空间向量的坐标运算练习
高中数学人教A版(2019)选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习
高中数学人教A 版（2019）选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习一、单选题(共8题；共16分)1．（2分）空间直角坐标系中，已知 A(1,−2,3) ， B(3,2,−5) ，则线段 AB 的中点为（ ）A ．(−1,−2,4)B ．(−2,0,1)C ．(2,0,−2)D ．(2,0,−1)2．（2分）已知 a ⃗ =(1,1,0),b ⃗ =(0,1,1),c ⃗ =(1,0,1) ， p ⃗ =a ⃗ −b ⃗ ,q ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ ，则 p⃗ ⋅q ⃗ = （ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．-23．（2分）已知向量 a ⃗ =(3,5,−1) ， b ⃗ =(2,2,3) ， c ⃗ =(1,−1,2) ，则向量 a ⃗ −b ⃗ +4c ⃗ 的坐标为（ ）.A ．(5,−1,4)B ．(5,1,−4)C ．(−5,1,4)D ．(−5,−1,4)4．（2分）已知向量 a ⃗ =（1，1，0），则与 a⃗ 共线的单位向量 e ⃗ =（ ） A ．(√22,−√22,0)B ．(0, 1， 0)C ．(√22,√22,0)D ．(1, 1， 1)5．（2分）在空间直角坐标系中，向量 a ⃗ =(2,−3,5) ， b ⃗ =(−2,4,5) ，则向量 a ⃗ +b⃗ = （ ） A ．(0,1,10) B ．(−4,7,0) C ．(4,−7,0)D ．(−4,−12,25)6．（2分）已知向量 a ⃗ =(2,3,1) ， b ⃗ =(1,2,0) ，则 |a +b⃗ | 等于（ ） A ．√3 B ．3 C ．√35D ．97．（2分）已如向量 a ⃗ =(1，1，0) ， b ⃗ =(−1，0，1) ，且 ka +b⃗ 与 a ⃗ 互相垂直，则 k = （ ）． A ．13B ．12C ．−13D ．−128．（2分）已知空间向量 m ⃗⃗⃗ =(3,1,3) ， n ⃗ =(−1,λ,−1) ，且 m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则实数 λ= （ ） A ．−13B ．-3C ．13D ．6二、多选题(共4题；共12分)9．（3分）以下命题正确的是（ ）A ．若 p → 是平面 α 的一个法向量，直线 b 上有不同的两点 A ，B ，则 b//α 的充要条件是 p →⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0B ．已知 A ， B ，C 三点不共线，对于空间任意一点 O ，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +25OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 P ， A ， B ， C 四点共面C ．已知 a →=(−1,1,2) ， b →=(0,2,3) ，若 ka →+b →与 2a →−b →垂直，则 k =−34D ．已知 △ABC 的顶点坐标分别为 A(−1,1,2) ， B(4,1,4) ， C(3,−2,2) ，则 AC 边上的高 BD 的长为 √1310．（3分）下列四个结论正确的是（ ）A ．任意向量 a ⃗ ， b →，若 a ⃗ ⋅b ⃗ =0 ，则 a →=0→或 b →=0→或 〈a →,b →〉=π2 B ．若空间中点 O ， A ， B ， C 满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 A ， B ， C 三点共线C ．空间中任意向量 a →,b →,c →都满足 (a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)D ．已知向量 a →=(1,1,x) ， b →=(−2,x,4) ，若 x <25，则 〈a →,b →〉 为钝角 11．（3分）如图，在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =5 ， AD =4 ， AA 1=3 ，以直线 DA ，DC ， DD 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则（ ）A ．点B 1 的坐标为 (5,4,3)B ．点C 1 关于点 B 对称的点为 (8,5,−3)C ．点 A 关于直线 BD 1 对称的点为 (0,5,3) D ．点 C 关于平面 ABB 1A 1 对称的点为 (8,−5,0)12．（3分）已知向量 a⃗ =(1,1,0) ，则与 a ⃗ 共线的单位向量 e ⃗ = （ ） A ．(−√22,−√22,0)B ．(0,1,0)C ．(√22,√22,0) D ．(−1,−1,0)三、填空题(共4题；共5分)13．（1分）已知向量 a⃗ =(1,2,3) ， b ⃗ =(x,x 2+y −2,y) ，并且 a ⃗ ， b ⃗ 同向，则 x ， y 的值分别为 ．14．（1分）若向量 a ⃗ = （1，λ，2）， b ⃗ = （﹣2，1，1）， a⃗ ， b ⃗ 夹角的余弦值为 16，则λ= . 15．（2分）已知 a ⃗ =(3，2λ−1，1) ， b ⃗ =(μ+1，0，2μ) ．若 a ⃗ ⊥b ⃗ ，则μ＝ ；若 a ⃗ //b⃗ ，则λ+μ＝ ．16．（1分）已知向量 a ⇀=(0,−1,1),b ⇀=(4,1,0),|λa ⇀+b ⇀|=√29 ，且 λ>0 ，则 λ= ．四、解答题(共4题；共45分)17．（10分）如图，建立空间直角坐标系 Oxyz .单位正方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 顶点A 位于坐标原点，其中点B(1,0,0) ，点 D(0,1,0) ，点 A ′(0,0,1) .（1）（5分）若点E 是棱 B ′C ′ 的中点，点F 是棱 B ′B 的中点，点G 是侧面 CDD ′C ′ 的中心，则分别求出向量 OE⇀,OG ⇀,FG ⇀ 的坐标； （2）（5分）在（1）的条件下，分别求出 (OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅FG⃗⃗⃗⃗⃗ ， |EG ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值. 18．（10分）已知点 A(0,1,2) ， B(1,−1,3) ， C(1,5,−1) ．（1）（5分）若D 为线段 BC 的中点，求线段 AD 的长；（2）（5分）若 AD ⇀=(2,a,1) ，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1 ，求a 的值，并求此时向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值． 19．（20分）已知点 A(0,1,−1) , B(2,2,1) ，向量 a ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,计算： （1）（5分）求向量 b ⃗ 的单位向量 b 0⃗⃗⃗⃗ ；（2）（5分）求 |2a −b ⃗ | ， |−3a | ； （3）（5分）cos <a ,b⃗ > ； （4）（5分）求点 B 到直线 OA 的距离.20．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2， PA ⊥ 平面 ABCD ，且PA=2，E 是PD 中点．以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A −xyz ．（Ⅰ）求点 A,B,C,D,P,E 的坐标； （Ⅱ）求 |CE⃗⃗⃗⃗⃗ | ．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】根据中点坐标公式，中点坐标为(2,0,−1).故答案为：D.【分析】由空间直角坐标系中点的公式代入数值计算出结果即可。
高三数学空间向量基本定理与坐标运算试题
高三数学空间向量基本定理与坐标运算试题1.设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是() A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0，0，2)，(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离．选D．2.如图，BC＝4，原点O是BC的中点，点A(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长度为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由于点D在平面yOz上，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．∴点D的竖坐标z＝4×sin30°×sin60°＝，纵坐标y＝－(2－4×sin30°×cos60°)＝－1．∴D(0，－1，)．∴|AD|＝＝,选D．3.在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高A．1B． 2C． 13D． 26【答案】B【解析】根据tiyi，由于四棱锥中，，，，那么可知设平面ABCD的法向量为,则根据在上投影的绝对值可知得到锥体的高度为,故可知h=2,故选B.【考点】向量的运用点评：主要是考查了向量的数量积的运用，求解距离，属于基础题。
4.已知、、为两两垂直的单位向量，非零向量，若向量与向量、、的夹角分别为、、，则．【答案】1【解析】设、、为长方体的共顶点的三条棱的方向向量，因非零向量，故可为长方体体对角线的方向向量，则、、分别为则有5.（理）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）A．－3或1B．3或－1C．－3D．1【答案】A【解析】则故选A6.点是棱长为1的正方体内一点，且满足，则点到棱的距离为A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_______【答案】60°【解析】略8.已知空间向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略9.以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】三阶矩阵．分析：此题要求方程的解集，主要还是化简方程左边的行列式得直线方程，最后求出一个法向量即可．解：因为得到方程：2+x-2y-1=0化简得：x-2y+1=0其一个方向向量为（2，1）．故它的法向量为：（1，-2）故选A．10.的三个内角的对边分别为，已知，向量，。
人教A版选修2-1第三章第六课时同步练习3-1-5空间向量运算的坐标表示
§3.1. 5空间向量运算的坐标表示一、选择题1．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a 不平行 b ，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°2．已知空间四点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，D (x ，－1,3)共面，则x 的值为( )A ．4B ．1C ．10D ．113．下列各组向量中共面的组数为( )①a ＝(1,2,3)，b ＝(3,0,2)，c ＝(4,2,5)②a ＝(1,2，－1)，b (0,2，－4)，c ＝(0，－1,2)③a ＝(1,1,0)，b ＝(1,0,1)，c ＝(0,1，－1)④a ＝(1,1,1)，b (1,1,0)，c ＝(1,0,1)A ．0B ．1C ．2D ．34．下列各组向量不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40)5．若两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25]6．已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x )，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( )A ．x <－4B ．－4<x <0C ．0<x <4D ．x >47．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则BE 1→等于( ) A ．(0，14，－1) B ．(－14，0,1) C ．(0，－14，1) D ．(14，0，－1) 8．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－19．如图AC 1是正方体的一条体对角线，点P 、Q 分别为其所在棱的中点，则PQ 与AC 1所成的角为( )A ．4πB ．12π C.π3 D.π210．已知向量OA →＝(2，－2,3)，向量OB →＝(x,1－y,4z )，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0，32，－12)，则(x ，y ，z )＝( ) A ．(－2，－4，－1) B ．(－2，－4,1)C ．(－2,4，－1)D ．(2，－4，－1)二、填空题11．已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－1,0)，单位向量n 满足n ⊥a ，n ⊥b ，则n ＝________.12．已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．13．已知向量a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，－3,0)，c ＝(7，－2，1)，则：(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)(a ＋b )·c ＝________； (3)|a －b ＋c |2＝________.14．已知a ，b ，c 不共面，且m ＝3a ＋2b ＋c ，n ＝x (a －b )＋y (b －c )－2(c －a )，若m ∥n ，则x ＋y ＝__________________.三、解答题15．已知点A (2,3，－1)，B (8，－2,4)，C (3,0,5)，是否存在实数x ，使AB →与AB →＋xAC →垂直？16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DC 的中点．求证：(1)AE ⊥D 1F ； (2)AE ⊥平面A 1D 1F .18．已知空间三点A (0,2,3)、B (－2,1,6)、C (1，－1,5)．(1)求以AB →、AC →为邻边的平行四边形面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标．参考答案一、选择题1．[答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2，(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．2．[解析] AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－2,0)，∵A 、B 、C 、D 共面，∴AB →、AC →、AD →共面，∴存在λ、μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－2λ－μ－2＝2λ＋6μ0＝－2λ－8μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－4μ＝1x ＝11. 3．[答案] D[解析] ①设a ＝x b ＋y c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3x ＋4y 2＝0·x ＋2y 3＝2x ＋5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1. 故存在实数x ＝－1，y ＝1使得a ＝－b ＋c ，∴a ，b ，c 共面．②中b ＝－2c ，③中c ＝a －b .故②③中三个向量共面．4．[答案] D[解析] b ＝－2a ，d ＝－3c ，f ＝0e ，只有D 不存在实数λ，使g ＝λh .5．[答案] B[解析] |AB →|2＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＝13－12cos θcos α－12sin θsin α ＝13－12cos(θ－α)∈[1,25]，∴1≤|AB →|≤5.6．[答案] A[解析] ∵a 、b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0.∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使b ＝λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝λx 2－x ＝2λx ＝0，此方程组无解，因此选A. 7．[答案] C[解析] B (1,1,0)、E 1(1，34，1)，BE 1→＝(0，－14，1)． 8．[答案] B[解析] a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )，2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)，∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝λ(2－x )4＝3λ4－y ＝(－2y －2)λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－4 9．[答案] D[分析] 建立空间直角坐标系，求出AC 1→与PQ →的坐标，转化为求AC 1→与PQ →的夹角．[解析] 设正方体棱长为1，以点A 1为坐标原点，A 1B 1、A 1D 1、A 1A 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则P ⎝⎛⎭⎫12，0，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,1)，C 1(1,1,0)，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，12，AC 1→＝(1,1，－1)，故PQ →·AC 1→＝－12×1＋1×1＋12×(－1)＝0， ∴PQ →⊥AC 1→，即PQ 与AC 1所成的角为π2. 10．[答案] A[解析] 由条件(2，－2,3)＋(x,1－y,4z )＝2⎝⎛⎭⎫0，32，－12， ∴(x ＋2，－1－y,3＋4z )＝(0,3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4z ＝－1.二、填空题11．[答案] ⎝⎛⎭⎫33，33，33 ⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33[解析] 设n ＝(x ，y ，z )，由条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －z ＝0x －y ＝0x 2＋y 2＋z 2＝1，∴x ＝y ＝z ＝33或－33.12．[答案] 120°[解析] AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，AB →·CA →＝－7，|AB →|＝14，|CA →|＝14，∴cos θ＝－714×14＝－12，∴θ＝120°.13．[答案] (5，－3,6) －7 54[解析] (1)a ＋b ＋c ＝(－3,2,5)＋(1，－3,0)＋(7，－2,1)＝(5，－3,6)．(2)a ＋b ＝(－2，－1,5)，(a ＋b )·c ＝(－2，－1,5)·(7，－2,1)＝－7.(3)a －b ＋c ＝(3,3,6)，|a －b ＋c |2＝54.14．[答案] －4[解析] ∵a 、b 、c 不共面，m ∥n ， ∴x ＋23＝－x ＋y 2＝－y －21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝－2.三、解答题15．[解析] AB →＝(6，－5,5)，AC →＝(1，－3,6)，AB →＋xAC →＝(6＋x ，－5－3x,5＋6x )，∵AB →⊥(AB →＋xAC →)∴6(6＋x )－5(－5－3x )＋5(5＋6x )＝0，∴x ＝－9651＝－3217，∴存在实数x ＝－3217， 使AB →与AB →＋xAC →垂直．16．[证明] 设正方体的棱长为1，以DA →、DC →、DD 1→为坐标向量，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．(1)易知A (1,0,0)、E (1,1，12)、F (0，12，0)、D 1(0,0,1)．∵AE →＝(0,1，12)，D 1F →＝(0，12，－1)．又AE →·D 1F →＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0，∴AE ⊥D 1F .(2)DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1→，∴D 1A 1→·AE →＝(1,0,0)·(0,1，12)＝0，∴AE ⊥D 1A 1，由(1)知AE ⊥D 1F ，且D 1A ∩D 1F ＝D 1，∴AE ⊥平面A 1D 1F .17．[解析] (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－2，－1,2)．∴设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3∴λ＝±1∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．(2)a ＝AB →＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)b ＝AC →＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)．∴cos<a ，b >＝a·b|a|·|b| ＝(1，1，0)·(－1，0，2)2×5＝－1010.(3)k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，则(k a ＋b )·(k a －2b )＝(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0，∴k ＝2或k ＝－52. 18．[解析] (1)由题中条件可知AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋614×14＝12， ∴sin 〈AB →，AC →〉＝32， ∴以AB →，AC →为邻边的平行四边形面积S ＝|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)。
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算 1一.选择题1.在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，那么下列说法正确．．的是（ ）A ． 点p 关于x 轴对称的坐标是()1,,p x y z -B ． 点p 关于yoz 平面对称的坐标是()2,,p x y z --C ． 点p 关于y 轴对称点的坐标是()3,,p x y z -D ． 点p 关于原点对称点的坐标是(),,x y z ---2.下列命题是真命题的是（ ）A. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量.B. 若a b = ，则,a b 的长度相等而方向相同或相反.C. 若向量,AB CD 满足CD AB 〉 ，且AB CD 与同向，则AB CD 〉 .D. 若两个非零向量AB CD 与满足0AB CD ＋＝,则AB ‖CD .3.已知点()1,3,4p --，且该点在三个坐标平面yoz 平面，zox 平面，xoy 平面上的射影的坐标依次为()111,,x y z ，()222,,x y z 和()333,,x y z ，则（ ）A ．2221230x y z ++= B.2222310x y z ++=C. 2223120x y z ++= D.以4.到定点()1,0,0的距离小于或等于1的点集合为（ ）A.()(){}222,,|11x y z x y z -++≤B.()(){}222,,|11x y z x y z -++=C.()(){},,|11x y z x y z -++≤D.(){}222,,|1x y z x y z ++≤5.已知()()3cos ,3sin ,12cos ,2sin ,1P ααββ==和Q ，则PQ 的取值范围是（）A.[]0,5B.[]0,25C.[]1,5D.()1,56.已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为（ ）A. 030B.045C.060D.090二.填空题7.已知{},,i j k 为单位正交基，且3,232a i j k b i j k =-++=-- ，则向量a b + 与 向量2a b - 的坐标分别是______________;_________________.8.若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+ 则同方向的单位向量是_________________.9. 已知()()1,1,,2,,a t t t b t t =--= ，则b a - 的最小值是_______________.10.若向量 ()()1,,2,2,1,2a b λ==- ，,a b 夹角的余弦值为89，则λ等于__________. 11.已知(c o s ,1,s i n ),(s i n ,a b αααα== 则向量a ba b +- 与的夹角是_________. 12.()()(),2,4,1,,3,1,2,,,,a x b y c z a b c =-=-=- 且两两垂直，则_______,x =_________________y z ==13.设1,2,,a b a b == 且的夹角为0120;则2a b + 等于______________.空间向量的坐标运算21．已知▱ABCD ，且A (4,1,3)、B (2，－5,1)、C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为( )A ．(72，4，－1) B ．(2,3,1) C ．(－3,1,5) D ．(5,13，－3) 2．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,3,1)、B (4,1，－2)、C (6,3,7)，则△ABC 的重心坐标为( )A ．(6，72，3)B ．(4，73，2)C ．(8，143，4)D ．(2，76，1) 3．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，cos 〈a ，b 〉＝89，则λ等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或－2554． 已知两空间向量a ＝(2，cos θ，sin θ)，b ＝(sin θ，2，cos θ)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题5．与A (－1,2,3)、B (0,0,5)两点距离相等的点满足的等式为________．6．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在向量b 方向上的投影为________．7．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________．。
空间向量及其运算的坐标表示(解析版)-高二数学新教材同步题型+能力+素养练
1.3 空间向量及其运算的坐标表示题型一：空间向量的坐标运算1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)- D ．(3,1,4)【答案】D【点拨】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答. 【详解】依题意，点(3,1,4)P --关于y 轴对称的点的坐标为(3,1,4). 故选：D2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1- C ．()2,0,1- D ．()2,0,1【答案】B【点拨】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----， 解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB AB ==，若3PC PQ =，则点Q 的空间直角坐标为（ ）一维练基础A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【点拨】根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=，所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．故选：B ．4．已知向量a ＝（3，0，1），b ＝（﹣2，4，0），则3a +2b 等于（ ）A ．（5，8，3）B ．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）【答案】A【点拨】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】32(9,0,3)(4,8,0)(5,8,3)a b +=+-=，故选：A5．若(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=，则22a b c -+=（ ） A ．()2,4,1- B ．()10,0,3--C ．()2,4,1--D ．()10,0,3【答案】D【点拨】直接利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=， 所以22(2,0,1)2(3,1,1)2(1,1,0)(10,0,3)a b c -+=---+=， 故选：D题型二：空间向量模长的坐标表示1．已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（ ） A ．6-B ．a - C ．32D ．34-b【答案】C【点拨】直接由数量投影的公式求解即可. 【详解】由题意知：a 在b 的方向上的数量投影为()22122232a b b-⨯⋅==+-. 故选：C.2．若向量()1,2,3a =-，()2,3,1b =--，则2a b +=（ ） A ．27B ．5 C 26D ．42【答案】C【点拨】求出2a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()23,4,1a b +=-，故()222234126a b +=-++=．故选：C.3．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(345)A ，，在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则BC →=（ ）A ．5B 34C 41D ．52【答案】C【点拨】写出点A 在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，再计算BC →的值．【详解】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3A ，4，5)在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则(3B ，4，0)，(3C ，0，5)， ∴(0BC →=，4-，5)，||0162541BC →∴++故选：C ．4．已知()1,1,0a t =-，()2,,b t t =，则b a -的最小值是（ ） A ．1 B 2C 3D 5【答案】B【点拨】利用空间向量坐标的减法求出b a -，然后利用求模公式求出b a -. 【详解】解：()()1,1,0,2,,a t b t t =-= (1,1,)b a t t t -=+-∴2222(1)(1)32b a t t t t ∴-=++-+=+∴当0=t 时，b a -取最小值2故选：B5．已知向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，那么b →等于（ ）A 10B 11C ．3D ．5【答案】B【详解】解：因为向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，所以13210x -⨯++=，解得1x =， 所以()3,1,1b =，所以22231111b →=++故选：B题型三：空间向量平行的坐标表示1．已知()1,4,4a =--，(),2,21b m m =-+，若a b ∥，则m 的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12-D ．12【答案】C【点拨】根据向量共线的性质即可求解. 【详解】因为a b ∥，所以221144m m -+==--，解得12m =-， 故选：C.2．已知()1,2,a y =，(),1,2b x =，且//a b ，则x y ⋅=（ ） A ．1 B ．1-C ．2-D ．2【答案】D【点拨】利用空间向量共线的坐标表示可求得x 、y 的值，即可得解.【详解】因为//a b ，则214x y =⎧⎨=⎩，所以，12x =，4y =，因此，2x y ⋅=.故选：D.3．已知空间三点()0,1,2A ，()2,3,1B ，()1,2,C m ，若,,A B C 三点共线，则m =（ ）． A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【点拨】求出向量AB 与向量AC 的坐标，根据,,A B C 三点共线，可得向量AB 与向量AC 共线，由此即可求出结果.【详解】因为()2,2,1AB =-，()1,1,2AC m =-，且,,A B C 三点共线， 所以向量AB 与向量AC 共线， 所以1221m -=-，得32m =．故选：C.4．已知()2,1,3A ，()1,3,1B ，()4,,C y z ，若AB AC ∥，则2y z -=（ ） A ．20- B ．17- C ．11 D ．4【答案】B【点拨】根据空间向量共线的性质进行求解即可. 【详解】()1,2,2AB =--，()2,1,3AC y z =--， 因为AB AC ∥，所以122213y z --==--， 解得3y =-，7z =，故217y z -=-. 故选：B5．已知两个向量()2,1,3a =-，(),2,b s t =，且//a b ，则s t -的值为（ ） A ．-2 B ．2C ．10D ．-10【答案】C【点拨】根据向量共线可得,s t 满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项. 【详解】因为//a b ，故存在常数λ，使得a b λ=，所以2123s t λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，故4,6s t ==-，所以10s t -=，故选：C.题型四：空间向量垂直的坐标表示1．已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D【点拨】解方程2123(6)0x -⨯+⨯-=即得解.【详解】解：因为a b →→⊥，所以2123(6)0,10x x -⨯+⨯-=∴=. 故选：D2．设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【点拨】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y 和x 即可． 【详解】024201a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-+=⇒=， b ∥1224y c y ⇒=⇒=--， ∴1x y +=. 故选：A.3．已知()1,2,1u =是直线l 的方向向量，()2,,2v y =为平面α的法向量，若l ∥α，则y 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．4D ．14【答案】A【点拨】由l ∥α，可得u v ⊥，再计算即可求解.【详解】由题意可知u v ⊥，所以=0u v ⋅，即12+21202y y ⨯+⨯=⇒=-. 故选：A4．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-，则下列点不在平面α上的是（ ） A ．()2,3,3B ．()3,7,4C ．()1,7,1--D ．()2,0,1-【答案】D【点拨】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】()1,1,2A -对于A ：记()12,3,3A ,则()11,4,1AA =.因为()()11,4,12,1,22420AA n =-=-+=，所以点()12,3,3A 在平面α上 对于B ：记()3,7,4B ,则()2,8,2AB =.因为()()2,8,22,1,24840AB n =-=-+=，所以点()3,7,4B 在平面α上 对于C ：记()1,7,1C --,则()2,6,1AC =---.因为()()2,6,12,1,24620AC n =----=-+-=，所以点()1,7,1C --在平面α上 对于D ：记()2,0,1D -,则()3,1,1AD =--.因为()()3,1,12,1,26120AD n =---=---≠，所以点()2,0,1D -不在平面α上. 故选：D5．已知()1,1,3a =-，(),,1b x y =，若a b ⊥，则x y +=（ ） A ．9 B ．6 C ．5 D ．3【答案】D【点拨】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】0303a b a b x y x y ⊥⇒⋅=⇒+-=⇒+=. 故选：D.题型五：空间向量夹角余弦的坐标表示1．若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0 B ．－43C ．0或－43D ．0或43【答案】C【点拨】由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得. 【详解】由题知，22cos ,31414a b a b a bλ⋅<>===+++即2340λλ+=，解得0λ=或43λ=-.故选：C2．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成3π夹角的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1--【答案】B【点拨】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可.【详解】A ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+， 所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为23π，故不符合题意； B ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)1(1)=+-⨯+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为3π，故符合题意； C ：因为向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+，所以向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-夹角为23π，故不符合题意； D ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角的余弦值为222201(1)(1)(1)=+-⨯-+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角为2π，故不符合题意，故选：B4．若()1,,2a λ=，()2,1,2b =-，且a ，b 的夹角的余弦值为89，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或255D ．2或255-【答案】C【点拨】根据8cos ,9a b a b a b⋅==，解得即可得出答案.【详解】解：因为()1,,2a λ=，()2,1,2b =-， 所以2248cos ,935a b a b a bλλ⋅-+===+，解得：=λ2-或255. 故选：C.4．已知空间向量()()2,3,63,1,,4a b ==-，则,a b =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】A【点拨】求得0a b ⋅=，即可得出. 【详解】()()2,3,63,1,,4a b ==-，()2334610a b ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=，a b ∴⊥，,2a b π∴=.故选：A.5．已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，3a b ⋅=则向量a 与b λ（0λ≠）的夹角为（ ） A ．6πB ．6π或56π C ．3π D ．3π或23π 【答案】B【详解】,13a b a b cos a b n ⋅==+=解得2n =，222,?3n cos a b ⨯+= 代入得32cos a b ⋅=，又向量夹角范围：[]0,π 故,a b 的夹角为6π，则a 与b λ的夹角， 当0λ>时为6π；0λ<时为56π. 故选：B.1．已知向量()(),1,1,1,2,0a k b ==，且a 与b 互相垂直，则k 的值为（ ）二维练能力A ．－2B ．－12C ．12D ．2【答案】A【点拨】由题意0a b ⋅=，由空间向量的数量积运算可得答案. 【详解】由a 与b 互相垂直，则20a b k ⋅=+=，解得2k =- 故选：A2．已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（ ） A 485B ．485C ．0D ．1【答案】B【点拨】利用空间向量的夹角余弦值公式cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可求得.【详解】解：(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，40485cos ,||||1725a b a b a b ⋅+-∴<>===⋅⋅故选：B.3．已知向量()1,0,a m =，(2,0,23b =-，若a b ∥，则a =（ ） A ．1 B 2C 3D ．2【答案】D【点拨】由空间平行向量，先求出m 的值，再由模长公式求解模长. 【详解】由//a b ，则λa b ，即(1,0,)(2,0,23)m λ=-， 有1223m λλ==-，， 所以1123322m λ==-=-， 所以(1,0,3a =-，则()2221032a =++-故选：D4．下列四个结论正确的是 （ ）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则,a b 为钝角 【答案】B【点拨】A 选项，0a b ⋅=也可以是0,0a b ≠≠，a b ⊥；B 选项，利用向量线性运算得到2AC CB =，从而得到三点共线；C 选项可以举出反例；D 选项，求出,a b 为钝角时x 的取值范围，从而得到答案. 【详解】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误； 若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，即()()1233OC OA OB OC -=-， 所以1233AC CB =，化简得：2AC CB =，则A ，B ，C 三点共线，B 正确；设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。
人教A版高中数学选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示 经典例题及配套练习题
C1D1 上，
B1E1
1 4
A1B1 ，
D1F1
1 4
C1D1 ．
图 1.3-9
（1）求 AM 长．
的 （2）求BE1与 DF1所成角的余弦值．
分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点 A，M 的坐标，利用空间两点间的距离公式
求出 AM 的长．（2）BE1 与 DF1 所成的角就是 BE1 ，DF1 所成的角或它的补角．因此，可以通过 BE1 ，
（2）写出点 P 2,3, 4 在三个坐标平面内的射影的坐标． （3）写出点 P 1,3,5 关于原点成中心对称的点的坐标． 【答案】（1）平面 yoz 与 x 轴垂直,平面 xoz 与 y 轴垂直,平面 xoy 与 z 轴垂直；（2）点 P 2,3, 4 在平面 yoz 的射影的坐标 P0,3, 4 ,点 P 2,3, 4 在平面 xoy 的射影的坐标 P2,3,0 ；点 P 2, 3, 4 在平面 xoz 的射影的坐标 P2, 0, 4 ；（3）点 P 1, 3, 5 关于原点对称点的坐标是 P1, 3, 5 ．
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系 例 1 如图 1.3-6，在长方体 OABC DABC 中， OA 3， OC 4 ， OD 2 ，以
1 3
OA,
1 4
OC,
1 2
OD
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
Oxyz
．
图 1.3-6
（1）写出 D¢，C， A ， B 四点的坐标； （2）写出向量 AB ， BB ， AC ， AC 坐标．
图 1.3-8
分析：要证明 EF DA1 ，只要证明 EF DA1 ，即证 EF DA1 0 ．我们只要用坐标表示 EF ，DA1 ，
空间向量运算的坐标表示 专题训练
空间向量运算的坐标表示 专题训练[A 基础达标]1．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，则|3a ＋b |为( ) A.15 B ．4C ．5 D.17解析：选D.3a ＋b ＝3(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(3，3，0)＋(－1，0，2)＝(2，3，2)，故|3a ＋b |＝4＋9＋4＝17.2．若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．1解析：选A.因为c －a ＝(0，0，1－x )，2b ＝(2，4，2)， 所以(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝2－2x ＝－2.所以x ＝2.3．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10C ．2 5D ．±10解析：选D.CB→＝(－6，1，2k )， CA→＝(－3，2，－k )， 则CB→·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0，所以k ＝±10.4．已知a ＝(x ，1，2)，b ＝(1，2，－y )，且(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1解析：选B.2a ＋b ＝(2x ＋1，4，4－y )，－a ＋2b ＝(2－x ，3，－2y －2)，因为(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则存在非零实数λ，使得2a ＋b ＝λ(－a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝（2－x ）λ，4＝3λ，4－y ＝（－2y －2）λ，所以⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－4. 5．若A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，则当|AB→|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析：选C.因为AB→＝(1－x ，2x －3，3－3x )， 所以|AB →|＝ （1－x ）2＋（2x －3）2＋（3－3x ）2＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB→|有最小值． 6．已知a ＝(1，m ，3)，b ＝(－2，4，n )，若a ∥b ，则m －n ＝________． 解析：因为a ∥b ，所以b ＝λa .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m λ＝4，3λ＝n .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m ＝－2，n ＝－6.所以m －n ＝4.答案：47．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________．解析：由题意，得|c |＝3，(2a ＋b )·c ＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，所以2a ·c ＋b ·c ＝－10.又a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18，所以cos〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－12，所以〈b ，c 〉＝120°. 答案：120°8．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析：a·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a·b |a ||b |＜0，又|a |＞0，|b |＞0，所以a·b ＜0，即2x ＋4＜0，所以x ＜－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．已知向量a ＝(6，－3，2)，b ＝(4，－2，－4)．求：(1)|a |；(2)(3a ＋2b )·(－2a ＋b )．解：(1)|a |＝a 2＝62＋（－3）2＋22＝7.(2)因为|b |＝b 2＝42＋（－2）2＋（－4）2＝6，a ·b ＝6×4＋(－3)×(－2)＋2×(－4)＝22，所以(3a ＋2b )·(－2a ＋b )＝－6a 2＋3a ·b －4a ·b ＋2b 2＝－244.10．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：因为AB→＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)， CD→＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)， 且－24＝3－6＝－36，所以AB →与CD →共线． 又因为AB 与CD 不共线，所以AB ∥CD .又因为AD→＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)， BC→＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)， 且0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行． 所以四边形ABCD 为梯形．[B 能力提升]1．已知a ＝(1，2，3)，b ＝(2，1，2)，c ＝(1，1，2)，且向量p ∥c ，则当(p －a )·(p －b )取得最小值时，向量p 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 解析：选C.设p ＝λc ，则p －a ＝λc －a ＝(λ－1，λ－2，2λ－3)，p －b ＝λc －b ＝(λ－2，λ－1，2λ－2)，所以(p －a )·(p －b )＝2(3λ2－8λ＋5)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－13，所以当λ＝43时，(p －a )·(p －b )取得最小值，此时p ＝λc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 2．若a ＝(1，t ，2)，b ＝(－2，t ，1)，则a 与b 夹角θ的范围为________．解析：cos θ＝t 2t 2＋5·t 2＋5＝t 2t 2＋5， 当t ＝0时，cos θ＝0； 当t ≠0时，cos θ＝11＋5t 2＜1，所以0≤cos θ＜1.因为θ∈[0，π]，所以0＜θ≤π2.答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2 3．若a ＝(2，3，－1)，b ＝(－2，1，3)，求以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．解：|a |＝|b |＝14，a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，得cos a ，b ＝－27，故sin a ，b ＝357，所求平行四边形的面积为|a ||b |sin a ，b ＝14×14×357＝6 5.4．(选做题)已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． (1)若AP→∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标； (2)求以AB→，AC →为邻边的平行四边形的面积． 解：(1)因为AP→∥BC →，所以可设AP →＝λBC →(λ∈R )． 因为BC→＝(3，－2，－1)，所以AP →＝(3λ，－2λ，－λ)． 又|AP→|＝214， 所以（3λ）2＋（－2λ）2＋（－λ）2＝214，解得λ＝±2.所以AP→＝(6，－4，－2)或AP →＝(－6，4，2)． 设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP→＝(x ，y －2，z －3)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y －2＝－4，z －3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y －2＝4，z －3＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－2，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6，z ＝5.故所求点P 的坐标为(6，－2，1)或(－6，6，5)．(2)因为AB→＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12. 所以sin 〈AB →，AC →〉＝32.故以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.。
空间向量例题及解答
C空间向量及其坐标运算例1：在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -+- B ．++2121C ．1122a b c -- D ．+--2121练习：已知长方体ABCD-A'B'C'D'，设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的点，且BN ∶NC'=3∶1，并且MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ例2 ：已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b求y x ,的值.练习1：点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，=＋＋xOM OA OB OC , 则x =练习2：下面命题正确的个数是 （ ）①若23p x y =+，则p 与x 、y 共面；②若23MP MA MB =+，则M 、P 、A 、B 共面；③若0OA OB OC OD +++=，则A 、B 、C 、D 共面；④若151263OP OA OB OC =+-，则P 、A 、B 、C 共面； A.1 B. 2 C.3 D.4练习3：如图,已知空间四边形ABCD 中,向量AB a =,AC b =,AD c =若M 为BC 的中点,G 为BCD △ 的重心，GM xa yb zc =++， 则(),,x y z =练习4：一正方体1111ABCD A BC D -，P 、M 为空间中任意两点，若1167PM PB AA BA AD =++-，那么点M 一定在 平面内例3：已知4,135,λ===⊥a b m =a +b,n =a +b,a,b m n ，则λ=练习1：若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°，则|OA -OB +2OC |＝C1练习2：若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a -，则a 与b的夹角为____________。
空间向量的坐标运算
X1+z1=0 所以 X1+y1=0
取x1=1,得y1=z1=-1x
B C
故n=(1,-1,-1)
cos n, B1C1
n B1C1 n B1C1
010 1 3
3 3
故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 3
3
D y
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°， SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量
B
(1).cos SA,OB SAOB 2 10
SA OB 5 2 5 x
所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为 10 5
（2）设平面SAB的法向量n (x, y, z)
显然有 n AB 0, n SA 0
x
2x
y z
0 0
取x=1，则y=1，z=2； 故 n (1,1,2)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c2 ) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 方程组n • a 0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
《空间向量及其运算的坐标表示》同步练习及答案
《1.2空间向量及其运算的坐标表示》同步练习一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．14．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）A ．BC ．D ． 5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-26．若，则的最小值是（ ）ACD7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．910．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 222()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =(1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=21111ABCD A B C D -E BC P ABCD上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）A ．B ．C ．．二、多选题11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A ．B ．C ．D ．12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则C ．D．若，则为单位向量13．若，，与的夹角为，则的值为（）A ．17B ．－17C ．－1D ．1三、填空题 11B P D E ⊥1B P 523(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(1,1,1)()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ14．已知，，则______.15．已知向量，，则____；若，则______16．已知，，，，，则______.17如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.21．已知空间三点，设. ()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=(1,2,2)a (2,,1)b x a =a b ⊥x =()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x ()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y (2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x ()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求的值.22．已知向量.（1）求与共线的单位向量；（2）若与单位向量垂直，求m ，n 的值.23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.答案解析一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知可得.故选：A.2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ． a b θka b +2ka b -k ()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()()()1,2,11,2,12,4,2b =----=-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-【答案】D【解析】，，，，解得.故选：D.3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．1【答案】C【解析】由已知，由得：，，故选：C.4．已知空间向量，，若与垂直，则等于（）ABC．【答案】A【解析】由空间向量，，若与垂直，则，即，即，即，即，即， 故选：A. ()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥60a b x ∴⋅=+=6x =-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a bλλλλ+=-+=+-()a b a λ+⊥()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=2λ∴=-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 2()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b (2)0a b b -⋅=22a b b ⋅=249n +=52n =51,,22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭251a =+=5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-2【答案】A【解析】因为，，且，所以存在实数，使得，即解得 故选：6．若，则的最小值是（ ）ACD【答案】C【解析】，所以故选C7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以,则，故选 D. 8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b λb a λ=4222x λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪=⎩24x λ=-⎧⎨=-⎩A (1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(1,1,)b a m m m -=+-(1)b a m -=+=≥(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12(2,1,3)A -xOz (2,1,3)B =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -=22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =【解析】因为，所以，，故选：9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】A【解析】，， ， 、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数．故选：．10．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,2(5a b +=--()2,1,6a b -=--()()()46234222a b =⨯+-⨯-+-⨯=(246a =+=D ()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c ∴m n c ma nb =+727434m n m n m n λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩5m =3n =∴35433λ=⨯-⨯=A 21111ABCD A B C D -E BC P ABCD 11B P D E ⊥1B PA． C ．． 【答案】D【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、，设点，，， ，，得， 由，得，得，23D DA DC 1DD x y z D xyz -()12,2,2B ()10,0,2D ()1,2,0E ()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤()11,2,2D E =-()12,2,2B P x y =---11D E B P ⊥()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=22x y =-0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩01y ≤≤，当时，取得最大值. 故选：D.二、多选题 11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A． B ． C ．D ． 【答案】AC【解析】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到． 故，而或． 故选：AC ． 12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则 C．D ．若，则为单位向量【答案】BD【解析】 对于A 选项，因为，则，A 选项正确； 对于B 选项，若，且，，若，但分式无意义，B 选项错误； ()124B P x ∴=+=01y ≤≤1y =1B P 3(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(22(1,1,1)a e a e λ=a e λλ==a λ=±ae a =±11a =+=2(,22e =2(,2e =-()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a a b ⊥1212120a b x x y y z z ⋅=++=20x =20y ≠20z ≠//a b 12x x对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C 选项正确；对于D 选项，若，则，此时，不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.13．若，，与的夹角为，则的值为（ ）A ．17B ．－17C ．－1D ．1【答案】AC【解析】由已知，， ，解得或， 故选：AC.三、填空题 14．已知，，则______.【答案】 【解析】，故答案为：15．已知向量，，则_____；若，则_______ 【答案】3 0【解析】∵向量，， ∴. cos ,a b =><1111===x y z 2211a =+=a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ224a b λλ⋅=---=--22145,4116a b λλ=++=+=++=1cos12025a b a b λλ⋅-∴===-⋅+17λ=1λ=-()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=2()3,2,5a =-()1,5,1b =-()3125512a b ∴=-⨯+⨯+⨯-=2(1,2,2)a(2,,1)b x a =a b ⊥x =(1,2,2)a (2,,1)b x ||143a =++=若，则，解得.故答案为：3，0.16．已知，，，，，则______.【答案】-1【解析】依题意，所以.故答案为：17．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.【解析】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点， 所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，. a b ⊥2220a b x ⋅=+-=0x=()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=()()1,0,1,0,3,1p a b q =-=-=0011p q ⋅=+-=-1-1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆1DD 1(2,,),(0,0,2)P y z D 1(2,,2)D P y z =-(0,2,0),(2,0,1)C M (2,2,1)CM =-1D P CM ⊥4220y z -+-=22z y =-(0,2,)BP y z =-BP ===02y ≤≤65y =min BP =因为BC ⊥BP,所以. 四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）-6；（2）-4.【解析】（1）， ∴，∴. （2），∵，∴，∴，∴.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），得，，，，解得；min 1()22PBC S ∆=⨯=()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x b a λ=2423x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩6x =-()2,1,3a b x +=-+()a b c +⊥()0a b c +⋅=()2230x x --++=4x =-()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y 1y =-4y =AD AC ⊥AD AC ⊥0AD AC ∴⋅=()()3,,11,2,10y ∴⋅-=3210y ∴+-=1y =-（2）由、、、四点共面，得，，使得，，，，解得.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 (Ⅰ)因为,.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 21．已知空间三点，设.（1）求和的夹角的余弦值； A B C D λ∃R μ∈AD AB AC λμ=+()()()1,1,11,2,13,,1y λμ∴+-=321y λμλμλμ+=⎧⎪∴+=⎨⎪-=⎩4y =(2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x x k 03-12-||22c =0x ==ka b =+(21,1,22)k k k ---+ka b +c ()0ka b c =+⋅260k +=x k 03-c a b c a b λμ=+,R λμ∈(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩x 12-()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==a b θ（2）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或. 【解析】 ，．（1）所以与的夹角的余弦值为. （2），，所以, 即，所以或. 22．已知向量.（1）求与共线的单位向量； （2）若与单位向量垂直，求m ，n的值.【答案】（1）或.（2）或 【解析】（1）设=(λ,2λ,-2λ)，而为单位向量，∴||=1，即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，∴λ=±. ka b +2ka b -k 52k =-2k =(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)a AB ==---=(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)b AC ==---=-10cos ||||2a b a b θ⋅-+===⨯a b θ,,01,)0,21,,()()(2ka b k k k k +=+-=-2,,02,)0,42,,()()(4ka b k k k k -=--=+-()()21,,22,,(4)()1280k k k k k k k -⋅+-=-++-=22100k k +-=52k =-2k =()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =122,,333b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭122,,333b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩b b b 13∴=或=. （2）由题意，知，且故可得 解得或 23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】（1）空间中三点，，，设，， 所以，，，，且，设，，，或．（2）， 且向量与互相垂直， b 122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭b 122,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭0a c ⋅=1c=10220,1,m n ⨯+-=⎧⎪=2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆()2,1,2c =-()2,1,2c =--532()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =()()()1,1,22,0,21,1,0a AB =--=--=--()()()3,0,42,0,21,0,2b AC ==---=-∴(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC =----=-3c =//c BC c mBC =∴()()2,1,22,,2c mBC m m m m ==-=-(233c m m ∴=-==1m ∴=±∴()2,1,2c =-()2,1,2c =--()()()1,0,21,,21,1,0ka b k k k -++=---=--()1,0,2b =-ka b +b，解得． 的值是．（3）因为，， ，，，． ()140ka b b k ∴+=-+=5k =k ∴5()1,1,0AB =--()1,0,2AC =-()2,1,2BC =-1AB AC ∴=-(AB =-21AC ==11cos ,||||2510AB AC AB AC AB AC -∴<>===-sin ,1AB AC ∴<>==1sin ,2ABC S AB AC AB AC ∆∴=⨯⨯⨯<>12=32=。
数学必修二：空间向量的坐标表示习题答案
数学必修二：空间向量的坐标表示习题答案导语：在数学中，空间向量是一个重要的概念，对于学习几何和代数的学生来说，掌握空间向量的坐标表示是必不可少的。
本文将为大家提供数学必修二中关于空间向量的坐标表示的习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、选择题1.已知向量$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$，则向量$\overrightarrow{BA}$的坐标表示是：A. $-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$B. $3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$C. $-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$D. $3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$解析：向量$\overrightarrow{BA}$就是向量$\overrightarrow{AB}$的反向，所以坐标表示就是将$\overrightarrow{AB}$的坐标取相反数，即$-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$。
答案选A。
2.设向量$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$，向量$\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$，则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标表示是：A. $\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$B. $-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$C. $\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$D. $-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$解析：将向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的各个分量相加，得到$(2+(-1))\overrightarrow{i}+((-3)+5)\overrightarrow{j}+(4+(-2))\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overright arrow{k}$。
高中数学选择性必修一：1.3.2空间向量运算的坐标表示精选考点提升训练
第一章 1.3.2空间向量运算的坐标表示A 级——基础过关练1．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，则a·(b ＋c )的值为( ) A ．4 B ．15 C ．7D ．3【答案】D 【解析】因为b ＋c ＝(2,2,5)，所以a ·(b ＋c )＝4－6＋5＝3.2．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AB →＝3AC →，则点C 的坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫72，－12，52 B ．⎝⎛⎭⎫83，－3，2 C ．⎝⎛⎭⎫103，－1，73 D ．⎝⎛⎭⎫52，－72，32 【答案】C 【解析】设C (x ，y ，z )，则AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(x －4，y －1，z －3)．由AB →＝3AC →得(－2，－6，－2)＝3(x －4，y －1，z －3)，即有⎩⎪⎨⎪⎧－2＝3x －12，－6＝3y －3，－2＝3z －9，解得点C的坐标为⎝⎛⎭⎫103，－1，73. 3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，若a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 对应的点为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【答案】B 【解析】a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，所以a ＋b ＝(－5,9，－2)．所以a ＋b 对应的点为(－5,9，－2)．4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( ) A ．310 B ．210 C ．10D ．5【答案】A 【解析】因为a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)，所以|a －b ＋2c|＝310.5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为________．【答案】－66【解析】OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1,1)．由已知cos 120°＝OA →＋λOB →·OB →|OA →＋λOB →||OB →|＝2λ2λ2＋1·2＝－12，所以λ<0，λ＝－66. 6．记i ，j ，k 为单位正交基底，若向量a ＝2i －j ＋k ，b ＝4i ＋9j ＋k ，则这两个向量的位置关系是________．【答案】垂直 【解析】向量a ＝2i －j ＋k ，b ＝4i ＋9j ＋k ，则向量a ，b 的坐标为a ＝(2，－1,1)，b ＝(4,9,1)．因a·b ＝8－9＋1＝0，故a ，b 两个向量的位置关系为垂直．7．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a·c ＝2，|b|＝4，则cos 〈b ，c 〉＝________. 【答案】－14 【解析】(3a －2b )·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12，即3a ·c －2b ·c ＝12.由a ·c ＝2，得b ·c ＝－3.又因为|c |＝3，|b |＝4，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－14. 8．设向量a ＝(1，－1,0)，a －2b ＝(k －1,2k ＋2，－2)，且a ⊥b ，则k ＝________. 【答案】－5 【解析】a ＝(1，－1,0)，a －2b ＝(k －1，2k ＋2，－2)，则b ＝12[a －(k －1,2k＋2,2)]，解得b ＝⎝⎛ 1－k 2，⎭⎫－k －32，1，由a ⊥b 得a ·b ＝0，所以1－k 2＋k ＋32＝0，所以k ＝－5.9．已知向量a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，且a ∥b ，b ⊥c . (1)求向量a ，b ，c ；(2)求向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角的余弦值． 解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)． 又由b ⊥c ，得b·c ＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z )＝－6＋8－z ＝0， 得z ＝2，此时c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，所以向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角θ的余弦值为cos θ＝5－12＋338×38＝－219.10．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．(1)写出A ，B 1，E ，D 1的坐标； (2)求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．解：(1)由题干图所示坐标系得A (2,2,0)，B 1(2,0,2)，E (0,1,0)，D 1(0,2,2)． (2)因为AB 1→＝(0，－2,2)，ED 1→＝(0,1,2)， 所以|AB 1→|＝22，|ED 1→|＝5， AB 1→·ED 1→＝0－2＋4＝2，所以cos 〈AB 1→，ED 1→〉＝AB 1→·ED 1→|AB 1→||ED 1→|＝222×5＝1010.所以AB 1与D 1E 所成的角的余弦值为1010. 11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB 和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0. 设M (1,1，m )，连接AC ， 则AC →＝(－1,1,0)．而E ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以EF →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 又因为B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)，而D 1M ⊥平面EFB 1， 所以D 1M ⊥EF ，且D 1M ⊥B 1E . 所以D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →＝0.所以⎩⎨⎧－12＋12＋m －1×0＝0，0－12＋1－m ＝0，解得m ＝12，即M 为B 1B 的中点．B 级——能力提升练12．已知直角坐标系中点A (0,1,2)，向量AB →＝(－4，－3，－2)，BC →＝(－7，－4，－1)，则点C 的坐标为( )A ．(11,8,5)B ．(3,2,1)C ．(－11，－6，－1)D ．(－3,0,3)【答案】C 【解析】∵AB →＝(－4，－3，2)，BC →＝(－7，－4，－1)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(－11，－7，－3)．又A (0，1,2)，∴OC →＝OA →＋AC →＝(－11，－6，－1)，∴点C 的坐标为(－11，－6，－1)．13．(多选)已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则下列结论不正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6) B ．a －b ＝(2，－1，－6) C ．a·b ＝10D ．|a |＝6【答案】ABC 【解析】a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2，1，－6)，a·b ＝22，|a|＝6，所以A ，B ，C 错．14．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，则满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标为________．【答案】(－1,1,2) 【解析】设点D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y ，2－z )，AB →＝(－1,1,0)．因为DB ∥AC ，DC ∥AB ，所以DB →∥AC →，DC →∥AB →，即⎩⎪⎨⎪⎧－x －1＝－z2，1－y ＝0，－x －1＝－y1，2－z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2，所以D (－1,1,2)．15．已知a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________.【答案】－39 【解析】因为a·b ＝2k ，|a |＝13，|b |＝k 2＋9，所以cos 120°＝2k13×k 2＋9，所以k ＝－39.16．如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点．(1)求证：EF ⊥CF ；(2)求EF →与CG →所成角的余弦值； (3)求CE 的长．解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12. 所以EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，CF →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，0， CG →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12，CE →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12. (1)证明：因为EF →·CF →＝12×12＋12×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12×0＝0， 所以EF →⊥CF →，即EF ⊥CF .(2)因为EF →·CG →＝12×1＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×12＝14， |EF →|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝32， |CG →|＝12＋02＋⎝⎛⎭⎫122＝52，所以cos 〈EF →，CG →〉＝EF →·CG →|EF →||CG →|＝1432×52＝1515.(3)|CE →|＝02＋－12＋⎝⎛⎭⎫122＝52.C 级——探究创新练17．已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＝______，μ＝______.【答案】0 0 【解析】因为AB →＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥AC →，即λ－12＝1－2＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0.18．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 是C 1G 的中点．利用空间向量解决下列问题：(1)求EF 与B 1C 所成的角； (2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求F ，H 两点间的距离．解：如图，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫0，34，0. (1)EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，B 1C →＝(－1,0，－1)， 所以EF →·B 1C →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12·(－1,0，－1)＝ 12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0. 所以EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ． 所以EF 与B 1C 所成的角为90°. (2)C 1G →＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1，则|C 1G →|＝174. 又|EF →|＝32，且EF →·C 1G →＝38，所以cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)因为H 是C 1G 的中点， 所以H ⎝⎛⎭⎫0，78，12. 又F ⎝⎛⎭⎫12，12，0， 所以|FH |＝|FH →|＝⎝⎛⎭⎫0－122＋⎝⎛⎭⎫78－122＋⎝⎛⎭⎫12－02＝418. 故F ，H 两点间的距离为418.。
空间向量的坐标运算练习题
空间向量的坐标运算1.写出与原点距离等于3的点的坐标所满足的条件.2.已知a = (2,-1,3) ，b = (-4,2, x ),且a ⊥b ,求x 的值.3.已知A (3,5,-7) ，B (-2,4,3)，求BA AB ,和线段AB 中点的坐标.4.已知A (4,1,3) ，B (2,-5,1) ，C (3, 7, -5)，求CA BC AB ,,的坐标与长度.5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、BB 1的中点，求直线CM 与D 1N 所成的角的正弦值.6.求证：如果两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行.7.已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，向量a +b ，a -b ，c 是空间的另一个基底，向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为（1，2，3），求p 在基底a +b ，a -b ，c 下的坐标.8.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点.求证: EF ⊥DA 1..9.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.（1）BC AB +（2）/AA AD AB ++（3）////A C CD AA +-10.已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，化简下列各表达式，并在图中标出化简的结果的向量。
（1）)(21BC BD AB ++（2）)(21AC AB AN +-11.正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1、BB1的中点,求CM和D1N所成的角.12.如图：平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使OE：OA=OF：OB=OG：OC=OH：OD=k，求证：E、F、G、H四点共面.13.如图:四面体OABC，M、N分别是OA、BC的中点，MN的三等分点是P、Q，如果选择OA、OB、OC作为基向量，求OP和OQ.14.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使MN⊥AB1.15.如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E`1、F1分别是A1B`1、C1D1的四等分点，求BE1与DF1所成的角．16.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证EF⊥DA1.17.(甲)如图，四面体PABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，PA=PB=2，E为AB中点，<CBPE,>=arctan3.（1）求四面体PABC体积；（2）求PACE与夹角.（乙）如图，在四棱柱ABCD桝1B1C1D1中，底面是面积为23的菱形，∠ABC=60°,E、F分别为CC1、BB1上的点，且BC=EC=2FB.（1）求证：平面AEF⊥平面ACC1A1； （2）求平面AEF与平面ABCD所成角.18.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，3,1==CACB，61=AA，M是CC1的中点，求证：BA1⊥A M.19.在平面直角坐标系内.直线L：y= x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点. P(x，y)为平面上的一个动点.（1）若27=⋅→→BP AP 求P 点的轨迹方程C ;（2）设曲线C 与直线L 交于C ，D 两点.问在曲线C 上是否存在一点Q 使→→→→+=⋅QBQA QD QC ，若存在求出Q 点的坐标，若不存在说明理由.空间向量的坐标运算答案一、解答题(共19题，合计186分)1.：9222=++z y x2.：310=x3.：M 点的坐标为)2,29,21(-4.：112),2,6,2(=---=AB AB 181),6,12,1(=-=BC BC101),8,6,1(=-=CA CA5.：954,sin 1=N D CM6.：见注释7.：)3,21,23(- 8.：见注释 9.：(1)AC BC AB =+(2)///AC CC AC AA AD AB =+=++(3)DA CA DC A C DC A C CD DD A C CD AA =+=+=+-=+-//////////10.：（1）)(21BC BD AB ++=AN BN AB =+（2）)(21AC AB AN +-=MN AM AN =-11.：91arccos,1=N D CM12.：见注释13.：OC OB OA 313161++;)(61OC OB OA ++14.：81=x15.：<11,DFBE >=arccos 171516.：见注释 17.：(甲)解：(1)∴5=31·4·21·2·2=38(2)CE ,PA 夹角为arccos 62(乙)(2)θ=45°18.：见注释19.：(1) 4)21()21(22=-++y x(2)4=+→→QB QA 代入计算,不存在这样的点Q。
空间向量及其坐标的运算(精练)(解析版)
1.3 空间向量及其坐标的运算【题组一 空间向量的坐标运算】1．（2020·全国高二）已知点()2,3,1B -，向量()3,5,2AB =-，则点A 坐标是（ ） A ．()1,2,3 B ．()1,2,3-C ．()5,8,1-D ．()5,8,1--【答案】D【解析】设点(),,A x y z ，则向量()()2,3y,1z 3,5,2AB x =----=-，所以233512x y z -=-⎧⎪--=⎨⎪-=⎩⇒581x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以点()5,8,1A --.故选：D2．（2019·浙江高二学业考试）设点(5,1,2),(4,2,1),(0,0,0)M A O --．若OM AB =，则点B 的坐标为（ ） A ．(1,3,3)-- B ．(1,3,3)-C ．(9,1,1)D ．(9,1,1)---【答案】C【解析】设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(5,1,2),(4,2,1)OM AB x y z =-=--+，∵OM AB =，∴452112x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，解得911x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：C ．3．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））若()2,3,1a =-，()2,0,3b =，()0,2,2c =，则()a b c ⋅+的值为（ ） A ．()4,6,5- B ．5C ．7D ．36【答案】B【解析】()()()2,0,30,2,22,2,5b c +=+=，()2223(1)55a b c ⋅+=⨯+⨯+-⨯=. 故选：B4．（2019·包头市第四中学高二期中（理））若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（ ）A ．()1,0,0m =，()2,0,0n =-B ．()1,3,5m =，()1,0,1n =C ．()0,2,1m =，()1,0,1n =--D ．()1,1,3m =-，()0,3,1n =【答案】D【解析】A 中20m n =-≠，所以排除A ；B 中1560mn =+=≠，所以排除B ； C 中1mn =-，所以排除C ；D 中0mn =，所以m n ⊥，能使//l α. 故选D5．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量 【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确； 对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确； 对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误. 故选：BD.6（2020·江苏连云港 高二期末）已知点P 是△ABC 所在的平面外一点，若AB ＝(﹣2，1，4)，AP ＝(1，﹣2，1)，AC ＝(4，2，0)，则（ ） A ．AP ⊥AB B ．AP ⊥ BPC ．BCD ．AP // BC【答案】AC【解析】因为0AP AB ⋅=，故A 正确；(3,3,3)BP =--，36360AP BP ⋅=+-=≠，故B 不正确；(6,1,4)BC =-，26BC ==C 正确；(1,2,1)AP =-，(6,1,4)BC =-，各个对应分量的比例不同，故D 不正确。
2020秋高中数学人教版2-1达标练习：3.1-3.1.5 空间向量运算的坐标表示含解析
2020秋高中数学人教A版选修2-1达标练习：3.1-3.1.5 空间向量运算的坐标表示含解析A级基础巩固一、选择题1．设M（5，－1,2），A(4,2，－1)．若错误!＝错误!,则点B的坐标为（）A．（－1，3，－3）B．（9，1，1)C．（1，－3，3) D．（－9，－1，－1）解析：错误!＝（5，－1，2）,错误!＝（4，2,－1）．又错误!＝错误!＝错误!－错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝（9，1，1)。
答案：B2．已知错误!＝(2，4，5)，错误!＝（3，x，y),若错误!∥错误!,则() A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝错误!C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝错误!答案：D3．点P(x，2，1）到点Q(1，1，2），R（2，1,1)的距离相等，则x的值为()A。
12B．1C.错误!D．2答案：B4.如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝14A1B1，则错误!等于（）A．(0，14,－1）B．(－错误!,0,1)C．(0,－错误!，1)D．(错误!，0，－1）解析：因为B（1，1,0），A1（1，0，1），B1(1，1,1）．所以E1错误!，所以错误!＝错误!.答案：C5．若a＝（x，2，0），b＝（3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是（）A．x〈－4 B．－4<x〈0C．0<x<4 D．x〉4解析：因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0所以3x＋2(2－x)＜0，解得x＜－4.若a与b的夹角为180°,则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，即(x,2,0)＝λ（3，2－x,x2）所以错误!此方程组无解，即a与b不可能共线．答案：A二、填空题6．已知a＝（1，－1，1），则与向量a共线的单位向量是________．答案：±错误!7．已知向量a＝(－1，0，1）,b＝（1，2，3)，k∈R，若ka －b与b垂直，则k＝________．解析:因为（ka－b）⊥b,所以(ka－b）·b＝0，所以ka·b－｜b｜2＝0,所以k（－1×1＋0×2＋1×3）－（错误!)2＝0，解得k＝7.答案：78．若a＝（2，2，0），b＝（1，3,z)，<a，b〉＝错误!,则z等于________．解析：cos<a，b〉＝cos错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
专题1.4空间向量及其运算的坐标表示(B)(原卷版).
专题1.4空间向量及其运算的坐标表示(B ）第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（四川省雅安市2021-2022学年高二下学期期末）向量a ，b 分别是直线1l ，2l 的方向向量，且()1,3,5a =，(),,2b x y =，若12l l ∥，则（）A ．15x =，35y =B ．3x =，15y =C ．25x =，65y =D ．32x =，152y =2．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）(1,1,3),(1,4,2),(1,5,)=-=--=a b c x ，若,,a b c 三向量共面，则实数x =（）A ．3B ．2C ．15D ．53．（2022·四川内江·模拟预测（理））已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（）A B ．48585-C ．0D ．14．（2022·江苏徐州·高二期末）已知向量()1,0,a m =r，(2,0,b =-，若a b ∥，则a =（）A ．1BCD ．25．（2022·全国·高二）已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（）A ．60︒B ．120︒C ．30°D ．150︒6．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°7．（四川省雅安市2021-2022学年高二下学期期末数学（理）试题）设P ABC -是正三棱锥，G 是ABC 的重心，D 是PG 上的一点，且PD DG =，若PD x yPB z PA PC =++，则(),,x y z 为（）A ．512,,633⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．111,,666⎛⎫⎪⎝⎭C ．111,,633⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111,,363⎛⎫ ⎪⎝⎭8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面边长分别为1和2，P 是上底面1111D C B A 的边界上一点．若PA PC ⋅的最小值为12，则该正四棱台的体积为（）A ．72B ．214C D ．356二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·山东青岛·高一期末）已知空间向量()1,1,2a =-，则下列说法正确的是（）A ．a =B ．向量a 与向量()2,2,4b =--共线C ．向量a 关于x 轴对称的向量为()1,1,2-D ．向量a 关于yOz 平面对称的向量为()1,1,2--10．（2022·福建宁德·高二期末）已知()1,0,1a =r，()1,2,3b =--，()2,4,6c =-，则下列结论正确的是（）A ．a b⊥B ．b c∥C ．,a c 为钝角D ．c 在a 方向上的投影向量为()4,0,411．（2022·江苏宿迁·高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB BC BB ===，E ，F 分别为棱11AB,A D 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．1111122=++EF AA BC C D B ．||3EF =C ．1⋅=⋅ED EC ED ECD ．1⊥BF EC 12．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1边长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）A ．BP 的最小值为2B ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1A B PC -的体积不变D ．以点B 为球心，2为半径的球面与面1AB C 的交线长为π3第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·江苏连云港·高二期末）已知a =(3，2，－1)，b =(2，1，2)，则()()2a b a b -⋅+=___________．14．（2022·全国·高一单元测试）已知向量a ，b 满足(a =，2b =，且a b b +=-.则a b +在a 上的投影向量的坐标为_________.15．（2022·江苏连云港·高二期中）已知空间向量(1,0,1),(1,1,)a b n ==，且3a b ⋅=，则n ＝_______，向量a 与b 的夹角为_______．16．（2022·北京通州·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是侧面11BB C C 内的一个动点．若点E 满足1D E CE ⊥，则||BE 的最大值为__________，最小值为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 是1BB 的中点，G 是1AB 的中点.(1)试建立适当的坐标系，并确定E 、F 、G 三点的坐标；(2)求证：1AC EF ⊥.18．（2022·全国·高二课时练习）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，且a b ≠.记a b m -=.(1)求a b -与y 轴正方向的夹角的余弦值；(2)若()2,1,3a =-，()()221,,20b b b =<，m =c 与a 、b 都垂直，且c =c 的坐标.19．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，P 、Q 是正方体表面上相异两点．若P 、Q 均在平面1111D C B A 上，满足1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥．(1)判断PQ 与BD 的位置关系；(2)求1A P 的最小值．20．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =．(1)求a ，b 夹角的余弦值．(2)若向量ka b +，2ka b -垂直，求k 的值．(3)若向量a b λ-，a b λ-平行，求λ的值．21．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体1111OABC O A B C -，中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF x ==，其中01x ≤≤，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -．(1)求证：11A F C E ⊥；(2)若1A 、E 、F 、1C 四点共面，求证：111112A F AC A E =+．22．（2022·全国·高二课时练习）已知空间中三点()2,0,2A -、()1,1,2B --、()3,0,4C -，设a AB =，b AC =．(1)若3c =，且c BC ∥，求向量c ；(2)已知向量ka b +与b 互相垂直，求实数k 的值；(3)求以a ，b 为一组邻边的平行四边形的面积S ．。
空间向量运算的坐标表示练习题
空间向量运算的坐标表示练习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:课时作业(十七)错误!一、选择题1.已知a=（1,－2，１），a-ｂ＝(-1,2，-1),则b=（)Ａ．(2,－４,2) B．(－２,4，-2)Ｃ．(－2,0，－2）ﻩD.（２,1，-3)【解析】b＝a－(－1,2，-1)＝(1,-２，1)－(－１，２，－1)=（2,-4,2)．【答案】Ａ２.设Ａ(3,３,1）,B（1,0,5)，C(0，１,0),则AB的中点M到点C 的距离|CM｜的值为（）A．错误!Ｂ.错误! C.错误!Ｄ.错误!【解析】∵ＡＢ的中点Ｍ错误!,∴错误!=错误!,故｜ＣM|＝|错误!|= 错误!＝错误!.【答案】 C３．(２０14·德州高二检测)已知向量a＝(2,3),b=(ｋ,1）,若a+2b 与a－b平行，则ｋ的值是(）A.－6B.-23 C.错误!D．1４【解析】由题意得a+2b＝（２＋２k,5),且a－ｂ＝（２-k,2)，又因为a+2b和a-b平行,则２(２+２ｋ）-5（2-k)＝0,解得ｋ=2３.【答案】 C４．(2０１４·河南省开封高中月考)如图3-１-32,在长方体AＢＣD-A1B1C1Ｄ1中,ＡB＝BC＝2,ＡA1＝＼r（2)，E,F分别是面A1B1C1Ｄ1、面BＣC1B1的中心,则E，F两点间的距离为( )图３-1-32Ａ．1 B.错误! C.错误!Ｄ.错误!【解析】以点Ａ为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(１,1,2)，F错误!,所以|EF｜＝错误!＝错误!，故选C.【答案】C二、填空题5．(201４·青岛高二检测)已知点A(1，２，3)，B(２,1，2),P(1,1,２)，Ｏ(0,０，0）,点Q在直线ＯP上运动,当错误!·错误!取得最小值时，点Ｑ的坐标为__＿_＿___．【解析】设错误!＝λ错误!＝（λ,λ，2λ),故Q(λ,λ，2λ)，故错误!＝(1-λ,2-λ,3－2λ),错误!=(2－λ，1-λ,2-2λ）．则错误!·错误!＝６λ２－１6λ＋１０＝6错误!2－错误!,当错误!·错误!取最小值时,λ=错误!，此时Q点的坐标为错误!.【答案】错误!６．若错误!=(－4，6,-1),错误!＝(4,3，-2),｜a|=1，且a⊥错误!，ａ⊥错误!,则ａ=＿__＿_＿＿_．【解析】设a＝(x，y，z）,由题意有错误!代入坐标可解得：错误!或错误!【答案】错误!或错误!7．若A(m+1，n－1,3)，B(2m,n，m－2n),Ｃ(m+3，n-3,9)三点共线，则ｍ＋n=____＿＿＿_.【解析】因为错误!＝(m－1,1，m－2n-3),错误!＝(2，－２,6)，由题意得＼ｏ(AＢ，∥错误!，则错误!＝错误!=→）错误!,所以m＝0，n＝0,m+n=０．【答案】0三、解答题８.已知向量a＝(1,－３,２),b=(－2,1,1)，点A(－３，-１，4)，B(－2，-２,2).(1)求|2ａ＋b｜；(2)在直线ＡB上,是否存在一点Ｅ，使得错误!⊥b？（O为原点)【解】(1）2a＋ｂ=(2，－6,4)＋(－2,１,1)=(0,-５,5）,故|2a＋b|=错误!＝5错误!．(2)错误!＝错误!+错误!=错误!+t错误!=(－3,-1,４)+ｔ（１,-1,－2)=(－3＋ｔ,-1-t,4－2t）,若错误!⊥ｂ，则错误!·b=0,所以－2(-3＋t)＋(-1－t)＋(4-2ｔ)=０,解得t=95,因此存在点E,使得错误!⊥b,E点坐标为错误!.9.在正方体ABCD-A1Ｂ１Ｃ1Ｄ1中,M是棱DD１的中点，O是正方形ABＣD的中心．求证:＼o(OＡ1,)⊥错误!.【证明】 建立空间直角坐标系,如图所示,设正方形的棱长为１个单位，则A (１,0,0）,Ａ1(1,０，1),M 错误!,O 错误!.∴错误!＝错误!，错误!=错误!.∵＼o(ＯＡ1,→）·A Ｍ→＝错误!×(-1)＋错误!×0+1×＼f(1,２）＝0,∴OA １→⊥＼o （ＡＭ,→). 错误!１.已知向量a ＝(-2,x,２),b =(2，１,２）,c =(４，-2，１),若ａ⊥(b －c ），则ｘ的值为（ ）A.－2 Ｂ．2 C．３ D.－3【解析】∵b-ｃ＝(-２,３,1）,a·（b－c）＝４+3ｘ+2＝０，∴x=-2.【答案】 A2．已知a＝（cos α，１,ｓｉn α),b=(sin α，1,ｃos α),则向量a+b 与a－b的夹角是( )Ａ．９０°B．60°C．45°D．30°【解析】a+ｂ=(cｏｓα+ｓin α,2,ｓin α＋cos α），ａ－b＝(c ｏs α-sinα，0,sｉn α－coｓα),∴(a＋b)·(a－b）＝0,∴(a＋b)⊥(a-b）．【答案】A３.(20１４·玉溪高二检测)设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B１Ｃ1D1的对角线ＢD1上,记＼ｆ(D1P,D1B）＝λ.当∠APC为钝角时,则λ的取值范围是_＿______．【解析】由题设可知,以错误!、错误!、错误!为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A（1,0,0),B （1,1,0)，C(0,１,0），D１(0,0,1)，则错误!＝(１,1,－１),得错误!=λ错误!=(λ，λ，－λ),所以错误!=错误!+错误!=(-λ，-λ,λ）+(1,０，－1)＝(１－λ，－λ，λ-1)，错误!＝错误!＋错误!＝(-λ,-λ，λ）＋(０，1,-1)=（－λ,１－λ,λ-1).显然∠ＡＰＣ不是平角，所以∠ＡP Ｃ为钝角等价于错误!·错误!<0,即-λ(１－λ)-λ(1－λ)＋（λ-1)2＜0,即(λ-１)(3λ－１）＜0,解得错误!<λ＜１,因此λ的取值范围是错误!．【答案】 错误!４. 在正三棱柱ABC -A 1Ｂ1C 1中,平面AB Ｃ和平面A 1B １C 1为正三角形，所有的棱长都是２，M 是BC 边的中点，则在棱CC １上是否存在点N ，使得异面直线A Ｂ1和MN 所夹的角等于45°？图3-1-3３【解】以A 点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ．由题意知Ａ(0，０,0),Ｃ(0，2，0)，Ｂ（错误!,1,0）,Ｂ１(错误!,1，２）,M 错误!.又点Ｎ在CC 1上，可设N （0,2，m )（0≤m ≤2），则AB １→＝(错误!，１,2)，错误!＝错误!，所以|错误!｜＝2错误!，|错误!｜=错误!，错误!·错误!=２ｍ－１.如果异面直线AＢ1和MN所夹的角等于4５°，那么向量＼o(AB1,)和错误!的夹角等于４5°或１３５°．又cｏｓ〈＼o(ＡB１,)，错误!〉＝错误!=错误!.→所以错误!=±错误!,解得m=-错误!,这与０≤m≤2矛盾．所以在CＣ1上不存在点N，使得异面直线AB1和ＭN所夹的角等于4５°.。
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空间向量的坐标运算练
习
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
空间向量的坐标运算——1
1、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点 答：a 的__________________________； b 的________________________________
2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________
4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是
___________;
在yoz 面上的射影坐标是___________
5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐
标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________
6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若
AB 5
2OC =，则C 点的坐标是______________
7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________
8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0，
2)
A ：2
D 3C 4B 6ππππ
：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标：
______________=
______________=______________=A A'
'A
R
_________
10、已知A(3,4,4)，B(-2,-1,5)，C(4,5,0)，若D在线段AC上，且三角形ABD的面积是三角形ABC面积的四分之一，（1）求D点的坐标；（2）求向量BD的坐标。