超几何分布与项分布
超几何分布于二项分布的区别与联系
§超几何分布与二项分布的区别与联系1、二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1),0,1,2,...,.k k n k n P X k C p p k n -==-=此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～(,)n p ，并称p 为成功概率。
2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,2,...,.k N K M N M n NC C P X k k m C --⋅=== 此时称随机变量X 服从超几何分布。
注意：超几何分布中必须同时满足两个条件：一是抽取的产品不再放回去； 二是产品数是有限个为N （总数较少）.当这两个条件中任意一个发生改变，则不再是超几何分布.一、 当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布【例1】从含有3件次品的10产品中有放回地逐次取，每次取一个，取3次，用X 表示次品数。
（1） 求X 的分布列；（2） 求()E X 和()D X二、 当产品总数N 很大时，超几何分布变为二项分布【例2】 从批量较大的产品中，随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量ξ表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量ξ的数学期望()E ξ【例3】根据我国相关法规则定，食品的含汞量不得超过1.00ppm，沿海某市对一种贝类海鲜产品进行抽样检查，抽出样本20个，测得含汞量（单位：ppm）数据如下表所示：（1）若从这20个产品中随机任取3个，求恰有一个含汞量超标的概率；（2）以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体，若从这批数量很大的贝类海鲜产品中任选3个，记ξ表示抽到的产品含汞量超标的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ.()【例5】一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类。
超几何分布和二项分布
超几何分布和二项分布超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。
它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。
本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。
一、超几何分布的定义、特点和性质超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。
具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。
其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k) * (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。
超几何分布的特点有以下几点：1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。
3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。
超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。
二、二项分布的定义、特点和性质二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。
二项分布的特点有以下几点：1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。
二项分布、超几何分布与正态分布
(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形.( √ )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项
分布.( √ )
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取
到红球的个数X服从超几何分布.( × )
品质型民宿
6 16 4 10 11 10 9 12
民宿点 普通型民宿 品质型民宿
甲乙丙丁戊己庚辛 16 8 12 14 13 18 9 20 6 16 4 10 11 10 9 12
(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于 10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；
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第二部分
探究核心题型
题型一 二项分布
例1 (2023·广东大湾区联考)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机
器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是
1 4
，且一台机器的故障能由
一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，
方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙
知识梳理
(3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝ p ，D(X)＝ p(1－p) . ②若X～B(n，p)，则E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) .
知识梳理
2.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机 抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.
二项分布与超几何分布问题区别举例
二项分布与超几何分布问题区别举例文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)= nNk n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n MN2.二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n 次独立重复试中，事件A 恰好发生k 次的概率为：P(X=k)= C n kp k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X 服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;(3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布，但其期望是相等的.即：把一个分布看成是“二项分布”或“超几何分布”时，它们的期望是相同的.分布”和“二项分布”的这种“巧合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。
二项分布与超几何分布 知识的上下位关系
二项分布与超几何分布知识的上下位关系二项分布与超几何分布是统计学中两种重要的概率分布类型，它们在描述事件发生的概率分布时起着重要作用。
本文将从简单介绍二项分布和超几何分布的概念开始，再深入探讨它们之间的上下位关系，以帮助读者更好地理解这两种概率分布。
一、二项分布的概念和特点1. 二项分布是描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
其中，每次试验只有两种可能的结果，记为成功和失败。
2. 二项分布的概率质量函数可以用数学公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)来表示，其中n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
3. 二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)，当n较大时，二项分布可以近似为正态分布。
二、超几何分布的概念和特点1. 超几何分布描述了从有限大小N的总体中进行抽样后成功次数的概率分布。
与二项分布不同的是，超几何分布的抽样并非独立重复的。
2. 超几何分布的概率质量函数可以用数学公式P(X=k) = C(N, k) *C(N - n, n - k) / C(N, n)来表示，其中N表示总体中成功的个数，n 表示抽样的次数，k表示成功的次数。
3. 超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = nN/N, Var(X) = nN(N-n)(N-n-1) / N^2(N-1)，当N较大时，超几何分布也可以近似为正态分布。
三、二项分布与超几何分布的上下位关系1. 二项分布和超几何分布的关系在于都描述了成功次数的概率分布，但是二者的抽样方式不同，因此二项分布描述的是独立重复试验，而超几何分布描述的是有限总体中的抽样。
2. 当总体大小N固定，抽样次数n趋向于无穷大时，超几何分布近似于二项分布。
3. 当总体大小N趋向于无穷大时，超几何分布也可以近似为二项分布。
四、个人观点和理解在实际应用中，二项分布常用于描述独立重复试验的概率分布，如投掷硬币、赌博等；而超几何分布则常用于描述有限总体中的抽样分布，如抽样检验、质量抽检等。
关于二项分布与超几何分布问题区别举例
关于二项分布与超几何分布问题区别举例Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例一．基本概念 1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)=n Nk n MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n MN2.二项分布在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X=k)= C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别(1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。
因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 二．典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，． 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P YC ===．因此，Y 的分布列为例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(2) 记：X表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量 X服从超几何分布.解：(1) 记A1：取出3件一等品；A2：取出2件一等品；A3：取出1件一等品，二件三等品.A1、A2、A3互斥，P(A 1)= C 33C 103 = 1120 , P(A 2)= C 32C 71C 103 =740,P(A 3)= C 31C 72C 103 = 340 ; 所以，P =P(A 1)+ P(A 2)+ P(A 3)= 31120 .(2)X=0，1，2，3; X 服从超几何分布，所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310131413C C C C =310;P(X=1)=P （二件一等品，一件二等品） =3101423C C C =110; P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)=3101433C C C =130 ; P(X=3)= P （三件一等品，零件二等品）= 3100433C C C = 1120;EX = nM N = 3310=说明：谨防错误地认为随机变量X 服从二项分布，即：XB(3, 31120).例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X服从“二项分布”而不是“超几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为： P = 416 = 14，则XB(3,14 );P(X=0)= C 30( 14 )0(1- 14)3-0 = 2764; P(X=1)= C 31( 14 )1(1- 14)3-1 = 2764 ;P(X=2)= C 32( 14 )2(1- 14 )3-2 = 964 ;P(X=3)= C 33( 14 )3(1- 14 )3-3 = 164;EX = 3×14 = 34. 说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望”.那么X 服从“超几何分布”，即：P(X=k)= 3163124C C C k k ，(X=0,1,2,3)，其中,数学期望值不变，即为：EX= 3×416 = 34.。
超几何分布和二项分布的联系和区别
超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k) =nNk -n M-N k MCC C,，2,1,0k, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An)2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn kp p )1(Ck n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。
1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题; (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk -n M-N k MCC C,，2,1,0k, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn kp p )1(Ck n(k=0,1,2,…,n),温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。
二项分布与超几何分布的区别
二项分布与超几何分布
的区别
Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
二项分布与超几何分布的区别：
定义：若有N 件产品，其中M 件是废品，无返回．．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从超几何分布的。
概率为()k n K M N M n N
C C P X k C --==. 若有N 件产品，其中M 件是废品，有．返回．．
地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从二项分布的。
概率为()()1n k k k n P X k C p p -==-，其中M p N
=. 区别：（1）二项分布是做相同的n 次试验（n 次独立重复试验），
（2）当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布的对应概率就相等，换而言之超几何分布的极限就是二项分布。
在废品为确定数M 的足够多的产品中，任意抽取n 个（由于产品个数N 无限多，无返回与有返回无区别，故可看作n 次独立重复试验）中含有k 个废品的概率当然服从二项分布。
在这里，超几何分布转化为二项分布的条件是①产品个数应无限多，否则无返回地抽取n 件产品是不能看作n 次独立试验的.②在产品个数N 无限增加的过程中，废品数应按相应的“比例”增大，否则上述事实也是不成立的。
（3）实际上，在以样本估计总体时，从样本中无返回地任意抽取n 件，当然废品件数X 服从超几何分布的；而从总体中无返回地任意抽取n 件，理想认为．．．．
废品件数X 服从二项分布的。
超几何分布和二项分布
超几何分布和二项分布
超几何分布与二项分布是统计分析中常用的概率分布，它们通常
在不同的环境中应用。
深入了解这两种分布有助于我们理解统计模型，并精确地将现实世界与数学理论联系起来。
首先，超几何分布是一种分布，它描述了一件事情中事件发生的
概率。
这件事情可以是抛洒抛骰子，当抛n次投掷骰子时，超几何分
布就可以描述这次投掷中，某个特定的数字骰子的概率分布。
特别的，如果我们观察那些有共同特征的事件发生的情况，超几何分布可以描
述该情况的发生概率。
其次，二项分布是另一种分布，它是超几何分布的一般化。
也就
是说，二项分布是一种由n个独立试验组成的随机实验，每次试验能
返回True或False两种结果。
在该实验中，某种指定的结果“True”
发生的概率就是超几何分布，而当观察两个或更多事件发生的状况，
就将特征整合到二项分布中去了。
此外，超几何分布和二项分布都可以用于模拟不同事件的发生概率。
超几何分布用于模拟单次实验的发生概率，而二项分布则可以用
于模拟两个或更多事件发生的状况。
也就是说，超几何分布更偏向于
简单的一次实验，而二项分布则可以用来模拟现实世界更复杂的事件
发生概率。
最后，超几何分布和二项分布都是统计学中常用的概率分布形式。
超几何分布用于模拟单次实验的发生概率，适用于单一特征的实验；
二项分布则可以模拟多事件发生的情况，通常在多特征实验中使用。
理解这两种概率分布的基本原理和应用，将有助于理解统计模型，帮
助我们更准确地把现实世界与数学理论联系起来。
上课124超几何分布与二项分布ppt课件
例 4：二十世纪 50 年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到 污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒． 引起世人对食品安全的关注．《中 华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.00ppm．
ξ 可能的取值为 0，1，2，3，由 ξ～ B(3, 1) ， 3
其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P(ξ)
C
0 3
(
1) 3
0
(
2 3
)
3
C13
(
1 3Biblioteka )1(2 3)2
C
2 3
(
1 3
)
2
(
2 3
)1
C
3 3
(
1 3
)
3
(
2 3
)
0
由 ξ～ B(3, 1) ， 所以 Eξ=1. 3
条鱼，记 ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求 ξ 的分布列及 Eξ.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
解：（I）记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A
1求X的概率分布表； 2求去执行任务的同学中有男有女的概率.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
超几何分布、二项分布区别
则
P X k
CMk
C nk N M
CNn
k 0,1,2,,M
区分超几何分布及二项分布的使用
（1）逐次抽取，取后放回用二项分布 （2）一次性抽取（无放回、无顺序）用超几何分布 （3）在统计中，用频率估计概率，在总体中抽取用二项分布 （4）在统计中，在样本中抽取用超几何分布
常见数列通项求法 求an
（1）Sn与n关系式，例如： Sn n2 n或Sn n2 n 1 （2）Sn与an关系式（不含n），例如：Sn 1 2an
Sn1与Sn关系式（不含n），例如：a1 2,Sn1 2Sn 1
Sn与an1关系式（不含n），例如：a1
1 2
,Sn
1
2an1
（3）an1与an的关系式（不含 n，非等差等比）,例如a1 1,an1 2an 3
超几何分布、二项分布的区别与联系
超几何分布和二项分布都是离散型随机变量 的一种概率分布模型，一般以分布列的形式 体现其分布
二项分布：
（1）是在n次独立重复试验条件下的概率分布模型 （2）随机变量的取值是这n次独立重复试验中事件发生的次数，为0—n （3）每次试验的结果只有发生和不发生两种情况，且相互独立 （4）每次试验中事件发生的概率保持不变
错位相减法万能公式
差比数列 cn an bqn1 ,则其前n项和一定为： Sn An Bqn B
其中A a ,B b A q 1 q 1
注：本结论只能作为最后结果的检验，不能 作为解答过程。
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，每次试验中事件A
发生概率为p，记 X ~ Bn, p ，则
PX k Cnk pk 1 p nk
k 0,1,2,,n
超几何分布：描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽
【数学】超几何分布与二项分布的区别与联系
二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。
在实际应用中，如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢？本文笔者就此问题予以阐述。
一、超几何分布与二项分布的定义1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为P (X=k)=C M k C n－m n－kC Nn，k=0，1，2，…，m其中m=min {M,n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N*。
其分布列为超几何分布列。
如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。
2.一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X=k)=C n k P k（1-p ）n-k，k=0，1，2，…，n 。
此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率。
二、超几何分布与二项分布的区别从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果（不研究试验中先后取的顺序），并且是无放回的抽取；二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果，并且是有放回的抽取。
超几何分布是无放回的抽取，即每做一次试验，下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化，即每次发生的概率都不相等。
实质上，超几何分布是古典概型的一种特例。
二项分布是有放回的抽取，每做一次试验，发生同一事件A 的概率都相同。
这就是二者之间的区别。
本文笔者举例说明：例1：在装有4个黑球6个白球的袋子中，任取2个，试求：(1)不放回地抽取，取到黑球数X 的分布列；(2)有放回地抽取，取到黑球数的分布列。
解：（1）是不放回地抽取，X 服从超几何分布。
从10个球中任取2球的结果数为C 102，从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的结果数为C 4k C 62-k，那么从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的概率为P （X=k ）=C 4k C 62－kC 102，k=0，1，2。
项分布与超几何分布区别
项分布与超几何分布区别WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】二项分布与超几何分布辨析超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........例1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．例2．某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面的频率分布表，求①，②，③，④处的数值；80,150上的频率分布直（2）根据上面的频率分布表,在所给的坐标系中画出在区间[]方图;（3）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那100,120中的个体数为ξ,求ξ的分布么从总体中任意抽取3个个体,成绩落在[]列和数学期望．分组频数频率1235练习2.为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年广州亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次,得出茎叶图如图所示 （Ⅰ）从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑,你认为选派哪名运动员合适?（Ⅱ）若将频率视为概率,对甲运动员在今后3次比赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ。
例3．按照新课程的要求, 一班50形图所示．（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ；（II 次数恰好相等的概率；（III ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．（要求：答案用最简分数表示）练习3．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40,50]、[50,60]、…、[90,100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80]内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60]记0分，在[60,80]记1分，在[80,100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望。
二项分布和超几何分布的区别(含答案)
超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义2独立重复试验与二项分布的定义(1)独立重复试验．(2)二项分布．本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.【正解】（1）同上；从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。
超几何分布和二项分布的联系和区别
超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中 张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的答复就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1〕独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=n Nk-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n), 温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。
超几何分布和二项分布的联系和区别
超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处!一、两者的定义是不同的教材中的定义:(一)超几何分布的定义在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=nNk-nM-NkMCCC,Λ，2,1,0k=, m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N,称随机变量X服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An)2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n (k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。
1.本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k) =n Nk -n M -N kM C C C ,Λ，2,1,0k =, m, 二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n (k=0,1,2,…,n), 温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。
超几何分布与二项分布的区别课件
THANKS
超几何分布应用场景
有限总体、不放回抽样、成功与失败 事件
例如：从50件产品中随机抽取10件， 其中合格品3件，不合格品47件，求 抽取的10件产品中合格品的数量。
超几何分布特点
01
02
03
有限总体
超几何分布适用于从有限 总体中抽样的情况。
不放回抽样
超几何分布描述的是不放 回的抽样方式。
成功与失败事件
超几何分布适用于描述具 有成功与失败事件的情况， 其中成功事件的概率是已 知的。
ห้องสมุดไป่ตู้
03 二项分布介绍
二项分布定义
二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立重复的伯努 利试验中成功的次数。
公式表示为B(n, p)，其中n是试验次数，p是单次试验成功的 概率。
二项分布应用场景
例如，投掷硬币正面朝上的概率是p=0.5，那么投掷n次硬币出现正面的次数就 服从二项分布。
概率计算复杂度
超几何分布的概率计算相对复杂， 需要使用递归或模拟的方法；而二 项分布的概率计算相对简单，可以 直接使用公式计算。
应用场景上的区别
01
应用场景
超几何分布在有限总体且总体数量较大时使用，例如彩票中奖概率分析；
二项分布在无限总体或总体数量较小时使用，例如抛硬币试验。
02 03
适用范围
超几何分布在处理具有限制条件的数据时适用，例如在一定数量的商品 中随机抽取若干件；二项分布在处理具有独立重复试验特点的数据时适 用，例如多次抛硬币的结果。
课程目标
二项分布与超几何分布比较
二项分布与超几何分布比较文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-二项分布与超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。
在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的。
下面举例进行对比辨析。
1.有放回抽样:每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。
2.不放回抽样:取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型。
因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。
所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的(特别注意：二项分布是在n次独立重复试验的3个条件成立时应用的)。
超几何分布和二项分布的区别：（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）。
练习题：1.袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球。
求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列。
2.今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。
例如：家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等。
某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。
若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。
这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：（I2人是低碳族的概率；（II）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。
如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求.ξE3.在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.（Ⅰ）求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求ξ的分布列和数学期望．4.(2008年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．5.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布；(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．6.7.。
超几何分布、二项分布、正态分布[1]
![超几何分布、二项分布、正态分布[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/4a768413a76e58fafab0039e.png)
超几何分布、二项分布、正态分布1、超几何分布：一般地，若一个随机变量x的分布列为：P(x＝r)＝①其中r＝0，1，2，3，…… ，，＝min(n，M)，则称x服从超几何分布。
记作x～H(n，M，N)，并将P(x＝r)＝，记为H(r，n，M，N)。
如：在一批数量为N件的产品中共有M件不合格品，从中随机取出的n件产品中，不合格品数x的概率分布列如表一所示：(表一)其中＝min(n，M)，满足超几何分布。
2、伯努利试验(n次独立重复试验)，在n 次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对立的结果A与出现，P(A)＝p∈(0，1)，这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
P()＝1－p＝q，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率(0≤k≤n)为P(k)＝(k＝0，1，2，3，……，n)，它恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项。
3、二项分布：若随机变量x的分布列为p(x＝k)＝，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k ＝0，1，2，……，n，则称x服从参数为n、p的二项分布，记作x～B(n，p)。
如：n次射击中，击中目标k次的试验或投掷骰子n次，出现k次数字5的试验等均满足二项分布。
3、正态分布曲线。
(1)概率密度曲线：当数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，则称此曲线为概率密度曲线。
(2)正态密度曲线：概率密度曲线对应表达式为P(x)＝(x∈R)的曲线称之为正态密度曲线。
正态密度曲线图象特征：①当x＜μ时曲线上升；当x＞μ时曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线。
②正态曲线关于直线x＝μ对称。
③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡。
④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1。
4、正态分布：若x是一个随机变量，对任意区间，P恰好是正态密度曲线下方和x轴上上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量x服从参数为μ和σ的正态分布，简记为x～N(μ，σ2)。
二项分布和超几何分布的区别(含答案)
超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义2独立重复试验与二项分布的定义(1)独立重复试验．(2)二项分布．本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.【正解】（1）同上；从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。
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10超几何分布与二项分布•选择题（共9小题）则p （!< i 今）的值为（则 P ( 1^X €013)等于(A .—〔丄)20126. （2010?江西）一位国王的铸币大臣在每箱 100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在 10箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P 1和P 2.则（ ）A . P 1=P 2B . P 1V P 2C . P 1> P 2D .以上三种情况都有可能1. （2004?辽宁）已知随机变量E 的概率分布如下，则P （ e =io ）=（E123 456789P2 2 |22 222_2_1¥3334 3533s2B .2C . 131039mD.-3102. （2011?黄冈模拟）随机变量2、3、4、 …），其中a 是常数,r=2 +1，贝y n 的期望值是（-1L P1 2161 329 3&4.设随机变量X 的概率分布为 (k=1 , 2, 3, 4, 5),则P 绪g)A .亠 Io5.电子手表厂生产某批电子手表正品率为上，次品率为「现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品,E 的概率分布规律为(n=1、 A . 1B.3. （2008?石景山区一模）已知随机变量E 的分布列为且设A ■ JB • _C • _D •；[16 24^ 243 2458 （2012?衡阳模拟）已知随机变量严N （0, a2）,且p （4 1）=p （M a-3）的值为（）A . 2B . - 2 C. 0 D . 19. 设随机变量匕N （0, 1），若P （E翱=p,则P （- 1 v M 0）=（）A . 1- P B. P C. D •丄—p二•填空题（共5小题）10. ________________________________________________________________________________________________ （2010?上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 _____________________________________ . 11•有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为___________________________________ .12. ____________________________________________________________________________________ （2010?枣庄模拟）设随机变量X〜B （n，0.5），且DX=2，则事件X=1 ”的概率为_______________________________________________ （作数字作答.）13. 若随机变量X服从二项分布，且X〜B （10，0.8 ），贝U EX、DX分别是___________________________，____________ .14. （2011?浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为丄，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生3得到面试的公司个数.若P （X=0 ）=—，则随机变量X的数学期望E （X）= .12 --------------------------------------------------------三.解答题（共3小题）15. （2009?朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n （ 2《韦，且n希）个，其余的球为红球.（I ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（H ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；|15|（川）在（n）的条件下，从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分.用E表示取出的2个球所得分数的和，写出E的分布列，并求E的数学期望E E16 •某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2 •若从该批产品中任意抽取3件，(1)求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；(2)求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望.17. (2006?崇文区一模)某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战•假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为令现规定: 点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：(I)乙队以4: 3点球取胜的概率有多大？(II)设点球中乙队得分为随机变量三求乙队在五个点球中得分E的概率分布和数学期望.4•选择题（共9小题）考点： 离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式. 专题： 计算题.参考答案与试题解析1. （2004?辽宁）已知随机变量E 的概率分布如下，则P （ e =io ）=（ 2222 2 22 323335 3s3s3s10 mB.-310C .-39D.- 310考点：离散型随机变量及其分布列. 专题：计算题.分析：分析：由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出公比是丄的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案.3解答：解：•••由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，9个变量对应的概率组成一个首项是|•••根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是三公比是亍的等比数列,点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质, 的和，是一个综合题.在一个试验中所有的变量的概率之和是1,本题又考查等比数列2.（2011?黄冈模拟）随机变量E 的概率分布规律为 则的值为（) AB .193P 1 E =□' )=a11（n=1、2、3、4、…），其中a 是常数,C .D . 232368957•/ S+m=1 ,故选C .分析：估计所给的随机变量的分布列的特点，利用无穷等比递缩数列的各项之和写出所有的变量的概率之和，使它等于1，求出a的值，利用互斥事件的概率公式写出结果.解答：解：•••随机变量E的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），4••• P X 号)=P ( =) +P ( =2)故选C .点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是一个综合题目，在解题时一定要注意所有的变量的概率之和 的求法，注意应用分布列的性质.263A . 12 31-23a la=,=1,=-「2•■-= '23 29 gr=2 +1，贝y n 的期望值是(C.::考点： 分析： 离散型随机变量及其分布列.由题目中所给的变量的分布列得到变量 求出结果.E 的期望, 根据r=2+1关系，得到两个变量的关系， 代入E 的期望,解答:解：由表格得到 E E =-3 E n =E (2 E 1) =2E + 1=2 X(-g) +仁三 点评:6 23,故选C .本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，本题也可以这样来解，根据两个变量之间的关系 写出n 的分布列，再由分布列求出期望.设随机变量X 的概率分布为P (X=k )m(k=1, 2, 3, 4, 5),则p 魯吨)"k Ck+1)3B . 2 C. 1D . 5[To56考点： 专题： 分析：离散型随机变量及其分布列. 概率与统计. 由题意可得 P(X=1 ) +P (X=2 )+P(X=3 )+P(X=4 )+P(X=5 )=1,求出 m 的值，再根据 P (-<X<丄)=P 解答:(X=2 ) +P (X=3 ),进而求出答案. 解：因为所有事件发生的概率之和为 即P所以1,(X=1 ) +P (X=2 ) +P (X=3 ) +P ( X=4 ) +P (X=5 ) =1 ,)=1，即 m (1 —厂)=16所以 m=4.A .=( )所以 P (X=k ) =|( k=1 , 2, 3, 4, 5),5k (k+1) 则 P 〔丄丈妄；上)=P (X=2 ) +P (X=3 ) = § + § =2 .2 25X2X3 5X3X4 10故选A .点评：解决此类问题的关键是掌握所有事件发生的概率之和为1，进而求出随机变量的分布列即可得到答案.，次品率为一，现对该批电子手表进行测试，设第 X 次首次测到正品,412013••• P (1 議 <2013) =1 - P (X=0 ) =1 -(―)4故选B .本题考查n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题.6. (2010?江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在 10箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至 少一枚劣币的概率分别记为P 1和P 2.则( )A . P 1=P 2B . P 1V P 2C . P 1> P 2D .以上三种情况都有可能考点： 二项分布与n 次独立重复试验的模型；等可能事件的概率. 专题： 计算题；压轴题.分析： 每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件发现至少一枚劣币”的对立事件是没有劣币”概率好求.方法一概率为1 - 0.9910；方法二概率为1-(坐)5,做差比较大小即可.解答：解：方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为1，没有发现劣币的概率是 0.99,故至少发现一100枚劣币的总概率为 1 - 0.9910；方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为 1，总事件的概率为1 -(°9) 5,|50 |5q作差得P 1 P 2= (°9) 5-0.9910,由计算器算得 P 1 P 2V 050• P 1 V P 2.故选B点评： 本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率冋题，以及利用概率知识解决冋题的能力.7. (2011?潍坊二模)设X 为随机变量，X 〜B (E * )，若随机变量X 的数学期望EX=2，则P( X=2 )等于()A . 113B .4C. 13 D .1 80[16 243 243 2435•电子手表厂生产某批电子手表正品率为则 P ( 1^X €013)等于(A .14考点： 专题： 分析： 解答:超几何分布. 概率与统计.先求出P (X=0),即第 0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论.解：由题意,P (x=o ) =(2)2皿4点评:考点： 二项分布与n 次独立重复试验的模型. 专题： 概率与统计. 分析：根据X 为随机变量，X 〜B (口，1)和求服从二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到n 的值，再根3据二项分布概率公式得到结果.解答： 解：•••随机变量X 为随机变量，X 〜B (m 士)，•其期望 EX=np=Zn=2, • n=6 ,• P (X=2) _C 舟］1 ) 2 (I-】)攻_ % .(丿 J 厂 3 3|243故选D .点评： 本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的 过程，但是两者都要用到期望和方差的公式.8 (2012?衡阳模拟)已知随机变量 严N (0, a 2),且p ( A 1) =p ( M a -3)的值为()A . 2B . - 2C . 0D . 1考点：二项分布与n 次独立重复试验的模型. 专题：计算题；概率与统计.分析：利用正态曲线的对称性，可得曲线的对称轴是直线x=0 ,由此可得结论.解答：解：由题意，•••严N (0, a 2), •••曲线的对称轴是直线 x=0 ,••• p ( A 1) =p ( M a - 3) •- a — 3+1=0 a=2故选A .点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题.孑N (0, 1)，若 P ( E 翱=p ,则 P (— 1 v M 0)=(B . pC . 1考点：二项分布与n 次独立重复试验的模型. 专题：概率与统计.分析：随机变量E 服从标准正态分布 N (0, 1),知正态曲线关于 x=0对称，根据P ( =p ，得到P (1> A 0) =± — p ，再根据对称性写出要求概率.•正态曲线关于x=0对称,••• P ( U) =p ,• P (1 > > 0)=丄—p ,故选D .点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题的主要依据是曲线的对称性，这种问题可以出现 在选择或填空中. 二•填空题(共5小题)10. (2010?上海模拟)在10件产品中有2件次品，任意抽取 3件，则抽到次品个数的数学期望的值是9•设随机变量 A . 1 — p解答：解：•• •随机变量E 服从标准正态分布N (0, 1),1v M 0)考点：超几何分布；离散型随机变量的期望与方差.专题：计算题.分析：设抽到次品个数为E贝U〜H ( 3 , 2 , 10),利用公式E2，即可求得抽到次品个数的数学期望的值.N解答：解：设抽到次品个数为E,则〜H (3 , 2 , 10)• E jnM 5X2 3 "10 ~5故答案为：上点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解.11 •有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为二考点：超几何分布.专题：概率与统计.分析：从10件产品任取3件的取法共有c£，其中所取的三件中至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为.利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出.解答：解：从10件产品任取3件的取法共有匚补，其中所取的三件中至少有2件次品”包括2件次品、3件次品,10取法分别为因此所求的概率P=故答案为丄.3本题考查了互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式，属于基础题.点评:12. (2010?枣庄模拟)设随机变量X〜B (n, 0.5),且DX=2，则事件X=1 ”的概率为二^一(作数字作答.) 考点：二项分布与n次独立重复试验的模型.专题：计算题.分析：由随机变量X〜B (n, 0.5),且DX=2，知n >0.5 X( 1 - 0.5) =2，解得n=8.再由二项分布公式能够导出事件X=1”的概率.解答：解：•••随机变量X〜B (n, 0.5),且DX=2 ,••• nX0.5>( 1 - 0.5) =2,••• n=8.• p (x=1) =c；x 0.5X (1-0.5) 1~.故答案为：_•32点评：本题考查二项分布的性质和应用，解题时要注意二项分布方差公式D手np (1 - p)的灵活运用.13 .若随机变量X服从二项分布，且X〜B (10, 0.8),则EX、DX分别是8 , 1.6 .考点：二项分布与n次独立重复试验的模型.专题：计算题.分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量，做出概率.解答：解：•/ X服从二项分布X〜B (n10, 0.8)由E e=10X).8=8 ,①D 手仁np (1 - p) 10X0.8X0.2=1.6 ,②故答案为8; 1.6点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式.14. (2011?浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为丄，得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记三.解答题(共3小题)X为该毕业生得到面试的公司个数.若P (X=0 )=12，则随机变量X的数学期望E ( X)=上考点：专题：分析：解答: 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.计算题.根据该毕业生得到面试的机会为o时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望.解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0, 1 , 2, 3, 1~，2 1P，•/ P (X=0 )•••护-卩):P==，点评:X的可能取一二一X2X2=12—耳下2 23 25一二二.•二=丄二丄一 -亠二丄=3 2 2 ■ 312 12 12 12?4 5 9=-53本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是础题目.(x=1 )(X=2 )(X=3)故答案为:=12 12'个基215. （2009?朝阳区二模）在袋子中装有 10个大小相同的小球，其中黑球有 3个，白球有n （ 2《韦，且n 希）个， 其余的球为红球.（I ）若n=5,从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有 2个红球的概率；（H ）从袋里任意取出 2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； 15（川）在（n ）的条件下，从袋里任意取出 2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分.用E 表示取出的2个球所得分数的和，写出E 的分布列，并求 E 的数学期望E E.超几何分布；n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率；离散型随机变量的期望与方差. 综合题.（I ）先求出从袋中任取 1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有 2个红球的概率；（n ）根据从袋中一次任取 2个球，如果这2个球颜色相同的概率是 -生建立等式关系，求出n 的值，从而 15 求出红球的个数.（川）E 的取值为2, 3, 4, 5, 6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之 即可；本题以摸球为素材，主要考查相互独立事件的概率的求法，考查了离散型随机变量的期望与分布列，解题 的关键是正确利用公式求概率.16•某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为 P=0.2 •若从该批产品中任意抽取 3件 （1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2） 求取出的3件产品中次品的件数 X 的概率分布列与期望.考点： 专题： 分析：解答:解：（I ）设从袋中任取1个球是红球”为事件A ，则二$ i 丄.所以,P 3 ⑵二 c”2 4125 125答：三次取球中恰有 2个红球的概率为12 …（4分）125（n ）设从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B ,7?7P ⑹5+J+C TF 」（690C 2 u 10整理得：n 2- 7n +12=0,解得n=3 （舍）或n=4.所以，红球的个数为 3个.••- （8分）15（川）E 的取值为2, 3, 4, 5, 6，且P 二2）r l r l^10所以所以,C1DE 的分布列为2261 51 QA1111 Q吐曲磊十弼寻十4購十5电E 寻老.…（13分）点评:x=2 …（2 分）（4分）2） •/ X 可能为 0, 1 , 2本题以实际问题为载体，考查等可能事件的概率，考查随机变量的期望与分布列，难度不大.17. (2006?崇文区一模)某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取 这样的战术：顽强防守，0： 0逼平甲队进入点球大战.假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为上•现规定:4点球大战中每队各出 5名队员，且每名队员都各踢一球，求： (I) 乙队以4： 3点球取胜的概率有多大？ (II)设点球中乙队得分为随机变量三求乙队在五个点球中得分 E 的概率分布和数学期望.(I)根据相互独立事件的概率公式以及 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率公式进行求解即可；(II)点球中乙队得分为随机变量 E 的取值可能为0, 1, 2, 3, 4, 5,然后根据n 次独立重复试验中恰好发 生k 次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可.解：(I )乙队以4: 3点球取胜的概率为 P=： 1'：'54考点： 二项分布与n 次独立重复试验的模型；离散型随机变量的期望与方差. 专题： 计算题. 考点： 专题： 分析：超几何分布；离散型随机变量的期望与方差. 应用题. 设该批产品中次品有x 件，由已知丄—，，可求次品的件数(1)设取出的3件产品中次品的件数为 (2)取出的3件产品中次品的件数 XQ 1匚 X , 3件产品中恰好有一件次品的概率为v10可能为0, 1, 2,求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望.715解答:解：设该批产品中次品有 x 件，由已知(1)设取出的3件产品中次品的件数为X , 3件产品中恰好有一件次品的概率为：'■::]_7c 3 v1015r 3 （X=05 =—^-='cio的分布为：X 0 12 p7 7115则丄+卩丄」15 2 15- 3 5 • （13 分）点评: 解答:=0.1043(II )点球中乙队得分为随机变量 E 的取值可能为0,1, 2, 3,p （e=0）=c| 中210,p ( e=1)=」15 =尹，P2!3=2）= F 二4529…(10分)召P 〔X 二1)lb.X分析:点评:243229+4心」-+5宀本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及二项分布与计算能力，属于中档题.0 1••• E的分布列为E 3451354052432 10 2 10=3.75n次独立重复试验的模型，同时考查了2。