1.4阶跃函数和冲激函数
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阶跃函数和冲激函数
பைடு நூலகம்
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
第四节阶跃函数和冲激函数
t
x
dx
0,
t,
t<0 t>0
t
t
t
t
x
dx
t
t
'x
dx
tdt 1
'tdt 0
• 四.冲激函数的性质：
• 1.与普通函数的乘积： f t t f 0 t
筛选特性
f
t tdt
f
0 tdt
f
0
f t ' t f 0 ' t f ' 0 t
f
t
' t dt
f
' 0
• 而一些广义函数间乘积无定义如：δ(t)ε(t);δ(t)δ(t);δ(t)δ’(t)等。
第四节 阶跃函数和冲激函数
• 一. 阶跃函数和冲激函数
rn(t)
1
1 .阶跃函数 ：（引入）若有一个函数： 2
n 1
1
t
n
• rn(t)=
0
, t<-1/n 即信号从(-1/n,1/n)区间内从0幅度升高到1。
•
½+nt/2 , -1/n<t<1/n
•
1
, t>1/n
• 若所用时间很短 0，即在0- 0+的时间内由0 1，则定义为单位阶跃函数
波形如图:
t
t 0,t 0
• 冲激函 t
dt
t
t
x
dx
• 二.冲激函数的广义定义
• <1>δ(t)广义定义：对一个性能良好的函数φ(t)（检验函数）有以下定义
则δ(t) 为冲激函数：
(t ) (t )dt
，(0φ)(t)为一般函数，性能良好
知识点1第一章第4节阶跃函数和冲激函数
知识点1第一章第4节阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数是控制工程和信号处理中常用的数学函数。
它们在描述系统的动态响应以及信号的特性时起到了重要的作用。
本文将详细介绍阶跃函数和冲激函数的定义、性质以及在实际应用中的意义。
一、阶跃函数的定义和性质阶跃函数（Step Function）是一类常见的跃变函数，它在数学上用于描述其中一时刻突然跃变的情况。
阶跃函数通常被表示为u(t)，其中t 为自变量。
阶跃函数的定义如下：1,t≥0u(t)=0,t<0在定义中，当t≥0时，阶跃函数的取值为1；当t<0时，阶跃函数的取值为0。
阶跃函数的图像呈现为一个从0跃变到1的过程。
阶跃函数具有以下性质：1.阶跃函数u(t)在t=0的时刻不可导，因为它在该点没有斜率。
2.在t<0时，阶跃函数的值恒为0；在t>0时，阶跃函数的值恒为13.阶跃函数可用于表示信号的开关状态，如电路的打开和关闭。
二、冲激函数的定义和性质冲激函数（Impulse Function）是另一种重要的数学函数，它在数学上用于描述一个瞬间产生的脉冲信号。
冲激函数通常被表示为δ(t)，其中t为自变量。
冲激函数的定义如下：无穷,t=0δ(t)=0,t≠0在定义中，只有当t=0时，冲激函数的取值为无穷大；其余时刻冲激函数的取值都为0。
冲激函数的图像呈现为在t=0时的一个尖峰。
冲激函数具有以下性质：1.冲激函数δ(t)在t≠0的时刻都为0，只有在t=0时取值为无穷大。
2. 冲激函数是一个特殊的函数，它的积分等于1，即∫δ(t)dt=13.冲激函数可用于描述系统对瞬变信号的响应。
三、阶跃函数和冲激函数在实际应用中的意义阶跃函数和冲激函数在控制工程和信号处理中具有广泛的应用，主要包括以下方面：1.系统响应：阶跃函数和冲激函数可用于描述系统对不同类型输入信号的响应。
通过对系统在不同时刻的输出特性进行测量，可以得到系统的传递函数或冲激响应等重要参数。
天津理工大学本科教学教案
第
5
页
天津理工大学本科教学教案
第 二 周，第 4 次课 章节名称：第一章 信号与系统 主要内容： 教学内容： 1.5 系统的特性与分类 1.5.1 系统的定义 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。 1.5.2 系统的分类及性质 l 连续系统与离散系统
连续(时间)系统：系统的激励和响应均为连续信号。 离散(时间)系统：系统的激励和响应均为离散信号。 l 动态系统与即时系统
阶跃函数的性质： （1）可以方便地表示某些信号 （2）用阶跃函数表示信号的作用区间 （3）积分
∫
t
−∞
ε (数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模 型。 狄拉克(Dirac)定义
(t ) = 0 (t ≠ 0) δ + ∞δ (t ) d t = 1 ∫− ∞
天津理工大学本科教学教案
第 二 周，第 4 次课 章节名称：第一章 信号与系统 主要内容： 因果系统：指零状态响应不会出现在激励之前的系统。 l 稳定系统与不稳定系统
一个系统，若对有界的激励 f(.)所产生的零状态响应 yf(.)也是有界时，则称该系统为有 界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞ 则称系统是稳定的。 1.6 系统的描述和分析方法 1.6.1 系统的数学模型 连续系统解析描述：微分方程 离散系统解析描述：差分方程 1.6.2 系统的框图描述 l 连续系统的基本单元
若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关， 则称为动态系统 或记忆系统。 l 单输入单输出系统与多输入多输出系统
单输入单输出系统：系统的输入、输出信号都只有一个。 多输入多输出系统：系统的输入、输出信号有多个。 l 线性系统与非线性系统
冲激函数和阶跃函数的转化
冲激函数和阶跃函数的转化冲激函数和阶跃函数的转化，这个话题听起来有点高深，但其实它就像生活中的一些小把戏，懂得了就能玩得溜溜的。
你看，冲激函数就像一个活泼的小孩，蹦蹦跳跳地出现在某个时刻，呼啦一下就消失了，给你一个惊喜。
想象一下，一个小朋友在你身边喊：“哇，我来了！”然后就立刻安静下来，留下的只有那一瞬间的回声。
你是不是想起了上课时老师突然提问的那一刻？心里一惊，瞬间抓住了知识的精髓。
就是这个感觉，冲激函数就是那么一瞬间的强烈表达，时间上毫无余地。
而阶跃函数嘛，它就像是你家的门，关上了就是关上，打开了就永远开着。
想象一下，有个小门，早上刚打开，阳光洒进来，整个房间都亮堂堂的，那一刻的美好简直让人陶醉。
但是你知道，一旦这扇门打开，它就不会再关上了。
它从此在阳光下，静静地接受着生活的点滴。
阶跃函数就是这样，一开始静悄悄的，突然有那么一刻，哗啦一下变得热闹起来，之后就一直保持着这个状态，不再改变。
两者之间的关系就像茶和水的融合，有趣得很。
冲激函数虽然短暂，却能在短时间内释放出巨大的能量，像是给你一记响亮的耳光，让你瞬间清醒。
而阶跃函数则是从冲激函数的影响中悄悄生根发芽，像那一场春雨过后，小草悄悄钻出地面，逐渐长成一片绿意盎然的天地。
这俩家伙，看似没什么关联，其实就像朋友一样，互相依赖，缺一不可。
你也许在想，为什么冲激函数可以转化为阶跃函数呢？这就涉及到积分的魔法了。
想象一下，你有一个超大号的魔法杯，把冲激函数倒进去，一滴一滴地流，流着流着，最终这杯子就满了。
就是这个过程，冲激函数的瞬间释放通过积分变成了阶跃函数的持久存在。
就像你聚会时，总是要喝点饮料，慢慢喝着，最后这杯子就被你喝光了，那个喝光的过程其实就是冲激函数的魔力展现。
这其中还有很多小细节，像是时间轴的变化，影响着函数的表现。
冲激函数在时间上是一个极限的点，而阶跃函数则是一个不断延续的状态。
就像你在路边摊买的煎饼果子，热乎乎的摊上来，瞬间被你抢光，而吃完之后，饱腹感又长久地陪伴着你。
一阶电路(电路原理)阶跃函数和冲激函数
一阶电路阶跃函数和冲激函数
目录
• 引言 • 一阶电路基础知识 • 阶跃函数在一阶电路中应用 • 冲激函数在一阶电路中应用 • 一阶电路与阶跃函数、冲激函数关系探讨 • 实际应用与案例分析数和冲激 函数的作用和影响。
背景
在电路分析中，一阶电路是最基 本的电路模型之一，而阶跃函数 和冲激函数是描述电路动态特性 的重要工具。
等效变换法
等效变换法是通过将复杂电路中的元 件进行等效变换，从而简化电路的分 析过程。
03 阶跃函数在一阶电路中应 用
阶跃函数定义及性质
阶跃函数定义
阶跃函数是一种特殊的连续时间函数，表示在某一时刻瞬间发生的跃变。
阶跃函数性质
在跃变时刻之前，函数值为0；跃变时刻之后，函数值为1（或其他常数）。
阶跃响应概念及求解方法
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
电力电子器件开关过程分析
电力电子器件在开关过程中会产生阶跃或冲激电流和电压，分析这些电流和电压对器件性能和系统稳定性的 影响，有助于提高电力电子系统的可靠性。
系统故障分析与保护
在电力系统中发生故障时，故障电流和电压往往具有阶跃或冲激特性，利用这些特性可以实现对故障的快速 检测和准确定位，为系统保护提供重要依据。
05 一阶电路与阶跃函数、冲 激函数关系探讨
阶跃函数与冲激函数关系
1
阶跃函数和冲激函数都是描述信号突变特性的函 数。
2
阶跃函数表示信号在某一时刻发生跃变，而冲激 函数则表示信号在某一时刻发生瞬时变化。
3
两者之间的关系可以通过微分和积分相互转换， 即冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激 函数的积分。
案例分析
滤波器类型与性 能要求
目录
• 引言 • 一阶电路基础知识 • 阶跃函数在一阶电路中应用 • 冲激函数在一阶电路中应用 • 一阶电路与阶跃函数、冲激函数关系探讨 • 实际应用与案例分析数和冲激 函数的作用和影响。
背景
在电路分析中，一阶电路是最基 本的电路模型之一，而阶跃函数 和冲激函数是描述电路动态特性 的重要工具。
等效变换法
等效变换法是通过将复杂电路中的元 件进行等效变换，从而简化电路的分 析过程。
03 阶跃函数在一阶电路中应 用
阶跃函数定义及性质
阶跃函数定义
阶跃函数是一种特殊的连续时间函数，表示在某一时刻瞬间发生的跃变。
阶跃函数性质
在跃变时刻之前，函数值为0；跃变时刻之后，函数值为1（或其他常数）。
阶跃响应概念及求解方法
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
电力电子器件开关过程分析
电力电子器件在开关过程中会产生阶跃或冲激电流和电压，分析这些电流和电压对器件性能和系统稳定性的 影响，有助于提高电力电子系统的可靠性。
系统故障分析与保护
在电力系统中发生故障时，故障电流和电压往往具有阶跃或冲激特性，利用这些特性可以实现对故障的快速 检测和准确定位，为系统保护提供重要依据。
05 一阶电路与阶跃函数、冲 激函数关系探讨
阶跃函数与冲激函数关系
1
阶跃函数和冲激函数都是描述信号突变特性的函 数。
2
阶跃函数表示信号在某一时刻发生跃变，而冲激 函数则表示信号在某一时刻发生瞬时变化。
3
两者之间的关系可以通过微分和积分相互转换， 即冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激 函数的积分。
案例分析
滤波器类型与性 能要求
1.4奇异信号
t 0
0 t0
f3(t)=sinwt u(t-t 0)
f4(t)=sinw(t-t 0)u(t)
t 0 t0
0
t t0
信号加窗或取单边
f (t) = e [u(t) − u(t − t0 )]
f(t)
1
−t
t
0
t0
用斜变信号和阶跃信号表示梯形函数 用斜变信号和阶跃信号表示梯形函数 和阶跃信号
1
r(t) r(t-3)
0
f ( 0)
0
t0
t
t
可推广到任意点抽样： 可推广到任意点抽样：
∫
+∞
−∞
ϕ(t)δ (t − t0)dt = ϕ(t0)
（6）冲激串： ）冲激串：
δT (t) =
…
n=−∞
∑δ (t − nT )
δT(t)
n=0, ±1, ±2, ….
0 T 2T 3T
+∞
-3T -2T -T
…
t
例
fs(t) = f (t)δT (t) =
函数各阶导数的性质： （4）δ函数各阶导数的性质： ） 函数各阶导数的性质 冲激偶 dδ (t)
δ ' (t) =
(1) 0 (-1)
δ’（t） （）
t
有：
∫
+∞
dt
−∞
δ ' (t)dt = 0
冲激偶为奇函数： （ ） 冲激偶为奇函数：δ’（-t）= - δ’（t） （） 冲激偶的重要性质： 冲激偶的重要性质：
f1[n]+f2[n]=
(−1) + n
n
2 +2n
-n
1.4 阶跃函数和冲激函数
(t 2) 2 (t ) d t
板书：例1.4-1，例1.4-2，
d [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
13
通信与信息工程学院基础教学部
练习
通信与信息工程学院基础教学部
14
练习答案
通信与信息工程学院基础教学部
15
5.复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函 数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n)
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
3.ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
(k )
或
i
(i)
j 0
k
ε(k) = δ(k)+ δ(k – 1)+…
(k ) (k j )
通信与信息工程学院基础教学部
19
小结：
• • • 单位阶跃信号的定义 单位冲激信号的定义、性质 西电精品课程视频（来源于网络）
通信与信息工程学院基础教学部
20
冲激信号尺度变换的证明 从 ( t ) 定义看：
pt 1
pat 1
2 t
2
O
2a
O
a
2a
t
t 强度为1 p(t)面积为1，
2
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
通信与信息工程学院基础教学部
17
三、序列δ(k)和ε(k)
信号与系统第一章第二节
例子
0 (当t 2 ) 1 vc (t ) (t ) (当 t ) 2 2 2 1 (当t ) 2 电流ic(t)为
：
从物理方面理解函数的意义。电路图如下： 电压源vc(t)接向电容元件Ｃ，假定vc(t)是斜变信号。
vc (t )
ic (t )
c
vc (t )
ic (t )
dvc (t ) ic (t ) c dt c [u (t ) u (t )] 2 2
1
1 2
c
2
0 2
t
0 2
t 0 2
t
如果0的极限情况，则vc(t)成为阶跃信号，它的微分— —电流ic(t)是冲激函数其表达式为： vc (t ) u (t ) v (t )
信号与系统
孔艳岩
495239861
1.4 阶跃信号和冲激信号 1.单位斜变信号
斜变信号也称斜升信号。 它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。 如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号。
(1)单位斜变信号
f (t )
如果将起始点移至t0,则可写成
0 t 0 f (t ) t t 0
1
0
1
t
与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或 规定sgn(0)=0. 显然，阶跃信号来表示符号函数
sgn( t ) 2u (t ) 1
2、阶跃函数的性质：
（1）可以方便地表示某些信号
f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
信号与系统教案第1章
义。如右图的f(t)仅在一些离散时刻
tk(k = 0,±1,±2,…)才有定义，
f(t)
其余时间无定义。
相邻离散点的间隔Tk=tk+1-tk可
1
2
2 1
以相等也可不等。通常取等间隔T，
离散信号可表示为f(kT)，简写为 t-1 o t1 t2 t3 t4 t
f(k)，这种等间隔的离散信号也常
-1.5
研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程 只讨论确定信号。
1.2 信号的描述和分类
2. 连续信号和离散信号 根据信号定义域的特点可分
为连续时间信号和离散时间信号。
（1）连续时间信号：
在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号 称为连续时间信号，简称连续信号。实际中也常称 为模拟信号。
这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续 的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。
k=0
通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”
1.2 信号的描述和分类
3. 周期信号和非周期信号
周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区
间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复
变化的信号。
连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其 周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周 期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 （1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为
ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为
1-2冲击信号
3 系统框图 连续基本单元：积分器、加法器、数乘器、延时器等。 连续基本单元：积分器、加法器、数乘器、延时器等。 离散基本单元：加法器、数乘器、延迟器等。 离散基本单元：加法器、数乘器、延迟器等。
连续系统基本单元 积分器
f (t )
f1 (t )
离散系统基本单元
∫
y (t ) =
∫
t
−ω
f ( x)dx
Aε (t )
u = Aε (t )
2. 定义
1 ε (t ) = 0
ε (t )
t >0 t<0
延时阶跃函数： 延时阶跃函数：
1 ε (t − t 0 ) = 0
(t )
t > t0 t < t0
O
t0
3. 阶跃函数是可积函数
r (t ) = tε (t ) = ε (τ )dτ
三. 冲激函数
1.工程背景 工程背景 力学中瞬间作用的作用力；电学中的雷击电闪等。 力学中瞬间作用的作用力；电学中的雷击电闪等。 2.定义 2.定义 狄拉克（Dirac） 狄拉克（Dirac）定义 极限方式定义 严格数学定义：分配函数（广义函数） 严格数学定义：分配函数（广义函数）定义
δ (t )
与任意函数相乘
+ω
f (t )δ ' (t ) = f (0)δ ' (t ) − f ' (0)δ (t )
f (t )δ ' (t − t 0 ) = f (t 0 )δ ' (t − t 0 ) − f ' (t 0 )δ (t − t 0 )
抽样性
∫
−ω
f (t )δ ' (t ) dt = − f ' (0)
1.4阶跃函数和冲激函数
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
f (k) (k) f (0)
k
•例
(k) ?
(k 5) (k) ?
k
k
δ(k)
1
-1 o 1 k
▲
■
第 19 页
2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
•定义
defபைடு நூலகம்1, k 0
(k) 0, k 0
•ε(k)与δ(k)的关系
γn
11
n pn(t)
2
2
求导
1 o 1
t
n
n
1 n
def
(t)
lim
n
pn
(t)
o1
δ(tn)
(1)
高度无穷大，宽度无穷小，
面积为1的对称窄脉冲。
o
▲
t
t
■
第6页
2. 狄拉克(Dirac)定义
(t) 0 t 0
(t) d t
1
(t)dt
0 (t )d t
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零； ➢ 积分面积为1；
一、单位阶跃函数
1. 定义
下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
选定一个函数序列γn(t)如图所示.
γn
n
(t )
0
1
2
1
n 2
t
t
t 1 n
1 t 1 nn
1 n 2,3, 4...
11
2
1 o 1
n
n
t
n
(t)
0, t 0
1
(t
)
def
lim
n
§1.4 阶跃信号和冲激信号
[ f t (t )]' f t (t ) f (t ) t f 0 (t ) f 0 (t ) f (t ) t ， f (t ) t f 0 (t ) f 0 (t )
（对比： f ( t ) ( t ) f 0 t ）
若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲，双边指数脉冲，钟形脉冲，抽样函数，取 0极限，都可以认为是冲激函数。P18 图1-30
退出
3. 定义2：狄拉克(Dirac)
( t )dt 1 ( t ) 0, t 0
0 ( t )dt ( t ) dt
R( t ) u( t )
(t )
(1)
( t )
1
1 1 t
0
0
t
0
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u ( t) ↓ ↑ 分 ( t)
(-<t< )
退出
退出
冲激偶的标度变换
1 1 at t a a
(k)
1 1 (k) at k t a a
退出
例题
例1： (5t ) f ( t )d ( t )
1 f 0 5
f(5-2t)
(2) t 0 1 2 3 f(5-t)
例 2：已知 f ( 5 2t ) 波形，请画出 f ( t ) 的波形。
( t ) f ( t )dt
t
f ( 0)
( ) f ( )d ( ) ( ) f ( )d f (0)
又 ( t )只在t 0有值 故 ( t ) ( t )
（对比： f ( t ) ( t ) f 0 t ）
若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲，双边指数脉冲，钟形脉冲，抽样函数，取 0极限，都可以认为是冲激函数。P18 图1-30
退出
3. 定义2：狄拉克(Dirac)
( t )dt 1 ( t ) 0, t 0
0 ( t )dt ( t ) dt
R( t ) u( t )
(t )
(1)
( t )
1
1 1 t
0
0
t
0
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u ( t) ↓ ↑ 分 ( t)
(-<t< )
退出
退出
冲激偶的标度变换
1 1 at t a a
(k)
1 1 (k) at k t a a
退出
例题
例1： (5t ) f ( t )d ( t )
1 f 0 5
f(5-2t)
(2) t 0 1 2 3 f(5-t)
例 2：已知 f ( 5 2t ) 波形，请画出 f ( t ) 的波形。
( t ) f ( t )dt
t
f ( 0)
( ) f ( )d ( ) ( ) f ( )d f (0)
又 ( t )只在t 0有值 故 ( t ) ( t )
阶跃函数和冲激函数
f ( t ) ( t t1 ) f (t1 ) (t t1 ) f (t ) (t t1 )dt f (t1 ) (t t1 )dt f (t1 ) ' f (t ) (t t1 )dt f ' (t1 )
0 r (t ) t
t0 t0
εxdx r t tεt
t
三、有延迟的单位冲激和单位阶跃信号 若冲激不是发生在原点,而是在 t t 0 则记为 ( t t 0 )
(t t0 ) 时移的冲激函数
1
0
t0
t
( t t 0 ) 0 , t t 0 t t 0 dt 1
例如：如图所示的函数：
f t
1
可表示为：
1
0
1
2
t
f t t 1 t 1 t t 1 t t 2
例如：如下图所示的函数：
f t
1
1 0 1 2 t
可表示为：
f t t 1 2 t t 2
0 单位冲激函数
sgnt
符号函数：(Signum)—奇异函数例
1 sgn( t ) 1 t 0 t0
1 (t ) [sgn( t ) 1] 2
O
t
sgn( t ) (t ) (t ) 2 (t ) 1
冲激函数的导数
s(t )
1 1
1/n
t
(虚线代表n增大时的 变化趋势)
该脉冲波形下的面积为1， 不妨称其为函数 pn t 的强度
rn(t)
1 1/2
(t)
阶跃信号与冲激信号
0
t0
t
延时的阶跃信号
信号与系统
二.单位阶跃信号
门函数的定义
G (t)
G
(t
)
u
(t
2
)
u(t
2
)
1
用单位阶跃函数来表达分段区间函数
0
t
atb
f (t) f (t)[u(t a) u(t b)]
2
2
门函数
t t0
f (t) f (t)u(t t0)
t t1
f (t) f (t)[1 u(t t1)] f (t)u(t t1)
例：利用冲激函数的性质求下列积分
(1) (t 1)sin( t)dt
4
(2) e 3 2t (t 2k)dt
0
k
解：
(t
1 ) sin( t )dt
4
sin( t )
t1 4
sin
4
2 2
e 3 2t (t 2k)dt e 3 2t (t) (t 2) dt
0
k
0
t2
2 (t) sin(t) dt lim 2 sin(t) 2
t
t 0
t
信号与系统
三．单位冲激信号
例：化简函数 d 2 [sin(t )u(t)]
dt 2
4
解：
d2 dt 2
[sin(t
4
)u(t)]
d dt
[cos(t
4
)u(t)
sin(t
4
)
(t)]
d [cos(t )u t sin( ) (t)]
f (t)
f (t)
f (t)
0a
b
第一章(2)阶跃函数和冲激函数
2、移位 在t
= t1
处的冲激函数为 δ ( t − t 1 ) 则：
f ( t )δ ( t − t 1 ) = f ( t 1 )δ ( t − t 1 ) ∞ ∞ ∫−∞ f (t )δ (t − t1 )dt = f (t1 )∫−∞ δ (t − t1 )dt = ∞ ' f ( t ) δ ( t − t1 )dt = − f ' ( t1 ) ∫− ∞
1.4 阶跃函数和冲激函数
0, 1 n γ n (t ) = + t , − 1 < t < 1 ; 我们 来讨论这样的一个函数： n n 2 2 1 1, t > n
一、阶跃函数和冲激函数
1 t < − n
rn(t)
1 1/2
pn(t) 求导 1/n t -1/n 0
n/2
ε(t)
1
t ε(t) = ∫−∞δ (τ )dτ
可见它们不同于普通函数。 可见它们不同于普通函数。
0 单位阶跃函数
t
δ(t)
(1)
0 单位冲激函数
t
ε (t )与 (t )之 的 系 δ 间 关 ：
dε (t ) δ (t ) = dt
ε(t)
1
t ε(t) = ∫−∞δ (τ )dτ
乘积。 乘积。 解： t δ ( t ) = 0
f (t )δ ' (t ) = f (0 )δ ' (t ) − f ' (0 )δ (t )
f (t )δ (t ) = f (0 )δ (t )
e −αtδ ( t ) = δ ( t )
tδ ' ( t ) = − δ ( t ) e − α t δ ' ( t ) = δ ' ( t ) + αδ ( t )
信号与系统吴大正教案全西安电子科技大学
式中β称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。 由上式可见：
仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周 期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。 当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
第1-12页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以
看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字
等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常
紧密地联系在一起。
系统的基本作用是对输 输入信号 入信号进行加工和处理，将 其转换为所需要的输出信号。 激励
输出信号
系统
响应
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■
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值域连 续
f1(t) =sin(πt)
1
o1 -1
2t
f2(t) 1
o1 2 t -1
值域不 连续
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■
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信号与系统 电子教案
1.2 信号的描述和分类
离散时间信号：
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间
信号，简称离散信号。实际中也常称为数字信号。
这里的“离散”指信号的定义域—时间是离散的，
本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。
6．因ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ信号与反因果信号
常将 t = 0时接入系统的信号f(t) [即在t < 0， f(t) =0]称 为因果信号或有始信号。阶跃信号是典型的一个。
而将t ≥ 0， f(t) =0的信号称为反因果信号。
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仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周 期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。 当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
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如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以
看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字
等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常
紧密地联系在一起。
系统的基本作用是对输 输入信号 入信号进行加工和处理，将 其转换为所需要的输出信号。 激励
输出信号
系统
响应
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值域连 续
f1(t) =sin(πt)
1
o1 -1
2t
f2(t) 1
o1 2 t -1
值域不 连续
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信号与系统 电子教案
1.2 信号的描述和分类
离散时间信号：
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间
信号，简称离散信号。实际中也常称为数字信号。
这里的“离散”指信号的定义域—时间是离散的，
本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。
6．因ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ信号与反因果信号
常将 t = 0时接入系统的信号f(t) [即在t < 0， f(t) =0]称 为因果信号或有始信号。阶跃信号是典型的一个。
而将t ≥ 0， f(t) =0的信号称为反因果信号。
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信号与线性系统
1.4 阶跃函数和冲激函数
• 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数， 称为奇异函数。研究奇异函数的性质要 用到广义函数（或分配函数）的理论。
* 某些物理量在空间或时间坐标上集中与一点的 物理现象，奇异函数就是描述这类现象的 数学模型。
信号与线性系统
• 一、阶跃函数和冲激函数 • 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
信号与线性系统
冲激函数的导数δ’(t)
• δ’(t) 也称冲激偶
三角 脉冲 s(t)
信号与线性系统
(t)dt ?? 1
'(t)dt ?? 0
为方便，常省去负冲激，并标明 δ’(t) ，以免 与δ(t) 相混淆
n
[ f (t)]
i 1
|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
是位于各ti处，n个冲激函数构成的冲击函数序列。
例：若f(t)=4t2-1,则有
[4t2 1] 1 (t 1) 1 (t 1)
4 24 2
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
信号与线性系统
也可由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）
• 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度 极大，作用时间极短一种物理量的理想化 模型。
信号与线性系统
冲激函数与阶跃函数关系
冲激函数的积分是阶跃信号
反之，阶跃信号的微分等于冲激函数
信号与线性系统
信号与线性系统
门函数
• 下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数。
g(t)
特点:宽度为，幅度为1。
1 -/2 0 /2
1, g (t) 0,来自| t | 2
| t |
2
t
利用移位阶跃函数，门函数可表示为：
g
(t
)
(t
2
)
(t
2
)
信号与线性系统
二、冲激函数的广义函数定义
函数。并用求导和求极限的方法定义冲激 函数。 • 选定一个函数序列γn(t)如图所示。
信号与线性系统
t<-1/n -1/n < t < 1/n 1/n < t
γn(t)=0 γn(t)=1/2+nt/2 γn(t)=1
信号与线性系统
采用下列直观定义：对γn(t)求导得到如图所示的 矩形脉冲Pn(t) 。
• 1. 与普通函数f(t) 的乘积——取样、移位性质 • 若f(t)在t = 0 、t = a处存在，则
信号与线性系统
？
信号与线性系统
冲激函数的性质（2）
δ(t) 的尺度变换
研究
(at)(t)dt
a≠0的常数
δ(at) 的n阶导数
信号与线性系统
冲激函数的性质（3）
奇偶性
n为偶数 n为奇数
信号与线性系统
冲激函数的性质（4）
复合函数形式的冲激函数
• 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t) 是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根ti ( i=1，2，…，n)；
•f(t)可以展开成泰勒级数
f
(t)
f
(ti )
f
' (ti )(t
ti )
1 2
f
''(ti )(t
ti )2
...
f ' (ti )(t ti )
见书p22
信号与线性系统
[
f
(t)]
[
f
'(ti )(t
ti )]
|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
• 若f(t)=0的n个根t=ti都是单根，即在t=ti处 f’(ti)0，则在t=ti附近有：
阶跃函数性质： • （1）可以方便地表示某些信号
•f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
•（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
r(t)=t(t),斜升函数
信号与线性系统
• 问：如何用阶跃函数表示如下信号
• f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)
信号与线性系统
• 间断点的导数也存在。
• 广义函数
• 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一
个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值
N[g(t), (t)]。
•
广义函数g(t)可以写成
g(t)(t)dt N[g(t),(t)]
信号与线性系统
(n) (t) 的定义：
例题 ??
信号与线性系统
冲激函数的性质（1）
1.4 阶跃函数和冲激函数
• 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数， 称为奇异函数。研究奇异函数的性质要 用到广义函数（或分配函数）的理论。
* 某些物理量在空间或时间坐标上集中与一点的 物理现象，奇异函数就是描述这类现象的 数学模型。
信号与线性系统
• 一、阶跃函数和冲激函数 • 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
信号与线性系统
冲激函数的导数δ’(t)
• δ’(t) 也称冲激偶
三角 脉冲 s(t)
信号与线性系统
(t)dt ?? 1
'(t)dt ?? 0
为方便，常省去负冲激，并标明 δ’(t) ，以免 与δ(t) 相混淆
n
[ f (t)]
i 1
|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
是位于各ti处，n个冲激函数构成的冲击函数序列。
例：若f(t)=4t2-1,则有
[4t2 1] 1 (t 1) 1 (t 1)
4 24 2
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
信号与线性系统
也可由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）
• 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度 极大，作用时间极短一种物理量的理想化 模型。
信号与线性系统
冲激函数与阶跃函数关系
冲激函数的积分是阶跃信号
反之，阶跃信号的微分等于冲激函数
信号与线性系统
信号与线性系统
门函数
• 下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数。
g(t)
特点:宽度为，幅度为1。
1 -/2 0 /2
1, g (t) 0,来自| t | 2
| t |
2
t
利用移位阶跃函数，门函数可表示为：
g
(t
)
(t
2
)
(t
2
)
信号与线性系统
二、冲激函数的广义函数定义
函数。并用求导和求极限的方法定义冲激 函数。 • 选定一个函数序列γn(t)如图所示。
信号与线性系统
t<-1/n -1/n < t < 1/n 1/n < t
γn(t)=0 γn(t)=1/2+nt/2 γn(t)=1
信号与线性系统
采用下列直观定义：对γn(t)求导得到如图所示的 矩形脉冲Pn(t) 。
• 1. 与普通函数f(t) 的乘积——取样、移位性质 • 若f(t)在t = 0 、t = a处存在，则
信号与线性系统
？
信号与线性系统
冲激函数的性质（2）
δ(t) 的尺度变换
研究
(at)(t)dt
a≠0的常数
δ(at) 的n阶导数
信号与线性系统
冲激函数的性质（3）
奇偶性
n为偶数 n为奇数
信号与线性系统
冲激函数的性质（4）
复合函数形式的冲激函数
• 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t) 是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根ti ( i=1，2，…，n)；
•f(t)可以展开成泰勒级数
f
(t)
f
(ti )
f
' (ti )(t
ti )
1 2
f
''(ti )(t
ti )2
...
f ' (ti )(t ti )
见书p22
信号与线性系统
[
f
(t)]
[
f
'(ti )(t
ti )]
|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
• 若f(t)=0的n个根t=ti都是单根，即在t=ti处 f’(ti)0，则在t=ti附近有：
阶跃函数性质： • （1）可以方便地表示某些信号
•f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
•（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
r(t)=t(t),斜升函数
信号与线性系统
• 问：如何用阶跃函数表示如下信号
• f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)
信号与线性系统
• 间断点的导数也存在。
• 广义函数
• 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一
个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值
N[g(t), (t)]。
•
广义函数g(t)可以写成
g(t)(t)dt N[g(t),(t)]
信号与线性系统
(n) (t) 的定义：
例题 ??
信号与线性系统
冲激函数的性质（1）