概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5
概率论与数理统计习题5答案
AJ Lin
2013.12
5. 一本书共有 100 万个印刷符号， 排版时每个符号被排错的概率为 0.0001， 校对时每个排版错误
被改正的概率为 0.9，求校对后错误不多于 15 个的概率。 1, 第n个印刷符号校对后仍印错 解：设随机变量 X n , 0, 其它. 则 X n , n 1 是独立同分布随机变量序列，有 p P{xn 1} 0.0001 0.1 10 5 。 作 Yn X k ， (n 106 ) ， Yn 为校对后错误总数。 按中心极限定理，有 Y np 15 np 3 5 5 P{Yn 15} P n (5 / [10 10 (1 10 )]) (1.58) 0.9495 . npq npq
AJ Lin
2013.12
习题 5 答案
1. 一部件包括 10 部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，其数学 期望为 2mm，均方差为 0.05mm，规定总长度为（ 20 0.1 ）mm 时产品合格，试求产品合格的 概率。 （其中 (0.63) 0.7357 ， (1.63) 0.9484 ） 解：令 X i 表示第 i 部分的长度， i 1, 2, ,10 ，据题意知， X 1 , X 2 , , X 10 相互独立同分布，且 E ( X i ) 2 ， D ( X i ) 0.052 ，故产品合格的概率为
300 X k 300 1.29 400 300 1.29 1 P k 1 300 0.0489 300 0.0489
300 X k 300 1.29 1 P k 1 3.39 1 3.39 1 0.9997 0.0003 . 300 0.0489 (2)设 Y 表示这天售出价格为 1.2 元的蛋糕个数，则 Y ~ B 300, 0.2 ，又 np 300 0.2 60, np (1 p ) 60 0.8 48 ， Y ~ N 60, 48 ，所求概率为 Y 60 60 60 P Y 60 1 P Y 60 1 P 1 (0) 0.5 . 48 48 8. (1)一个复杂系统由 100 个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为 0.1，
《概率论和数理统计》第三版-课后习题答案解析.
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
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习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案-
习题一：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。
解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。
解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。
解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。
解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格。
解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2)。
解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温。
考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。
解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生。
C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生。
)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生。
C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生。
C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生。
BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生。
C B C A B A ⋃⋃；(7) A 。
B 。
C 中至多有两个发生。
ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5
第五章 大数定律与中心极限定理1. 设随机变量ξ的方差为2.5。
利用契贝雪夫不等式估计：{}5.7||≥-ξξE P 的值。
解：由契贝雪夫不等式：2}|{|εξεξξD E P ≤≥-，又已知5.7,5.2==εξD ，故 044.05.75.2}5.7|{|2=≤≥-ξξE P 。
2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1，但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。
现用 {}∑=≥<-=n i i p m P m n n 15.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计，。
解：因∑===n i i m E n E 1,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立，故∑∑=====n i n i i i n D n n D D 1121)(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等式，有 25.01}5.0|{|ξξξD E P -≤<-，即n m P 41}5.0|{|-≤<-ξ，再由p n p n -≥≥-14,41得。
3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12。
设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率m n 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。
试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？ 解：欲使99.0}01.0|{|≥<-p n m P ，即99.0}//01.0//|{|≥<-n pq n pq p n m P ，亦即，则t ~N (0，1)且有 ,99.001.0≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<pq n t P 由58.201.0995.0)58.2(≥⇒=Φpq n ，以p =q =1/2代入可得 n =16641。
4. 用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？解：用n 步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n 次射击的独立试验，令ξ表示n 次射击击中目标的次数，则ξ服从参数为n ，p =0.005的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≥--=≥n n n n P p np np p np np P P 004975.0005.02004975.0005.0)1(2)1(}2{ξξξ 99.0004975.0005.021=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-≈n n ，查表得n ≈1791。
概率论与数理统计第三版_科学出版社_课后习题答案
第二章随机变量2.1X 23456789101112P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=−k kae，即1111=−−−eae 。
故1−=e a 2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)(1)两人投中的次数相同P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ×+×+×=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ×+×+×=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=12321515155++=(2)(2)P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1(]1441314k k lim →∞−=−（2）P{X≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}-P{X=2}=1111244−−=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719×××=1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=×××+×××+×××+×××=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==−=−==−−=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8（1）X ～P(P(λλ)=P(0.5×3)=P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e −=== 1.5e−（2）X ～P(P(λλ)=P(0.5×4)=P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e −−−≥=−=−==−−=−2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案
习题一：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。
解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。
解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。
解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。
解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格。
解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2)。
解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温。
考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。
解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生。
C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生。
)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生。
C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生。
C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生。
BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生。
C B C A B A ⋃⋃；(7) A 。
B 。
C 中至多有两个发生。
ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
《概率论与数理统计》第三版王松桂科学出版社课后习题答案
第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。
（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。
2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
（2）A 与B 都发生，而C 不发生。
（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃ 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）B B A B A = （2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。
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第五章 大数定律与中心极限定理1. 设随机变量ξ的方差为2.5。
利用契贝雪夫不等式估计： {}5.7||≥-ξξE P 的值。
解：由契贝雪夫不等式：2}|{|εξεξξD E P ≤≥-，又已知5.7,5.2==εξD ，故044.05.75.2}5.7|{|2=≤≥-ξξE P 。
2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1，但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。
现用{}∑=≥<-=ni ipm P m nn 15.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计， 。
解：因∑===ni i m E nE 1,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立，故∑∑=====ni ni i i n D nnD D 1121)(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等式，有25.01}5.0|{|ξξξD E P -≤<-，即n m P 41}5.0|{|-≤<-ξ，再由p n p n -≥≥-14,41得。
3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12。
设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率mn 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。
试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？ 解：欲使99.0}01.0|{|≥<-p n mP ，即99.0}//01.0//|{|≥<-n pq n pq p nm P ，亦即，则t ~N (0，1)且有,99.001.0≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<pq n t P 由58.201.0995.0)58.2(≥⇒=Φpqn，以p =q =1/2代入可得 n =16641。
4. 用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？解：用n 步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n 次射击的独立试验，令ξ表示n 次射击击中目标的次数，则ξ服从参数为n ，p =0.005的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≥--=≥n n n n P p np npp np npP P 004975.0005.02004975.0005.0)1(2)1(}2{ξξξ99.0004975.0005.021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈n n ，查表得n ≈1791。
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习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
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习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
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习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
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第二章随机变量2.1X 23456789101112P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=−k kae，即1111=−−−eae 。
故1−=e a 2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)(1)两人投中的次数相同P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ×+×+×=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ×+×+×=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=12321515155++=(2)(2)P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1(]1441314k k lim →∞−=−（2）P{X≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}-P{X=2}=1111244−−=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719×××=1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=×××+×××+×××+×××=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==−=−==−−=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8（1）X ～P(P(λλ)=P(0.5×3)=P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e −=== 1.5e−（2）X ～P(P(λλ)=P(0.5×4)=P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e −−−≥=−=−==−−=−2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
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习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
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第二章 随机变量 2.12.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。
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习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
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概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5
第五章 大数定律与中心极限定理
1. 设随机变量ξ的方差为
2.5。
利用契贝雪夫不等式估计：
{}5.7||≥-ξξE P 的值。
解：由契贝雪夫不等式：2
}|{|εξ
εξξD E P ≤
≥-，又已知
5.7,5.2==εξD ，故
044
.05.75
.2}5.7|{|2
=≤≥-ξξE P 。
2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1，但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。
现用
{}∑=≥<-=n
i i p
m P m n n 1
5.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计， 。
解：因∑===
n
i i m E n E 1
,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立，
故 ∑∑===
==n i n i i i n D n n D D 11
21
)(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等
式，有
2
5.01}5.0|{|ξξξD E P -
≤<-，即n
m P 4
1}5.0|{|-
≤<-ξ，
再由 p
n p n -≥≥-
14,41得。
3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12。
设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率m n
与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε
=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。
试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？
从参数为p 的二点分布，且E i
ξ=p ，
D i
ξ=p (1-p )≤1/4，而
∑
===
n
i i
n
n
1
ξξ
η是n 个独立同分布的
随机变量之和，故由中心极限定理知)
1,0(~N D E η
η
η-，
因此有
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧<-ξξD p n P 21
122222/-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧
<-=n D D D D D E P ηξηξη
ηη，
为使 6
,16.5,99.0122≥>≥-⎪⎭
⎫
⎝⎛Φn n n 即查表得。
6. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。
解：定义承机变量⎩⎨
⎧=.,
0,
,1鸡只鸡蛋不能育成种第鸡只鸡蛋能育成种第k k k ξ)
10000,,2,1(Λ=k 。
则k ξ)10000,,2,1(Λ=k 是独立同分布的，且756.09.084.0}1{=⨯==k
P ξ，
224
.0756.01}0{=-==k P ξ。
显然∑==10000
1
k k
ξξ表示10000只鸡蛋
中能育成种鸡的个数。
此为n =10000，p =0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得
92.0)1(75001)1(7500)1(}7500{=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--Φ-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≥--=≥p np np p np np p np np P P ξξ。
7. 某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。
解：令⎩⎨
⎧=.
,
0,
,1个字未排错第个字排错第i i i ξ则∑==50000
1
i i
ξξ是服从参数n =50000，p =0.0001的贝努利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得
9874.0)24.2()1(101)1(10)
1(}10{=Φ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--Φ-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<
--=≤p np np p np np p np np
P P ξξ。
8. 某班班会为学校主办一次周末晚会，共发出邀请书150张，按以往的经验，接到邀请的人中大体上能有80%可到会，试求前来参加晚会的人数在110到130之间的概率。
解：令
⎩⎨
⎧=.
,
0,,1封邀请信的人不到会接到第封邀请信的人到会接到第i i i ξ则i
ξ服从参数
p =0.8的二项分布。
且E i
ξ=0.8，D i
ξ=0.16，∑==150
1
i i
ξξ表
示到会的总人数，则24,120==ξξD E ，由中心极限定理得
⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧-<-<-=<<241201302412024120110}130110{ξξP P
9586
.01)04.2(204.2241024120=-Φ=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=<-=ξP 。
9. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。
医院检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。
(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？
解：(1)以ξ表示100人中治愈人数，则ξ ~b (100,0.8) 所求概率为
{}⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧⨯⨯⨯->⨯⨯⨯-=>2.08.01008.0100752.08.01008.010075ξξP P
()8944
.025.11=-Φ-≈；
(2)依题ξ~b (100,0.7) 则
{}⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧⨯⨯⨯->⨯⨯⨯-=>3.07.01007.0100753.07.010070.010075ξξP P ()1379
.08621.0109.11=-=Φ-≈。