AC AB 150tan18︒150sin18︒1502cos18︒150tan18︒18C ∠=︒18C ∠=︒sin sin18150AB AB C AC ∠=︒==150sin18AB =︒ABC AF BF =90AFD FBC ∠+∠=︒DF AB ⊥BAF CAF ∠=∠【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A 、C ，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B ．由已知条件无法判断选项D ．【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，∴，，故选项A 、C 正确，∴，∵，，∴，故选项B 正确，由已知条件无法得到，故选项D 中说法不一定正确．故选：D ．8. 如图，点A 在双曲线上，点B 在双曲线上，轴，过点A 作轴于D ，连接，与相交于点C ，若，则k 值为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 18【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质；由点A 在双曲线上可设，证明，利用相似三角形的性质求出的DF AB BE ABC ∠FA FB =DF AB ⊥DF AB BE ABC ∠FA FB =DF AB ⊥AFD BFD ∠=∠FBC FBD ∠=∠90FBD BFD ∠+∠=︒90AFD FBC ∠+∠=︒BAF CAF ∠=∠6y x =k y x=AB x ∥AD x ⊥OB AD 2AC CD =6y x =6,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ODC BA ∽，可得，进而可求k 的值．【详解】解：设，则，∵轴，∴，∴，∴，∴，∴，故选：D ．二、填空题（每小题3分，18分）9. 因式分解______．【答案】【解析】【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【详解】解：（x ﹣1）2．故答案为：（x ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．10. 若关于x 的方程有两个相等的实数根，则__．【答案】1【解析】【分析】根据判别式与根的关系得到，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：根据题意得，，解得．故答案为1．11. 2024年元旦期间，小华和家人到公园景区游玩．公园里有大小两种游船，小华发现：1艘大船与1艘22BA OD m ==63,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭6,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭OD m =AB x ∥C ODC BA ∽ 12OD CD BA CA ==22BA OD m ==63,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭6318k m m =⋅=221x x -+=()21x -221x x -+=220x x m -+=m =2(2)40m --=()2Δ240m =--=1m =小船一次满载游客共26人，2艘大船与3艘小船一次满载游客共60人．若设一艘大船一次满载人数为x 人，则根据题意x 的值为______．【答案】18【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设一艘大船一次满载人数为x 人，则一艘小船一次满载人数为人，根据“2艘大船与3艘小船一次满载游客共60人”列方程求解即可．【详解】解：设一艘大船一次满载人数为x 人，则一艘小船一次满载人数为人，由题意得：，解得：，故答案为：18．12. 如图，多边形为内接正五边形，与相切于点A ，则________．【答案】##36度【解析】【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点；．连接，多边形是正五边形，可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键．【详解】连接，∵多边形是正五边形，∴，∵，∴，∵直线与相切于点A，()26x -()26x -()232660x x +-=18x =ABCDE O PA O PAB ∠=36︒OB OA ，AOB ∠OAB ∠∠PAB OB OA ，ABCDE 360725AOB ︒∠==︒OA OB =()1180542OAB OBA AOB ∠=∠=︒-∠=︒PA O∴，∴．故答案为：．13. 如图，在平行四边形中，以C 为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为2∶3，连接，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为______．【答案】10【解析】【分析】本题主要考查了位似图形的性质；根据位似图形的性质可得，，根据等高的三角形的面积比等于底边之比可得，，结合平行四边形的面积为20计算即可．【详解】解：如图，连接，∵平行四边形和平行四边形是位似图形，且位似比为2∶3，∴，，∴，，90OAP ∠=︒905436BAP ∠=︒-︒=︒36︒ABCD ABCD PECF ,BP DP PECF PBE △PDF △23CE CB =23CF CD =2PCE PBE S S = 2PCF PFD S S = PECF CP PECF ABCD 23CE CB =23CF CD =2CE BE=2CF FD =∴，，∴，∴，故答案为：10．14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可知，，，由题意得出，，等量代换求出，然后结合点A 在第二象限可得答案．【详解】解：∵以A 为顶点的抛物线经过原点，∴，，∵点B 在x 轴负半轴，∴，由题意得：，，∴，∴，∴，∴，∵点A在第二象限，2PCE PBE S S = 2PCF PFD S S = 2220PCE PCF PBE PDF PECF S S S S S =+=+= 平行四边形10PBE PDF S S += A A 2()y x h k =-+x B C A B C A B AOBC ABC h 30h -<<AB AO =(),A h k 2OB h =-14OB BC AC AO +++=8AC BC AB AC BC AO ++=++>1428h +>()2y x h k =--+AB AO =(),A h k 2OB h =-14OB BC AC AO +++=8AC BC AB AC BC AO ++=++>14BC AC AO OB ++=-148OB ->1428h +>3h >-∴，∴，故答案为：．三、解答题（共78分）15. 先化简，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当，时原式．16. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目，小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A 、B 、C 、D 四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．请用画树状图或列表等方法求出小明和小张在同一区域观看比赛的概率．【答案】【解析】分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；画树状图得出所有等可能的情况数以及小明和小张在同一区域观看比赛的情况数，再利用概率公式得出答案．【详解】解：画树状图如图：【0h <h -3<<0h -3<<0()()()222a b a b a a b -+--2a =-1b =252ab b -12-()()()222a b a b a a b -+--22224222a ab ab b a ab=+---+252ab b =-2a =-1b =()25212110212=´-´-´=--=-14由树状图得：共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的情况有4种，∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为．17. 阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．市教育局向中小学生推出“童心读书会”分享活动，甲、乙两同学分别从距离活动地点1200米和1800米的两地同时出发，参加分享活动．乙同学的速度是甲同学的速度的倍，甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点．求甲、乙两同学的速度．【答案】甲的速度为75米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设甲的速度为米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟，根据甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点，列出方程，解方程即可．【详解】解：设甲的速度为米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟，根据题意得：，解得：，经检验是原方程的解，（米/分钟），答：甲的速度为75米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟．18. 如图，在中，，平分交于点D ，以点D 为圆心，为半径作圆交于点E ．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查圆的切线的判定，角平分线的性质，切线长定理，构造直角三角形利用勾股定理解题是解题的关键．（1）过点作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明；41164= 1.290x 1.2x x 1.2x 120018004 1.2x x+=75x =75x =1.2 1.27590x =⨯=90ABC 90ABC ∠=︒CD ACB ∠AB BD AB D AC 5AC =3BC =AE 1D DF AC ⊥F BD FD =（2）利用勾股定理求出，设半径为，利用切线长定理求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出半径，即可求出答案．【小问1详解】解：过点作于，，，平分交于点D ，，是圆的半径，与相切；【小问2详解】解：设半径为，，，是圆的切线，，，，，在，，解得，．19. 春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动．为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（学生成绩得分用x 表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98．八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为：86，86，86，90，94．抽取的七、八年级学生测试成绩统计表AB x 3CF BC ==2AF =AD AB x =-D DFAC ⊥F 90ABC ∠=︒AB BC ∴⊥ CD ACB ∠AB BD DF ∴=DF ∴∴D AC x 90,3,5ABC BC AC ∠=︒==4AB ∴==AC BC 、3BC CF ∴==2AF AC CF ∴=-=4AB = 4AD AB BD x ∴=-=-Rt AFD △22(4)2x x -=+32x =431AE ∴=-=8085x ≤<8595x ≤<95100x ≤≤年级平均数中位数众数“优秀”等级所占百分比七89.489a 八89.4b 86根据以上信息，解答下列问题：（1）填空： ， ， ；（2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．（3）如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数．【答案】（1）、、；（2）七年级的学生测试成绩更好，理由见解析；（3）人【解析】【分析】本题考查了众数和中位数的定义和意义，样本估计整体，正确理解统计表和扇形统计图是解题关键．（1）根据众数和中位数的定义，得出、的值，再用八年级学生“合格”等级的人数除以总人数，求出的值；（2）根据中位数或众数分析即可；（3）用每个年级的人数乘以“良好”率，再相加即可．【小问1详解】解：由七年级10名学生的成绩可知，众数为，即，由题意可知，八年级学生测试成绩“优秀”等级人数为，“良好”等级有5人，“合格”等级有人，30%30%=a b =m =8988202800a b m 8989a =1030%3⨯=∴10352--=八年级学生第五、六名的测试成绩分别是、，中位数为，即，，故答案为：、、；【小问2详解】解：七年级的学生测试成绩更好，理由：两个年级平均数和“优秀”率相同，而七年级的众数及中位数均高于八年级，所以，七年级的学生测试成绩更好（答案不唯一）；【小问3详解】解：人，答：我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数大约为人．20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，按步骤完成下列问题：（1）如图1，已知点、A 、均在格点上，求作点A 关于直线的对称点，连结；（2）如图2.的顶点均在格点上，格点是边上一点，请在线段上找一点，连结，使；（3）如图3.的顶点均在格点上，求作点关于直线的对称点．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质等，将知识融入到作图过程中，是解题的关键．（1）根据轴对称的性质结合网格特点作图即可；（2）取格点G 、H ，连接与交于点F ，由可得，则，然后可得，则此时；∴86902%100%20%10m =⨯=∴8690882+=88b =20m =898820453500280028001010⨯+⨯=2800ABC M N MN A 'AA 'BCD △E BC BC F EF EF CD PQR Q PR Q 'GH BD BG DH ∥BGF DHF ∽12BF BG DF DH ==12BF BE FD EC=-EF CD（3）取格点S 、T 、K ，构造，与交于点L ，根据全等三角形的性质可得，根据网格作，延长交于，则，由可得，即点与点Q 关于直线对称．【小问1详解】如图，将点A 向上平移3个单位到上，再向右平移3个单位，即得；【小问2详解】如图，在过B ，D 的水平格线上取格点G ，H ，使，，连接交于点F ，连接即是；【小问3详解】如图，取格点S 、T 、K ，使，，将边向右平移3个单位得到线段，连接并延长交于点，点就是所求作．21. 图1是煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度（），右侧是摄氏温度（）．华氏温度与摄氏温度之间存在着某种函数关系，小明通过查阅资料和观察温度计，得到了如表所示的数据．摄氏温度值010203040华氏温度值32506886104Rt Rt PSR QTK ≌PR QK 90QLR ∠=︒IJ PR ∥QK IJ 'Q 'QLR QQ J ∽QR RJ ='QL LQ ='Q PR MN 'A 1BG =2DH =GH BD EF 5QT PS ==2TK SR ==PR IJ QK IJ 'Q 'Q ℉℃/℃x /y ℉（1）在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接；（2）求y 与x 之间的函数解析式；（3）某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16．求该温度区间的最大温差是多少摄氏度．【答案】（1）见解析 （2） （3）该温度区间的最大温差是摄氏度【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用；（1）根据表格中数据进行描点、连线即可；（2）由（1）中函数图象猜测y 与x 之间满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式，然后进行验证即可；（3）分两种情况：当华氏温度大于等于其对应的摄氏温度时；当摄氏温度大于其对应的华氏温度时；分别列出温差关于摄氏温度值的函数关系式，结合一次函数的增减性求出该温度区间，然后计算即可．【小问1详解】解：如图所示：9325y x =+40【小问2详解】由（1）中函数图象猜测y 与x 之间满足一次函数关系，设，代入得：，解得：，∴，代入其余数据进行验证，均满足该关系式，∴y 与x 之间的函数解析式为；【小问3详解】当华氏温度大于等于其对应的摄氏温度时，即，解得：，则温差，当时，解得：，∵数值相差的最大值为16，，∴随x 的增大而增大，∴；()0y kx b k =+≠()()0,32,10,50321050b k b =⎧⎨+=⎩9532k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩9325y x =+9325y x =+9325y x x =+≥40x ≥-94323255w y x x x x =-=+-=+432165w x =+=20x =-405>w 20x -40≤≤-当摄氏温度大于其对应的华氏温度时，即，解得：，则温差，当时，解得：，∵数值相差的最大值为16，，∴随x 的增大而减小，∴；∴当任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16时，，∴该温度区间的最大温差是摄氏度．22. 【模型建立】：如图1，在正方形中，E ，F 分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．（1）小宋的探究思路如下：延长到点G ，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______．【模型应用】：（2）如图2，在矩形中，，点F 为中点，，求的长．【拓展提升】：（3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a 、b 的代数式表示）【答案】（1），；（2）；（3）【解析】【分析】（1）证明，可得，，再证9325x y x >=+40x <-194323255w x y x x x =-=--=--1432165w x =--=60x =-405-<1w 6040x -≤<-6020x -≤≤-()206040---=，BC CD 45EAF ∠=︒EF BE DF ，，CB BG DF =AG ADF ABG ≌AEF AEG △≌△,,,EF BE DF 6,2AD DF ==BE =ABCD 4,3AD AB ==CD 45FAE ∠=︒BE ()tan a DAF a b b∠=<45DAF BAE ∠+∠=︒tan BAE ∠=EF BE DF =+31511BE =b a a b -+()SAS ADF ABG ≌AF AG =DAF BAG ∠=∠，可得，则；设，则，，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可；（2）如图作辅助线，构造正方形，设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出，再利用平行线分线段成比例计算的长即可；（3）如图2作辅助线，设，，，则，，，在中，利用勾股定理构建方程求出，再根据正切函数的定义计算即可．【详解】解：（1）延长到点G ，使，连接，∵在正方形中，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴，，设，则，，在中，由勾股定理得，∴，解得：，即，故答案为：，；（2）如图2，延长，至M 、N ，使四边形是正方形，延长到点H ，使，连接，延长交于P ，连接，()SAS AEF AEG ≌EG EF =EF EG BE BC BE DF ==+=+BE x =2EF EG x ==+6CE x =-Rt CEF △AMND MP x =4PN x =-32PF MP DF x =+=+Rt PNF △MP BE DF a =AD b =MP x =FN b a =-PN b x =-PF x a =+Rt PNF △MP CB BG DF =AG ABCD AB AD =90ABC D ∠=∠=︒90ABG D ∠=∠=︒()SAS ADF ABG ≌AF AG =DAF BAG ∠=∠45EAF ∠=︒45DAF BAE ∠+∠=︒45BAG BAE EAG ∠+∠=∠=︒EAF EAG ∠=∠()SAS AEF AEG ≌EG EF =EF EG BE BC BE DF ==+=+6,2AD CD DF ===4CF =2BG =BE x =2EF EG x ==+6CE x =-Rt CEF △222CE CF EF +=()()222642x x -+=+3x =3BE =EF BE DF =+3AB DC AMND NM MH DF =AH AE MN PF∵，点F 为中点，∴，∴，设，则，由（1）得：，在中，由勾股定理得，∴，解得：，∵，∴，∴，即，∴；（3）如图2作辅助线，∵，∴设，，∴，设，则，由（2）得：，在中，由勾股定理得，4,3AD AB ==CD 113222DF CD AB ===35422FN =-=MP x =4PN x =-32PF MP DF x =+=+Rt PNF △222PN NF PF +=()22253422x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2011x =BC MN ∥ABE AMP ∽AB BE AM MP =320411BE =1511BE =()tan a DAF a b b∠=<DF a =AD b =FN b a =-MP x =PN b x =-PF x a =+Rt PNF △222PN NF PF +=∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，锐角三角函数的定义等知识，灵活运用相关判定定理和性质定理，作出合适的辅助线是解题的关键．23. 在平行四边形中，，，，点是上一点．，从点E 出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D 停止．连接，将线段绕点E 顺时针旋转得到线段．连接．设点P 的运动时间为t 秒．（1）用表示线段的长度；（2）连接，求的值；（3）当点在平行四边形的对角线上时，求的值；（4）连接．当分线段为的两部分时，直接写出t 的值．【答案】23. 当时，；当时， 24.25. ，1， 26. ，【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，当点E 在线段上时， ；当点E 在线段上时，；()()()222b x b a x a -+-=+2b ab x a b-=+2tan tan b abb a a b a bMP BAE MAP AM b ∠===-+=-+∠b a a b-+ABCD 5AD =7AB =4tan 3DAB ∠=E AB 4AE =P EA AD -PE PE 90︒EF PF t AP AC tan CAB ∠F ABCD t DE DE PF 1:2403t ≤≤43AP t =-433t <≤34AP t =-2581515269104636427AE 43AP t =-AP 34AP t =-（2）过点C 作延长线于点G ，解即可；（3）分类讨论：当时，点F 落在上，点F 落在上；当时，点F 落在上，通过锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题；（4）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质解决问题．【小问1详解】解：①当点E 在线段上时，即时，；②当点E 在线段上时，当时，．【小问2详解】解：过点C 作延长线于点G ，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，在，由，∴，设，由勾股定理得：，解得：，∴，∴中，．【小问3详解】CG AB ⊥ABC 403t ≤<AC BD 433t <≤AC 12OF PO =12OP FO =AE 403t ≤≤43AP t =-AP 433t <≤34AP t =-CG AB ⊥ABCD ,5BC AD AD BC ==∥,7DC AB DC AB =∥=CBG DAB ∠=∠Rt CBG △tan tan CBG DAB ∠=∠43CG BG =4,3CG x BG x ==()()222345x x +=1x =4,3CG BG ==Rt CAG △42tan 735CG CAB AG ∠===+解：由旋转知，，当时，点F 落上，如图1，由得，，解得：；点F 落在上时，如图2，过点D 作于点H ，同（1）可求，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，解得： 当时，点F 落在上，过点P ，F 分别作AB 的垂线，垂足为M ，N ，在3EP EF t ==90PEF ∠=︒403t ≤≤AC 2tan 5CAB ∠=3245EF t AE ==815t =BD DH AB ⊥3,4AH DH ==734BH =-=DHB △45DBA ∠=︒FE BE =33t =1t =433t <≤AC由，得：，∴，可证：，∴，在中，，∴ ，解得．综上所述：t 的值为，1，．小问4详解】①当时，构造如图4辅助线（均是水平线，铅垂线）由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，∵，∴，设，则，，，∵，∴，而，【34AP t =-4tan 3DAB ∠=()()4334,3455PM t AM t =-=-()3329434555ME t t =--=-PME ENF △≌△,NF ME EN PM ==Rt AFN △2tan 5FN FAN AN ∠==32925512165455t t -=+-15269t =8151526912OF PO =2MS PO SN OF ==4,1DH HE ==OS DH ∥4OS SE =34AP t a =-=34,55AM a PM KN XS EN a =====345ME a =-34744555FK FN KN a a a =-=--=-OX FK ∥28143315OX FK a ==-145MN ME EN a =+=+∴ ，∵， ，∵，∴，解得：，∴，∴；②当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线）同理可得： ，解得：，∴，∴．综上所述：或．【点睛】本题是以平行四边形为背景的动点压轴题，化动为静，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解决本题的关键．24. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点、都是该抛物线上的点，、的横坐标分别为，，当点、不重合时，连结．（1）求该抛物线的解析式；（2）当时，求点的坐标；（3）当线段与对称轴为相交时，设其交点为，当不与或重合时，以为一边构造矩形，其中，同时使得点在的同侧．1413315SN MN a ==+4144113155315SE SN EN a a a =-=+-=-8144823155315OS OX XS a a a =+=-+=-4OS SE =41182315315a a -=-2021a =203421t -=10463t =12OP FO =27331144444355535a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦289a =28349t -=6427t =10463t =642723y x bx =-++1x =P Q P Q m 4m -P Q PQ PQ =P PQ 1x =M M P Q MQ MQGN MN MP =Q G N 、、1x =①当抛物线在矩形的内部任意一点的纵坐标恒为负数时，求的取值范围；②当矩形被轴分为面积相等的两部分时，直接写出的值．【答案】（1）（2）点坐标为或 （3）①或；②【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）的中点坐标的横坐标为，设中点为，如图所示，过点作于点，连接，则，求得的长，可得，则，依题意，，构造方程，解方程，即可求解；（3）①当在的左两边，两种情况分别画出图形，分别求得，根据建立方程，②当在的右侧时，分别表示出，进而解方程，求得的值，结合图象，即可得出的范围；②设为矩形对角线的交点，当在轴上时符合题意，同样分两种情况，根据中点坐标公式得出的纵坐标为，即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴解得：，∴抛物线解析式为【小问2详解】解：∵、的横坐标分别为，，∴的中点坐标的横坐标为，设中点为，如图所示，的MQGN m MQGN x m 223y x x =-++P 17,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭93,234⎛⎫- ⎪⎝⎭m <5m >m =m =PQ 2T P 2PA x ⊥=A AT PA AT ⊥,AT PA 2AT PA =PT =PQ =P 1x =,AP AB AP AB =P 1x =BQ m m S MQGN S x S 023y x bx =-++1x =12b x =-=-2b =223y x x =-++P Q m 4m -PQ 2T过点作于点，连接，则∴，∵∴的纵坐标分别为∴的纵坐标为∴∴∴依题意，∴∴即解得：，当时，∴，P 2PA x ⊥=A AT PA AT⊥2PA m =-223y x x =-++,P Q ()()2223,4243m m m m -++--+-+T ()()2221234243412m m m m m m ⎡⎤-++--+-+=-+-⎣⎦()22234124AT m m m m m =-++--+-=-+2AT PA=PT =PQ =PT ==52PA =522m -=12m =-12m =-()2221723141424y m m m ⎛⎫=-++=--+=---+= ⎪⎝⎭17,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭则，∵,，∴，∵关于对称，设，则解得：，∴当在时，符合题意，∴点的坐标为或；【小问3详解】解：如图所示，当在的左边时，当点在轴上时，过点作于点，连接，则，设交轴于点，则，72,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭25AT PA ==713544-=-132,4T ⎛⎫- ⎪⎝⎭,P Q 132,4T ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),Q a b 1713242,224a b -+==-933,24a b ==-93,234Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭P Q P 17,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭93,234⎛⎫- ⎪⎝⎭P 1x =N x P 1PA x ⊥=A AM PA AM ⊥AM x B BM MN ⊥同（2）可得，即，∵，∴，∵，，，∴，∴∴∴，解得：所以当点在轴的下方时，则；当在的右侧时，如图所示，同理可得，与轴的夹角的正切为，则2AM PA =1tan 2PMA ∠=1PA m =-22AM m =-90,90PMN PMA NMB MNB ∠=︒∠=︒-∠=∠90A MBN ∠=∠=︒PM NM =PAM MBN ≌22BN AM PA BM===AB BM =AP=2123m m m -=-++m =m =N x m <P 1x =PQ y 121tan tan 2PMA QMP ∠=∠=∵，∴，∵，∴，∴，则又∵∴解得：（舍去）或1PA m =-22AM m =-()2,23P m m m -++()21,41M m m -++241BM m m =--21112222QB BM m m ==--()143BQ m m =--=-2113222m m m -=--1m =5m =所以当点在轴的下方时，则；综上所述或，②当在的左侧时，设为矩形对角线的交点，当在轴上时符合题意，如图所示，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，∴又∵N x 5m>m <5m >P 1x =S MQGN S x ,N Q 1x =,C D CN BS DQ∥∥NS QS =∴由（2）可得的纵坐标分别为，则由①可得，∵∴∴点的横坐标为，纵坐标为，∴，∵在轴上，∴，解得：（舍去），当在的右侧时，如图所示，∵，CB DB=,P Q ()()2223,4243m m m m -++--+-+()24,65Q m m m --+-2CN AM PA ==CA CM PA==1PA m=-22CN m=-N 32m -()2223132m m m m m -++--=-++224326532,22m m m m m m S ⎛⎫-+--+--++ ⎪⎝⎭S x 22653202m m m m -+--++=m =m =P 1x =()24,65Q m m m --+-则，∴，∴，即同理可得则∴的纵坐标为∵在轴上，∴解得：，综上所述，．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，求锐角的正切值，全等三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．()143DQ mm =--=-226DM QD m ==-()21,6526M m m m -+--+()2141m m -++，PAM MCN≌1PA MC m ==-N ()2241132m m m m m -++--=-++S x 2265320m m m m -+--++=m =m =m =m =。
吉林省第二实验学校2019-2020上学期九年级第二次月考——数学考试测试卷
吉林省第二实验学校2019-2020学年度数学试题上学期九年级第二次月考本试卷包括三道大题，共24小题共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效.一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2019的相反数是（ ）A ．9102B ．2019-C ．12019D ．2019 2. 长春市地铁6号线于2019年9月底开工，工程总投资预计12400000000元，12400000000用科学计数法表示为（ ）A ．111.2410⨯B ．81.2410⨯C ．101.2410⨯D ．110.12410⨯3. 下列计算正确的是（ ）A ．22a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．222a b ba ab -=-D ．323928a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 4. 下列对二次函数2y x x =-的图象的描述，正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C. 经过原点 D ．在对称轴右侧部分是下降的5. 关于x 的一无二次方程240x x k ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．4k ≤-B ．4k <- C.4k ≤ D ．4k <6. 如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道(点,A B 在同一水平面上).为了,A B 测量两地之间的距离，一架直升飞机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为,a 则,A B 两地之间的距离为（ ）A ．800sina 米B ．800tan a 米C ．800sin a米 D ．800tan a 米 7. 如图是二次函数图象的一部分，且过点()3,0,A 二次函数图象的对称轴是直线1,x =下列结论正确的是（ ）A ．24b ac <B ．0ac >C ．20a b -=D ．0a b c -+=8. 如图，点,A B 在双曲线()30y x x =>上，点C 在双曲线()10y x x=>上，若//AC y 轴，//BC x 轴，且,AC BC =则AB 等于（ ）AB ．C ． 4D ．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9.分解因式:25a a - _ ． 10.不等式12x -≥的解集是___ ．11.如图，直线//,a b 直线c 与直线,a b 分别交于点,A B .若45A ∠=︒，则2∠=__ ．12.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 中点，连接DE 交对角线AC 于点,F 若4,AB =3,AD =则AF 的长为_ ．13.将抛物线241y x x =-+向右平移1个单位后，得到新抛物线的解析式为__ ．14.当1a x a ≤≤+，函数221y x x =-+的最小值为0，则a 的取值范围是_ ． 三、解答题 （本大题共11小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生租用服装.其中5名男生和3名女生共需服装费190元；3名男生的租服装的费用与2名女生的租服装的费用相同.求每位男生和女生的租服装费用分别为多少元？16.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为2,顶点A C 、分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线212y x bx c =-++经过B C 、两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC BD CD 、、.()1求此抛物线的解析式.()2直接写出四边形ABDC 的面积.17.如图是某小区的一个健身器材，已知0.15. 2.70,64,BC m AB m BOD ==∠=o求端点A 到地面CD 的距离(精确到0.1.m )[参考数据:640.90,640.44,tan 6420.5sin cos ==o o o=]18.如图，在四边形ABCD 中，点E 和点F 是对角线AC 上的两点，,AE CF =,DF BE =且//,DF BE 过点C 作CG AB ⊥交AB 的延长线于点G .()1求证:四边形ABCD 是平行四边形.()2若tan CAB ∠=，则ABCD Y 的面积是 _ 19.某课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为24米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示).设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米，()1垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值.()2当这个苗圃园的面积不小于64平方米时，试结合函数图象，直接写出x 的取值范围.20.在66⨯的方格纸中，点,,A B C 都在格点上，按要求画图.()1在图①中找一个格点,D 使以点,,,A B C D 为顶点的四边形是平行四边形(画出一种情况即可).()2在图②中仅用无刻度的直尺，把线段AB 三等分保留画图痕迹，不写画法).21.甲车从A 地出发匀速驶向B 地，到达B 地后，立即按原路原速返回A 地；乙车从B 地出发沿相同路线匀速驶向A 地，出发1小时后，乙车因故障在途中停车1小时，然后继续按原速驶向A 地，乙车在行驶过程中的速度是80千米/时，甲车比乙车早1小时到达A 地，两车距各自出发地的路程y 千米与甲车行驶时间x 小时之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题:()1写出甲车行驶的速度，并直接写出图中括号内正确的数__ __()2求甲车从B 地返回A 地的过程中，y 与x 的函数关系式(不需要写出自变量x 的取值范围).()3直接写出甲车出发多少小时，两车恰好相距80千米.22.[感知]小亮遇到了这样一道题:已知如图①在ABC V 中，,AB AC D =在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于,F 且DF EF =，求证:BD CE =.小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过D 点作//DG AC 交BC 于,G 进而解决了该问题，(不需证明)[探究]如图③，在四边形ABCD 中，//,AB DC E 为BC 边的中点，,BAE EAF ∠=∠AF 与DC 的延长线相交于点F .试探究线段AB 与AF CF 、之间的数量关系，并证明你的结论.[应用]如图④，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G F 、分别为,AD BC 边上的点，若190AG BF GEF ==∠=︒，，则GF 的长为 .23.如图，ABC V 中，902010,C AC BC ∠=︒==,,动点D 从A 出发，以每秒10个单位长度的速度向终点C 运动.过点D 做DF AC ⊥交AB 于点F ，过点D 做AB 的平行线，与过点F 且与AB 垂直的直线交于点E .设点D 的运动时间为t (秒)()0t >.()1用含t 的代数式表示线段DE 的长.()2求当点E 落在BC 边上时t 的值.()3设DEF V 与ABC V 重合部分图形的面积为S (平方单位)，求S 与t 的函数关系式.()4连结,EC 若将DEC V 沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形能形成菱形，直接写出此时t 的值.24.新定义:对于关于x 的函数,y 我们称函数()(')y x m y y x m ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩为函数y 的m 分函数(其中m 为常数). 例如:对于关于x 的一次函数4y x =+的3分函数为()43()'43x x y x x +≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩ ()1若点()4,P n 在关于x 的一次函数1y x =-+的2分函数上，求n 的值.()2写出反比例函数4y x=的4分函数的图象上y 随x 的增大而减小的x 的取值范围 ； ()3若'y 是二次函数223y x x =--关于x 的1分函数.①当12x -≤≤时，求'y 的取值范围.②当0x k ≤≤时，4'4,y -≤<则k 的取值范围为 ；()4若点()(),214,1,M N -，连结.MN 当关于x 的二次函数233y x x =--的m 分函数，与线段MN 有两个交点，直接写出m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BCDCC 6-8:BCD二、填空题9.()5a a -10.1x ≤- 11.135o 12.85 13.()233y x =-- 14.01a ≤≤三、解答题15. 男生20元，女生30元16.()12122y x x =-++ ()252ABDC S =四边形 17.1.3m18.解: ()1AE CF =QAE EF CF EF ∴+=+即AF EC =又//DF BEDFA BEC ∴∠=∠在AFD V 与CEB V 中AF CE =DFA BEC ∠=∠DF BE =AFD CEB ∴V V ≌AD BC ∴=DAF BCE ∠=∠// AD BC ∴且AD BC =∴四边形ABCD 是平行四边形()2ABCD S =Y19. ()1272S m =最大()248x ≤≤20.21. ()19()2100800y x =-+()3289或4或822. AB AF CF =+1GF =+23. ()1DE =()253t =()325S t =503t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭2517560050023S t t t =-+-<≤⎛⎫⎪⎝⎭()1047t =4019t -=169t =24．题()11,21,2x x y x x -+≤⎧'=⎨-≥⎩ 42x =>Q∴把4x =代入1y x =-得3y = 3n ∴=()20x <或04x <≤()3 a.2223,123,1x x x y x x x ⎧--≤⎪'=⎨-++>⎪⎩ 把21x =>代入得223y x x =-++ 3y = 当1x =时代入223y x x =--时 有最小值4y =- 当1x =-时代入223y x x =--时 有0y = 当1x =时代入223y x x =-++时 可得4y =即y '的取值范围为40y '-≤≤或34y '≤<b.11k ≤≤+()41m <-322m +≤< 4m ≥。
吉林省长春市第二实验学校2020届数学中考模拟试卷
吉林省长春市第二实验学校2020届数学中考模拟试卷一、选择题1．下列命题中真命题是（）A．若a2=b2,则a=b B．4的平方根是±2C．两个锐角之和一定是钝角 D．相等的两个角是对顶角2．若y=x+2–b是正比例函数，则b的值是( )A．0 B．–2 C．2 D．–0.53．一种巧克力的质量标识为“25±0.25千克”，则下列哪种巧克力是合格的（）A．25.30千克B．24.70千克C．25.51千克D．24.80千克4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）、（2，y2）．下列结论：①若y1＞0时，则a+b+c ＞0；②若a＝2b时，则y1＜y2；③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0．其中正确的结论个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的点，在BA延长线上取点C，使得DC＝DO，连结CD并延长交圆O于点E，连结AE，若∠C＝18°，则∠EAB的度数为（）A．18°B．21°C．27°D．36°6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C、D分别为OA、OB的中点，分别以C、D为圆心，以OA、OB为直径作半圆，两半圆交于点E，则阴影部分的面积为（）A.142π- B.12π- C.184π- D.142π+7．下列命题错误的是( )A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．任意多边形的外角和为360︒D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半8．如图是某手机店去年5～9月份某品牌手机销售额统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月该品牌手机销售额变化最大的是（）A ．5月至6月B ．6月至7月C ．7月至8月D ．8月至9月92的值应在( )A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和9之间10．如果的值是（ ）A ．6+aB ．﹣6﹣aC ．﹣aD ．111．下面由7个完全相同的小正方体组成的几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，在平面直角坐标系网格中，点Q 、R 、S 、T 都在格点上，过点P(1,2)的抛物线y=ax 2+2ax+c(a<0)可能还经过（ ）A ．点QB ．点RC ．点SD ．点T二、填空题 13．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，﹣4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x（x ＜0）的图象经过菱形OABC 中心E 点，则k 的值为_____．14．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，随机地向△ABC 中内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是_____．15．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，把△ABC 沿AC 翻折，点B 落在点D 处，连接BD ，若∠CBD ＝16°，则∠BAC ＝_____°．16．在△ABC 中，AB=2，AC=3，cos ∠ACB=3，则∠ABC 的大小为________度． 17．如图，在反比例函数y ＝2x(x>0)的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝___________．18___．三、解答题19．化简：2232122444x x x x x x x x x+-+⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭．20．计算：（1）()-201-3.14-4cos303π⎛⎫++︒ ⎪⎝⎭； （2）x 2-4x=-3 21．某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y （个）与销售单价x （元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y （个）与销售单价x （元/个）的几组数据如表：（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为 个，此时，获得日销售利润是 ．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．22．已知⊙O 的直径AB ＝8，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，垂足为F ．（1）如图（1），若∠ABD ＝30°，求弦AC 的长；（2）如图（2），若23EB DE =，求弦BD 的长． 23．已知：∠1＝∠2，EG 平分∠AEC ．（1）如图①，∠MAE ＝45°，∠FEG ＝15°，∠NCE ＝75°．求证：AB ∥CD ；（2）如图②，∠MAE ＝140°，∠FEG ＝30°，当∠NCE ＝ °时，AB ∥CD ；（3）如图②，请你直接写出∠MAE 、∠FEG 、∠NCE 之间满足什么关系时，AB ∥CD ；（4）如图③，请你直接写出∠MAE 、∠FEG 、∠NCE 之间满足什么关系时，AB ∥CD ．24．如图，四边形ABCD 是矩形（1）尺规作图：在图8中，求作AB 的中点E （保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CE ，DE,若2,AB AD ==, 求证：CE 平分∠BED25．甲、乙两个工程队计划修建一条长18千米的乡村公路，已知甲工程队比乙工程队每天多修路0.6千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？（2）若甲工程队每天的修路费用为0.6万元，乙工程队每天的修路费用为0.5万元，要使两个工程队修路总费用不超过6.3万元，甲工程队至少修路多少天？【参考答案】***一、选择题13．814．1415．3716．30或15017．3218．三、解答题19．42x x -- 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【详解】原式=221(2)(2)[](2)(2)2x x x x x x x x x +-+--⋅--+ =2224(2)(2)1x x x x x x x --+-⋅- =42x x --． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．（1）10；（2）x 1=1，x 2=3．【解析】【分析】（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项运用负整数指数幂运算法则进行计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）方程移项后，运用因式分解法求解即可.【详解】（1）1410=+=原式 （2) ∵x 2-4x=-3∴x 2-4x+3=0∴（x-1）（x-3）=0∴x 1=1，x 2=3【点睛】此题考查了实数的运算和运用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（1）y ＝﹣30x+600；m 的值为120；（2）75，862.5；（3）以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元【解析】【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，代入x=16求得m 的值即可；（2）把x=17.5代入y=-30x+600，可求日销售量，日销售利润=每个商品的利润×日销售量，依此计算即可；（3）根据进货成本可得自变量的取值，根据销售利润=每个商品的利润×销售量，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．【详解】（1）y 是x 的一次函数，设y ＝kx+b ，图象过点（10，300），（12，240），1030012240k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：30600k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣30x+600，当x ＝16时，m ＝120；∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣30x+600，m 的值为120；（2）﹣30×17.5+600＝﹣525+600＝75（个），（17.5﹣6）×75＝11.5×75＝862.5（元），故日销售量为75个，获得日销售利润是862.5元；故答案为：75，862.5；（3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15．w ＝（x ﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x 2+780x ﹣3600，即w 与x 之间的函数关系式为w ＝﹣30x 2+780x ﹣3600，w ＝﹣30x 2+780x ﹣3600的对称轴为：x ＝﹣7802(30)⨯-＝13， ∵a ＝﹣30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥15时，w 随x 增大而减小，∴当x ＝15时，w 最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用；要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．22．（1）AC ＝2）DB ＝．【解析】【分析】（1）利用圆周角定理求出∠DOA 的度数，再求出∠CAO 的度数，解直角三角形即可求出弦AC 的长；（2）先证OD 与BC 平行，再证出线段OF ，BC ，DF 之间的比，设未知数结合径的长度即可求出此三条线段的长度，再通过三次勾股定理即可求出BD 的长．【详解】解：（1）如图1，连接BC ，∵∠ABD＝30°，∴∠AOD＝60°∵OD⊥AC，垂足为F，∴∠AFO＝90°，AF＝FC，∴∠FAO＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠FAO＝30°，AB＝8，AC＝8=（2）∵OD⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠AFO＝∠ACB，∴OD∥BC，∴△BCE∽△DFE，∴BC BE2 DF DE3==，∵OF＝12 BC，∴设OF＝x，则BC＝2x，DF＝3x，∵OD＝12AB＝4，∴FO＝1，FD＝3，在Rt△AFO中，AF∴在Rt△AFD中，AD=∴在Rt△ABD中，DB=【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线，勾股定理等，能熟练运用圆的相关性质是解答本题的关键．23．（1）见解析；（2）当∠NCE＝80°时，AB∥CD；（3）当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD；（4）当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD.【解析】【分析】（1）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=75°，即可求结论．（2）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=100°，再根据AB∥CD，可求∠NCE的度数（3）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=180°-∠MAE+2∠FEG，再根据AB∥CD，可求其关系．（4）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=∠MAE+2∠FEG-180°，再根据AB∥CD，可求其关系．【详解】证明（1）∵∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15°∴∠AEG＝60°∵EG平分∠AEC∴∠AEG＝∠CEG＝60°∴∠CEF＝75°∵∠ECN＝75°∴∠FEC＝∠ECN∴EF∥CD且AB∥EF∴AB∥CD（2）∵∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140°∴∠AEF＝40°∵∠FEG＝30°∴∠AEG＝70°∵EG平分∠AEC∴∠GEC＝∠AEG＝70°∴∠FEC＝100°∵AB∥CD，AB∥EF∴EF∥CD∴∠NCE+∠FEC＝180°∴∠NCE＝80°∴当∠NCE＝80°时，AB∥CD（3）∵∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE+∠FEA＝180°∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG∵EG平分∠AEC∴∠GEC＝∠AEG∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG∵AB∥CD，AB∥EF∴EF∥CD∴∠FEC+∠NCE＝180°∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE∴当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD（4）∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE+∠FEA＝180°∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，∴∠AEG＝∠FEG﹣∠FEA＝∠FEG﹣180°+∠MAE∵EG平分∠AEC∴∠GEC＝∠AEG∴∠FEC＝∠FEA+2∠AEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°+2∠MAE＝∠MAE+2∠FEG﹣180°∵AB∥CD，AB∥EF∴EF∥CD∴∠FEC+∠NCE＝180°∴∠MAE+2∠FEG﹣180°+∠NCE＝180°∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°∴当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质，关键是由平行线的性质得到角的数量关系．24．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线即可得到AB的中点E，E点即为所求;(2)先利用勾股定理求出DE=2，再利用平行线的性质可得出结果.【详解】如图，四边形ABCD是矩形了（1）正确作出AB的垂直平分线下结论：点E为所求（2）∵E是AB的中点∴AE=11 2AB∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90°AB=CD=2∴2DE==∴DE=DC∴∠DEC=∠DCE∵AB∥CD∴∠CEB=∠DCE∴∠CEB=∠DEC∴CE平分∠BED【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．25．（1）甲每天修路1.8千米，则乙每天修路1.2千米；（2）甲工程队至少修路8天【解析】【分析】（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.6）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．【详解】（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.6）千米，根据题意，可列方程：18181.50.6x x⨯=-，解得x＝1.8，经检验x＝1.8是原方程的解，且x﹣0.6＝1.2，答：甲每天修路1.8千米，则乙每天修路1.2千米；（2）设甲修路a天，则乙需要修（18﹣1.8a）千米，∴乙需要修路18 1.81.2a-＝15﹣1.5a（天），由题意可得0.6a+0.5（15﹣1.5a）≤6.3，解得a≥8，答：甲工程队至少修路8天．【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量（或不等）关系是解题的关键，注意分式方程需要检验．。
吉林省第二实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
吉林省第二实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．根据有理数减法法则，计算()23--过程正确的是（ ） A ．()23+-B ．()32+-C ．()23-+D ．23+2．如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）A ．80°B ．50°C ．30°D ．20°4．下列运算一定正确的是（ ） A ．339a a a ⋅= B ．235a a a ⋅= C ．()22ab ab =D ．()235a a =5．若a b >，则下列不等式中成立的是（ ） A ．55-<-a b B ．55a b< C ．55a b +>+D ．a b ->-6．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB 与AC 的夹角为24︒，则高BC 是（）A ．50sin24︒米B ．50cos24︒米C ．50sin24︒米 D ．50cos24︒米 7．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒．小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图： ①分别以点,A B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点,M N ，过点,M N 作直线与AB 交于点D ；②连接CD ，以点D 为圆心，以一定长为半径画弧，交MN 于点E ，交CD 于点F ，以点C 为圆心，以同样定长为半径画弧，与CD 交于点G ，以点G 为圆心，以EF 长为半径画弧与前弧交于点H ．作射线CH 与AB 交于点K ． 请根据以上操作，下列结论不一定成立的是（ ）A ．CDM DCK ∠=∠B ．CK 平分ACD ∠C ．MN 垂直平分ABD ．90CKD ∠=︒8．如图，在平面直角坐标系中，直线4y kx ＝＋与y 轴交于点C ，与反比例函数my x=，在第一象限内的图像交于点B ，连接OB ，若4OBC S =V ，1tan 3BOC ∠=，则m 的值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题9．单项式22ax -的系数是．10．11．若抛物线22y x x k =-+和x 轴有交点，则k 的取值范围是．12．如图，一次函数y ax b =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，()3,0A 、()0,2B ，那么不等式2ax b +<的解集为．13．如图，A ，B 是O e 上的两点，OA OB ⊥，点C 在优弧»AB 上，则ACB ∠=度.14．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =-，则下列结论中： ①0abc >；②2am bm a b +≤-（m 为任意实数）； ③31a c +<；④若()()12,,M x y N x y 、是抛物线上不同的两个点，则121x x +=-． 其中正确的结论有．三、解答题15．先化简，再求值：21111x x x -⎛⎫-⋅⎪+⎝⎭，其中1x = 16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，C e 经过点O ，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为 0,4 ，M 是圆上一点，135BMO ∠=︒．(1)求ABO ∠的度数． (2)圆心C 的坐标为______．17．有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米．求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？18．函数21115424y x x =-++的图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)方程211150424x x -++=的两个根为1x =______，2x =______；(2)当0y >时，则x 的取值范围为______；当32x -<<时，自变量y 的取值范围为______； (3)若方程21115424x x k -++=有实数根，k 取值范围是______．19．如图，已知AB 是O e 的直径，弦AC 平分DAB ∠，过点C 作直线CD ，使得CD AD ⊥于D ．(1)求证：直线CD与Oe相切；(2)若3AD=，AC=AB的长．20．图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A B、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形．(1)在图①中，作ABCV，使其面积为32；(2)在图②中，作ABD△，使其面积为2；(3)在图③中，作四边形ABEF，使其是轴对称图形且面积为3．21．“绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题：(1)甲品牌共享电动车每分钟收费_____________元．(2)当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式．(3)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20/hkm，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为6km ，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱． 22．【问题原型】如图1，线段AB 是O e 一条弦，2AB =，点D 在O e 上，30ADB ∠=︒，求O e 的半径长．小元的解法如下，请你帮他补全适当的理由：解：连结BO 并延长交O e 于点C ，连结AC ，BC Q 为O e 直径，点A 在圆上，90CAB ∴∠=︒，（______）»»AB AB =Q ，30ACB ADB ∴∠=∠=︒，（______）∴在Rt ABC △中，30ACB ∠=︒， 1sin 2C ∴∠=， 12AB BC =∴． 2AB =Q ．4BC ∴=， 2OB ∴=．即O e 的半径长为2． 【逆向思考】如图2，线段AB 是O e 一条弦，若C 、D 在AB 的异侧，60ADB ∠=︒，O e 的半径为1，求弦AB 的长．【模型应用】如图3，P 为ABC V 边BC 上一点，以AP 为直径作圆，交直线AB 于点E ，交直线AC 于点F ，连结EF ．30B ∠=︒，15C ∠=︒，AB x =，则线段EF 的最小值为______（有含x 的代数式表示）．23．如图，在ABC V 中，7AB =，5AC =，3tan 4A ∠=，点P 为边AC 上一点，当点P 不与点A 重合时，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，以PQ 为边向右侧作正方形PQMN ．(1)tan B ∠=______；(2)当QBC △是等腰直角三角形时，求线段AP 的长； (3)连接BN ，求线段BN 的最小值；(4)连接PM QC 、，设线段PM 与线段QC 交点为O ，当点O 为线段QC 的三等分点时，直接写出此时的线段AP 的长．24．在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++（b c 、为常数）经过点()0,3-和点()3,0，点P 是抛物线上一动点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴垂线交直线2y x =于点Q ，分别作点P Q 、关于y 轴的对称点N M 、，构造矩形PQMN ．(1)求此二次函数的解析式．(2)当抛物线顶点落在矩形PQMN的边上时，求矩形PQMN的面积．(3)当抛物线在矩形内部的图象y随x的增大而减小时，求m的取值范围．(4)抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出m的值．。
2020年吉林省第二实验学校中考二模试卷初中数学
2020年吉林省第二实验学校中考二模试卷初中数学一.选择题(每题3分，共24分)1．在0，－1，1，2这四个数中，最小的数是〔〕A．－1 B．0 C．1 D．22．以下各电视台的台标中，是中心对称图形的是〔〕3．M()-23，，那么点M关于x轴对称的点的坐标是( )A、〔－2，－3〕B、〔2，3〕C、〔2，－3〕D、〔3，－2〕4．以下一组几何体的俯视图是以下图中的( )5、把不等式组110xx+⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上，正确的选项是〔〕A B C D6、全体学生年龄的频数分布直方图．依照图中提供的信息，全班学生年龄的众数和中位数分不为〔〕．A．14，15 B．15，15C．14，14 D．15，147．如图，点A的坐标为〔1，0〕，点B在直线y=－x 上运动，当线段AB最短时，点-1 1 -1 1 1ABO xyB 的坐标为〔 〕 A ．〔0，0〕 B ．〔21,21-〕 C ．〔22,22-〕 D ．〔21,21- 〕 8．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，⊙A 的半经为2，假设以C 为圆心作一个圆，使⊙C 与⊙A 相切，那么⊙C 的半经为：( )A ．11B ．12C ．15D ．11或15 二．填空题〔每题3分，共18分〕9．2007年3月5日，温家宝总理在政府工作报告中讲到，全部免除西部地区和部分中部地区农村义务教育时期5200 0000名学生的学杂费，全部免除学杂费的学生人数用科学记数法表示为 名。
10．分解因式： 32x －27＝ ．11．如图是一个正方体的展开图，假如正方体相对的面上标注的数相等，那么x+y= .12．如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，假设∠B=55°，那么∠BDF= 。
13、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 差不多上⊙O 上一点，那么∠C+∠D= ； 14．一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的41，估量步行不能准时到达，因此他改乘出租车赶往考场，他的行程与时刻关系如下图，那么他到达考场所花的时刻比一直步12题C DEO2xy8 8810ABCD行提早了分钟三．解答题〔每题5分，共20分〕 15．：a =2，求〔1+11 a 〕·〔a 2－1〕值． 16．北京2018奥运会吉祥物是〝贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮〞，如图，现将3张分不印有〝欢欢、迎迎、妮妮〞这3个吉祥物图案的卡片〔卡片的形状大小一样，质地相同〕放入盒子。
2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级(下)第二次月考数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年吉林省第二实验学校九年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1. (−3)2的值是( )A. −9B. 9C. −6D. 62. 据统计，2020年1至2月份，全国减税降费共计402700000000元，分别来自2020年新出台支持疫情防控和经济社会发展的税费优惠策和2019年更大规模减税降费政策在2020年继续实施形成的减税降费.其中402700000000用科学记数法表示为( )A. 4.027×1011B. 40.27×1010C. 0.4027×1012D. 4.027×10103. 如图，图①和图②均是由6个相同的小正方体组成的立体图形，则下列说法正确的是( )A. 主视图相同B. 俯视图相同C. 左视图相同D. 主视图、俯视图、左视图都不相同4. a 8可以表示为( )A. a 2⋅a 4B. a 4+a 4C. (a 2)4D. a 16÷a 2(a ≠0)5. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.它记载一问题如下；“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x 人，买此物的钱数为y ，依题意可列方程组为( )A. {8x +3=y7x +4=yB. {8x −3=y7x −4=yC. {8x +3=y7x −4=yD. {8x −3=y7x +4=y6.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.则∠ACD的大小为()A. 60°B. 75°C. 65°D. 70°7.如图，将一张平行四边形纸片撕开并向两边水平拉伸，若拉开的距离为lcm，AB=2cm，∠B=60°，则拉开部分的面积(即阴影面积)是()A. 1cm2 B. √32cm2 C. √3cm2 D. 2√3cm2 8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴.函数y=kx (k>0,x>0)经过OA的中点D，且与AB交于点C，则ACBC的值为()A. 32B. 3 C. 34D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.分解因式：a2−4a=______．10.使不等式−x+2>3成立的x的值可以是______ (写出一个即可)．11.如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为12.17米.从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为α，则AC的长为______ 米(用三角函数表示)．12.如图，在平面直角坐标系中，A(−2,3)、B(−2,1).经过原点的某条直线将△AOB的面积分成相等的两部分，则该直线所对应的函数表达式为______ ．13.如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，将剪下的部分展开，得到一个四边形根据图中所给数据，剪下部分展并得到的四边形的面积为______ ．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=−x2+2和抛物线C2：y=x2+2x相交于点A、B(点A在点B的左侧)，P是抛物线C2：y=x2+2x上AB段的一点(点P不与A、B重合)，过点P作x轴的垂线交抛物线C1：y=−x2+2于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN.设点P的横坐标为m，当正方形的四个顶点分别落在四个不同象限时，m的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共80.0分）15.先化简，再求值：(xx+1+x21−x2)÷x2+xx2+2x+1，其中x=1−√2．16.一个不透明口袋中有3个小球小球上分别标有−1、2、3三个数字，小球除所标数字不同外其余都相同.小明同学从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图或列表的方法，求第一次与第二次摸出的小球的数字之差为负数的概率．17.甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．18.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC平分∠BAD，∠ADC=90°．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AB=6，∠ACD=40°，则AC⏜的长度为______ ．19.图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．(1)在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD=______ ；(2)在图②中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE=______ ．20.2020年初，受新冠肺炎疫情的影响，全国各中小学都采取了线上学习方式.为了解九年级学生网上学习的效果，甲、乙两个学校同时参加了一次相同的网上测试，记录成绩(百分制).分别从甲、乙两所学校随机抽取了20名学生的测试成绩，数据如下(百分制)：甲：63709584758278788696921005289888484929084乙：759585938592848996984686771001006850857869整理上面的数据，得到表格如下：测试成绩(分)x<6060≤x≤7070<x≤8080<x≤9090<x≤100甲12395乙22367样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：统计量平均数中位数众数甲83.1m84乙82.485.5n根据以上信息，解答下列问题：(1)表中的m=______ ，n=______ ；(2)若甲学校共有500名学生，请用样本中的数据估计甲学校共有多少人的测试成绩达到优秀(规定：测试成绩≥85分为优秀)；(3)根据以上数据推断一所你认为成绩较好的学校，并说明理由.(至少从两个不同的角度结合数据说明推断的合理性)21.一个蓄水池有甲、乙两个注水管和一个排水管丙，三个水管均已关闭，已知乙注水管的注水速度为10升/分.先打开乙注水管4分钟，再打开甲注水管，甲、乙两个水管均注水20分钟.设甲注水管的工作时间为x(分)，甲注水管的注水量y(升)与时间x(分)的函数图象为线段OA，乙注水管的注水量y(升)与时间x(分)的函数图象为线段BC，如图所示．(1)求甲注水管的总注水量；(2)求线段BC所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)乙注水管打开的16分钟后，打开丙出水管.已知出水管丙的排水速度为20升/分，求丙出水管打开多长时间能将蓄水池的水排空．22.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103−104页的部分内容．如图24.2.1，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半．下面让我们用演绎推理证明这一猜想．已知：如图24.2.2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，求证：AB．CD=12定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．定理应用：(1)如图②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D(点D在BC上)，CE 是AB边上的中线，DG垂直平分CE.求证：∠B=2∠BCE；(2)在(1)条件下，若BF⊥AC于点F，连接DE、EF、FD.当△DEF是等边三角形，且BD=3，AF=1时，△DEF的周长为______ ．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4√3，D为AB的中点，动点P从点B出发以每秒2√3个单位向终点A匀速运动(点P不与A、D、B重合)，过点P作AB的垂线交折线AC−BC于点Q.以PQ、PD为邻边构造矩形PQMD.设矩形PQMD，设矩形PQMD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t 秒．(1)直接写出PD的长(用含t的代数式表示)．(2)当点M落在△ABC的边上时，求t的值．(3)当矩形PQMD与△ABC重叠部分图形不是矩形时，求S与t的函数关系式.并写出t 的取值范围．(4)沿直线CD 将矩形PQMD 剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合条件的t 的值．24. 函数y ={x 2−2x −a(x ≥a),−x 2−2x +a(x <a)(a 为常数)． (1)求点(1,1)在函数图象上，求a 的值．(2)当a =2时，若直线y =m(m 为常数)与函数恰好有三个交点时，设三个交点的横坐标从左至右依次为x 1、x 2、x 3，求x 1+x 2+x 3的取值范围．(3)已知A(12,2)、B(4,2).若函数图象与线段AB 有两个交点时，求a 的取值范围． (4)当2a ≤x ≤2a +1时，函数值y 满足a −1≤y ≤5，直接写出a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【知识点】有理数的乘方【解析】解：(−3)2=9．故选B．根据乘方的性质即可求解．本题考查了乘方的性质，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；−1的奇数次幂是−1，−1的偶数次幂是1．2.【答案】A【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：402700000000=4.027×1011．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【知识点】简单组合体的三视图【解析】解：图①的主视图，底层是三个小正方形，上层的左边是两个小正方形；图②的主视图，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；故选项A不合题意；图①的俯视图，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形；图②的俯视图，底层左右两边各一个小正方形，上层是三个小正方形；故选项B不合题意；图①和图②的左视图相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故选项C符合题意．故选：C．根据三视图解答即可．本题考查了几何体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．4.【答案】C【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 【解析】解：A 、a 2⋅a 4=a 6，故本选项不合题意； B 、a 4+a 4=2a 4，故本选项不合题意； C 、(a 2)4=a 8，故本选项符合题意； D 、a 16÷a 2=a 14，故本选项不合题意． 故选：C ．分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．5.【答案】D【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】 【分析】设有x 人，买此物的钱数为y ，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【解答】解：设有x 人，买此物的钱数为y ，由题意得： {8x −3=y 7x +4=y ， 故选：D ．6.【答案】B【知识点】线段垂直平分线的概念及其性质【解析】解：由尺规作图可知，线段BC 的垂直平分线交AB 于D ， ∴DC =DB ，∴∠DCB =∠B =30°， ∵∠A =45°，∠B =30°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=105°，∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=75°，故选：B．根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7.【答案】C【知识点】平行四边形的性质【解析】解：由平行四边形的一边AB=2cm，∠B=60°，可知平行四边形的高为：ℎ=2sinB=√3cm．设拉开后平行四边形的长为acm，拉开前平行四边形的长为bcm，则a−b=1cm，则拉开部分的面积为：S=aℎ−bℎ=(a−b)ℎ=1×√3=√3cm2．故选：C．可设拉开后平行四边形的长为a，拉开前平行四边形的面积为b，则a−b=1cm；根据三角函数的知识可求出平行四边形的高，接下来结合平行四边形的面积公式计算即可．本题主要考查平行四边形的性质，解答本题的关键是采用大面积减小面积的方法进行不规则图形面积的计算．8.【答案】B【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】解：连接OC，过D作DE//AB，交x轴于E，∵∠ABO=90°，函数y=kx(k>0,x>0)经过OA的中点D，∴S△DOE=S△BOC=12k，∵DE//AB，∴△ODE∽△OAB，∴S△ODES△OAB =14，∴S△AOCS△BOC=3，∵S△AOCS△BOC =12AC⋅OB12BC⋅OB=ACBC，∴ACBC=3，故选：B．利用反比例函数k的几何意义得到S△DOE=S△BOC=12k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，即可求得S△AOCS△BOC=3，根据三角形面积公式可得结论．本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．9.【答案】a(a−4)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：a2−4a=a(a−4)．故答案为：a(a−4)．由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解．本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．10.【答案】−2【知识点】一元一次不等式的解法【解析】解：−x+2>3，−x>3−2，∴x<−1，故答案为：−2(答案不唯一)．利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的数即可．本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．11.【答案】10sinα【知识点】解直角三角形的应用【解析】解：由题意知，DE=AB=2.17米，∴CE=CD−DE=12.17−2.17=10(米)．在Rt△CAE中，∠CAE=α，sin∠CAE=CEAC，∴AC=CEsinα=10sinα(米)．故答案为：10sinα．在Rt△CAE中，利用CD、DE的长和已知的角的度数，利用正弦函数可求得AC的长．本题考查解直角三角形的应用−俯角仰角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．12.【答案】y=−x【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式【解析】解：设AC的中点为C，如图，则直线OC平分△AOB的面积，设直线OC的解析式为y=kx，∵A(−2,3)、B(−2,1)，∴C(−2,2)，把C(−2,2)代入y=kx得−2k=2，解得k=−1，∴直线OC的解析式为y=−x，即该直线所对应的函数表达式为y=−x．故答案为y=−x．设AC的中点为C，如图，根据三角形面积公式可判断直线OC平分△AOB的面积，设直线OC的解析式为y=kx，利用线段中点坐标公式得到C(−2,2)，然后利用待定系数法求出直线OC的解析式即可．本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．13.【答案】24【知识点】剪纸问题【解析】解：如图，由题意，AO=3，AB=5，∠AOB=90°，∴OB=√AB2−AO2=√52−32=4，∵剪下部分展开得到的四边形是菱形，菱形的对角线分别为6，8，∴菱形的面积=12×6×8=24，故答案为：24．剪下部分展开得到的四边形是菱形，求出菱形的对角线的长，可得结论．本题考查剪纸问题，矩形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14.【答案】−1−√174<m<0【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质【解析】解：由题意得点P在第三象限，设点P横坐标为m，则点P坐标为(m,m2+2m)，点Q横坐标与点P横坐标相同为m，则点Q坐标为(m,−m2+2)，∵点P在第三象限，点Q在第二象限，∴{m2+2m<0−m2+2>0，解得−√2<m<0，∵PQ=−m2+2−(m2+2m)=−2m2−2m+2，∴点M，N横坐标为m+(−2m2−2m+2)=−2m2−m+2，∵点M，N在y轴右侧，∴−2m2−m+2>0，解得−1−√174<m<−1+√174，∴−1−√174<m<0满足题意．故答案为：−1−√174<m<0．设点P横坐标为m，用含m代数式表示出PQ与点M，N的横坐标，由点P在第三象限，点Q在第二象限，M，N在y轴右侧列不等式求解．本题考查二次函数与图形的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．15.【答案】解：(xx+1+x21−x2)÷x2+xx2+2x+1=(xx+1−x2x2−1)÷x(x+1)(x+1)2 =x(x−1)−x2(x+1)(x−1)⋅(x+1)2x(x+1)=−x(x+1)(x−1)⋅x+1x=−1x−1，当x=1−√2时，原式=−(1−√2)−1=√22．【知识点】分式的化简求值【解析】先算括号内的加法，变形除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．16.【答案】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中第一次与第二次摸出的小球的数字之差为负数的有3种情况，∴第一次与第二次摸出的小球的数字之差为负数的概率是39=13．【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次与第二次摸出的小球的数字之差为负数的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是(x−10)千米/时，依题意得：450x =400x−10解得x=90经检验：x=90是原方程的解x−10=80答：甲的速度是90千米/时，乙的速度是80千米/时．【知识点】分式方程的应用【解析】设甲的速度是x千米/时，那么乙的速度是(x−10)千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．本题考查理解题意能力，关键是以时间做为等量关系，根据时间=路程速度，列方程求解．18.【答案】43π【知识点】弧长的计算、切线的判定与性质、圆周角定理【解析】(1)证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD//OC，∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵∠ACD=40°，∴∠ACO=90°−∠ACD=90°−40°=50°，∴∠AOC=180°−2∠ACO=80°，∵AB=6，∴OC=3，∴AC⏜的长为80π×3180=43π．故答案为：43π．(1)连接OC，根据角平分线定义得∠DAC=∠OAC，而∠OAC=∠OCA，则∠DAC=∠OCA，所以可判断AD//OC，由于AD⊥DC，则OC⊥DC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；(2)求出∠AOC=80°，由弧长公式可得出答案．本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．19.【答案】6 92【知识点】尺规作图与一般作图、三角形的面积【解析】解：(1)如图，四边形ABCD即为所求作，S四边形ABCD =12×2×3+12×2×3=6．故答案为：6．(2)如图，四边形ABCE即为所求作，S四边形ABCE =12×2×3+12×1×3=92．故答案为：92．(1)根据要求作出图形，利用分割法求出面积．(2)根据要求画出图形，利用分割法求出面积．本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】84 85【知识点】用样本估计总体、中位数、频数(率)分布表、众数【解析】解：(1)将甲班成绩重新排列为：52，63，70，75，78，78，82，84，84，84，84，86，88，89，90，92，92，95，96，100，所以甲的中位数m=84+842=84，乙成绩的众数n =85， 故答案为：84、85；(2)估计甲学校测试成绩达到优秀的人数为500×920=225(人)； (3)乙学校成绩较好，理由：乙班成绩的中位数大于甲班且乙班成绩在90分以上人数多于甲班． (1)将甲班成绩重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可； (2)用总人数乘以样本中甲学校成绩达到优秀人数所占比例即可； (3)答案不唯一，合理均可．考查平均数、中位数、众数意义和求法，理解各个统计量的意义，掌握平均数、众数、中位数的求法是解决问题的前提．21.【答案】解：(1)由题意可得，10×(4+8)÷8×20 =10×12÷8×20=300(升)，即甲注水管的总注水量是300升； (2)由题意可得，点B 的纵坐标是10×4=40，横坐标是0；点C 的纵坐标是10×20=200，横坐标是16；∴点B 的坐标为(0,40)，点C 的坐标为(16,200)， 设线段BC 所对应的函数关系式是y =kx +b ， {b =4016k +b =200，解得{k =10b =40， 即线段BC 所对应的函数关系式是y =10x +40(0≤x ≤16)； (3)设丙出水管打开a 分钟能将蓄水池的水排空， 20a =10×20+300， 解得a =25，即丙出水管打开25分钟能将蓄水池的水排空．【知识点】一次函数的应用【解析】(1)根据题意和图象中的数据，可以计算出甲注水管的总注水量；(2)根据题意和函数图象，可以得到点B 和点C 的坐标，从而可以求得段BC 所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)根据题意，可知用进水总量除以丙的排水速度，即可得到丙出水管打开多长时间能将蓄水池的水排空．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】9【知识点】线段垂直平分线的概念及其性质、直角三角形斜边上的中线、等边三角形的性质【解析】解：定理证明：延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，CE，则CD=12∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=BD，∴四边形ACBE是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴▱ACBE是矩形，∴CE=AB，AB；∴CD=12(1)连接DE，∵CE是AB边上的中线，∴AE=BE，∵AD⊥BC，AB=AE=BE，∴DE=12∴∠B=∠BDE，∵DG垂直平分CE，∴DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠BDE=2∠BCE，∴∠B=2∠BCE；(2)由(1)得DE=BE，∵DG垂直平分CE，∴DE=DC，EF=CF，∵△DEF是等边三角形，∴EF=DF=DE，∠EDF=60°，∴DF=CF=CD，∴△CDF是等边三角形，∴∠CDF=60°，∴∠BDE=180°−∠CDF−∠EDF=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD=3，∴等边△DEF的周长为9，故答案为：9．定理证明：延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，证得四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；(1)连接DE，由线段线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得∠DEC=∠BCE，由直角三角形斜边的中线和等腰三角形的性质证得∠B=∠BFE，根据三角形外角定理及等量代换即可证得结论；(2)证得△BDE和△CDF都是等边三角形，即可求得结果．本题考查了直角三角形的性质、线段线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵AB=4√3，D为AB的中点，∴BD=2√3，P到D运动时间为1s，∴PD=2√3−2√3t(0<t<1)或PD=2√3t−2√3(1<t<2)．(2)如图，∵∠ABC=30°，=2，∴PQ=MD=BD⋅tan30°=2√3×√33又∵AP=AB−BP=4√3−2√3t，∴在Rt△APQ中，∠A=60°，tan60°=PQAP =24√3−2√3t=√3，解得t=53．(3)如图，当1<t≤32时，DM交BC于点F，∵QM//AB，∴∠FQM=∠B=30°，又∵PD=QM=2√3t−2√3，∴MF=QM⋅tan∠FQM=PD⋅tan30°=(2√3t−2√3)×√33=2t−2．∴S△FQM=12QM⋅FM=12(2√3t−2√3)(2t−2)=2√3t2−4√3t+2√3．∵PQ=BP⋅tan30°=√33×2√3t=2t，∴S矩形PQMD=PQ⋅PD=2t(2√3t−2√3)=4√3t2−4√3t，∴S=S矩形PQMD−S△FQM=4√3t2−4√3t−(2√3t2−4√3t+2√3)=2√3t2−2√3．如图，当32<t<53时，DM，QM分别交BC于点F，E，∵AP=AB−BP=4√3−2√3t，∠A=60°，∴PQ=DM=AP⋅tan60°=√3(4√3−2√3t)=12−6t．DF=BD⋅tan30°=2√3×√33=2，∴MF=DM−DF=10−6t，∵EM//AB，∴∠FEM=∠B=40°，∠EFM=60°，EM =FM ⋅tan60°=√3(10−6t)=10√3−6√3t. ∴S △FEM =12FM ⋅EM =12(10−6t)(10√3−6√3t)=18√3t 2−60√3t +50√3， S 矩形PQMD =PQ ⋅PD =(12−6t)(2√3t −2√3)=−12√3t 2+36√3t −24√3， ∴S =S 矩形PQMD −S △FEM =−30√3t 2+96√3t −74√3，综上所述，S ={2√3t 2−2√3(1<t ≤32)−30√3t 2+96√3t −74√3(32<t <53)． (4)如图，①Q 与C 重合时满足题意，t =32．②点Q 落在AC 上时，QM 交CD 与点N ，∵MN//AB ，∴△CNQ∽△CDA ，△CMN∽△CBD ，∴NQ DA =CN CD ，MN BD =CN CD ， ∴NQDA =MN BD ，又∵D 为AB 中点，AD =BD ，∴NQ =MN ，由(2)问可知t =53．③当CD 经过PQ 中点K 时，∵CD 为直角三角形ACB 的中线，∴DC =DB ，∴∠DCB =∠B =30°，∴∠PDK60°，∴tan60°=PK PD =12PQ PD =2√3t−2√3=√3， 解得t =65．综上所述，t =32或53或65．【知识点】四边形综合【解析】(1)分类讨论点P 在BD 与AD 上两种情况．(2)数形结合，通过相似三角形的性质求解．(3)分类讨论点P 在BD 与AD 上两种重叠部分图形不是矩形的情况，利用三角函数求解．(4)CD 为矩形对角线或CD 所在直线经过矩形一边中点满足题意，通过数形结合求解． 本题考查图形动点问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与矩形的性质，掌握三角函数解题技巧． 24.【答案】解：(1)若1≥a ，则将(1,1)代入y =x 2−2x +a ，得：1=1−2−a ，解得：a =−2，成立，∴a 的值为−2或4；(2)当a =2时，y ={x 2−2x −2(x ≥2)−x 2−2x +2(x <2)， y =x 2−2x −2的对称轴为x =−−22×1=1，∵x ≥2，∴该图象对称轴仅有右半支的一部分，x =2时，y =4−4−2=−2，y =−x 2−2x +2的对称轴为x =−−22×(−1)=−1，∵x <2，∴该图象对称轴两侧均有图象，x =2时，y =−4−4+2=−6，x =−1时，y =−1+2+2=3，在y =x 2−2x −2上，令y =3，得x 2−2x −2=3，解得：x 1=1−√6(舍去)，x 2=1+√6，若直线y =m(m 为常数)，与函数恰好有三个交点时，则m ≥−2，∴x 1+x 22=−1，即x 1+x 2=−2，1+√6≥x 3≥2，∴−2+1+√6≥x 1+x 2+x 3≥−2+2，∴0≤x 1+x 2+x 3≤−1+√6；(3)若a >0，此时两段抛物线各有一个交点，将A(12,2)代入y =−x 2−2x +a ，解得：a =134，若y =−x 2−2x +a 与AB 有交点，则a ≥134，在y =x 2−2x −a(x ≥a)上，若x =a 时，y =2，则2=a 2−2a −a ，解得：a =3+√172或a =3−√172，若y =x 2−2x −a(x ≥a)与AB 有交点，则3−√172≤a ≤3+√172， ∴134≤a ≤3+√172；若a <0，此时y =x 2−2x −a 需与AB 有2个交点，将A(12,2)代入y =x 2−2x −a ，解得：a =−114，由对称轴为直线x =−−22×1=1，可知，若y =x 2−2x −a 需与AB 有2个交点， 则当y =2时，2=x 2−2x −a ，即x 2−2x −a −2=0，则(−2)2−4×1×(−a −2)>0，解得：a >−3，∴−3<a <−114；综上所述，134≤a ≤3+√172或−3<a <−114；(4)当a>0时，2a≤x≤2a+1在x≥a范围，x=1，y=1−2−a=−1−a，令x=2a，则y=4a2−4a−a=4a2−5a，∴4a2−5a≥a−1，解得：a≤3−√54(舍去)或a≥3+√54，令x=2a+1，则y=4a2+4a+1−4a−2−a=4a2−a−1，∴4a2−a−1≤5，解得：1−√978≤a≤1+√978，∴3+√54≤a≤1+√978，当a≤0时，x=−1，y=−1+2+a=a+1，满足范围，因此x=2a和x=2a+1时，y≥a−1，在y=−x2−2x+a中，令x=2a，则y=−4a2−4a+a=−4a2−3a，∴−4a2−3a≥a−1，解得：−√2+12≤a≤√2−12，令x=2a+1，则y=−4a2−4a−1−4a−2+a=−4a2−7a+3，∴−4a2−7a+3≥a+1，恒成立，∵a≤0，∴−√2+12≤a≤0；综上所述，3+√54≤a≤1+√978或−√2+12≤a≤0．【知识点】一次函数综合【解析】(1)分1≥a和1<a两种情况讨论，分别将(1,1)代入对应的解析式求解即可；(2)当a=2时，若直线y=m(m为常数)与函数恰好有三个交点，则y=x2−2x−2与直线有2个交点，即可得到x1+x2=−2，且直线位于y=x2−2x−2顶点的下方，从而确定了m的范围，即可求得1+√6≥x3≥2，从而得到结果；(3)分情况讨论，当a>0，此时两段抛物线各有一个交点，若a<0，此时y=x2−2x−a 需与AB有2个交点，据此进行计算即可；(4)分别讨论a>0和a≤0两种情况，分别计算当x=2a，x=2a+1时y的值，然后计算判断范围即可．本题考查了二次函数图象和性质，是一道难度较大的关于二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．。
吉林初三初中数学月考试卷带答案解析
吉林初三初中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.用4个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的主视图是（）2.下列式子中与2ab2是同类项的是（）A．3ab B．2b2C．ab2D．a2b3.不等式1-2x≤5的解集在数轴上表示为（）4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=130°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．125°C．115°D．150°5.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若AD=3，则AE的长为（）A．B．C．D．二、填空题1.2015年长春第四届交通之声年末百姓购车节于12月11日-13日在长春国际会展中心举行，据统计，这三天共销售各种车辆约3500台，数据3500用科学记数法表示为．2.某水果批发商购进一批苹果，共a箱，每箱b千克，若将这批苹果的放在大商场销售，则放在大商场销售的苹果有千克（用含a、b的代数式表示）．3.一副三角尺如图所示放置，使三角尺的30°角的顶点重合，且两直角三角尺的斜边重合，直角顶点在斜边的两侧，则∠1的度数是．4.点P在平面直角坐标系的位置如图所示，将点P向下平移a个单位得点P′，若点P′到x轴和y轴的距离均相等，且点P′在第三象限，则a的值是．5.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则= ．6.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是．7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-3）2+2（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线y=-x2-2于点B，则A、B两点间的距离为．8.已知在网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由一条对角线和以格点为圆心，半径为2的圆弧围成的弓形．（1）图1中阴影部分的面积是（结果保留π）；（2）请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称，平移或旋转设计一个轴对称的花边图案（要求至少含有两种图形变换）．三、计算题计算：（-1）2016+sin45°+（+2）（-2）．四、解答题1.解方程：3x2-x-1=0．2.在一个不透明的袋子里装有3个乒乓球，分别标有数字1，2，3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同．先从袋子里随机摸出1个乒乓球，记下标号后放回，再从袋子里随机摸出1个乒乓球记下标号，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率．3.甲、乙两个工程队准备铺设一条长650米的地下供热管道，由甲乙两个工程队从两端相向施工，甲队每天铺设48米，乙队比甲队每天多铺设22米，如果乙队比甲队晚开工1天，那么乙队开工多少天，两队能完成整个铺设任务的80%？4.某课外活动小组借助如图所示的直角墙角（两边足够长）用篱笆围成矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC两边，已知篱笆长为30m，篱笆围成的矩形ABCD的面积为225m2，求边AB的长．5.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点．（1）若AB=6，求PM的长；（2）若∠PMN=20°，求∠MPN的度数．6.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们的测量数据计算这棵树的高度．7.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E，且BE=6cm，求AB的长．8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y=的图象上，点D的坐标为（-4，-3），边CD与x轴交于点E．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当点D落在函数y=的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．9.如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，OA=4，AB=3，动点M从点A出发，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点N到OA的距离；（2）设△OMN的面积是S，求S与t之间的函数表达式；当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）2-4a（a＞0）交x轴于A、B两点，点A在点B的左边，其顶点为点C，一条开口向下的抛物线经过A、B、D三点，其顶点D在x轴上方，且其纵坐标为3，连接AC、AD、CD．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线所对应的函数表达式；（3）当△ACD为等腰三角形时，求a的值；（4）将线段AC绕点A旋转90°，若点C的对应点恰好落在（2）中的抛物线上，直接写出a的值．吉林初三初中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.用4个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的主视图是（）【答案】A.【解析】试题解析：根据从正面看得到的图形是主视图是选项A.故选A.【考点】简单组合体的三视图．2.下列式子中与2ab2是同类项的是（）A．3ab B．2b2C．ab2D．a2b【答案】D.【解析】试题解析：与2ab2是同类项的是a2b.故选D.【考点】同类项.3.不等式1-2x≤5的解集在数轴上表示为（）【答案】B.【解析】试题解析：解不等式1-2x≤5得：x≥-2.在数轴上表示为：故选B.【考点】1.解一元一次不等式；2.在数轴上表示不等式的解集.4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=130°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．125°C．115°D．150°【答案】C．【解析】试题解析：∵弧BCD对的圆周角是∠A，圆心角是∠BOD，∠BOD=130°，∴∠A=∠BOD=65°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=115°，故选C．【考点】圆周角定理．5.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若AD=3，则AE的长为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】试题解析：∵DE∥BC∴又∵AB=4，AC=3，AD=3，∴解得：AE=故选C.【考点】平行线分线段成比例.二、填空题1.2015年长春第四届交通之声年末百姓购车节于12月11日-13日在长春国际会展中心举行，据统计，这三天共销售各种车辆约3500台，数据3500用科学记数法表示为．【答案】3.5×103．【解析】试题解析：3500用科学记数法表示为 3.5×103，【考点】科学记数法—表示较大的数．2.某水果批发商购进一批苹果，共a箱，每箱b千克，若将这批苹果的放在大商场销售，则放在大商场销售的苹果有千克（用含a、b的代数式表示）．【答案】.【解析】试题解析：由题意得：这批苹果共有ab千克，则苹果的就是：千克．【考点】列代数式．3.一副三角尺如图所示放置，使三角尺的30°角的顶点重合，且两直角三角尺的斜边重合，直角顶点在斜边的两侧，则∠1的度数是．【答案】135°【解析】试题解析：如图，由三角板的特点可知，∠A=90°，∠ACB=45°，∠1=∠A+∠ACB=90°+45°=135°【考点】三角形的外角性质．4.点P在平面直角坐标系的位置如图所示，将点P向下平移a个单位得点P′，若点P′到x轴和y轴的距离均相等，且点P′在第三象限，则a的值是．【答案】6.【解析】试题解析：由图得知：P（-2，4），∵将点P向下平移a个单位得点P′，∴P′（-2，4-a），∵点P′到x轴和y轴的距离均相等，且点P′在第三象限，∴4-a=-2，∴a=6【考点】坐标与图形变化-平移．5.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则= ．【答案】.【解析】试题解析：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，∴△ABC与△DEF位似的位似比为：，即=．【考点】位似变换．6.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是．【答案】.【解析】试题解析：连接AC，由网格特点和勾股定理可知，AC=，AB=2，BC=，AC2+AB2=10，BC2=10，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∴sin∠ABC=.【考点】1.锐角三角函数的定义；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理．7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-3）2+2（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线y=-x2-2于点B，则A、B两点间的距离为．【答案】7.【解析】试题解析：∵抛物线y=a（x-3）2+2（a＞0）的顶点为A，∴A（3，2）∵过点A作y轴的平行线交抛物线y=-x2-2于点B，∴B点的横坐标为3.把x=3代入y=-x2-2得y=-5，∴B（3，-5）∴AB=2+5=7.【考点】二次函数图象上点的坐标特征.8.已知在网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由一条对角线和以格点为圆心，半径为2的圆弧围成的弓形．（1）图1中阴影部分的面积是（结果保留π）；（2）请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称，平移或旋转设计一个轴对称的花边图案（要求至少含有两种图形变换）．【答案】（1）π-2；（2）答案见解析.【解析】（1）直接利用阴影部分所在的扇形减去所在三角形的面积即可得出答案；（2）利用基本图形结合轴对称以及旋转、平移得出符合题意的图形.试题解析：（1）图中的阴影部分面积为：×2×2=π-2；（2）如图2所示：答案不唯一．【考点】利用轴对称设计图案三、计算题计算：（-1）2016+sin45°+（+2）（-2）．【答案】． 【解析】根据幂的乘方、特殊角的三角函数值、平方差公式对原式化简再合并同类项即可解答本题．试题解析：（-1）2016+sin45°+（+2）（-2）=1++（3-4） =1+-1 =．【考点】1.二次根式的混合运算；2.特殊角的三角函数值．四、解答题1.解方程：3x 2-x-1=0．【答案】x 1=，x 2=．【解析】利用求根公式x=进行解答即可． 试题解析：3x 2-x-1=0，∵a=3，b=-1，c=-1 ∴△=b 2-4ac=13，则x=， 解得x 1=，x 2=．【考点】解一元二次方程-公式法．2.在一个不透明的袋子里装有3个乒乓球，分别标有数字1，2，3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同．先从袋子里随机摸出1个乒乓球，记下标号后放回，再从袋子里随机摸出1个乒乓球记下标号，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率．【答案】．【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．试题解析：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的有5种情况，∴两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率为：．【考点】列表法与树状图法．3.甲、乙两个工程队准备铺设一条长650米的地下供热管道，由甲乙两个工程队从两端相向施工，甲队每天铺设48米，乙队比甲队每天多铺设22米，如果乙队比甲队晚开工1天，那么乙队开工多少天，两队能完成整个铺设任务的80%？【答案】乙队开工4天两队能完成整个铺设任务的80%．【解析】设乙队开工x 天两队能完成整个铺设任务的80%，根据题意所述等量关系得出方程，解出即可． 试题解析：设乙队开工x 天两队能完成整个铺设任务的80%，由题意得，甲队每天铺设48米，乙队每天铺设70米，则48（x+1）+70x=650×80%，解得：x=4．答：乙队开工4天两队能完成整个铺设任务的80%．【考点】一元一次方程的应用．4.某课外活动小组借助如图所示的直角墙角（两边足够长）用篱笆围成矩形花园ABCD ，篱笆只围AB 、BC 两边，已知篱笆长为30m ，篱笆围成的矩形ABCD 的面积为225m 2，求边AB 的长．【答案】边AB 的长为15m ．【解析】根据长方形的面积公式得出长×宽=225列出方程，求出x 的值即可得出答案．试题解析：设边AB 的长为xm ，根据题意得：x （30-x ）=225，解得：x 1=x 2=15，答：边AB 的长为15m ．【考点】一元二次方程的应用．5.如图，在四边形ABCD 中，AB=DC ，P 是对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点．（1）若AB=6，求PM 的长；（2）若∠PMN=20°，求∠MPN 的度数．【答案】（1）3；（2）140°．【解析】（1）由题意可知PM 是△ADC 的中位线，进而可求出MP 的长；（2）易证△PMN 是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求出∠MPN 的度数．试题解析：（1）∵AB=DC ，AB=6，∴DC=6， ∵点P 是AC 的中点，点M 是AD 的中点，∴PM=DC=×6=3；（2）∵点P 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，∴PN=BC ，∵AB=DC ， ∴PM=PN ， ∴∠PNM=∠PMN=20°， ∴∠MPN=180°-∠PMN-∠PNM=140°．【考点】1.三角形中位线定理；2.等腰三角形的判定与性质．6.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60°（A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们的测量数据计算这棵树的高度．【答案】这棵树的高度为5米．【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．试题解析：∵∠CBD=60°，∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD-∠A=60°-30°=30°，∵∠A=30°，∴∠A=∠ACB，∵AB=10，∴BC=AB=10，在R△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5．答：这棵树的高度为5米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．7.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E，且BE=6cm，求AB的长．【答案】6cm.【解析】连接OD,利用切线的性质解答即可.试题解析：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE=6（cm）．【考点】切线的性质.8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y=的图象上，点D的坐标为（-4，-3），边CD与x轴交于点E．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当点D落在函数y=的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）-8；（2）．【解析】（1）先根据D点坐标得出OE，DE及OD的长，再由菱形的性质得出CD的长，故可得出C点坐标，代入反比例函数即可得出k的值；（2）把D点纵坐标代入反比例函数的解析式得出x的值，进而可得出结论．试题解析：（1）∵点D的坐标为（-4，-3），∴OE=4，DE=3，OD=5．∵四边形ABCD是菱形，∴CD=OD=5，∴C（-4，2）∴k=2×（-4）=-8；（2）∵由（1）知k=-8，∴反比例函数的解析式为y=-．∵菱形ABCD沿x轴正方向平移，∴D点纵坐标为-3，∴-3=，解得x=，∴菱形ABCD平移的距离=-（-4）=．【考点】反比例函数综合题．9.如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，OA=4，AB=3，动点M从点A出发，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点N到OA的距离；（2）设△OMN的面积是S，求S与t之间的函数表达式；当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1点N到OA的距离为；（2）S=-，当t=2时，S有最大值，最大值为S=．（3） t=2或t=时，△OMN是直角三角形【解析】（1）由勾股定理计算出OB，再用三角函数即可；（2）得到S与t的函数关系，从而确定出面积最大值；（3）要使△OMN是直角三角形，一个直角三角形和它相似，即可；试题解析：（1）在Rt△OAB中，OB==5，∴点N到OA的距离为ON×sin∠O=；（2）S=（4-t）× =-，当t=-=2时，S 有最大值，最大值为S=-×22+×2=．（3）∵△ABO 为直角三角形，∴以M 、N 、O 为顶点的三角形和△ABO 相似；当△OMN ∽△OAB 时，∴， ∴，∴t=2，当△OMN ∽△OBA 时，∴，∴，∴t=，∴t=2或t=时，△OMN 是直角三角形 【考点】相似形综合题．10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a （x-1）2-4a （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，其顶点为点C ，一条开口向下的抛物线经过A 、B 、D 三点，其顶点D 在x 轴上方，且其纵坐标为3，连接AC 、AD 、CD ．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线所对应的函数表达式；（3）当△ACD 为等腰三角形时，求a 的值；（4）将线段AC 绕点A 旋转90°，若点C 的对应点恰好落在（2）中的抛物线上，直接写出a 的值．【答案】（1） A （-1，0），B （3，0），（2）y=-x 2+x+，（3） a=或a=；（4）a 1=，a 2=． 【解析】（1）根据点的特点，令y=0，求出方程的解，即可；（2）根据抛物线解析式确定出点C ，D 的坐标和对称轴方程，再设出所求解析式即可．（3）△ACD 为等腰三角形时，分三种情况计算：①以CD 为底时，则C ，D 关于x 轴对称，建立方程求解，②以AC 为底时，则AD=CD ，建立方程求解，③以AD 为底时，则AC=CD ，建立方程求解即可．（4）先表示出直线AC 的解析式为y=-2ax-2a ，从而求出直线l 与抛物线的交点M （，），然后表示出AM ，AC 建立方程即可．试题解析：（1）令y=0，∴a （x-1）2-4a=0，∵a ＞0， ∴（x-1）2-4=0∴x 1=-1，x 2=3，∴A （-1，0），B （3，0），（2）∵y=a （x-1）2-4a ，∴抛物线的顶点C （1，-4a ），对称轴为x=1， ∴D （1，3），设经过A ，B ，D 三点的抛物线解析式为y=m （x-1）2+3， ∴m=-，∴经过A ，B ，D 三点的抛物线解析式为y=-（x-1）2+3=-x 2+x+， （3）当△ACD 为等腰三角形时，分三种情况计算， ①以CD 为底时，则C ，D 关于X 轴对称， ∴C （1，-3）， ∴-4a=-3，∴a=，②以AC 为底时，则AD=CD ，根据勾股定理得，AD=，∴CD=2-（-4a ）=3+4a=， ∴a=； ③以AD 为底时，则AC=CD ，根据勾股定理得，AC=， ∴CD=3-（-4a ）=2， ∴a=-＜0（舍）；（4）由（1）知，A （-1，0），C （1，4a ），AC=2， ∴直线AC 的解析式为y=-2ax-2a ，设线段AC 绕点A 旋转90°得到的直线为l ，∴l ⊥AC 且过点A ，∴直线l 解析式为y=x+，∵抛物线y=-x 2+x+， ∴3ax 2+（2-6a ）x+2-9a=0，∴x 1=1（舍），x 2=，∴直线l 与抛物线的交点M （，）， ∴AM=|6a-1|×，∵AM=AC ，∴2=|6a-1|×， ∴6a 2=|6a-1|当6a-1≥0时，6a 2=6a-1，∴a=，当6a-1＜0时，6a 2=1-6a ，∴a=-3±（舍），即：a 1=，a 2=．【考点】二次函数综合题．。
吉林省第二实验学校2023-2024学年九年级下学期第二次月考数学试题
吉林省第二实验学校2023-2024学年九年级下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2024−是2024的（ ）A ．倒数B ．绝对值C ．相反数D ．负倒数 2．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约1700万吨．将数据1700万用科学记数法表示为（ ）A ．71.710⨯B ．80.1710⨯C ．81.710⨯D ．71710⨯ 3．下列计算正确的是（ ）A ．2352a a a +=B ．2362a a a ⋅=C ．32a a a ÷=D ．()235a a = 4．随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强．为了增进世界各国人民对中国语言和文化的理解，在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化．同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）.A ．仁B ．义C ．智D ．信5．如图，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC 为6m ，坡比12i =，则这两棵树之间的坡面AB 的长为（ ）A ．1mB ．9mC ．D ．m6．阅读以下作图步骤：①在OA 和OB 上分别截取,OC OD ，使OC OD =；②分别以,C D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点M ； ③作射线OM ，连接,CM DM ，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）A ．12∠=∠且CM DM =B ．13∠=∠且CM DM =C ．12∠=∠且OD DM = D ．23∠∠=且OD DM =7．如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AB C ''△，使点B '恰好落在边AC 上．若2AB =，5AC '=．则B C '的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线6y x =（x ＞0）上，连接BC 交AD 于P ，连接OP ，则图中OBP S △是（ ）A B ．3 C ．6 D ．12二、填空题9．分解因式：21a −= ．10．近来，随着脐橙的大量上市，某超市将原售价为a 元/千克的脐橙打九折后，再降价b 元/千克，则现售价为 元/千克.11．若关于x 的方程220x x m ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是 ．（写出一个符合条件的值即可）12．如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是 ．13．如图，在ABC 中，将B ∠和C ∠按如图所示方式折叠，点B ，C 均落于边BC 上一点G 处，线段,MN EF 为折痕．若70A ∠=︒，则MGE ∠的大小是 ．14．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R 的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R 消耗的电功率P 随电流I 变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R 消耗的电功率P 最大为 W ．三、解答题15．先化简，再求值：22111x x x x x +−⎛⎫−÷ ⎪−⎝⎭，其中2x =−．16．某校组织学生进行视力检查，共开设了A，B，C三个检查窗口，每位同学随机选择其中一个窗口进行检查．(1)甲同学选择A窗口检查的概率是______；(2)甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的概率是多少？17．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）18．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；(2)若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．19．为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．初中学生视力情况统计表(1)m=_______，n=_______．(2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为______；(3)分析处理①小胡说；“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有15000名初中生，估计该区有多少名初中生视力不良？⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C都是格20．如图是由小正方形组成的77点，点F为AC中点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)如图①，在AB上作点D，使得ADF ABC∠=∠；(2)如图②，在AB上作点E，使得ACE ABC∠=∠；(3)如图③，在AB上作点H，使得AFH ABC∠=∠．21．某校组织九年级学生．以“运用函数知识探究坰锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动．已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应．锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物．小明按实验操作规程，在放有10g铜锌混合物样品（不含其它杂质）的烧杯中．逐次加入等量等溶度的20g稀盐酸．每次加入前，测出与记录前次加入并充分反应后剩余固体的质量，直到发现剩余固体的质量不变时停止加入．记录的数据如下表所示，然后小明通过建立函数模型来研究该问题，研究过程如下：（i）收集数据：（ii）建立模型：在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这一个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）（iii）求解模型：为便得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程（ii）所选的函数类型，求出该函数的表达式：（iv）解决问题：根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量．阅读以上材料．回答下列问题：(1)完成小明的研究过程（ii ）（描点，并指出函数类型）：(2)完成小明的研究过程（iii ）；(3)设在研究过程（iv ）中，发现最后剩余固体的质量保持2.2g 不再变化，请你根据前求得的函数表达式，计算加入稀盐酸的总量至少为多少时，剩余固体均为铜．22．[感知]如图①，O 为等边ABC 的外接圆．AD 为O 的直径，线段AD 与BC 交于点E ，探究线段AE BD DE 、、的数量关系．小明同学的做法是：过点C 作BD 的垂线交BD 延长线于点F ，连接CD ．易证AD BC ⊥．进而得出BCF ACE ≌，CDE CDF ≌△△．则线段AE BD DE 、、的数量关系是： BD DE +=______．[探究]如图②，等腰三角形ABC 中．AC BC =，O 为ABC 的外接圆，D 为弧BC 上一点，CE AD ⊥于E ，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由．[应用]如图③，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，AC BC =．点D 在O 上，且点D 与点C 位于线段AB 两侧，过点C 作线段AD 的垂线，交线段AD 于点E ，若点E 为AD 的三等分点，则DB AC的值为______．23．如图①，在Rt ABC △中，9AB =，12BC =，点D 是AB 上一点，且2AD BD =．动点F 从点C 出发沿CB 方向以每秒2个单位长度的速度向经点B 运动，以DF 为边构造等腰直角三角形DEF ，其中F 为直角顶点，且点E 与点B 位于线段DF 两侧．设点F 的运动时间为t （秒）．AI(1)求线段AC 的长度；(2)当点E 落在Rt ABC △的中位线上时，求出t 的值：(3)连接CE ，则线段CE 的最小值是______．(4)如图②．以点B 为位似中心，将DEF 缩小后得到D E F '''△，且3DF D F ''=．连接E C '，当E C '与Rt DEF △的某条边平行时，直接写出t 的值．24．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =−++（b 是常数）经过点()1,3．点M 、点A 在该抛物线上横坐标分别为m ，22m −．把点M 向下平移1个单位．得到点C ．以AC 为对角线构造矩形ABCD ，其中AB 垂直于x 轴．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)当点M 与点D 重合时，求点D 的坐标；(3)当点A 在抛物线对称轴右侧时，连接AM ，当线段AM 将矩形ABCD 的面积分为1:9时，求m 的值．(4)当0m >时．设抛物线与矩形的边交于点N （点N 不与点A 、M 重合），当直线NM 与矩形ABCD 的某条边所夹锐角的正切值为23时，直接写出m 的值．。
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吉林省第二实验学校2019-2020学年度数学试题下学期九年级第一次月考本试卷包括三道大題，共24小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草纸、试卷上答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引人负数．如果增加400人记作400人，那么-360人表示（ ）．A ．增加40人B ．减少360人C ．增加360人D ．减少40人2．抗击新冠肺炎疫情期间，截止到2月18日吉林敖东向武汉火神山医院捐赠药品、防疫紧缺物资和资金共计5 290 000元，5 290 000这个数用科学记数法表示为（ ）．A ．65.2910⨯B ．55.2910⨯C ．75.2910⨯D ．70.52910⨯3．如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的几何图形，则它的主视图为（ ）．A ．B ．C ．D ．4．不等式30x --≥的解集是（ ）．A ．3x ≤B ．3x ≤-C ．3x ≥D ．3x ≥-5．下列计算正确的是（ ）．A ．()336a a = B ．222(2)4a b a b -=- C ．()3263a b a b = D ．()22422a a =6．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:4BC m =，则迎水坡宽度AC 的长为（ ）．A ．B ．3C ．8mD ．7．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，则CD 等于（ ）．A ．4B ．3C ．2.5D ．2.48．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点O ，矩形的边分别平行于坐标轴，点A 在函数(0,0)k y k x x=≠<的图像上，点C 的坐标为(2,2)-，则k 的值为（ ）．A ．4B ．2C ．-2D ．-4二、填空题（每小题3分，共18分）91-= ．10．因式分解2ab a -= ．11．一元二次方程2310x x -+=根的判别式的值是 ．12．如图，AB CD EF ∥∥，若3AE CE =，2DF =，则BD 的长为 ．13．如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM 的长为 ．14．某一房间内A 、B 两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB 之间（不包括A 、B 经过时，将触发报警．现将A 、B 两点放置于平面直角坐标系xOy 中（如图），已知点A 、B 的坐标分别为(0,4)，(4,4)，小车沿抛物线223(0)y ax ax a a =--<运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值：2(3)(1)(1)2(24)a a a a +-+--+，其中12a =． 16．深圳国际马拉松赛事设有A “全程马拉松”，B “半程马拉松”，C “嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．（1）小智被分配到A “全程马拉松”项目组的概率为 ；（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．17．列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界上大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的16．求港珠澳大桥的设计时速是多少． 18．如图，BC 是O e 的直径，点A 在O e 上，AD BC ⊥，垂足为D ，»»AB AE =，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．（1）证明：FA FB =；（2）若2BD DO ==，求»EC的长度．19．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据从甲、两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下： 甲班：65，75，75，80，60，50，75，90，85，65乙班：90，55，80，70，55，70，95，80，65，70（2）整理描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：在表中：m=，n=．（3）分析数据①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：在表中：x=，y=．②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有多少人．20．图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形ABCD的顶点均在格点上，仅用无刻度直尺，分别按下列要求画图．（1）在图①中的线段CD上找到一点E，连结AE，使得AE将四边形ABCD的面积分成1:2两部分;（2）在图②中的四边形ABCD外部作一条直线l，使得直线l上任意一点与点A、B构成三角形的面积是四边形ABCD的面积的18．（保留作图痕迹）21．已知A地、火神山医院、B地顺次在一条笔直的公路上，且A地、B地距火神山医院的路程相同．甲、乙两家车队分别从A，B两地向火神山医院运送货物，甲车队比乙车队晚出发0.75小时．为避免工地拥堵，总调度部门通知距离火神山医院更近的车队进工地卸货（卸货时间忽略不计），然后原路原速返回，而另一车队则在距火神山医院40千米处等待直到另一车对卸货完毕后再按原速继续行驶进入工地，卸货后原路原速返回．甲车队距A地的路程y（千米）与甲车队行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示：（1）甲车队的速度为 千米/时，乙车队的速度为 千米/时，A 地与火神山医院之间的距离为千米y （千米）；（2）甲车队原路返回时y 与x 之间的函数关系式；（3）直接写出两车队相距80千米时x 的值．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在ABC △中，AD 、BE 分别是BAC ∠、ABC ∠的角平分线，AD 、BE 的交点为O ．连结CO 交AB 于点F ．求证：ACF BCF ∠=∠；（2）如图③，在（1）条件下，若BE CE =，30C ∠=︒，ABD △沿AD 翻折使点B 落在边AC 上的点M处，连结DM ，其中AB =DCM S =△ ．23．如图，在ABC △，1tan 3ABC ∠=，45C ∠=︒，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE BC ∥，5BD DE ==，动点P 从点B 出发，沿B D E C ---向终点C 运动，在BD DE -上以每秒5个单位长度的速度运动，在EC上以每秒P 作PQ BC ⊥于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点B ，点N 始终在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()(0)t s t >，正方形PQMN 与ABC △重叠部分图形的积为S ．（1）当点P 在BD DE -上运动时，用含t 的代数式表示线段DP 的长；（2）当点N 落在AB 边上时，求t 的值；（3）当点P 在DE 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式；（4）当点P 出发时，有一点H 从点D 出发，在线段DE 上以每秒5个单位长度的速度沿D E D --连续做往返运动，直至点P 停止运动时，点H 也停止运动．连结HN ，直接写出HN 与DE 所夹锐角为45︒时t 的值．24．已知函数2222222(1)()2(1)()24(1)2()x n x n x n y x n x n n x n x n x n x n ⎧+-->⎪=+-+-≤≤⎨⎪--+<⎩，其中n 是常数，且0n >．（1）若点(1,2)-在函数的图象上，求n 的值；（2）当1n =时，①当22x -≤≤时，求函数值y 的取值范围；②若当2t x t ≤≤-时，函数图象上的点到x 轴的距离恒小于6，求t 的取值范围；（3）直接写出函数图象与42y n =-有两个交点时n 的取值范围．省二2020．3九下第一月考数学参考答案1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D9．3 10．()a b a - 11．5 12．4 13．2-14．413a -<<- 15．原式()2269148a a a a =++---- 22a =+ 当12a =-时，原式12212⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭16．（1）13（2）画树状图为：所以小智和小慧被分到同一个项目标组进行志愿服务的概率为3193=． 17．设港珠澳大桥的设计时速是x 千米/时，按原来路程行驶的平均时速是(40)x -千米/时． 依题意，得501180640x x =⋅-． 解方程，得100x =．经检验：100x =是原方程的解，且符合题意．答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米．18．（1）证明：∵BC 是O e 的直径，∴90BAC ∠=︒，∴90ABE AGB ∠+∠=︒；∵AD BC ⊥，∴90C CAD ∠+∠=︒；∵»»AB AE =，∴C ABE ∠=∠，∴AGB CAD ∠=∠， ∵C BAD ∠=∠，∴BAD ABE ∠=∠∴FA FB =．（2）解：如图，连接AO 、EO ，∵2BD DO ==，AD BC ⊥，∴AB AO =，∵AO BO =，∴AB AO BO ==，∴ABO △是等边三角形，∴60AOB ∠=︒，∵»»AB AE =，∴60AOE ∠=︒，∴60EOC ∠=︒， ∴»EC 的长度6042(22)3603ππ⨯⨯⨯=． 19．（2）3m =，2n =（3）①甲班成绩为：50、60、65、65、75、75、75、80、85、90， ∴甲班成绩的中位数7575752x +==， 乙班成绩70分出现次数最多，所以的众数70y =，故答案为：75，70；②估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有4502010⨯=（人）； 答：估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生约有20人．20．（1）如图①中，线段AE 即为所求．（2）如图②中，直线l 即为所求．21．（1）80 60 120 甲车停留的时间为2 1.75 3.250.25⨯-=（小时），甲的速度为40(1.7510.25)80÷--=（千米/时）A 地距离火神山医院的距离为80(1.750.25)120⨯-=（千米）乙车队的速度为120(10.250.75)60÷++=（千米/时）（2）由（1）知甲车队的速度为80/km h ，所以设甲车队第一次原路返回时y 与x 之间的函数关系式为：80y x b =-+，把(3.25,0)带入解析式，得80 3.250b -⨯+=解得260b =所以甲车队第一次原路返回时y 与x 之间的函数关系式为：80260y x =-+（2）2328，5928①设甲乙车队第一次相距80千米时，甲车队行驶x 小时依题意得8060(0.75)212080x x ++=⨯- 解得2328x = ②设甲乙车队第二次相距80千米时，甲车队行驶x 小时(6080)(3.25)24080x +-=- 解得5928x = 22．教材呈现：证明：∵OC 是AOB ∠的平分线∴AOC BOC ∠=∠∵PD OA ⊥，PE OB ⊥∴90PDO PEO ∠=∠=︒∵OC OC =∴OPD OPE △≌△∴PD PE =定理应用：（1）证明：过点O 分别作OH AC ⊥于点H ，OG BC ⊥于点G ，OI AB ⊥于点I∵AD 是BAC ∠的角平分线，OH AC ⊥，OI AB ⊥∴OH OI =∵BE 是ABC ∠的角平分线，OG BC ⊥，OI AB ⊥∴OG OI =∴OG OH =∵OG BC ⊥，OH AC ⊥∴点O 在ACB ∠的角平分线上即OC 平分ACB ∠∴ACF BCF ∠=∠．（2）92- 23．解：（1）当01t <<时，55DP t =-当12t <≤时，55DP t =-（2）DP PQ =554t -=95t = （3）①当615t ≤≤时， 1344(55)20142S t t =⨯⨯+-=-； ②当6955t <≤时， 221450944[4(55)]162335S t t ⎛⎫=⨯---⋅=--+ ⎪⎝⎭； ③当925t <≤时， 4416S =⨯=． （4）110t =，73t =，237t = 24．（1）当11n -≤-，即1n ≥时，把(1,2)-带入22(1)y x n n =--+中，得1n =当1n -<-即01n <<时，把(1,2)-带入2224(1)2y x n x n =--+中，得1n =-（2）当1n =时，函数的解析式为2221(1)1(11)22(1)x x y x x x x ⎧-->⎪=+-≤≤⎨⎪+<-⎩此时函数图像为①如图当22x -≤≤时，y 的取值范围为52y -≤<-，12y ≤≤，410y <≤②如图，若使2t x t ≤≤+范围内的图像上的点到x 轴的距离恒小于6，则2t x t ≤≤+范围内的图像应在有图红色的部分运动．令216x --=-，解得x =令2226x +=，解得x =∴2t t ⎧+<⎪⎨>⎪⎩解得2t <<（3）1n =或103n <<。