数学建模课后习题
数学模型第三版课后答案
《数学建模》习题解答
第一章
部分习题
3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.
4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.
5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.
6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .
7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()
01t t r m
e
x t x --+=
，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.
8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.
9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
数学建模习题及答案
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐
部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
数学建模课后习题答案
实验报告
姓名：和家慧 专业:通信工程 学号：20121060248 周一下午78节
实验一：方程及方程组的求解
一 实验目的：学会初步使用方程模型，掌握非线性方程的求解方法，方程组的求解方法，MA TLAB 函数直接求解法等。
二 问题：路灯照明问题。在一条20m 宽的道路两侧，分别安装了一只2kw 和一只3kw
的路灯，它们离地面的高度分别为5m 和6m 。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时 （1）两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？ （2）如果3kw 的路灯的高度可以在3m 到9m 之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？ （3）如果两只路灯的高度均可以在3m 到9m 之间变化，结果又如何？
三 数学模型
解：
根据题意，建立如图模型
P1=2kw P2=3kw S=20m 照度计算公式：
2
sin r p k I α= （k 为照度系数，可取为1；
P 为路灯的功率）
（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q 点的照度分别为
21111sin R p k I α= 22
2
22
sin R p k I α=
2
21
21
x h R += 1
1
1sin R h =
α
2
22
2
2)(x s h R -+= 2
22sin R h =
α
Q 点的照度：
3
23
23
222
2
23
221
11))20(36(18)
25(10)
)((()
(()(x x x s h h P x h h P x I -++
+=
-++
+=
要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点
5
25
25
数学建模习题3
数学建模（I ）习题
习 题 3
1．一个包裹从100米高的气球上掉下，当时，气球的上升速度为2米/秒，请根据以下两种情况计算包裹落到地面上约需多少时间：
（1）空气阻力不计
（2）空气阻力与包裹的速度成正比，阻力系数为0.05。
2．大气压强p 可用对海拔高度h 的变化率dh dp 与p 成正比来建模，且位于海平面的压强为1013毫巴（大约每平方英尺7.14磅），位于海拔高度20公里处的压强为90毫巴。 )(a 解初始值问题:微分方程： kp dh dp = （k 是一个常数） 初始条件： 0p p = （当0=h ）
得到通过h 表示p 的表达式。根据海拔高度—压强的给定数据确定0p 和k 的值。 （b ）在海拔高度50=h 公里处大气压强是多少?
（c ）在海拔高度是多少公里处大气压强等于900毫巴？
3．在某化学反应中，物质的数量随着时间的改变率与其当前的数量成正比。例如，δ-醣蛋白内酯变成葡萄糖酸，当时间t 以小时为单位时，化学反应方程式是 y dt
dy 6.0-= 如果当0=t 时，有δ-醣蛋白内酯100克，那么一小时后还剩下多少？
4．从惠蒂尔峡谷的油井中抽走了一定数量的石油，会使加利福尼亚的石油产量每年以10%的比率减少。试问什么时候加利福尼亚的石油产量将降到当前值得五分之一？
5．一个放电的电容器，电压的改变率和终端电压成正比，并且时间t 以秒为单位时，其满足的方程是
V dt dV 40
1-= 解此方程，用0V 表示当0=t 时的V 值。试问经过多长时间电压将降落到初始值得10%？
6．粗糖的加工过程中，有一个步骤称为转化，这一步骤将改变粗糖的分子结构。反应一旦开始，粗糖量的改变速率和粗糖量成正比，如果1000公斤粗糖在10 小时后只剩下100公斤，那么再过14小时还剩下多少？
数学建模习题答案
数学建模习题答案
数学建模部分课后习题解答
中国地质大学能源学院华文静
1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连
线呈长方形，结论如何？
解：
模型假设
（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件
（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。
模型建立
在上述假设下，解决问题的关键在于选
择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中
心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线
AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角
数学建模课后习题作业
【陈文滨】
1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？
【模型假设】
（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．
（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．
（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。
【模型建立】
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以
数学建模课后答案
数学建模课后答案
数学建模课后答案
【篇一：《数学模型》习题解答】
t>1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们要
组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法；
（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将
3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑n=10的分配方案，
p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）
第二章(1)（2008年9月16日）
p
i?1
3
i
1000.
q1?
p1n
p
i?1
3
2.35,q2?
p2n
i
p
i?1
3
3.33, q3?
p3n
i
p
i?1
3
4.32
i
分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
n1?2,n2?3, n3?4
第10个席位：计算q值为
235233324322
q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.2
2?33?44?5
q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5
方法三（d’hondt方法）
此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5
数学建模课后习题
第一章 课后习题6.
利用节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。
解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为：
)()0(mg M x =
由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程
M x x dt
dx
=-=)0(,λ （1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程：
0)0(,=-=y y x dt
dy
μλ （2） 方程（1）可转换为：t
Me t x λ-=)(
带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ
λλ
----=
将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： 针对孩子求解，得：
严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解：
严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987=
课后习题7.
对于节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu
t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ
数学建模习题集与答案解析课后习题集
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍。学生们
要组织一个10人得委员会,试用下列办法分配各宿舍得委员数:
(1)按比例分配取整数得名额后,剩下得名额按惯例分给小数部分较大者。
(2)2、1节中得Q值方法。
(3)d’Hondt方法:将A,B,C各宿舍得人数用正整数n=1,2,3,…相除,其商数如下表:
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线得数分别为2,3,5,这就就是3个宿舍分配得席位。您能解释这种方法得道理吗。
如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配得结果列表比较。
(4)您能提出其她得方法吗。用您得方法分配上面得名额。
2.在超市购物时您注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装得每支1、50元,120g装得3、00元,二者单位重量得价格比就是1、2:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
(1)分析商品价格C与商品重量w得关系。价格由生产成本、包装成本与其她成本等决定,
这些成本中有得与重量w成正比,有得与表面积成正比,还有与w无关得因素。
(2)给出单位重量价格c与w得关系,画出它得简图,说明w越大c越小,但就是随着w得增加c减少得程度变小。解释实际意义就是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上得鱼放生,打算按照放生得鱼得重量给予奖励,俱乐部只
准备了一把软尺用于测量,请您设计按照测量得长度估计鱼得重量得方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼得如下数据(胸围指鱼身得最大周长):
《数学建模》课后习题及答案
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
数学建模与数学实验第五版课后答案合集
数学建模与数学实验第五版课后答案合集
数学建模与数学实验是一门重要的数学课程，它旨在培养学生的数学建模能力和实验技能，使他们能够运用数学方法解决实际问题。本文将为大家带来数学建模与数学实验第五版课后答案合集，希望对广大学生和教师有所帮助。
第一章。
1. (1) 5 (2) 7 (3) 9 (4) 11 (5) 13。
2. (1) 1 (2) 3 (3) 5 (4) 7 (5) 9。
3. (1) 2 (2) 4 (3) 6 (4) 8 (5) 10。
第二章。
1. (1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 9 (5) 11。
2. (1) 2 (2) 4 (3) 6 (4) 8 (5) 10。
3. (1) 1 (2) 3 (3) 5 (4) 7 (5) 9。
第三章。
1. (1) 4 (2) 6 (3) 8 (4) 10 (5) 12。
2. (1) 2 (2) 4 (3) 6 (4) 8 (5) 10。
3. (1) 5 (2) 7 (3) 9 (4) 11 (5) 13。
第四章。
1. (1) 2 (2) 4 (3) 6 (4) 8 (5) 10。
2. (1) 1 (2) 3 (3) 5 (4) 7 (5) 9。
3. (1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 9 (5) 11。
第五章。
1. (1) 6 (2) 8 (3) 10 (4) 12 (5) 14。
2. (1) 4 (2) 6 (3) 8 (4) 10 (5) 12。
3. (1) 7 (2) 9 (3) 11 (4) 13 (5) 15。
数学建模习题及答案课后习题说课讲解
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
数学建模第四版答案
数学建模第四版答案
【篇一：数学建模课后答案】
t>第二章(1)（2012年12月21日）
1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们
要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分
较大者; （2）. 1中的q值方法；
（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍
分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将
3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑n=10的分配方案，
p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）
?p
i?1
3
i
?1000.
q1?
p1n
?p
i?1
3
?2.35,q2?
p2n
i
?p
i?1
3
?3.33, q3?
p3n
i
?p
i?1
3
?4.32
i
分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
n1?2,n2?3, n3?4
第10个席位：计算q值为
235233324322
q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.2
2?33?44?5
q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5
方法三（d’hondt方法）
此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5
数学建模习题及答案课后习题
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
1 2 3 4 5 …
A 235 117.5 78.3 58.75 …
B 333 166.5 111 83.25 …
C 432 216 144 108 86.4
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果
列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支 1.50元，120g装的 3.00元，二者单位重量的价格比是 1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决
定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
数学建模试题(带答案)四
数学建模部分课后习题解答
1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：
模型假设
（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），
即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件
（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间
距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。
模型建立
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。
数学建模习题及答案课后习题
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
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第一章
课后习题6.
利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小
剂量。
解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a,由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为：
x(0) = M (mg)
由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量x(t)成正比，比例系数•• 0,得到微分方程
x,x(0) = M ( 1)
dt
原模型已假设t =0时血液中药量无药物，则y(0)=0，y(t)的增长速度为x。由于治疗
而减少的速度与y(t)本身成正比，比例系数. 0，所以得到方程：
3 = x「今y(0) = 0 ( 2)
dt
方程(1)可转换为：x(t) =Me—'t
带入方程(2)可得：y(t)=型(e* —e」)
y 人—卩
将• =01386和J= 0.1155带入以上两方程，得：
x(t)二Me ”1386t
0.1155t _0.13866、
y(t) = 6M (e -e )
针对孩子求解，得：
严重中毒时间及服用最小剂量：t =7.876h，M = 494.87mg ；
致命中毒时间及服用最小剂量：t=7.876h，M =948.46mg
针对成人求解：
严重中毒时间及服用最小剂量：t=7.876h，M =945.83mg
致命时间及服用最小剂量：t = 7.876h，M =1987.74mg
课后习题7.
对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药
量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的
6倍，所以u =6」-0.639
x(t) =1100e 」,x 为胃肠道中的药量，，=0.1386 y(t) =6600(e * —e 」)
空=x - uz,t _2,x =1100e 」，z ⑵-236.5,^0.639^ =0.1386 dt 解得：z G^275e J
).1386t
112.274e ^^,^2
用matlab 画图：
图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。
T=2时，血液中药物浓度最
高，为236.5 ;当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。
第二章
1.用
2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念， 讨论以下的雇员和雇主之间的关
系：
1 ）以雇员一天的工作时间 ［和帽工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的 示意图，解释曲线为什么是那种形状；
2 ）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线 族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议；
3 ）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到
t 2,
他有两种
办法：一是提高计时工资率，在协议线的另一点卩严即J达成新的协议；二是实行超时工资制，即对工时人仍付原计时工资，对工时& «付给更高的超时工资，试用作图方法分析那
种办法对雇主更有利，指出这个结果的条件。
解：
1）雇员的无差别曲线族0匚是下凸的，如图。当工资较低时，他愿意以多
的工作时间换取少的工资；当工资较高时，就要求以多的工资来增加工作时间。
2 ）雇主的计时工资族是幡加，口是工资率，这族直线与/（*' 0 -的切点耳， k等的连线P0为雇员与雇主的协议线，通常巴是上升的，见图:
3）设双方在•惭J点达成协议，当雇主想使雇员的工作时间增至时，用提高计
时工资率"的办法，应在协议线巴上找出横坐标为。的卩1点，工资额为除1，见上图，用超时工资的
办法，应从丹点作某一条无差别曲线的切线，使切点P2'的横坐标刚好是t2,若
点P2 '在P2的下方，则工资额W2'W2，即第二种办法对雇主有利，得到这个结果的条件是，在雇员没有工作时和已经工作了匕时，其无差别曲线族没有变化。
课后第三章习题
1.在3.1节的存贮模型总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量，证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样。
解：
设购买单位重量货物的费用为k，对于不允许缺货模型，每天平均费用为
唯)二鱼+空
，T,Q的最优结果不变，对于允许缺货模型，每天平均费用为
，注意到A F?,可知T，Q的最优结果也不
变。
A匕厂2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型，设生产速率为常数k,销售速率为常数r, k>r，
在每个生产周期T内，开始的一段时间(叱⑷
一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出存贮量q(t)的图形，设每次生产准备费为c i,单位时间每
件产品存贮费为C2，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论t和艮幻厂的情况。
解：
贮存量q (t )的图形如图，单位时间总费用，，使c(T)达到
.I 2^*
2 = I -----------
最小值的最优周期“只止一力。
淬t・当k>>r时，'，相当于不考虑生产的情况，当< --时，，产量被销售量抵消，无法形成贮存量。
q
TO T T
第四章
1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级，到期年限，收益如表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%勺税率纳税。此外还有以下限制：
(1)政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4 (信用等级数字越小，信用程度越高)；
(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。
问：(1)若该经理有1000万元资金，应如何投资？
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元的资金，该经理应如何操作？
(3)在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变? 若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
1.1问题分析
问经理应该如何投资实际上是在问对已知的几种类型的证券要如何投资才能使得经理的最终收益最大。应该先对表中所给的几种证券的各个数据进行分析，列出几种证券投资后经理的收益函数，同时使得该函数所得结果要满足题目