微积分基本定理
微积分基本定理的推导
微积分基本定理的推导
微积分在数学领域中占有重要的地位，它是研究变化的数学分支。微积分分为微分和积分两个部分，微分用于研究函数的变化，而积分则是对函数的累积。微积分基本定理是微积分的基础，下
面将对微积分基本定理进行推导。
一、微积分基本概念
在进行微积分基本定理的推导之前，我们需要了解微积分的一
些基本概念。
1.导数
导数是描述函数变化率的数学工具，它表示函数在某一点上的
变化速率。求导数的过程叫做微分。设y=f(x)，则函数f在点x处
的导数表示为：
f'(x) = lim((f(x+h)-f(x))/h)，h→0
2.不定积分
不定积分表示对函数进行积分，但不规定积分上下限。设f(x)
为连续函数，则对f(x)进行不定积分的结果表示为：
∫f(x)dx
3.定积分
定积分表示对函数在一定区间上进行积分。设f(x)为连续函数，a和b为区间上限和下限，则对f(x)在[a,b]区间上进行定积分的结
果表示为：
∫a^b f(x)dx
二、了解了微积分的基本概念后，我们来推导微积分基本定理。
1.微积分基本定理第一部分
微积分基本定理第一部分表明不定积分和导数之间存在一一对应的关系，即如果f(x)是一个连续函数，F(x)是f(x)的不定积分，则F(x)的导数为f(x)，即：
(F(x))' = f(x)
证明：
我们假设F(x)是f(x)的不定积分，则有：
∫f(x)dx = F(x) + C
其中C为常数。对F(x)求导数，有：
(F(x))' = (F(x) + C)' = (F(x))' + C'
由于C为常数，所以C'为0，得到：
微积分学基本定理
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
基本的不定积分公式: (1) K dx Kx C ; 1 ( 3) dx ln | x | C x (4) e dx e C
x x
1 n 1 ( 2) x dx x C n1
n
a (5) a dx C ln a
x
x
(6) ln xdx x ln x x C (8) sin xdx cos x C
计算不定积分: (1) ( x 2)( x 2)dx;
2 2
( 2)
x x5 dx; 2 x
4 2
( 3) ( x 2) x dx (4) (sin x cos x ) sin 2 xdx
2
( 5)
xx e dx 3 x
3 x
计算不定积分: (1) ( x 1) dx;
b
1 计算 : (1) dx; 1 x 3 1 ( 2) ( 2 x 2 )dx 1 x
2
( 3) sin xdx;
0
(4) sin xdx;
微积分三大定理
微积分三大定理
微积分是数学中的重要分支，它研究的是函数的变化与求和。微积分的发展离不开三大定理，它们分别是导数的基本定理、中值定理和积分的基本定理。这三个定理是微积分的核心，为我们解决各种实际问题提供了重要的工具和方法。
导数的基本定理是微积分中最基本的定理之一。它告诉我们如何求函数的导数。导数是描述函数在某一点上的变化率的概念，它决定了函数的增减性和曲线的斜率。导数的基本定理使我们能够通过求导来研究函数的性质，例如函数的最值、凹凸性等。它是微积分中理论和实际应用的基础。
中值定理是导数的一个重要应用。它的核心思想是函数在某个区间内的平均变化率等于某个点上的瞬时变化率。中值定理为我们提供了一种刻画函数变化的方法，它能够帮助我们找到函数在某个区间内的极值点和临界点。中值定理的应用广泛，不仅在数学中有重要地位，还在物理、经济等领域中有着深远的影响。
积分的基本定理是微积分的重要组成部分。它告诉我们如何求函数的积分。积分是求解曲线下面的面积或计算曲线的总变化量的工具。积分的基本定理使我们能够通过求积分来计算函数的面积、体积、质量等物理量，它在科学研究和工程实践中起着重要的作用。
微积分三大定理的发展与应用，不仅丰富了数学理论，也推动了科
学技术的进步。它们为我们解决实际问题提供了强有力的工具和方法，使我们能够更好地理解和描述自然界的现象。无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，微积分的应用都是不可或缺的。通过学习和应用微积分三大定理，我们能够更好地理解和解决复杂的实际问题，为人类的发展和进步做出贡献。
微积分基本定理证明
微积分基本定理证明
微积分基本定理也被称为奥尔森定理，它是十九世纪数学家利希
马克·奥尔森首先提出的重要定理。它表达了微积分在处理数字和曲
线的连续性之间的对应关系，并将分段函数拓展到更多更复杂的函数。它的形式如下：
若$f$为$[a,b]$上的连续函数，则有：
$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$
其中$F$为$f$的一个可微分函数（也称为$f$的积分）。这里所说
的可微分函数指在$[a, b]$上定义的函数$F$，使得$F'(x)=f(x)，
\forall x \in [a, b]$。
要证明这个定理，我们将用反证法。假设该定理不成立，即：
$$\int_a^bf(x)dx\neq F(b)-F(a)$$
那么，则有：
$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)\neq 0$$
将$f$代入上式，则有：
$$\int_a^bF'(x)dx-[F(b)-F(a)]\neq 0$$
令$\Delta x=x_1-x_0>0$，由$[a, b]$的分割定理得：
$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=[F'(x_1)-
F'(x_0)]\sum_{i=0}^{n-1}\Delta x+o(\Delta x)$$
同时，将$F'(x)=f(x)$代入上式，可得：
$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=f(x_1)-f(x_0)\sum_{i=0}^{n-
1}\Delta x+o(\Delta x)$$
因此，当$\Delta x$趋近于零时，上式又转化为：
$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=f(x_1)-
微积分学基本定理
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
计算不定积分: (1) ( x 2)( x 2)dx;
2 2
( 2)
x x5 dx; 2 x
4 2
( 3) ( x 2) x dx (4) (sin x cos x ) sin 2 xdx
2
( 5)
xx e dx 3 x
3 x
计算不定积分: (1) ( x 1) dx;
b
1 计算 : (1) dx; 1 x 3 1 ( 2) ( 2 x 2 )dx 1 x
2
( 3) sin xdx;
0
(4) sin xdx;
2
(5) sin xdx;
0
2
例1
求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
0
2
解
原式 2 sin x cos x x 0
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
微积分学基本定理
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
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微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
微积分基本定理
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
例1
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
变上限定积分
积分上限函数
x
( x) a f (t)dt.
同理，可定义变下限定积分
b
(x) x f (t)dt
积分下限函数
只需考虑变上限积分
x
( x) a f (t)dt.
因为
b
(x) x f (t)dt
b
x
a f (t)dt a f (t)dt
变限定积分的性质－连续性
[a,b]上可积函数 f(x) 的变限定积分
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b
时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a
) 仍成立.
从不定积分到定积分
Table of Indefinite Integrals
x n dx x n1 C n 1
微积分基本定理
A．
d
f (x)dx
a
B．
d
f (x)dx
a
C．
b
f (x)dx
c
f (x)dx
d
f (x)dx
a
b
c
y
D．
b
c
f (x)dx f (x)dx
y loga x (a 0, a 1, x 0)
y 1 x ln a
y sin x
y cos x
y cos x
y sin x
注：ln a loge a ，称为 a 的自然对数，其底为e ，e 是一个和 π 一样重要的无理数e 2.7182818284 ． 注意 (ex ) ex ．
【例1】 根据定义计算积分 1 x dx ． 1
【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故 1 x dx 2 1 11 1．
1
2
【答案】1
【例2】 根据定义计算积分 2 4 x2 dx ． 0
【解析】所求定积分为圆 x2 y2 4 在 x 轴上半部的半圆的面积，故 2 4 x2 dx 1 π 22 2π ．
二、 导数的四则运算法则：
⑴函数和（或差）的求导法则： 设 f (x) ， g(x) 是可导的，则 ( f (x) g(x)) f (x) g(x) ， 即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则： 设 f (x) ， g(x) 是可导的，则 [ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x) ， 即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个 函数的导数． 由上述法则即可以得出[Cf (x)] Cf (x) ，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则：
微积分的基本定理
x2
x3
11
例1
e cos x 求 lim
1 x 0
t 2 2
dt
x
.
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 解 cos x e dt dx 1 e dt , dx
2
e
cos2 x
(cos x ) sin x e
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
x 0
x
f ( x ) 1,
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
0 f ( t )dt 0,
x
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
F ( x ) 0 ( x 0).
故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.
例3
设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，且 f ( x ) 1 .证明
2 x 0 f ( t )dt 1 在[0,1] 上只有一个解.
x . 解 f ( x ) 2 x x 1
1 例 设f ( x ) 2 dt , 求f ( x ). sin x 1 t sin x u sin x u 1 1 解 f ( x) 2 dt 2 dt 2 1 t 2 1 t
微积分学基本定理
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
b a
计算定积分的方法: f ( x )dx
a
b
(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F ( x ) f ( x )
/
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
10
( 2) ( 2 x 1) dx;
3
( 3) sin 2 xdx (4) cos(3 x 1)dx (5) sin mxdx
2
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 以及x轴所围图形的面积S.
2x
作业:P67A#1(注意画图)
计算不定积分: (1) ( x 2)( x 2)dx;
2 2
( 2)
x x5 dx; 2 x
4 2
( 3) ( x 2) x dx (4) (sin x cos x ) sin 2 xdx
2
( 5)
xx e dx 3 x
3 x
计算不定积分: (1) ( x 1) dx;
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
微积分基本公式和基本定理
答案
利用基本积分公式，得到 $int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$。代入上下限，计算 得$int frac{1}{x} dx = left(ln|x|right)Bigg|_{a}^ {b} = ln b - ln a$。
泰勒公式习题及答案
微积分基本公式和基本定理
目
CONTENCT
录
• 微积分基本公式 • 基本定理 • 应用实例 • 习题与解答
01
微积分ห้องสมุดไป่ตู้本公式
导数公式
导数公式
导数公式是微积分中的基本公式之一，它描述了函数在某一点的 切线斜率。常用的导数公式包括求导的四则运算法则、链式法则 、乘积法则、商的导数公式等。
导数的几何意义
洛必达法则
总结词
洛必达法则是求极限的常用方法之一，它基于导数的性质来求解极限问题。
详细描述
洛必达法则是法国数学家洛必达在17世纪末发现的一种求极限的方法。具体来说，对于形如f'(x)/g'(x)的 极限，当x趋于某值时，若f'(x)和g'(x)都存在且g'(x)≠0，则该极限等于f'(x)/g'(x)。这个法则在求解复杂极 限问题时非常有用，是微积分学中的重要定理之一。
答案
利用基本积分公式，得到 $int (x^2 + 1) dx = frac{1}{3}x^3 + x + C$ 。代入上下限，计算得 $int_0^1 (x^2 + 1) dx = left(frac{1}{3}x^3 + xright)Bigg|_{0}^{1} = frac{4}{3}$。
1.8微积分基本定理
授课主题 微积分基本定理
教学目标
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
教学内容
1. 微积分基本定理：
如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .
定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a
来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b
a ＝F (
b )－F (a ).
2. 定积分和曲边梯形面积的关系：
设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.
(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb
a f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃ
b a f (x )d x ＝
0.
题型一 利用微积分基本定理求定积分 例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；
(2)求定积分⎰
1
－1
(2x －x 2)d x 的值；
(3)求定积分⎰0－π
(sin x ＋2e x )d x 的值． 解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×
⎪⎪12x 220＝22－02
微积分基本定理的理解
微积分基本定理的理解
什么是微积分基本定理？
也叫牛顿-莱布尼兹公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数之间的联系。牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
定义
如果函数在区间上连续，并且存在原函数，则
理解
以路程与速度函数为例，速度在t1到t2时刻的定积分，就是路程函数在每一时刻的变化率，即
（通俗理解）则将t1时刻到t2时刻s(t)在每点的变化累积起来就是s(t)从t1时刻到t2时刻的变化，即：
s(t2)-s(t1).
推广到一般函数就是：
这就是微积公基本定理。
微积分的基本定理
由 F(x x) F(x)
xx
f (t)dt,
x
如果 f (x) C([a,b]), 则由积分中值定理, 得
xx
F(x x) F(x) x f (t)dt f ( )x ,
( 在 x 与 x x 之间)
故 lim F (x x) F (x) lim f ( )x
一个原函数, 则
b a
f
(
x)
d
x
F
(b)
F
记作
(a)
F
(
x)
b a
.
牛顿— 莱布尼茨公式 将定积分的计算与求原函数的计算联系起来了.
例5
(sin x) cos x,
2 cos x d x
0
sin
x
2 0
sin
2
sin 0
1.
问题的关键是如何求一个 函数的原函数.
0
0
2 0 | cos x | d x
去绝对 值符号(如果 是分段函数， 则利用积分 的性质将积 分分成几个 部分的和的 形式.)
2 2 cos x d x 0
2 (cos x)d x
2
2sin
x
微积分定理和公式
一、函数
定义 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作
x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合
{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.
xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.
定义域D 或记f D 与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们
的定义域与对应法则都相同.
二函数的几何特性 1．单调性
1定义 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增或单增；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.
2．有界性
定义 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有
|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.
定义 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使
得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.
《微积分学基本定理,微积分基本公式》图文课件
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
计算定积分的方法: f ( x )dx
a
b
(1)定义法 : f ( x )dx lim
b a n i 1
n
ba f ( i ) n
(分割, 近似, 求和, 取极限) ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( x a , x b, y 0, y f ( x )( x [a , b]) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F / ( x ) f ( x )
x ln x x (7) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )