1.4阶跃函数和冲激函数
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阶跃信号与冲激信号
1 a
（3）尺度变换性质
(t )
（4）与阶跃信号的关系
t
δ ( τ )dτ u(t )
d dt
u (t ) (t )
df (t )
f (t )
1
dt
1
(1)
1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
(a) 1
(-2)
信号与系统
三．单位冲激信号
例：利用冲激函数的性质求下列积分
(1)
(t ) sin( t )dt
(2) (t ) 在 t 0 处为无穷大；
(3) 在包含 (t ) 出现的位置的任意区间范围内面积为 1。
0
0
(t )dt (t )dt 1
信号与系统
三．单位冲激信号
(t t 0 )
(1)
延时的单位冲激信号
(t t0 )dt 1 (t t0 ) (t t0 ) 0
d dt
[cos(t
4
)u (t ) sin(t
4
) (t )]
dt
d dt
[cos(t
4
)u t sin(
（3）尺度变换性质
(t )
（4）与阶跃信号的关系
t
δ ( τ )dτ u(t )
d dt
u (t ) (t )
df (t )
f (t )
1
dt
1
(1)
1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
(a) 1
(-2)
信号与系统
三．单位冲激信号
例：利用冲激函数的性质求下列积分
(1)
(t ) sin( t )dt
(2) (t ) 在 t 0 处为无穷大；
(3) 在包含 (t ) 出现的位置的任意区间范围内面积为 1。
0
0
(t )dt (t )dt 1
信号与系统
三．单位冲激信号
(t t 0 )
(1)
延时的单位冲激信号
(t t0 )dt 1 (t t0 ) (t t0 ) 0
d dt
[cos(t
4
)u (t ) sin(t
4
) (t )]
dt
d dt
[cos(t
4
)u t sin(
§1.4阶跃函数和冲激函数讲解
1
(t )
(1)
τ↓
o
s( t )
1
t
O
t
0
( t )
2
O 1
t
O
t
2
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ② 证明
' (t ) f (t ) d t f ' (0)
0 (t t0 ) 1
0 (t t0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
t t0 , t0 0 t t0
1
O
t0
(t t 0 )
t
1
t0 O
▲ ■
t
第3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
(t 2) 2 ' (t ) d t
返回 ▲
■
第 13 页
3. 对(t)的尺度变换
1 at t a
1 1 at t a a
证明
举例
1 1 ( n) n (t ) |a| a
(t )
(1)
τ↓
o
s( t )
1
t
O
t
0
( t )
2
O 1
t
O
t
2
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ② 证明
' (t ) f (t ) d t f ' (0)
0 (t t0 ) 1
0 (t t0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
t t0 , t0 0 t t0
1
O
t0
(t t 0 )
t
1
t0 O
▲ ■
t
第3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
(t 2) 2 ' (t ) d t
返回 ▲
■
第 13 页
3. 对(t)的尺度变换
1 at t a
1 1 at t a a
证明
举例
1 1 ( n) n (t ) |a| a
信号与线性系统分析课件--§1.4 阶跃函数和冲激函数
(t 2)
1 4
(t 2)
一般地， [ f (t )]
i 1
1 f ' (t i )
(t t i )
1 f ' (t i )
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 函数构成的冲激函数序列。
(4t 1)
2
的n个冲激
1 4
(t )
2
t t0 t t0
,
t0 0
1
O
t0
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
t t 0 t t 0
1
,
t0 0
t0
▲
O
t
■
第 3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号
2 f (t)
f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
o
f ( 0 ) ( t )
证明 对于平移情况：
f (t ) (t t 0 ) f (t0 ) (t t 0 )
t
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
举例
▲ ■ 第 11 页
2.冲激偶
s(t )
1
(t )
(1)
知识点1第一章第4节阶跃函数和冲激函数
知识点1第一章第4节阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数是控制工程和信号处理中常用的数学函数。它们在描述系统的动态响应以及信号的特性时起到了重要的作用。本文将详细介绍阶跃函数和冲激函数的定义、性质以及在实际应用中的意义。
一、阶跃函数的定义和性质
阶跃函数（Step Function）是一类常见的跃变函数，它在数学上用于描述其中一时刻突然跃变的情况。阶跃函数通常被表示为u(t)，其中t 为自变量。阶跃函数的定义如下：
1,t≥0
u(t)=
0,t<0
在定义中，当t≥0时，阶跃函数的取值为1；当t<0时，阶跃函数的取值为0。阶跃函数的图像呈现为一个从0跃变到1的过程。
阶跃函数具有以下性质：
1.阶跃函数u(t)在t=0的时刻不可导，因为它在该点没有斜率。
2.在t<0时，阶跃函数的值恒为0；在t>0时，阶跃函数的值恒为1
3.阶跃函数可用于表示信号的开关状态，如电路的打开和关闭。
二、冲激函数的定义和性质
冲激函数（Impulse Function）是另一种重要的数学函数，它在数学
上用于描述一个瞬间产生的脉冲信号。冲激函数通常被表示为δ(t)，其
中t为自变量。冲激函数的定义如下：
无穷,t=0
δ(t)=
0,t≠0
在定义中，只有当t=0时，冲激函数的取值为无穷大；其余时刻冲激
函数的取值都为0。冲激函数的图像呈现为在t=0时的一个尖峰。
冲激函数具有以下性质：
1.冲激函数δ(t)在t≠0的时刻都为0，只有在t=0时取值为无穷大。
2. 冲激函数是一个特殊的函数，它的积分等于1，即∫δ(t)dt=1
阶跃函数和冲激函数简介及简单应用
▲ ■ 第 13 页
3. 对(t)的尺度变换
1 at t a
1 1 at t a a
证明
(n)
举例
1 1 (n) (at ) n (t ) |a| a
推论: 1 (1) (at ) (t )
|a|
t0 1 (at t 00.5 ) δ (t) (t ) δ(2 t)= |a| a
δ (t )
求导
o t
t
(1) o
▲ ■
(t ) ( ) d
d (t ) (t ) dt
t
第 8页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t ) 2
f '(t)
求导
o 1 t
(2) -1 o
1
t (- 2)
-1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
求导，得g(t)
t
(4) -2
g(t) = f '(t)
2
o -1
t
压缩，得g(2t)
(2) -1 o -1
g(2t)
1
t
▲ ■ 第 15 页
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其 中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的 实根 ti ( i=1，2，…，n) f (t)
3. 对(t)的尺度变换
1 at t a
1 1 at t a a
证明
(n)
举例
1 1 (n) (at ) n (t ) |a| a
推论: 1 (1) (at ) (t )
|a|
t0 1 (at t 00.5 ) δ (t) (t ) δ(2 t)= |a| a
δ (t )
求导
o t
t
(1) o
▲ ■
(t ) ( ) d
d (t ) (t ) dt
t
第 8页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t ) 2
f '(t)
求导
o 1 t
(2) -1 o
1
t (- 2)
-1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
求导，得g(t)
t
(4) -2
g(t) = f '(t)
2
o -1
t
压缩，得g(2t)
(2) -1 o -1
g(2t)
1
t
▲ ■ 第 15 页
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其 中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的 实根 ti ( i=1，2，…，n) f (t)
1.4阶跃函数和冲激函数
• 广义函数
• 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一
个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值
N[g(t), (t)]。
•
广义函数g(t)可以写成
g(t)(t)dt N[g(t),(t)]
信号与线性系统
(n) (t) 的定义：
例题 ??
信号与线性系统
冲激函数的性质（1）
f
''(ti )(t
ti )2
...
f ' (ti )(t ti )
见书p22
信号与线性系统
[
f
(t)]
[
f
'(ti )(t
ti )]பைடு நூலகம்
|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
• 若f(t)=0的n个根t=ti都是单根，即在t=ti处 f’(ti)0，则在t=ti附近有：
• 1. 与普通函数f(t) 的乘积——取样、移位性质 • 若f(t)在t = 0 、t = a处存在，则
信号与线性系统
？
信号与线性系统
冲激函数的性质（2）
δ (t) 的尺度变换
研究
(at)(t)dt
a≠0的常数
δ (at) 的n阶导数
信号与线性系统
两大基本信号
• 下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数。
g(t)
特点:宽度为，幅度为1。
1 -/2 0 -/2
1, g (t)
0,
| t |
2
| t |
2
t
利用移位阶跃函数，门函数可表示为：
g
(t
)
(t
2
)
(t
2
)
1.4 阶跃函数和冲激函数
一、阶跃函数 • 下面采用求函数序列极限
的方法定义阶跃函数。 • 选定一函数序列γn(t)如图所示。
阶跃函数性质：
• （1）可以方便地表示某些信号 •f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2) •（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
r(t)=t(t),斜升函数
• 问：如何用阶跃函数表示如下信号
二、冲激函数
• 单位冲激函数是对强度极大，作用时间极短一种物 理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由 狄拉克最早提出）
冲激函数与阶跃函数关系
•可见，引入冲激函数 之后，间断Biblioteka Baidu的导数也 存在。如
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
三、冲激函数的性质（1）
阶跃函数和冲激函数简介及简单应用
函数序列定义δ(t)
冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
▲
■
第 5页
1. 狄拉克(Dirac)定义
(t) 0 t 0
(t) d t
1
(t)dt
0 (t )d t
0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
f (t)
f(t)ε (t)
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
to
t (b)
（3）积分
t
( ) d t (t)
o t1 t2
t
(c)
▲
■
第 4页
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
狄拉克(Dirac)定义
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
f (t)
(t) f (t)d t f (0)
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
四. 序列δ(k)和ε(k)
冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
▲
■
第 5页
1. 狄拉克(Dirac)定义
(t) 0 t 0
(t) d t
1
(t)dt
0 (t )d t
0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
f (t)
f(t)ε (t)
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
to
t (b)
（3）积分
t
( ) d t (t)
o t1 t2
t
(c)
▲
■
第 4页
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
狄拉克(Dirac)定义
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
f (t)
(t) f (t)d t f (0)
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
四. 序列δ(k)和ε(k)
1.4 阶跃函数和冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t) 1.4-23
f (t)
(t) f (t)d t f (0) 1.4-24
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)
δ(n)(t)的定义：
(n) (t) f (t) d t
(1)n
f
(n) (0)
1.4-17
δ’(t)的平移：
( t
t0)
f
(t )d t
f
(t0)
1.4-32
③ t (t)d t t
例
(t
2)2 '(t) d t
d dt
[(t
2)2 ]
t 0
2(t
2)
t 0
4
▲
■
第 15 页
(t) d t
1
(t)dt
0 (t )d t
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零； ➢ 积分面积为1；
δ(t)
(1)
➢ t =0 时， t ，为无界函数。 o
t
▲
■
第6页
2.函数定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
时间变换14阶跃函数和冲激函数一
连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。
物理学及电子信息工程系 第一章 信号与系统
一、加法和乘法 二、时间变换 一、阶跃函数 二、冲激函数
物理学及电子信息工程系
一、系统的定义 二、系统的分类及性质 一、连续系统 二、离散系统
阶跃函数和冲激函数 1.7
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
1.1 绪论
什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？
一、信号的概念
1. 消息(message):
人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。
2. 信息(information): 它是信息论中的一个术语。
通常把消息中有意义的内容称为信息。 本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格 区分。
物理学及电子信息工程系 第一章 信号与系统
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
3. 信号(signal):
6．因果信号与反因果信号
常将 t = 0时接入系统的信号f(t) [即在t < 0， f(t) =0]称为因果信 号或有始信号。阶跃信号是典型的一个。 而将t ≥ 0， f(t) =0的信号称为反因果信号。
§1.4 阶跃信号和冲激信号
0
f (t )
t0 t0 1
t
3.三角形脉冲
k R( t ) 0 t f (t ) 0, 其它
K
注意!
0
t
奇异函数的定义区间是全时间域范围。
退出
二. 单位阶跃信号
1. 定义
u( t )
0 u( t ) 1
t0 t0
1
0
t
0点无定义或1/2
退出
2. 有延迟的单位阶跃信号
冲激偶的标度变换
1 1 at t a a
(k)
1 1 (k) at k t a a
退出
例题
例1： (5t ) f ( t )d ( t )
1 f 0 5
f(5-2t)
(2) t 0 1 2 3 f(5-t)
例 2：已知 f ( 5 2t ) 波形，请画出 f ( t ) 的波形。
)↑
t
R0
R0
(1)
o
t
o
t
R→0
iC ( 0 )
qc ( t ) CU s
退出
结论
iC t CU S ( t )
qC t CU S u( t ) CU S
R0
R0
1-2冲击信号
主要内容： 主要内容：
一、阶跃信号的定义 二、冲激信号的定义及性质 三、冲激偶定义及性质
重点： 重点：
冲激信号的定义及性质
作业： 作业：
P36 1.8 (1) (5) (6) (7)
系统的描述
线性系统分析分为三个步骤： 1、建立数学模型； 建立数学模型； 建立数学模型 2、解方程； 解方程； 解方程 3、给解以物理解释 给解以物理解释 系统的分类： 一. 系统的分类： 1.连续系统 离散系统、 连续系统、 1.连续系统、离散系统、混合系统 连续系统：处理连续时间信号的系统；微分方程描述； 连续系统：处理连续时间信号的系统；微分方程描述； 离散系统：处理离散时间信号的系统；差分方程描述； 离散系统：处理离散时间信号的系统；差分方程描述； 混合系统：同时处理连续信号和离散信号的系统； 混合系统：同时处理连续信号和离散信号的系统；
与任意函数相乘
+ω
f (t )δ ' (t ) = f (0)δ ' (t ) − f ' (0)δ (t )
f (t )δ ' (t − t 0 ) = f (t 0 )δ ' (t − t 0 ) − f ' (t 0 )δ (t − t 0 )
抽样性
∫
−ω
f (t )δ ' (t ) dt = − f ' (0)
吴大正_第1章_信号与系统
5．一维信号与多维信号
• 从数学表达式来看，信号可以表示为一个或 多个变量的函数，称为一维或多维函数。 • 语音信号可表示为声压随时间变化的函数， 这是一维信号。 • 而一张黑白图像每个点(像素)具有不同的光 强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量 的函数，这是二维信号。还有更多维变量的 函数的信号。 • 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。
•例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周 期。 •（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπ t • 解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若 其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然 是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 • （1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 • ω 1= 2 rad/s ， T1= 2π / ω 1= π s • cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 • ω 2= 3 rad/s ， T2= 2π / ω 2= (2π /3) s • 由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期 为T1和T2的最小公倍数2π 。 • （2） cos2t 和sinπ t的周期分别为T1=π s，T2= 2 s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
阶跃函数性质：
信号与系统 总结
例:
sin (t ) δ(t) sin ( ) δ(t) 2 δ(t)
4
4
2
2
sin (t ) δ(t) d t
4
2
0
sin (t ) δ(t 1) d t ? 0
3
4
9 sin
(t ) δ(t) d t ?
2
1
4
2
例:
微分方程的经典解：完全解 = 齐次解 + 特解。
奇次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
n
yh (t) Ci eit
i 1
课本：表2-1、表2-2
Fra Baidu bibliotek
特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特 解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
完全解：由初始值定出齐次解中的待定常数Ci。
δ(5t)(t 2)2 dt ? 4
5
f(5－2t)
f(t) (4)
例: 已知信号f (5 2t)的波形，
(2)
请画出f (t)的波形。
t 0 123
-1 0 1 2 3
第 11 页
1.5 系统的特性与分类
连续系统与离散系统：分别用微分方程与差分方程来描述 动态系统与即时系统：动态系统也称为记忆系统 线性系统与非线性系统：齐次性和可加性
阶跃函数和冲激函数
1.4 阶跃函数和冲激函数
一、阶跃函数和冲激函数
0, n (t ) 1 n t , 1 t 1 ; 我们来讨论这样的一个函数： n n 2 2 1 1, t
1 t n
rn(t)
1 1/2
pn(t) 求导 1/n t -1/n 0
n
n/2
-1/n 0
'
'
'
'
f (t ) (t )dt
f 0 (t ) f (0) (t )dt
' ' '
f (0)
'
' '
f (0) (t )dt f (0) (t )dt
f (t ) (t )dt f (0)
f
'
t fc' t J i t ti
常义导数 强度等于 J i 的 冲激函数。
f(t)
f t i
f t i
i
ti t
0
3、尺度变换
' at ? 1 1 δ at δ t a a 1 (at ) ? (at) a a1
0 单位冲激函数
一、阶跃函数和冲激函数
0, n (t ) 1 n t , 1 t 1 ; 我们来讨论这样的一个函数： n n 2 2 1 1, t
1 t n
rn(t)
1 1/2
pn(t) 求导 1/n t -1/n 0
n
n/2
-1/n 0
'
'
'
'
f (t ) (t )dt
f 0 (t ) f (0) (t )dt
' ' '
f (0)
'
' '
f (0) (t )dt f (0) (t )dt
f (t ) (t )dt f (0)
f
'
t fc' t J i t ti
常义导数 强度等于 J i 的 冲激函数。
f(t)
f t i
f t i
i
ti t
0
3、尺度变换
' at ? 1 1 δ at δ t a a 1 (at ) ? (at) a a1
0 单位冲激函数
§1.4 阶跃函数和冲激函数的例证
■
第 5页
冲激信号尺度变换的证明
从 (t )定义看： pt
1
pat 1
2 t
2
O
2a
O
a
2aபைடு நூலகம்
t
p(t)面积为1， t 强度为1
1 1 p(at)面积为 a ， at 强度为 a
1 0时, p( t ) ( t ) , p(at ) ( t ) a
f ( t ) ( t )dt
f ( 0)
■
第 3页
冲激偶取样性证明
[ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ (t)
f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ (t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
t
2t , 1 t 1 2 ( t ) d ? 0, 其它 1
1
( 1) 2 ( ) d ? ε(t)
d 2t e (t ) e 2t (t ) 2 e 2t (t ) (t ) 2 e 2t (t ) dt
■ 第 6页
冲激信号尺度变换举例
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• 1. 与普通函数f(t) 的乘积——取样、移位性质 • 若f(t)在t = 0 、t = a处存在，则
信号与线性系统
？
信号与线性系统
冲激函数的性质（2）
δ(t) 的尺度变换
研究
(at)(t)dt
a≠0的常数
δ(at) 的n阶导数
信号与线性系统
冲激函数的性质（3）
奇偶性
n为偶数 n为奇数
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
信号与线性系统
也可由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）
• 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度 极大，作用时间极短一种物理量的理想化 模型。
信号与线性系统
冲激函数与阶跃函数关系
冲激函数的积分是阶跃信号
反之，阶跃信号的微分等于冲激函数
信号与线性系统
• 广义函数
• 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一
个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值
N[g(t), (t)]。
•
广义函数g(t)可以写成
g(t)(t)dt N[g(t),(t)]
信号与线性系统
(n) (t) 的定义：
例题 ??
信号与线性系统
冲激函数的性质（1）
f
''(ti )(t
ti )2
...
f ' (ti )(t ti )
见书p22
信号与线性系统
[
f
(t)]
[
f
'(ti )(t
ti )]
|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
• 若f(t)=0的n个根t=ti都是单根，即在t=ti处 f’(ti)0，则在t=ti附近有：
n
[ f (t)]
i 1
|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
是位于各ti处，n个冲激函数构成的冲击函数序列。
例：若f(t)=4t2-1,则有
[4t2 1] 1 (t 1) 1 (t 1)
4 24 2
信号与线性系统
门函数
• 下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数。
g(t)
特点:宽度为，幅度为1。
1 -/2 0 /2
1, g (t)
0,
| t |
2
| t |
2
t
利用移位阶跃函数，门函数可表示为：
g
(t
)
(t
2
)
(t
2
)
信号与线性系统
二、冲激函数的广义函数定义
信号与线性系统
冲激函数的性质（4）
复合函数形式的冲激函数
• 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t) 是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根ti ( i=1，2，…，n)；
•f(t)可以展开成泰勒级数
f
(t)
f
(ti )
f
' (ti )(t
ti )
1 2
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(wenku.baidu.com -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
信号与线性系统
冲激函数的导数δ’(t)
• δ’(t) 也称冲激偶
三角 脉冲 s(t)
信号与线性系统
(t)dt ?? 1
'(t)dt ?? 0
为方便，常省去负冲激，并标明 δ’(t) ，以免 与δ(t) 相混淆
阶跃函数性质： • （1）可以方便地表示某些信号
•f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
•（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
r(t)=t(t),斜升函数
信号与线性系统
• 问：如何用阶跃函数表示如下信号
• f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)
信号与线性系统
• 间断点的导数也存在。
信号与线性系统
1.4 阶跃函数和冲激函数
• 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数， 称为奇异函数。研究奇异函数的性质要 用到广义函数（或分配函数）的理论。
* 某些物理量在空间或时间坐标上集中与一点的 物理现象，奇异函数就是描述这类现象的 数学模型。
信号与线性系统
• 一、阶跃函数和冲激函数 • 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃
函数。并用求导和求极限的方法定义冲激 函数。 • 选定一个函数序列γn(t)如图所示。
信号与线性系统
t<-1/n -1/n < t < 1/n 1/n < t
γn(t)=0 γn(t)=1/2+nt/2 γn(t)=1
信号与线性系统
采用下列直观定义：对γn(t)求导得到如图所示的 矩形脉冲Pn(t) 。
信号与线性系统
？
信号与线性系统
冲激函数的性质（2）
δ(t) 的尺度变换
研究
(at)(t)dt
a≠0的常数
δ(at) 的n阶导数
信号与线性系统
冲激函数的性质（3）
奇偶性
n为偶数 n为奇数
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
信号与线性系统
也可由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）
• 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度 极大，作用时间极短一种物理量的理想化 模型。
信号与线性系统
冲激函数与阶跃函数关系
冲激函数的积分是阶跃信号
反之，阶跃信号的微分等于冲激函数
信号与线性系统
• 广义函数
• 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一
个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值
N[g(t), (t)]。
•
广义函数g(t)可以写成
g(t)(t)dt N[g(t),(t)]
信号与线性系统
(n) (t) 的定义：
例题 ??
信号与线性系统
冲激函数的性质（1）
f
''(ti )(t
ti )2
...
f ' (ti )(t ti )
见书p22
信号与线性系统
[
f
(t)]
[
f
'(ti )(t
ti )]
|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
• 若f(t)=0的n个根t=ti都是单根，即在t=ti处 f’(ti)0，则在t=ti附近有：
n
[ f (t)]
i 1
|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
是位于各ti处，n个冲激函数构成的冲击函数序列。
例：若f(t)=4t2-1,则有
[4t2 1] 1 (t 1) 1 (t 1)
4 24 2
信号与线性系统
门函数
• 下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数。
g(t)
特点:宽度为，幅度为1。
1 -/2 0 /2
1, g (t)
0,
| t |
2
| t |
2
t
利用移位阶跃函数，门函数可表示为：
g
(t
)
(t
2
)
(t
2
)
信号与线性系统
二、冲激函数的广义函数定义
信号与线性系统
冲激函数的性质（4）
复合函数形式的冲激函数
• 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t) 是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根ti ( i=1，2，…，n)；
•f(t)可以展开成泰勒级数
f
(t)
f
(ti )
f
' (ti )(t
ti )
1 2
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(wenku.baidu.com -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
信号与线性系统
冲激函数的导数δ’(t)
• δ’(t) 也称冲激偶
三角 脉冲 s(t)
信号与线性系统
(t)dt ?? 1
'(t)dt ?? 0
为方便，常省去负冲激，并标明 δ’(t) ，以免 与δ(t) 相混淆
阶跃函数性质： • （1）可以方便地表示某些信号
•f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
•（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
r(t)=t(t),斜升函数
信号与线性系统
• 问：如何用阶跃函数表示如下信号
• f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)
信号与线性系统
• 间断点的导数也存在。
信号与线性系统
1.4 阶跃函数和冲激函数
• 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数， 称为奇异函数。研究奇异函数的性质要 用到广义函数（或分配函数）的理论。
* 某些物理量在空间或时间坐标上集中与一点的 物理现象，奇异函数就是描述这类现象的 数学模型。
信号与线性系统
• 一、阶跃函数和冲激函数 • 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃
函数。并用求导和求极限的方法定义冲激 函数。 • 选定一个函数序列γn(t)如图所示。
信号与线性系统
t<-1/n -1/n < t < 1/n 1/n < t
γn(t)=0 γn(t)=1/2+nt/2 γn(t)=1
信号与线性系统
采用下列直观定义：对γn(t)求导得到如图所示的 矩形脉冲Pn(t) 。