优秀课件华师大版八年级数学上册：13.5逆命题与逆定理2.线段垂直平分线 (共14张PPT)
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华师大版八年级数学上册《13.5逆命题与逆定理2》课件
这表明直线 l 既平分线段AA'，又垂直线段AA '
l 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作，这条 线段的垂直平分线．
上面的分析表明：如果两点A，A '关于直 线l对称，则l是线段AA '的垂直平分线？
12
A
C
A'
反过来，设 l 是线段AA '的垂直平分线，那么点 A，A '是否关于直线 l 对称？
由于∠1＝∠2，因此沿直线 l 折叠图形后，射线CA与射线CA '重合，以由 于CA＝CA ' ，从而点A与A '重合，因此点A，A '关于l 对称．
不论P点在直线l上怎样移
动，总有PA_＝___PB
l P
A
C
B
因为l是线段AB的垂直平分线，从而点A与点B关于直线l对称，于是沿l折 叠时A与B重合，又P在对称轴l上，所以PA＝PB．
线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．
反过来，和两点A，B
的距离相等相等的点
l
是否在线段AB的垂直
P
平分线上？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
1 作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于 2 AB的长为半径作弧，两
弧相交于点C和D；
2.作直线CD，
C
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
A
B
请你用圆规和直尺亲自操作
D
1.如图，把线段AB分为4等份
A
B
2.如图，在一条笔直的公路的同一侧有两个工厂，现想在公 路上建一个中转站，要使它到两个工厂的距离相等，那么 中转站应设在何处？
2.如图，线段AB，BC的垂直平分线相交于点P，试问线段PA，PB，
l 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作，这条 线段的垂直平分线．
上面的分析表明：如果两点A，A '关于直 线l对称，则l是线段AA '的垂直平分线？
12
A
C
A'
反过来，设 l 是线段AA '的垂直平分线，那么点 A，A '是否关于直线 l 对称？
由于∠1＝∠2，因此沿直线 l 折叠图形后，射线CA与射线CA '重合，以由 于CA＝CA ' ，从而点A与A '重合，因此点A，A '关于l 对称．
不论P点在直线l上怎样移
动，总有PA_＝___PB
l P
A
C
B
因为l是线段AB的垂直平分线，从而点A与点B关于直线l对称，于是沿l折 叠时A与B重合，又P在对称轴l上，所以PA＝PB．
线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．
反过来，和两点A，B
的距离相等相等的点
l
是否在线段AB的垂直
P
平分线上？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
1 作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于 2 AB的长为半径作弧，两
弧相交于点C和D；
2.作直线CD，
C
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
A
B
请你用圆规和直尺亲自操作
D
1.如图，把线段AB分为4等份
A
B
2.如图，在一条笔直的公路的同一侧有两个工厂，现想在公 路上建一个中转站，要使它到两个工厂的距离相等，那么 中转站应设在何处？
2.如图，线段AB，BC的垂直平分线相交于点P，试问线段PA，PB，
华东师大版八年级上册数学课件13.5逆命题与逆定理2.线段垂直平分线
＝8 cm，AC＝6 cm.
18． (2016· 天门) 如图 ，在△ABC中， AC的垂直平分线分别交 AC、 BC 于 E 、 D 两点 ， EC ＝ 4 ， △ ABC 的周长为 23 ， 则△ ABD 的周长为 B ( ) A．13 B．15 C．17 D．19
19 ． 如图 ，△ ABC 中 ，AB 、 AC 的垂直平分线分别交 BC 于D 、 E ，垂 足分别是M、N.
6 ． 如图， AD⊥BC ， BD ＝ CD ， 点 C 在 AE 的垂直平分线上．若 AB
＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．
解： ∵AD⊥BC， BD ＝CD ，∴AB＝ AC.∵点C在AE 的垂直平分线 上，∴AC＝CE.∵AB＝5 cm，BD＝3 cm，∴CE＝5 cm，CD＝3 cm，
12．如果三角形两边垂直平分线的交点在三角形的一边上 ，则这个三 C) 角形为(
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
13．(2016·德州)如图，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝30°， 1 分别以点 A 和点 C 为圆心，大于2AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M、 N， 作直线 MN， 交 BC 于点 D， 连结 AD， 则∠BAD 的度数为( A．65° B．60° C．55° D．45°
易错点：未对等腰三角形的顶角分类讨论而出错
10．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相
20°或70°． 交所得到的锐角为50°，则∠B等于_____________
11．如图，已知△ABC(AC<BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋ PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( ) D
∴BE＝BD＋DC＋CE＝11 cm.
18． (2016· 天门) 如图 ，在△ABC中， AC的垂直平分线分别交 AC、 BC 于 E 、 D 两点 ， EC ＝ 4 ， △ ABC 的周长为 23 ， 则△ ABD 的周长为 B ( ) A．13 B．15 C．17 D．19
19 ． 如图 ，△ ABC 中 ，AB 、 AC 的垂直平分线分别交 BC 于D 、 E ，垂 足分别是M、N.
6 ． 如图， AD⊥BC ， BD ＝ CD ， 点 C 在 AE 的垂直平分线上．若 AB
＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．
解： ∵AD⊥BC， BD ＝CD ，∴AB＝ AC.∵点C在AE 的垂直平分线 上，∴AC＝CE.∵AB＝5 cm，BD＝3 cm，∴CE＝5 cm，CD＝3 cm，
12．如果三角形两边垂直平分线的交点在三角形的一边上 ，则这个三 C) 角形为(
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
13．(2016·德州)如图，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝30°， 1 分别以点 A 和点 C 为圆心，大于2AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M、 N， 作直线 MN， 交 BC 于点 D， 连结 AD， 则∠BAD 的度数为( A．65° B．60° C．55° D．45°
易错点：未对等腰三角形的顶角分类讨论而出错
10．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相
20°或70°． 交所得到的锐角为50°，则∠B等于_____________
11．如图，已知△ABC(AC<BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋ PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( ) D
∴BE＝BD＋DC＋CE＝11 cm.
八年级数学上册第13章全等三角形13.5逆命题与互逆命题2线段垂直平分线课件新版华东师大版
性质定理 逆命题
一直线是一 线段的垂直 平分线
该直线上的点 到线段两端的 距离相等
点到线段两端 该点在线段的 的距离相等 垂直平分线上
已知: 线段AB,且PA=PB
P
证求明证::
点P在线段AB的垂直 平分线MN上.
过点P作PCAB垂足为C.
∵ PA=PB(已知) ∴ PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义)
A
E
13cm
B
D
C
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分
线.请你指出图中相等A的D线=段BD有哪AC些?= BC
D3
CF = BF CE = BE F CF =DF
2
即:BF=CF=DF
A
C1E B
小结: 1.线段的垂直平分线上的点,到这条
线段两个端点的距离相等.
互命 逆题
2.到一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.
E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号)
A
A
1题图
E
2题图
E
B D C
B D C
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂
直平分线MN交AC于D,则 1= 60o ,
2= 45o .
A
30o
M
D
1N
30o
B 2 2 75o C
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm
AC
B∴AC=BC(等腰三角形底边上的高
是底边上的中线)
∴PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上.
华师版数学八年级上册1逆命题与逆定理第3课时角平分线课件
13.5 逆命题与逆定理
第3课时 角平分线
学习目标
掌握并会证明角平分线的性质定理； 掌握并会证明角平分线的性质定理
的逆定理.
温故知新
角是轴对称图形吗？ 是. 角的对称轴是什么？ 角平分线所在的直线. 角平分线的尺规作图还记得吗？ 角平分线有什么性质？
新知探索
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC 上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别 为点D和点E.试证：PD = PE.
OI = OH OG = OI
根据这个思路，你能 写出证明过程吗？
OG = OH
点O在∠BCA 的平分线上
练习
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂 足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是( D ) A．PA = PB B．PO平分∠APB C．OA = OB D．AB垂直平分OP
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC 上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别 为点D和点E.试证：PD = PE.
∵∠PDO =∠PEO， ∠BOC =∠AOC， OP = OP，
∴△PDO≌△PEO(A.A.S.). ∴ PD = PE(全等三角形对应边相等).
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 注意
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为
垂足，QD =OQ. ∵ QD⊥OA，QE⊥OB ， ∴ ∠QDO =∠ QEO = 90°. 在 Rt△QDO和Rt△QEO中， ∵ OQ = OQ，QD = QE， ∴ Rt △QDO≌Rt △QEO (H.L.),
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
第3课时 角平分线
学习目标
掌握并会证明角平分线的性质定理； 掌握并会证明角平分线的性质定理
的逆定理.
温故知新
角是轴对称图形吗？ 是. 角的对称轴是什么？ 角平分线所在的直线. 角平分线的尺规作图还记得吗？ 角平分线有什么性质？
新知探索
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC 上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别 为点D和点E.试证：PD = PE.
OI = OH OG = OI
根据这个思路，你能 写出证明过程吗？
OG = OH
点O在∠BCA 的平分线上
练习
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂 足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是( D ) A．PA = PB B．PO平分∠APB C．OA = OB D．AB垂直平分OP
已知: 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC 上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别 为点D和点E.试证：PD = PE.
∵∠PDO =∠PEO， ∠BOC =∠AOC， OP = OP，
∴△PDO≌△PEO(A.A.S.). ∴ PD = PE(全等三角形对应边相等).
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 注意
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为
垂足，QD =OQ. ∵ QD⊥OA，QE⊥OB ， ∴ ∠QDO =∠ QEO = 90°. 在 Rt△QDO和Rt△QEO中， ∵ OQ = OQ，QD = QE， ∴ Rt △QDO≌Rt △QEO (H.L.),
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
新华师大版八年级上册初中数学 2-线段垂直平分线 教学课件
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上 任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你 发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
M P
对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.
A CN B
第五页，共二十页。
新课讲解
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明： ∵MN ⊥AB（已知）,
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中,
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q 作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂 直于线段AB．
第九页，共二十页。
新课讲解
已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
发现：三角形三边的垂直平分线交于一
点．这一点到三角形三个顶点的距离相 等．
怎样证明这个结论呢?
第十二页，共二十页。
新课讲解
分析：要证明三条直线相交于一点，只 l
A n
要证明其中两条直线的交点在第三条直
线上即可.思路可表示如下：
P
B
m
C
l是AB的垂直平分线 PA=PB
m是BC的垂直平分线 PB=PC
逆命题 一个点到线段两
端的距离相等
这个点到线段两 端的距离相等
这个点在线段的垂 直平分线上
想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
第八页，共二十页。
新课讲解
知识点 线段垂直平分线的性质定理 逆命题：如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂 直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
M P
对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.
A CN B
第五页，共二十页。
新课讲解
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明： ∵MN ⊥AB（已知）,
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中,
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q 作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂 直于线段AB．
第九页，共二十页。
新课讲解
已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
发现：三角形三边的垂直平分线交于一
点．这一点到三角形三个顶点的距离相 等．
怎样证明这个结论呢?
第十二页，共二十页。
新课讲解
分析：要证明三条直线相交于一点，只 l
A n
要证明其中两条直线的交点在第三条直
线上即可.思路可表示如下：
P
B
m
C
l是AB的垂直平分线 PA=PB
m是BC的垂直平分线 PB=PC
逆命题 一个点到线段两
端的距离相等
这个点到线段两 端的距离相等
这个点在线段的垂 直平分线上
想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
第八页，共二十页。
新课讲解
知识点 线段垂直平分线的性质定理 逆命题：如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂 直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
13.5.3 逆命题与逆定理(线段垂直平分线的判定)(华东师大版)(共16张PPT)
（3）你发现了什么规律，试证明；
（4）将题中的∠A改为钝角，（3）中的规律还成立吗？若不成立，应
怎样加以修改？
？ A
N
B
CM
小结
这节课我学到了什么？ 我的收获是…… 我还有……的疑惑
P 98
习题 13.5
第2、3题
选做题
1.如图，AB＞AC，∠BAC的平分线交BC的垂直平分线于点D，自D作 DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：BE=CF.
OA=OB OB=OC
OA=OC
点O在AC的垂 直平分线n上
学以致用
例 1 在ABC中，C=90，A=30°，BD平分ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上.
B
C
D
A
【变式】如图，在ABC中，点D在AC边上，且CD+BD=AC,求证：点D 在AB的垂直平分线上。
数学活动室
1.在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足 AB+BD=DE，求证：点C在线段AE的垂直平分线上。
学
A
以
致
用
B DC
E
学以致用
例 2 已知:如图，AD平分BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，
连结AF.求证: CAF= B.
A
E
B
DC F
学以致用
例 3 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC
的延长线于M，∠A=40°. （1）求∠M的度数；
（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，求∠M的度数；
问题2：请你写出“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等” 的逆命题。 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
华师大版八年级上册数学作业课件：13.5 逆命题与逆定理 第2课时 线段垂直平分线
14．如图，在△ABC中，∠A＝60°， ∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP＝n°.∵∠A＝60°，∠ACP＝m°，∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP ＝180°－60°－m°，∴3∠ABP＝120°－m°，∴3n°＋m°＝120°，故答案为 m＋3n＝120 点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内 8
16．如图，在△ABC中，∠B＝ 22.5°，边AB的垂直平分线l交BC于 D，DF⊥AC于F，并与BC边上的高10
9
证明：连结 AD，∵l 垂直平分 AB，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠BAD ＋∠B＝45°.∵AE⊥BC，∴∠DAE＝90°－45°＝45°，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE.∵DF ⊥AC，AE⊥BC，∴∠EDG＋∠C＝90°，∠EAC＋∠C＝90°，∴∠EDG＝∠EAC.又∵∠DEG＝ ∠AEC＝90°，∴△DEG≌△AEC(A.S.A.)，∴EG＝EC
解：(1)∵点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.∵BP 平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC＋∠PCB ＋∠ABP＝180°－60°－24°，∴3∠ABP＝96°，∴∠ABP＝32° (2)m＋3n＝120 提示： ∵点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.∵BP 平分∠ABC，∴∠PBC＝
12．如图，在△ABC中，AB＝AC， 证明：∵AD 是 BC 的垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD.∵AB＋BD＝DE，∴AC＋CD＝DE， ∴AC＝DE－CD＝CE，∴点 C 在线段 AE 的垂直平分线上
O是△ABC内一点，且OB＝OC，点 P是直线OA上一动点，求证：PB＝7
16．如图，在△ABC中，∠B＝ 22.5°，边AB的垂直平分线l交BC于 D，DF⊥AC于F，并与BC边上的高10
9
证明：连结 AD，∵l 垂直平分 AB，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠BAD ＋∠B＝45°.∵AE⊥BC，∴∠DAE＝90°－45°＝45°，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE.∵DF ⊥AC，AE⊥BC，∴∠EDG＋∠C＝90°，∠EAC＋∠C＝90°，∴∠EDG＝∠EAC.又∵∠DEG＝ ∠AEC＝90°，∴△DEG≌△AEC(A.S.A.)，∴EG＝EC
解：(1)∵点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.∵BP 平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC＋∠PCB ＋∠ABP＝180°－60°－24°，∴3∠ABP＝96°，∴∠ABP＝32° (2)m＋3n＝120 提示： ∵点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.∵BP 平分∠ABC，∴∠PBC＝
12．如图，在△ABC中，AB＝AC， 证明：∵AD 是 BC 的垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD.∵AB＋BD＝DE，∴AC＋CD＝DE， ∴AC＝DE－CD＝CE，∴点 C 在线段 AE 的垂直平分线上
O是△ABC内一点，且OB＝OC，点 P是直线OA上一动点，求证：PB＝7
华师版八年级数学 13.5逆命题与逆定理(学习、上课课件)
感悟新知
知2－练
解：(1)有逆定理. 逆定理：在一个三角形中，等边对等角. (2)有逆定理. 逆定理：内错角相等，两直线平行. (3)没有逆定理. 逆命题：有三组角对应相等的两个三角形 全等，逆命题为假命题，故没有逆定理.
感悟新知
知2－练
2-1.下面的命题互为逆定理吗？如果不是，请说明理由. (1)“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直 线平行”； 解：两个命题互为逆定理．
(2)“对顶角相等”与“等的角是对 顶角”是假命题．
课堂小结
互逆命题与互逆定理
原命题 原定理
条件、结论 交换
互逆命题
逆命题
一定 不一定
互逆定理
逆定理
条件、结论 交换
第13章 全等三角形
13.5 逆命题与逆定理
13.5.2 线段垂直平分线
论，把条件和结论互换，并用通顺的语句将它们连起 来即可得到逆命题.
感悟新知
知1－练
例 1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a>b，那么a2>b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab<0，那么a>0，b<0.
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用线段垂直平分线的性质将要求的线段向已 知条件转化. 解：∵DE为BC的垂直平分线，∴ CD＝BD. ∴△ACD的周长为AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋ AB＝8 cm. ∵ AB＝5 cm，∴ AC＝3 cm.
感悟新知
知1－练
1-1. 如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC＝ 2.3cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是_7_.8__cm__.
数学华东师大版八年级上册13.5.2《线段垂直平分线》课件 (共20张PPT)
求证：D点在AB的垂直平分线上。
Ａ
Ｄ
∟
Ｃ
Ｂ
证明：三角形三边的垂直平分线交于一点 自学P９５页试一试，小组交流。
1．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB 于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( B )
A．50° B．100°
C．120° D．130°
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4， 边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的
线段垂直平分线的判定定理：
到线段两端距离相等的点在 P 线段的垂直平分线上.
用几何语言表示为： A
B
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
▼作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
【典例1】如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE ＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长．
13.5.2 线段的垂直平分线
射洪县金家中学校 王勇
在数学的领域中,提出问题的艺术比解答 问题的艺术更为重要.
——康托尔
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个 公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？
B A
公路
1、画线段AB并作它的垂直平分线MN，垂足为C；
已知： 如图，QA＝QB.
M Q
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 分析：
为了证明点Q在线段AB的垂直平分 线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然 A 后证明该垂线平分线段AB；（作垂线证平分）
B N
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后 证明QC垂直于线段AB． （作中线证垂直）
Ａ
Ｄ
∟
Ｃ
Ｂ
证明：三角形三边的垂直平分线交于一点 自学P９５页试一试，小组交流。
1．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB 于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( B )
A．50° B．100°
C．120° D．130°
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4， 边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的
线段垂直平分线的判定定理：
到线段两端距离相等的点在 P 线段的垂直平分线上.
用几何语言表示为： A
B
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
▼作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
【典例1】如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE ＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长．
13.5.2 线段的垂直平分线
射洪县金家中学校 王勇
在数学的领域中,提出问题的艺术比解答 问题的艺术更为重要.
——康托尔
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个 公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？
B A
公路
1、画线段AB并作它的垂直平分线MN，垂足为C；
已知： 如图，QA＝QB.
M Q
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 分析：
为了证明点Q在线段AB的垂直平分 线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然 A 后证明该垂线平分线段AB；（作垂线证平分）
B N
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后 证明QC垂直于线段AB． （作中线证垂直）
华师大版八年级数学上册《线段垂直平分线》公开课课件
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
13.5.2线段垂直平分线
人字形屋顶的框架中，B，C两点是关于AD的对称点，那 么线段AD与线段BC有什么关系？
A
B
C
D
AD垂直平分BC
在图中，如果A，A'是关于直线l的对称点，那么， 直线l与线段AA'有什么关系？
l
直线l 垂直平分AA'
12
A'
A
C
连结AA'，交直线l于C点，那么沿直线l折叠后，点A与A'重合，于是有 AC＝CA'，∠1=∠2=90º
A B
C
A'
答案：中转站应设在C点处
▪1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月13日星期日2022/2/132022/2/132022/2/13 ▪2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/132022/2/132022/2/132/13/2022 ▪3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/132022/2/13February 13, 2022 ▪4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/132022/2/132022/2/132022/2/13
2.如图，线段AB，BC的垂直平分线相交于点P，试问线段PA，PB，
PC的长度是否相等？ PA＝PB＝PC
M'
l PQ
C
B
N'
如图，因为两点确定一条直线，所以直线作出线断AB的垂直平分线， 只要找出线段AB的垂直平分线上任意两点就可以了，根据和一条线 段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，这一性 质，可得如下作法：
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13.5.2线段垂直平分线
人字形屋顶的框架中，B，C两点是关于AD的对称点，那 么线段AD与线段BC有什么关系？
A
B
C
D
AD垂直平分BC
在图中，如果A，A'是关于直线l的对称点，那么， 直线l与线段AA'有什么关系？
l
直线l 垂直平分AA'
12
A'
A
C
连结AA'，交直线l于C点，那么沿直线l折叠后，点A与A'重合，于是有 AC＝CA'，∠1=∠2=90º
A B
C
A'
答案：中转站应设在C点处
▪1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月13日星期日2022/2/132022/2/132022/2/13 ▪2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/132022/2/132022/2/132/13/2022 ▪3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/132022/2/13February 13, 2022 ▪4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/132022/2/132022/2/132022/2/13
2.如图，线段AB，BC的垂直平分线相交于点P，试问线段PA，PB，
PC的长度是否相等？ PA＝PB＝PC
M'
l PQ
C
B
N'
如图，因为两点确定一条直线，所以直线作出线断AB的垂直平分线， 只要找出线段AB的垂直平分线上任意两点就可以了，根据和一条线 段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，这一性 质，可得如下作法：
八年级数学上册13.5逆命题与逆定理第2课时线段垂直平分线习题课件(新版)华东师大版
解：相等．连接 BC，∵AB＝AC，∴点 A 在线段 BC 的垂直平分 线上．同理，D 点也在线段 BC 的垂直平分线上，∵两点确定一条直线， ∴AD 是线段 BC 的垂直平分线．∵E 是 AD 延长线上的一点，∴BE ＝CE
第八页，共14页。
9．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂
第六页，共14页。
7．(4分)小明做了一个如图所示的风筝，其中(qízhōng)EH＝FH，ED＝ FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中(qízhōng)蕴含 的道理是
到线段两端点距离(jùlí)相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
第七页，共14页。
8．(8 分)如图所示，AB＝AC，DB＝DC，E 是 AD 延长线上的一点， BE 是否与 CE 相等？试说明理由．
解：连接 AB，作 AB 的垂直平分线 MN 交 l 于点 P，点 P 为所求
第十一页，共14页。
15．(10 分)如图所示，已知 AB 比 AC 长 2 cm，BC 的垂直平分线 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，△ACD 的周长是 14 cm，求 AB 和 AC 的 长．
解：∵DE 垂直平分 BC，∴DB＝DC.∵△ACD 的周长是 14 cm， AC＋AD＋DC＝14 cm，∴AC＋AD＋BD＝14 cm，即 AC＋AB＝14 cm. 又∵AB－AC＝2 cm，∴AB＝8 cm ，AC＝6 cm
第十四页，共14页。
第二页，共14页。
1．(4 分)如图，在四边形 ABCD 中，AC 垂直平分 BD，垂足为 E， 下列结论不一定成立的是( C )
A．AB＝AD B．AC 平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
第八页，共14页。
9．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂
第六页，共14页。
7．(4分)小明做了一个如图所示的风筝，其中(qízhōng)EH＝FH，ED＝ FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中(qízhōng)蕴含 的道理是
到线段两端点距离(jùlí)相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
第七页，共14页。
8．(8 分)如图所示，AB＝AC，DB＝DC，E 是 AD 延长线上的一点， BE 是否与 CE 相等？试说明理由．
解：连接 AB，作 AB 的垂直平分线 MN 交 l 于点 P，点 P 为所求
第十一页，共14页。
15．(10 分)如图所示，已知 AB 比 AC 长 2 cm，BC 的垂直平分线 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，△ACD 的周长是 14 cm，求 AB 和 AC 的 长．
解：∵DE 垂直平分 BC，∴DB＝DC.∵△ACD 的周长是 14 cm， AC＋AD＋DC＝14 cm，∴AC＋AD＋BD＝14 cm，即 AC＋AB＝14 cm. 又∵AB－AC＝2 cm，∴AB＝8 cm ，AC＝6 cm
第十四页，共14页。
第二页，共14页。
1．(4 分)如图，在四边形 ABCD 中，AC 垂直平分 BD，垂足为 E， 下列结论不一定成立的是( C )
A．AB＝AD B．AC 平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
华师大版八年级数学上册《线段垂直平分线》优课件
E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号)
A
A
1题图
E
B
D
C
2题图
E
B
D
C
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂
直平分线MN交AC于D,则 1= 60o ,
2= 45o .
A
30o
M
D
1N
30o
B 22 75o C
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm
•
N
条件 结论
性质定 理
逆命题
一直线是一 线段的垂直 平分线
该直线上的点 到线段两端的 距离相等
点到线段两端 该点在线段的 的距离相等
证求明证:: 点P在线段AB的垂直平分线
MN上. 过点P作PCAB垂足为C.
∵ PA=PB(已知) ∴ PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义)
P
的垂直平分线上(已知) B
N C
N/
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这
条线段两个端点距离相等)
同理 PB=PC
∴ PA=PB=PC.
随堂演练
填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
2.线段垂直平分线
八年级上册
新课导入 运用尺规作已知线段的垂直平分线， 在垂直平分线上任意找一点，连结该 点与线段的两个端点，最后沿垂直平 分线对折。你发现了什么？
推进新课
线段垂直平分线的性质定理：
A
A
1题图
E
B
D
C
2题图
E
B
D
C
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂
直平分线MN交AC于D,则 1= 60o ,
2= 45o .
A
30o
M
D
1N
30o
B 22 75o C
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm
•
N
条件 结论
性质定 理
逆命题
一直线是一 线段的垂直 平分线
该直线上的点 到线段两端的 距离相等
点到线段两端 该点在线段的 的距离相等
证求明证:: 点P在线段AB的垂直平分线
MN上. 过点P作PCAB垂足为C.
∵ PA=PB(已知) ∴ PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义)
P
的垂直平分线上(已知) B
N C
N/
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这
条线段两个端点距离相等)
同理 PB=PC
∴ PA=PB=PC.
随堂演练
填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
2.线段垂直平分线
八年级上册
新课导入 运用尺规作已知线段的垂直平分线， 在垂直平分线上任意找一点，连结该 点与线段的两个端点，最后沿垂直平 分线对折。你发现了什么？
推进新课
线段垂直平分线的性质定理：
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13.5.2 线段垂直平分线
探究问题二
线段垂直平分线的判定定理的应用
例 2 如图 13－5－5 所示，已知 AB＝AC，DB＝DC，P 是 AD 上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.
图 13－5－5
13.5.2 线段垂直平分线
[解析] 由 AB＝AC，DB＝DC 可以知道 AD 是 BC 的垂直平 分线，点 P 又是 AD 上的点，所以 PB＝PC.因此就要考虑如何由 线段相等证得角相等，故应连结 BC，探讨∠ABC 与∠ACB，∠ PBC 与∠PCB 之间的关系，从而来证明∠ABP＝∠ACP.
1．线段垂直平分线的性质定理 完成下列填空，想一想线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离有什么关系？ (1)线段既是__ 中心对称 __图形，又是轴对称图形， 线段的垂直平分线 __； 对称轴是__
13.5.2 线段垂直平分线
(2)如图 13－5－3，设直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线， S.A.S. 垂足为点 O，P 是 MN 上的点，连结 PA，PB.根据__ __，可 PAO≌△PBO，从而 PA＝PB.这表明：线段垂直平分线上 得△____ 的点到这条线段两个端点的距离相等 ____．
13.5.2 线段垂直平分线
证明：连结 BC. 因为 AB＝AC，DB＝DC(已知)， 所以点 A， D 均在线段 BC 的垂直平分线上(到线段两 端距离相等的点在线段的垂直平分线上)， 所以 AD 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线)． 因为点 P 在 AD 上， 所以 PB＝PC(线段垂直平分线上 的点到线段两端的距离相等)， 所以∠PBC＝∠PCB(等边对等角)． 又因为 AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB(等边对等角)， 所以∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB， 即∠ABP＝∠ACP.
13.5.2 线段垂直平分线
13.5.2 线段垂直平分线
探 究 新 知
活动1 知识准备
等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上的高为 AD. 4cm ； (1)已知 BC＝8 cm，则 CD＝____ 40°． (2)已知∠BAC＝80°，则∠BAD＝____
13.5.2 线段垂直平分线
活动2
教材导学
解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴AD＝CD，AC＝2AE＝6 cm. 又∵△ABD 的周长＝AB＋BD＋AD＝13 cm， ∴AB＋BD＋CD＝13 cm， 即 AB＋BC＝13 cm， ∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19(cm)．
13.5.2 线段垂直平分线
[归纳总结]通过线段的垂直平分线的性质把未知的线段 转化为已知线段，是进行有关计算和证明的重要方法．
13.5.2 线段垂直平分线
[归纳总结] (1)利用线段垂直平分线的性质可证明两条 线段相等，只需直线满足垂直、平分即可． (2)利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段 相等关系．
图 13－5－3 你还能知道线段垂直平分线有什么性质吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
13.5.2 线段垂直平分线
2．线段垂直平分线性质定理的逆定理 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 逆命题是__ __； 已知该命题是真命题，在图 13－5－3 中，若直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，则当点 P 满足 PA＝PB 时，点 P 在直线___ MN 上． 你能证明线段垂直平分线性质定理的逆定理吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点二
例 1 如图 13－5－4 所示， 在△ABC 中， DE 是 AC 的垂 直平分线，AE＝3 cm，△ABD 的周长为 13 cm.求△ABC 的 周长．
图 13－5－4
13.5.2 线段垂直平分线
[解析] △ABC 的周长等于 AB＋BC＋AC，而线段 BC ＝BD＋CD.因为 DE 是 AC 的垂直平分线，则有 CD＝AD， 所以 BC＝BD＋AD，从而求出 AB＋BC，于是求得△ABC 的周长即可．
(1)如果要确定这一点， 那么只需画两边的垂直平分线取 其交点即可； (2)注意区分： 若要求到三边距离相等 的点， 则是三个内 ．．．．．．． 角平分线的交点(下一节学到)；若要求到三个顶点距离相等 ．．．．．．．．． 的点，则是三边垂直平分线的交点．
13.5.2 线段垂直平分线
重难互动探究
探究问题一 线段垂直平分线的性质定理的应用
13.5.2 线段垂直平分线
新 知 梳 理
► 知识点一 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的__ 距离相等 __．
►
知识点二
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
垂直平分线 到线段两端__ 距离相等 __的点在线段的__ __上．
13.5.2 线段垂直平分线
► 知识点三 三角形三边的垂直平分线交于一点，且 到三个顶点的距离相等