机器人运动学PPT课件
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第二章 机器人运动学PPT课件
系的位置矢量 AP、BP具有如下变换关系
APB ARBPAPBO
（2-1-12）
15
ZA {A}
OA XA
ZB
ZC {C}
{B}
AP
BP YB
OB(OC)
YC
P A
BO XC YA
XB
图2.1.4 平移加旋转变换 注：坐标系{C}为过渡坐标系
16
2.齐次变换
一般情况下，刚体的运动是转动和平移的复合运 动，为了用同一矩阵既表示转动又表示平移，因此引 入齐次坐标变换矩阵。
28
X
偏转
Z
横滚
O船
Y
俯仰
偏转
X
Z
横滚
O
夹手
Y
俯仰
（a）
(b)
图2.1.11 RPY角的定义
29
§2.2 操作臂运动学
一、机械手位置和姿态的表示
图2.2.1所示为机器人的一个机械手。 描述机械手方位的坐标系置于手指尖的 中 位心置，可其以用原矢点量由矢p在量固p表定示坐。标机系械的手坐的标 表示为
H
0
1
0
b
称为平移的齐次变换矩阵，又可表示为
0 0 1 c
0
0
0
1
HTraa,b n,c)s。(矩阵中的第四列为平移参考矢量的齐次坐标。
19
Z
V
U
P
O
Y
X 图2.1.5 平移的齐次变换
20
例平2移.1，求向平量移U 后i得3到j的5k向沿量向V量 。P 3i7jk
解：
1 0 0 3 1 4
系，首先需要用两个参数对每个连杆进行描述。 如图2.2.2所示，对于任意一个两端带有关节i和
第七章 机器人运动学 ppt课件
杆件参数
关节角
运动学正问题 杆件参数
末端执行器
关节角
运动学正问题
2020/10/28
6
§7.2 机器人杆件，关节和它们的参数
§7.2.1 杆件与关节
操作机由一串用转动或平移（棱柱 形）关节连接的刚体（杆件）组成
每一对关节杆件构成一个自由度， 因此N个自由度的操作机就有N对关 节—杆件。
0号杆件（一般不把它当作机器人的 关 一部分）固联在机座上，通常在这 节 里建立一个固定参考坐标系，最后 一个杆件与工具相连
对位置关系。在转动关节中，li, αi, di是固定值，θi是变量。
在移动关节中，li, αi , θi是固定值， d i 是变量。
2020/10/28
11
§7.3 机器人关节坐标系的建立
对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡 儿坐标系（xi, yi, zi），（i=1, 2, …, n），n是自由度 数，再加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。
基座坐标系 ∑O0定义为0号坐标系（x0, y0, z0）,它也是 机器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和 方向可任选，但z0轴线必须与关节1的轴线重合，位 置和方向可任选；
最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位， 但必须保证 zn与zn-1 垂直。
2020/10/28
12
§7.3.1 D-H关节坐标系建立原则
机器人技术及空间应用
第七章 机器人运动学
机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考 系的运动作为时间的函数进行分析研究，而不 考虑引起这些运动的力和力矩 将机器人的解析地表示为时间的函数，特别是 研究机器人关节变量空间和机器人末端执行器 位置和姿态之间的关系 本章将讨论机器人运动学几个具有实际意义的 基本问题。
关节角
运动学正问题 杆件参数
末端执行器
关节角
运动学正问题
2020/10/28
6
§7.2 机器人杆件，关节和它们的参数
§7.2.1 杆件与关节
操作机由一串用转动或平移（棱柱 形）关节连接的刚体（杆件）组成
每一对关节杆件构成一个自由度， 因此N个自由度的操作机就有N对关 节—杆件。
0号杆件（一般不把它当作机器人的 关 一部分）固联在机座上，通常在这 节 里建立一个固定参考坐标系，最后 一个杆件与工具相连
对位置关系。在转动关节中，li, αi, di是固定值，θi是变量。
在移动关节中，li, αi , θi是固定值， d i 是变量。
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§7.3 机器人关节坐标系的建立
对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡 儿坐标系（xi, yi, zi），（i=1, 2, …, n），n是自由度 数，再加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。
基座坐标系 ∑O0定义为0号坐标系（x0, y0, z0）,它也是 机器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和 方向可任选，但z0轴线必须与关节1的轴线重合，位 置和方向可任选；
最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位， 但必须保证 zn与zn-1 垂直。
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§7.3.1 D-H关节坐标系建立原则
机器人技术及空间应用
第七章 机器人运动学
机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考 系的运动作为时间的函数进行分析研究，而不 考虑引起这些运动的力和力矩 将机器人的解析地表示为时间的函数，特别是 研究机器人关节变量空间和机器人末端执行器 位置和姿态之间的关系 本章将讨论机器人运动学几个具有实际意义的 基本问题。
电机拖动技术基础第三章机器人的运动学PPT课件
第三章 机器人的运动学
►3.1 刚体的位姿描述 ►3.2 坐标变换 ►3.3 齐次坐标和齐次变换 ►3.4 变换方程和欧拉角 ►3.5 机器人运动学的正问题和逆问题
3.1 刚体的位姿描述
一、位姿的定义
刚体参考点的位置（坐标系的位置）和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
(为描述机器人本身的各个连杆之间.机器人和环境之间的运动关系,将
n
n o a
手爪的方位由旋转矩阵R规定。
R n
o
a
手爪的位置由位置矢量 p
规定。
代表手p 爪坐标系的原点。
则手爪的位姿可由四个矢量
来 来描述。
noa p
记为:
T n o a p
3.2 坐标变换
定义：由于空间中任意点P在不同坐标系中的描述不同，所以需要 研究从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关，通 常称为坐标变换。
{S}代表工作站(操作台)坐标系(工作站框)
{G}代表目标坐标系(目标框) 它们之间的位姿关系用相应的齐次变换来描述。图3-6 机器人与环境坐标系
B S
T描述工作站框{S}相对于基座{B}的位姿，
S G
T描述目标框{G}相对于工作站{S}的位姿。
对物体进行操作时(搬运或装配机器人)，工具框{T}相对目标框{G} 的位姿 直接GT T 影响操作效果。 是机GT T器人控制和轨迹规划的对象。
=
相对于固定坐标系运动 相对于活动坐标系运动
2.变换过程的可逆性
齐次坐标变换过程是可逆的. 若有 ，则逆变换
。
所以有 I44BATABT A B0R BP 1AO BA0R AP 1BO
A BR0BAR
A BRAPB1OBPAO
►3.1 刚体的位姿描述 ►3.2 坐标变换 ►3.3 齐次坐标和齐次变换 ►3.4 变换方程和欧拉角 ►3.5 机器人运动学的正问题和逆问题
3.1 刚体的位姿描述
一、位姿的定义
刚体参考点的位置（坐标系的位置）和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
(为描述机器人本身的各个连杆之间.机器人和环境之间的运动关系,将
n
n o a
手爪的方位由旋转矩阵R规定。
R n
o
a
手爪的位置由位置矢量 p
规定。
代表手p 爪坐标系的原点。
则手爪的位姿可由四个矢量
来 来描述。
noa p
记为:
T n o a p
3.2 坐标变换
定义：由于空间中任意点P在不同坐标系中的描述不同，所以需要 研究从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关，通 常称为坐标变换。
{S}代表工作站(操作台)坐标系(工作站框)
{G}代表目标坐标系(目标框) 它们之间的位姿关系用相应的齐次变换来描述。图3-6 机器人与环境坐标系
B S
T描述工作站框{S}相对于基座{B}的位姿，
S G
T描述目标框{G}相对于工作站{S}的位姿。
对物体进行操作时(搬运或装配机器人)，工具框{T}相对目标框{G} 的位姿 直接GT T 影响操作效果。 是机GT T器人控制和轨迹规划的对象。
=
相对于固定坐标系运动 相对于活动坐标系运动
2.变换过程的可逆性
齐次坐标变换过程是可逆的. 若有 ，则逆变换
。
所以有 I44BATABT A B0R BP 1AO BA0R AP 1BO
A BR0BAR
A BRAPB1OBPAO
机器人学 第二章运动学PPT课件
如果{B}坐标系相对于{A}坐标系的坐标轴转动，则对旋转矩阵左乘相应 的基本旋转矩阵，如果{B}坐标系相对于{B}坐标系的坐标轴转动，则对 旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。
例：假设{B}相对{A}的轴依次进行了下面三个变换：
1）绕x轴旋转 度；
2）接着平移 [l ,l；,l ] 123
3）最后绕y轴旋转 度。
1 0 0
R(x,)0 cos sin 0 sin cos
重要！
cos 0 sin R(y,) 0 1 0
sin 0 cos
cos sin 0 R(z,)sin cos 0
0 0 1
可编辑课件
7
第二章 机器人运动学 §2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
Frame {A} and frame {B}
c s
s c
0 0
PxB PyB
PzA
0
0
1
PzB
8
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
r i j 可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量来表示:
A B
R
的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示
B ARAX ˆBAYˆBAZˆBX X X ˆˆˆB B BX Z YˆˆˆA A A
the columns of the rotation matrix:
cos sin 0 0.866 0.500 0.000 B ARsin cos 00.500 0.866 0.000
0 0 1 0.000 0.000 1.000
0 .0
BP
2
.
0
0 . 0
1.000
ppt机器人正逆运动学
迭代法
通过不断迭代和优化关节角度，逐渐 逼近满足末端执行器位置和姿态要求 的解。这种方法适用于复杂机器人结 构和动态环境下的逆运动学求解。
逆运动学应用实例
工业机器人
在工业自动化领域，逆运动学被广泛应用于机器人轨迹规划和精确控制。通过逆运动学算法，可以快速求解机器 人的关节角度，实现精确的定位和姿态控制。
技术发展趋势
深度学习
01
利用深度学习技术，使机器人能够更好地理解和识别环境，提
高自主导航和避障能力。
强化学习
02
通过强化学习算法，使机器人能够在实践中不断学习和优化，
提高任务执行效率。
模块化设计
03
采用模块化设计理念，使机器人能够根据不同任务需求进行快
速重构和升级。
未来挑ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与机遇
安全问题
随着机器人应用场景的扩 大，如何保证机器人的安 全性和可靠性成为亟待解 决的问题。
控制硬件实现
传感器选择
根据机器人运动需求，选择合适的传感器， 如编码器、陀螺仪、加速度计等。
硬件平台搭建
根据控制需求，搭建合适的硬件平台，如采 用微控制器、DSP、FPGA等。
控制软件实现
要点一
软件架构设计
设计合理的软件架构，包括主程序、中断服务程序、任务 调度程序等。
要点二
算法实现
根据优化后的算法，在软件中实现相应的控制逻辑，并进 行调试和测试。
约束条件
机器人关节角度限制、工作空间限制、动力学限制等。
常用优化算法
梯度下降法
通过迭代计算，逐步逼近最优解。
遗传算法
模拟生物进化过程，通过基因突变和自然选择寻找最优解。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为，通过个体间的相互协作寻找 最优解。
通过不断迭代和优化关节角度，逐渐 逼近满足末端执行器位置和姿态要求 的解。这种方法适用于复杂机器人结 构和动态环境下的逆运动学求解。
逆运动学应用实例
工业机器人
在工业自动化领域，逆运动学被广泛应用于机器人轨迹规划和精确控制。通过逆运动学算法，可以快速求解机器 人的关节角度，实现精确的定位和姿态控制。
技术发展趋势
深度学习
01
利用深度学习技术，使机器人能够更好地理解和识别环境，提
高自主导航和避障能力。
强化学习
02
通过强化学习算法，使机器人能够在实践中不断学习和优化，
提高任务执行效率。
模块化设计
03
采用模块化设计理念，使机器人能够根据不同任务需求进行快
速重构和升级。
未来挑ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与机遇
安全问题
随着机器人应用场景的扩 大，如何保证机器人的安 全性和可靠性成为亟待解 决的问题。
控制硬件实现
传感器选择
根据机器人运动需求，选择合适的传感器， 如编码器、陀螺仪、加速度计等。
硬件平台搭建
根据控制需求，搭建合适的硬件平台，如采 用微控制器、DSP、FPGA等。
控制软件实现
要点一
软件架构设计
设计合理的软件架构，包括主程序、中断服务程序、任务 调度程序等。
要点二
算法实现
根据优化后的算法，在软件中实现相应的控制逻辑，并进 行调试和测试。
约束条件
机器人关节角度限制、工作空间限制、动力学限制等。
常用优化算法
梯度下降法
通过迭代计算，逐步逼近最优解。
遗传算法
模拟生物进化过程，通过基因突变和自然选择寻找最优解。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为，通过个体间的相互协作寻找 最优解。
1(第二章机器人运动学)PPT课件
第二章 机器人运动学
(Robot Kinematics) (Manipulator Kinematics)
刘志远、刘海峰
30.10.2020
1
Degree of Freedom (DOF)
30.10.2020
end-effector
2
机器人各连杆视作刚体
g2 (t) Joint angle Link g1(t)
U
system (OXYZ)
x
– Rotated coordinate system (OUVW)
U
A point P in the space can be represented by its coordinates
x
with respect to both coordinate systems.
正交变换
30.10.2020
11
Remark: geometric interpretation of rotation matrices.
Z W
p pu pv pw T
Z W
T
pw pv
p pu
O
U X
Y
V
O
X
U
V Y
px pu
pu
py
R
pv
r1
r2
r3
pv
p 30.10.2020
Actuator
End-effector
关g (节t) 角[g 1 g((tt))g [g 2( 1t() t) g g n 2 (t(t))T T ] ]。若为n自由度的机械手则
30.10.2020
3
2.1 引言(Introduction)
(Robot Kinematics) (Manipulator Kinematics)
刘志远、刘海峰
30.10.2020
1
Degree of Freedom (DOF)
30.10.2020
end-effector
2
机器人各连杆视作刚体
g2 (t) Joint angle Link g1(t)
U
system (OXYZ)
x
– Rotated coordinate system (OUVW)
U
A point P in the space can be represented by its coordinates
x
with respect to both coordinate systems.
正交变换
30.10.2020
11
Remark: geometric interpretation of rotation matrices.
Z W
p pu pv pw T
Z W
T
pw pv
p pu
O
U X
Y
V
O
X
U
V Y
px pu
pu
py
R
pv
r1
r2
r3
pv
p 30.10.2020
Actuator
End-effector
关g (节t) 角[g 1 g((tt))g [g 2( 1t() t) g g n 2 (t(t))T T ] ]。若为n自由度的机械手则
30.10.2020
3
2.1 引言(Introduction)
机器人技术基础课件第三章 机器人运动学
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T23T34T 45T56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
0
0
0
0
1
其中， c12 cos(1 2)
s 12
sin(1
2)
c 1
cos 1
s1 sin 1
、
可根据各关节角θi的值，求出03T
。如当θi分别为θ1=θ2=θ3=0°时，则 可根据3自由度机器人运动学方程求解
1
03T
01T
12T
23T
0 0
0
0 0 1 0
0 1 0 0
30
0
1
3.1.4 T-Matrix and A-Matrix 连杆变换矩阵及其乘积
一、连杆坐标系之间的变换矩阵
建立了各连杆坐标系后，i-1系与i系间的变换关系可以用坐 标系的平移、旋转来实现。
用一个变换矩阵来综合表示上述四次变换时应注意到坐标系在每 次旋转或平移后发生了变动，后一次变换都是相对于动系进行的， 因此在运算中变换算子应该右乘。
3.1 机器人运动方程的表示 23
3.1.4 T-Matrix and A-Matrix 连杆变换矩阵及其乘积
I、{i-1}→{i}变换过程 Zi
a、Trans（li-1，0，0）；
d Oi
Xi
b、Rot（x，αi-1）；
c、Trans（0，0，di）；
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T23T34T 45T56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
0
0
0
0
1
其中， c12 cos(1 2)
s 12
sin(1
2)
c 1
cos 1
s1 sin 1
、
可根据各关节角θi的值，求出03T
。如当θi分别为θ1=θ2=θ3=0°时，则 可根据3自由度机器人运动学方程求解
1
03T
01T
12T
23T
0 0
0
0 0 1 0
0 1 0 0
30
0
1
3.1.4 T-Matrix and A-Matrix 连杆变换矩阵及其乘积
一、连杆坐标系之间的变换矩阵
建立了各连杆坐标系后，i-1系与i系间的变换关系可以用坐 标系的平移、旋转来实现。
用一个变换矩阵来综合表示上述四次变换时应注意到坐标系在每 次旋转或平移后发生了变动，后一次变换都是相对于动系进行的， 因此在运算中变换算子应该右乘。
3.1 机器人运动方程的表示 23
3.1.4 T-Matrix and A-Matrix 连杆变换矩阵及其乘积
I、{i-1}→{i}变换过程 Zi
a、Trans（li-1，0，0）；
d Oi
Xi
b、Rot（x，αi-1）；
c、Trans（0，0，di）；
机器人运动学23225ppt课件
ix ˙iu ix ˙jv ix ˙kw 1 0 0
Rx, α = iy˙iu iy ˙jv iy ˙kw = 0 cosα - sinα
iz˙iu iz ˙jv iz ˙kw
0 sinα cosα
向量点乘：a· b=|a|·|b| · cos(a)
精选PPT课件
10
类似地，绕Oy 轴转动φ角和绕Oz 轴转θ角的3×3旋转矩阵分别
精选PPT课件
2
§2.1 引 言（The Introduction）
➢ 机器人运动学 正问题：定义 逆问题：定义
➢ 机器人动力学
精选PPT课件
3
基本概念（The Basic Concepts）
自由度：物体能够对坐标系进行独立运动的
数目称为自由度(DOF, degree of freedom)。
么？ （3）连续的变换矩阵，什么情况下依次左乘、
什么情况下依次右乘？ （4）什么是齐次坐标和齐次变换？
精选PPT课件
17
§2.3 机器人运动学正问题
(The Forward Kinematic Problem)
0.866 0
0
0 1 0
0 1
精选PPT课件
14
二、齐次坐标和变换矩阵
齐次坐标是用n +l 维坐标来描述n维空间中的位置，其 第n+1个分量（元素） ω称为比例因子。
P=(ωPx, ωPy , ωPz , ω)T
在机器人学的应用中，一般将比例因子取为1。
机器人系统运动分析中，齐次变换矩阵写成以下形式：
创新设计作业:
设计一种类人教学机器人。要求机器人具有类似人的四肢， 单片机控制。给出总体的设计方案、机械结构和传动方案、 选择合适的传感器、控制方案。
《机器人运动学》课件
机器人正向运动学建模
正向运动学
根据机器人关节参数，计算机器人末端执行器在笛卡尔坐标 系中的位置和姿态的过程。
正向运动学模型
描述机器人末端执行器位置和姿态与关节参数之间关系的数 学模型。
机器人逆向运动学建模
逆向运动学
已知机器人末端执行器在笛卡尔坐标系中的位置和姿态，求解机器人关节参数 的过程。
逆向运动学模型
02
它主要关注机器人在三维空间中 的位置和姿态，以及如何通过关 节运动来实现这些位置和姿态的 变化。
机器人运动学的研究内容
机器人位姿表示
研究如何用数学表达式表示机 器人在三维空间中的位置和姿
态。
运动学方程
建立机器人末端执行器位姿与 关节状态之间的数学关系，即 运动学方程。
运动学逆解与正解
研究如何通过给定的位姿求解 关节状态（逆解），以及如何 通过给定的关节状态求解位姿 （正解）。
关节坐标系
基于机器人关节建立的坐标系，常用于描述机器 人的关节运动状态。
工作坐标系
基于机器人工作需求建立的坐标系，常用于描述 机器人末端执行器的位置和姿态。
CHAPTER 03
机器人运动学建模
齐次变换与坐标变换
齐次变换
描述空间中物体位置和方向变化的数 学工具，包括平移和旋转。
坐标变换
将一个坐标系中的位置和方向信息转 换到另一个坐标系中的过程，涉及到 齐次变换的应用。
关节空间的轨迹规划
定义
关节空间是指机器人的各个关节角度 构成的坐标系，关节空间的轨迹规划 是指通过控制机器人的关节角度来实 现机器人的运动。
方法
常用的方法包括多项式插值、样条曲 线插值等，通过设定起始和目标位置 的关节角度，计算出一条平滑的关节 角度路径。
第三章机器人运动学PPT课件
用一组关节变量(di或i)来描述。这组变量通常称为关节矢量或关节坐标，
由这些矢量描述的空间称为关节空间。
• 正向运动学：关节空间末端笛卡儿空间，单射 • 逆向运动学：末端笛卡儿空间关节空间，复射
不同的关节空间，相同的 末端笛卡儿空间
关节空间与末端笛卡儿空 间映射关系
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
，它的齐
次坐标就是
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，
由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以
用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量
(
）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：co scoxB s ,xA ()
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5，坐标系{B}与{A} 方向相同，但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
0
0
0
1
1
1
给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为 ，
{C}相对{B}的描述为
AP A BTBP BPC BTCP APC ATCP
，则有
APA BTC BTCP
CATABTCBT
从而定义复合变换
。
同理得出：
由这些矢量描述的空间称为关节空间。
• 正向运动学：关节空间末端笛卡儿空间，单射 • 逆向运动学：末端笛卡儿空间关节空间，复射
不同的关节空间，相同的 末端笛卡儿空间
关节空间与末端笛卡儿空 间映射关系
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
，它的齐
次坐标就是
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，
由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以
用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量
(
）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：co scoxB s ,xA ()
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5，坐标系{B}与{A} 方向相同，但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
0
0
0
1
1
1
给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为 ，
{C}相对{B}的描述为
AP A BTBP BPC BTCP APC ATCP
，则有
APA BTC BTCP
CATABTCBT
从而定义复合变换
。
同理得出：
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• 由于以上变换都是相对于动坐标系的，根据“由左向右”的原则可求
出变换矩阵：Ai Rot(z,i )Trans(0,0, di )Trans(ai ,0,0)Rot(x,i )
ci
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二、机器人运动学方程
(运动学方程/典型机器人运动学方程)
三、机器人逆运动学
(机器人运动学逆解有关问题/典型臂运动学逆解)
一、机器人连杆参数及其D-H坐标变换
在驱动装置带动下，连杆将绕或沿关节轴线， 相对于前一临近连杆转动或移动。
（一）连杆参数
（一）连杆参数
• 连杆的尺寸参数
连杆长度ai：两个关节轴线i和i+1 沿共垂线的距离； 连杆扭角αi ：两个关节轴线i和i+1的夹角；
第6、7讲 机器人位置运动学
Kinematics of Robotics
机器人正向运动学（运动学正解）
已知所有连杆长度和关节角度，计算机器人手的位姿
机器人逆向运动学（运动学逆解）
已知机器人手的位姿，计算所有连杆长度和关节角度
机器人运动学分析步骤和内容
一、机器人连杆参数及其D-H坐标变换
(连杆参数/连杆坐标系及D-H连杆变换)
ai
si
di 1
（三）移动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换
移动连杆坐标系的建立
移动连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿移动关节i轴线与关节i+1轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i轴
• 用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转 的齐次变换。
• A1表示第一连杆对基坐标的位姿， A2表示 第二连杆对第一连杆位姿……
• 则第二连杆对基坐标的位姿为 T2 A1A2 • 手爪相对于基座的位姿
• 相邻连杆的关系参数
连杆偏置di ：沿关节i轴线方向，两个共垂线之间的距离； 关节转角θi ：垂直于关节轴线的平面内，两个共垂线之 间的夹角；
关节变量
• 旋转关节：
关节转角θi是关节变量，连杆长度ai、连杆 扭角αi 、连杆偏置di 是固定不变的；
• 移动关节：
连杆偏置di是关节变量，连杆长度ai 、连杆 扭角αi 、关节转角 θi是固定不变的；
线与关节i+1轴线的交点； （3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与
关节i+2轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点；
转动连杆坐标系的建立
• 首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0 轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与 O1重合；
• 末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的 终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定 坐标系{n}与{n-1}平行；
移动连杆坐标系的D-H变换
• 移动连杆的D-H参数为θi、ai、αi 、di，其中关 节变量是di 。用与求转动连杆坐标系相同的方法 可求出移动连杆的D-H变换矩阵：
Ai Rot(z,i )Trans(0,0, di )Trans(ai ,0,0)Rot(x,i )
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二、机器人运动学方程
（一）运动学方程
• 机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成。
• 给每一个连杆在关节处设置一个连杆坐标系，该连杆坐标系 随关节运动而运动。
二、 机器人运动学方程
1、A矩阵和T矩阵
转动连杆坐标系的D-H变换
• 转动连杆的D-H参数为θi、ai、αi 、di，其中关节变量是θi 。这四 个参数确定了连杆i相对于连杆i-1的位姿，即D-H坐标变换矩阵Ai。
• 坐标系{i-1}经过下面四次有序的相对变换可得到坐标系{i}：
（1）绕Zi-1轴转θi ；Rot(Zi-1,θi) （2）沿Zi-1轴移动di ；Trans(Zi-1,di) （3）沿Xi轴移动ai ；Trans(Xi,ai) （4）绕Xi轴转αi ；Rot(Xi,αi)
线的交点； （3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与关节i+2轴线
的公垂线与关节i+1轴线的交点；
移动连杆坐标系的建立
移动连杆前的相邻连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi-1：过原点Oi且平行于移动关节i的轴线； • 坐标轴Xi-1：沿移动关节i-1轴线与Zi-1轴线的公垂
线,指向Zi-1轴线； • 坐标轴Yi-1：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi-1：关节轴线i-1和Zi-1轴的公垂线与
（二）转动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换
转动连杆坐标系的建立
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿连杆i两关节轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂
再看转动连杆参数的含义
• 连杆的尺寸参数
连杆长度ai：Zi和Zi-1沿Xi的距离，总为正；； 连杆扭角αi ：Zi-1绕Xi转至Zi的转角，符号根据右手定则确 定；
• 相邻连杆的关系参数
连杆偏置di ： Xi-1沿Zi-1至Xi的距离，沿Zi-1正向时为正； 关节转角θi ：Xi-1绕Zi-1转至Xi的转角，符号根据右手定则 确定；
Zi-1轴的交点；
移动连杆坐标系的建立
• 首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0 轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与 O1重合；
• 末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的 终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定 坐标系{n}与{n-1}平行；
再看移动连杆参数的含义
• 由于移动连杆的OiZi轴线平行于移动关节轴 线移动， OiZi在空间的位置是变化的，因而 ai参数无意义。连杆i的长度在坐标系{i-1} 中考虑， 故参数ai=0 。原点Oi的零位与Oi-1 重合，此时移动连杆的变量di=0 。
出变换矩阵：Ai Rot(z,i )Trans(0,0, di )Trans(ai ,0,0)Rot(x,i )
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二、机器人运动学方程
(运动学方程/典型机器人运动学方程)
三、机器人逆运动学
(机器人运动学逆解有关问题/典型臂运动学逆解)
一、机器人连杆参数及其D-H坐标变换
在驱动装置带动下，连杆将绕或沿关节轴线， 相对于前一临近连杆转动或移动。
（一）连杆参数
（一）连杆参数
• 连杆的尺寸参数
连杆长度ai：两个关节轴线i和i+1 沿共垂线的距离； 连杆扭角αi ：两个关节轴线i和i+1的夹角；
第6、7讲 机器人位置运动学
Kinematics of Robotics
机器人正向运动学（运动学正解）
已知所有连杆长度和关节角度，计算机器人手的位姿
机器人逆向运动学（运动学逆解）
已知机器人手的位姿，计算所有连杆长度和关节角度
机器人运动学分析步骤和内容
一、机器人连杆参数及其D-H坐标变换
(连杆参数/连杆坐标系及D-H连杆变换)
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（三）移动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换
移动连杆坐标系的建立
移动连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿移动关节i轴线与关节i+1轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i轴
• 用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转 的齐次变换。
• A1表示第一连杆对基坐标的位姿， A2表示 第二连杆对第一连杆位姿……
• 则第二连杆对基坐标的位姿为 T2 A1A2 • 手爪相对于基座的位姿
• 相邻连杆的关系参数
连杆偏置di ：沿关节i轴线方向，两个共垂线之间的距离； 关节转角θi ：垂直于关节轴线的平面内，两个共垂线之 间的夹角；
关节变量
• 旋转关节：
关节转角θi是关节变量，连杆长度ai、连杆 扭角αi 、连杆偏置di 是固定不变的；
• 移动关节：
连杆偏置di是关节变量，连杆长度ai 、连杆 扭角αi 、关节转角 θi是固定不变的；
线与关节i+1轴线的交点； （3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与
关节i+2轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点；
转动连杆坐标系的建立
• 首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0 轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与 O1重合；
• 末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的 终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定 坐标系{n}与{n-1}平行；
移动连杆坐标系的D-H变换
• 移动连杆的D-H参数为θi、ai、αi 、di，其中关 节变量是di 。用与求转动连杆坐标系相同的方法 可求出移动连杆的D-H变换矩阵：
Ai Rot(z,i )Trans(0,0, di )Trans(ai ,0,0)Rot(x,i )
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二、机器人运动学方程
（一）运动学方程
• 机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成。
• 给每一个连杆在关节处设置一个连杆坐标系，该连杆坐标系 随关节运动而运动。
二、 机器人运动学方程
1、A矩阵和T矩阵
转动连杆坐标系的D-H变换
• 转动连杆的D-H参数为θi、ai、αi 、di，其中关节变量是θi 。这四 个参数确定了连杆i相对于连杆i-1的位姿，即D-H坐标变换矩阵Ai。
• 坐标系{i-1}经过下面四次有序的相对变换可得到坐标系{i}：
（1）绕Zi-1轴转θi ；Rot(Zi-1,θi) （2）沿Zi-1轴移动di ；Trans(Zi-1,di) （3）沿Xi轴移动ai ；Trans(Xi,ai) （4）绕Xi轴转αi ；Rot(Xi,αi)
线的交点； （3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与关节i+2轴线
的公垂线与关节i+1轴线的交点；
移动连杆坐标系的建立
移动连杆前的相邻连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi-1：过原点Oi且平行于移动关节i的轴线； • 坐标轴Xi-1：沿移动关节i-1轴线与Zi-1轴线的公垂
线,指向Zi-1轴线； • 坐标轴Yi-1：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi-1：关节轴线i-1和Zi-1轴的公垂线与
（二）转动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换
转动连杆坐标系的建立
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿连杆i两关节轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂
再看转动连杆参数的含义
• 连杆的尺寸参数
连杆长度ai：Zi和Zi-1沿Xi的距离，总为正；； 连杆扭角αi ：Zi-1绕Xi转至Zi的转角，符号根据右手定则确 定；
• 相邻连杆的关系参数
连杆偏置di ： Xi-1沿Zi-1至Xi的距离，沿Zi-1正向时为正； 关节转角θi ：Xi-1绕Zi-1转至Xi的转角，符号根据右手定则 确定；
Zi-1轴的交点；
移动连杆坐标系的建立
• 首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0 轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与 O1重合；
• 末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的 终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定 坐标系{n}与{n-1}平行；
再看移动连杆参数的含义
• 由于移动连杆的OiZi轴线平行于移动关节轴 线移动， OiZi在空间的位置是变化的，因而 ai参数无意义。连杆i的长度在坐标系{i-1} 中考虑， 故参数ai=0 。原点Oi的零位与Oi-1 重合，此时移动连杆的变量di=0 。