概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

第五章 大数定律与中心极限定理

1. 设随机变量ξ的方差为

2.5。利用契贝雪夫不等式估计：

{}5.7||≥-ξξE P 的值。 解：由契贝雪夫不等式：2

}|{|εξ

εξξD E P ≤

≥-，又已知

5.7,5.2==εξD ，故

044

.05.75

.2}5.7|{|2

=≤≥-ξξE P 。

2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1，但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。现用

{}∑=≥<-=n

i i p

m P m n n 1

5.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计， 。

解：因∑===

n

i i m E n E 1

,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立，

故 ∑∑===

==n i n i i i n D n n D D 11

21

)(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等

式，有

2

5.01}5.0|{|ξξξD E P -

≤<-，即n

m P 4

1}5.0|{|-

≤<-ξ，

再由 p

n p n -≥≥-

14,41得。

3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12

。设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率m n

与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε

=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？

从参数为p 的二点分布，且E i

ξ=p ，

D i

ξ=p (1-p )≤1/4，而

∑

===

n

i i

n

n

1

ξξ

η是n 个独立同分布的

随机变量之和，故由中心极限定理知)

1,0(~N D E η

η

η-，

因此有

⎭⎬

⎫⎩⎨⎧<-ξξD p n P 21

122222/-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧

<-=n D D D D D E P ηξηξη

ηη，

为使 6

,16.5,99.0122≥>≥-⎪⎭

⎫

⎝⎛Φn n n 即查表得。

6. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。 解：定义承机变量⎩⎨

⎧=.,

0,

,1鸡只鸡蛋不能育成种第鸡只鸡蛋能育成种第k k k ξ)

10000,,2,1(Λ=k 。

则k ξ)10000,,2,1(Λ=k 是独立同分布的，且756.09.084.0}1{=⨯==k

P ξ，

224

.0756.01}0{=-==k P ξ。显然∑==10000

1

k k

ξξ表示10000只鸡蛋

中能育成种鸡的个数。此为n =10000，p =0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得

92.0)1(75001)1(7500)1(}7500{=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--Φ-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≥--=≥p np np p np np p np np P P ξξ。 7. 某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。

解：令⎩⎨

⎧=.

,

0,

,1个字未排错第个字排错第i i i ξ则∑==50000

1

i i

ξξ是服从参数n =50000，p =0.0001的贝努利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得

9874.0)24.2()1(101)1(10)

1(}10{=Φ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--Φ-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<

--=≤p np np p np np p np np

P P ξξ。

8. 某班班会为学校主办一次周末晚会，共发出邀请书150张，按以往的经验，接到邀请的人中大体上能有80%可到会，试求前来参加晚会的人数在110到130之间的概率。 解：令

⎩⎨

⎧=.

,

0,,1封邀请信的人不到会接到第封邀请信的人到会接到第i i i ξ则i

ξ服从参数

p =0.8的二项分布。且E i

ξ=0.8，D i

ξ=0.16，∑==150

1

i i

ξξ表

示到会的总人数，则24,120==ξξD E ，由中心极限定理得

⎭

⎬

⎫

⎩⎨⎧-<-<-=<<241201302412024120110}130110{ξξP P

9586

.01)04.2(204.2241024120=-Φ=⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=<-=ξP 。

9. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？

解：(1)以ξ表示100人中治愈人数，则ξ ~b (100,0.8) 所求概率为

{}⎭

⎬

⎫

⎩⎨⎧⨯⨯⨯->⨯⨯⨯-=>2.08.01008.0100752.08.01008.010075ξξP P

()8944

.025.11=-Φ-≈；