直角坐标系伸缩变换(最终)
2.平面直角坐标系中的伸缩变换(教师版)
2 平面直角坐标系中的伸缩变换
主备： 审核：
学习目标：
1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；
2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.
学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.
学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.
学习过程：
一、课前准备
阅读教材14P P -的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题：
1.在直角坐标系中，已知点(,)M a b ，则
①M 关于原点O 的对称点为(,)a b --； ②M 关于x 轴的对称点为(,)a b -； ③M 关于y 轴的对称点为,)a b (-； ④M 关于直线y x =的对称点为(,)b a ； ⑤M 关于直线y x =-的对称点为(,)b a --；
⑥M 关于直线y x t =+的对称点为(,)b t a t -+.
2．平移变换
①平面上任一点P 的坐标(,)x y ，按向量(,)a h k = 平移后的坐标为(,)P x y '''，则有
x k x y k y
'+=⎧⎨'+=⎩ ②曲线(,)0F x y =的图像，按(,)a h k = 平移后的曲线方程为(,)0F x h y k --=.
3.填空题：
（1）已知点(4,3)P -按向量(1,5)a = 平移到Q 点，则Q 的坐标为(3,8)-．
（2）函数2()23f x x =-向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是 ()f x =22(3)4x --.
(3) 抛物线2
2y x =按向量(3,2)n =- 平移，得到的曲线的方程是2(2)2(3)y x -=+. 二、新课导学
第一讲 一 平面直角坐标系
首页
上一页
下一页
末页
结束
[证明] 如图，以 A 为坐标原点，AB 所 在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系．
设 B(a,0)，C(b，c)， 则 AC 的中点 E 的坐标为b2，2c，由对称性知 D(b－a，c)， 所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2， |AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， |AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab， 所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
结束
首页
上一页
下一页
末页
一
平面直角坐标系
结束
1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标 (有序 实数对)、曲线与 方程 建立了联系，从而实现 数与形的结合．
首页
上一页
下一页
末页
结束
(2)坐标法解决几何问题的三步骤： 第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉 及的 几何 元素，将几何问题转化为 代数 问题； 第二步：通过代数运算解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成 几何结论．
立平面直角坐标系(如图所示)，则点
C
的轨迹方程为x2＋y2＝ 43
1(y≠0)．
选修4-4伸缩变换与极坐标系(上课课件)
例 1、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 求 下 列 方 程 所 对 应 的 图 形 经 过 伸 缩 变 换{ (1)、 2x 3y 0 ( 2 )、 x y
2 2
x 2 x y 3 y
后的图形。
1
解： (1)由伸缩变换 {
x 2 x y 3 y
x 得到{ y
( 3 ) 怎样由正弦曲线 y sin x 得到曲线 y 3 sin 2 x ?
设 P ( x , y )是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 纵坐标 y 不变，将横坐标 任意一点，先保持 1 2 ，
x 缩为原来的
在此基础上再将纵坐标
就可以由正弦曲线
y 伸长为原来的
3 倍，
y sin x 得到曲线
y 3 sin 2 x
归纳总结：
坐标伸缩变换
设P ( x , y )是平面直角坐标系中的 任意一点，经过上述
' ' '
变换后变为点 P ( x , y ), 即有{
x
'
1
2 ( 3) ' y 3y
x
此时，我们把 ( 3)式叫做平面直角坐标系 中的一个坐标 伸缩变换.
归纳总结：
定义：设点 P ( x , y )是平面直角坐标系中的 任意一 x x ( 0) 点，在变换 ： { y y ( 0) 的作用下，点 P ( x , y )对到应点P ( x , y )，称为平面 直角坐标系中的坐标伸 缩变换，简称伸缩变换 .
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换
y’=3y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
x’=3x
换
后，
y’=y
曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:
wk.baidu.com
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变 换得到；
y
1
2 1
x (5)
y
3
将(5)代入2x 3y 0,得到经过伸缩变换
后的方程为x y 0
所以，经过伸缩变换{x 2x 后，直线 y 3y
2x 3y 0变成直线x y 0
(2)、将(5)代入x2 y2 1,得到经过伸缩变换后的 图形的方程是x2 y2 1
二.平面直角坐标系中的伸缩 变换
2.平面直角坐标系中的伸缩变换(学生版)
2 平面直角坐标系中的伸缩变换
主备： 审核： 学习目标：
1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；
2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.
学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.
学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.
学习过程：
一、课前准备
阅读教材14P P -的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题：
1.在直角坐标系中，已知点(,)M a b ，则
①M 关于原点O 的对称点为 ； ②M 关于x 轴的对称点为 ； ③M 关于y 轴的对称点为 ； ④M 关于直线y x =的对称点为 ； ⑤M 关于直线y x =-的对称点为 ；
⑥M 关于直线y x t =+的对称点为 .
2．平移变换
①平面上任一点P 的坐标(,)x y ，按向量(,)a h k = 平移后的坐标为(,)P x y '''，则有
②曲线(,)0F x y =的图像，按(,)a h k = 平移后的曲线方程为 .
3.填空题：
（1）已知点(4,3)P -按向量(1,5)a = 平移到Q 点，则Q 的坐标为 ．
（2）函数2()23f x x =-向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是 ()f x = .
(3) 抛物线2
2y x =按向量(3,2)n =- 平移，得到的曲线的方程是 . 二、新课导学
（一）新知：
伸缩变换
①一般地，由(0)kx x k y y '=⎧>⎨'
=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的k 倍；
讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换
2023讲坐标系平面直角坐标系
中的伸缩变换
contents •引言
•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理
•伸缩变换的应用实例
•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望
目录
01引言
伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或
缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。
伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。
伸缩变换的定义
伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。
通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。
伸缩变换的重要性
伸缩变换的应用场景
图像缩放
01
在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用
的需求。
数据预处理
02
在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，
其中包括对数据进行缩放。通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺
度，减少计算误差。
计算机视觉
03
在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领
域。通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。
02平面直角坐标系的基本概念
在平面直角坐标系中，每个点
都可以由两个数值，即横坐标
和纵坐标，来表示。例如，点A的坐标为(3,4)。
点的坐标表示
点的坐标
平面直角坐标系的原点是(0,0)。
原点
平面直角坐标系中有两条相互垂直
的坐标轴，分别是x轴和y轴。
坐标轴
点到点的距离
在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。
几何代数60----空间直角坐标变换
设新坐标系 ′ ′ ′ ′ 下的基向量为 ′, ′, ′. {\begin{cases} i′= cos ~\alpha _1 i + cos ~\beta_1 j + cos~ \gamma _1 k , \\ j′= cos ~\alpha _2 i + cos ~\beta _2 j + cos~ \gamma _2 k , \\ k′= cos ~\alpha _3 i + cos ~\beta _3 j + cos~ \gamma _3 k , \\ \end{cases}} 代数表示： \Rightarrow \begin{pmatrix} ′\\ ′\\ ′ \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} &cos ~\alpha_1 &cos ~\beta_1 &cos~ \gamma_1 \\ &cos ~\alpha_2 &cos ~\beta_2 &cos~ \gamma_2 \\ &cos ~\alpha_3 &cos ~\beta_3 &cos~ \gamma_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} \\ \\ \end{pmatrix} \large\begin{aligned} \bbox[lime]{行向量为单位正交向量} \end{aligned}
直角坐标系伸缩变换(最终)
课前案
知识梳理：
(一)、直角坐标系：
1、直线上点的坐标：
2、平面直角坐标系：
右手系：
左手系：
3、空间直角坐标系： （二）、平面上的伸缩变换：
1、定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换
2、注（1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
课中案
例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：
（1）、已知点（x,y ）经过伸缩变换⎩
⎨⎧==y y x
x 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则x= ，y= .
（2）、已知点(x,y)经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧
==y
y x
x 3'21'后的点的坐标是（-2，6）
，则x= ，y= ； 例2、在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'42
2=-y x ，
求曲线C 的方程。
例 3.（1）在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换'3'x x
y y
=⎧⎨
=⎩后的曲线方程是
2
2
99''
y x +=，求曲线C 的方程。
（2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2变成直线2''4x y -=的伸缩变换
例4.曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'42
2=-y x ，求曲线C 的方程。
'(0):'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨
坐标的伸缩变换
的伸缩变换
温故知新
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到y=sin2x ? 保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1/2
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到y=3sin2x ? 纵坐标变为原来的3倍，横坐标变为原来的 1/2
新知探究
设P ( x, y )是平面直角坐标系中的 任意一 点，纵坐标 y 变为原来的3倍，将横坐标 x 1 缩为原来的 , 那么经上述变换后变为
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换
例1：在平面直角坐标系中，求下列方程 所对应的图形经过伸缩变换 x ' = 2 x， y' = 3 y 后的图形
） （1 2 x + 3 y = 0, ( 2) x + y = 1
2 2
详见P7的答案
练习1：P 8 5
x = 3 x, '2 '2 解：以 ' 代人 x + 9 y = 9 得到 y = y
1 x ' = x， 2 y' = 3 y 我们把（1）式叫做平面直角坐标系中的一
2 P( x, y ) ， 则
个坐标压缩变换
数学概念
定义：设点P( x, y )是平面直角坐标系中的任 意一点，在变换 x' = x, ( 0) : y ' = y, ( 0) 的作用下，点P( x, y )对应到点P' ( x' , y ' ), 称
1.1直角坐标系平面上的伸缩变换
1．1 直角坐标系，平面上的伸缩变换
1．1.1 直角坐标系 1．1.2 平面上的伸缩变换
基础达标
1．把函数y ＝sin 2x 的图象变成y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的变换是 ( )
A ．向左平移π
6 B ．向右平移π
6 C ．向左平移π
3 D ．向右平移π
3
答案：A
解析：由函数y ＝sin 2x 的图象得到y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象所作的变换为
⎩⎪⎨
⎪⎧
X ＝x －π6，
Y ＝y ，
故是向左平移π
6个单位．
2．已知▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1,2)、(3,0)、(5,1)，则 点D 的坐标是
( )
A ．(9，－1)
B ．(－3,1)
C ．(1,3)
D ．(2,2)
答案：C
解析：由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标．设D (x ，y )，
则⎩⎨
⎧
k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5.
∴⎩⎨⎧
x ＝1，
y ＝3.
，故D (1,3)． 3．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线Y ＝sin X 的伸缩变换是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2X y ＝13
Y
B.⎩
⎪⎨⎪
⎧
X ＝2x Y ＝13y
C.⎩⎨⎧
x ＝2X
y ＝3Y D.⎩⎨⎧
X ＝2x Y ＝3y
答案：B
解析：设⎩⎨⎧
X ＝ax Y ＝by 代入第二个方程Y ＝sin X 得by ＝sin ax ，即y ＝1
b sin ax ，
比较系数可得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝13
平面直角坐标系及伸缩变换
lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
C(5, 7)，则 AB 边上的中线的方程为___________.
3x 2 y 0(1≤ x ≤5)
练习1. 解:
2.
y2 x2
yx的
B
3.
B
4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是__y_2=__4(_x_-_1)_
解:设动点为(x，y)，则由题设得
x 2 2 y 2 |x|
题 型 一 直接法求轨迹方程
【例 1】已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P 满足 MN MP 6 | NP | .
(2)设 Q 是曲线 C 上任意一点，求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0
的距离的最小值．
(((222)))由由由几几几何何何性性性质质质意意意义义义知知知，，，椭椭椭圆圆圆CC与C与平与平行平行于行于于ll的的l切切的线线切l线l′′的的l′的 距距距离离离等等等于于于QQQ与与与ll的l的的距距距离离离的的的最最最小小值小值．值．．
平面直角坐标系坐标系的伸缩变换
3
3
求伸缩变换 的形式。
y sin(x )
x
3y
待求 y 3sin(2x ) 待求
x'
3 y'
思考题
伸缩变换总结
变
x 关系1 y
换 图
x'=λx x'
关系2
y'= μy y'
利用等量代换的方法，列出满足条件的方程
作业
伸缩变换课时作业
点 ∵∴由 故y (点(yxx3'(,:,sxysiyn'i,'xy)n)y1'满 ，'x')x在则足 在23伸xyyy缩得变3ss换iixynn12x:1213x可上xyxy'得''' 23(xy1的x作', 1用y下')所满得足图y象的s解in析x式为
2
23
例 1：在平面直角坐标系中，求 2x 3y 0 经过伸缩变换
则关系式为
x' 2x
y
'
y
绘制点
观察下列坐标是否具有相同的特点； （1）(0, 2) 和 (0,1) ；（2）(1, 2) 和 (1, 1) ；（3）(3,10) 和 (3,5)
文字描述：横坐标不变，纵坐标变换为原来的一半
代数形式表示：设变换前的坐标为 (x, y) ，变换后的坐标为 (x ', y ') ，
平面直角坐标系中的伸缩变换
平面直角坐标系中的伸缩变换
【例1】 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆
x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.
【解】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)， 由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫μ22y 2＝1. 与x 2＋y 2＝1比较系数，
得⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝3，μ＝2， 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，
再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.
若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.
伸缩变换
高效展示
展示内容 合作探究1 板书展示） 合作探究1 （板书展示） 合作探究2 板书展示） 合作探究2 （板书展示） 合作探究3 板书展示） 合作探究3 （板书展示） 合作探究4 板书展示） 合作探究4 （板书展示） 展示小组 第二组 第四组
要求： 要求： 板书展示要分层次、要点化，书写要认真、 规范。 ⑴板书展示要分层次、要点化，书写要认真、 规范。 非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。 ⑵非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。不浪 费一分钟， 费一分钟，小组长做好安排和检查
反馈练习
学生自主完成
课堂评价
小 组
积分 优胜 个人
一 组
二 组
三 组
四 组
五 组
六 组
七 组
八 组
ຫໍສະໝຸດ Baidu
说明：1.学科班长回扣目标 总结收获， 说明：1.学科班长回扣目标 总结收获， 2.评出优胜小组和优胜个人 评出优胜小组和优胜个人。 2.评出优胜小组和优胜个人。
课后完成训练案并整理巩固
合作探究1.在同一直角坐标系下， 合作探究 在同一直角坐标系下，求 在同一直角坐标系下 满足下列图形的伸缩变换： 满足下列图形的伸缩变换：曲线 4x2+9y2=36变为曲线 x2+ y ′2=1. 变为曲线2 变为曲线 ′
合作探究2.在同一直角坐标系下， 合作探究 在同一直角坐标系下，经 在同一直角坐标系下 ' x = 3 x 后， 过伸缩变换 ' y =y 曲线C变为 2 曲线 变为 x′ －9 y′2 =1，求曲线 的 ，求曲线C的 方程并画出图形。 方程并画出图形。
高中数学4 课件1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换
同的;第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变,x
轴上的单位长度缩小为原来的
1 ������
,那么此时f(x,y)=0表示的图形与第
(1)种坐标系中的图形也是不同的.
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
做一做 已知圆的方程为x2+y2=16,如果x轴上的单位长度为y轴 上单位长度的4倍,那么该圆对应的图形是 ( )
1 ������
倍.第(1)种坐标
系中的意思是x轴与y轴上的单位长度一样,f(x,y)=0的图形就是我们
以前学过的平面直角坐标系中f(x,y)=0的图形;第(2)种坐标系中的
意思是如果x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原
来的
1 ������
,那么此时f(x,y)=0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不
探究一
探究二
(2)如果 x 轴上的单位长度保持不变,y 轴上的单位长度缩小为 原来的12,那么���9���2 − ���4���2=1 的图形如下图.
(3)如果 y 轴上的单位长度保持不变,x 轴上的单位长度缩小为 原来的12,那么���9���2 − ���4���2=1 的图形如下图.
探究一
的图形如图②.
(3)如果 y 轴上的单位长度保持不变,x 轴上的单位长度缩小为原
直角坐标系中的伸缩变换课件PPT
矩阵表示的几何意义在于描述空间中点的坐标变化。通过矩阵与点的坐标相乘，可以得到变换后的新坐标。这种 变换不仅改变了坐标的大小（通过伸缩因子），还可能改变了坐标的方向（通过非对角线元素）。在实际应用中， 可以根据具体需求选择不同的伸缩因子和矩阵形式，以达到所需的变换效果。
04 伸缩变换在图像处理中的 应用
三维伸缩变换的矩阵表示
• $\begin{pmatrix}
三维伸缩变换的矩阵表示
a&0&0 0&b&0
0&0&c
三维伸缩变换的矩阵表示
end{pmatrix}$ 其中 $a, b, c$ 是伸缩因子，分别表示 $x, y, z$ 轴的伸缩程度。
矩阵表示的几何意义
总结词
解释矩阵表示的几何意义。
伸缩变换保持直线的 斜率不变，即经过伸 缩变换后，直线仍为 直线。
伸缩变换的几何意义
伸缩变换可以用来改变平面图形 的大小，例如将一个矩形变为正
方形或菱形。
通过伸缩变换可以实现对平面图 形的缩放、拉伸和平移等操作，
方便对图形进行测量和计算。
在图像处理中，伸缩变换被广泛 应用于图像缩放、图像增强和图
像修复等领域。
详细描述
纵向伸缩变换通过乘以一个大于1的系数来增加y轴上的长度，或者乘以一个小 于1的系数来减小y轴上的长度。这种变换不会改变点在x轴上的坐标。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课前案
知识梳理：
(一)、直角坐标系：
1、直线上点的坐标：
2、平面直角坐标系：
右手系：
左手系：
3、空间直角坐标系： （二）、平面上的伸缩变换：
1、定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换
2、注（1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
课中案
例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：
（1）、已知点（x,y ）经过伸缩变换⎩
⎨⎧==y y x
x 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则x= ，y= .
（2）、已知点(x,y)经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧
==y
y x
x 3'21'后的点的坐标是（-2，6）
，则x= ，y= ； 例2、在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'42
2=-y x ，
求曲线C 的方程。
例 3.（1）在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换'3'x x
y y
=⎧⎨
=⎩后的曲线方程是
2
2
99''
y x +=，求曲线C 的方程。
（2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2变成直线2''4x y -=的伸缩变换
例4.曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'42
2=-y x ，求曲线C 的方程。
'(0):'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨
=>⎩0,0
λμ>>
课后案
1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）
A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'
B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 2.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的3
1，得到点P '的坐标为
（ ） A.)3,2(y x B.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)
2,3
(y x
3.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩
⎪⎨⎧='='y y x
x 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y ,则曲线C 的
方程为 （ ） A.
)2(log 3
12+=x y B.)2(log 32+=x y
C.)23
1(log 2+=x y D.)23(log 2+=x y
4.把函数sin 2y x =的图像作怎样的变换能得到sin(2)3
y x π
=+的图像 （ ）
A ．向左平移
6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3
π
5.将()y f x =的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的3
1
，则所得函数的解析式为
（ ）
A ．3(3)y f x = B. 1(3)3y f x =
C. 13()3y f x =
D. 11()33
y f x = 6．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪
⎨⎧==y
y x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6）
，则=x ，=y ； 7．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 8．为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需将函数R x x y ∈=,s i n 2的图像上所有的点（ ）
A.向左平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变） C.向左平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
9.曲线)6s i n (π
+=x y 经过伸缩变换⎩⎨
⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 ； 10.曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'2
2=+-x y x 的伸缩变换是 .
11.曲线36492
2=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .
12.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .
13.函数R x x x x y ∈++=
,1c o s s i n 2
3c o s 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由)(s i n R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
1．点)1,2(
π
经过伸缩变换⎩⎨
⎧==y
y x
x 3'2'后的点的坐标是 ； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与⎩⎨⎧==y
y x x 2'2'的作用下，单位圆12
2=+y x 分别变成什么图形？
4. 函数31x y x =
-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x
=？ 1．点),(y x 经过伸缩变换⎩
⎨
⎧==y y x
x 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .
2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 3．为得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，需将R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ） A.向左平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
B.向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变）
C.向左平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D.向右平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
4．曲线)6sin(π
+=x y 经过伸缩变换⎩
⎨⎧==y y x
x 2'3'后的曲线方程是 ；
5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'2
2=+-x y x 的伸缩变换是 . 6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的1
3
，纵坐标变为原来的1
2
而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。