不等式的解法(学生、答案)
不等式的解法典型例题及详细答案
不等式的解法·典型例题【例1】 (x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】 解以下不等式： 【例3】 解以下不等式【例4】 解以下不等式： 【例5】 |x 2-4|＜x+2．【例6】 解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．不等式·典型例题参考答案【例1】 (x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，那么一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法〞求解，但要注意处理好有重根的情况．原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】 用“穿针引线法〞解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②但注意“奇穿偶不穿〞．其法如图(5－2)． 【例2】 解以下不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法〞∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． 〔2〕【例3】 解以下不等式解： (1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于【说明】 解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．【例4】 解以下不等式： 解：(1)原不等式等价于令2x =t(t ＞0)，那么原不等式可化为 (2)原不等式等价于∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】 |x 2-4|＜x+2．解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】 解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 (2)当0＜a ＜1时，②等价于。
不等式解题方法
不等式解题方法一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。
这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1 D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。
高职高考复习精品习题：不等式的解法(含答案)
不等式的解法一、 选择题：1、下列语句中正确的是（ ）A 、若b a >，b c >，则c a >B 、若b a >，则22bc ac >C 、若b a >，则c b c a ->-D 、若b a >，d c >，则bd ac > 2、不等式62<≤-x 用区间表示为 （ ）A 、]6,2[-B 、]6,2(-C 、)6,2[-D 、)6,2(- 3、不等式362≤x 的解集是（ ）A 、}6{±≤x xB 、}66{≤≤-x xC 、}66{<<-x xD 、}6{-≤x x 4、不等式0542>+-x x 的解集是（ ）A 、),(+∞-∞B 、),5()1,(+∞--∞C 、∅D 、),1()5,(+∞--∞ 5、不等式032≤-x x的解集是 （ ）A 、]0,3(-B 、)3,0[C 、]3,3(-D 、)3,3[- 6、不等式0)2)(1)(2(<--+x x x 的解集是（ ）A 、)2,1()2,( --∞B 、),2()1,2(+∞-C 、)2,(--∞D 、)2,1( 7、不等式35>+x 的解集是（ ）A 、}88{<<-x xB 、}22{<<-x xC 、}22{>-<x x x 或D 、}28{->-<x x x 或8、若不等式02<++q px x 的解集是}23{<<-x x ，则p ，q 的值分别是（ ）A 、2-，3B 、1，6-C 、1-，6-D 、1-，6 二、填空题：1、若))((232b x a x x x --=+-，则=+b a2、关于x 的方程1)(32+-=-k x k x 的解是负数，则k 的取值范围是3、不等式组⎩⎨⎧≥>12x x 的解集用区间表示为4、若方程0)1(2=+-+m mx x 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是三、解答题：1、解下列不等式或不等式组： （1）1234+>+xx（2）⎪⎩⎪⎨⎧>+≤053121x x（3）0652≥--x x（4）211<+-x x2、证明：当1>a 时，123+->a a a3、解含绝对值不等式： 412<-++x x【参考答案】一、选择题：二、 填空题：1、 32、 21<k 3、),2(+∞ 4、2-≠m 三、解答题：1、（1）解：不等式两边同时乘以6，得63)4(2+>+x x2->-x2<x ∴原不等式的解集为)2,(-∞ （2）解：由①得 2≤x由②得 35->x∴原不等式组的解集为]2,35(-（3）解：0)6)(1(≥-+x x由0)6)(1(=-+x x 得6,121=-=x x ∴原不等式的解集为),6[]1,(+∞--∞（4）解：0211<-+-x x 整理得013<+--x x 013>++∴x x 0)1)(3(>++∴x x由0)1)(3(=++x x 得1,321-=-=x x∴原不等式的解集为），（），（∞+--∞-132、证明：)1(23+--a a a123-+-=a a a)1()1(2-+-=a a a )1)(1(2+-=a a1>a 01>-∴a 而012>+a0)1)(1(2>+-∴a a123+->∴a a a3、解：当2-≤x 时，原不等式化为412<-+--x x解得25-<x这时，25-<x当12≤≤-x 时，原不等式化为412<-++x x 即43<这时，12≤≤-x当1≥x 时，原不等式化为412<-++x x解得23<x这时，231<≤x综上所述，原不等式的解集为)23,2[)25,(---∞。
常见不等式的解法--高考数学【解析版】
专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。
不等式的解法
解析：∵|x＋1|＞2，∴x＋1＞2或x＋1＜－2，x＞1或x
2．(2011· 乐山质检)不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为
__________．
解析：|2x－1|－|x－2|＜0⇔|2x－1|＜|x－2| ⇔(2x－1)2＜(x－2)2⇔4x2－4x＋1＜x2－4x＋4 ⇔3x2＜3⇔－1＜x＜1.
答案：{m|m＜1}
若不等式解集为R，则m的范围为________． 解析：∵－1≤f(x)≤1，f(x)min＝－1，∴m＜－1.
答案：{m|m＜－1}
[归纳领悟] 对形如|x－a|＋|x－b|＜c或|x－a|－|x－b|＞c的不等 式，由于它们分别表示数轴上的点x到a，b点的距离之 和或距离之差，因而利用不等式的几何意义去解不等式， 更为直观、简捷.
(2)|x|>a⇔ x<－a或x>a (a>0)； (3)|f(x)|≤g(x)⇔ －g(x)≤f(x)≤g(x) ； (4)|f(x)|≥g(x)⇔ f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x) ．
[题组自测]
1．(2010· 广西桂林一模)不等式|x＋1|－2＞0的解集是
( A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) ＜－3. 答案：C B．(－1,3) D.(－3,1) )
1 则当 a＝ 时，原不等式解集为{x|x＞－1，且 x≠2}． 2 1 1 当 0＜a＜ 时，原不等式解集为{x|x＞a或－1＜x＜2}； 2 1 1 当 a＞ 时，原不等式解集为{x|－1<x<a或 x>2}． 2
若将a≥0改为a＜0，其它条件不变，解不等式． 1 解：因 a＜0 时，原不等式等价于(x－a)(x＋1)(x－2)＜0.
不等式的解法
7．指数不等式与对数不等式的解法 (1)当 a＞1 时，af(x)＞(＜)ag(x) ⇔f(x)＞(＜)g(x) (2)当 0＜a＜1 时，af(x)＞(＜)ag(x) ⇔f(x)＜(＞)g(x) (3)当 a＞1 时，logaf(x)＞(＜)logag(x)
fx＞0 ⇒gx＞0 fx＞＜gx
典 例 对 对 碰 题型一 一元二次不等式的解法 例 1 已知不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解为 0＜α＜x＜β，求不等式 cx2＋bx＋a＞0 的解集．
因不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解为 0＜α＜x＜β， 所以 a＜0， b c 2 且方程 ax ＋bx＋c＝0 的两根为 α、 β.所以 α＋β＝－ ＞0， β＝ ＞ α· a a c b 0，所以 ＞0， ＜0，又 a＜0，所以 c＜0. a a 设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根为 x1 与 x2， 由韦达定理 b －b －a x1＋x2＝ ＝ c c a α＋β 1 1 ＝ ＝ ＋ ； α· β α β a 1 1 11 x1·2＝ ＝ ＝ ＝ · x c c α· α β β a 解析
(4)当 0＜a＜1 时，logaf(x)＞(＜)logag(x)
fx＞0 ⇔gx＞0 fx＜＞gx
解指数不等式与对数不等式时首先要保证不等式有意义，然后 化为同底幂或同底对数形式，去对数符号时要注意底数 a 的范围， 从而判断不等号方向是否关键，也是难点， 常用函数的单调性去“f ”，另外注意保证 f(x)有意义.
5．解高次不等式与分式不等式需注意 (1)根据多项式理论，每个一元多项式都可以分解为一些一次、 二次因式的乘积，其中二次因式恒正或恒负，因此高次不等式都可 转化为一些一次因式的乘积的不等式，然后采用数轴标根法完成． (2)有些高次不等式因式分解后，可能会出现重因式，由于奇次 重因式的符号与一次因式的符号一致，因此奇次重因式可以直接改 写为一次因式；如果是偶次重因式，则分偶次重因式等于 0 和大于 0 两种情形讨论． (3)大部分分式不等式转化为整式不等式后， 实际上就是转化成 了高次不等式，用高次不等式的解法求解即可． (4)对于右边不为零的分式不等式的求解， 一般是通过不等式两 边加上同一个数(或式)使右边变为 0， 然后采用以上方法求解， 切忌 将左边的分母不讨论符号直接乘到右边，进行去分母． (5)分解的各个因式中，x 的系数须为正数． (6)画曲线遵循“从右至左，自上而下”的原则．
不等式解法(全部)
1.（x－1）x－2）＞0 ； （
（ x－3）＜ 0； 4. x2－2x－3 ＜ 0 . 3.（x＋1）
x2-3x+2 ＜0. 解不等式 2 x -2x-3
解: 原不等式可化为 （x－1）x－2） （ ＜0. （ （x＋1） x－3）
即 （x－1） （x－2） （x＋1） （x－3）＜0. 根据数轴标根法，
所以，当a>1时，原不等式的解集为{x|a≤x<a2};
当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x ≤a}.
logx 2 (x 2) 1
A {x | logx (5x 8x 3) 2}
2
底 数 不 型 logx0.8<1
确
定
B {x | x 2x 1 k 0}
M loga N = logaM-logaN
logaMn= nlogaM
1 log a M loga n M = n log b N (b 0且b 1) 3、换底公式：logaN= log b a 4、定义域： （0，+∞） 值域：R
5、单调性：（1）a>1时，为 增
（2）0<a<1时，为 减
例题分析：
例题1. 解不等式
例题2.
| x – 500 | ≤5 解不等式 | 2x+5 | > 7 | 5x-6 | < 5 - x
例题3. 解不等式4 〈 | 1-3 x | ≤ 7 例题4. 解不等式 例题5. 例题
| 2x+1 |> | x+2 |
| 5x-6| > 5-x
课堂练习：
(2)0<a<1时，有 4+3x-x2>0 4+3x-x2<2 (2x-1) 2<x<4
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
不等式的解法含答案
2.2不等式的解法考点1 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．考点2 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．考点3 不等式恒成立问题不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0.考点4 分式不等式、高次不等式的解法分式不等式不能两边直接同时乘以分母，而是移项后转化为分子分母的乘积与0的大小关系。
注意分母不为0的讨论()0()()0()f x f x g x g x >⇔>，()0()()0()f x f xg x g x <⇔< ()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩，()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩解高次不等式时，使用数轴穿根法。
其步骤是：（1）将的最高次项的系数化为正数，（2）将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积，（3）在数轴上上从小到大依次标根，从右上方依次穿根，奇次根穿过，偶次根不穿。
考点5 含绝对值不等式的解法含绝对值不等式通过化归，去掉绝对值号，变成不含绝对值符号不等式。
不等式解法
x | 495 x 505
x | x 1或x 6
提高题型：
例4. 解不等式 | 5x-6 | <
例5. | 5x-6| > 5-x
(3)若b=2,则原不等式即 0x<3+a ①当a>-3 时，解集为R； ②当a≤-3 时，解集为Ø.
2、一元二次不等式
一般式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a>0) 注意：如果二次项系数小于零，两边乘以-1，并把 不等号改变方向即可。 画出y=x2- x-6的图象，根据图象求出满足下列 各式的未知数x的值的集合:
2 2
x | 1 x 2或3 x 4
解法三：原不等式等价于
x 2 5x 5 0 x 2 5x 5 0 (1) 2 或（2） 2 x 5x 5 1 x 5 x 5 1
由(1)得
由(2)得 ∴原不等式的解集为
1、等价转化法： 2、平方法：
f ( x ) a ( a 0 ) f ( x ) a或 f ( x ) a
2 2
f ( x ) g( x ) f ( x ) g ( x )
ax b cx d k
3、零点分段法：如 4、几何意义法：如
x 2 x 1 k的解集为R, 求k的取值范围.
例7、解不等式：
x 2 x1 4
【思维点拨】 本题也有多种解法： （１）零点分段法；（通性通法） （２）几何意义法； （３）函数图象法．
解不等式(知识点、题型详解)
不等式的解法1、一元一次不等式ax b >方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则bx a>；若0a <,则bx a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。
【例1-1】（1）2133ax ->解：此时，因为a 的符号不知道，所以要分：a =0，a >0, a <0这三种情况来讨论. 由原不等式得a x >1, ①当a =0时，⇒ 0>1.所以，此时不等式无解.② 当a >0时，⇒ x >a1, ③当a <0时，⇒x <a1.【例1-2】已知不等式0)(6)23(<-++b a x b a 与不等式01)1(322<+-++-a a x a a 同解，解不等式0)3(2)2(3>-+-a b x b a 。
解：R a ∈，012>+-a a ∴ 01)1(322<+-++-a a x a a 的解为31-<x ∴ )(6)23(b a x b a --<+中0)23(>+b a ∴ 解b a b a x 23)(6+--< 由题意ba b a 23)(631+--=-∴ 043>=b a 代入所求：062>--b bx ∴ 3-<x要注意：当一元一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于0、大于0、小于0这三种情况来讨论.2、一元二次不等式的解集（联系图象）。
尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示吗？ 基本步骤：① 把二次项系数a 化为正②求对应的一元二次方程的根（先考虑十字相乘法，不能因式分解的再考虑用求根公式）③利用二次函数的图像（下图，三个“二”的关系）求出对应的解集，用集合或区间表示设0a >,12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则其解集如下表：【例2-1】解下列关于x 的不等式：(1) 2x 2-3x -5>0； (2) 3x 2-4x -1≤0； (3) x 2-2x +1≤0； (4) x 2-2x +1>0； (5) x 2-2x +3>0； (6) x 2-2x +3≤0. 解析：（1）（2）代表判别式大于0的一元二次不等式的题目.只不过（1）对应的一元二次方程容易因式分解求两根，（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.（3）（4）代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.（5）（6）代表判别式小于0的一元二次不等式的题目.（1）因为对此不等式对应的一元二次方程x 22-3x -5=0因式分解得(2x -5)(x +1)=0. 所以该方程的两根为：x 1=25,或x 2=-1. 又因为此不等式对应的一元二次函数y =2x 2-3x -5的抛物线开口向上， 所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理， 可以直接写出不等式2x 2-3x -5>0的范围： x >25，或x <-1； （2）与上题解法类似.∵3x 2-4x -1=0的判别式∆=42-4⋅3⋅(-1)=28>0, ∴一元二次方程3x 2-4x -1=0有两个不同的实数根为 x 1=372+, 或x 2=372-. ∴此不等式中x 的取值范围是372-≤x ≤372+； （3）∵x 2-2x +1=0的判别式∆=0.∴x 2-2x +1=0有两个相等的实数根， x 1=x 2=1.所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，不等式x 2-2x +1≤0中x 的取值范围是 1≤x ≤1,即x =1； （4）与（3）类似分析，可知不等式x 2-2x +1>0中x 的取值范围是x >1，或x <1,即x ≠1；（5）因为方程x 2-2x +3=0的判别式∆<0.所以方程x 2-2x +3=0没有实数根.此时，就不能根据“大于在两边，小于在中间”的原理了， 这时，可以用配成完全平方式的方法.∵x 2-2x +3=x 2-2x +1+2=21）（-x +2>0， ∴不等式x 2-2x +3>0中x 的取值范围是 x ∈R ；（6）与（5）类似分析，可知不等式x 2-2x +3≤0中x 的取值范围是空集. 【例2-2】解下列关于x 的不等式：22232(1)(1)0(2)()0(3)10.x a x a x a a x a ax ax -++>-++≤++≤；；解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式. 解这类题的关键是：把参数a 以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一（二）次不等式的基本方法来做.；，或时，当，或时，当时，当）（易知原不等式因式分解，所以，方法一：因为本题容易a x x a x a x a x a x a x <><<>>≠=>--⇔11.11.11.0)1()1(一；以下讨论的情况同方法三种情况讨论了所以，我们就可以分这；；把数轴分为三部分：此时，只能取一个值这样）（即，令判别式系数为常数，我们只要方法二：因为二次项的..11111.1.04102<>==⇒=-+=∆=∆a a a a a a a；原不等式的解为：时，时，即当原不等式的解为：时，，或时，即当，或时，原不等式的解为：，或时，即当原不等式系来讨论即可只要根据两根的大小关，所以，解求出对应方程的两根类似，两者都易因式分与a x a a a a a x a a a a a x x a a a a a x a x ≤≤<<<≤≤<>>=====≤--⇔22222210.01.1010.0))((.)1()2(（3）式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，并且x 2的系数含有参数. 这说明对应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式. 综合上述分析，我们应以x 2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a 值作为讨论的依据. 求出的参数a 把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论..444000.40040.0022>=<<=<==⇒=-=∆=a a a a a a a a a a a x ；；；；值把数轴分为五部分：值一共有两个，这两个所以，求出的，或，即再令判别式，即的系数为令由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了..24240..24,24.00.210)12(01444..0102212222122aaa a x a a a a x a x x aa a a x a a a a x a x x x x a a -+-≤---≥<<-+-=---=>∆<-=⇒≤+⇒≤++⇔=≤⇔=，或时，原不等式的解为：所以，当且此时或两根为：对应的一元二次方程的别式数的图像开口向下，判时，对应的一元二次函当时，原不等式当集为空集所以，此时不等式的解时，原不等式当.24244...04..,0402212aaa a x a a a a a x x a a -+-≤≤--->>>∆><∆<<时，原不等式的解为：所以，当只不过的两根方程的根仍为上面所求此时，对应的一元二次别式数的图像开口向上，判时，对应的一元二次函当为空集所以，原不等式的解集无根即对应的一元二次方程别式数的图像开口向上，判时，对应的一元二次函当总结：对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以x 2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a 值作为讨论的依据.求出的参数a 把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原则进行区别和联系.3、简单的一元高次不等式的解法：数轴穿根法： 基本步骤：⑴ 将不等式右边化为０，左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积. ⑵ 把每个因式的最高次项系数化为正数.⑶ 将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上.⑷ 从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴；遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回. 即规律“奇穿偶不穿”.⑸ 根据曲线就可以知道函数值符号变化规律. 【例3-1】解下列关于x 的不等式：22211)(2)(3)0(2)(21)(31)(41)0(3)(3(1)(2304(1)(1)(2)0.x x x x x x x x x x x x x ---≤++-+≥-+-->+-+<（）（；；））；（）解析：这种类型的不等式如果用上述的方法1，分类讨论可以做出来，但是比较复杂，而且易出现错误.所以，常用数轴表根法(又称零点分段法)来做这类题.所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能体现出函数值的符号变化规律．即：曲线与x 轴的交点将x 轴分成若干区域，曲线在x 轴上方所对应区间内的x 值，使函数值大于0 ；曲线在x 轴下方所对应区间内的x 值，使函数值小于0 ；曲线与x 轴的交点所对应的x 值，使 函数值等于0.按照上述的方法，易解出以上各题.参考答案：；或）（；或）（4131,21232,11≤≤--≤≤≤≤x x x x .1,12)4(3,1)3(-≠<<-≠->x x x x 且；且4. 分式不等式的解法：一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程
不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程一．不等式的解 知识小结1、 一元二次不等式：只含有一个未知数。
并且未知数的最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式。
要求学生举5个例子。
2、 闭区间：集合}{b x a x ≤≤叫做闭区间，记为[a,b ]。
注意：隐含条件a <b 。
3、 开区间：集合}{b x a x <<叫做开区间，记为（a,b ）。
注意：隐含条件a <b 。
4、 半开半闭区间：集合}{b x a x <≤或}{b x a x ≤<叫做半开半闭区间，记为[a,b ]或（a,b ）。
注意：隐含条件a <b 。
5、 区间的端点：在上述所有区间中，a,b 叫做端点。
6、 实数集R 及b x b x a x a x ≤<>≥,,,用区间表示：),(),,[),,(+∞+∞+∞-∞a a ，),(],,(b b -∞-∞，∞+读作正无穷大，∞-读作负无穷大。
它们是一个理想的数，不是一个具体的数，∞+比你想的大还要大，∞-比你想的小还要小。
7、)0(02>>++a c bx ax 、或)0(02><++a c bx ax 的解法：例1 例1（一元二次不等式与一元二次方程的关系）求不等式2x 2-3x-2>0的解集。
解： 因为不等式2x 2-3x-2>0相应的一元二次方程的根的判别式Δ>O ，方程2x 2-3x-2＝0的两个根是2,2121=-=x x 所以不等式的解集为),2()21,(+∞--∞ 。
小结：解不等式步骤：10检验二次项系数是否为正；20判断一元二次方程的判别式是否>0,<0,=0；30解出一元二次方程的根；40写出一元二次不等式的解集（用集合或区间表示）。
8、)0(02<>++a c bx ax 、或)0(02<<++a c bx ax 的解法：前面，我们只考虑一元二次不等式的二次项系数a>0的情况，当a<O 时，可在不等式的两边同乘以一l ，使二次项系数为正，就可同样求解． 例2 求不等式-3x 2+x+1>0的解集． 解 将原不等式化为3x 2-x-1<0， 因为方程3x 2-x-1＝0的两根是6131,613121+=-=x x , 所以原不等式的解集为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6131,6131例3 写出一个一元二次不等式，使它的解集（-1，3）。
不等式的解法
不等式的解法●知识梳理1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b （a ≠0）的形式. 当a ＞0时，解集为{x |x ＞ab }；当a ＜0时，解集为{x |x ＜ab }.2.一元二次不等式的解法.任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2+bx +c ＞0（或＜0）（其中a ＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.思考讨论用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理? ●点击双基1.（2004年全国Ⅳ，5）不等式32-+x x x ）（＜0的解集为A.{x |x ＜－2或0＜x ＜3}B.{x |－2＜x ＜0或x ＞3}C.{x |x ＜－2或x ＞0}D.{x |x ＜0或x ＞3} 解析：在数轴上标出各根.-2 0 3答案：A2.（2003年北京）若不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），则实数a 等于 A.8 B.2 C.－4 D.－8 解析：由|ax +2|＜6得－6＜ax +2＜6，即－8＜ax ＜4.∵不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），易检验a =－4. 答案：C3.（2003年重庆市诊断性考试题）已知函数f （x ）是R 上的增函数，A （0，－1）、B （3，1）是其图象上的两点，那么| f （x +1）|＜1的解集是A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞，1］∪［4，+∞）D.（－∞，－1］∪［2，+∞）解析：由题意知f （0）=－1，f （3）=1.又| f （x +1）|＜1⇔－1＜f （x +1）＜1， 即f （0）＜f （x +1）＜f （3）.又f （x ）为R 上的增函数， ∴0＜x +1＜3.∴－1＜x ＜2.答案：B 4.（理）（2003年山东潍坊市第二次模拟考试题）不等式x 2－|x －1|－1≤0的解集为____________.解析：当x －1≥0时，原不等式化为x 2－x ≤0，解得0≤x ≤1.∴x =1；当x －1＜0时，原不等式化为x 2+x －2≤0，解得－2≤x ≤1.∴－2≤x ＜1. （文）不等式ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，则a +b =_______. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-<.2310aba ab a ，，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，或⎩⎨⎧-=-=.21b a ，∴a +b =－23或－3. 5.不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_______. 解析：令f （x ）=ax 2+bx +c ，其图象如下图所示，xyy y O = = f x ( )f x ()-3 -2 2 3-再画出f （－x ）的图象即可.答案：{x |－3＜x ＜－2} ●典例剖析 【例1】 解不等式3252---x x x＜－1.剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.解：原不等式变为3252---x xx＋1＜0，即322322--+-x xx x ＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔0320230320232222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.【例2】 求实数m 的范围，使y =lg ［mx 2+2（m +1）x +9m +4］对任意x ∈R 恒有意义. 剖析：mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0恒成立的含义是该不等式的解集为R . 故应⎩⎨⎧>.00＜，Δm解：由题意知mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0的解集为R ，则⎩⎨⎧<+-+=>.04941402）（）（，m m m Δm 解得m ＞41. 评述：二次不等式ax 2+bx +c ＞0恒成立的条件：⎩⎨⎧<>.00Δa ，若未说明是二次不等式还应讨论a =0的情况.思考讨论本题若要使值域为全体实数，m 的范围是什么? 提示：对m 分类讨论，m =0适合. 当m ≠0时，⎩⎨⎧≥>.00Δm ，解m 即可.【例3】 若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 剖析：对于m ∈［－2，2］，不等式2x －1＞m （x 2－1）恒成立，把m 视为主元，利用函数的观点来解决.解：原不等式化为（x 2－1）m －（2x －1）＜0. 令f （m ）=（x 2－1）m －（2x －1）（－2≤m ≤2）.则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.01212201212222）（）（）（，）（）（）（x x f x x f 解得271+-＜x ＜231+.深化拓展1.本题若变式：不等式2x －1＞m （x 2－1）对一切－2≤x ≤2都成立，求m 的取值范围.2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗? ●闯关训练 夯实基础1.（2004年重庆，4）不等式x +12+x ＞2的解集是 A.（－1，0）∪（1，+∞） B.（－∞，－1）∪（0，1） C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）解法一：x +12+x ＞2⇔x －2+12+x ＞0⇔11+-x x x ）（＞0⇔x （x －1）（x +1）＞0⇔－1＜x ＜0或x ＞1.解法二：验证，x =－2、21不满足不等式，排除B 、C 、D.2.设f （x ）和g （x ）都是定义域为R 的奇函数，不等式f （x ）＞0的解集为（m ，n ），不等式g （x ）＞0的解集为（2m ，2n ），其中0＜m ＜2n ，则不等式f （x ）·g （x ）＞0的解集是A.（m ，2n ）B.（m ，2n ）∪（－2n ，－m ）C.（2m ，2n ）∪（－n ，－m ）D.（2m ，2n ）∪（－2n ，－2m ）解析：f （x ）、g （x ）都是定义域为R 的奇函数，f （x ）＞0的解集为（m ，n ），g （x ）＞0的解集为（2m ，2n ）.∴f （－x ）＞0的解集为（－n ，－m ），g （－x ）＞0的解集为（－2n，－2m ），即f （x ）＜0的解集为（－n ，－m ），g （x ）＜0的解集为（－2n ，－2m ）.由f （x ）·g （x ）＞0得⎩⎨⎧>>00）（，）（x g x f 或⎩⎨⎧<<.00）（，）（x g x f .又0＜m ＜2n，∴m ＜x ＜2n 或－2n ＜x ＜－m .3.若关于x 的不等式－21x 2+2x ＞mx 的解集为{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值为_______.解析：由题意，知0、2是方程－21x 2+（2－m ）x =0的两个根，∴－212--m =0+2.∴m =1.4.（2004年浙江，13）已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________.解析：当x +2≥0，即x ≥－2时.x +（x +2）f （x +2）≤5⇔2x +2≤5⇔x ≤23.∴－2≤x ≤23.当x +2＜0即x ＜－2时，x +（x +2）f （x +2）≤5 ⇔x +（x +2）·（－1）≤5⇔－2≤5，∴x ＜－2.综上x ≤23.5.（2004年宣武二模题）定义符号函数sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.010001）（），（），（x x x 当x ∈R 时，解不等式（x +2）＞（2x －1）sgn x .解：当x ＞0时，原不等式为x +2＞2x －1.∴0＜x ＜3.当x =0时，成立.当x ＜0时，x +2＞121-x .x －121-x +2＞0.1224122--+--x x x x＞0.123322--+x x x＞0.∴－4333+＜x ＜0.综上，原不等式的解集为{x |－4333+＜x ＜3}.6.（2003年北京西城区一模题）解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax （a ∈R ）. 解：原不等式变形为ax 2+（a －2）x －2≥0. ①a =0时，x ≤－1；②a ≠0时，不等式即为（ax －2）（x +1）≥0， 当a ＞0时，x ≥a2或x ≤－1；由于a2－（－1）=aa 2+，于是当－2＜a ＜0时，a2≤x ≤－1；当a =－2时，x =－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤a2.综上，当a =0时，x ≤－1；当a ＞0时，x ≥a2或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，a2≤x ≤－1；当a =－2时，x =－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤a2.培养能力7.（2004年春季安徽）解关于x 的不等式log a 3x ＜3log a x （a ＞0，且a ≠1）. 解：令y =log a x ，则原不等式化为y 3－3y ＜0，解得y ＜－3或0＜y ＜3，即log a x ＜－3或0＜log a x ＜3. 当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＞a 3-}∪{x |a3＜x ＜1}；当a ＞1时，不等式的解集为{x |0＜x ＜a 3-}∪{x |1＜x ＜a3}.8.有点难度哟！（2003年天津质量检测题）已知适合不等式|x 2－4x +a |+|x －3|≤5的x 的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式.解：∵x ≤3，∴|x －3|=3－x .若x 2－4x +a ＜0，则原不等式化为x 2－3x +a +2≥0.此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集，∴x 2－4x +a ＜0不成立.于是，x 2－4x +a ≥0，则原不等式化为x 2－5x +a －2≤0.∵x ≤3，令x 2－5x +a －2=（x －3）（x －m ）=x 2－（m +3）x +3m ，比较系数，得m =2，∴a =8. 此时，原不等式的解集为{x |2≤x ≤3}. 探究创新9.关于x 的不等式⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围.解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.∵⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解为x =－2，又∵方程2x 2+（2k +5）x +5k =0的两根为－k 和－25.①若－k ＜－25，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}；②若－25＜－k ，则应有－2＜－k ≤3.∴－3≤k ＜2.综上，所求k 的取值范围为－3≤k ＜2.●思悟小结1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.2.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解，可用数轴标根法或列表法.3.解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易.4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论. ●教师下载中心 教学点睛1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解， 这体现了转化与化归的数学思想.3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确. 拓展题例【例1】 （2003年南京市第二次质量检测题）解关于x 的不等式12-ax ax＞x （a ∈R ）.解法一：由12-ax ax＞x ，得12-ax ax－x ＞0，即1-ax x ＞0.此不等式与x （ax －1）＞0同解.若a ＜0，则a1＜x ＜0； 若a =0，则x ＜0；若a ＞0，则x ＜0或x ＞a1.综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a1，0）；a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）； a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a 1，+∞）. 解法二：由12-ax ax＞x ，得12-ax ax－x ＞0，即1-ax x＞0.此不等式与x （ax －1）＞0同解. 显然，x ≠0.（1）当x ＞0时，得ax －1＞0.若a ＜0，则x ＜a1，与x ＞0矛盾，∴此时不等式无解；若a =0，则－1＞0，此时不等式无解； 若a ＞0，则x ＞a1.（2）当x ＜0时，得ax －1＜0.若a ＜0，则x ＞a1，得a1＜x ＜0；若a =0，则－1＜0，得x ＜0；若a ＞0，则x ＜a1，得x ＜0.综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a1，0）；a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）；a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a1，+∞）.【例2】 f （x ）是定义在（－∞，3］上的减函数，不等式f （a 2－sin x ）≤f （a +1+cos 2x ）对一切x ∈R 均成立，求实数a 的取值范围.解：由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≥-≤++≤-x a x a x a x a 2222cos 1sin 3cos 13sin ，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥---≤+≤222221sin 49cos 2sin 3）（，，x a a x a x a 对x ∈R 恒成立.故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥--≤≤max22221sin 4912）（，，x a a a a ∴－2≤a ≤2101-.●知识梳理1.|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）； |x |＜a ⇔－a ＜x ＜a （a ＞0）.2.形如|x －a |+|x －b |≥c 的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.4.绝对值不等式的性质： ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 思考讨论1.在|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）、|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a （a ＞0）中的a ＞0改为a ∈R 还成立吗?2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?●点击双基1.（2003年成都第三次诊断题）设a 、b 是满足ab ＜0的实数，那么 A.|a +b |＞|a －b | B.|a +b |＜|a －b | C.|a －b |＜||a |－|b || D.|a －b |＜|a |+|b | 解析：用赋值法.令a =1，b =－1，代入检验.2.（2004年春季安徽）不等式|2x 2－1|≤1的解集为 A.{x |－1≤x ≤1}B.{x |－2≤x ≤2}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |－2≤x ≤0}解析：由|2x 2－1|≤1得－1≤2x 2－1≤1. ∴0≤x 2≤1，即－1≤x ≤1.3.不等式|x +log 3x |＜|x |+|log 3x |的解集为 A.（0，1） B.（1，+∞） C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）解析：∵x ＞0，x 与log 3x 异号， ∴log 3x ＜0.∴0＜x ＜1. 4.已知不等式a ≤||22x x+对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是____________.解析：要使a ≤||22x x +对x 取一切负数恒成立，令t =|x |＞0，则a ≤tt22+.而tt22+≥tt 22=22，∴a ≤22.答案：a ≤225.已知不等式|2x －t |+t －1＜0的解集为（－21，21），则t =____________.解析：|2x －t |＜1－t ，t －1＜2x －t ＜1－t ，2t －1＜2x ＜1，t －21＜x ＜21.∴t =0.●典例剖析【例1】 解不等式|2x +1|+|x －2|＞4.剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x +1=0，x －2=0，得两个零点x 1=－21，x 2=2.解：当x ≤－21时，原不等式可化为－2x －1+2－x ＞4，∴x ＜－1.当－21＜x ≤2时，原不等式可化为2x +1+2－x ＞4，∴x ＞1.又－21＜x ≤2，∴1＜x ≤2.当x ＞2时，原不等式可化为2x +1+x －2＞4，∴x ＞35.又x ＞2，∴x ＞2.综上，得原不等式的解集为{x |x ＜－1或1＜x }. 深化拓展若此题再多一个含绝对值式子.如：|2x +1|+|x －2|+|x －1|＞4，你又如何去解？ 分析：令2x +1=0，x －2=0，x －1=0，得x 1=－21，x 2=1，x 3=2.解：当x ≤－21时，原不等式化为－2x －1+2－x +1－x ＞4，∴x ＜－21.当－21＜x ≤1时，原不等式可化为2x +1+2－x +1－x ＞4，4＞4（矛盾）.当1＜x ≤2时，原不等式可化为2x +1+2－x +x －1＞4，∴x ＞1. 又1＜x ≤2，∴1＜x ≤2.当x ＞2时，原不等式可化为2x +1+x －2+x －1＞4，∴x ＞23.又x ＞2，∴x ＞2.综上所述，原不等式的解集为{x |x ＜－21或x ＞1}.【例2】 解不等式｜x 2－9｜≤x ＋3.剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x |≤a ⇔－a ≤x ≤a 去绝对值.解法一：原不等式⇔（1）⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-390922x x x ，或（2）⎪⎩⎪⎨⎧+≤-<-.390922x x x ，不等式（1）⇔⎩⎨⎧≤≤-≥≤4333x x x 或⇔x ＝－3或3≤x ≤4；不等式（2）⇔⎩⎨⎧≥-≤<<-2333x x x 或⇔2≤x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜2≤x ≤4或x ＝－3｝.解法二：原不等式等价于⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+393032x x x x ）（⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥4333x x x ，或x ≥2⇔x=－3或2≤x ≤4. ∴原不等式的解集是｛x ｜2≤x ≤4或x ＝－3｝. 【例3】 （理）已知函数f （x ）=x |x －a |（a ∈R ）. （1）判断f （x ）的奇偶性；（2）解关于x 的不等式：f （x ）≥2a 2. 解：（1）当a =0时， f （－x ）=－x |－x |=－x |x |=－f （x ）， ∴f （x ）是奇函数.当a ≠0时，f （a ）=0且f （－a ）=－2a |a |.故f （－a ）≠f （a ）且f （－a ）≠－f （a ）. ∴f （x ）是非奇非偶函数. （2）由题设知x |x －a |≥2a 2， ∴原不等式等价于⎩⎨⎧≥+-<222aax xa x ， ①或⎩⎨⎧≥-≥.222a ax xa x ， ②由①得⎩⎨⎧≤+-<.0222a ax x a x ，x ∈∅.由②得⎩⎨⎧≥+-≥.02））（（，a x a x a x 当a =0时，x ≥0.当a ＞0时，⎩⎨⎧-≥≤≥，或，a x a x a x 2∴x ≥2a .当a ＜0时，⎩⎨⎧-≤≥≥，或，a x a x a x 2x≥－a . 综上a ≥0时，f （x ）≥2a 2的解集为{x |x ≥2a }；a ＜0时，f （x ）≥2a 2的解集为{x |x ≥－a }.（文）设函数f （x ）=ax +2，不等式| f （x ）|＜6的解集为（－1，2），试求不等式）（x f x ≤1的解集.解：|ax +2|＜6，∴（ax +2）2＜36，即a 2x 2+4ax －32＜0.由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-.2321422aa a ，解得a =－4.∴f （x ）=－4x +2.由）（x f x≤1，即24+-x x ≤1可得2425--x x ≥0.解得x ＞21或x ≤52.∴原不等式的解集为{x |x ＞21或x ≤52}.●闯关训练夯实基础1.（2003年北京海淀区一模题）已知集合A ={x |a －1≤x ≤a +2}，B ={x |3＜x ＜5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是A.{a |3＜a ≤4}B.{a |3≤a ≤4}C.{a |3＜a ＜4}D.∅解析：由题意知⎩⎨⎧≥+≤-，，5231a a 得3≤a ≤4.2.不等式|x 2+2x |＜3的解集为____________. 解析：－3＜x2+2x ＜3，即⎪⎩⎪⎨⎧>++<-+.03203222x x x x ，∴－3＜x ＜1.3.（2004年全国Ⅰ，13）不等式|x +2|≥|x |的解集是____________.解法一：|x +2|≥|x |⇔（x +2）2≥x 2⇔4x +4≥0⇔x ≥－1.解法二： 在同一直角坐标系下作出f （x ）=|x +2|与g （x ）=|x |的图象，根据图象可得x ≥－1.|解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x +2|≥|x |表示数轴上x 到－2的距离不小于到0的距离，∴x ≥－1.答案：{x |x ≥－1}评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握. 4.（2004年春季北京）当0＜a ＜1时，解关于x 的不等式a 12-x ＜a x －2.解：由0＜a ＜1，原不等式可化为12-x ＞x －2.这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集.⎩⎨⎧<-≥-02012x x ， ⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-.212020122）（，，x x x x解不等式组①得解集为{x |21≤x ＜2}，解不等式组②得解集为{x |2≤x ＜5}， 所以原不等式的解集为{x |21≤x ＜5}.5.关于x 的方程3x 2－6（m －1）x +m 2+1=0的两实根为x 1、x 2，若|x 1|+|x 2|=2，求m 的值.解：x 1、x 2为方程两实根，∴Δ=36（m －1）2－12（m 2+1）≥0.∴m ≥253+或m ≤253-.又∵x 1·x 2=212+m＞0，∴x 1、x 2同号.∴|x 1|+|x 2|=|x 1+x 2|=2|m －1|.于是有2|m －1|=2，∴m =0或2.∴m =0. 培养能力 6.解不等式212-x≤||1x .解：（1）当x 2－2＜0且x ≠0，即当－2＜x ＜2且x ≠0时，原不等式显然成立． （2）当x 2－2＞0时，原不等式与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥->||22||2x xx ，等价．x 2－2≥｜x ｜，即｜x ｜2－｜x ｜－2≥0.∴｜x ｜≥2.∴不等式组的解为｜x ｜≥2，即x ≤－2或x ≥2．∴原不等式的解集为（－∞，－2］∪（－2，0）∪（0，2）∪［2，＋∞）． 7.（2003年湖北黄冈模拟题）已知函数f （x ）=xx ax122-+的定义域恰为不等式log 2（x +3）+log 21x ≤3的解集，且f （x ）在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围.解：由log 2（x +3）+log 21x ≤3得⎪⎩⎪⎨⎧>≤+033log 2x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≤+⇔083x x x x ≥73，即f （x ）的定义域为［73，+∞）.∵f （x ）在定义域［73，+∞）内单调递减，∴当x 2＞x 1≥73时，f （x 1）－f （x 2）＞0恒成立，即有（ax 1－11x +2）－（ax 2－21x +2＞0⇔a （x 1－x 2）－（11x －21x ）＞0⇔（x 1－x 2）（a +211x x ）＞0恒成立.∵x 1＜x 2，∴（x 1－x 2）（a +211x x ）＞0⇔a +211x x ＜0. ∵x 1x 2＞499⇒－211x x ＞－949，要使a ＜－211x x 恒成立，则a 的取值范围是a ≤－949.8.有点难度哟！已知f （x ）=x 2－x +c 定义在区间［0，1］上，x 1、x 2∈［0，1］，且x 1≠x 2，求证： （1）f （0）=f （1）；（2）| f （x 2）－f （x 1）|＜|x 1－x 2|； （3）| f （x 1）－f （x 2）|＜21；（4）| f （x 1）－f （x 2）|≤41.证明：（1）f （0）=c ，f （1）=c ，∴f （0）=f （1）. （2）| f （x 2）－f （x 1）|=|x 2－x 1||x 2+x 1－1|.∵0≤x 1≤1，∴0≤x 2≤1，0＜x 1+x 2＜2（x 1≠x 2）.∴－1＜x 1+x 2－1＜1. ∴| f （x 2）－f （x 1）|＜|x 2－x 1|. （3）不妨设x 2＞x 1，由（2）知| f （x 2）－f （x 1）|＜x 2－x 1而由f （0）=f （1），从而| f （x 2）－f （x 1）|=| f （x 2）－f （1）+f （0）－f （x 1）|≤| f （x 2）－f （1）|+| f （0）－ f （x 1）|＜|1－x 2|+|x 1|＜1－x 2+x 1. ②①+②得2| f （x 2）－f （x 1）|＜1，即| f （x 2）－f （x 1）|＜21.（4）|f （x 2）－f （x 1）|≤f max －f min =f （0）－f （21）=41.探究创新9.（1）已知|a |＜1，|b |＜1，求证：|ba ab --1|＞1；（2）求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足|a |＜1，|b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；（3）已知|a |＜1，若|abb a ++1|＜1，求b 的取值范围.（1）证明：|1－ab |2－|a －b |2=1+a 2b 2－a 2－b 2=（a 2－1）（b 2－1）.∵|a |＜1，|b |＜1，∴a 2－1＜0，b 2－1＜0.∴|1－ab |2－|a －b |2＞0.∴|1－ab |＞|a －b |，|||1|b a ab --=|||1|b a b a -⋅-＞1.（2）解：∵|ba ab --λλ1|＞1⇔|1－ab λ|2－|a λ－b |2=（a 2λ2－1）（b 2－1）＞0.∵b 2＜1，∴a 2λ2－1＜0对于任意满足|a |＜1的a 恒成立.。
第4讲------不等式的解法
第4讲 不等式的解法一、简单一元高次不等式解法（解一元高次不等式，一般采取数轴标根法） 其步骤如下：（1）将f(x)的最高次项的系数化为正数；（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个根顺次表在数轴上，再从右到左依次标出区间；（4）f(x)>0时取奇数区间；f(x)<0时取偶数区间.例1、解不等式（1）2 >0； （2）（x+4） <0.解析：（1）原式=x （2 -x-15）>0⟹x （x-3）（2x+5）>0，得不等式的解集为奇数区间，即{x ∣- <x <0或x >3}.（2）学生自行解决.答案：{x ∣x <-5或-5<x <-4或x >2}.二、分式不等式的解法例2、解不等式： > . 解析：原式变为 >0，通分 （ ） （ ）>0， ⟹ （ ）（ ）>0⟹ >0⟹ 或0<x<1. 练习：1、解下列不等式（1）2 ； （2）-4 ；（3）（x-2）( ；（4）（x-3）(x+2) (x-4)>0.2、解不等式：<0. 三、无理不等式解法 （1） g(x)⇔ 或 ；-5/203（2）g(x)⇔ ；（3）f(x)>g(x)0.例3、若不等式+的解集为（4，b），求a、b的值.解析：设=u，则原不等式为u>a+，即a-u+<0，∵不等式的解集为（4，b），∴方程a-u+=0的两个根分别为2，，由韦达定理得解得.练习：解不等式（1）<x-1；（2）>x+3.解析：（1）<x-1，⟹x∈(2，3]；①等价转化法：⟹或②换元法：设t=（t0）x=3-，即t<3--1， ⟹（t-1）(t+2)<0，-2<t<1，故0t<1,0<1⟹2<x3.③求补集法：x-1⟹ 或⟹x2或x>3，故原不等式解集为(2，3].<即x∈（2，3].（2）>x+3，解析:用①②③④种方法由学生完成.答案：（-∞，-）.四、指数、对数不等式的解法例4、解关于x的不等式lg(2ax)-lg(a+x)<1.解析：⟹a>0，x>0⟹ lg(2ax)<lg(10a+10x)⟹2ax<10a+10x，即（a-5）x<5a.当0<a<5时，a-5<0，x>0当a=5时，不等式0x<25，得x>0；当a>5时，a-5>0，解得0<x<.五、含绝对值不等式的解法例5、解不等式：∣∣x+1∣+∣x-1∣∣<+1.解析：+1>0恒成立，x>-2.①当x1时，原不等式可以变形为2x<+1，，无解；②当-1x<1时，∣∣x+1∣+∣x-1∣∣=2，则原不等式可变形为无解；③当-2<x<-1时，原不等式可以变形为，无解.综合①②③可知，原不等式无解.六、含参不等式的解法例4、试求不等式>-1对一切实数x恒成立的θ取值范围.解析：∵>0，故原不等式变为（θθ）θθθθ>0，令θθ=t，则t∈[-，]，不等式变为（t+1）-(t-4)x+t+4>0对x∈R恒成立，由二次函数可知，∴t>0或t<(舍)，故0<θθ ，即2k-<θ2k+（k∈Z）.练习：1、解不等式（1）2ax>5-x(a∈R)；（2）mx>k-nx （m、n、k∈R）解析：（1）（2a+1）x>5，（2）（m+n）x>ka>-时，x>；m+n>0，x>；a<- 时，x<；m+n<0，x<；a=- 时，x∈∅. m+n=0，，∈，∈∅.2、解不等式>1.解析：原不等式变为>0⟹[(a-1)x-(a-2)]（x-2）>0，⟹（a-1）[x-](x-2)>0，当a>1时，[x-](x-2)>0⟹（-∞，）∪（2，+∞）；当a<1时，[x-](x-2)<0，∵2-=，①当0<a<1时，解是（2，）②当a=0时，解为空集，即x∈∅；③a<0时，解为（，2）.课外练习：一、选择题1、若0<a<1，则不等式（a-x）(x- )>0的解集为（）A 、{x∣a<x<}；B、{x∣<x<a}；C、{x∣x>或x<a}；D、{x∣x<或x>a}.2、不等式∣x+1∣(2x-1)0的解集为（）A、{x∣x=-1或x}；B、{x∣x-1或x}；C、{x∣x}；D、{x∣-1x}.3、若a>1且0<b<1，则不等式的解集为（）A、x>3；B、x<4；C、3<x<4；D、x>4.4、不等式2的解集是（）A、[-3，]；B、[- ,3]；C、[,1）∪（1,3]；D、[- ,1）∪（1,3].5、已知∣a-c∣<∣b∣，则（）A、a<b+c；B、a>c-b；C、∣a∣>∣b∣-∣c∣；D、∣a∣<∣b∣+∣c∣.6、设f(x)，，则不等式f(x)>2的解集为（）A、（1,2）∪（3，+∞）；B、（，+∞）；C、（1,2）∪（，+∞）；D、（1,2）.二、填空题7、不等式-∣x∣<0的解集是 .8、不等式的解集是.9、定义符号函数sgn x=，当x∈R时，则不等式x+2>的解集为.三、解答题10、解不等式（∣3x-1∣-1）（.11、已知函数f(x)=，当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0.12、设有关于x的不等式lg（∣x+3∣+∣x-7∣）>a.（1）当a=1时，解此不等式；（2）求当a为何值时，此不等式的解集为R.。
考点37 不等式的解法
考点37 不等式的解法1．已知函数212,1,()e , 1x x x f x x -⎧-⎪=⎨>⎪⎩≤，则不等式()1f x >的解集是 ．【考点】 一元二次不等式的解法；指数不等式的解法.【答案】(1,1)(1,)-+∞【分析】原不等式()1f x >可转化为2211x x ⎧->⎨⎩≤或1e 11x x -⎧>⎨>⎩，解得11x -<<或1x >，故答案为(1,1)(1,)-+∞.2．若关于x 的不等式202lgaa xx （-）0≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【考点】函数恒成立问题．【答案】{}10【分析】不等式202lg a a x x （-）0≤等价于2002lg 00ax a x x -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥＞或2002lg 00ax a x x -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤＞，∴202x a x ≤≤或202xa x ≤≤，∴202x x=， ∴210x =， ∴a =10．∴实数a 的取值范围是{}10．故答案为：{}10．3．若2x ∀<，不等式()2620x a x a +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】2a ≥【分析】令f (x )= 2x +(6－a )x +2a ，当x =2时，f (2)=16≥0. f (x )的对称轴为x =622b a a --=,分两种情况讨论：①当对称轴在x =2右方时，即622a -≥，这时2x ∀<，不等式()2620x a x a +-+≥恒成立，解得a ≥10.②当对称轴在x =2左方时，即622a -≤，只要240b ac -≤即2(6)80a a --≤，2622(6)80a a a -⎧⎪⎨⎪--⎩≤≤这时2x ∀<，不等式()2620x ax a +-+≥恒成立，解得2≤a ≤10.综上得a ≥24．“已知关于x的不等式20ax bx c ++＞的解集为1,2（），解关于x 的不等式20cx bx a ++＞.”给出如下的一种解法：解：由20ax bx c ++＞的解集为1,2（），得2110a b c x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＞的解集为1,12（），即关于x 的不等式20cx bx a ++＞的解集为1,12（）. 参考上述解法：若关于x 的不等式b x b x a x c ++++＜0的解集为11)(,1)32(-1,-，则关于x 的不等式b x bx a x c----＞0的解集为 . 【答案】11)(,1)23(-1,-【分析】由b x b x a x c ++++＜0的解集为11)(,1)32(-1,-，得b x bx a x c -++-+-+＜0的解集为11)(,1)23(-1,-，即b x b x a x c ----＞0的解集为11)(,1)23(-1,-.5.函数f x （）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，f x '（）＞2，则f x （）＞2x +4的解集为 ．【答案】（-1，+∞）【分析】设F x （）=f x （）-（2x +4）， 则F （-1）=f （-1）24220--+=-=（），又对任意x ∈R ，f x '（）＞2，所以F x '（）=f x '（）-2＞0， 即F x （）在R 上单调递增， 则F x （）＞0的解集为（-1，+∞）， 即f x （）＞2x +4的解集为（-1，+∞）．故答案为（-1，+∞）. 6．若关于x 的不等式220ax x c ＋＋＞的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则不等式220cx x a --＋＞的解集为________． 【答案】 (－2,3)【分析】 由220ax x c ＋＋＞的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭知a ＜0，13-，12为方程220ax x c ＋＋＝的两个根，由韦达定理得11232a -+=-，1132ca-⨯=， 解得a ＝－12，c ＝2，∴220cx x a --＋＞，即222120x x --＜， 其解集为(－2,3)．7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则关于x 的不等式2405ax bx a ->＋的解集为________． 【答案】 41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 依题意得015a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩即a ＝5b ＜0，不等式2405ax bx a ->＋，即2540(0)bx bx b b -＋＞＜，2540x x -＋＜，解得415x -＜＜.因此，不等式2405ax bx a ->＋的解集是41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．已知任意非零实数x ，y 满足22234()x xy x y λ＋≤＋恒成立，则实数λ的最小值为________．【答案】 4【分析】 依题意，得()222222343[2]4()x xy x x y x y ＋≤＋＋＝＋，因此有222344x xy x y ++≤，当且仅当x ＝2y 时取等号，即22234x xyx y ++的最大值是4，结合题意得22234x xyx y λ++≥，故λ≥4，即λ的最小值是4.9．已知()22,0,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-+<⎩≥,则不等式2(1)12f x x -＋＜的解集是________．【答案】 (－1,2)【分析】 依题意得，函数f (x )是R 上的增函数，且f (3)＝12，因此不等式2(1)12f x x -＋＜等价于213x x -＋＜，即220x x --＜， 由此解得－1＜x ＜2.因此，不等式2(1)12f x x -＋＜的解集是(－1,2)．10．若不等式222|2|x x a -＋＋＞对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1,3)【分析】 依题意，函数2222(1)1y x x x ＝＋＋＝＋＋的最小值是1，于是有|a －2|＜1，即－1＜a －2＜1,1＜a ＜3，即实数a 的取值范围是(1,3)．11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，f (x )＝23x x --，则不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集是________． 【答案】 (4，＋∞)【分析】 由函数f (x )是奇函数，且0x ≤时，f (x )＝23x x --， 得0x ≥时，f (x )＝23x x -.所以不等式f (x －1)＞－x ＋4等价于210(1)3(1)4x x x x -⎧⎨---->-+⎩≤①或210(1)3(1)4x x x x -⎧⎨--->-+⎩≥②， 不等式组①无解，解不等式组②可得x ＞4，综上可得，不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集为(4，＋∞)．12. 已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为{|1x x <-或1}2x >，则()100x f ＞的解集为________．【答案】 {x |x ＜－lg 2}【分析】 由已知条件，得10102x＜＜，解得1lg lg 22x =-＜. 13.若一元二次不等式23208kx kx -<＋对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．【答案】 (－3,0)【分析】 由题意可得2038()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯-<⎪⎩，解得－3＜k ＜0. 14．已知()1,01,0x x f x x x +<⎧=⎨--⎩≥，则不等式(1)(1)3x x f x ++-≤的解集是________．【答案】 {|3}x x -≥【分析】 ∵(),11,1x x f x x x <⎧-=⎨-⎩≥，∴(1)(1)3x x f x -＋＋≤等价于1(1)3x x x x <⎧⎨++⎩≤或1(1)()3x x x x ⎧⎨++-⎩≥≤解得31x -≤＜或1x ≥，即3x -≥.15．求不等式2212x ax a -＞ (a ∈R )的解集． 【解】∵2212x ax a -＞，∴22120x ax a --＞， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得14a x -＝，23a x ＝. ①a ＞0时，43a a -<，解集为{|4a x x <-或}3ax >； ②a ＝0时，20x ＞，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③a ＜0时，43a a ->，解集为{|3a x x <或}4a x >-. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为{|4a x x <-或}3ax >；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为{|3a x x <或}4ax >-. 16．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________． 【答案】31(,)(,)22-∞-+∞ 【分析】 由f (x )＞0，得2(1)0ax ab x b --＋＞，又其解集是(－1,3)，∴a ＜0，且123abab a-⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得a ＝－1或13 (舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3.∴()223f x x x -＝＋＋，∴2(2)443f x x x ---＝＋， 由24430x x --＋＜，得24430x x -＋＞，解得x ＞12或x ＜－32.17．已知函数()2,0,0x x f x x x ⎧⎨<⎩≥＝，则关于x 的不等于()2(32)f x f x -＞的解集是________．【答案】 (－∞，－3)∪(1,3)【分析】 因为20x ≥，所以()22f x x ＝，当3－2x ＜0时，不等式()2(32)f x f x -＞，即为22(32)x x -＞，解得32＜x ＜3； 当320x －≥时，不等式()2(32)f x f x -＞即为232x x -＞，解得1＜x 32≤或x ＜－3，综上可得原不等式的解集为(－∞，－3)∪(1,3)．18．已知a ∈[－1,1]，不等式2(4)420x a x a -->＋＋恒成立，则x 的取值范围为________．【答案】 {x |x <1或x >3}【分析】把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记()2(2)(44)f a x a x x --＝＋＋，则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需2(1)560f x x -->＝＋，且()21320f x x ->＝＋即可，联立方程解得x <1或x >3.。
一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法
学科：数学年级: 高一期数:120一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法1.[知识要点]本节要求学生熟练掌握|ax+b|<c, |ax+b|>c(c>0)型和ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0) 型不等式的解法以及与此有关问题的解决.上述几种不等式的解法如下:(1) 型如|x|<a (a>0), |ax+b|<c (c>0)的解法:|x|<a (a>0)的解集是{x|-a<x<a}; |ax+b|<c(c>0) 的解集是{x|-c<ax+b<c},据此再求出原不等式的解集, 此处要注意讨论a的符号。
(2)型如|x|>a (a>0) , |ax+b|>c(c>0)的解法:|x|>a (a>0)的解集是{x|x>a,或x<-a};|ax+b|>c(c>0)的解集是{x| ax+b>c,或ax+b<-c}据此再求出原不等式的解集, 此处也要注意讨论a的符号.(3)一元二次不等式的解法:22, 型如ax2+bx+c<0(a<0) 可化成ax2+bx+c>0(a>0)后再求解.2. [典型例题]例1: 解不等式|4-2x|>7分析: 此不等式解法可参照|ax+b|>c(c>0)的解法.解: 原不等式等价于|2x-4|>7由此得2x-4>7,或2x-4<-7解得x>112, 或x<-32所以, 原不等式的解集是{x| x>112, 或x<-32}例2: 解不等式-x2+5x-6≥0分析: 首先把二次项系数变为正数, 然后再解.解: 两边都乘以-1, 得x2-5x+6≤0因∆>0,方程x2-5x+6=0的解是x1=2 x2=3所以, 原不等式的解集是{x|2≤x≤3}例3: m是何值时, 不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0 (m ≠ -1)对于任何x∈R都成立?分析: 由于m≠-1, 由此使此题转化为不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0的解集为R需要满足什么条件? 这里只需使∆≤0且m+1>0即可解: 因m≠-1且(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0对于任何x∈R都成立, 则只要满足∆=[-2(m-1)]2-4(m+1)⨯3(m-1) ≤0且m+1>0即可解这个不等式得m≥2所以, 当m≥2 时, 不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ````≥0(m≠-1) 对于任何x∈R都成立.3. [巩固训练](一) 选择题(1) 不等式|x-4|+1>0的解集是( )A. {x|x>5,或x<3}B. {x|3<x<4}C. RD. ∅(2) 下列一元二次不等式中, 解集为∅的是( )A. (x-3)(1-x)<0B. x2-2x+3<0C.(x+4)(x-1)<0D.2x2-3x-2>0(3) 不等式-|x-5|>-15的解集是( )A. {x|-10<x<20}B.{x|x<20}C.{x|x<-10或x>20}D. {x|x>-10}(4) 若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7<x<-1}那么a的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4(5) 不等式1≤|x-3|≤6的解集是( )A. { x|-3≤x≤9}B. {x|x≤2或x≥4}C. {x|-3≤x≤4}D. {x|-3≤x≤2或4≤x≤9}(6)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A, 不等式x2+x-6<0的解集是B, 不等式x2+ax+b<0的解集是A⋂B, 那么a+b等于( )A. -3B. 1C. -1D. 3(二) 填空题:(7) 不等式x2+5x+m<0的解集是{x|-7<x<2},则m=______(8) 不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-1,或x>2}, 那么不等式ax2-bx+c>0的解集是_________(9) 不等式|x2-2x-3|>x2-2x-3的解集是_____________(10) 不等式x2-(a+1)x+a>0(a>1)的解集是___________(三) 解答题:(11) 解不等式|x-a|>2(12) 证明对于任何实数K, 方程x2-(k+2)x+2k=0有实根(13) 若不等式mx2+(2m+1)x+9m+4<0的解集为R, 求实数m的取值范围.(14) 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>04. 参考答案(一) 选择题(1) C (2) B (3) A (4) C (5) D (6) A(二) 填空题(7) -14 (8) {x|x>1或x<-2} (9) {x|-1<x<3} (10) {x|x>a或x<1}(三)解答题(11) 提示: 由|x-a|>2得x-a>2或x-a<-2解得x>a+2 或x<a-2 所以, 原不等式的解集为{x|x>a+2或x<a-2}(12) 提示: 因为∆=(k+2)2-4⨯2k=k2-4k+4=(k-2)2≥0对任何实数k都成立, 所以对任何实数k, 方程x2-(k+2)x+2k=0有实根(13) 提示: 分类讨论①当m=0时, 原不等式变为2x+4<0, 显然它的解集不是R,所以m=0不满足条件②当m≠0时, 只要满足∆=[2(m+1)]2-4m(9m+4)<0m<0即可, 解得m<-12由①②知, m<-12(14) 提示: 原不等式变形(x-a)(x-a2)>0①当a>1或a<0时, 有a2>a, 故原不等式解集为{x|x>a2或x<a}②当0<a<1时, 有a2<a, 故原不等式解集为{x|x>a或x<a2}③当a=0或a=1时, 有a2=a, 故原不等式解集为{x|x≠a}.。
不等式的解法
例3、（1）若ax2+abx+b>0的解集为区间（1，2） 求①a,b的值。②bx2－abx+a<0的解集 （2）若
的解集为R，求m的取值范围 解：（1）由已知得a<0且1，2是方程ax2+abx+a=0的根， 所以
则所求解之不等式为 ∴解集为
即2x2+3x+1>0
（2）若 的解集为R，求m的取值范围 解：（2）∵x2－2x+3=(x－1)2+2>0 ∴由已知得 的解集为R 则①当m=2时，不等式蜕化为－1<0，恒真 ②当m≠2时，应有
目标 △=b2-4ac的值 ax2+bx+c=0 (a>0)的解集 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
△>0 {x|x<x1或x>x2} 两根之外 {x|x1<x<x2} 两根之间
△=0 φ
△<0
φ
R
φ
例子讲解：
• 例1、解关于x的不等式 mx－2>x－3m • 分析：显然应该先标准化，再分类讨论得解。 • 解：原不等式可化为 （m－1）x>2－3m 当m>1时 解集为 当m=1时 得 x>－1解集为R 当m<1时 解集为
∴m&不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|0<α<χ<β}试用表 示α、β不等式cx2-bx+a>0的解集。
课外作业
后记
例2、解关于x的不等式（1）2－x>2x－x2 （2）2a－ax>2x－x2
一个简单分式不等式的三种解法
一个简单分式不等式的三种解法例：解不等式：对于此不等式，曾有学生作出如下解法：对于此种解法，其思路是将原不等式两边同时乘以，然后移项、变形。
其思路好像没什么问题。
但细心的同学马上会发现，这个解集里面有0，而0显然不是原不等式的解，也就是说，这个答案是有问题的。
那这种解法的问题出在哪里呢？回顾一下初中的知识，我们便知道：不等式两边同时乘（或除）以一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘（或除）以一个负数，不等号的方向要改变。
这种解法在对原不等式两边同时乘以时，没有考虑到的正负。
从题目来看，显然不可能为0。
如此一来，就可能为正也可能为负。
当为正时，原不等式的不等号方向不变；当为负时，原不等式的不等号方向要改变。
所以应该对的正负进行讨论。
其正确解法如下：解法一：（分类讨论）解法一对进行了讨论。
这种方法属于分类讨论法，是高中数学的一个重要的方法，也是高中数学考试中的重难点。
学生需要逐渐理解并掌握此方法。
另外，对于此不等式，除了解法一的方法外，还可以用其他的方法进行解答。
解法二：（等价变形）解法三：（数形结合）原不等式即，由图可得：的取值范围是 ∴原不等式的解集为：三种解法各有特色，其中解法三充分运用了函数图象的直观性，展现了数形结合的优点。
32->x⎪⎭⎫⎝⎛∞+-∴->∴->->∴->，原不等式的解集为即3232233232x x x xx x x x x x x x ()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞--<-<-<<>∴->>≠，，原不等式的解集为：综上，，解得即时，原不等式等价于当此时显然成立时，原不等式等价于当由题可知，032.3223320.0.320.0x x x x x x x x x ()()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∴-<>>+>+>+⇔->，，原不等式的解集为：或解得：即即03232003203203232x x x x xx xx ()()的图象如下：，则设x f xx f 2=()3->x f x032>-<x x 或()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，032。
不等式的解法
【例题精解】
【例2】 解下列不等式 (1)(3x-4)(2x+1)>0 (2)-x2-x+12>0
【例3】 解不等式-3x2≥-6x+2
【例6】 解下列不等式
(1)|x-2|>3
(2)|3x-5|<8
(3)|1-2x|≤5
【解】 (1)原不等式等价于x-2>3或x-2<-3即x>5或x<-1 ∴原不等式的解集是{x|x>5或x<-1}
13.不等式2x2+4>x2+6的解集是
.
[-1,1]
15.如果以x为未知数的方程mx2-(1-m)x+m=0没有实数根,那么m
的取值范围是
.
18.解下列不等式,并把解集在数轴上表示. (1)(7x+3)(4-3x)>0 (2)(x-3)(x-4)>-1
(2)原不等式等价于x2-7x+13>0
A.(15,-8) B.(-8,15] C.[-8,15)
D.[-8,15]
【答案】C
2.不等式-2x<-6的解集是 ( ) A.{x|x>3} B.{x|x>-3} C.{x|x<3} D.{x|x<-3}
【答案】A
【答案】A
4.不等式x2+12x+36>0的解集是 ( )
A.∅
B.R
C.{x|x≠-6} D.{x|x<-6或x>6}
【答案】B
【答案】D
5.已知|x-a|<b的解集是(-2,6),则a,b分别是
A.-2,-4
B.2,4
C.-2,4
() D.2,-4
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不等式的解法习题
1.不等式5310x x -++≥的解集是 .
2. 751<-+-x x 的解集是
3. 不等式
0)4)(3)(1)(1(2>-++-x x x x x 的解集是 . 4. 不等式x ->21的解集为A ，不等式
216616x x x -->--的解集为B ，则A 与B 的关系是
A.
A B ⊃ B. A B ⊂ C. A B =
D. A B =ΦI 5. 不等式x x 21-≥的解集为
A. {}x x |≥1
B.
{}x x x |≤>12或 C. {}x x |12≤≤ D.
{}x x |12≤< 6. 不等式111+<-x x 的解集是
A. {}3|->x x
B. }2234|{<<x x
C. }1|{<x x
D. 2|{>x x 或}12<<-x
7. 不等式33+>
+x x x x 的解集是
A.
]0,3(- B. R C. ),0()3,(∞+⋃--∞ D. )0,3(-
对于任意实数x ，不等式||||x x a ++->12恒成立，则
实数a 的取值范围是____________. 9. 不等式11<-x ax 的解集为),
2()1,(∞+⋃-∞则a 的取值范围是
A. 21>a
B. 21<a
C.
21=a D. 1-<a 10. 若不等式022>
++bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则b a -的值是
A. 10-
B. 14-
C. 10
D. 14
11. 关于x 的不等式012<-++a ax ax
的解集为R ，则a 的
取值范围为 A. )0,(-∞ B. ),34()0,(+∞⋃-∞
C. ]0,(-∞
D. ),34(]0,(+∞⋃-∞
12．设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值。
（2016年全国3）已知函数()|2|f x x a a =-+． （I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集； （II ）设函数()|21|g x x =-．当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[2,)+∞．
26答案：一. 填空题 1. ()-∞，3 2.{}2|φx x
3.
),4()1,0()3,(+∞⋃⋃--∞ 4. 10≤≤k
5. 11,0,122⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U 6。
(][),46,-∞-+∞U 二、选择题 7. A 8. D 9. A 10. B 11. D 12. D 13. A 14.
A 15. C 16. A 17. C 18．B
三、解答题
18。
解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为
|1|2x -≥。
由此可得 3x ≥或1x ≤-。
故不等式()32f x x ≥+的解集为
{|3x x ≥或1}x ≤-。
( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得
30x a x -+≤
此不等式化为不等式组
30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩
即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2
x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2
a x x ≤- 由题设可得2
a -= 1-，故2a =。