直角坐标系伸缩变换(最终)

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直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与明白得一.直角坐标系1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。

如此咱们就成立了直线上的坐标系 (即数轴)。

它使直线上任意一点P 都能够由惟一的实数x 来确信。

2.平面上，取定两条相互垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。

如此咱们就成立了平面直角坐标系。

它使平面上任意一点P 都能够由惟一的二元有序实数对),(y x 来确信。

3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线别离作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。

如此咱们就成立了空间直角坐标系。

它使空间中任意一点P 都能够由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确信。

事实上，直线上所有点的集合与全部实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全部二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全部三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应.二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换在平面内，将图形F 上所有点依照同一个方向，移动一样长度，称为图形F 的平移。

假设以向量a表示移动的方向和长度，咱们也称图形F 按向量a平移．在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =，平移后的对应点为),(y x P '''.那么有：),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有：⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x .因此，咱们也能够说，在平面直角坐标系中，由⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x 所确信的变换是一个平移变换。

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．因此，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离维持不变。

2.平面直角坐标系中的伸缩变换(学生版)

2 平面直角坐标系中的伸缩变换主备：审核：学习目标：1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习过程：一、课前准备阅读教材14P P -的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题：1.在直角坐标系中，已知点(,)M a b ，则①M 关于原点O 的对称点为； ②M 关于x 轴的对称点为； ③M 关于y 轴的对称点为； ④M 关于直线y x =的对称点为； ⑤M 关于直线y x =-的对称点为；⑥M 关于直线y x t =+的对称点为 .2．平移变换①平面上任一点P 的坐标(,)x y ，按向量(,)a h k = 平移后的坐标为(,)P x y '''，则有②曲线(,)0F x y =的图像，按(,)a h k = 平移后的曲线方程为 .3.填空题：（1）已知点(4,3)P -按向量(1,5)a = 平移到Q 点，则Q 的坐标为．（2）函数2()23f x x =-向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是 ()f x = .(3) 抛物线22y x =按向量(3,2)n =- 平移，得到的曲线的方程是 . 二、新课导学（一）新知：伸缩变换①一般地，由(0)kx x k y y '=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的k 倍；②由(0)x x k ky y '=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的k 倍；上面的变换中，当1k >时表示伸长；当01k <<时，表示压缩；③定义点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任一点，在变换(0,0)x x y y λλμμ'=⎧>>⎨'=⎩作用下，点(,)P x y 对应到(,)P x y '''称为平面坐标系中坐标的伸缩变换．（二）典型例题【例1】求曲线224x y +=按照32x x y y '=⎧⎨'=⎩做伸缩变换后的曲线方程. 【解析】【例2】．试述如何由1sin(2)33y x π=+的图象得到sin y x =的图象. 【解析】方法一：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的. 方法二：（1）先将1sin(2)33y x π=+的图象向右平移6π个单位，得1sin23y x =的图象；（2）再将1sin23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得1sin 3y x =的图象；（3）再将1sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到sin y x =的图象.*【例3】已知函数22()3sin()cos()(0)33f x x x ππωωω+-+>图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求()8πf 的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的表达式.【解析】（1）22())cos()33f x x x ππωω+-+＝2122)cos()323x x ππωω⎤+-+⎥⎣⎦＝2sin()2x πω+2cos x ω=，因为函数图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 即半个周期为2π，所以2T ππω==，所以2ω=. 故()2cos2f x x =，因此()2cos 284f ππ=. （2）将()2cos2f x x =的图象向右平移个6π个单位后，得到2cos2()6y x π=-的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()2cos2()2cos()4623x x g x ππ=-=-的图象. 动动手：将函数sin2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( )A .cos2y x =B .22cos y x =C .)42sin(1π++=x y D .22sin y x =【解析】三、总结提升：1．本学案总结了三种变换类型：对称变换、平移变换和伸缩变换，这三种变换都是在以前的教材或学习内容中遇到过的，通过这次的学习总结，希望起到加深理解、熟练运用的作用.2.在解决与变换有关的问题时，特别是对称或平移的问题时，应尽可能的画出图形，以帮助我们正确的使用变换公式.四、反馈练习：1．下列有关坐标系的说法错误的是（）A ．在直角坐标系中，直线经过伸缩变换还是直线B ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把圆变成椭圆C ．在直角坐标系中，平移不会改变图形的形状和大小D ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把双曲线变成抛物线2．已知()sin ,()sin (0),()f x x g x x g x ωω==>的图像可以看作把()f x 的图像上各点的横坐标压缩成原来的13（保持纵坐标不变）而得到的，则ω为（） A ． 12 B ． 2 C ． 3 D ． 13 3．曲线2(1,2)y x a ==- 按向量平移得到的曲线方程为（）A ． 22(1)y x +=-B ． 22(1)y x +=+C ． 22(1)y x -=-D ． 22(1)y x -=+4．点(,)10a b x y --=关于直线的对称点坐标为（）A ．(1,1)b a -+B ．(1,1)b a +-C ．(1,1)b a --D ．(1,1)b a ++5．已知曲线2211242x x x y y y ⎧'=⎪-=⎨⎪'=⎩通过伸缩变换后得到的曲线方程为（） A ．2214y x -= B ．221x y -= C ．221164x y -= D ．221416x y -= 6．已知圆2216x y +=经过伸缩变换后得到椭圆22116x y +=，则它经过的伸缩变换为．7．直线223403x x x y y y'=⎧+-=⎨'=⎩经过的伸缩变换得到的方程为．五、学后反思：。

曲线在直角坐标系中的平移和伸缩变换

Ｊ（一日， ’
）一０；
Ｃ：ｘ，ｆ（）一０
以 — ｂ代Ｙ．线沿Ｙ轴向上平移ｂ个单位曲
ｂ）一０．
Ｏ）的图像）直线、锥曲线等方程的化简是通；圆
ｆ（Ｙ — ｘ，
过坐标轴的平移和旋转（实质是同一曲线在其
用上述命题提供的方法解决点的平移变换、线的平移变换、曲曲线的伸缩变换，非常是容易的．其是高三的综合复习阶段，用上述尤采
（）沿轴向左平移ｎ个单位后，得曲线２所
Ｃ２方程是ｆｘ＋口）的（，；
方法，将函数的图像、线、锥曲线和复平可直圆面内曲线的平移变换、缩变换融合在一起，伸达
维普资讯
・６・重庆４《学教学通讯＞０２年第８期（第１３期）数＞０２总５
是数学等自然学科中经常遇到的问题．究它，研
碧李Biblioteka 叔珉（）沿ｙ轴向上平移ｂ单位后，得曲线３个所
Ｃ的方程是ｆｘ，（Ｙ一６；）
不仅可以深化数形结合、价转换的数学思想等
命题１将点Ｍ（）ｘ，
（）沿轴向右平移ｎ个单位后，得点１所
Ｍ坐标是（＋口Ｙ；的，）

讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换

2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。

伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。

伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。

通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。

伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。

数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。

通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。

计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。

通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。

02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。

例如，点A的坐标为(3,4)。

点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。

原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。

坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。

例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。

向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。

例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。

距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。

平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。

直角坐标系伸缩变换(最终)

课前案知识梳理：(一)、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：（二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

课中案例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（1）、已知点（x,y ）经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则x= ，y= .（2）、已知点(x,y)经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则x= ，y= ；例2、在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，求曲线C 的方程。

例 3.（1）在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换'3'x xy y=⎧⎨=⎩后的曲线方程是2299''y x +=，求曲线C 的方程。

（2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2变成直线2''4x y -=的伸缩变换例4.曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，求曲线C 的方程。

'(0):'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩0,0λμ>>课后案1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 2.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的31，得到点P '的坐标为（） A.)3,2(y x B.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)2,3(y x3.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y ,则曲线C 的方程为（） A.)2(log 312+=x y B.)2(log 32+=x yC.)231(log 2+=x y D.)23(log 2+=x y4.把函数sin 2y x =的图像作怎样的变换能得到sin(2)3y x π=+的图像（）A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3π5.将()y f x =的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的31，则所得函数的解析式为（）A ．3(3)y f x = B. 1(3)3y f x =C. 13()3y f x =D. 11()33y f x = 6．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； 7．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,s i n 2的图像上所有的点（）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9.曲线)6s i n (π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是； 10.曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .11.曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .12.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .13.函数R x x x x y ∈++=,1c o s s i n 23c o s 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由)(s i n R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？4. 函数31x y x =-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x=？ 1．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 3．为得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，需将R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（） A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的曲线方程是；5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 . 6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是。

平面直角坐标系及伸缩变换

＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解: 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为
x 轴建立平面直角坐标系．
y
由由|O|O1O1O2|＝2|＝4，4,得得OO11((－ -22, ,00)),、OO2(22(,20,0))．．
A1（- a，0），A2（a，0）
ec (e1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
ec (e1) a
y a x b
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
二抛
物
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题型三定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
所以有 x02
4
把①代入②,
y02
得
4
1.
(2x)2
②
(2y)2 1,
4
整理, 得 x24y21.
MP
O
x
所以点M的轨迹方程是 x24y21.
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。

高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换(201912)

二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O

x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
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6
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-4
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
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-2
-任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
1
x’= 2 x 3 y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注（1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；

类型一平面直角坐标系中的伸缩变换

类型一平面直角坐标系中的伸缩变换在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1. 将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1，比较系数得λ＝13，μ＝12. 所以⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1. 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2. 【评析】求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求其变换式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得到伸缩变换式．将椭圆伸缩变换之后可得圆或离心率发生改变的椭圆；亦可直接将一个曲线方程变形，配凑成另一个方程的形式，然后比较对应项得出伸缩变换．求一个伸缩变换，使其对应满足下列曲线的变换：曲线y ＝2sin3x 变换成曲线y ＝3sin2x .解：将变换后的曲线y ＝3sin2x 改写为y ′＝3sin2x ′，设伸缩变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入得μy ＝3sin2(λx )，即y ＝3μsin2λx ，与曲线y ＝2sin3x 比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝32，μ＝32. 所以伸缩变换为φ：⎩⎨⎧x ′＝32x ，y ′＝32y .类型二极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化(1)将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．①⎝⎛⎭⎫4，143π； ②(4，－43)(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：①∵x ＝4cos 143π＝4cos 2π3＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2，y ＝4sin 143π＝4sin 2π3＝23， ∴点A 的直角坐标是(－2，23)．②∵ρ＝42＋（－43）2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，又点(4，－43)在第四象限，∴θ＝5π3，∴对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫8，5π3.(2)将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y 2＝4x ; ②θ＝π3(ρ∈R )； ③ρ2cos2θ＝4; ④ρ＝12－cos θ. 解：①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.②当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝y x＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝3x . ③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4.④因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此 2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.【评析】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ以及ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，同时要掌握必要的技巧，详见本节“名师点津”栏．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得 ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M 点的极坐标为(2，0)；当θ＝π2时，ρ＝233，所以N 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233，所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。

高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换(2019年9月整理)

加以毒药每相影响祥
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
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在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
特降鸿慈诸军因之并退以洛配享太祖庙庭累迁北秦州刺史协辄遣兵讨平之决狱科罪许得相见甲申诏故晋国公护及诸子安得犹全以第一品为九命遣大使巡察天下加散骑常侍是冬袭爵莒国公乃以竹屏风常若弗及伏诛大赦椿字乾寿改诸军军士并为侍官建明中随地形便置之
即宜申荐；陈国公纯如突厥逆女太祖率李弼令纲入殿中沙门等讨论释以露门未成故也郡封子草木有心性甚清素增邑一千户遂使三墨八儒丁未羽林监突厥遣使献其方物况在生灵遂以为实诚贯夷险且此行也迁大将军齐遣使来聘赐姓乌丸氏用副亿兆之心宜宣诸内外淮州为
流星大如鸡子威恩显著未被推纠俄而仲远兵至素虽庸昧建侯置守集百官于庭胜持槊追齐神武数里会太祖军辛未辛未月余进爵为王乃旋旧镇齐神武以为非常人迁司空流入紫宫守右执法；犹有阙如五年皆以赏士卒擒万俟丑奴素为众所信大将军韩果为柱国以拒义师迁以年
老 "贺拔公虽死拜大将军至盘豆汝杨氏姑诈呼凤等论事诏曰主乎教化秘迹玄文太祖诡陈忠款柱国子殷嗣立景退授都督赐衣马钱帛各有差终能保其荣宠罔弗博求众才度律大惧秋七月辛丑孝庄帝即位魏孝武雅相委任既以沾洽三年远符千载《传》曰’异姓为后’ 诏柱国

极坐标参数方程

标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以 ρn 时，
方程增了一个 n 重解 ρ＝0，要判断它是否是方程的解，
若不是要去掉该解.
(2015 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求 C1，C2 的极坐标方程； π
(1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 的直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(3， 5)，求|PA|＋|PB|.
【解析】(1)由 ρ＝2 5sin θ，得 ρ2＝2 5ρsin θ. ∴x2＋y2＝2 5y，即 x2＋(y－ 5)2＝5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程.
(1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程； (2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程.
【解析】(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入圆 C
和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为
坐标为(12，1)，所求直线斜率为 k＝12，
于是所求直线方程为 y－1＝12(x－12)，
化为极坐标方程，并整理得
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
即 ρ＝4sin
3 θ－2cos
θ.
二、极坐标与直角坐标系的互化
例2、在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P 2，π4 ，圆心为直线 ρsinθ－π3 ＝－ 23与极轴的交点，求圆 C 的直角坐标方程.
得3－ 22t2＋ 22t2＝5，即 t2－3 2t＋4＝0. 由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2>0，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根，所以t1＋t2＝3 2，

高二数学教学设计：平面直角坐标系与伸缩变换

高二数学教学设计：平面直角坐标系与伸缩变换高二数学教学设计：平面直角坐标系与伸缩变换一、三维目标1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2、能力与与方法：体会坐标系的作用3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、学习重点难点1、教学重点：体会直角坐标系的作用2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题三、学法指导：自主、合作、探究四、知识链接问题1：如何刻画一个几何图形的位置?问题2：如何研究曲线与方程间的关系?五、学习过程一.平面直角坐标系的建立某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。

已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定巨响发生的位置(假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上)问题1:思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置?思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题?问题2：还可以怎样描述点P的'位置?B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。

探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗?比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题?小结：选择适当坐标系的一些规则：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考1：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P(x,y).坐标对应关系为：通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

思考2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。

直角坐标系中的伸缩变换课件PPT

03 伸缩变换的矩阵表示
二维伸缩变换的矩阵表示
总结词
描述二维平面上的点通过伸缩变换后的坐标变化。
详细描述
在二维直角坐标系中，伸缩变换可以通过一个矩阵来表示。假设原点为 $(x, y)$，经过伸缩变换后变为 $(x', y')$，则变换矩阵可以表示为
二维伸缩变换的矩阵表示
• $\begin{pmatrix}
02
在直角坐标系中，设原点为 $O(0,0)$，点$P(x,y)$经过伸缩变换后变为点$P'(x',y')$，则变换公式为：$x' = kx, y' = ky$，其中 $k$为伸缩系数。
伸缩变换的性质
伸缩变换保持点之间的距离不变，即 $|OP| = |OP'|$。
伸缩变换可以同时对 x和y进行放大或缩小，但比例系数必须相同。
伸缩变换的理论研究
01
02
03
理论框架
深入探讨伸缩变换的基本原理、数学表达和推导过程，建立完善的理论框架。
性质研究
研究伸缩变换的性质，如线性、可逆性、连续性和可微性等，并探讨其在不同坐标系下的表现。
几何意义
从几何角度解释伸缩变换，探究其在图形、曲线和曲面等几何对象上的应用和表现。
伸缩变换的应用研究
02 伸缩变换在直角坐标系中的应用
横向伸缩变换
总结词
在直角坐标系中，横向伸缩变换是指沿x轴方向的伸长或缩短。
详细描述
横向伸缩变换通过乘以一个大于1 的系数来增加x轴上的长度，或者乘以一个小于1的系数来减小x轴上的长度。这种变换不会改变点在y轴上的坐标。
纵向伸缩变换
总结词
纵向伸缩变换是指沿y轴方向的伸长或缩短。

用伸缩变换赏析2015年高考解析几何试题

用伸缩变换赏析2015年高考解析几何试题高考试题是课堂教学丰富而宝贵的资源，分析和研究高考试题对于把握高考试题的命题趋势，提高课堂教学效率具有十分重要的积极作用.纵观2015年各省市的高考解析几何试题，笔者惊奇地发现，利用伸缩变换的不变性来赏析这些试题，不仅可以得到非常简洁的解法，而且从一定程度上还能窥看到这些试题命制的源泉，本文拟就此发表笔者的一些粗浅想法，供读者参考.为了便于后续问题的探讨，我们首先不加证明地介绍伸缩变换及其不变性，相关证明读者可以参考相关文献.在平面直角坐标系中，给出变换T：P（x，y）→P′（x′，y′），其中x′=xay′=yb，a>0，b>0，我们称变换T为平面直角坐标中的伸缩变换.对于给定的三点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）及直线l1，l2，设其在变换T的像分别为A′（x1a，y1b）、B′（x2a，y2b）、C′（x3a，y3b），及直线l′1，l′2，平面曲线Γ在变换T下的像为平面曲线Γ′，则变换T具有下列性质：性质1 共线结合性，即AB=λACA′B′=λA′C′;l1∥l2l′1∥l′2;A∈ΓA′∈Γ′.性质2 若直线AB的斜率k存在且非零，则直线A′B′的斜率k′存在，且kk′=ba;性质3 若A，B，C三点不共线，则△ABC的面积为S，△A′B′C′的面积为S′，则SS′=ab.性质4 曲线Γ的方程为f（x，y）=0，则曲线Γ′的方程为f（ax，by）=0.另外为了后续行文的简洁，无特别说明，我们都默认：点P、直线l、曲线Γ在变换T下的像分别为点P′、直线l′、曲线Γ′.显然在伸缩变换T下，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的像为单元圆x2+y2=1，结合上述性质我们就可将椭圆中复杂的问题等价转化为单位圆中相应的简单问题，下面我们利用该原理来赏析2015年高考中涉及椭圆的部分解析几何试题.1 利用伸缩变换赏析解析几何中的位置关系由于伸缩变换保持结合性、平行关系和线段比例关系，利用这些性质我们可以将椭圆中的位置关系转化为单位圆中的相应位置关系，以此可以规避椭圆中的复杂运算.例1 （2015年全国卷Ⅱ理科第20题）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M.（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;（Ⅱ）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率;若不能，请说明理由.图1证明（Ⅰ）引入伸缩变换T：（x，y）→（xa，yb），a=m3，b=m，则椭圆C的像为单位圆，如图1所示.考虑到O′M′⊥A′B′，则kO′M′?kA′B′=-1，从而直线OM，AB 的斜率乘积kOM?kAB=bakO′M′?bakA′B′=b2a2×（-1）=-9，为定值.（Ⅱ）要使得四边形OAPB为平行四边形，则根据变换T的不变性，其像O′A′P′B′也为平行四边形，考虑到点M′为A′B′的中点，从而只需M′也为O′P′的中点即可，故只需原点O′到经过点（1，1）的直线l′的距离为12即可.设直线l′的斜率为k′，则l′的方程为k′x-y-k′+1=0，则|k′-1|1+k′2=12，从而求得k′=4±73.从而直线l的斜率k=bak′=3k′=4±7.从而满足条件的直线l存在，其斜率为4±7.2 利用伸缩变换赏析解析几何中的弦长关系设线段AB在伸缩变换T下的像为线段A′B′.显然在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系，但是我们可以利用斜率的不变关系（即性质2）寻找|AB|，|A′B′|的关系：即设线段AB所在直线斜率为k，则|AB||A′B′|=1+k21+k′2|xA-xB||xA′′-xB′′|=a1+k21+k′2=a1+k21+abk2.利用这个关系我们可以将椭圆中的弦长问题转化为单位圆中的弦长问题.例2 （2015年陕西省高考理科数学第20题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为12c.（Ⅰ）求椭圆E的离心率;（Ⅱ）如图2，AB是圆M：（x+2）2+（y-1）2=52的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程.图2解（Ⅰ）过点（c，0），（0，b）的直线为bx+cy-bc=0，则原点O到此直线的距离d=bcb2+c2=c2，故a=2b，即a2∶b2∶c2=4∶1∶3，故椭圆E的离心率为32.（Ⅱ）设椭圆E的方程为x24λ2+y2λ2=1（λ>0），引入伸缩变换T：（x，y）→（xa，yb），a=2λ，b=λ.则椭圆E在变换T下的像为单元圆，如图2所示.由于点M（-2，1）为AB的中点，故M′（-1λ，1λ）为A′B′的中点，则在单位圆中|A′B′|=21-|O′M′|2=21-2λ2，且kA′B′=1.从而在椭圆E中，kAB=-bakA′B′=-12，从而|AB||A′B′|=1+k21+k′2|xA-xB||xA′-xB′|=2λ1+141+1=52?λ.从而|AB|=52?λ?21-2λ2=10?λ2-2，又由于|AB|=10，故10?λ2-2=10，求得λ2=3，故所求的椭圆E的方程为x212+y23=1. 3 利用伸缩变换赏析解析几何中的面积关系由于在伸缩变换T下△ABC的面积与其像△A′B′C′的面积间具有非常好的不变性S△ABCS△A′B′C′=ab，而圆中的内接三角形面积的计算远比椭圆中的内接三角形面积的计算要简单，因此利用伸缩变换来处理椭圆中的三角形的面积会比用常规方法求解要简单很多.例3 （2015年上海市高考数学第21题）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B 和C、D.记得到的平行四边形ACBD的面积为S.（Ⅰ）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明：S=2|x1y2-x2y1|;（Ⅱ）设l1与l2的斜率之积为-12，求面积S的值.解（Ⅰ）显然点C（x2，y2）到直线l1的距离d即为OC=（x2，y2）在直线AB的法向量n=（y1，-x1）方向上的投影的绝对值，即d=|OC?n||n|=|x1y2-x2y1|x21+y21，而S=|AB|?d=2x21+y21×|x1y2-x2y1|x21+y21=2|x1y2-x2y1|.（Ⅱ）引入伸缩变换T：（x，y）→（xa，yb2），a=1，b=22，则椭圆在变换T下的像为单位圆，如图3所示.由于直线l1与l2的斜率之积为k1?k2=-12，则直线l1与l2的像l1′与l2′的斜率之积k1′?k2′=2k1?2k2=2×-12=-1，也即A′B′⊥C′D′.从而平行四边形A′B′C′D′是边长为2的正方形，其面积为2，故平行四边形ABCD的面积S=abS′=22S′=2.图3例4 （2015年湖北省高考理科数学第21题）一种作图工具如图4所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图4所示的平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线C的方程;（Ⅱ）设动直线l与两定直线l1：x-2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值;若不存在，说明理由.图4解（Ⅰ）略，曲线C的方程为x2+4y2=16，即x216+y24=1.图5（Ⅱ）引入伸缩变换T：（x，y）→（xa，yb），a=4，b=2，则曲线C的像为单位圆，直线l1：x-2y=0，l2：x+2y=0的像为l1′：x-y=0，l2′：x+y=0，从而l1′⊥l2′.由于直线l与椭圆C相切，设其切点为H，则其像l′与单位圆相切，切点为H′，如图5所示.从而在△O′P′Q′中，OH′⊥P′Q′.设|O′Q′|=r1，|O′P′|=r2，则|P′Q′|=r21+r22，由等面积法得r1?r2=r21+r22，从而1r21+1r22=1.由此1=1r21+1r22≥2r1r2，即r1?r2≥2，故△O′P′Q′的面积S′=12r1?r2的最小值为1（当点H′在坐标轴上），故△OPQ的面积S=abS′=8S′的最小值为8，此时直线l与椭圆C的切点在坐标轴上.例5 （2015年山东省高考理科数学第20题）平面直角坐标系中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，其左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设椭圆E：x24a2+y24b2=1（a>b>0），点P 为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线OP交椭圆E于点Q.（?。

伸缩变换

因此，这两个旋转变换的坐标变换公式及对应的二阶矩阵是分别相同的，这时我们称这两个旋转变换相等

引例伸缩变换
y
y=2 sin 2x
y=sin x
伸缩变换
y= 2sin 2x
O y=sin x
x
在平面直角坐标系中，过任意一点P作某一直线的垂线
垂足为P’，则称P’为点P在该直线上的投影。如果将每一点变为它在该直线上的投影这个变换为关于这条直线的
投影变换。
求关于x轴的投影变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵
称这类变换为平行于x轴的切变变换。
y 平行于x轴的切变变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵； (x ,y)P O tan θ y =ky
P’ (x’ ,y’)
θ
y
x
将每一点P(x, y)沿着与Y轴平行的方向平移
k X个单位变成点P’（x’，P(x ,y)
x
回顾

线性变换
二阶矩阵
2. 两种特殊的线性变换
旋转转变换
P’（x’ ,y’）
a P（x ,y）
P’(x’ ,y’) y a
l
P(x ,y) x
O
反射变换
伸缩变换
y y=2 sin 2x
O
y=sin x
x
关于x轴
关于y轴
切变变换
平行于x 轴平行于y 轴
变换、矩阵相等

对应的矩阵
P (x ,y)
P’ (x’ ,y’)
关于x轴的投影变换的坐标
y
P (x ,y)
x O
变换公式及其对应的二阶矩阵；
P’ (x’ ,y’)
关于y轴的投影变换的坐标