数分试卷

浙江工业大学数学分析(二)期末试卷(A)09-06 班级 学号 姓名 成绩

一、填空题（21%）

1、封闭曲线θ3cos =r ??? ??≤≤-66

πθπ所围的面积是 。 2、反常积分?

∞++02312cos dx x x 是条件收敛还是绝对收敛？答： 。 3、级数ln 1

12n n ∞=∑是收敛还是发散？答： 。 4、幂级数1

(1)2n

n x n ∞=-∑的收敛域为 。 5、设)(x f 是以π2为周期的周期函数，在[)ππ,-上22)(x x f -=π，则其Fourier

级数的和函数)(x S 在π27处的值72S π??= ??? 。 6、设()22y x f z -=，其中f 可导，则=??+??y

z x x z y 。 7、函数 xyz z xy u -+=32在点)1,1,1(处的梯度为________________；在点)1,1,1(处沿

方向}2,1,0{=l 的方向导数为________________。

二、选择题（16％）

1、若),(y x f z =于点()00,y x 处可微，则下列结论错误的是 （ ）

（A ）),(y x f 于点()00,y x 处连续；

(B) ),(),,(y x f y x f y x 于点()00,y x 处连续；

(C ) ),(),,(y x f y x f y x 于点()00,y x 处存在；

(D) 曲面),(y x f z =在()),(,,0000y x f y x 处有切平面。

2、二重极限与累次极限之间的关系正确的是 （ ）

(A)若二重极限存在,则两个累次极限均存在且相等；

(B)若二重极限存在,且其中一个累次极限存在,则另一累次极限存在；

(C)若累次极限均存在但不相等,则重极限必不存在;

(D)若二重极限不存在,则两个累次极限中至少有一个不存在.

3、以下命题中正确的是： （ ）

(A) 若1()f x dx +∞

?收敛，则必有：lim ()0x f x →+∞

=； (B) 若级数∑∞=1

n n u 收敛，且1lim =∞→n n n u v ，则级数∑∞=1n n v 收敛。 (C) 若级数∑∞=1n n u ,∑∞

=1n n v 发散，则级数)(1n n n v u +∑∞

=发散。

(D)若正项级数1n n a ∞=∑收敛，则级数21n n a ∞

=∑收敛。

4、若级数∑∞=14n n

n a 条件收敛,则幂级数∑∞

=1n n n x a ： （ ） (A) 收敛半径4=R ； （B ）收敛半径4

1=

R ； （C ）在4-=x 处也收敛； （D ）在4-=x 处发散.

三、试解以下各题（24%） 1、 设(,)x z f xy y =，其中f 具有二阶连续偏导数，求z y ??，x

y z ???2。

2、判断函数项级数∑∞

=+-122cos )1(n n

nx x n 在) ,0(∞+内是否一致收敛.（需说明理由）

3、求22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值.

4、判别级数()∑∞=---111sin 121n n n n 的敛散性，如果收敛,需判断是绝对收敛还是条件收敛.

四、（8%）叙述以π2为周期且在],[ππ-上可积函数)(x f 的Fourier 系数﹑Fourier 级数及其收敛定理。

五、（8％）讨论反常积分21[ln(1)]p

x x +∞+?

的敛散性.

六、（8%）求幂级数() +?-++?+?--n

n n n x x x x 313332313322的收敛半径、收敛域以及和函数。

七、（8%）证明：函数()t a b x e t

a u 2

421--=π（a,b 为常数）满足热传导方程222x u a t u ??=??。

八、（7％）设0>n a ，试用级数的知识证明： 12lim 0(1)(1)(1)n n n a a a a →∞=+++ 。