第1讲 平面直角坐标系(教师版)

第1讲平面直角坐标系【例1】在平面直角坐标系中，对于点P(2，5)，下列说法错误的是()A．P(2，5)表示这个点在平面内的位置B．点P的纵坐标是5C．它与点(5，2)表示同一个点D．点P到x轴的距离是5【答案】C【详解】根据点P(2，5)，可知：A．P(2，5)表示这个点在平面内的位置，故此选项错误；B．点P的纵坐标是5，故此选项错误；C．它与点(5，2)表示的不是同一个点，故此选项正确；D．点P到x轴的距离是5，故此选项错误．故选：C．【例2】学完了“平面直角坐标系”后，贝贝同学在笔记本上写了下列一些体会：①如果一个点的横，纵坐标都为零，则这个点是原点；②如果一个点在x轴上，那它一定不属于任何象限；③纵轴上的点的横坐标均相等，且都等于零；④纵坐标相同的点，分布在平行于y轴的某条直线上．其中你认为正确的有(把正确的序号填在横线上)．【答案】①②③．【详解】①说法是正确的，这是原点的特点．②x轴上的点不属于任何象限，这是平面直角坐标系的特点，正确．③纵轴上的点的横坐标都为0，而0既不是正数，也不是负数，正确．④纵坐标相同的点，分布在平行于x轴的某条直线或者就是x轴，故④错误．【例3-1】在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是()A．(2，3)B．(-2，1)C．(2，-3)D．(-3，-2)【答案】C【详解】第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负，只有选项C符合条件，故选C．【例3-2】在平面直角坐标系中，点(-3，3)所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】∵点(-3，3)的横坐标是负数，纵坐标是正数∴点在平面直角坐标系的第二象限，故选B．【例4-1】(1)已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是；(2)若(x-y-1)2+|3x+2y-1|=0，则点P(x，y)在第象限；(3)如果点M(a，b)在第二象限，那么点N(b，a)在第象限．【答案】(1)(3，4)；(2)四；(3)四．【详解】(1)∵P点位于y轴右侧，x轴上方，∴P点在第一象限，又∵P点距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，∴P点横坐标为3，纵坐标为4，即点P的坐标为(3，4)；(2)∵(x-y-1)2+|3x+2y-1|=0，∴x−y−1=0，3x+2y−1=0，解得x=0.6，y= -0.4，∴点P(x，y)在第四象限；(3)∵点M(a，b)在第二象限，∴a＜0，b＞0，∴点N(b，a)的坐标符号是(+，-)，∴点N(b，a)在第四象限．【例4-2】(1)如果P(m+3，2m+4)在y轴上，那么点P的坐标是；(2)在平面直角坐标系中，如果mn＞0，那么点(m，|n|)一定在第象限；(3)如果点(a，b)在第二象限，那么(-a，b)在第象限．【答案】(1)(0，-2)；(2)一、二；(3)一．【详解】(1)∵P(m+3，2m+4)在y轴上，∴m+3=0，解得m= -3，2m+4= -2，∴点P的坐标是(0，-2)；(2)∵mn＞0，∴m和n同号，当m和n都是正数时，m＞0，|n|＞0，则点在第一象限，当m，n都是负数时，m＜0，|n|＞0，则这个点在第二象限，∴点(m，|n|)一定在第一象限或第二象限；(3)点(a，b)在第二象限，则a＜0，b＞0，那么(-a，b)中，-a＞0，b＞0，故(-a，b)在第一象限．【例5】将平面直角坐标系内某个图形各点的横坐标都乘以-1，纵坐标不变，所得图形与原图形的关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．两图形重合【答案】B【详解】由题意得：两个图形中对应两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，则这两点关于y轴对称，那么所在的图形关于y轴对称，故选B．【例6】将点(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，-1)，(3，0)，(4，-2)，(0，0)，在下面的平面直角坐标系A中描出，并将点顺次连接．做如下变化：(对以下问题请将图形代码填入相应的括号内)(1)横坐标保持不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案是________；(2)纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案是_______．【答案】见详解．【详解】根据题意在平面直角坐标系A描出的图案如下图；(1)所得到图案为B；(2)所得到的图案为C．【例7-1】如图所示，若在某棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点(1，-2)，“象”位于点(3，-2)，则“炮”位于点()A．(1，3) B．(-2，1) C．(-2，2) D．(-1，2)【答案】B【详解】以“将”位于点(1，-2)为基准点，则“炮”位于点(1-3，-2+3)，即(-2，1)．故选B．【例7-2】如图是某学校的平面示意图，在8×8的正方形网格中，如果实验楼所在位置的坐标为(-2，-3)．(1)请画出符合题意的平面直角坐标系；(2)在(1)的平面直角坐标系内表示下列位置：旗杆_____，校门_____，图书馆_____，教学楼______．【答案】见详解．【详解】(1)建立平面直角坐标系如图所示；(2)旗杆：(0，0)，校门：(-4，0)，图书馆：(-5，3)，教学楼：(-1，2)．【例8-1】(1)已知点P(3a-8，a-1)，若点P在y轴上，则点P的坐标为______；(2)已知点M(2x-3，3-x)在第一象限的角平分线上，则M坐标为______．【答案】(1)(0，53)；(2)(1，1)．【详解】(1)∵点P(3a-8，a-1)在y轴上，∴3a-8=0，解得a=83，∴a-1=83-1=53，点P的坐标为(0，53)；(2)∵点M(2x-3，3-x)在第一象限的角平分线上，∴2x-3=3-x，∴x=2，∴2x-3=2×2-3=1，∴点M的坐标为(1，1)．【例8-2】(1)已知P点坐标为(2a+1，a-3)，点P在x轴上，则点P的坐标为______；(2)已知点P(2m-5，m-1)，当m=______时，点P在二、四象限的角平分线上．【答案】(1)(7，0)；(2)2．【详解】(1)点P在x轴上则其纵坐标是0，即a-3=0，a=3，则点P的坐标为(7，0)；(2)∵点P在第二、四象限的夹角角平分线上，∴2m-5+(m-1)=0，解得：m=2．【例8-3】(1)若P(a+2，a-1)在y轴上，则点P的坐标是______；(2)点P(2m-1，-m-1)在第三象限，则整数m=______，此时点P到x轴距离为______．【答案】(1)(0，-3)；(2)0，1．【详解】(1)∵P(a+2，a-1)在y轴上，∴a+2=0，解得a= -2，∴点P的坐标是(0，-3)；(2)∵点P(2m-1，-m-1)在第三象限，∴2m-1＜0，-m-1＜0，解得-1＜m＜0.5，∴整数m=0，∴点P的坐标为(-1，-1)，∴此时点p到x轴距离为|-1|=1．【例8-4】(1)已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是______；(2)已知点A(1，2a+2)到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为______．【答案】(1)(-3，-2)；(2)0或-2．【详解】(1)∵第三象限内点的横坐标＜0，纵坐标＜0，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，∴点P的纵坐标为-2，横坐标为-3，因而点P的坐标是(-3，-2)；(2)∵点A(1，2a+2)到x轴的距离是到y轴距离的2倍，∴|2a +2|=2×1，∴2a +2=2或2a +2= -2，解得a =0或a = -2．【例9】如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是(0，1)的点有1个；②“距离坐标”是(5，6)的点有4个；③“距离坐标”是(a ，a )(a 为非负实数)的点有4个．其中正确的有( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【详解】如上图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ， 若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负数实数对(p 、q )是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列两个结论：(Ⅰ)若pq ≠0，则“距离坐标”为(p 、q )的点有且仅有4个；(Ⅱ)若pq =0，且p +q ≠0．①p =0，q =1，则“距离坐标”为(0，1)的点有且仅有2个；故此选项①“距离坐标”是(0，1)的点有1个错误；②得出(5，6)是与l 1距离是5的点是与之平行的两条直线 与l 2的距离是6的也是与之平行的两条直线，这四条直线共有4个交点．所以此选项正确；③易知若a =0，坐标点在l 1与l 2的交点上，所以只有1个这样的点，故此选项错误； 故正确的有1个；故选B ．【例10】某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第n 棵树种植在点P n (x n ，y n )处，其中x 1=1，y 1=1，当n ≥2时，111215([][])5512[][]55n n n n n n x x n n y y ----⎧=+--⎪⎪⎨--⎪=+-⎪⎩，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2009棵树种植点的坐标为( )A ．(4，2010)B ．(5，2009)C ．(4，402)D ．(5，401)【答案】C ．【详解】当n =1时，P 1=(1，1)；当2≤n≤5时，P2，P3，P4，P5的坐标分别为(2，1)、(3，1)、(4，1)、(5，1)；当n=6时，P6=(1，2)；当7≤n≤10时，P7，P8，P9，P10的坐标分别为(2，2)、(3，2)、(4，2)、(5，2)；当n=11时，P11=(1，3)；当12≤n≤15时，P12，P13，P14，P15的坐标分别为(2，3)、(3，3)、(4，3)、(5，3)…通过以上数据可以得出：当n=1+5x时，P n的坐标为(1，x+1)，而后面四个点的纵坐标均为x+1，横坐标则分别为2，3，4，5．因为2009=1+5×401+3，所以P2009的横坐标为4，纵坐标为402．故本题选C．课后练习1、关于平面直角坐标系的描述，下列说法错误的是( )A．x轴、y轴不属于任何象限B．平面直角坐标系中有四个象限C．平面内两条互相垂直的数轴就能组成平面直角坐标系D．横轴与纵轴的交点称为原点2、在平面直角坐标系中，下面的点在第一象限的是()A．(1，2)B．(-2，3)C．(0，0)D．(-3，-2)3、(1)第二象限内的点P(x，y)满足|x|=5，y2=4，则点P的坐标是；(2)在平面直角坐标系中，点A(2，m2+1)一定在第象限；(3)如果点M(a+b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第象限．4、将如图各点纵坐标不变，横坐标乘以2，所得图形与原图形比()A．形状大小变了，整体鱼被横向拉长为原来的2倍B．形状大小变了，整体鱼被纵向拉长为原来的2倍C．形状大小不变，整体鱼向右移动了两个单位D．形状大小不变，整体鱼向左移动了两个单位5、如图是坐标系的一部分，若M位于点(2，-2)上，N位于点(4，-2)上，则G位于点()上．A．(1，3) B．(1，1)C．(0，1) D．(-1，1)6、(1)已知点P(a-1，3a+6)在y轴上，求点P的坐标；(2)已知点A(2m+1，m+9)在一三象限角平分线上，求点A的坐标．7、(1)已知两点A(-3，m)，B(2m，4)，且A和B到x轴距离相等，求B点坐标．(2)点A在第四象限，当m为何值时，点A(m+2，3m-5)到x轴的距离是它到y轴距离的一半．【思维拓展】1、定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非实数对(a，b)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为(2，3)的点的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案课后练习1.C．2.A．3.(1)(-5，2)；(2)一；(3)三．4.A．5.C．6.(1)(0，9)；(2)(17，17)．7.(1)(8，4)，(-8，4)；(2)8/7．思维拓展1.D．。