7-1动态电路方程
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一阶电路详解
解: t = 0- 时，开关尚未断开瞬间， uC(0-)=12 V, iC(0-)= 0 (隔直)；
t = 0+ 时，开关刚断开瞬间， uC(0+)= uC(0-)=12 V ；
u C (t ) u C (0 ) e
t
t0
将电容用电压源 uC(t) 进行替代后，得电阻网络如上图，则
i (t )
① 取独立电源 t = 0 + 时的值； ② 把电容用 uS = uC(0+)的电压源代替，把电感用 iS = iL(0+) 的电流源代替；
③ 画出 t = 0 + 时的等效计算电路；
④ 列方程求解电阻电路可得其他初始值。
§7-2 一阶电路的零输入响应
零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应
iL(0+) = 0, 则换路瞬间，电感相当于开路。 3. 独立初始条件uC(0+)和 iL(0+) 由 t = 0- 时的 uC(0-)和 iL(0-) 确定。非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、 电感电压）需要通过已知的独立初始条件求得。 例7-1
PP 139
初始值计算
4. 确定初始值的方法
Chapter 6
一阶电路
主要内容 1. 动态电路的方程及其初始条件； 2. 一阶电路和二阶电路的零输入响应、零状态 响应和全响应； 3.一阶电路和二阶电路的阶跃响应； 4.一阶电路和二阶电路的冲激响应。
(精选)动态电路的方程及其解
2、一阶电路：只有一个动态元件的电路， 其电路方程为一阶 微分方程， 故称为一阶电路。
3、n阶电路：含有n个独立的动态元件的电路， 其电路方程为n 阶微分方程， 称为n阶电路。
1
i(t) N1 uc C
N2
若给定初始条件以及t≥t0时的uoc(t)或 isc(t),便可由方程解得t≥t0时的uc(t) ,然后 用置换定理将电容置换为电压源求得所
独立初始值与非独立初始值：n阶微分方程就需要n个初始条件， 它们是所求变量(电压或电流)及其1， 2， …， (n-1)阶导数在 t=0+时的值(设换路时刻t=t0=0)， 也称为初始值。其中电容电压 和电感电流的初始值uC(0+)和iL(0+)由初始储能决定，称为独立 的初始值或初始状态， 其余各变量(如iC ， uL， iR ， uR等)的 初始值称为非独立的初始值，它们将由激励(电压源或电流源)以 及独立初始值uC (0+)和iL (0+)来确定。
令uCp =A，并将它代入电路方程， 得
故得uS 的特解
1
A
=
1
US
uCp (t)=A= US
12
(4) 求完全解。 电容电压的完全解为
-t/
uc(t)= uch(t)+ ucp(t)=Ke
+ US
（t≥0）
式中常数K由初始条件确定。 当t=0时， 由上式和给定的初始 电压，得
3、n阶电路：含有n个独立的动态元件的电路， 其电路方程为n 阶微分方程， 称为n阶电路。
1
i(t) N1 uc C
N2
若给定初始条件以及t≥t0时的uoc(t)或 isc(t),便可由方程解得t≥t0时的uc(t) ,然后 用置换定理将电容置换为电压源求得所
独立初始值与非独立初始值：n阶微分方程就需要n个初始条件， 它们是所求变量(电压或电流)及其1， 2， …， (n-1)阶导数在 t=0+时的值(设换路时刻t=t0=0)， 也称为初始值。其中电容电压 和电感电流的初始值uC(0+)和iL(0+)由初始储能决定，称为独立 的初始值或初始状态， 其余各变量(如iC ， uL， iR ， uR等)的 初始值称为非独立的初始值，它们将由激励(电压源或电流源)以 及独立初始值uC (0+)和iL (0+)来确定。
令uCp =A，并将它代入电路方程， 得
故得uS 的特解
1
A
=
1
US
uCp (t)=A= US
12
(4) 求完全解。 电容电压的完全解为
-t/
uc(t)= uch(t)+ ucp(t)=Ke
+ US
（t≥0）
式中常数K由初始条件确定。 当t=0时， 由上式和给定的初始 电压，得
一阶电路和二阶电路
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
三、换路：电路结构或参数变化，称为换路
说明：举例
+
Us
-
R0
K (t=0)
+
C Uc
－
换路可以认为在t=0(t=t0)时进行
0-、0+的概念： t=0 t
0-
0+
0- 换路前一瞬间 0+ 换路后一瞬间
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
四、过渡过程: 电路从一个稳定状态到另一稳定状态之
大 小
t
(2)时间常数: 电压初值一定：
C 大（R不变） W=0.5Cu2 储能大 R 大（ C不变） i=u/R 放电电流小
说明： S
放电时间长
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ的物理意义：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间 Uc
Uc
U0
0.368U0
(0.368)2 U0
t
2
A
t
B
物理上： t uc = 0 实际上： t = (3 ~ 4)τ uc = 0
§7-2 一阶电路的零输入响应
三、 RL电路零输入响应
R1
US
Ri
+
K(t=0) L uL
–
i (0+) =
i (0-) =
US R1 R
电路分析中动态电路的电路方程
由式(2)求得 代入式(1)得到
L diL i1 iL R2 dt
( R1 R2 ) L diL ( R1 R2 )iL R2 iL uS R2 dt
整理
( R1 R2 ) L diL R1iL uS R2 dt
(7 19)
图7-21
解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图(b)电 路，其中
分方程。
图7-22
解一：列出网孔方程
( R1 R2 )i1 R2 iC uS R2 i1 ( R2 R3 )iC uC 0
( R1 R2 )i1 R2 iC uS R2 i1 ( R2 R3 )iC uC 0
补充方程
duC iC C dt
2 duS ( t ) diL (t ) diL ( t ) R1 LC ( L R R C ) ( R R ) i ( t ) R C uS ( t ) 1 2 1 2 L 1 2 dt dt dt
*****
符 号 网 络 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成电 七系--胡翔骏 *****
得到以i1(t)和uC(t)为变量的方程
duC ( R1 R2 )i1 R2C uS dt R i ( R R )C duC u 0 2 1 2 3 C dt
§7-1 分解方法在动态电路分析中的运用
对于含电感的一阶电路是用电流值为 iL (t)的电流源
去置换电感。
电感电路的微分方程为：
或
L R0
diL dt
iL
iSC
L
diL dt
R0iL
uOC
返回
X
4.几个定义
（1） 换路：电路结构或参数的改变（电源或无源 元件的断开或接入等）所引起的电路变化。
换路前的一瞬间记为 t t0
换路后的一瞬间记为 t t0 （2）换路定则：uC (t0 ) uC (t0 )
iL (t0 ) iL (t0 )
（3）过渡过程：电路发生换路时，可能使电路改变
原来的工作状态而转变到另外一种工作状态，而这
种转变往往需要经历一个过程，称这个过程为过渡
过程。
返回
X
uR0(t) i(t)
uR0 (t) uC (t) uOC (t)
uOC(t)
+
R0
+
uc(t)
C
uR0
(t)
R0i(t)，i(t)
C
duC dt
-
-
(a)
R0CБайду номын сангаас
duC dt
uC
uOC
i(t)
对图(b)，根据KCL可得：
iSC(t)
+
R0 uc(t) C
电路课件 电路07 一阶电路和二阶电路的时域分析
q(0 ) q(0 ) iC dt
1 t iC ( )d t C 0
• 从上2式可见，换路前后，即0-到0+瞬间，电流ic(t)为 有限值，则式2式右方积分项为零，电容上电荷和电 压不发生跃变，即： q(0+)＝q(0-) (7-2a) uc(0+)＝uc(0-) (7-2b) • 一个在t＝0-储存电荷为q(0-)，电压uc(0-)＝U0电容， 换路瞬间不发生跃变，有uc(0+)=uc(0-)=U0，可见在换 路瞬间，电容可视为电压值为U0电压源。 • 一个在t=0-不带电荷电容，换路瞬间不发生跃变，有 uc(0+)=uc(0-)=0，换路瞬间电容相当于短路。
t0 t
线性电感换路瞬间情况
1 t iL (t ) iL (t0 ) u L ( )d L t0
0 0
L (0 ) L (0 ) uL dt
1 0 iL (0 ) iL (0 ) u L dt L 0
(7 3a)
(7 3b)
• 从0-到0+瞬间，电压uL(t)为有限值，式中右方积分项 将为零，电感中磁通链和电流不发生跃变，即： Ψ L(0+)＝Ψ L(0-) (7-4a) iL(0+)＝ iL(0-) (7-4b) • 对t＝0-时电流为I0电感，换路瞬间不发生跃变，有 iL(0+)＝iL(0-)＝I0，在换路瞬间可视为I0电流源。 • 对t＝0-时电流为零电感，换路瞬间不发生跃变有iL(0+) ＝iL(0-)＝0，在换路瞬间相当于开路。
1 t iC ( )d t C 0
• 从上2式可见，换路前后，即0-到0+瞬间，电流ic(t)为 有限值，则式2式右方积分项为零，电容上电荷和电 压不发生跃变，即： q(0+)＝q(0-) (7-2a) uc(0+)＝uc(0-) (7-2b) • 一个在t＝0-储存电荷为q(0-)，电压uc(0-)＝U0电容， 换路瞬间不发生跃变，有uc(0+)=uc(0-)=U0，可见在换 路瞬间，电容可视为电压值为U0电压源。 • 一个在t=0-不带电荷电容，换路瞬间不发生跃变，有 uc(0+)=uc(0-)=0，换路瞬间电容相当于短路。
t0 t
线性电感换路瞬间情况
1 t iL (t ) iL (t0 ) u L ( )d L t0
0 0
L (0 ) L (0 ) uL dt
1 0 iL (0 ) iL (0 ) u L dt L 0
(7 3a)
(7 3b)
• 从0-到0+瞬间，电压uL(t)为有限值，式中右方积分项 将为零，电感中磁通链和电流不发生跃变，即： Ψ L(0+)＝Ψ L(0-) (7-4a) iL(0+)＝ iL(0-) (7-4b) • 对t＝0-时电流为I0电感，换路瞬间不发生跃变，有 iL(0+)＝iL(0-)＝I0，在换路瞬间可视为I0电流源。 • 对t＝0-时电流为零电感，换路瞬间不发生跃变有iL(0+) ＝iL(0-)＝0，在换路瞬间相当于开路。
电路分析基础_第7章1
2
2 )]d
t
Im 2
0.707 I m
结果表明，振幅为Im的正弦电流与数 值为I=0.707Im的直流电流，在一个周 期内，对电阻R提供相同的能量。也就
是说正弦电压电流的有效值为振幅值的
0.707倍，或者说正弦电压电流的振幅
是其有效值的 倍2
正弦电压u(t)=Umcos(t+)的有效值为
U
2 沿任一回路全部支路电压振幅(或
有效值)的代数和并不一定等于零，
即一般来说 n
Ukm 0
k 1
n
Uk 0
k 1
例6 求uS(t)和相应的相量，并画出相量 图。已知 u1(t ) 6 2 cos ωt V
u2 (t ) 8 2 cos(ωt 90 ) V
u3 (t ) 12 2 cos ωt V
正弦量f(t)是以角速度ω沿反时针方向旋转 的旋转相量 Fm在e j实 t 轴投影。即：
f (t ) Re[Fme jt ]
Fm
1
j
f(t) t2
t
t2
Fme j t
可见，一个按正弦规律变化的电压和电 流，可以用一个相量(复常数)来表示。 已知正弦量的时间表达式，可得相应的 相量。反过来，已知电压电流相量，也 就知道正弦电压电流的振幅和初相，再 加上角频率，就能写出正弦电压电流的 时间表达式(两者存在一一对应关系)。 即
2 )]d
t
Im 2
0.707 I m
结果表明，振幅为Im的正弦电流与数 值为I=0.707Im的直流电流，在一个周 期内，对电阻R提供相同的能量。也就
是说正弦电压电流的有效值为振幅值的
0.707倍，或者说正弦电压电流的振幅
是其有效值的 倍2
正弦电压u(t)=Umcos(t+)的有效值为
U
2 沿任一回路全部支路电压振幅(或
有效值)的代数和并不一定等于零，
即一般来说 n
Ukm 0
k 1
n
Uk 0
k 1
例6 求uS(t)和相应的相量，并画出相量 图。已知 u1(t ) 6 2 cos ωt V
u2 (t ) 8 2 cos(ωt 90 ) V
u3 (t ) 12 2 cos ωt V
正弦量f(t)是以角速度ω沿反时针方向旋转 的旋转相量 Fm在e j实 t 轴投影。即：
f (t ) Re[Fme jt ]
Fm
1
j
f(t) t2
t
t2
Fme j t
可见，一个按正弦规律变化的电压和电 流，可以用一个相量(复常数)来表示。 已知正弦量的时间表达式，可得相应的 相量。反过来，已知电压电流相量，也 就知道正弦电压电流的振幅和初相，再 加上角频率，就能写出正弦电压电流的 时间表达式(两者存在一一对应关系)。 即
电路分析-二阶电路
=
2
+
4(
3 2
e-2t - e-4t)
t 0
iR +
uS
1A
=
2
+
4(
3 2
e-2t - e-4t
1 2
)
-
= 6e-2t - 4e-4t V t≥0
+ uL(0) 3
t = 0时电路
L +
C uC
-
+ 2-V
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
（3） 不列微分方程
阻尼电阻 Rd＝2
L C
= 2.828
R 2L
+
(
R 2L
)2 -
1 LC
= -a1
a2 > a1
为过阻尼情况
s2 = -
R 2L
-
(
R 2L
)2 -
1 LC
= -a2
通解 —式du—C
dt
的 =
形 –a
1K
uC(t) 1e– a1t
= –
K1est 1 + K2est 2 a2 K2e– a2t
= K1e-a1t + K2e-a2t
duC d
t=0 =
i(0) C
t
p248
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
最新高等院校电子信息技术课程第7章《动态电路的方程及其初始条件》电力工程电气工程课件
dt
t
q(t) q(t0 )
i( )d
t0
∴
1 uc (t ) uc (t0 ) c
t
i( )d
t0
i +q -q
C +u -
在t=0时合开关，求t = 0+时刻uc(0+)=？
1
uc (0 ) uc (0 ) c
0 i( )d
0
即
q( 0 ) q( 0 )
电感上的电流不能跃变
而其它的响应的初始值则要由换路后电路和这两个值来确定
电容电压uc(0+)和电感电流iL(0+)称为独立初始条件
总结换路定理
1、如果电容电流为有限值，此时电容上的电荷和 电压不发生跃变，即
uc(0+) = uc(0-)
q (0+) = q(0-)
2、如果电感电压为有限值，此时电感上的磁链和 电流不发生跃变，即
7-1 动态电路的方程及其初始条件
1、动态电路：含有动态元件（储能元件）的电路。
例： Us
t=0
K
i
R+
uC
–
在 t=0时刻进行换路（即状态转 换），分为三个区间：
思考：关于 t = 0 - 与t C = 0 +时刻电容两端的
电压关系？
－∞
t
q(t) q(t0 )
i( )d
t0
∴
1 uc (t ) uc (t0 ) c
t
i( )d
t0
i +q -q
C +u -
在t=0时合开关，求t = 0+时刻uc(0+)=？
1
uc (0 ) uc (0 ) c
0 i( )d
0
即
q( 0 ) q( 0 )
电感上的电流不能跃变
而其它的响应的初始值则要由换路后电路和这两个值来确定
电容电压uc(0+)和电感电流iL(0+)称为独立初始条件
总结换路定理
1、如果电容电流为有限值，此时电容上的电荷和 电压不发生跃变，即
uc(0+) = uc(0-)
q (0+) = q(0-)
2、如果电感电压为有限值，此时电感上的磁链和 电流不发生跃变，即
7-1 动态电路的方程及其初始条件
1、动态电路：含有动态元件（储能元件）的电路。
例： Us
t=0
K
i
R+
uC
–
在 t=0时刻进行换路（即状态转 换），分为三个区间：
思考：关于 t = 0 - 与t C = 0 +时刻电容两端的
电压关系？
－∞
大学电路动态电路方程
7.1 动态电路的方程及其初始条件 7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应 7.4 一阶电路的全响应 7.5 二阶电路的零输入响应 7.6 二阶电路的零状态响应和全响应 7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应
7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应
重点
1.动态电路方程的建立及初始条件的确定； 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 动态电路方程的建立及初始条件的确定 2. 一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全 一阶和二阶电路的零输入响应、 响应的概念及求解； 响应的概念及求解； 3. 一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。 一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。
t
+ u -
L
1 0− 1 t = ∫ u(ξ)dξ + ∫ u(ξ))dξ L −∞ L 0−
1 t = iL(0− ) + ∫ u(ξ)dξ L 0−
0
t = 0+时刻
1 0+ iL (0+ ) = iL (0− ) + ∫ u(ξ)dξ L 0−
当u为有限值时 为有限值时 iL(0＋)= iL(0－)
当i(ξ)为有限值时 为有限值时 uC (0+) = uC (0－) q =C uC q (0+) = q (0－) 电荷守恒
结论
（电荷）换路前后保持不变。 电荷）换路前后保持不变。
7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应
重点
1.动态电路方程的建立及初始条件的确定； 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 动态电路方程的建立及初始条件的确定 2. 一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全 一阶和二阶电路的零输入响应、 响应的概念及求解； 响应的概念及求解； 3. 一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。 一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。
t
+ u -
L
1 0− 1 t = ∫ u(ξ)dξ + ∫ u(ξ))dξ L −∞ L 0−
1 t = iL(0− ) + ∫ u(ξ)dξ L 0−
0
t = 0+时刻
1 0+ iL (0+ ) = iL (0− ) + ∫ u(ξ)dξ L 0−
当u为有限值时 为有限值时 iL(0＋)= iL(0－)
当i(ξ)为有限值时 为有限值时 uC (0+) = uC (0－) q =C uC q (0+) = q (0－) 电荷守恒
结论
（电荷）换路前后保持不变。 电荷）换路前后保持不变。
动态电路的方程及其初始条件、一阶电路的零输入响应
物理意义： 在电压初值一定的情况下：
C 大（R一定） W=Cu2/2
Fra Baidu bibliotek
储能大
R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小 t
uC U 0 e
t
放电时间长
0
2
3
5
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0
: 电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 工程上认为, 经过3 ~5 , 过渡过程结束。
L 6 1s R 6
i
L
uL
–
+
iL 2e t A diL uL L 12e t V t 0 dt iL t u12 24 4 24 4e V 2
22
• 下次课内容：
• §7-3 一阶电路的零状态响应 • §7-4 一阶电路的全响应
作业：7-1，7-2(b,c)，7-6
1
§7-1 动态电路的方程和初始条件
1.动态电路 1）动态电路：含有动态元件的电路。
(t = 0) US S R + uC – US C US (t = 0) S R +
i
uL
– US/R
L
US R
uC
i
US
i
t 0 t1
uL
一阶电路和二阶电路
RC
duC dt
uC
US
非齐次线性常微分方程
2、解方程：
uc
=
uc ( 特解
)+
uc( 通解
)
uC ：通解（自由分量，暂态分量）
齐次方程的通解
t
RC
duC dt
uC
0
uC Ae RC 变化规律由电路参数和结构决定
佛山§科7学-技3术学院一阶电路的零状态响应
现代制造装备工程技术开发中心
现代制造装备工程技术开发中心
（3）能量关系
电源提供能量：
0 U S idt
0
US
US R
t
e RC
dt
CU
2 S
电容储存：
1 2
CU
2 S
电阻消耗
e i2R d t
(U S
t
RC
)2
R
d
t
0
0R
1 2
CU
2 S
R
+
C
US -
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量 储存在电容中。
现代制造装备工程技术开发中心
例3
IS
L iL
+ uL – R
K(t=0)
i+C
电路第7讲 一阶电路
第六章<br>7.1 7.2 7.3 7.4<br>一阶电路<br>(First-Order Circuits )<br>• 动态电路的特性与因素 • 一阶电路的零输入响应 • 一阶电路的零状态响应 • 一阶电路的全响应<br><br>
7.1 动态电路——简介<br>1．动态电路(dynamic circuits)<br>定义：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 特点：当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。 这个变化过程称为电路的过渡过程。 内因：电路中含储能元件L，C； 产生原因： 外因：电路换路，即开关通断、电源变 化、元件参数变化等。<br><br>
7.1 动态电路——电容电路<br>电容电路<br>(t = 0) Us<br>K<br>i<br>+<br>K未动作前，电路处于稳定状态<br>i = 0 , uC = 0<br>K接通电源后很长时间，电容 C 充电完毕，电路达到新的稳定<br>R<br>uC<br>–<br>状态 i<br>(t →∞) R + Us<br>i = 0 , uC= Us<br>C<br>US R<br>uC<br>–<br>uc<br>US<br>?<br>过渡状态<br>i<br>t1 新的稳定状态 t<br>前一个稳定状态 0<br>有一过渡期<br><br>
7-1动态电路 - 典型例题
动态电路
一、基础题
的滑片P向b端移动时()
1.在如图所示的电路中，当变阻器R
A．电压表的示数增大，电流表的示数减小
B．电压表的示数减小，电流表的示数增大
C．电压表和电流表的示数都增大
D．电压表和电流表的示数都减小
答案：B
解析：方法一(程序法) 当滑片P向b端移动时，R3接入电路的阻值减小，总电阻R将减小，干路电流增大，路端电压减小，电压表的示数减小，R1和内阻两端的电压增大，R2、R3并联部分两端的电压减小，通过R2的电流减小，但干路电流增大，因此通过R3的电流增大，电流表的示数增大，故选项B正确．
方法二(极端法) 当滑片P移到b端时R3被短路，此时电流表的示数最大，总电阻最小，路端电压最小，故选项B正确．
方法三(直观法) 当滑片P向b移动时，R3接入电路的电阻减小，由部分电路中R、I、U关系中的两个结论可知，该电阻中的电流增大，电流表的示数增大，总电阻减小，路端电压减小，故选项B正确．
2.[多选]（2014湖南四校联考）如图所示，图中的四个电表均
为理想电表，当滑动变阻器滑片P向右端移动时，下面说法
中正确的是()
A．电压表V1的读数减小，电流表A1的读数增大
B．电压表V1的读数增大，电流表A1的读数减小
C．电压表V2的读数减小，电流表A2的读数增大
D．电压表V2的读数增大，电流表A2的读数减小
〇判断变化量
3.(2013年安徽省合肥市一模)如图所示的电路中，电压表都看做理想电表，电源内阻为r。
闭合电键S，当把滑动变阻器的滑片P向b端移动时()
A ．电压表v 1的示数变大，电压表v 2的示数变小
一 阶 电 路
10k
uV(0+)= -RViL(0+)=-10000V>>50V量程
电压表损坏
7-2
一阶电路的零输入响应
零输入响应(Zeroinput response ): 激励(电源)为零，由初始 储能引起的响应。
一、 RC电路的零输入响应 (电容对电阻放电) S(t=0) i
duC i C dt
已知：uC (0)=U0
uC-iR=0
duC uC RC 0 dt
iC
C
+ –
uC
R
齐次微分方程的通解：uC(t)=Aept 1 特征方程 RCp+1=0 P RC
uC Ae
1 t RC
初始值
uC (0+)=uC(0)=U0
1 t RC t 0
U0
uC
U c (0) Ae
W R i Rdt
2 0
0
U0 ( e R
t RC
1 2 ) Rdt CU 0 2
2
例1 t=0时，开关从a投向b，求电容电压和电流。 a + 5V 1Ώ 解：该电路为求零输入响应
iC b + u 1Ώ 1F - C
uC (t ) uC (0)e
由电路得：
t
动态电路
i U S / R2
t 过渡期为零
i U S ( R1 R2 )
幻灯片9
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电容电路（动态电路） (t = 0) R i
+ Us -
k
+ uC –
+ C Us -
(t →) R i + uC –
C
uc k未动作前，电路处于稳定状态： US i = 0 , uC = 0
达到新的稳定状态：
图2 iL(0+) = iL(0－) = iS
uL(0+)= - RiS
幻灯片25（备注3）
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uC(0+) = uC(0－) = RiS
7.2 一阶电路的零输入响应
1.零输入响应的概念
换路后外加激励为零，仅由动态元件初始 储能产生的电压和电流。
2.在零输入响应条件下，一阶RC电路的电路方程及通解
变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。电容是
动态元件； ②当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路， 电容有隔断直流作用； ③实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电容 电压 u 必定是时间的连续函数。 幻灯片4
②
电感元件的电压和电流的约束关系 i
L
u、i 取关联 参考方向 -
+
u ( t)
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第7章 一阶电路的时域分析
7.1 动态电路的方程及其初始条件
7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应
7.4 一阶电路的全响应
7.7 一阶电路的阶跃响应
7.8
一阶电路的冲激响应
重点
1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；
2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的 概念及求解； 3. 一阶电路的阶跃响应和冲击响应的概念及求解。
b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 （取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方
向相同）。 4.由0+电路求所需各变量的0+值。
⑤电路初始值的确定
例1 求 iC(0+) i 10k + + i 10V 40k iC S + uC iC
(1) 由0－电路求 uC(0－)
+ -
10k
10V
dx a1 a0 x e(t ) t 0 dt
二阶电路
二阶电路中有二个动态元件,描述电路的 方程是二阶线性微分方程。
d x dx a2 2 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt
高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
2
dn x d n1 x dx an n an1 n1 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt dt
-
Us
Ri uC uS (t )
duC iC dt
若以电流为变量：
duC RC uC u S (t ) dt
1 Ri idt u S (t ) C
di i duS (t ) R dt C dt
RL电路的电路方程
+ 应用KVL和电感的VCR得：
(t >0)
Us -
换路
电路结构、状态发生变化 支路接入或断开 电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生 变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
Δw p Δt
Δt 0
p
2. 动态电路的方程
RC电路的电路方程
应用KVL和电容的VCR得：
+
(t >0)
R i + uC – C
L (0+)= L (0－ )
iL(0+)= iL(0－)
注意
① 电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立 的条件。 ② 换路定律反映了能量不能跃变。
独立初始条件和非独立初始条件
1、uC(0+) 和 iL(0+)称为独立初始条件。 由换路定律求得 2、iC(0+) 和 uL(0+)以及电阻的电压电流 在0+时刻的值 称为非独立初始条件。 由0+等效电路来求。
40k
+ uC -
电 容 开 路
uC(0－)=8V (2)由换路定律 uC (0+) = uC (0－)=8V (3) 由0+等效电路求 iC(0+)
10k
-
10V
+ 8V
-
0+等效电路 电容用电压源替代
10 8 iC (0 ) 0.2mA 10
注意
iC(0－)=0
iC(0+)
例2
电 感 用 电 流 源 替 代
10 iL (0 ) 2A 1 4
注意
uL (0 ) uL (0 )
例3 求 iC(0+) , uL(0+)
iL iS L + uL – S(t=0) iC R C + uC –
iS +
uL
–
R
iC + RiS –
解
iS
由0－电路得： R 0－电路
uL (0 ) 48 2 12 24V
例5 求S闭合瞬间流过它的电流值
L iL 10 S + C
uC
－
i+ L
uL
－
10 10 + 20V -
1A 10
10
+ 10
+ 10V uC
－ －
ik
+ 10 20V 10 + 20V -
iC 10
解 ① 确定0－值
20 iL (0 ) iL (0 ) 1A 20
R i
+ uL –
Ri uL uS (t )
di uL L dt
di Ri L u S (t ) dt
R 若以电感电压为变量： u L dt u L u S (t ) L
R du L du S (t ) uL L dt dt
结论
有源 电阻 电路 一个动 态元件 一阶电路
20 10 ik (0 ) 1 2A 10 10
uL (0 ) iL (0 ) 10 10V
uC (0 ) uC (0 ) 10V
② 给出0＋等效电路
iC (0 ) uC (0 ) / 10 1A
7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点
当动态电路状态发生改变时，需要经历一个变化 过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路 的过渡过程。
电阻电路
（t = 0） R1 R2
+
us -
i
i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
Uo
代入初始条件得： k
明确
uc (t ) U o e
t RC
在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。
②电容的初始条件
i
+
1 uC (t ) C
t
uc
i ( )d
- C
1 0 1 t i( )d i( )d C C 0
1 t uC (0 ) i( )d C 0
0
t
过渡期为零
电容电路
(t = 0) R i + S + C
(t →) R i
+ uC – i = 0, uC = 0 C
+
Us -
uC
–
Us
S
uc S未动作前，电路处于稳定状态： U
的稳定状态：
US S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新 R
?
i = 有一过渡期 0 , uC= Us t1 t 0 过渡状态 新的稳定状态
前一个稳定状态
电感电路
(t = 0) + R i + uL – + L Us ( t → ) R i + uL – i = 0, u L = 0
Us
-
S
i S未动作前，电路处于稳定状态： US/R
US S接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态， 有一过渡期 ? 电感视为短路： u = 0, i=U /R
当u为有限值时 iL(0＋)= iL(0－)
LiL
L (0＋)= L (0－)
磁链守恒
结论
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流 （磁链）换路前后保持不变。
④换路定律
qc (0+) = qc (0－) uC (0+) = uC (0－) 换路瞬间，若电容电流保持为有 限值，则电容电压（电荷）换路前后 保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持为有 限值，则电感电流（磁链）换路前后 保持不变。
i
S
3 ++ uC 24V -－
解 由0－电路得：
iL (0 ) iL (0 ) 48 / 4 12A
uC ( 0 ) uC ( 0 ) 2 12 24V
由0+电路得：
iC (0 ) (48 24) / 3 8A
i(0 ) 12 8 20A
0+等效电路
换路后的电路， 电容用大小为 uC (0 ) 的电压源替代，电感用大小为 iL (0 ) 的电流源替代。 电源方向与原假定的电容电压、电感电流 方向相同。 由0+电路求非独立初始条件。
小结 求初始值的步骤:
1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3.画0+等效电路。 a. 换路后的电路
iL
1 iL (t ) u ( )d L
t
+ u -
L
1 0 1 t u ( )d u ( ))d L L 0
1 t iL (0 ) u ( )d L 0
0
t = 0+时刻
1 0 iL (0 ) iL (0 ) u ( )d L 0
图示为电容放电电路，电容原有电压Uo，求开关闭合 后电容电压随时间的变化。 (t=0) + R C uC i －
Ri uc 0 (t 0)
duc RC uc 0 dt
特征根方程： 通解：
RCp 1 0
t RC
p 1 RC
uc (t ) ke pt ke
0
t = 0+ 时刻
1 0 uC (0 ) uC (0 ) i( )d C 0
当i()为有限值时 uC (0+) = uC (0－) q =C uC q (0+) = q (0－)
结论
（电荷）换路前后保持不变。
电荷守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压
③电感的初始条件
二阶电路
d uC duC LC 2 RC uC uS (t ) dt dt
含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线 性常微分方程，称二阶电路。
结论
① 描述动态电路的电路方程为微分方程；
② 动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件 的个数。
一阶电路
一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的 方程是一阶线性微分方程。
t = 0时闭合开关S ,求 uL(0+) 1 4 ② 应用换路定律: + + iL(0+)= iL(0－) =2A L 10V u S L iL ③ 由0+等效电路求 uL(0+) ① 先求 1
解 +
iL (0 )
4 电 感 短 路
1 + 10V
4
10V
-
2A
+ uL -
-
iL
uL (0 ) 2 4 8V
L s
前一个稳定状态
t1 t 0 过渡状态 新的稳定状态
(t →) R i
( t → ) R i
+
+
Us -
+ uL –
Us
-
S
+ uL –
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S未动作前，电路处于稳定状态： S断开瞬间:
uL= 0,
i=Us /R
i = 0 , uL =
注意
工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过 电压和过电流现象。
含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程 为一阶线性常微分方程，称一阶电路。
RLC电路的电路方程
应用KVL和元件的VCR得：
+
(t >0)
Us －
R i
+ uL –
Ri uL uC uS (t )
duC iC dt
2
C ＋ uC
d 2uC di u L L LC 2 dt dt
由0+电路得：
Ri S iC (0 ) is 0 R
uL(0+)= - RiS uC(0+) = uC(0－) = RiS
iL(0+) = iL(0－) = iS
例4 求S闭合瞬间各支路电流和电感电压
2 + 48V L 2 + uL iL 3 C + uL iC 3 + + 2 iL 12A 48V 48V 2 - 2
认为换路在t=0时刻进行
f (0 ) f (0 )
f(t)
f (0 ) lim f (t )
t 0 t 0
0＋ 换路后最初瞬间
f (0 ) lim f (t )
t 0 t 0
f (0 ) f (0 )
0 0＋ 0－
t
注意
初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值。
动态电路的分析方法
① 根据KVL、KCL和VCR建立微分方程； ② 求解微分方程 时域分析法 复频域分析法 拉普拉斯变换法 状态变量法 付氏变换
经典法
状态变量法 本章 采用 卷积积分
数值法
工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
3.电路的初始条件
① t = 0＋与t = 0－的概念
0－ 换路前最后瞬间
7.1 动态电路的方程及其初始条件
7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应
7.4 一阶电路的全响应
7.7 一阶电路的阶跃响应
7.8
一阶电路的冲激响应
重点
1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；
2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的 概念及求解； 3. 一阶电路的阶跃响应和冲击响应的概念及求解。
b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 （取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方
向相同）。 4.由0+电路求所需各变量的0+值。
⑤电路初始值的确定
例1 求 iC(0+) i 10k + + i 10V 40k iC S + uC iC
(1) 由0－电路求 uC(0－)
+ -
10k
10V
dx a1 a0 x e(t ) t 0 dt
二阶电路
二阶电路中有二个动态元件,描述电路的 方程是二阶线性微分方程。
d x dx a2 2 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt
高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
2
dn x d n1 x dx an n an1 n1 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt dt
-
Us
Ri uC uS (t )
duC iC dt
若以电流为变量：
duC RC uC u S (t ) dt
1 Ri idt u S (t ) C
di i duS (t ) R dt C dt
RL电路的电路方程
+ 应用KVL和电感的VCR得：
(t >0)
Us -
换路
电路结构、状态发生变化 支路接入或断开 电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生 变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
Δw p Δt
Δt 0
p
2. 动态电路的方程
RC电路的电路方程
应用KVL和电容的VCR得：
+
(t >0)
R i + uC – C
L (0+)= L (0－ )
iL(0+)= iL(0－)
注意
① 电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立 的条件。 ② 换路定律反映了能量不能跃变。
独立初始条件和非独立初始条件
1、uC(0+) 和 iL(0+)称为独立初始条件。 由换路定律求得 2、iC(0+) 和 uL(0+)以及电阻的电压电流 在0+时刻的值 称为非独立初始条件。 由0+等效电路来求。
40k
+ uC -
电 容 开 路
uC(0－)=8V (2)由换路定律 uC (0+) = uC (0－)=8V (3) 由0+等效电路求 iC(0+)
10k
-
10V
+ 8V
-
0+等效电路 电容用电压源替代
10 8 iC (0 ) 0.2mA 10
注意
iC(0－)=0
iC(0+)
例2
电 感 用 电 流 源 替 代
10 iL (0 ) 2A 1 4
注意
uL (0 ) uL (0 )
例3 求 iC(0+) , uL(0+)
iL iS L + uL – S(t=0) iC R C + uC –
iS +
uL
–
R
iC + RiS –
解
iS
由0－电路得： R 0－电路
uL (0 ) 48 2 12 24V
例5 求S闭合瞬间流过它的电流值
L iL 10 S + C
uC
－
i+ L
uL
－
10 10 + 20V -
1A 10
10
+ 10
+ 10V uC
－ －
ik
+ 10 20V 10 + 20V -
iC 10
解 ① 确定0－值
20 iL (0 ) iL (0 ) 1A 20
R i
+ uL –
Ri uL uS (t )
di uL L dt
di Ri L u S (t ) dt
R 若以电感电压为变量： u L dt u L u S (t ) L
R du L du S (t ) uL L dt dt
结论
有源 电阻 电路 一个动 态元件 一阶电路
20 10 ik (0 ) 1 2A 10 10
uL (0 ) iL (0 ) 10 10V
uC (0 ) uC (0 ) 10V
② 给出0＋等效电路
iC (0 ) uC (0 ) / 10 1A
7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
特点
当动态电路状态发生改变时，需要经历一个变化 过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路 的过渡过程。
电阻电路
（t = 0） R1 R2
+
us -
i
i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
Uo
代入初始条件得： k
明确
uc (t ) U o e
t RC
在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。
②电容的初始条件
i
+
1 uC (t ) C
t
uc
i ( )d
- C
1 0 1 t i( )d i( )d C C 0
1 t uC (0 ) i( )d C 0
0
t
过渡期为零
电容电路
(t = 0) R i + S + C
(t →) R i
+ uC – i = 0, uC = 0 C
+
Us -
uC
–
Us
S
uc S未动作前，电路处于稳定状态： U
的稳定状态：
US S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新 R
?
i = 有一过渡期 0 , uC= Us t1 t 0 过渡状态 新的稳定状态
前一个稳定状态
电感电路
(t = 0) + R i + uL – + L Us ( t → ) R i + uL – i = 0, u L = 0
Us
-
S
i S未动作前，电路处于稳定状态： US/R
US S接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态， 有一过渡期 ? 电感视为短路： u = 0, i=U /R
当u为有限值时 iL(0＋)= iL(0－)
LiL
L (0＋)= L (0－)
磁链守恒
结论
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流 （磁链）换路前后保持不变。
④换路定律
qc (0+) = qc (0－) uC (0+) = uC (0－) 换路瞬间，若电容电流保持为有 限值，则电容电压（电荷）换路前后 保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持为有 限值，则电感电流（磁链）换路前后 保持不变。
i
S
3 ++ uC 24V -－
解 由0－电路得：
iL (0 ) iL (0 ) 48 / 4 12A
uC ( 0 ) uC ( 0 ) 2 12 24V
由0+电路得：
iC (0 ) (48 24) / 3 8A
i(0 ) 12 8 20A
0+等效电路
换路后的电路， 电容用大小为 uC (0 ) 的电压源替代，电感用大小为 iL (0 ) 的电流源替代。 电源方向与原假定的电容电压、电感电流 方向相同。 由0+电路求非独立初始条件。
小结 求初始值的步骤:
1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2.由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3.画0+等效电路。 a. 换路后的电路
iL
1 iL (t ) u ( )d L
t
+ u -
L
1 0 1 t u ( )d u ( ))d L L 0
1 t iL (0 ) u ( )d L 0
0
t = 0+时刻
1 0 iL (0 ) iL (0 ) u ( )d L 0
图示为电容放电电路，电容原有电压Uo，求开关闭合 后电容电压随时间的变化。 (t=0) + R C uC i －
Ri uc 0 (t 0)
duc RC uc 0 dt
特征根方程： 通解：
RCp 1 0
t RC
p 1 RC
uc (t ) ke pt ke
0
t = 0+ 时刻
1 0 uC (0 ) uC (0 ) i( )d C 0
当i()为有限值时 uC (0+) = uC (0－) q =C uC q (0+) = q (0－)
结论
（电荷）换路前后保持不变。
电荷守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压
③电感的初始条件
二阶电路
d uC duC LC 2 RC uC uS (t ) dt dt
含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线 性常微分方程，称二阶电路。
结论
① 描述动态电路的电路方程为微分方程；
② 动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件 的个数。
一阶电路
一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的 方程是一阶线性微分方程。
t = 0时闭合开关S ,求 uL(0+) 1 4 ② 应用换路定律: + + iL(0+)= iL(0－) =2A L 10V u S L iL ③ 由0+等效电路求 uL(0+) ① 先求 1
解 +
iL (0 )
4 电 感 短 路
1 + 10V
4
10V
-
2A
+ uL -
-
iL
uL (0 ) 2 4 8V
L s
前一个稳定状态
t1 t 0 过渡状态 新的稳定状态
(t →) R i
( t → ) R i
+
+
Us -
+ uL –
Us
-
S
+ uL –
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S未动作前，电路处于稳定状态： S断开瞬间:
uL= 0,
i=Us /R
i = 0 , uL =
注意
工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过 电压和过电流现象。
含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程 为一阶线性常微分方程，称一阶电路。
RLC电路的电路方程
应用KVL和元件的VCR得：
+
(t >0)
Us －
R i
+ uL –
Ri uL uC uS (t )
duC iC dt
2
C ＋ uC
d 2uC di u L L LC 2 dt dt
由0+电路得：
Ri S iC (0 ) is 0 R
uL(0+)= - RiS uC(0+) = uC(0－) = RiS
iL(0+) = iL(0－) = iS
例4 求S闭合瞬间各支路电流和电感电压
2 + 48V L 2 + uL iL 3 C + uL iC 3 + + 2 iL 12A 48V 48V 2 - 2
认为换路在t=0时刻进行
f (0 ) f (0 )
f(t)
f (0 ) lim f (t )
t 0 t 0
0＋ 换路后最初瞬间
f (0 ) lim f (t )
t 0 t 0
f (0 ) f (0 )
0 0＋ 0－
t
注意
初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值。
动态电路的分析方法
① 根据KVL、KCL和VCR建立微分方程； ② 求解微分方程 时域分析法 复频域分析法 拉普拉斯变换法 状态变量法 付氏变换
经典法
状态变量法 本章 采用 卷积积分
数值法
工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
3.电路的初始条件
① t = 0＋与t = 0－的概念
0－ 换路前最后瞬间