矢量场的环量和旋度

)

(c)
l A dl S ( A) dS
【例1-11】求矢量 A yex xey cez （c是常量）沿曲线 (x 2)2 y2 R2 , z 0 的环量。
y
R

O (2,0) l
【解】：曲线l是以（2，0）为圆心，R为
半径的圆，故线元 dl dxex dyey
l 方向的单位矢量
lo
l l
1 3 (ex 2ey 2ez )
在点 M (1, 2,3)处沿 l 方向的环量面密度为：
A lo 5 8 6 19
M
333 3
内容小结
主要概念：
环量 旋度
旋涡源
若环量（旋度）等 于零，该矢量场为 无旋场或保守场
主要定理：
3
3
3 (1,2,3) 3
②
ex
ey
ez
rot A A


x
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z y)ex (z x)ey ( y x)ez
在点M (1, 2,3) 处旋度为
rot A (1,2,3)
5ex
4ey
3ez
在点M (1, 2,3) 处沿方向 l ex 2ey 2ez 的环量面密度。 ①直接应用环量面密度的计算公式； ②作为旋度在该方向的投影。
【解】：
①矢量 l ex 2ey 2ez 的方向余弦为
cos 1 , cos 2 , cos 2
3
3
3
矢量场为 A x(z y)ex y(x z)ey z(y x)ez 由环量面密度公式
的边界曲线记为l。 若当S 收缩至P 点附近时存在极限
lim l A dl
S 0 S
S nS
P A
l
(b)
则此极限称为矢量场 A 在P 点沿n方向的环量（面）密度
或环量强度。该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有
关。
2. 旋度 定义：
矢量场A在某给定点的旋度用rotA表示为
规律；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。 旋度的运算规则：
( A) 0
() 0
1.4.3 斯托克斯定理
表达式： l A dl S ( A) dS
式中S为闭合曲线l所包围的曲面。
物理含义： 矢量A沿任意闭合曲线l的环量等于以l为边界的曲面S
上旋度的面积分。

Ay z
) cos


Az x

Ax z

cos



Ay x

Ax y

cos


旋度和散度的区别：
（1）矢量场的旋度是矢量，散度是标量。 （2）旋度描述场中各点的旋涡源强度；
散度描述场中各点的通量源强度。 （3）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的各方向上的变化
环量
x A dl l l ( yex xey cez ) (dxex dyey )
l ( ydx xdy)
2π
0 [R sind(2 R cos ) (2 R cos )d(R sin )] 2π (R2 2R cos )d
பைடு நூலகம்托克斯定理的证明：
lim l dl rot A n
S 0 S
A dl ( A) dS l
对于有限大面积S，可将其按如图(c)方式进行分割，对 每一小面积元有
l1 A dl ( A) dS1
l2 A dl ( A) dS2
( Az y

Ay z
) cos


Ax z

Az x

cos



Ay x

Ax y

cos


(z y) 1 (x z) 2 (x y) 2
3
3
3
将点 M (1, 2,3) 代入上式：
(z y) 1 (x z) 2 (x y) 2 19
第一章 矢量分析
1.4 矢量场的环量和旋度
主要内容
环量 旋度 斯托克斯定理
学习目的
掌握环量、旋度的物理意义 了解环量、旋度的关系 灵活运用斯托克斯定理求解矢量场
1.4.1 矢量场的环量（环流）
定义：
矢量场A沿空间有向闭合曲线l 的积分称为矢量场A的环量。
l
A
MP
A
表达式： l A dl l Acosdl
0
2πR2
方法二：
rot A A
ex ey ez
x y z y x c
2ez
由斯托克斯定理得
Adl l
( A) dS
s

2
s ez
dS
2πR2
【例】用以下两种方法求矢量场 A x(z y)ex y(x z)ey z(y x)ez
斯托克斯定理
主要公式
环量 旋度
c A dl c Acosdl
ex ey ez rot A A
x y z
Ax Ay Az


Az y

Ay z
ex


Az x

Ax z

ey


Ay x

Ax y
ez
旋度与环量密度的关系为
lim l Adl rot A n
S0 S
计算环量面 密度的方法

( Az y
Adl
rot A A lim[ l S0 S
]max n
大小：最大的环量密度；
方向：取得最大环量密度时的面元方向。
旋度的物理意义：
矢量的旋度是描述矢量场A在各点处的旋涡源强度。
表达式： 在直角坐标系下
ex ey ez rot A A
x y z
物理意义：
（旋合a涡）曲源线位l包于围闭 形成的曲面内。
（1）环量用来描述产生该矢量场的旋涡源。
（2）若 0 ，表示该矢量场为无旋场或保守场； 若 0 ，表示该矢量场为涡旋场。 由图(a)可见，环量取决于曲线l的绕行方向。
1.4.2 矢量场的旋度
1. 环量密度 如图(b)过点P 作一微小曲面S，它