云南师范大学2008年考研数学分析真题

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2008年数四考研数学真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则()10lim nnnn ab--→+（）()A a .()B 1a -. ()C b .()D 1b -.（2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()x f t dt g x x=⎰的（）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷.()D 振荡.（3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（）()A ()()0Df yg x dxdy =⎰⎰.()B ()()0D f x g y d x d y =⎰⎰.()C [()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰.()D [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.（4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'0()axf x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()0,1X N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . （11）2113ln y dx x xdy =⎰⎰ .（12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=通解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限201sin limln x x x x→. (16) （本题满分10分）设()()1f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间.(17)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(18)（本题满分10分）设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时，求(1)dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.(19)（本题满分10分）()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．（20）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解（3）a 为何值，方程组有无穷多解 (21)（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.（22）（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度（23）（本题满分9分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.。

2008考研数一真题答案及详细解析

nx
2
=1-- 六3 -.I,-
41记10=70 1
(—1y+1 n2
cos
nx,
0� 正女．
令x = O,有
2
穴
,=(-l)n+l
f(O) = l--3 +4n�= l n 2
,
又f(O)=l, 所以 (20)证 (I) r(A)=r(a矿+PJJT)
I:=(-l)n -1
ne=l
n"
2
=— 1穴2"
a2 2a l
矿 2a,,,
以下用数学归纳法证明D n =Cn+Da气
当n = l时， D 1 = 2a, 结论成立．
2a 当n = 2时，几=
a
1 = 3a2 ，结论成立．
2a
假设结论对小于n的情况成立．将D n 按第1行展开，得矿1
0 2a 1
D ,, = 2aD n_l -
矿 2a 1
尸 2-2z 2= 0,
2x+3z = 5,
解得
(� — x= — 5,
1
x= l,
5, 或{y�],
之 = 5,
之 = 1.
根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为( — 5' — 5,5)
和(1,1,1).
08) CI) 证
对任意的x, 由于J是连续函数，所以
所以所求微分方程为
y/f/ -y"+4y'-4y=O.
(4) B
解若{xn }单调，则由f(x)在(— =, 十=)内单调有界知，订(xn )}单调有界，因此

2008年考研数学三真题及全面解析

1 / 122008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=ò的（的（） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.解：B分析：()()0()lim ()lim lim 0x x x xf t dtg x f x f x®®®===ò，所以0x =是函数()g x 的可去间断点。

的可去间断点。

（2）设f 连续，221x y +=，222x y u +=，1u >，则()()2222,Df u v F u v dudv u v+=+òò，则Fu ¶=¶（） ()A ()2vf u ()B ()v f u()C ()2v f u u ()D ()vf u u解：选A分析；用极坐标得()()222()22211,()v uuf r rDf u v F u v dudv dv rdr vf r dr uv+===+òòòòò()2F vf u u¶=¶ （3）设24(,),x y f x y e+=则函数在原点偏导数存在的情况是() ()A (0,0),(0,0)x y f f ¢¢存在存在 ()B (0,0),(0,0)x y f f ¢¢存在不存在 ()C (0,0),(0,0)x y f f ¢¢不存在存在 ()D (0,0),(0,0)x y f f ¢¢不存在不存在解：C分析：2400011(0,0)lim lim 00xx xx xe ef x x +®®--¢==--00011lim lim 100x x x x e e x x ®+®+--==--， 001lim10x x e x -®--=--故000011lim lim 00x x x x e e x x -®+®---¹--，所以偏导数不存在。

2008年数四考研数学真题及解析

2008年数学三_考研数学真题及解析

2008年考研数学（三）真题一、选择题：（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x =⎰的（）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点.（2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分0()a taf x dx ⎰等于（） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =，则（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在（B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在（D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在（4）设函数f连续，若22(,)uv D f u v =⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则F u ∂=∂（）（A ）2()vf u （B ）2()vf u u （C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为（）()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭. ()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（）()A ()2F x . ()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦. ()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（）()A {}211P Y X =--=.()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=. ()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = . （10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()D xy dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分）求极限201sin lim ln x x x x→. (16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时. （1）求dz（2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂. (17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数t ，有()()220t t f x dx f x dx +=⎰⎰；（2）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数． (19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？(20) （本题满分12分）设矩阵2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1n A n a =+;（2）a 为何值，方程组有唯一解;（3）a 为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -. （22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭；（2）求Z 的概率密度．（23）（本题满分11分）12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，221T X S n=-. （1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时，求DT .卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。

2008数学考研真题答案

2008数学考研真题答案2008年的数学考研真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分，每个部分都包含了一定数量的题目。

由于这是一个非常广泛的话题，我将提供一些典型的题型和解题方法，而不是提供完整的真题答案。

# 高等数学部分1. 极限问题：通常涉及求函数在某一点的极限，或者无穷远处的极限。

解决这类问题时，需要掌握洛必达法则、夹逼定理等基本极限求解技巧。

2. 导数与微分：考查导数的定义、几何意义以及导数的应用，如求曲线的切线斜率、函数的单调性、极值和最值等。

3. 积分问题：包括不定积分和定积分的计算，以及积分的应用，如计算面积、体积等。

4. 级数问题：考查数列和函数的级数收敛性，以及级数求和。

5. 微分方程：包括一阶微分方程和高阶微分方程的求解。

# 线性代数部分1. 矩阵运算：涉及矩阵的加法、乘法、转置、求逆等基本运算。

2. 向量空间：考查向量组的线性相关性、基和维数，以及向量空间的子空间。

3. 特征值和特征向量：求解矩阵的特征值和特征向量，以及利用它们进行矩阵对角化。

4. 二次型：包括二次型的规范型和惯性指数的计算。

# 概率论与数理统计部分1. 随机事件的概率：涉及古典概型、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式。

2. 随机变量及其分布：包括离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布，以及它们的期望值和方差。

3. 大数定律和中心极限定理：考查这两个定理的表述和应用。

4. 统计量的分布：涉及样本均值、样本方差等统计量的分布。

5. 参数估计：包括点估计和区间估计，以及假设检验。

由于考研真题涉及的题目类型和内容非常广泛，这里只是简要概述了一些常见的题型和解题思路。

如果需要具体的题目和答案，建议参考相关的考研辅导书籍或历年真题解析。

同时，考研复习时，理解概念、掌握方法、多做练习是提高解题能力的关键。

希望这些信息对你有所帮助。

2008年考研数学三真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数在区间上连续，则是函数的（）跳跃间断点. 可去间断点.无穷间断点.振荡间断点.（2）曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（）曲边梯形面积.梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）已知（A ），都存在（B ）不存在，存在（C ）不存在，不存在（D ），都不存在（4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（）（A ）（B ）（C ）（D ）（5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（6）设则在实数域上域与合同矩阵为（） ....（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（）....（8）随机变量，且相关系数，则（）()f x [1,1]-0x =0()()xf t dtg x x=⎰()A ()B ()C ()D ()y f x =()f x [0,]a 0()at af x dx ⎰()A ABCD ()B ABCD ()C ACD ()D ACD (,)f x y =(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f 'f 22(,)uvD f u v =⎰⎰uvD Fu∂=∂2()vf u 2()v f u u ()vf u ()vf u uA E 30A =()A E A -E A +()B E A -E A +()C E A -E A +()D E A -E A +1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭A ()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭,X Y X ()F x {}max ,Z X Y =()A ()2F x ()B ()()F x F y ()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()~0,1X N ()~1,4Y N 1XY ρ=. . ..二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则 .（10）设，则.（11）设，则. （12）微分方程满足条件的解.（13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则. （14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）求极限. (16) （本题满分10分）设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时. （1）求（2）记，求. (17) （本题满分11分）计算其中.(18) （本题满分10分）设是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数，有；（2）证明是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）()A {}211P Y X =--=()B {}211P Y X =-=()C {}211P Y X =-+=()D {}211P Y X =+=21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩(,)-∞+∞c =341()1x x f x x x ++=+2()______f x dx =⎰22{(,)1}D x y x y =+≤2()Dx y dxdy -=⎰⎰ 0xy y '+=(1)1y =y = A 14_____A E --=X {}2P X EX== 21sin limln x xx x→(,)z z x y =()22x y z x y z ϕ+-=++ϕ1ϕ'≠-dz ()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭u x ∂∂max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤()f x t ()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰0.05r =设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证;（2）为何值，方程组有唯一解; （3）为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求. （22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（1）求；（2）求的概率密度．（23）（本题满分11分）是总体为的简单随机样本.记，，. （1）证是的无偏估计量. （2）当时，求.2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A AX B =()1,,Tn X x x =()1,0,,0B =()1n A n a =+a a A 12,a a A 1,1-3a 323Aa a a =+123,,a a a ()123,,P a a a =1P AP -X Y X {}()11,0,13P X i i ===-Y ()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它Z X Y =+102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭Z 12,,,n X X X 2(,)N μσ11n i i X X n ==∑2211()1n ii S X X n ==--∑221T X S n =-T 2μ0,1μσ==DT2008年考研数学（三）真题解析一、选择题 (1)【答案】【详解】，所以是函数的可去间断点． (2)【答案】【详解】其中是矩形ABOC 面积，为曲边梯形ABOD 的面积，所以为曲边三角形的面积．(3)【答案】【详解】，故不存在．所以存在．故选. (4)【答案】【详解】用极坐标得所以. (5)【答案】【详解】，. 故均可逆． (6)【答案】【详解】记，则又，所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故正确. (7)【答案】【详解】. (8)【答案】B ()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰0x =()g x C 0()()()()()()aaa aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰()af a 0()af x dx ⎰()axf x dx '⎰B 000(,0)(0,0)11(0,0)limlim lim 0xx x x x f x f e f x xx→→→---'===-0011lim lim 1xx x x e e x x ++→→--==0011lim lim 1xx x x e e x x---→→--==-(0,0)x f'220000(0,)(0,0)11(0,0)lim limlim lim 00y y y y y y f y f e y f y yy y→→→→---'=====-(0,0)y f 'B A ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰()2Fvf u u∂=∂C 23()()E A E A A E A E -++=-=23()()E A E A A E A E +-+=+=,E A E A -+D 1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()2121421E D λλλλ--==---()2121421E A λλλλ---==----A D A D A D A D D A ()(){}{}()()()()()2max ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==D【详解】用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、由，得所以所以. 排除. 故选择. 二、填空题 (9)【答案】1【详解】由题设知，所以因为，又因为在内连续，必在处连续所以，即. (10)【答案】【详解】，令，得所以. (11)【答案】【详解】. (12)【答案】【详解】由，两端积分得，所以，又，所以. (13)【答案】3【详解】的特征值为，所以的特征值为，所以的特征值为，，所以. (14)【答案】【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以 .三、解答题Y aX b =+1XY ρ=,X Y 0a >()A ()C ~(0,1),~(1,4)X N Y N 0,1,EX EY ==()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b =⨯+=1b =()B ()D ||0c x ≥≥22,()1,2,x x c f x x c x c x x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩()22lim lim(1)1x cx cf x x c --→→=+=+()22lim lim x c x cf x x c++→→==()f x (,)-∞+∞()f x x c =()()lim lim ()x cx cf x f x f c +-→→==2211c c c+=⇒=1ln 32222111112x xx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭1t x x =+()22t f t t =-()()()22222111ln 2ln 6ln 2ln32222x f x dx dx x x ==-=-=-⎰⎰4π()22221()2DDD x y dxdy x dxdy x y dxdy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用函数奇偶性21200124d r rdr ππθ==⎰⎰1y x=dy y dx x -=1ln ln y x C -=+1x C y =+(1)1y =1y x=A 1,2,21A -1,12,1214A E --4113⨯-=41211⨯-=41211⨯-=143113B E --=⨯⨯=112e -22()DX EX EX =-22()EX DX EX =+X 1DX EX ==2112EX =+={}21111222P X e e --===！(15) 【详解】方法一：方法二： (16) 【详解】(I)(II) 由上一问可知，所以所以 . (17) 【详解】曲线将区域分成两个区域和，为了便于计算继续对区域分割，最后为(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数，令，则所以22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-223001sin cos sin cos sin limln lim lim2sin 2x x x x x x x x x xx x x x x →→→--=洛必达法则20sin 1lim66x x x x →-=-洛必达法则()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+()()221x dx y dy dz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠-22,11z x z y x y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+()11221222,()()1111z z x y y x u x y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++()()()()223322(1)2(1)2(12)2(12)11111x z u x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++1xy =1D 23D D +()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+t ()()()()20222t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx ++=++⎰⎰⎰⎰2x u =+()()()()222t tttf x dx f u du f u du f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰()()()()()222t tttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +=+-=⎰⎰⎰⎰⎰O 0.5 2(II) 由(1)知，对任意的有，记，则. 所以，对任意的，所以是周期为2的周期函数.方法二：(I) 设，由于，所以为常数，从而有. 而，所以，即.(II) 由(I)知，对任意的有，记，则，由于对任意，，所以，从而是常数即有所以是周期为2的周期函数.(19) 【详解】方法一：设为用于第年提取万元的贴现值，则故设因为所以 (万元) 故 (万元)，即至少应存入3980万元.方法二：设第年取款后的余款是，由题意知满足方程，即 (1)(1)对应的齐次方程的通解为设(1)的通解为，代入(1)解得，所以(1)的通解为由，得t ()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰()2a f x dx =⎰()0()2xG x f u du ax =-⎰x ()()2(2)()2(2)2x xG x G x f u du a x f u du ax ++-=-+-+⎰⎰()()22022220x xf u du a f u du a +=-=-=⎰⎰()G x 2()()t tF t f x dx +=⎰()(2)()0F t f t f t '=+-=()F t ()(0)F t F =2(0)()F f x dx =⎰2()()F t f x dx =⎰22()()t tf x dx f x dx +=⎰⎰t ()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰()2a f x dx =⎰()0()2xG x f u du ax =-⎰()2(2)2(2)x G x f u du a x ++=-+⎰x ()(2)2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-()()2()G x f x a '=-()(2)()0G x G x '+-=(2)()G x G x +-(2)()(2)(0)0G x G x G G +-=-=()G x n A n (109)n +(1)(109)n n A r n -=++1111110919102009(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑1()(1,1)nn S x nx x ∞==∈-∑21()()()(1,1)1(1)n n x xS x x x x x x x ∞=''=== ∈---∑11()()4201 1.05S S r ==+20094203980A =+⨯=t t y t y 1(10.05)(109)t t y y t -=+-+11.05(109)t t y y t --=-+11.050t t y y --=(1.05)t t y C =*t y at b =+180a =3980b =(1.05)1803980t t y C t =++0y A =0t y ≥3980A C =+0C ≥故至少为3980万元．(20) 【详解】(I)证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明．当时，，结论成立．当时，，结论成立．假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得A 2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0nn n aa aa a a aa aA r ar aa a aa a a n a a n ar ar a n a nnn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++||n D A =(1)n n D n a =+1n =2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0nn n aa aa a a aa aA r ar aa a aa a a n a a n ar ar a n a nnn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++12D a =2n =2222132a D a aa==n n D故证法三：记，将其按第一列展开得，所以即(II) 因为方程组有唯一解，所以由知，又，故．由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为所以 (III) 方程组有无穷多解，由，有，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设线性相关．因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)221221221210212121222(1)(1)n n n n nn n a a a aD aD a aaD a D ana a n a n a -----=-=-=--=+||(1)n A n a =+||n D A =2122n n n D aD a D --=-211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+Ax B =0A ≠(1)n A n a =+0a ≠n D b 2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===11(1)n n D nx D n a-==+0A =0a =12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1n -()()10000100,TTk k +123,,ααα12,αα12,αα3α12,αα31122l l ααα=+12,l l 12,l l 3α323A ααα=+20α=，又，整理得：则线性相关，矛盾. 所以，线性无关.证法二：设存在数，使得 (1)用左乘(1)的两边并由得(2)(1)—(2)得 (3)因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1)得，又由于，所以，故线性无关.(II) 记，则可逆，所以 .(22)【详解】(I) (II)所以(23) 【详解】(I) 因为，所以，从而．因为11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++311221122()A A l l l l ααααα=+=-+∴112221122l l l l ααααα-+=++11220l αα+=12,αα123,,ααα123,,k k k 1122330k k k ααα++=A 11,A αα=-22A αα=1123233()0k k k k ααα-+++=113220k k αα-=12,ααA 12,αα130k k ==220k α=20α≠20k =123,,ααα123(,,)P ααα=P 123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤={1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-={1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-[]1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-[]1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它2(,)XN μσ2(,)XN nσμ2,E X D X nσμ= =221()()E T E X S n =-221()E X E S n=-11所以，是的无偏估计(II) 方法一：，，所以因为，所以，有，所以因为，所以，又因为，所以,所以所以 . 方法二：当时(注意和独立)221()()D X E XE S n =+-222211n nσμσμ=+-=T 2μ22()()D T ET ET =-()0E T =22()1E S σ==2()D T ET =442222()S E X X S n n =-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+(0,1)X N 1(0,)X N n10,E X DX n ==()221E X DX E X n =+=2242222()()()()()E X D X E X D D X E X ⎡⎤=+=++⎣⎦2221()D D X n ⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+=⎪⎝⎭()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==--2(1)DW n =-22(1)DW n DS =-22(1)DS n =-4211(1)1n ES n n +=+=--2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-0,1μσ==221()()D T D X S n=-X 2S 222222221111(1)(1)DX DS D D n S n n n n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦-。

2008-2014历年考研数学一真题及答案详解.pdf

0
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(2) 函数 f (x, y) arctan x 在点 (0,1) 处的梯度等于
y
(A) i
(B)- i
(C) j
(D) j
(3) 在下列微分方程中 , 以 y C1ex C2 cos2x C3 sin 2x ( C1,C2 , C3 为任意常数 ) 为
通解的是
(A) y y 4 y 4 y 0
文档鉴赏
(22)( 本题满分 11 分)
设随机变量 X 与 Y 相互独立 , X 的概率分布为 P X i
1 i
3
率密度为 fY y
1 0 y 1, 记 Z X Y,
0 其它
1,0,1 , Y 的概
(1) 求 P Z 1 X 0 .
2
(2) 求 Z 的概率密度 .
(23)( 本题满分 11 分)
设 X1, X 2,L , X n 是总体为 N ( , 2 ) 的简单随机样本 .
文档鉴赏
(6) 设 A 为 3 阶实对称矩阵 , 如果二次曲面方程
x
( x, y, z)A y 1 在正交变换下的标准方程的图形如图 , 则
z
A 的正特征值个数为 (A)0
(B)1
(C)2
(D)3 (7) 设随机变量 X , Y 独立同分布且 X 分布函数为 F x , 则 Z max X ,Y 分布
n0
an x 3 n 的收敛域为
பைடு நூலகம்
.
n0
(12) 设曲面是 z 4 x2 y2 的上侧 , 则 xydydz xdzdx x2dxdy
.
(13) 设 A 为 2 阶矩阵 , α1, α2 为线性无关的 2 维列向量 , A α1 0, A α2 2α1 α2 ,

2008年考研数学数学一真题答案解析

2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+ò，则()f x ¢的零点个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【答案】应选(B). 【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x ¢=+×=+．显然()f x ¢在区间(,)-¥+¥上连续，且(1)(1)(2ln3)(2ln3)0f f ¢¢-·=-·<，由零点定理，知()f x ¢至少有一个零点．又2224()2ln(2)02x f x x x¢¢=++>+，恒大于零，所以()f x ¢在(,)-¥+¥上是单调递增的．又因为(0)0f ¢=，根据其单调性可知，()f x ¢至多有一个零点．故()f x ¢有且只有一个零点．故应选(B). （2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于【】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j-【答案】应选(A). 【详解】因为222211f y y x x x y y ¶==¶++．222221xf x y x y x y y -¶-==¶++．所以(0,1)1fx ¶=¶，(0,1)0f y ¶=¶，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A). （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【】(A) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢+--=. (B) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢+++=. (C) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢--+=. (D) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢-+-=.【答案】应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11l =，2,32i l =±，故对应的特征值方程为，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i l l l l l -+-=-+3244l l l =+-- l l l 3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ¢¢¢¢¢¢-+-=．应选(D). （4）设函数()f x 在(,)-¥+¥内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】应选(B). 【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-¥+¥内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}nf x 收敛．故应选(B). （5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【】则下列结论正确的是：则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆. (C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C). 23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C). （6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z æöç÷=ç÷ç÷èø在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】应选(B). 【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y za c+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B). （7）设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max {,}Z X Y =的分布函数为【】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()max{,}F z P Z z P X Y z =£=£()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =££==．故应选(A)．（8）设随机变量XN (0,1), (1,4)YN , 且相关系数1XY r =，则【】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY r =，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)XN ，(1,4)Y N ，得，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =´+，1b =．从而排除(B).故应选故应选(D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y ¢+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】应填1yx =．【详解】由dy ydx x=-，得dy dx y x =-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为的切线方程为 . 【答案】应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则，则1(,)cos()1x F x y y xy y x -=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F ¢=-=¢．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数(2)nn n a x ¥=+å在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数0(2)nn n a x ¥=-å的收敛域为的收敛域为. 【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知(2)nnn a x ¥=+å的收敛域为(4,0]-，则0nnna x ¥=å的收敛域为(2,2]-．所以(2)nn n a x ¥=-å的收敛域为(1,5]．(12)设曲面S是224z x y=--的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy S++=òò.【答案】 4p ．【详解】作辅助面1:0z S =取下侧．则由高斯公式，有取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx x dxdy S++òò122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy åå=++-++òòòò2224x y ydV x dxdy W+£=+òòòòò．2222410()2x y x y dxdy +£=++òòd r rdr p q p p 22200116424=·==òò． (13) 设A 为2阶矩阵，12,a a 为线性无关的2维列向量，10A a =，2122A a a a =+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A a a a a a a a a æö==+=ç÷èø．记12(,)P a a =，因12,a a 线性无关，故12(,)P a a =是可逆矩阵．因此是可逆矩阵．因此0201AP P æö=ç÷èø，从而10201P AP -æö=ç÷èø．记0201B æö=ç÷èø，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．相同的特征值．因为2||(1)01E B l l l l l --==--，0l =，1l =．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX==____________．【答案】应填12e. 【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX DX ==．从而由22()DX EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. ) (15)(本题满分10分)求极限[]40sin sin(sin )sin lim x x x x x®- 【详解1】[]40sin sin(sin)sin lim x x x x x®-[]30sin sin(sin )lim x x x x®-= ＝20cos cos(sin )cos lim 3x x x x x®-201cos(sin )lim 3x x x®-= 0sin(sin )cos lim 6x x x x ®=(或2201(sin )2lim 3x x x ®=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x®+=)16=．【详解2】[]40sin sin(sin)sin lim x x x x x®-[]40sin sin(sin )sin lim sin x x x xx®-= ＝30sin lim t t t t ®-201cos lim 3t t t ®-=2202lim 3t tt ®=（或0sin lim 6t t t ®=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)p的一段．的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò20[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx p=+-ò20sin 2x xdx p=ò200cos 2cos 22x x x xdx pp=-+ò20cos 22x xdx pp =-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp=-+-ò22p =-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)p 到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域围成的区域12sin 22(1)L Lxdx x ydy ++-ò2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y éù¶-¶=--êú¶¶ëûòò4Dxydxdy =-òòsin 004xxydydx p=-òò22sin x xdxp=-ò(1cos 2)x x dx p=--ò20cos 22xx xdx pp=-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp =-+-ò22p =-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydyxdx p+-==òò故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò22p =-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy=+-ò212sin 222LLxdx ydy x ydy I I=-+=+ò对于1I，记sin 2,2P x Q y==-．因为P P y x ¶¶==¶¶，故1I 与积分路径无关．与积分路径无关．1sin 20I xdxp==ò．对于2I ，222222sin cos sin 2LI x ydyx x xdxx xdx pp===òòò200cos 2cos 22x x x xdx pp=-+ò2cos 22x xdx pp =-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp =-+-ò22p =-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò22p =-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ì+-=í++=î求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．的点．【详解1】点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．点．构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z l m l m =++-+++-，由222220,20,220,43.,350xy zL x L y L z z x y z x y z l m l m l m ¢=+=ìï¢=+=ïï¢=-++-=++==íïïïî 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=ìíî解得5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-æö+-=ç÷èø下的最大值点和最小值点．值点．构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x yx y l l æö=+++-+-ç÷èø，由222520.422(5)0,9422(5)0,93xy L x x x y L y x x y y y y x l l ìæö¢=+-+-=ïç÷èøïïïæö¢=+-+-=+-íç÷èøæö+-=ç÷èøïïïïî得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得解得5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî 根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得2cos ,2sin .x z y z q q ì=ïí=ïî 代入35x y z ++=，得，得532(cos sin )z q q =++所以只要求()z z q =的最值．的最值．令()252(sin cos )()032(cos sin )z q q q q q -+¢==++，得cos sin q q =，解得5,44p p q =．从而．从而5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî 根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数，是连续函数，（I ）利用定义证明函数0()()xF x f t dt =ò可导，且()()F x f x ¢=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，为周期的周期函数时，证明函数证明函数2()2()()xG x f t dt xf t dt=-òò也是以2为周期的周期函数．为周期的周期函数．（I ）【证明】000()()()()()lim lim x xxx x f t dt f t dtF x x F x F x xx+D D ®D ®-+D -¢==D D òò0()lim x xxx f t dtx+D D ®=D ò00()lim lim ()()x x f x f f x x x x D ®D ®D ===D【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim lim x xxx x f t dt f x x xx+D D ®D ®+D =D D ò．(II) 【证法1】根据题设，有】根据题设，有2220(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +¢éù¢+=-+=+-êúëûòòò， 22000()2()()2()()xG x f t dt x f t dt f x f t dt ¢éù¢=-=-êúëûòòò．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=．从而从而 (2)()G x G x ¢¢+=．因而．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故，故 (2)()0G x G x +-=．即2()2()()xG x f t dt xf t dt=-òò是以2为周期的周期函数．为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+òò，222222()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--òòòò．对于22()x f t dt +ò，作换元2tu =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有，则有22()(2)()()x xxxf t dt f u du f u du f t dt +=+==òòòò，因而因而 222()()0x xf t dt xf t dt +-=òò．于是于是200(2)2()()()xG x f t dt xf t dt G x +=-=òò．即20()2()()xG x f t dt xf t dt =-òò是以2为周期的周期函数为周期的周期函数【证法3】根据题设，有】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+òò，2222()2()()2()xx xf t dt f t dt xf t dt f t dt +=+--òòòò2222()()2()2()xx xf t dt xf t dt f t dt f t dt +=-+-òòòò()22()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-òò．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有为周期的周期函数时，必有22()()x xf t dt f t dt +=òò．事实上事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=ò，所以所以22()x f t dt C +ºò．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +º=òò．所以所以200(2)2()()()xG x f t dt xf t dt G x +=-=òò．即20()2()()xG x f t dt xf t dt =-òò是以2为周期的周期函数为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x p =-££展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n -¥=-å的和．的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n ==．0a =22(1)d x x pp-ò2213p æö=-ç÷èø． 02()cos n a f x nxdx p p =ò2002cos cos nxdx x nxdx pp p p éù=-êúëûòò 220cos x nxdxp pp éù=-êúëûò202sin 2sin x nxx nx dxn npppéù-=-êúëûò1222(1)n n p p--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx p -¥¥===-=+=--+åå，0x p ££．令x=0x=0，有，有n n f n p 2121(1)(0)143-¥=-=-+å又(0)1f =，所以n n n p 1221(1)12-¥=-=å．（20）(本题满分10分)设,a b 为3维列向量，矩阵T T A aa bb =+，其中,T Ta b 分别是,a b 得转置．证明：得转置．证明：（I ）秩()2r A £；（II ）若,a b 线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r aa bb aa bb a b =+£+£+£．【证法2】因为T TA aa bb =+，A 为33´矩阵，所以()3r A £．因为,a b 为3维列向量，所以存在向量0x ¹，使得，使得0,0TTa xb x ==于是于是 0TTA x aa x bb x =+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A £．【证法3】因为TT A aa bb =+，所以A 为33´矩阵．矩阵．又因为()00TTTT A a aa bb abb æöç÷=+=ç÷ç÷èø，所以|||0|00T TaA abb ==故 ()2r A £．（II ）【证法】由,a b线性相关，不妨设k a b=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk ra ab b b b b=+=+££<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中，其中2222212121212a a a a a A a a a a æöç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷èø，12n x x x xæöç÷ç÷=ç÷ç÷èø，b 100æöç÷ç÷=ç÷ç÷èø．（I ）证明行列式||(1)nA n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aaD A aa aa ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得按第一行展开得nn n aa aaD aD aa aa 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故(1)nA n a=+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aDa D --==-得，2211221()()n n nnn n n D aDa D aD aD aD a ------=-==-=．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aaA aa aa =22122213121212212na a aa r ar aa aa -3222221301240123321212na a ar ara aaa aa -=n n n a a an r ar n n a n n a n1213012401130111----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ¹时，方程组系数行列式0n D ¹，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aaaaD na a a a a aa aa ---===所以，11(1)n n D ax Dn a -==+．（III ）【详解】【详解】当0a =时，方程组为时，方程组为12101101001000n n x x x x -æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()01100TTx k =+，其中k 为任意常数．为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为密度为1,01,()0,Yy f y 其它其它..£<ì=íî记Z X Y =+．（I ）求102P Z X æö£=ç÷èø；（II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y æöæö£==+£=ç÷ç÷èøèøæöæö=£==£=ç÷ç÷èøèø解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z XP X P Y X P Y P X æö+£=ç÷æöèø£==ç÷=èøæö£=ç÷æöèø==£=ç÷=èø（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{} =P{X+Y z,X=-1}+P{X+Y z,X=0}+P{X+Y z,X=1} =P{Y z+1,X=-1}+P{Y z,X=0}+P{Y z-1,X=1} =P{Y z+1}P{X=-1}+P{Y z}P{X=0}+P{Y z-1}P{X=1}1=[{Y z+1}P{Y 3=£=+£££££££££££+£Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P{Y z-1}]1=[(1)()(1)]3 ()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+£+++-=ì-<<ï=+++-=éùíëûïî解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-ì-<<ï=+++-=éùíëûïîå其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N m s 的简单随机样本，记å==ni i X n X 11，2211()1ni i S X X n ==--å，221TX S n=-．（1）证明T 是m 2的无偏估计量；的无偏估计量；（2）当m s 0,1==时，求.DT . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次是统计量．其次221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nn ns m s =+-=+-2m =对一切,m s 成立．因此T 是2ˆm 的无偏估计量．的无偏估计量．【详解2】（1）首先T 是统计量．其次是统计量．其次()()22111111n ni j k i j k n T X X X X n n n n n =¹=-=---åå，()()1n j k j kn ET E X EX n ¹=-å2m =，对一切,m s 成立．因此T 是2ˆm 的无偏估计量．的无偏估计量．（2）解法2．根据题意，有(0,1)nXN ，22(1)nXc ，22(1)(1)n Sn c --．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n Sn -=-．所以221()D T D XS n æö=-ç÷èø()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n n n =+-=--。

2008考研数二真题

2008考研数二真题2008年的考研数学二真题是考研数学考试中的一道经典题目。

这道题目涉及到概率论和统计学的知识，考察了考生对于概率分布、随机变量和样本调查等方面的理解和应用能力。

本文将对这道题目进行分析和解答，并探讨其中涉及的一些数学概念和方法。

首先，让我们来看一下这道题目的具体内容。

题目要求我们考虑一个随机变量X，它的概率密度函数为f(x) = 2x (0<x<1)，否则为0。

同时，给出了一个样本调查的结果，样本量为n，其中有k个样本的取值大于0.5。

我们需要根据这些信息回答几个问题。

首先，我们来计算X的分布函数F(x)。

根据概率密度函数的定义，我们可以得到F(x) = ∫[0,x] 2t dt = x^2 (0<x<1)，否则为0。

这里，我们利用了定积分的性质，将概率密度函数积分得到分布函数。

接下来，我们需要计算P(X>0.5)。

根据分布函数的定义，我们可以得到P(X>0.5) = 1 - P(X≤0.5) = 1 - F(0.5) = 1 - (0.5)^2 = 0.75。

这里，我们利用了分布函数的性质，将概率转化为1减去另一个概率的形式。

然后，我们需要计算样本调查中k个样本的取值大于0.5的概率。

根据题目给出的信息，我们可以知道每个样本的取值大于0.5的概率为P(X>0.5) = 0.75。

由于样本之间是独立同分布的，所以k个样本的取值大于0.5的概率可以表示为P(X>0.5)^k = 0.75^k。

接下来，我们需要计算样本调查中至少有一个样本的取值大于0.5的概率。

根据概率的加法法则，我们可以得到至少有一个样本的取值大于0.5的概率为1减去所有样本的取值都小于等于0.5的概率。

根据样本的独立性，我们可以得到所有样本的取值都小于等于0.5的概率为P(X≤0.5)^n = (1 - P(X>0.5))^n = (1 - 0.75)^n = 0.25^n。

2008年考研数学(一)真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）（科目代码：301）（考试时间：上午8:30-11:30）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

Oxyz2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）设函数2()ln(2)d x f x t t =+⎰，则()f x '的零点个数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于（A ）i .（B ）-i .（C ）j .（D ）-j .（3）在下列微分方程中，以123e cos 2sin 2xy C C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是（A ）440y y y y ''''''+--=.（B ）440y y y y ''''''+++=.（C ）440y y y y ''''''--+=.（D ）440y y y y ''''''-+-=.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（A ）若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛.（B ）若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.（C ）若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.（D ）若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，满足3=A O ，则（A ）-E A 不可逆，+E A 不可逆.（B ）-E A 不可逆，+E A 可逆.（C ）-E A 可逆，+E A 可逆.（D ）-E A 可逆，+E A 不可逆.（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A 的正特征值个数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.（7）设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（A ）2()F x .（B ）()()F x F y .（C ）[]211()F x --.（D ）[][]1()1()F x F y --.（8）设随机变量(0,1),(1,4)X N Y N ，且相关系数1XY ρ=，则（A ）{}211P Y X =--=.（B ）{}211P Y X =-=.（C ）{}211P Y X =-+=.（D ）{}211P Y X =+=.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y =.（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程为.（11）已知幂级数(2)nnn a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(3)nnn a x ∞=-∑的收敛域为.（12）设曲面∑是z =的上侧，则2d d d d d d xy y z x z x x x y ∑++=⎰⎰.（13）设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，1212,2==+AαAααα0，则A 的非零特征值为.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2()P X E X ==.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 2d 2(1)d Lx x xy y +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(π,0)的一段.（17）(本题满分11分)已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求曲线C 距离xOy 面最远的点和最近的点.（18）(本题满分10分)设函数()f x 连续，（Ⅰ）利用定义证明函数0()()d xF x f t t =⎰可导，且()()F x f x '=；（Ⅱ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()d ()d x G x f t t x f t t =-⎰⎰也是以2为周期的周期函数.（19）(本题满分11分)将函数2()1f x x =-()0x π 展开成余弦级数，并求级数121(1)n n n -∞=-∑的和.（20）(本题满分10分)设,αβ是3维列向量，矩阵TT=+A ααββ，其中TT,αβ分别是,αβ的转置.证明：（Ⅰ）()2r ≤A ；（Ⅱ）若,αβ线性相关，则()2r <A .（21）(本题满分12分)设n 元线性方程组=Ax b2222212121212n na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭A ，12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .（Ⅰ）证明行列式(1)nn a =+A ；（Ⅱ）当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ；（Ⅲ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.（22）(本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}1(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y ⎧=⎨⎩其他.，记Z X Y =+.（Ⅰ）求102P Z X ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）求Z 的概率密度()Z f z ．（23）(本题满分11分)设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记222211111,(),1n n i ii i X X S X X T X S n n n====-=--∑∑.（Ⅰ）证明T 是2μ的无偏估计量.（Ⅱ）当0,1μσ==时，求DT .2008年考研数学(一)试卷答案速查一、选择题（1）B （2）A （3）D（4）B（5）C（6）B（7）A （8）D二、填空题（9）1x（10）1y x =+（11）(1,5]（12）4π（13）1（14）12e三、解答题（15）61.（16）2π2-.（17）距离最大的点为()5,5,5--，距离最小的点为()1,1,1.（18）略.（19）2121π(1)()14cos ,0π3n n f x nx x n +∞=-=-+∑ ,1221(1)π12n n n -∞=-=∑.（20）略.（21）（Ⅰ）略.（Ⅱ）0≠a ,1(1)nx n a =+.（Ⅲ）0a =,1001,0000k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ x 为任意常数.（22）（Ⅰ）21.（Ⅱ）1,12,()30,.z f z ⎧-<⎪=⎨⎪⎩其他（23）（Ⅰ）略.（Ⅱ）2(1)n n -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】B .【解答】由2()2ln(2)0f x x x '=+=，解得0x =，只有一个实根，即一个零点，故选B .（2）【答案】A .【解答】由222211x y y f x x y y '==++，得(0,1)1x f '=；222221y xx y f x x y y--'==++，得(0,1)0.y f '=所以(0,1)10.f =⨯+⨯=grad i j i 故答案选A .（3）【答案】D .【解答】由123e cos 2sin 2xy C C x C x =++可知其特征根为12,31,2i λλ==±.故对应的特征方程为232(1)(2)(2)(1)(4)440i i λλλλλλλλ-+-=-+=-+-=，即方程为440y y y y ''''''-+-=，故选D .（4）【答案】B .【解答】若{}n x 单调，则由()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，{}()n f x 单调有界.由单调有界收敛定理可知{}()n f x 收敛，故答案选B .（A）；若取(),,arctan n x x x f n ==排除（C）、（D）.（5）【答案】C .【解答】解法一：因为3=A O ，所以32()()=-=-++E E A E A E A A .由可逆矩阵的定义可知-E A 可逆，且12()--=++E A E A A .同理，32()()=+=+-+E E A E A E A A ，所以+E A 可逆，且12()-+=-+E A E A A .故答案选C .解法二：设λ是A 的实特征值，由O A =3，得,003=⇒=λλ故A 的特征值只有0，于是A E -的实特征值是1，A E +的实特征值是1，故二者均可逆.（6）【答案】B .【解答】由题目图像可知，该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为222221x y z a c+-=，故其对应的二次型矩阵A 的正的特征值个数为1，答案为B .（7）【答案】A .【解答】{}{}()max(,)Z F x P Z x P X Y x ==，因为,X Y 独立同分布，则()()2()()()()Z F x P X x P Y x F x F x F x === .因此答案为A .（8）【答案】D .【解答】由()()4,1~,1,0~N Y N X 知.4,1,1,0====DY EY DX EX 由于,1=xy ρ所以存在常数b a ,，使得{}1=+=b aX Y P ，从而b aEX EY +=，得.1=b 而所以,2=a 故应选D.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】xy 1=.【解答】由d d y y x x -=，分离变量d d y x y x=-，两边积分得1ln ln y x C -=+，即1C x y=.利用初始条件(1)1y =，得1C =，所以1y x =.（10）【答案】1y x =+.【解答】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()1d 1d cos()x yy xy F y y x x F x xy y x-+-'-=-=-'+-，在(0,1)处，得1k =，因此切线方程为1y x =+.（11）【答案】(1,5].【解答】因为幂级数(2)nnn a x ∞=+∑是以20-=x 为收敛中心的幂级数，且在0=x 处收敛，在4-=x 处发散，所以其收敛半径,2=R 收敛域为(],0,4-即(2)nnn a x ∞=+∑只在222≤+<-x 时收敛，从而幂级数()03nn n a x ∞=-∑也只在232≤-<-x 时收敛，所以()03nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5].（12）【答案】4π.【解答】补充平面221:0(4)z x y ∑=+ ，取下侧，则原式1122d d d d d d d d d d d d xy y z x z x x x y xy y z x z x x x y ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰ .由高斯公式可知12d d d d d d d 0xy y z x z x x x y y v ∑+∑Ω++==⎰⎰⎰⎰⎰ .而11222d d d d d d d d d d Dxy y z x z x x x y x x y x x y ∑∑++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中22{(,)|4}D x y x y =+ ，由轮换对称知()2222230011d d d d d d 4π22DD x x y x y x y r r πθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以12d d d d d d 4πxy y z x z x x x y ∑++=-⎰⎰，故曲面积分2d d d d d d 0(4π)=4πxy y z x z x x x y ∑++=--⎰⎰.（13）【答案】1.【解答】因为1212,2==+AαAααα0，所以121202(,)(,)01⎛⎫=⎪⎝⎭A αααα，令12(,)=P αα，因为12,αα为线性无关，所以矩阵P 可逆，则10201-⎛⎫==⎪⎝⎭P AP B ，故A 相似于B .由2||(1)001λλλλλ--==-=-E B ，得120,1λλ==.因此A 的非零特征值为1.（14）【答案】11e 2-.【解答】由(1)X P ，可知()()1E X D X ==，于是22()2EX DX EX =+=，因此{}112e 2P X -==.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）解法一：[]43sin sin(sin )sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=20cos cos(sin )cos lim 3x x x x x →-⋅=20cos (1cos(sin ))lim 3x x x x→-=613sin 21lim 220==→x xx .(16)(本题满分9分)解：设(π,0),(0,0),A O 则利用格林公式有22sin 2d 2(1)d sin 2d 2(1)d 4d d LAODx x x y y x x x y y xy x y+-++-=-⎰⎰⎰⎰其中{(,)|0π,0sin }D x y x y x = .因为0π2πsin 2d 2(1)d sin 2d sin 2d 0AOx x x y y x x x x +-==-=⎰⎰⎰，2πsin ππ2001π4d d d 4d 4d (1cos 2)d 22xDxy x y x xy y x x x x x x ===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以22πsin 2d 2(1)d 2L x x x y y +-=-⎰.(17)(本题满分11分)解：设点(,,)P x y z 为曲线C 上任意一点，P 到xOy 面的距离d z =.构造拉格朗日函数22221212(,,,,)(2)(35)F x y z z x y z x y z λλλλ=++-+++-，由1212122222020243020350x y z z x y z x y z λλλλλλ+=⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪+-=⎪⎪++-=⎩，得y x =，从而解得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故曲线C 到xOy 平面距离最大的点为()5,5,5--，距离最小的点为()1,1,1.（18）（本题满分10分）证明：（Ⅰ）由导数定义可知0()d ()d ()d ()limlimx xxx x xx x f t t f t tf t tF x xx+∆+∆∆→∆→-'==∆∆⎰⎰⎰.因为()f x 是连续函数，由积分中值定理知()d (),x xxf t t f x η+∆=∆⎰其中η位于x x x +∆与之间，所以00()()limlim ()()x x f xF x f f x xηη∆→∆→∆'===∆.（Ⅱ）解法一：因为()f x 是以2为周期的周期函数，所以有(2)()f x f x +=，则222(2)()2()d (2)()d 2()d ()d x x G x G x f t t x f t t f t t x f t t++-=-+-+⎰⎰⎰⎰22220002()d 2()d 2()d ()d 0x xf t t f t t f t t f t t +⎡⎤=-=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.故(2)()G x G x +=，因此()G x 也是以2为周期的周期函数.解法二：()[]()()()()()⎰⎰⎰-+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-='++202020d 22d 2d 22，t t f x f t t f x t t f x G x ()()()()(),d 2d d 220200t t f x f t t f x t t f x G x ⎰⎰⎰-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='所以()()[],02≡'-+x G x G 所以()()C x G x G ≡-+2（常数）又因为()(),0020=-+G G 所以()(),02≡-+x G x G 即()x G 也是以2为周期的周期函数.（19）（本题满分11分）解：当1,2,n = 时，π02()cos d πn a f x nx x =⎰πππ2200022cos d cos d 0cos d ππnx x x nx x x nx x ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰211π220π2sin 2sin 22π(1)4(1)d 0ππn n x nx x nx x n n n n ++⎡⎤-⋅-⋅-=-=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.当0=n 时，2π2002π(1)d 2(1)π3a x x =-=-⎰.于是()f x 的余弦级数为2011cos 2n n a x a nx ∞=-=+∑.即21221π4(1)11cos 3n n x nx n +∞=--=-+∑（0πx ）.令0x =，得2121π4(1)113n n n+∞=-=-+∑，所以1221(1)π12n n n +∞=-=∑.（20）（本题满分10分）解：（Ⅰ）因为,αβ是3维列向量，所以()()1r r ==αβ.故TTTT()()()()()()2r r r r r r =+++=A ααββααββαβ ；（Ⅱ）若,αβ线性相关，则,αβ对应成比例，不妨设k =βα（k 为常数），则T T 2T (1)k =+=+A ααββαα，所以，2T T ()[(1)]()()2r r k r r =+=<A ααααα .（21）（本题满分12分）解：（Ⅰ）利用初等变换进行计算222222121321012221122a a aa a a a a a aaa a==A 2130124034(1)2(1)3231(1)0n a a aa a n a a n a n n a n+==⋅⋅⋅=++.（Ⅱ）方程组=Ax b 有唯一解，需0≠A .因为||(1)nn a =+A ，所以有0a ≠.利用克莱姆法则可得唯一解为111(1)(1)n nD na nx n an a -===++A ，其中21110000210020102a a a D a =（Ⅲ）当0=A 时，即0a =时，方程组=Ax b 有无穷多解.此时原矩阵变为010010100100⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .由0100100100(,)0001000000⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭A A b ，得()(,)1r r n ==-A b A .所以=0Ax 的解为T(1,0,0,,0)k ，k 为任意常数.方程组=Ax b 特解为0100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ η，所以通解为10010000k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为任意常数）.（22）（本题满分11分）（Ⅱ）由全概率公式可得，()()()Z F z P Z z P X Y z ==+(|1)(1)P X Y z X P X +=-=-= (|0)(0)P X Y z X P X =++=（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）221()()E T E X S n =-221()E X E S n=-由2(,)X N μσ ,得2(,X N nσμ ,所以22(E X D X E X =+221nσμ=+，22()E S σ=，因此222222111()E T E X n n nσσμσμ=-=+-=,所以T 是2μ的无偏估计量.（Ⅱ）因为2(,)X N μσ ，所以X 与2S 独立，因此2221()()()D T D X D S n=+.当0,1μσ==时，1(0,)X N n.标准化得(0,1)1XN ，于是有22(1)nX χ ，且2()2D nX =.又因为22(1)(1)W n S n χ=-- ，所以22(1)2(1)DW n DS n =-=-.则22222222111()()()()[(1)](1)D T D X D S D nX D n S n n n n =+=+--22222(1)2(1)(1)n n n n n n -=+=--.。

2008年考研数学一真题及答案详解

a x 2
n 0 n

n
在 x 0 处收敛 , 在 x 4 处发散 , 则幂级数
a x 3
n 0 n
n
的收敛域为 .
(12) 设曲面是 z
4 x2 y 2 的上侧 , 则
xydydz xdzdx x dxdy
(1) r ( A) 2 . (2)若 α, β 线性相关,则 r ( A) 2 . (21)(本题满分 11 分)
2a 1 2 a 2a 设矩阵 A a2
, 现矩阵 A 满足方程 AX B , 其中 1 2 a n n
X x1 ,
sin 2 xdx 2 x
L
2
1 ydy , 其中 L 是曲线 y sin x 上从点 0, 0 到点
, 0 的一段.
(17)(本题满分 10 分)
x2 y 2 2z 2 0 已知曲线 C : ,求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点. x y 3 z 5
2
.
(13)设 A 为 2 阶矩阵, α1 , α 2 为线性无关的 2 维列向量, Aα1 0, Aα 2 2α1 α2 ,则 A 的非零特征值为 . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P X EX 2 .
A 的正特征值个数为 1．故应选(B).
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】．
(B) 若 {xn } 单调，则 { f ( xn )} 收
【答案】应选(B). 【详解】若 {xn } 单调，则由函数 f ( x) 在 (, ) 内单调有界知，若 { f ( xn )} 单调有界，因此若 { f ( xn )} 收敛．故应选(B). （5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵．若 A3 0 ，则【则下列结论正确的是： (A) E A 不可逆，则 E A 不可逆. 逆. (C) E A 可逆，则 E A 可逆. 逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C). 】

2008考研数一真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数( )()A 0()B 1 ()C 2()D 3(2) 函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于( )()A i()B -i ()C j()D -j(3) 在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.(4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是( )()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.(5) 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，满足30A =，则( ) ()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.(6) 设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为( )()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.(7) 设随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}m ax ,Z X Y =分布函数为( )()A()2F x .()B ()()F x F y . ()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(8)设随机变量()0,1X N ，()1,4Y N ，且相关系数1XY ρ=，则( )()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10) 曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (11) 已知幂级数()02nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数()3nn n a x ∞=-∑的收敛域为 . (12) 设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ .(13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，12120,2A A αααα==+，则A 的非零特征值为 .(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦(16)(本题满分9分) 计算曲线积分()2sin 221Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.(17)(本题满分11分)已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分)设()f x 是连续函数， (I) 利用定义证明函数()()0xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=.(II) 当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数()()()22xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰也是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)()21f x x =-()0x π≤≤展开成(以2π为周期的)余弦级数，并求级数()1211n n n -∞=-∑的和。

2008考研数学一试题及答案解析

2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln3)(2ln3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02x f x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于【】 (A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】应选(A).【详解】因为222211f y y x x x y y ∂==∂++．222221xf x y x y x y y-∂-==∂++．所以(0,1)1fx ∂=∂，(0,1)0f y ∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】应选(D).【详解】由123cos2sin2x y C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7）设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max {,}Z X Y =的分布函数为【】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()max{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=，则【】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)X N ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】应填1y x=．【详解】由dy y dx x =-，得dy dx y x=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x -=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-， (0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则nn n a x∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ . 【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰ 2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ22200116424=∙==⎰⎰ ． (13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________．【答案】应填12e. 【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX DX ==．从而由22()DX EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]3sin sin(sin )limx x x x →-=＝20cos cos(sin )cos lim3x x x x x →-201cos(sin )lim 3x x x →-=0sin(sin )cos lim 6x x x x →=(或2201(sin )2lim 3x x x→=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x →+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-[]40sin sin(sin )sin limsin x x x x x→-= ＝30sin limt t t t →-201cos lim 3t t t →-=2202lim 3t t t →=（或0sin lim 6t t t →=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰20sin 2x xdx π=⎰200cos 2cos 22x x x xdx ππ=-+⎰20cos 22x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰ sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰20cos 22x x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx xydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P Py x∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关． 10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ，2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰200cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350xy z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 代入35x y z ++=，得z =所以只要求()z z θ=的最值．令()03sin )z θθθ'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数，（I ）利用定义证明函数0()()xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数．（I ）【证明】000()()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰00()limlim ()()x x f xf f x xξξ∆→∆→∆===∆ 【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()limlimx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=．从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x xf t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x xf t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()22()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有22()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n -∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰20020cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰2002sin 2sin x nxx nx dx n n πππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 1222(1)n n ππ--=124(1)n n --=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．令x=0，有n n f n π2121(1)(0)143-∞=-=-+∑ 又(0)1f =，所以n n n π1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵T T A ααββ=+，其中,T T αβ分别是,αβ得转置．证明：（I ）秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2T T T T r A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤．【证法2】因为T T A ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤．因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a a D A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=- 1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-= ．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a a A a a a a =22122213121212212na a a a r ar a a a a -322222130124123321212na a a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 12130124113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a a a a D na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+．（III ）【详解】当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100T Tx k =+ ，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩ 记Z X Y =+．（I ）求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭；（II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤== ⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P{X+Y z,X=-1}+P{X+Y z,X=0}+P{X+Y z,X=1} =P{Y z+1,X=-1}+P{Y z,X=0}+P{Y z-1,X=1} =P{Y z+1}P{X=-1}+P{Y z}P{X=0}+P{Y z-1}P{X=1}1=[{Y z+1}P{Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P{Y z-1}]1=[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni i X n X 11，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n =-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量；（2）当μσ0,1==时，求.DT . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES n n nσμσ=+-=+-2μ= 对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量．【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111n ni j ki j k n T X X X X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1n j k j kn ET E X EX n ≠=-∑2μ=，对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量．（2）解法2(0,1)N ，22(1)nX χ，22(1)(1)n S n χ-- ．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n S n n n n n =+-=--。

2008年考研数学二真题答案解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)x Î，21(1,2),2)x Î使12()()0f f x x ¢¢==，所以()f x ¢至少有两个零点. 又()f x ¢中含有因子x ，故0x =也是()f x ¢的零点，的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C【详解】000()()()()()()aaaaa xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx ¢==-=-òòòò其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()a f x dx ò为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()a xf x dx ¢ò为曲边三角形的面积．曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829. (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ¢¢¢¢¢¢-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点是函数的间断点因为因为 0000ln11lim ()limlimlim csc |1|csc cot x x x x x x f x xx x x++++®®®®=×=--20sin lim lim 0cos cos x x x xx xx++®®=-=-= 同理同理 0lim ()0x f x -®= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++®®®®æö=×==ç÷-èø所以所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486. (5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-¥+¥内单调有界，且{}nx 单调. 所以{()}nf x 单调且有界. 故{()}nf x 一定存在极限. 本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vuuf r rDf u v F u v dudv dvrdr vf r dr u v +===+òòòòò所以所以 ()2F vf u u ¶=¶本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．均可逆．本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -æö=ç÷-èø，则()2121421E D l l l l --==---，又()2121421E A l l l l ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值. 又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2 【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x ®®®-×==×- 011lim ()(0)122x f x f ®=== 所以所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为xdy y xe dx x--=所以所以 111()dx dx x x x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----éùæöòò=+=×+=-+êúç÷èøëûòò本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--¢-=-=-¢+-，将(0)1y =代入得01x dydx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)--【详解】53235y xx=-Þ23131351010(2)333x y x x x -+¢=-= Þ134343101010(1)999x y xx x --+¢¢=+= 1x =-时，0y ¢¢=；0x =时，y ¢¢不存在不存在在1x =-左右近旁y ¢¢异号，在0x =左右近旁0y ¢¢>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以所以121()ln v v z z u z vy vu u u x u x v xx y -¶¶¶¶¶=×+×=-+×¶¶¶¶¶ 2ln 11ln x y vvy u y y u uxy x y x æöæöæö=-+=×-+ç÷ç÷ç÷èøèøèø所以所以 (1,2)2(ln 21)2zx ¶=-¶本题的难度值为0.575. (14)【答案】-1 【详解】||236A l l =´´= 3|2|2||A A =32648l \ ´=- 1l Þ=- 本题的难度值为0.839. 三、解答题 (15)【详解】【详解】方法一：43[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x xx x xx x x x ®®--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x ®®®--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x x x o x x x x ®®éù-\ =+=êúëû 本题的难度值为0.823. (16)【详解】【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dx t dxdt t +×===+++ 222222[(1)ln(1)]2ln(1)221d t t d y d dy t t t dtdx t dx dx dx dt t ++++æö===ç÷èø+22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt --=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21xdydy t t dt t t e x dx t dxdt t +×===++=+ 所以所以22(1)xd ye x dx =+本题的难度值为0.742. (17)【详解】【详解】方法一：由于221arcsin lim 1x x x x-®=+¥-，故212arcsin 1x x dx x-ò是反常积分. 2)1dx tx ppp-22200sin 244tt t p p 2ppp21dx x -20pp p 221x xòòòD 1D 3 D 2(19)【详解】旋转体的体积2()t V f x dx p =ò，侧面积202()1()tS f x f x dx p ¢=+ò，由题设条件知设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx ¢=+òò上式两端对t 求导得求导得 22()()1()f t f t f t ¢=+，即 21y y ¢=- 由分离变量法解得由分离变量法解得 21l n (1)y y t C +-=+，即 21t y y C e +-=将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e +-=，1()2t t ye e -=+于是所求函数为于是所求函数为 1()()2xxy f x ee -==+本题的难度值为0.497. (20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即上的最大值与最小值，即()m f x M ££ [,]x a b Î由定积分性质，有由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -££-ò，即，即 ()baf x dx m M b a££-ò由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b h Î，使得，使得 ()()b af x dx f b ah =-ò即()()()baf x dx f b a h =-ò(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]h Î，使，使 32()()(32)()x dx j j h j h =-=ò又由又由 32(2)()()x d x j j j h>=ò，知，知 23h <£ 对()x j 在[1,2][2,]h 上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)j j <，()(2)j h j <得1(2)(1)()021jjj x -¢=>- 112x <<2()(2)()02j h j j x h -¢=<- 123x h <<£在12[,]x x 上对导函数()x j ¢应用拉格朗日中值定理，有应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0j x j x j x x x ¢¢-¢¢=<- 12(,)1(1,3),3)x x x ÎÌ 本题的难度值为0.719. (21)【详解】【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z l m l m =++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z l ml m l m l m ¢=++=ì¢=++=ïï¢=-+=íï¢=+-=ï¢=++-=ïî解方程组得111222(,,)1(1,1,1,1,2),(,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6. 方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y l l ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y ll l ¢ì=++++=ï¢=++++=íï¢=+++-=î 解得1122(,)1(1,1,1,1),(),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：222212221213211221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0nn n a a a n a a n a r ar a n a nnn a n--+-=×××=++证法二：记||nDA =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-21221222(1)(1)n n nn n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||nD A =，将其按第一列展开得，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以所以 2211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n nn n a a a n a -=-+×=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ¹，又(1)nA n a =+，故0a ¹．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a a a aa aa aD naa a a a --´-´-===所以所以 11(1)n nD nxD n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为，则方程组为12101101001000n n x x x x -æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I) 证法一：假设123,,a a a 线性相关．因为12,a a 分别属于不同特征值的特征向量，故12,a a 线性无关，则3a 可由12,a a 线性表出，不妨设31122l l a a a =+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3a 为0，由323A a a a =+可知20a =，而特征向量都是非0向量，矛盾) 11,A a a =-22A a a =\32321122A l l a a a a a a =+=++，又311221122()A A l l l l a a a a a =+=-+ \112221122l l l l a a a a a -+=++，整理得：11220l a a +=则12,a a 线性相关，矛盾. 所以，123,,a a a 线性无关. 证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k a a a ++= (1) 用A 左乘(1)的两边并由11,A a a =-22A a a =得1123233()0k k k k a a a -+++= (2) (1)—(2)得 113220k k a a -= (3) 因为12,a a 是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,a a 线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k a =，又由于20a ¹，所以20k =，故123,,a a a 线性无关. (II) 记123(,,)P a a a =，则P 可逆，可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A a a a a a a ==1223(,,)a a a a =-+123100(,,)01101a a a -æöç÷=ç÷ç÷èø10001101P -æöç÷=ç÷ç÷èø所以所以 1100011001P AP --æöç÷=ç÷ç÷èø. 本题的难度值为0.272. 。

2008年考研数学试题答案与解析(数学一)

2008年考研数学试题答案与解析（数学一）一、选择题 (1)【答案】B【详解】2()[ln (2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点又2224()2ln (2)02xf x x x''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞）所以()f x '只有一个零点. (2)【答案】A 【详解】因为2211x y f xy'=+，2221y x y f xy-'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '=所以 (0,1)10f =⋅+⋅=g ra d i j i (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、co s 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= (4)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为2222221x y z abc'''--=，即二次型的标准型为222222x y z f abc'''=--，而标准型的系数即为A 的特征值.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2m ax ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】用排除法. 设Y aX b =+，由1X Y ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,E X E Y ==所以 ()()E Y E a X b a E X b =+=+01,a b ⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D 二、填空题 (9) 【答案】1x 【详解】由dy y dxx-=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x=.(10) 【答案】1y x =+【详解】设(,)sin ()ln ()F x y xy y x x =+--，则1c o s ()11c o s ()x y y x y F d y y xd xF x x y y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x d y d x==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(11)【答案】(1,5]【详解】幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即0nn n a t ∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-. 则0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x -<-≤得15x <≤，即幂级数0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5](12)【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xyd yd z xd zd x x d xd y ∑++⎰⎰1122x y d y d z x d z d x x d x d y x y d y d z x d z d x x d x d y ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y y d x d y d z x d x d y x y d x d y Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰223142d r d r πθπ==⎰⎰(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭记12(,)P αα=，0201B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则A P P B = 因为12,αα线性无关，所以P 可逆. 从而1B P A P -=，即A 与B 相似. 由2||(1)001E B λλλλλ--==-=-，得0λ=及1λ=为B 的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A 的非零特征值为1. (14)【答案】12e【详解】由22()D X E X E X =-，得22()E XD XE X =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1D X E X ==，所以2112E X =+=，所以 {}21111222P X e e--===！三、解答题 (15) 【详解】方法一：43[sin sin (sin )]sin sin sin (sin )limlimx x x x xx x xx→→--=22221s in c o s c o s (s in )c o s 1c o s (s in )12limlimlim 3336x x x x x x xx x xx→→→--====方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin (sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+444440[s in s in (s in )]s in s in (s in )1limlim 66x x x x xx o x xx x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16) 【详解】方法一：（直接取x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）222222s in 22(1)[s in 22(1)s in c o s ]s in 21c o s 2c o s 2s in 2s in 222222Lx d x x y d yx x x x d x x x d xxx xx x d x xx d x ππππππππ+-=+-⋅==-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰方法二：（添加x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L 为x 轴上从点(,0)π到点(0,0)的一段，D 是由L 与1L 围成的区域11222sin 222s in 22(1)s in 22(1)s in 22(1)14s in 24c o s 22s in21(1c o s 2)s in 2s in 22222LL L L xDx d x x y d yx d x x y d y x d x x y d yx y d x d y x d xd x x y d y xx x d xxx x x d x xx d x πππππππππ++-=+--+-=--=--=-=--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三：（将其拆成2sin 222LLx d x y d y x y d y -+⎰⎰，前者与路径无关，选择沿x 轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）2212sin 22(1)sin 222LL Lxd x x yd y xd x yd y x yd y I I +-=-+=+⎰⎰⎰对于1I ，因为0P Q yx∂∂==∂∂，故曲线积分与路径无关，取(0,0)到(,0)π的直线段积分10s in 20I x d x π==⎰2222202222122s in c o s s in 2c o s 221111c o s 22c o s 2s in 222221111s in 2c o s 22222LI x y d y x x x d x x x d x x d xx xx x d x x d xx x x ππππππππππ====-=-+=-+⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式212π=-(17) 【详解】点(,,)x y z 到x O y 面的距离为||z ，故求C 上距离x O y 面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数2H z =在条件22220x y z +-=与35x y z ++=下的最大值点和最小值点.令 2222(,,,,)(2)(35)L x y zz x y z x yzλμλμ=++-+++-所以 22220(1)20(2)2430(3)20(4)35(5)x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪++=⎪⎩ 由(1)(2)得x y =，代入(4)(5)有 22235x z x z ⎧-=⎨+=⎩，解得555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 或 111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(18)【详解】(I) 对任意的x ，由于f 是连续函数，所以00()()()()limlimx xxx x f t d t f t d tF x x F x xx+→→-+-=⎰⎰()()limlimlim ()x xxx x x f t d tf x f xxξξ+→→→===⎰，其中ξ介于x 与x x + 之间由于0lim ()()x f f x ξ→= ，可知函数()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=.(II)方法一：要证明()G x 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有(2)()G x G x +=，()(2)()H x G x G x =+-，则()()()()()()()()22222()2(2)22(2)2()0x xH x ft d t x ft d tft d t x ft d tf x ft d t f x ft d t+'''=-+--=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为 ()()()22(0)(2)(0)2200H G G f t d t f t d t =-=--=⎰⎰所以 ()0H x =，即(2)()G x G x +=方法二：由于f 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有()()()()222(2)()2(2)2x xG x G x ft d tx ft d t ft d tx ft d t ++-=-+-+⎰⎰⎰⎰()()()()222202x xft d t ft d t ft d t ft d t +⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()()()()000222[2]0xxxft d t fu d u f t ft d t ⎡⎤=-++=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰即()G x 是以2为周期的周期函数.(19)【详解】由于 220022(1)23a x d x πππ=-=-⎰21224(1)c o s (1)1,2,n n a x n x d x n nππ+=-=- =⎰所以 210211(1)()c o s 14c o s 023n n n n a f x a n x n x x nππ+∞∞==-=+=-+ ≤≤∑∑令0x =，有 2121(1)(0)143n n f nπ+∞=-=-+ ∑又(0)1f =，所以1221(1)12n n nπ+∞=- =∑(20)【详解】(I) ()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤(II) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=. 于是()2()()(1)()12TTTr A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<(21)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a aa aa A r a r aaaa=-=121301240134(1)2(1)3231(1)0nn n a a a n a a n ar a r a n a nnn an--+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n aa aa D a D aa-=-21221222(1)(1)n n nn n a D a D a n aa n an a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D a D a D --=-，所以 211212()n n n n n n D a D a D a D a D a D ------=-=-222321()()n nn n a D a D aD a D a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a a D a a a a D a a D ----=+=++=++2121(2)(1)nn nn n aaD n aaD --==-+=-+1(1)2(1)nn nn a aa n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由A x B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n aa a a aa aa D n aaaaa--⨯-⨯-===所以 11(1)n nD n x D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n nx x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()100100,TTk k +为任意常数．(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y d y P X =≤≤==+≤===≤===⎰(II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-[]1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它 (23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ ，所以2(,)X N nσμ ，从而2,E X D X nσμ= =．因为 221()()E T E XS n=-221()E X E S n=-221()()D X E X E S n=+-222211nnσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T E T E T =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T E T=442222()S E X XSnn=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S nn=-+因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n==，()221E XD XE Xn=+=所以22422221()()()()()E X D X E X D D X E X⎛⎡⎤=+=++ ⎣⎦⎝(2221()DD X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭()2422222()1E SE S D S E S D S ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n SW n Sn χσ-==-- ，所以2(1)D W n =-，又因为22(1)D W n D S =-，所以22(1)D S n =-,所以4211(1)1n E S n n +=+=--所以 2223211111n E Tnnnnn +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-.方法二：当0,1μσ==时221()()D T D XS n=-(注意X 和2S 独立)(222222221111(1)(1)D XD S DD n S nnnn ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n nnn n n =⋅+⋅⋅-=--。

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