第三章34向量空间
自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间
一、单项选择题
1.设A ,B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵,向量组(I )是由A 的列向量构成的向量组,向量组(Ⅱ)是由(A ,B )
的列向量构成的向量组,则必有( )
A .若(I )线性无关,则(Ⅱ)线性无关
B .若(I )线性无关,则(Ⅱ)线性相关
C .若(Ⅱ)线性无关,则(I )线性无关
D .若(Ⅱ)线性无关,则(I )线性相关
2.设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组
4321,,,αααα的秩为( )
A .1
B .2
C .3
D .4
3.设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中( )
A .必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B .必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C .必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D .每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
4。设有向量组A :α1,α2,α3,α4,其中α1,α2,α3线性无关,则( )
A 。α1,α3线性无关
B 。α1,α2,α3,α4线性无关
C 。α1,α2,α3,α4线性相关
D 。α2,α3,α4线性相关
5.向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是( )
A .s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组
B .s ααα,,,21 中至少有一个非零向量
C .s ααα,,,21 全是非零向量
D .s ααα,,,21 全是零向量
6。设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A =(α1,α2,α3,α4)。如果|A |=2,则|-2A |=( )
34向量组的极大线性无关组图文-文档资料
c1 j c c c c (1 , 2 ,, m ) 2 j , j 1 j1 2 j2 m jm c mj
5
§3.4 向量组的极大线性无关组
第 二、向量组的秩 三 1. 向量组之间的线性表示 c 11 c 章 21 , , , ) 即有 ( ( , , , ) 1 2 s 1 2 m n 维 向 量 空 间
第 一、极大线性无关组的概念 , , , , 三 定义 如果向量组 1 2 r中的一个部分组 i, i , i 章 , 满足: (1) i, i , i 线性无关; , , , (2) 向量组 1 2 r中的每一个向量都可由 n , i, i , i 线性表示, 维 向 , , , , 则称 1 2 r的(一个)极大线性 i, i, i为 量 无关组。 空 , (即在 i, i , i 中再加一个向量就相关.) 间
因为任何 n 维向量都可由 n 维 ,e , ,e 基本向量 e 1 2 n线性表示
8
§3.4 向量组的极大线性无关组
第 三 章 n 维 向 量 空 间
3 ,s 2 为例) 上述定理的直观解释 (仅以 r
(1) 设由两个向量 1, 2 构成的向量组,通过线性组合得到
, , 三个向量 1 2 3,
线性代数 第3章 向量空间 第1_2节
mn
(1)
m
Leabharlann Baidu
由(1)导出的齐次方程组可用向量形式表示为 导出的齐次方程组可用向量形式表示为
x1α1 + x2α2 +⋯+ xnαn = 0
-11-
定理3.1.1 定理3.1.1 向量 β 可由向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性表示
⇔ (按定义 存在数 λ1 , λ 2 ,⋯, λ n 使得 按定义) 按定义
等价定义 如果存在不全为零的数 k1 , k 2 ,… , k m 使得 如果存在不全为零 不全为零的数
k1α 1 + k 2α 2 + … + k mα m = 0
则称该向量组线性相关 否则,如果设 线性相关. 则称该向量组线性相关 否则 如果设
k1α 1 + k 2α 2 + … + k mα m = 0
λ1α 1 + λ 2α 2 + ⋯ + λ nα n = β
⇔ (转换为方程组 方程组 x1α 1 + x 2α 2 + ⋯ + x nα n = β 转换为方程组) 转换为方程组
即 Ax= β 有解,其中 A = (α 1 , α 2 ,⋯ , α n ) 有解,
⇔ (用矩阵的秩 r ( A) = r[ A | β ] 用矩阵的秩) 用矩阵的秩
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示讲义
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1.空间向量基本定理 (1)定理
□03如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p |p =x a +y b +z c ,
x ,y ,z ∈R },这个集合可看作是由向量a ,b ,c 生成的,我们把{a ,b ,c }叫做空间的一个
基底,□
04a ,b ,c 都叫做基向量. 2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底
□05三个有公共起点O 的两两垂直的单位向量e 1,e 2,e 3称为单位正交基底,用□
06{e 1,e 2,e 3}表示.
(2)空间直角坐标系
以e 1,e 2,e 3的□
07公共起点O 为原点,分别以e 1,e 2,e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的□08正方向建立空间直角坐标系□
09Oxyz . (3)空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p ,一定可以把它□10平移,使它的□11起点与原点O 重合,得到向量OP →
=p ,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p =□12x e 1+y e 2+z e 3.把□13x ,y ,z 称作向量p 在单位正交基底e 1,e 2,e 3下的坐标,记作p =□
14(x ,y ,z ).
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.( ) (2)向量AP →
的坐标与点P 的坐标一致.( )
(3)对于三个不共面向量a 1,a 2,a 3,不存在实数组{λ1,λ2,λ3}使0=λ1a 1+λ2 a 2+λ3 a 3.( )
线性代数笔记
线性代数笔记
第一章行列式 (1)
第二章矩阵 (2)
第三章向量空间 (8)
For personal use only in study and research; not for commercial use
第四章线性方程组 (11)
第五章特征值与特征向量......................................................................... 错误!未定义书签。第一章行列式
1.3.1 行列式的性质
给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式,记为或。
性质1 转置的行列式与原行列式相等。即
(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)
性质2 用数k乘行列式D的某一行(列)的每个元素所得的新行列式等于kD。
推论1 若行列式中某一行(列)的元素有公因数,则可将公因数提到行列式之外。
推论2 若行列式中某一行(列)的元素全为零,则行列式的值为0。
可以证明:任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
性质3行列式的两行(列)互换,行列式的值改变符号。
以二阶为例
推论3 若行列式某两行(列),完全相同,则行列式的值为零。
性质4 若行列式某两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值为零。
性质 5 若行列式中某一行(列)元素可分解为两个元素的和,则行列式可分解为两个行列式的和,
注意性质中是指某一行(列)而不是每一行。
性质6 把行列式的某一行(列)的每个元素都乘以加到另一行(列),所得的行列式的值不变。
范德蒙德行列式
例10 范德蒙行列式……
选修第三章空间向量及其运算知识点
空间向量及其运算知识点
1. 空间向量的有关概念
1空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量.
2单位向量:模为1的向量称为单位向量
3相等向量:方向相同且模相等的向量.
4共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.
5共面向量:平行于同一个平面的向量.
2.空间向量的加法、减法与数乘运算
向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则
向量加法的多边形法则:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量
112231n n n OA OA A A A A A A ⋯-=++++.
运算律:①加法交换律:a +b =b +a ②加法结合律:a +b +c =a +b +c ③数乘分配律:λa +b =λa +λb.
3.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
1共线向量定理
对空间任意两个向量a ,bb ≠0,a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得a =λb . AB 上的充要条件是:
存在实数λ,使得AP AB λ= ①
或对空间任意一点O,有OP OA AB λ=+ ②
或对空间任意一点O ,有OP xOA yOB =+其中x +y =1 ③
推论③推导过程:()(1)OP OA AB OA AO OB OA OB λλλλ=+=++=-+
2共面向量定理
如果两个向量a ,b 不共线,那么p 与a ,b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对x,y 使p =xa +yb
ABC 内的充要条件是
存在唯一有序实数对x,y 使AP xAB yAC =+, 或对空间任意一点O ,有OP OA xAB yAC =++
人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义
人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义
课堂协作研讨
重点难点打破
知识点一 共线向量定理
〔1〕定理内容:对空间两个向量()0,≠b b a ,b a //的充要条件是存在独一的实数x , 使xb a =。此定理可以分解为以下两个命题;①假定()0//≠b b a ,那么存在独一实数x ,使xb a =。②存在实数x ,使()0≠=b xb a ,那么b a //。
〔2〕在定理中为什么要规则0≠b 呢?事先0=b ,假定0=a ,那么b a //,也存在实数x 使xb a =;但假定0≠a ,我们知道零向量和任一非零向量共线,但不存在实数x ,使
xb a =,因此在定理中规则了0≠b 。假定将定理写成xa b b a =⇔//,那么应规则0≠a 。
说明:①在xb a =功中,关于确定的x 和b ,xb a =功表示空间与b 平行或共线且长度为xb 的一切向量;②应用共线向量定理可以证明两线平行,或三点共线。 知识点二 共面向量定理
〔1〕共面向量
向量a ,作a =,假设的基线平行于平面a ,记作α//a 〔右
图〕,通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量。
说明:①α//a 是指a 的基线在平面α内或平行平面α。②共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内,共面向量的基线能够相交、平行或异面。
我们,对空间恣意两个向量,它们总是共面的,但空间恣意三个向量就不一定共面了。例如,在以下图中的长方体,向量AB 、、AD ,无论怎样平移都不能使它们在同一平面内。
〔2〕共面向量定理
共面向量定理:假设两个向量a 、b 不共线,那么向量c 与向量
线性代数 向量空间及其子空间
故V1 关于加法和数乘都封闭,因此V1 构成向量空间。
(2)设 (1 , x2,L , xn ) , (1 , y2,L , yn )V2 , 则 ( 2 , x2 y2 ,L , xn yn )V2 ,
即V2 对加法运算不封闭,因此V2 不构成向量空间。
的解空间(核空间) N (A) x Ax 0 , x Rn 的一
组基, 且 dim N (A) n r n r(A) 。
信息系 刘康泽
例 11 求由 n 维向量 1,2 ,L ,s 生成的向量空间 L(1,2 ,L ,s ) 的一组基及维数。
解:设 i1 ,L ,ir 是 1,2 ,L ,s 的极大无关组, 由于生成向量空间 L(1,2 ,L ,s ) 中的任意一个 向量 都可由 1,2 ,L ,s 线性表示,而 1,2 ,L ,s 又可由极大无关组 i1 ,L ,ir 线性表示。 由线性表示的传递性知, 可由 i1 ,L ,ir 线性表 示,因此极大无关组 i1 ,L ,ir 构成 L(1,L ,s ) 的一组 基。且 dim L(1,L ,s ) r r(1,2,L ,s ) 。
因此,如果 n 维向量的集合V 关于向量的加法和数乘 都封闭,则V 构成向量空间。
【注 2】只含零向量的集合显然对加法和数乘封闭, 因而也构成向量空间,称为零空间。
第三章 向量与向量空间·向量空间
线 性 代 数
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第三章
向量与向量空间
第四节 向量空间
说明
( β 1 , β 2 , L , β m ) = (α 1 , α 2 , L , α m ) P
所以 dimV=2,α1 , α2 是V的一个基.
线
性
代
数
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结束
第三章
向量与向量空间
第四节 向量空间
1 坐标
α , 总有且仅有一组有序数 k1 , k 2 , L , k m , 使
若 α 1 , α 2 , L , α m 是向量空间 V的一个基 , 则V中任一向量
k1 k2 α = k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = (α 1 , α 2 , L , α m ) . M k m
除零空间以外的有限个向量的集合,一定不是向量空间。
例如
V = {x = λ a + µ b λ , µ ∈ R },
称为由向量 a , b 所生成的向量空间 . 记为 L( a , b ). Rn = { x = k1e1 + k2e2 + L+k nen | k1, k2 ,L, kn ∈ R}.
线性代数简明教程(方小娟编 科学出版社)第三章、向量空间
α 即 α1能由 α2 ,α3 ,⋯ s 线性 表出。 表出。
推论: 推论: 两个非零向量α1 , α2 线性相关
α1 = kα2,(其中 k ≠ 0)
即α1 , α2 对应坐标成比例 例如,向量组 例如,
α1 = (2,−1,3,1) α2 = (4,−2,5,4) α3 = (2,−1,4,−1)
β = λα1 + λ2α2 +⋯+ λmαm 1
是向量组A的线性组合 的线性组合, 则称向量 β 是向量组 的线性组合,或称向量 β 线性表示。 能由向量组A线性表示。
例如: 2
1 0 0 0 −5 0 1 0 0 β = ,ε1 = ,ε2 = ,ε3 = ,ε4 = 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1
∑k α = k α + k α
i=1 i i 1 1 2
m
2
+⋯+ kmαm = ϑ
ຫໍສະໝຸດ Baidu
反之,如果只有在 时上式才成立, 反之,如果只有在k1=k2=…=km=0时上式才成立,就 时上式才成立 线性无关。 称 α1,α2 ,⋯αm线性无关。
例1
ε1 = (1,0,⋯,0)T , 判断向量组 T ε2 = (0,1,⋯,0) , ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ε = (0,0,⋯,1)T n
空间向量的基
y1 x2 x3 x4 y x x 1 2 即 2 y3 x4 y4 x1 x2 x3 x4
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
小结
(一)、向量空间的基和维数: 基:向量空间的一个极大线性无关组,不惟一。 维数:极大无关组中向量的个数。 求向量空间基和维数的方法:找到一个极大无关组. (二)、向量的坐标 坐标:基是向量空间的一个极大线性无关组,从而任 一向量可以被惟一线性表示。线性表示中的系 数就称为此向量在这组基下的坐标。 坐标变换:基不惟一,从而坐标随基的不同而改变。 确定变换公式?---找到两组基的过渡矩阵P。
设R n中的向量 在这两组基下的坐标分别为( x1 ,
xn )与( x '1 ,
x 'n )
则 (e1 , e2 ,
x1 x en ) 2 (e '1 , e '2 , xn
x '1 x' e 'n ) 2 (e1 , e2 , x 'n
1 0 0 1 初等行变换化为最简形得 0 1 0 1 0 0 1 2
可见1 , 2 , 3线性无关,因此可以作为R3的一组基,并 4关 于1 , 2 , 3的坐标为(1,-1,2).
第三章3-4-向量空间
9 3 x1 , x 2 4, x3 2 2 于是向量在α基α1,α2, α3下的坐标为
9 ( , 2 3 4, ). 2
线性代数
3.4.3
基变换与坐标变换
•向量空间V的基不是唯一的,V中向量α在不同 的基下的坐标一般是不同的。 •下面讨论V中不同的两组基之间的关系与向量α 在不同的基下的坐标之间的关系。 设α1, α2 , …,αm与β1 β2 …,βm是向量空间V的两 组基,由基的定义,它们可以互相线性表出。用 α1, α2 , …,αm表示β1 β2 …,βm,则有
(3.4.2)Βιβλιοθήκη Baidu
(3.4.2)称为坐标变换公式。
线性代数
证
由题设
x11 x2 2 xm m
x1 (1 , 2 , , m ) x 2 x m y11 y2 2 ym m
线性代数
y1 y2 (1 , 2 , , m ) y m
由 (1 , 2 , , m ) (1 , 2 ,, m ) P
y1 y2 ( 1 2 n ) P y n
线性代数
1 p11 1 p12 2 p1m m , p p p , 2 21 1 22 2 2m m m p m1 1 p m 2 2 p mm m .
线性代数第三章向量与向量空间
即方程组 1 2 L
x1
m
x2
M
有解.
xm
定义Ⅲ 设两向量组 A : 1,2 ,L ,r,B : 1, 2 ,L , s . 若向量组A中每一个向量皆可由向量组B线性表示,
则称向量组A可以由向量组B线性表示.
a22 LL
x2 L
L
L a2n xn LLLLL
b2
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
1 x1 2 x2 L n xn b
即 Ax b
或 1 2 L
x1
n
x2
M
b
ຫໍສະໝຸດ Baidu
xn
方程组与增广矩阵(A b)的列向量组之间一一对应.
k R, k kai 0 k V3,
所以V3 是一个向量空间.
V4 x x1 x2 L xn T x1, x2,L , xn R,且 xi 1
解 if a1 a2 L an T V4有 ai 1 k 2,有 2ai 2 V4,
a21
M
a12 L a22 L M
第三章向量空间熊维玲版
第三章 向量空间
§3.1 n 维向量及其运算
一、N 维向量的概念 1.定义1
定义1 n 个有次序的数12,,
,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分
量,第i 个数i a 称为第i 个分量.记为 ()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12
n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,前者称为行
向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,
故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,我们约定:用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用
,,,T T T T a b αβ表示行向量.也可用T n a a a ),,(21 来表示一个列向量。即T n a a a ),,(21 =α
是一种很
觉的表述。在不特别声明时我们说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.
例如:二维向量可以表示平面上一个点的坐标。三维向量可以表示空间里的一个点的坐标。四维以上的向量,四维以上的向量,没有具体的几何意义。但在研究中是常见的向量。
2.几个特殊的向量及与向量相关的概念
(1)分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. (2)分量全为零的向量,称为零向量。记为O 。
(3)相等向量:二个向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b b 21当且仅当i i b a =的时候,b a = (4)方程组的矩阵表示式中的向量:b x A =,方程组的解通常也直接表示成:βα
第三章 向量
的负向量,记为
向量的加法与数乘具有下列性质 :
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满足(1)—(8)的 运算称为线性运算。
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例1 设α1 1,1,0 , α2 0,1,1 , 3 3,4,0 ,求 31 22 3 . 解
31 22 3 31,1,0 2 0,1,1 3,4,0
和
为两向量组,其中
即 是对 各分量的顺序进行重 排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线 性相关性。
证 对任意的常数k1,k2,…,ks,
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上两式只是各分量的排列顺序不同,因此
当且仅当
所以
和
有相同的线性相关性。
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定理5
在r维向量组
的各向量添上n-r个分
量变成n维向量组
是矩阵的列到向量组.令
x11 x22 xnn 0
3 4
则 1 , 2 , , n 线性相关的充分必要条件是,存 在一组不全为零的实数 x1, x2 ,..., xn , 使得 3 4式 成立,即齐次线性方程组
x1 x A 2 0 xn
第三章 向量与向量空间
第一节 第三节 n维向量 线性相关性的判别定理
第二节 线性相关与线性无关 第四节 向量组的秩
n维向量空间
9 上一页 下一页 返 回
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
10 上一页 下一页 返 回
二、向量空间
定义3.5 所有的 n 维向量的集合,考虑到其上定
义的向量的加法及数乘两种运算满足规律(1)-(8), 称为实数域R上的n维向量空间,记为 Rn. 在向量空间上,我们可以类似定义向量的内积、
向量的长度、向量的夹角及向量的正交.
11 上一页 下一页 返 回
1. 向量的内积的定义及性质
定义3.6 设有 n 维向量
x1
x
x2
,
xn
y1
y
y2
,
yn
x 与 y 的内积 ( x, y) 定义为:
( x, y) x1 y1 x2 y2 xn yn
xT y
12 上一页 下一页 返 回
的负向量,记为 .
利用负向量,我们可以定义向量的减法:
a1 b1,a2 b2 ,...,an bn .
8 上一页 下一页 返 回
容易验证,向量的加法与数乘运算满足:
设 , , Rn;, R (1) ;
(2) ;
(3) 0 ;
注意:零向量与任何向量正交.
(2)若干个同维数的向量称为向量组
(3) 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向
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由基β1 β2 β3到α1, α2 , α3的过渡 矩阵为
181 13 19 4 63 P 1 9 13 2 99 10 7 4
线性代数
由此可得坐标变换公式
y1 x1 27 71 41 20 9 y 2 x2 = 9 x 4 12 8 y 3 3
(2) V中任一向量都能由α1, α2 , …,αm表出, 则称α1,α2, …,αm为空间V的一组基(或基底), m称为向量空间V的维数,记dimV=m,并称V 是数域P上的m维向量空间。
零空间的维数规定为零。
线性代数
注意:
1.向量空间的维数和该空间中向量的维数是两 个不同的概念。 2. 若把向量空间V看作一个向量组,那么它的 基就是 V 的一个极大线性无关组, dimV 就是 V 的秩。 3.若向量空间 V的维数是 m,那么 V中任意 m个 线性无关的向量都是 V的一组基;对于向量空 间V的任一子空间V1,dimV1≤dimV。
x1 y1 x2 y2 P x y m m y1 x1 x y2 1 2 P y x m m
线性代数
1 p11 1 p12 2 p1m m , p p p , 2 21 1 22 2 2m m m p m1 1 p m 2 2 p mm m .
记
p11 p12 P p 1m
解之,得
9 3 x1 , x 2 4, x3 2 2 于是向量在α基α1,α2, α3下的坐标为
9 ( , 2 3 4, ). 2
线性代数
3.4.3
基变换与坐标变换
•向量空间V的基不是唯一的,V中向量α在不同 的基下的坐标一般是不同的。 •下面讨论V中不同的两组基之间的关系与向量α 在不同的基下的坐标之间的关系。 设α1, α2 , …,αm与β1 β2 …,βm是向量空间V的两 组基,由基的定义,它们可以互相线性表出。用 α1, α2 , …,αm表示β1 β2 …,βm,则有
线性代数
例.对于向量空间Rn,基本单位向量ε1, ε2, …, εn就是它的一组基,有dimRn=n,则称Rn 为n维实向量空间。 例.在四维向量空间R4中,向量组α1=(0, 0,0,1), α2=(0,1,0,1), α3=(-1,2,0,1), α4=(1,0,2,1) 线性无关,所以它们也是 R4 的一组基。
181 13 19 4 x1 y1 63 x y 2 = 9 13 2 2 y 99 x 3 3 10 7 4
(3.4.3)
或
(3.4.4)
线性代数
(3.4.2)
(3.4.2)称为坐标变换公式。
线性代数
证
由题设
x11 x2 2 xm m
x1 (1 , 2 , , m ) x 2 x m y11 y2 2 ym m
线性代数
是向量空间,称为由向量α1, α2 , …,αm生成的向 量空间,记为L(α1, α2 , …,αm)。
线性代数
例3.4.3 如果向量组α1, α2 , …,αs与向量组 β1 β2 …,βr等价,则 L(α1, α2 , …,αs)=L(β1 β2 …,βr)
线性代数
3.4.2
基、维数与坐标
定义3.4.3 设V是数域P上的向量空间,向量α1, α2 , …,αmV,如果 (1) α1, α2 , …,αm线性无关;
线性代数
定义3.4.3 设α1, α2 , …,αm为向量空间V的 一组基,αV有
x11 x2 2 xm m
则称有序数组x1,x2, …,xm为向量α在基α1, α2 , …,αm下的坐标。记为(x1,x2, …,xm)。 由定理3.2.2,向量α的表示也是唯一的, 因此α基下α1, α2 , …,αm下的坐标也是唯一 的。
线性代数
在 n 维向量空间 V 中,零空间和空间 V 也是它的 子空间,称为它的平凡子空间,除此之外,V的 其他子空间称为它的非平凡子空间。 设α1, α2 , …,αm为一组n维向量,容易证明它的线 性组合
V k11 k2 2 km m | ki R,1 i m
线性代数
解 (1)取 R 中的基 T T T 1 (1, 0, 0) , 2 (0, 1, 0 ) , 3 (0, 0, 1) 则
3
1 2 3 (1 , 2 , 3) (1 , 2 , 3) 2 3 7 1 3 1
3 5 1 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 1 2 1 4 1 6
y1 y2 (1 , 2 , , m ) y m
由 (1 , 2 , , m ) (1 , 2 ,, m ) P
y1 y2 ( 1 2 n ) P y n
第三章 向量组的线性相关性
§3.1 向量的概念和运算 §3.2 向量组的线性相关性 §3.3 向量组的秩 §3.4 向量空间
线性代数
§3.4
向量空间
3.4.1
3.4.2 3.4.3
向量空间的概念
基、维数与坐标 基变换与坐标变换
线性代数
3.4.1
向量空间的概念
定义3.4.1 设V是数域P上的 n维向量的非空 集合,如果α,βV, kP满足
V , k V
则称集合V为数域P上的向量空间。
当P为实数域R时,称V为实向量空间, 当P为复 数域C时,称V为复向量空间。
线性代数
例3.4.1 实数域R上n维向量的全体Rn是 一个向量空间, Rn (a1 , a2 ,, an ) | ai R , i 1,2,, n 显然(0,0, …,0)Rn,所以Rn非空; α=(a1,a2, …,an), β=(b1,b2, …,bn)Rn及任 意实数k,有
A的行列式|A|=2≠0,所以α1,α2, α3线性 无关, 因此它们是R3的一组基。 设 x11 x2 2 x3 3 把α1,α2, α3代入,比较等式两端向量的 对应分量,可得线性方程组
线性代数
x1 x 2 x3 2 2 x3 3 2x x 5 2 1
则
线性代数
由向量α在基α1,α2 , …,αm下坐标的唯 一性, 得
x1 y1 x2 y2 P x y m m
或
y1 x1 x y2 1 2 P y x m m
是一个向量空间;
(2)集合
V2 (1, a2 ,, an ) | ai R,
i 2,3,, n
不是一个向量空间。
线性代数
定义 3.4.2 设 V1 , V2 是数域 P 上的两个向量空间,若 V1V2,则称V1是V2的子空间。 • V1 (0, a2 , , an ) | ai R, i 2,3, , n 是 n 维向量空间 Rn 的一个子空间; •实数域上任何 n 维向量的集合构成的向量空间都是 Rn 的子空间。 单独由一个零向量构成的集合{0}也是一个向量空间, 称为零空间。
证毕。
线性代数
例3.4.4
已知 R 中的二组基
T
3
1 (1, 2, 1)T 2 (2, 3, 3)T 3 (3, 7, 1)T;
1 (3, 1, 4)
2 (5, 2, 1)
T
3 (1, 1, 6)T。
(1) 求由基 α1, α2 , α3到β1 β2 β3的过渡矩阵 及坐标变换公式; (2) 求向量β=2β1 -β2 -β3 在基α1, α2 , α3下的 坐标; (3) 求由基α=α1-2α2 +4α3在基β1 ,β2, β3下的 坐标。
线性代数
例 3.4.4 设 α1=( 1,0,2), α2 =(1,0,1), α3 =(-1,2,0),证明α1,α2, α3是向量空间 的 3 R 一组基,并求向量 α=( 2,-3,5) 在这组基 下的坐标。
线性代数
证明
以向量α1,α2, α3为列向量做矩阵
1 1 1 A 0 0 2 2 1 0
(2) 由(3.4.3)式,向量β=2β1 -β2 -β3 在 基α1, α2 , α3下的坐标为
x1 27 71 41 2 58 20 9 1 11 x2 9 x 4 12 8 1 12 3
(a1 b1, a2 b2 , , an bn ) Rn
k (ka1 , ka2 ,, kan ) R n
故Rn,是一个向量空间。
线性代数
例3.4.2 (1)集合
Βιβλιοθήκη Baidu证明
i 2,3,, n
V1 (0, a2 ,, an ) | ai R,
27 71 41 (1 2 3 ) 9 20 9 4 12 8
线性代数
1
所以,由基 α1, α2 , α3到β1 β2 β3的过渡矩阵 为
27 71 41 P 9 20 9 4 12 8
p 21 p 22 p2m
p m1 pm 2 p mm
线性代数
由矩阵的乘法 (β1 β2 …,βm)=(α1,α2 , …,αm)P (3.4.1) 称P为由基(α1,α2 , …,αm) 到(β1, β2,…,βm) 的过渡矩阵, 式 (3.4.1) 称为由基 (α1,α2 , …,αm)到基 (β1 β2 …,βm)的基底变换公式
线性代数
定理:过渡矩阵P是可逆的 证 若不然,齐次线性方程组PX=O有非 T 零解,设其一个解为 (k1, k2 , km ) , 于是
k1 1 k 2 2 k m m
(1 , 2 , , m ) (1 , 2 , , m )P 0
线性代数
于是
1 2 3 3 5 1 (1 2 3 ) (1 2 3 ) 2 3 7 1 2 1 1 3 1 4 1 6
5 3 5 1 18 7 ( 1 2 3 ) 5 2 1 1 2 1 3 4 1 6 1 1
这意味着β1 β2 …,βm线性相关。
线性代数
定理3.4.1 设 α1, α2 , …,αm与β1 β2 …, βm是向量空间V的两组基, 由α1, α2 , …,αm 到β1 β2 …,βm的过渡矩阵为P,如果V中任 意元素α在这两组基下的坐标分别为(x1,x2, y1 …,xm)T与 ( ,y2, …,ym)T,则