四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学(理)试题含解析

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高2019级高三下期二诊二模理科数学试题及答案

四川师大附中2021-2022学年度（下期）二诊二模考试试题高2019级理科数学本试卷共23小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，请将答题卡上交，试卷由本人保存。

第Ⅰ卷（选择题）一.选择题(共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题后给出的四个选项中仅有一个是符合题意的，将你认为正确的选项的序号填入答题卡中。

)1.已知集合{}2|280A x x x =--≤，{}2|log ||0B x x =>，则A B =A．[2,1)(1,4]-- B．[2,1)--C．[2,4]-D．(1,4]2.已知a R ∈,若复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）是纯虚数，则z 的共轭复数的虚部是A.1B.i-C.iD.1-3.给出如右图所示的程序框图，若输入x 的值为52-,则输出的y 的值是A.3- B.1- C.2- D.04.已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=（）A ．1010-B ．55-C ．31010-D ．255-5.函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0>ω，2πϕ<)的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象只要将()f x 的图象A.向右平移6π个单位B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位6.下列命题中，真命题的是A.若回归方程0.450.6y x ∧=-+，则变量y 与x 正相关B.线性回归分析中相关指数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好C.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为8D.若随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，(4)0.64P X ≤=，则(23)0.07P X ≤≤=7.已知O 为坐标原点，点M 的坐标为()2,1，点N 的坐标(),x y 满足1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则OM ON ⋅的最小值为A.4- B.1- C.2- D.3-8.已知命题:p 522m <<或532m <<是方程22123x y m m +=--表示椭圆的充要条件；命题:q 2b ac =是,,a b c 成等比数列的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是A.p q ⌝∨⌝ B.p q ∧ C.p q ∧⌝ D.p q⌝∧⌝9.“烂漫的山花中，我们发现你。

四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学(理)试题含解析

四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|x≤-2或x≥1}，则A∩（∁U B）=（）A. B.C. D. 或2.已知双曲线C：＞的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知向量=（，），=（-3，），则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. D. 14.条件甲：a＞b＞0，条件乙：＜，则甲是乙成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（）A. B. C. D.6.若，，，且，，则sinβ=（）A. B. C. D.7.已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是（）A. 若平面，则B. 若平面，则，C. 存在平面，使得，，D. 存在平面，使得，，8.将函数f（x）的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. B.C. D.9.已知定义域R的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，则f（）=（）A. B. C. D.10.已知a R且为常数，圆C：x2+2x+y2-2ay=0，过圆C内一点（1，2）的直线l与圆C相切交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x-y=0，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 511.用数字0，2，4，7，8，9组成没有重复数字的六位数，其中大于420789的正整数个数为（）A. 479B. 480C. 455D. 45612.某小区打算将如图的一直三角形ABC区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观．已知AB=20m，AC=10m，则△DEF区域内面积（单位：m2）的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z=，a R，若z为纯虚数，则|z|=______．14.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=AD=1，BC=CD=BD=，则球O的表面积为______．15.在平面直角坐标系xOy中，定义两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的折线距离为d（A，B）=|x1-x2|+|y1-y2|．已知点O（0，0），C（x，y），d（O，C）=1，则的取值范围是______．16.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则|PF|+的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S，公比q＞1，且a2+1为a1，a3的等差中项，S3=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）记b n=a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.为了让税收政策更好的为社会发展服务，国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得2×2（）根据列联表，能否有的把握认为满意程度与年龄有关？（2）为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难，该企业拟员工贡献积分x（单位：分）给予相应的住房补贴y（单位：元），现有两种补贴方案，方案甲：y=1000+700x；方案乙：，＜，＜．已知这8名员工的贡献积分为2分，3分，6分，7分，7分，11分，12分，，＞12分，将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”．为了解员工对补贴方案的认可度，现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“A类员工”的概率．附：，其中n=a+b+c+d．参考数据：19.如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，（Ⅰ）证明：EF MC；（Ⅱ）求二面角M-AB-D的余弦值．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+2k2=0，求直线F1M的方程．21.已知函数，a R．（Ⅰ）若f（x）≥0，求实数a取值的集合；（Ⅱ）证明：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α倾斜角），曲线C的参数方程为（β为参数，β[0，π]），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线C恰有一个公共点P，求点P的极坐标．23.已知函数f（x）=|x-m|-|x+2m|的最大值为3，其中m＞0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b R，ab＞0，a2+b2=m2，求证：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∁U B={x|-2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）={x|-1＜x＜1}．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】D【解析】解：双曲线C：的焦距为4，则2c=4，即c=2，∵1+b2=c2=4，∴b=，∴双曲线C的渐近线方程为y=x，故选：D．先求出c=2，再根据1+b2=c2=4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题3.【答案】A【解析】解：由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴=．故选：A．本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4.【答案】A【解析】解：条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立不一定有条件甲：a＞b＞0成立所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．5.【答案】C【解析】解：甲的中位数为29，乙的中位数为30，故不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故正确，不正确．故选：C．根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．本题考查了茎叶图，属基础题．6.【答案】B【解析】解：，且，可得cosα=-=-．，可得sinαcosβ-cosαsinβ=-，可得cosβ+sinβ=-，即2cosβ+sinβ=-，sin 2β+cos 2β=1，解得sinβ=．故选：B ．利用同角三角函数基本关系式求出cosα，通过两角和与差的三角函数化简已知条件，转化求解sinβ即可．本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查． 7.【答案】C【解析】解：由a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，知：在A 中，若c 平面α，则a 与α相交、平行或a α，故A 错误；在B 中，若c 平面α，则a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内，故B 错误；在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c α，a α，b ∥α，故C 正确；在D 中，若存在平面α，使得c ∥α，a α，b α，则a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾，故D 错误．故选：C ．在A 中，a 与α相交、平行或a α；在B 中，a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内；在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c α，a α，b ∥α；在D 中，a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8.【答案】C【解析】解：由图象知A=1，=-（-）=，即函数的周期T=π，则=π，得ω=2，即g（x）=sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ=π，得φ=，则g（x）=sin（2x+），将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，即f（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=sin（2x++）=cos（2x+），故选：C．根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵f（x）是奇函数，且图象关于x=1对称；∴f（2-x）=f（x）；又0≤x≤1时，f（x）=x3；∴．故选：B．根据f（x）的图象关于直线x=1对称，即可得出f（2-x）=f（x），从而得出，再根据f（x）是奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，从而得出．考查奇函数的定义，函数f（x）的图象关于x=a对称时，满足f（2a-x）=f（x），以及已知函数求值的方法．10.【答案】B【解析】解：化圆C：x2+2x+y2-2ay=0为（x+1）2+（y-a）2=a2+1，圆心坐标为C（-1，a），半径为．如图，由题意可得，过圆心与点（1，2）的直线与直线2x-y=0垂直．则，即a=3．故选：B．由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x-y=0垂直，再由斜率的关系列式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，有3种情况，将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，此时有3×A55=360种情况，即有360个大于420789的正整数，，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，有3种情况，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有3×A44=72种情况，即有72个大于420789的正整数，，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有A44=24种情况，其中有420789不符合题意，有24-1=23个大于420789的正整数，则其中大于420789的正整数个数有360+72+23=455个；故选：C．根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，分别求出每种情况下的六位数的数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：△ABC是直三角形，AB=20m，AC=10m，可得CB=，DEF是等边三角形，设∠CED=θ；DE=x，那么∠BFE=30°+θ；则CE=xcosθ，△BFE中由正弦定理，可得可得x=，其中tanα=；∴x≥；则△DEF面积S=故选：D．△ABC是直三角形，DEF是等边三角形，AB=20m，AC=10m，CB=，可得∠A=60°，∠B=30°；设∠CED=θ；DE=x，那么∠BFE=30°+θ；则CE=xcosθ，在三角形△BFE中利用正弦定理求解x的最小值，即可求解△DEF区域内面积的最小值．本题考查三角形的面积的求法，考查DEF边长的求法，角的表示求解最值问题，是中档题，解题时要注意正弦定理的合理运用．13.【答案】1【解析】解：∵z==是纯虚数，∴，即a=-1．∴z=i，则|z|=1．故答案为：1．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值，得到复数z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】3π【解析】解：如图，取CD中点E，连接BE，可得BE=，设等边三角形BCD的中心为G，则BG=，∴AG=，设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R，则R2=BG2+OG2，即，解得R=．∴球O的表面积为．故答案为：3π．由题意画出图形，解三角形求得三棱锥外接球的半径，代入棱锥体积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】【解析】解：d（O，C）=|x|+|y|=1，则≥=，．故答案为：．d（O，C）=|x|+|y|=1，利用≥即可得出．本题考查了基本不等式的性质、折线距离，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】6【解析】解：设直线l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：x2-4kx-4=0，可得：x1+x2=4k，x1x2=-4，|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+2+2=4k2+4．对x2=4y两边求导可得：y′=，可得切线PA的方程为：y-y1=（x-x1），切线PB的方程为：y-y2=（x-x2），联立解得：x=（x1+x2）=2k，y=x1x2=-1．∴P（2k，-1）．∴|PF|=．∴|PF|+=+，令=t≥2．则|PF|+=t+=f（t），f′（t）=1-=，可得t=4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）=6．当且仅当k=时取等号．故答案为：6．设直线l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立化为：x2-4kx-4=0，利用根与系数的关系可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+4．对x2=4y两边求导可得：y′=，可得切线PA的方程为：y-y1=（x-x1），切线PB的方程为：y-y2=（x-x2），联立解得P点坐标，可得代入|PF|+，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值、切线方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：（I）∵a2+1是a1，a3的等差中项，∴2（a2+1）=a1+a3，∴a1（q2+1）=2a1q+2，=14，化为2q2-5q+2=0，q＞1，解得q=2，∴a1=2．∴a n=2n．（II）b n=a n•log2a n=n•2n．∴数列{b n}的前n项和T n=2+2•22+3•23+……+n•2n．2T n=2×2+2•23+……+（n-1）•2n+n•2n+1．∴-T n=2+22+23+……+2n-n•2n+1=-n•2n+1．解得：T n=（n-1）•2n+1+2．【解析】（I）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得2（a2+1）=a1+a3，又a1（q2+1）=2a1q+2，=14，联立解得，即可得出．（II）b n=a n•log2a n=n•2n．利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）根据列联表可以求得K2的观测值：k==≈11.42＞6.635，故有99%的把握认为满意程度与年龄有关．（2）据题意，该8名员工的贡献积分及按甲乙两种方案所获补贴情况为：设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名”A类员工“的概率为P，则P==．【解析】（1）根据列联表可以求得K2的观测值，结合临界值可得；（2）先得积分表可得A类员工的人数，再根据古典概型的概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）由题意知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF AB，EF CD，∴折叠后，EF DF，EF CF，∵DF∩CF=F，∴EF平面DCF，又MC平面DCF，∴EF MC．解：（Ⅱ）∵平面BEFC平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD=EF，且EF DF，∴DF平面BEFC，∴DF CF，∴DF，CF，EF两两垂直，以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵DM=1，∴FM=1，∴M（1，0，0），D（2，0，0），A（1，0，2），B（0，1，2），∴=（0，0，2），=（-1，1，0），=（-1，0，2），设平面MAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面ABD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（2，2，1），∴cos＜，＞===，∴二面角M-AB-D的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出EF AB，EF CD，折叠后，EF DF，EF CF，从而EF平面DCF，由此能证明EF MC．（Ⅱ）以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AB-D的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（I）由题意可得：2b=4，=，a2=b2+c2．联立解得：b=2，c=1，a=3．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（II）A（-3，0），B（3，0），F1（-1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x=my-1，M（x1，y1），（y1＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（x2，y2）．∵F1M∥F2N，根据对称性可得：N（-x2，-y2）．联立，化为：（8m2+9）y2-16my-64=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵3k1+2k2=0，∴+=0，即5my1y2+6y1+4y2=0，联立解得：y1=，y2=，∵y1＞0，y2＜0，∴m＞0．∴y1y2=•=，∴m=．∴直线F1M的方程为x=y-1，即2x-y+2=0．【解析】（I）由题意可得：2b=4，=，a2=b2+c2．联立解出即可得出椭圆C的标准方程．（II）A（-3，0），B（3，0），F1（-1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x=my-1，M（x1，y1），（y1＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（x2，y2）．由F1M∥F2N，根据对称性可得：N（-x2，-y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（8m2+9）y2-16my-64=0，根据根与系数的关系及其3k1+2k2=0，+=0，联立解得m．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】（I）解：f′（x）=-=．（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=0．因此0＜x＜1时，f（x）＜0．当a＞0时，可得函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴x=a时，函数f（x）取得极小值即最小值，则f（a）=ln a+1-a≥0．令g（a）=ln a+1-a，g（1）=0．g′（a）=-1=，可知：a=1时，函数g（a）取得极大值即最大值，而g（1）=）．因此只有a=1时满足f（a）=ln a+1-a≥0．故a=1．∴实数a取值的集合是{1}．（II）证明：由（I）可知：a=1时，f（x）≥0，即ln x≥1-在x＞0时恒成立．要证明：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x，即证明：e x≥1+x2+（e-2）x，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．令h（x）=e x-1-x2-（e-2）x，x＞0．h′（x）=e x-2x-（e-2），令u（x）=e x-2x-（e-2），u′（x）=e x-2，令u′（x）=e x-2=0，解得x=ln2．可得：x=ln2时，函数u（x）在（0，ln2）内单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．即函数h′（x）在（0，ln2）内单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．而h′（0）=1-（e-2）=3-e＞0．h′（ln2）＜h′（1）=0．∴存在x0（0，ln2），使得h′（x0）=0，当x（0，x0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x（x0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．当x（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．又h（0）=1-1=0，h（1）=e-1-1-（e-2）=0，∴对∀x＞0，h（x）≥0恒成立，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．综上可得：e x+≥2-ln x+x2+（e-2）x，成立．【解析】（I）f′（x）=-=．（x＞0）．对a分类讨论即可得出单调性与极值，进而得出结论．（II）由（I）可知：a=1时，f（x）≥0，即lnx≥1-在x＞0时恒成立．要证明：e x+≥2-lnx+x2+（e-2）x，即证明：e x≥1+x2+（e-2）x，即e x-1-x2-（e-2）x≥0．令h（x）=e x-1-x2-（e-2）x，x＞0．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（β为参数，β[0，π]），转换为直角坐标方程为：（x-4）2+y2=4（y≥0）．直线l的参数方程为（t为参数，α倾斜角），转换为极坐标方程为：θ=α．（2）由（1）可知：曲线C为半圆弧，若直线l与曲线C恰有一个公共点P，则直线l与半圆弧相切．设P（ρ，θ），由题意知：，故：，故：ρ2+22=42，解得：．所以：点P（，）．【解析】1（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）∵m＞0，∴f（x）=|x-m|-|x+2m|=，，＜＜，，∴当x≤-2m时，f（x）取得最大值3m．∴m=1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，a2+b2=1，∴+===-2ab．∵a2+b2=1≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．∴0＜ab，令h（t）=-2t，0＜t，则h（t）在（0，]上单调递减，∴h（t）≥h（）=1，∴当0＜ab时，-2ab≥1，∴+≥1．【解析】（Ⅰ）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（Ⅱ）将所证不等式转化为-2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2019届四川省高三联合诊断理科数学试题答案

∧ ∧ 28 = -0. 56, a = y -bx = 9-( -0 . 56) ×7 = 12 . 92 . 50 ∧
将 x = 6 代入回归方程可预测该店当日营业额 y = -0. 56×6+12 . 92 = 9 . 56( 千元) 高三数学( 理科) 答案第 1 页( 共 4 页)
∧
19 . 解:(1) 取 EF 的中点 G ,连结 AG.
1 . 2
12 分 1分
3分
因为 y1 >0,所以 y1 =
高三数学( 理科) 答案第 2 页( 共 4 页)
所以点 P 坐标为(
(2) 由(1) 可知直线 AP 的方程是 x - 3 y +6 = 0, 设点 M( m,0) ,则点 M 到直线 AP 的距离是由题意
3 5 3 , ) 2 2
→ m ㊃→ n 1 = . → |m| |→ n| 2
故锐二面角 E
DF
A 的余弦值为
20 . 解:(1) 由已知可得 A( -6,0) ,F (4,0) → → 设点 P ( x1 ,y1 ) ,则AP = ( x1 +6,y1 ) ,FP = ( x1 -4,y1 ) . → → 因为 PA⊥PF ,所以AP ㊃FP = ( x1 +6) ( x1 -4) +y2 1 = 0. x2 y2 ì 1 1 ï ï + =1 36 20 则í 化简得 2 x2 1 +9 x 1 -18 = 0 ï 2 î( x1 +6) ( x1 -4) +y1 = 0 解得 x1 = 3 或 x1 = -6( 舍) 2 5 3 2
5分 | m +6 | . 2 7分 9分
设椭圆上的点( x,y) 到点 m(2,0) 的距离为 d, 则 d2 = ( x -2) 2 +y2 = x2 -4 x +4+20当 x=

四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学(理)试题-235d465b113944a186db6bca65fdfce8

……外…………○………学校:________……内…………○………绝密★启用前【校级联考】四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设全集U=R ，集合A ={y |y =√x}，则C U A = A ．[0,+∞)B ．(−∞,0]C ．(0,+∞)D ．(−∞,0)2．若a 为实数，则复数z =(a +i )(1+ai )在复平面内对应的点在 A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限3．国家统计局统计了我国近10年(2009年2018年)的GDP(GDP 是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标)增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下面说法错误的是 A ．这10年中有3年的GDP 增速在9．00％以上 B ．从2010年开始GDP 的增速逐年下滑…………装…………○………………线…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※…………装…………○………………线…D ．2013年—2018年GDP 的增速相对于2009年—2012年，波动性较小 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若2c =√6b,C =60°，则B= A ．45° B ．45°或135° C ．30° D ．30°或150°5．函数f (x )=ln (x 2+1)x 3的大致图象是A ．B ．C ．D ．6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。

孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p+2是素数，素数对(p ，p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是 A ．115B ．215C ．245D ．4457．执行下面的程序框图，若输入a =1，则输出的S =A ．−1B ．1C ．−3D ．−28．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0),F 2(c,0)，过点F 2作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，线段PF 2的中点M 到原点的距离为√2c ，则此双曲线的渐近线方程为 A ．y =±2xB ．y =±12xC ．y =±4xD ．y =±14x9．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，且异面直线BD 1与AA 1所成角的余弦值为√63，则该长方体外接球体积为装…………○…………○……_姓名：___________班装…………○…………○……A ．24πB ．8√6πC ．6√6πD ．8π 10．已知函数f (x )=2sin (2x −π4)(−5π8≤x ≤3π8)，若x 1≠x 2，且f (x 1)=f (x 2)，则当x 1x 2<0时，|x 1−x 2|的取值范围是 A ．(0,π4)B ．[π4,π]C ．(π4,3π4) D ．(π4,π]11．若定义在R 上的函数f (x )满足f (2−x )=f (x )，且当x <1时，f (x )=xe x ，则满足f (a −1)>f (a )的a 的取值范围是 A ．(2,+∞)B ．(12,+∞)C ．(3,+∞)D ．(32,+∞)12．如图，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0),F 2(c,0),P 是椭圆C 上一点，O 为坐标原点，若∠F 1PF 2=60∘，且|PO |=2√23a ，则椭圆C 的离心率是A ．√22B ．√32C ．√63D ．23……○…………订※※装※※订※※线※※内※……○…………订第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知向量a⃗ ,b⃗满足|a|=√6,|b⃗|=√2,(a−b⃗)⋅b⃗=1，则向量a⃗ ,b⃗的夹角的大小为__________．14．已知实数x,y满足不等式组{y≤x,y≤−x,x+3y+3≥0,则z=x−y的最大值为___________．15．在平面直角坐标系xOy中，已知0<α<2π，点P(1−tanπ12,1+tanπ12)是角α终边上一点，则α的值是___________．16．如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面SAD∩平面SBC=l．现有以下四个结论：①AD∥平面SBC；②l//AD；③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；④l与平面SCD所成的角为45°．其中正确结论的序号是__________．三、解答题17．在等比数列{a n}中，公比q>0，其前n项和为S n，且S2=3,S4=15．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n+1，若数列{b n}的前n项和为T n，则b n2,2T n,b n+12是否成等比数列?并说明理由．18．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥侧面BCC1B1,AC=AB1．…………○………………○……(1)求证：平面ABC 1⊥平面AB 1C ；(2)若AB =BC =2,∠BCC 1=60∘，求二面角B −AC 1−B 1的余弦值．19．在某公司举行的一次真假游戏的有奖竞猜中，设置了“科技”和“生活”这两类试题，规定每位职工最多竞猜3次，每次竞猜的结果相互独立．猜中一道“科技”类试题得4分，猜中一道“生活”类试题得2分，两类试题猜不中的都得0分．将职工得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于4分就认为通过游戏的竞猜，立即停止竞猜，否则继续竞猜，直到竞猜完3次为止．竞猜的方案有以下两种：方案1：先猜一道“科技”类试题，然后再连猜两道“生活”类试题；方案2：连猜三道“生活”类试题．设职工甲猜中一道“科技”类试题的概率为0.5，猜中一道“生活”类试题的概率为0.6．(1)你认为职工甲选择哪种方案通过竞猜的可能性大?并说明理由． (2)职工甲选择哪一种方案所得平均分高?并说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C:y 2=2px (p >0)的准线为l ，其焦点为F ，点B 是抛物线C 上横坐标为12的一点，若点B 到l 的距离等于|BO |． (1)求抛物线C 的方程，(2)设A 是抛物线C 上异于顶点的一点，直线AO 交直线l 于点M ，抛物线C 在点A 处的切线m 交直线l 于点N ，求证：以点N 为圆心，以|MN |为半径的圆经过x 轴上的两个定点． 21．已知函数f (x )=lnx +14x2+12x+a −34,g (x )=lnx ．(1)求证：f (x )≥14(1x−1)2+a ；(2)用max {p,q }表示p,q 中的最大值，记ℎ(x )=max {f (x ),g (x )}，讨论函数ℎ(x )零点的个数．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =√3sinθ(θ为参数)，直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)．(1)求曲线C 和直线l 的普通方程，(2)设M (1,0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若|AM |=2|MB |，求直线l 的斜率23．已知函数f(x)=|2x+1|+|2x−1|，且不等式f(x)≤4的解集为M.(1)求M；(2)若x∈M,y∈M，求证：|x|1+|y|+|y|1+|x|≤1．参考答案1．D【解析】【分析】利用补集的概念及运算得到结果.【详解】∵A={y|y=√x}=[0,+∞)∴C U A=(−∞,0)故选：D【点睛】本题考查补集的概念及定义，考查函数的值域，属于基础题.2．B【解析】【分析】利用复数的乘法运算化简复数z，结合复数的几何意义得到结果.【详解】∵z=a+i+a2i−a=(a2+1)i，且a2+1＞0∴复数z=(a+i)(1+ai)在复平面内对应的点在虚轴上，故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．B【解析】【分析】利用折线统计图，逐一作出判断即可.【详解】由图可知，这10年中有3年GDP的增速在9．00％以上，则选项A正确；2017年相比于2016年GDP的增速上升，则选项B错误；这10年GDP增速均超过6.5％，则选项C正确；显然D正确.故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4．A【解析】【分析】根据边长确定B，C的大小，由正弦定理得到结果.【详解】∵b<c，∴B<C，又C=60°，∴B<60°，由正弦定理可得sinB=bsinCc =°6=√22∴B=45°.故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，学生求B度数时注意先求出B的范围．5．A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数f(x)为奇函数，可排除B选项；当x<0时，f(x)＜0，可排除D选项；当x=1时，f(1)=ln2，当x=3时，f(3)=ln1027,ln2>ln1027，即f(1)＞ f(3)，可排除C选项，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．6．D【解析】【分析】由题意明确不超过30的素数有10个，满足题意的孪生素数对有4个，利用古典概型公式可得结果.【详解】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p，p+2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为P=4C102=445，故选：D【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力.7．D【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】第一次循环，得S=0−1×4=−4,a=−1,k=3，第二次循环，得S=−4−(−1)×3=−1，a=1,k=2，第三次循环，得S=−1−1×2=−3,a=−1,k=1，第四次循环，得S=−3−(−1)×1=−2,a=1,k=0第五次循环，k=0，不满足k≥1则输出S=−2，故选：D【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．A【解析】【分析】由题意明确线段PF2的中点M的坐标，结合距离公式，即可得到结果. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，易求点P的坐标为(c,bca)，中点M的坐标为(c,bc2a)，∵OM2=c2+(bc2a )2=(√2c)2，∴4a2=b2，即ba=2.故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程与简单的几何性质，考查计算能力与转化能力，属于基础题.9．B【解析】【分析】由异面直线BD1与AA1所成角的余弦值为√63可得侧棱长，长方体的体对角线长为外接球的直径，从而得到外接球体积.【详解】∵异面直线BD1与AA1所成角的余弦值为√63，且AA1//DD1，∴cos∠DD1B=√63，在Rt△DD1B中，设DD1=x.∵BD=√AB2+AD2=√AB2+BC2=2√2，∴BD1=√8+x2，∴2=√63，∴x=4则长方体外接球直径为BD1=2√6，半径为R=√6,V=43π(√6)3=8√6π故选：B【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法与长方体的外接球体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．D【解析】【分析】画出函数f(x)=2sin(2x−π4)(−5π8≤x≤3π8)的图，数形结合得到结果.【详解】函数f(x)=2sin(2x−π4)(−5π8≤x≤3π8)的图象如图所示，作AB//x轴，且设点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，当x1=0,x2=−π4时，|AB|min=|x1−x2|=π4；当x1=3π8,x2=−5π8时，|AB|max=|x1−x2|=π，故选：D【点睛】本题考查了正弦型函数的图像与性质，考查数形结合思想，属于中档题. 11．D【解析】【分析】利用函数的单调性与对称性，把抽象不等式转化为具体不等式即可. 【详解】当x<1时，f′(x)=−x−1e x>0，则f(x)在(−∞,1)内是增函数.由f(2−x)=f(x)得f(x)的图象关于直线x=1对称，∴f(x)在(1,+∞)内是减函数.将f(x)的图象向左平移1个单位长度，得到函数y=g(x)=f(x+1)的图象，则g(x)为偶函数，且在(0,+∞)内是减函数.f(a−1)=f(a−2+1)=g(a−2),f(a)=f(a−1+1)=g(a−1),从而f(a−1)>f(a)等价于g(a−2)>g(a−1)，即g(|a−2|)>g(|a−1|)，∴|a−2|<|a−1|，解得a>32.故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性与对称性，考查了利用导数判断函数的单调性，考查了函数方程思想与转化思想，属于中档题.12．C【解析】【分析】利用椭圆的定义与余弦定理建立关于离心率的方程即可.【详解】设|PF1|=m,|PF2|=n.由椭圆的定义，得m+n=2a，①.在△PF1F2中，由余弦定理，得m2+n2−2mncos60°=(2c)2，②.①2−②得：3mn=4(a2−c2)，③将③代入②，得m2+n2=43a2+83c2.在△POF1中，由余弦定理，得|PO|2+c2−2|PO|×c×cos∠F1OP=m2，④在△POF2中，由余弦定理，得|PO|2+c2−2|PO|×c×cos∠F2OP=n2，⑤④+⑤，得m2+n2=2|PO|2+2c2=16a29+2c2=43a2+83c2，化简，得2a2=3c2，故e=√63，故选：C【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13．30∘【解析】【分析】利用条件得到a∙b⃗，结合向量夹角公式即可得到结果.【详解】∵(a−b⃗)⋅b⃗=1，∴a∙b⃗−|b⃗|2=1，∴a∙b⃗=1+2=3∴cos〈a⃗ ,b⃗〉=a⃗ ∙b⃗|a⃗ |∙|b⃗|=√32，∴向量a⃗ ,b⃗的夹角为30∘故答案为：30∘【点睛】本题考查了向量夹角的求法，考查了向量的运算律，考查了计算能力，属于基础题. 14．3【解析】【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件{y≤x, y≤−x,x+3y+3≥0,的可行域，数形结合得z=x−y的最大值．【详解】画出可行域，如图所示，当直线y=x−z通过点A(32,−32)时，−z最小，z最大，∴z max=32−(−32)=3故答案为：3【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，以及目标函数的最值，其中画出满足条件的可行域是解答的关键，属于基础题．15．π3【解析】【分析】利用三角函数定义与两角和正切公式可得α的值.【详解】tanα=1+tan π121−tanπ12=tanπ4+tanπ121−tanπ4tanπ12=tan(π4+π12)=tanπ3，∵0<α<2π，且点P在第一象限，∴α为锐角，∴α的值是π3，故答案为：π3【点睛】本题考查三角函数定义，考查两角和正切公式，考查计算能力与转化能力，属于基础题. 16．①②④【解析】【分析】利用线面平行判定定理说明①的正误；利用线面平行性质定理说明②的正误；由S△SAE=12SA⋅SEsin∠ASE，讨论∠ASB的锐钝可说明③的正误；利用l与平面SCD所成的角等于AD与平面SCD所成的角可判断④的正误.【详解】由AB和CD是圆O得直径及AB⊥CD，得四边形ABCD为正方形，则AD∥BC，从而AD∥平面SBC，则①正确；又因为AD⊂平面SAD，且SAD∩平面SBC=l，所以l//AD，则②正确；因为S△SAE=12SA⋅SEsin∠ASE，当∠ASB为钝角时，(S∆SAE)max＞S∆SAB；当∠ASB 为锐角或直角时，(S ∆SAE )max =S ∆SAB ，则③不正确；由l//AD ，得l 与平面SCD 所成的角等于AD 与平面SCD 所成的角，即为∠ADO，又因为∠ADO=45°，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】本题以圆锥为载体，考查线面的位置关系，考查面积的最值问题及线面角的大小，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题. 17．（1）a n =2n−1；（2）见解析【解析】【分析】(1)利用等比数列通项公式即可得到数列{a n }； (2) 由（1）知b n =n ，求出T n =n(n+1)2，结合等比中项即可证明.【详解】（1）由S 2=3,S 4=15，得a 1+a 2=3⋅a 1+a 2+a 3+a 4=15. 两式相减，得a 3+a 4=12，即q 2(a 1+a 2)=12，∴q 2=4 由q >0，得q =2，∴a 1+2a 1=3，解得a 1=1，所以数列{a n }的通项公式a n =2n−1，（2）由（1）知b n =log 2a n+1=log 22n =n 所以T n =n(n+1)2，所以(2T n )2=[n(n +1)]2=n 2(n +1)2=b n 2b n+12，所以b n 2,2T n ,b n+12成等比数列.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等比中项，及等差数列前n 项和，考查计算能力，属于基础题.18．（1）见解析；（2）√77 【解析】【分析】(1)要证平面ABC 1⊥平面AB 1C ，转证B 1C ⊥平面AB C 1，即证AB ⊥B 1C ，B 1C ⊥AG ； (2) 以G 为坐标原点，以GC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向，以GB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.分别求出两个半平面的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】(1)如图，设BC 1∩B 1C =G ，连接AG.因为三棱柱的侧面BCC 1B 1为平行四边形，所以G 为B 1C 的中点，因为AC =AB 1，所以△AB 1C 为等腰三角形，所以B 1C ⊥AG ，又因为AB ⊥侧面BCC 1B 1，且B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以AB ⊥B 1C 又因为AB ∩AG =A ，所以B 1C ⊥平面AB C 1，又因为B 1C ⊂平面AB 1C ，所以平面ABC 1⊥平面AB 1C ；（2）由（1）知B 1C ⊥平面AB C 1，所以B 1C ⊥B C 1以G 为坐标原点，以GC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向，以GB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由B 1C ⊥B C 1易知四边形BCC 1B 1为菱形，因为AB =BC =2,∠BCC 1=60∘ 所以GB =GC 1=1.GC =B 1G =√3，则可得G(0，0，0)，C 1(1，0，0)，B 1(0，√3，0)，A(−1，0，2)，所以AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，−2)，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0) 设平面AC 1B 1的法向量n ⃗ =(x,y,z )，由{AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0得：{2x −2z =0x −√3y =0 ，取z=1，所以n ⃗ =(1,√33,1)，由（1）知GB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)为平面AB C 1的法向量，则cos⟨GB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n⃗ ⟩=GB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |GB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=(0,√3,0)⋅(1,√33,1)√3⋅√73=√7=√77易知二面角B −AC 1−B 1的余弦值√77. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．（1）职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大；（2）职工甲选择方案1通过竞猜的平均分高【解析】【分析】(1)利用互斥概率加法公式及独立乘法公式计算出两种方案的概率，从而作出判断； (2)分别计算出两种方案的期望值，从而作出判断. 【详解】猜中一道“科技”类试题记作事件A ，猜错一道“科技”试题记作事件A ；猜中一道“生活”类试题记作事件B ，猜错一道“生活”试题记作事件B ；则P(A)=0.5,P(A )=0.5,P(B)=0.6，P(B ̅)=0.4，（1）若职工甲选择方案1，通过竞猜的概率为：P(X =4)=P(A)+P(ABB)=0.5+0.5×0.6×0.6=0.68. 若职工甲选择方案2，通过竞猜的概率为：P(X =4)=P(BB)+P(B ̅BB)+P(BB ̅B)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648∵0.68>0.648∴职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大. (2) 职工甲选择方案1所得平均分高，理由如下：若职工甲选择方案1，X 的可能取值为：0,2,4，则P(X =0)=P(A B̅B ̅)=P(A )P(B ̅)P(B ̅)=0.5×0.4×0.4=0.08，P(X =2)=P(A BB̅)+P(A B ̅B)=P(A )P(B)P(B ̅)+P(A )P(B ̅)P (B )= 2×0.5×0.6×0.4=0.24， P(X =4)=0.68，数学期望E(X)=0×0.08+2×0.24+4×0.68=3.2 若职工甲选择方案2，X 的可能取值为：0,2,4，P(X =0)=C 30×0.43=0.064，P(X =2)=C 31×0.6×0.42=0.288,P(X =4)=0.648数学期望E(X)=0×0.064+2×0.288+4×0.648=3.168 因为3.2>3.168，所以职工甲选择方案1所得平均分高. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.20．（1）y 2=4x ；（2）定点(−1,0)，(3，0) 【解析】【分析】(1) 由题意，得|BF|=|BO|，则△BOF 为等腰三角形，求出线段OF 的中点的横坐标即可得到抛物线C 的方程；(2) 设切线m 的方程为：y =kx +b ，联立方程，借助韦达定理可得A (1k 2,2k )，再求出M(−1,−2k)，表示以|MN|为半径的圆的方程即可得到两个定点. 【详解】(1)由题意，得|BF|=|BO|，则△BOF 为等腰三角形，因为点B 的横坐标为12，所以线段OF 的中点的横坐标为12，从而点F 的横坐标为1，即p2=1，所以p=2，故所求抛物线C 的方程为y 2=4x ；(2)证明：设切线m 的方程为：y =kx +b ，由{y =kx +b y 2=4xk 2x 2+2(kb −2)x +b 2=0 （*）由题意知Δ=4(kb −2)2−4k 2b 2=0，即b =1k 所以方程（*）的根为 x =1k ，从而A (1k ,2k )，直线OA 的方程为y =2kx由{y =kx +1k x =−1，得N (−1,1k −k)，由{y =2kx x =−1 ，得M(−1,−2k)，所以以点N 为圆心，以|MN|为半径的圆的方程为(x +1)2+(y −1k +k)2=(k +1k )2，令y =0，得(x +1)2+(k −1k )2=(k +1k )2，解得x =1或x=−3，所以圆N 经过x 轴上的两个定点(−1,0)和(3，0). 【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 21．（1）见解析，（2）见解析【解析】【分析】(1) 设φ(x)=f(x)−[14(1x −1)2+a]求出函数的最小值即可；(2) 对x 和a 的范围进行讨论，得出f （x ），g （x ）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f （x ），g （x ）的零点个数，从而得出h （x ）的零点个数．【详解】（1）证明：设φ(x)=f(x)−[14(1x −1)2+a]=lnx +1x −1，定义域为(0,+∞)，则φ′(x)=1x −1x 2=x−1x 2.当0<x <1时，φ′(x)<0；当x >1时，φ′(x)>0，故φ(x)在(0,1)内是减函数，在(1,+∞)内是增函数，所以x =1是φ(x)的极小值点，也是φ(x)的最小值点，所以φ(x)⩾φ(x)min =φ(1)=0，所以f (x )≥14(1x −1)2+a （2）解：函数f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x)=1x −12x 3−12x 2=2x 2−x−12x 3=(2x+1)(x−1)2x 3，当0<x <1时，f ′(x)<0；当x >1时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0,1)内是减函数，在(1,+∞)内是增函数，所以x =1是f(x)的极小值点，也是f(x)的最小值点，即f(x)min =f(1)=a 若a =0，则f(x)−g(x)=14x 2+12x−34=−(x−1)(3x+1)4x 2，当0<x <1时，f(x)>g(x)；当x =1时，f(x)=g(x)；当x >1时，f(x)<g(x).所以ℎ(x)={f(x),0<x <1g(x),x ⩾1，于是ℎ(x)只有一个零点x =1.当a >0，则当0<x ⩽1时，f(x)>g(x)，此时ℎ(x)=f(x)⩾a >0，当x >1时，f(x)>a >0，g(x)>0，此时ℎ(x)>0 所以ℎ(x)没有零点.当a ＜0，则当0<x <1时，根据（1）可知，f (x )≥14(1x −1)2+a 而0<2−a+1<1，所以f (2−a+1)>14(2√−a +1−1)2+a =0 又因为f(x)min =f(1)=a <0，所以f (x )在(0,1)上有一个零点x 0，从而一定存在c ∈(x 0,1)，使得f(c)=g(c)，即14c2+12c−34+a =0，所以34−a =14c2+12c.当x >c 时，g(x)−f(x)=−14x 2−12x+34−a =−14x 2−12x+14c 2+12c=−c−x 4cx(c+x cx +2)>0，所以g(x)>f(x)，从而ℎ(x)={f(x),0<x ⩽c g(x),x >c，于是ℎ(x)有两个零点x 0和1. 故当a ＜0时，ℎ(x)有两个零点.综上，当a =0时，ℎ(x)有一个零点，当a ＞0时，ℎ(x)没有零点，当a ＜0时，ℎ(x)有两个零点. 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数的零点个数问题，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题． 22．（1）见解析；（2）√52或−√52【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2) 将直线的参数方程代入x 24+y 23=1，化简得(3+sin 2α)t 2+6tcosa −9=0，利用韦达定理即可得到直线l 的斜率.【详解】（1）曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1，当cosa =0时，直线l 的普通方程为x =1，当cosa ≠0时，直线l 的普通方程为xtanα−y −tanα=0，（2）显然在直线l 上，将直线的参数方程代入x 24+y 23=1，化简，得(3+sin 2α)t 2+6tcosa −9=0，则t 1+t 2=−6cosa 3+sin 2α,t 1⋅t 2=−93+sin 2α，由|AM |=2|MB |，得t 1=−2t 2，代入上式，得{−2t 2+t 2=−6cosα3+sin 2α−2t 2⋅t 2=−93+sin 2α，消去t 2，解得tanα=±√52，所以直线的斜率为√52或−√52. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23．（1）[−1,1]；（2）见解析【解析】【分析】(1)利用零点分段方法，解不等式组即可得到M ；(2)利用放缩法证明不等式.【详解】（1）解：当x ⩽−12时，不等式f(x)⩽4变为−2x −1+1−2x ≤4，解得x ⩾−1，此时−1⩽x ⩽ −12.当−12<x ⩽12时，不等式f(x)⩽4变为2x +1+1−2x ≤4，此不等式恒成立，此时−12<x⩽12.|x|⩾|y|当x>12时，不等式f(x)⩽4变为2x+1+2x−1≤4，解得x⩽1，此时12<x⩽1，综上，不等式的解集M是[−1,1]；（2）证明：由题意，得x∈[−1,1],y∈[−1,1]，则0⩽|x|⩽1,0⩽|y|⩽1，设|x|⩾|y|，|x| 1+|y|+|y|1+|x|⩽|x|1+|y|+|y|1+|y|=|x|+|y|1+|y|⩽1+|y|1+|y|=1故|x|1+|y|+|y|1+|x|≤1【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及放缩法证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题．。

2019届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学(理)试题(解析版)

2019届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合,,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】进行交集、补集的运算即可．【详解】∁U B＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：A．【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2．已知双曲线的焦距为4,则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出c＝2，再根据1+b2＝c2＝4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程. 【详解】双曲线C：的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，∵1+b2＝c2＝4，∴b，∴双曲线C的渐近线方程为y x，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题.3．已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．－1 D．1【答案】A【解析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4．已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．【详解】条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则也可以，但是此时不满足条件甲：a＞b＞0，所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5．为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

精品解析：【校级联考】四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学(理)试题(解析版)

4.在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别为
A. 45° 【答案】 A
B. 45°或 135 °
【解析】
【分析】
，若 C. 30°
，则 B=
D. 30°或 150 °
根据边长确定
【详解】∵
又
，
∴
，
的大小，由正弦定理得到结果 .
，∴
，
由正弦定理可得
∴B=45°．
故选： A
【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，学生求
可得答案．
【详解】第一次循环，得
，
第二次循环，得
，
第三次循环，得
，
第四次循环，得
第五次循环，
，不满足
则输出
，
故选： D
【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
8.已知双曲线
的左、右焦点分别为
渐近线在第一象限的交点为 P，线段的中点 M到原点的距离为
故选： B
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3.国家统计局统计了我国近 10 年 (2009 年 2018 年 ) 的 GDP(GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标 ) 增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．
根据该折线统计图，下面说法错误的是 A. 这 10 年中有 3 年的 GDP增速在 9． 00％以上 B. 从 2010 年开始 GDP的增速逐年下滑 C. 这 10 年 GDP仍保持 6.5 ％以上的中高速增长 D. 2013 年— 2018 年 GDP的增速相对于 2009 年— 2012 年，波动性较小【答案】 B 【解析】【分析】利用折线统计图，逐一作出判断即可 . 【详解】由图可知，这 10 年中有 3 年 GDP的增速在 9． 00％以上，则选项 A 正确； 2017 年相比于 2016 年 GDP的增速上升，则选项 B 错误；这 10 年 GDP增速均超过 6.5 ％，则选项 C 正确；显然 D 正确 . 故选： B 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

华文大教育联盟2019年高三第二次质量检测数学(文)试题(扫描版)

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2019年四川省高考数学二诊试卷(理科)-普通用卷

2019年四川省高考数学二诊试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x|≥0}，则A∩B=（）A. B. C. D. 2，2.i为虚数单位，若复数（m+mi）（m+i）是纯虚数，则实数m=（）A. B. 0 C. 1 D. 0或13.已知λ∈R，向量=（λ-1，1），=（λ，-2），则“ ⊥”是“λ=2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作a i（i=1，2，3，…，50），若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是（）A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B+b cos A=4sin C，则△ABC的外接圆面积为（）A. B. C. D.6.在（1+）（2x+1）3展开式中的常数项为（）A. 1B. 2C. 3D. 77.若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为（）A. B. C. 1 D.8.已知双曲线＞，＞上有一个点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足=0，且，则双曲线的离心率e的值是（）A. B. C. 2 D.9.节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化．为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：预测第年该国企的生产利润约为（）千万元（参考公式及数据：==；=-，（x i-）（y i-）=1.7，-n=10A. B. C. D.10.已知一个几何体的正视图，侧视图和俯视图均是直径为10的圆（如图），这个几何体内接一个圆锥，圆锥的体积为27π，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.11.已知A（3，0），若点P是抛物线y2=8x上任意一点，点Q是圆（x-2）2+y2=1上任意一点，则的最小值为（）A. 3B.C.D. 412.设函数f（x）满足f（x）=x[f'（x）-1nx]，且在（0，+∞）上单调递增，则f（）的范围是（e为自然对数的底数）（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sinα=，α∈（，），则sin（α+）的值为______．14.若函数f（x）=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log=______．15.若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值为______．16.在体积为3的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，AB=2，AC=3，则线段BC的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5=，a2a4=4．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若b n=na n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥．要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；（2）在年平均销售量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取多少家？（3）在（2）的条件下，再从[240，260），[260，280），[280，300）这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有ξ家在[240，260）组，求随机变量ξ的分布列与期望和方差．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BB1C1C是长方形，A1B1⊥BC，AA11=AB，AB1∩A1B=E，AC1∩A1C=F，连接EF．（1）证明：平面A1BC⊥平面AB1C1；（2）若BC=3，A1B=4，∠A1AB=，求二面角C1-A1C-B1的正弦值．20.已知，椭圆C过点A（，），两个焦点为（0，2），（0，-2），E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为k1，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为k2．（1）求椭圆C的方程；（2）求k1+k2的值．21.已知f（x）=x lnx．（1）求f（x）的极值；（2）若f（x）-ax x=0有两个不同解，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中曲线C1的参数方程为（其中t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρsin（）=-．（1）把曲线C1的方程化为普通方程，C2的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线C1，C2相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E，F两点，求．23.已知函数h（x）=|x-m|，g（x）=|x+n|，其中m＞0，n＞0．（1）若函数h（x）的图象关于直线x=1对称，且f（x）=h（x）+|2x-3|，求不等式f（x）＞2的解集．（2）若函数φ（x）=h（x）+g（x）的最小值为2，求的最小值及其相应的m和n的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={1，2，3}，B={x|≥0}={x|x≥3或x＜2}，∴A∩B={1，2，3}∩{x|x≥3或x＜2}={1，3}．故选：C．求解分式不等式化简集合B，再利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，考查分式不等式的解法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵复数（m+mi）（m+i）=（m2-m）+（m2+m）i是纯虚数，∴，即m=1．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：若“⊥”，则•=0，即（λ-1）λ-2×1=0，即λ2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，即“⊥”是“λ=2”的必要不充分条件，故选：B．根据向量垂直的等价条件求出λ的值，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量垂直的等价求出λ的值是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩a i，（1≤k≤60）k表示该班学生数学科成绩合格的人数，i表示全班总人数，输出的为该班学生数学科学业水平考试的合格率．故选：D．执行程序框图，可知其功能为用k表示成绩合格的人数，i表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：设△ABC的外接圆半径为R，∵acosB+bcosA=4sinC，∴由余弦定理可得：a×+b×==c=4sinC，∴2R==4，解得：R=2，∴△ABC的外接圆面积为S=πR2=4π．故选：C．设△ABC的外接圆半径为R，由余弦定理化简已知可得c=4sinC，利用正弦定理可求2R==4，解得R=2，即可得解△ABC的外接圆面积．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵（1+）（2x+1）3=（1+）（8x3+12x2+6x+1），∴（1+）（2x+1）3展开式中的常数项为1+6=7．故选：D．展开（2x+1）3，即可得到乘积为常数的项，作和得答案．本题考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属基础题．7.【答案】A【解析】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后图象所对应解析式为：g（x）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x++φ），由g（x）关于y轴对称，则+φ=kπ，φ=kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ=，即f（x）=2sin（2x+），当x∈[0，]时，所以2x+∈[，]，f（x）min=f（）=-，故选：A．由三角函数图象的性质、平移变换得：g（x）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x++φ），由g（x）关于y轴对称，则+φ=kπ，φ=kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ=，由三角函数在区间上的最值得：当x∈[0，]时，所以2x+∈[，]，f（x）=f（）=-，得解min本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属基础题．8.【答案】B【解析】解：=0，可得AF⊥BF，在Rt△ABF中，|OF|=c，∴|AB|=2c，在直角三角形ABF中，∠ABF=，可得|AF|=2csin=c，|BF|=2ccos=c，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，∴||BF|-|AF||=|AF'|-|AF|=c-c=2a，∴e===+1．故选：B．运用锐角三角函数的定义可得|AF|=2csin=c，|BF|=2ccos=c，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得c-c=2a，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：由表格数据可得，，．-）（y i-）=1.7，又，（x∴=，，∴国企的生产利润y与年份x得回归方程为，取x=8，可得．故选：C．由已知数据求得与的值，可得线性回归方程，取x=8即可求得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．10.【答案】A【解析】解：如图是几何体的轴截面图形，设圆锥的底面半径为r，由题意可得：，解得r=3，所以该圆锥的侧面积：=9．故选：A．利用球的内接圆锥的体积，求出圆锥的底面半径与高，然后求解该圆锥的侧面积．本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体圆锥的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的准线方程为l：x=-2，焦点F（2，0），过P作PB⊥l，垂足为B，由抛物线的定义可得|PF|=|PB|，圆（x-2）2+y2=1的圆心为F（2，0），半径r=1，可得|PQ|的最大值为|PF|+r=|PF|+1，由≥，可令|PF|+1=t，（t＞1），可得|PF|=t-1=|PB|=x P+2，即x P=t-3，y P2=8（t-3），可得==t+-4≥2-4=4-4，当且仅当t=2时，上式取得等号，可得的最小值为4-4，故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，过P作PB⊥l，垂足为B，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点雨圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，以及定义法的运用，考查圆的性质，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：令g（x）=f′（x），由f（x）=x[f'（x）-1nx]，故f′（x）=f′（x）-lnx+x[g′（x）-]，故g′（x）=，g′（x）＜0在（0，）恒成立，g（x）=f′（x）在（0，）递减，g′（x）＞0在（，+∞）恒成立，g（x）=f′（x）在（，+∞）递增，故f′（x）min=f′（），∵f（x）在（0，+∞）递增，故f′（x）=+lnx≥0在（0，+∞）恒成立，故在+ln≥0，f（）≥，故选：B．令g（x）=f′（x），求出函数的导数，根据函数的单调性求出f′（x）min=f′（），得到f′（x）=+lnx≥0在（0，+∞）恒成立，求出f（）的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．13.【答案】【解析】解：∵sinα=，α∈（），∴cosα=-，则sin（α+）=sinαcos+cosαsin=-=，故答案为：利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．14.【答案】-1【解析】解：因为f（1）=0，所以f（x）是[0，1]上的递减函数，所以f（0）=1，即=1，解得a=2，所以原式=log 2+log=log2）=-1，故答案为：-1．因为f（1）=0，所以f（x）是[0，1]上的递减函数，根据f（0）=1解得a=2，再代入原式可得．本题考查了函数的值域，属中档题．15.【答案】【解析】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1∴x+1+y=2，+=•（+）=（1+4++）≥（5+2）=，（当接仅当x=，y=时取“=”）故选：D．将x+y=1变成x+1+y=2，将原式+=•（+）=（1+4++）后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．16.【答案】或【解析】解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，其中AA1=1，四棱柱ABCD-A1B1C1D1体积为3，∴底面ABCD的面积为3．平行四边形ABCD边AB上的高为设BC=m，∠DAB=θ∴ADsinθ=，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos（π-θ）．∴⇒m=或m=．故答案为：或．可得底面ABCD的面积为3．平行四边形ABCD边AB上的高为．设BC=m，∠DAB=θ，可得ADsinθ=，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos（π-θ）．⇒m=或m=．本题考查了空间几何体体积的计算，及解三角形的知识，属于中档题．17.【答案】解：（1）由{a n}是递增等比数列，a1+a5=，a2a4=4=a32=4∴a1+a1q4=，；解得：a1=，q=2；∴数列{a n}的通项公式：a n=2n-2；（2）由b n=na n（n∈N*），∴b n=n•2n-2；∴S1=；那么S n=1×2-1+2×20+3×21+……+n•2n-2，①则2S n=1×20+2×21+3×22+……+（n-1）2n-2+n•2n-1，②将②-①得：S n=+n•2n-1；即：S n=-（2-1+20+2+22+2n-2）+n•2n-1=+n•2n-1．【解析】（1）根据{a n}是递增等比数列，a1+a5=，a2a4=4．即可求解数列{a n}的通项公式（2）由b n=na n（n∈N*），可得数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n项和S n．本题主要考查数列通项公式以及前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）由频率和为1，列方程（0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5）×20=1，得x=0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5；年平均销售量的众数是=230，∵（0.002+0.009 5+0.011）×20=0.45＜0.5，∴年平均销售量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则（0.002+0.009 5+0.011）×20+0.012 5×（a-220）=0.5，解得a=224，即中位数为224；（2）年平均销售量在[220，240）的农贸市场有0.012 5×20×100=25（家），同理可求年平均销售量[240，260），[260，280），[280，300]的农贸市场有15、10、5家，所以抽取比例为=，∴从年平均销售量在[240，260）的农贸市场中应抽取15×=3（家），从年平均销售量在[260，280）的农贸市场中应抽取10×=2（家），从年平均销售量在[280，300）的农贸市场中应抽取5×=1（家）；即年平均销售量在[240，260），[260，280）[280，300）的农贸市场中应各抽取3、2、1家；（3）由（2）知，从[240，260），[260，280），[280，300）的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家；所以ξ的可能取值分别为0，1，2，3；则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×=，方差为D（ξ）=×+×+×+×=．【解析】（1）由频率和为1列方程求出x的值，再计算众数、中位数；（2）求出年平均销售量在[220，240）、[240，260）、[260，280）和[280，300]的农贸市场有多少家，再利用分层抽样法计算应各抽取的家数；（3）由（2）知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望和方差．本题考查了频率分布直方图，众数、中位数，分层抽样，概率，分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．19.【答案】（1）证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，A1B1⊥BC，∴A1B1⊥B1C1．又∵在长方形BCC1B1中，B1C1⊥BB1，A1B1∩BB1=B1，∴B1C1⊥平面AA1B1B．∵四边形AA1B1B与四边形AA1C1C均是平行四边形，且AB1∩A1B=E，AC1∩A1C=F，连接EF，∴EF∥BC．又BC∥B1C1，∴EF∥B1C1，又B1C1⊥平面AA1B1B，∴EF⊥平面AA1B1B．又AB1，A1B均在平面AA1B1B内，∴EF⊥AB1，EF⊥A1B．又平面A1BC∩平面AB1C1=EF，AB1⊂平面AB1C1，A1B⊂平面A1BC．∴由二面角的平面角的定义知，∠AEA1是平面A1BC与平面AB1C1所成二面角的平面角．又在平行四边形A1ABB1中，AA1=A1B1，∴平行四边形A1ABB1为菱形，由菱形的性质可得，A1B⊥AB1，∴，∴平面A1BC⊥平面AB1C1；（2）解：由（1）及题设可知，四边形AA1B1B是菱形，，，∴在△A1AB中，由余弦定理可得AB=AB1=AA1=4．又由（1）知，EB，EA，EF两两互相垂直，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∴E（0，0，0），A（2，0，0），A1（0，-，0），C（0，，3），B1（-2，0，0）．，，，，，，，，，，，．设平面AA1C的法向量为，，，平面A1B1C的一个法向量为，，．由，取，得，，；由，取，得，，．∴cos＜，＞=．设二面角C1-A1C-B1的大小为θ，则sinθ=＜，＞=．∴二面角C1-A1C-B1的正弦值为．【解析】（1）由三棱柱的结构特征可知BC∥B1C1，又A1B1⊥BC，可得A1B1⊥B1C1，在长方形BCC1B1中，证明B1C1⊥平面AA1B1B．由四边形AA1B1B与四边形AA1C1C均是平行四边形，可得EF∥BC，进一步得到EF∥B1C1，则EF⊥平面AA1B1B，证明∠AEA1是平面A1BC与平面AB1C1所成二面角的平面角．由菱形的性质可得A1B⊥AB1，即，从而得到平面A1BC⊥平面AB1C1；（2）由（1）及题设可知，四边形AA1B1B是菱形，，，求得AB=AB1=AA1=4．以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．分别求出平面AA1C与平面A1B1C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C1-A1C-B1的正弦值．本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意可设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），且c=2，2a=+=+=2，即有a=，b==，则椭圆的方程为+=1；（2）设直线AE：y=k（x-）+，代入椭圆方程可得（5+3k2）x2+3k（5-3k）x+3（-）2-30=0，可得x E+=，即有x E=，y E=k（x E-）+，由直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，可将k换为-k，可得x F=，y F=-k（x F-）+，则直线EF的斜率为k1===1，设直线l的方程为y=k2（x-）+，代入椭圆方程可得：（5+3k22）x2+3k2（5-3k2）x+3（-）2-30=0，由直线l与椭圆C相切，可得△=9k22（5-3k2）2-4（5+3k22）•[3（-）2-30]=0，化简可得k22+2k2+1=0，解得k2=-1，则k1+k2=0．【解析】（1）可设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=2，由椭圆的定义计算可得a，进而得到b，即可得到所求椭圆方程；（2）设直线AE：y=k（x-）+，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E的坐标，由题意可将k换为-k，可得F的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF的斜率，设出直线l的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的相切的条件：判别式为0，可得直线l的斜率，进而得到所求斜率之和．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线的斜率之和，注意联立直线方程和椭圆方程，运用判别式和韦达定理，考查化简整理的运算能力和推理能力，是一道综合题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ln x+1，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故x=时，f（x）极小值=f（）=-；（2）记t=x lnx，t≥-，则e t=e x lnx=（e ln x）x=x x，故f（x）-ax x=0，即t-ae t=0，a=，令g（t）=，g′（t）=，令g′（t）＞0，解得：0＜t＜1，令g′（t）＜0，解得：t＞1，故g（t）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故g（t）max=g（1）=，由t=x lnx，t≥-，a=g（t）=的图象和性质有：①0＜a＜，y=a和g（t）有两个不同交点（t1，a），（t2，a），且0＜t1＜1＜t2，t1=x lnx，t2=x lnx各有一解，即f（x）-ax x=0有2个不同解，②-＜a＜0，y=a和g（t）=仅有1个交点（t3，a），且-＜t3＜0，t3=x lnx有2个不同的解，即f（x）-ax x=0有两个不同解，③a取其它值时，f（x）-ax x=0最多1个解，综上，a的范围是（-，0）∪（0，）．【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）记t=xlnx，得到t-ae t=0，a=，令g（t）=，求出g（t）的最大值，通过讨论a 的范围，确定解的个数，从而确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中t为参数），转换为直角坐标方程为：y2=2x．曲线C2的极坐标方程为ρsin（）=-．转换为直角坐标方程为：x-y-1=0．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且中点P（x0，y0），联立方程为：，整理得：x2-4x+1=0所以：x1+x2=4，x1x2=1，由于：，y0=1．所以线段AB的中垂线参数方程为（t为参数），代入y2=2x，得到：，故：，t1•t2=-6，所以：EF=|t1-t2|==2，|PE||PF|=|t1•t2|=6故：．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）函数h（x）的图象关于直线x=1对称，∴m=1，∴f（x）=h（x）+|2x-3|=|x-1|+|2x-3|，①当x≤1时，（x）=3-2x+1-x=4-3x＞2，解得x＜，②当1＜x＜时，f（x）=3-2x+x-1=2-x＞2，此时不等式无解，②当x≥时，f（x）=2x-3+x-1=3x-4＞2，解得x＞2，综上所述不等式f（x）＞2的解集为（-∞，）∪（2，+∞）．（2）∵φ（x）=h（x）+g（x）=|x-m|+|x+n|≥|x-m-（x+n）|=|m+n|=m+n，又φ（x）=h（x）+g（x）的最小值为2，∴m+n=2，∴=（）（m+n）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为2，其相应的m=n=1．【解析】（1）先求出m=1，再分类讨论，即可求出不等式的解集，（2）根据绝对值三角形不等式即可求出m+n=2，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．。

2019-2020学年四川省高考数学二模试卷(理科)(有答案)

四川省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B=N，则集合A∩B的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知z=2+i，（i是虚数单位），z的共轭复数是，则=（）A．5 B．25 C．4 D．33．已知向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．1 B．C．D．﹣14．已知回归直线方程为，样本点的中心为，若回归直线的斜率估计值为2，且，，则回归直线方程为（）A．B．C．D．5．“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设x∈[0，3]，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”的概率为（）A．B．C．D．7．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）A ．B ．C ．D ．8．已知a ＞﹣2，若圆O 1：x 2+y 2+2x ﹣2ay ﹣8a ﹣15=0，圆O 2：x 2+y 2+2ax ﹣2ay+a 2﹣4a ﹣4=0恒有公共点，则a 的取值范围为（） A ．（﹣2，﹣1]∪[3，+∞） B ．C ．D ．（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）9．设f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），当x ∈[﹣1，1]时，|f （x ）|的最大值为m ，则m 的最小值为（） A ．B ．1C ．D ．210．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交双曲线于P ，Q 两点且PQ ⊥PF 1，若|PQ|=λ|PF 1|，，则双曲线离心率e 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．=______．12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 4=18﹣a 6﹣a 5，则S 8=______． 13．设，则a 3=______．14．若x ，y 满足约束条件则的取值范围为______．15．已知a 为正整数，f （x ）=ax 2+4ax ﹣2x+4a ﹣7，若y=f （x ）至少有一个零点x 0且x 0为整数，则a 的取值为______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积为，求b ，c ．17．自2014年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上．小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率；（Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．18．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，底面ABCD 为正方形，E 为DP 的中点，AF ⊥PC 于F ．（Ⅰ）求证：PC ⊥平面AEF ；（Ⅱ）求二面角B ﹣AC ﹣E 的余弦值．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=6，S 7=56，数列{b n }前n 项和为T n ，且2T n ﹣3b n +2=0．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n }的前n 项和Q n ．20．已知椭圆C 的中心在原点，离心率为，且与抛物线有共同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为椭圆C 上异于A 1、A 2的动点，直线A 1P 、A 2P 分别交直线l ：x=4于M 、N 两点，设d 为M 、N 两点之间的距离，求d 的最小值． 21．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2x+b ，求实数a ，b 的值；（Ⅱ）求f （x ）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明：．四川省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B=N，则集合A∩B的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解不等式求出集合A，进而得到集合A∩B的元素个数，最后由n元集合有2n﹣1个真子集得到答案．【解答】解：∵集合=[，3]，B=N，∴集合A∩B={1，2，3}，故集合A∩B的真子集个数为23﹣1=7个，故选：C．2．已知z=2+i，（i是虚数单位），z的共轭复数是，则=（）A．5 B．25 C．4 D．3【考点】复数求模．【分析】求出z的共轭复数，代入求出的值即可．【解答】解：∵z=2+i，∴=2﹣i，则=|（3﹣2（2+i））•（2﹣i）|=|（﹣1﹣2i）•（2﹣i）|=|﹣3i|=3，故选：D．3．已知向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．1 B．C．D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标可以求出向量和的坐标，根据与垂直便可得到，进行数量积的坐标运算即可得出关于λ的方程，从而可解出λ的值．【解答】解：；∵；∴；∴．故选C．4．已知回归直线方程为，样本点的中心为，若回归直线的斜率估计值为2，且，，则回归直线方程为（）A．B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】根据题意，求出、，代人回归直线方程求出，写出回归直线方程即可．【解答】解：∵回归直线方程为的斜率估计值为2，且，，∴==3， ==5；代人回归直线方程得=5﹣2×3=﹣1，∴回归直线方程为=2x﹣1．故选：C．5．“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数（k为常数）在定义域上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，化为：k2=1，解出即可判断出结论．【解答】解：函数（k为常数）在定义域上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，∴+=0，化为：k2（e x+e﹣x）=e x+e﹣x，∴k2=1，解得k=±1，经过验证，此时函数f（x）是奇函数．∴“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．故选：A．6．设x∈[0，3]，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】先分析程序的功能为计算并输出分段函数y=的值，进而求出函数的值域，再由几何概型概率计算公式，得到答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，当x∈[0，2）时，y∈[3，5），当x∈[2，3]时，y∈[5，10]，故输出的结果的范围为[3，10]，若从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”⇔a∈[5，10]，则P==，故选：C7．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由正四面体的棱长为a ，所以此四面体一定可以放在棱长为a 的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入体积公式计算．【解答】解：由题意，由三视图得该几何体是正四面体，棱长为a ，此四面体一定可以放在正方体中， ∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD 满足题意，BC=a ， ∴正方体的棱长为a ，∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球， ∵外接球的直径=正方体的对角线长， ∴外接球的半径为R=a ，∴该几何体外接球的体积为V=πR 3=πa 3．故选：B ．8．已知a ＞﹣2，若圆O 1：x 2+y 2+2x ﹣2ay ﹣8a ﹣15=0，圆O 2：x 2+y 2+2ax ﹣2ay+a 2﹣4a ﹣4=0恒有公共点，则a 的取值范围为（） A ．（﹣2，﹣1]∪[3，+∞） B ． C ． D ．（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据两圆相交的条件进行求解即可．【解答】解：圆O1：x2+y2+2x﹣2ay﹣8a﹣15=0的标准方程为（x+1）2+（y﹣a）2=a2+8a+16，圆心O1（﹣1，a），半径R==|a+4|=a+4，圆O2：x2+y2+2ax﹣2ay+a2﹣4a﹣4=0的标准方程为（x+a）2+（y﹣a）2=a2+4a+4，圆心O2（﹣a，a），半径R==|a+2|=a+2，则圆心距离|O1O2|=|﹣a+1|=|a﹣1|，若两圆恒有公共点，则两圆相交或相切，即a+4﹣（a+2）≤|O1O2|≤a+2+a+4，即2≤|a﹣1|≤2a+6，若a≥1，则不等式等价为2≤a﹣1≤2a+6，即，即得a≥3，若﹣2＜a＜1，则不等式等价为2≤1﹣a≤2a+6，即，即，得﹣≤a≤﹣1，综上﹣≤a≤﹣1或a≥3，故选：C．9．设f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则m的最小值为（）A．B．1 C．D．2【考点】二次函数的性质．【分析】若x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则4m≥|f（﹣1）|+|f（1）|+2|f（0）|≥2，解得m 的最小值．【解答】解：∵f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，∴4m≥|f（﹣1）|+|f（1）|+2|f（0）|=|1+A+B|+|1﹣A+B|+2|B|≥|（1+A+B）+（1﹣A+B）﹣2B|=2m≥，即m的最小值为，故选：A10．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交双曲线于P ，Q 两点且PQ ⊥PF 1，若|PQ|=λ|PF 1|，，则双曲线离心率e 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由PQ ⊥PF 1，|PQ|=λ|PF 1|，可得|QF 1|=|PF 1|，由双曲线的定义可得2a=|PF 1|﹣|PF 2|=|QF 1|﹣|QF 2|，解得|PF 1|=，|PF 2|=|PF 1|﹣2a ，由勾股定理可得：2c=|F 1F 2|=，代入化简．令t=1﹣λ+，则上式化为8（﹣）2+，由t 关于λ单调递减，可得≤t ＜，即≤≤，由二次函数的单调性解出即可．【解答】解：可设P ，Q 为双曲线右支上一点，由PQ ⊥PF 1，|PQ|=λ|PF 1|，在直角三角形PF 1Q 中，|QF 1|==|PF 1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF 1|﹣|PF 2|=|QF 1|﹣|QF 2|，由|PQ|=λ|PF 1|，即有|PF 2|+|QF 2|=λ|PF 1|，即为|PF 1|﹣2a+|PF 1|﹣2a=λ|PF 1|， ∴（1﹣λ+）|PF 1|=4a ，解得|PF 1|=．|PF 2|=|PF 1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F 1F 2|=，即有（）2+[]2=4c 2，即为+=e 2．令t=1﹣λ+，则上式化为e 2==8（﹣）2+，由t=1﹣λ+=1+，且≤λ≤，由t 关于λ单调递减，可得≤t ＜即≤≤，由∉[，]，可得e 2在[，]递增， ≤e 2≤，解得≤e ≤．可得椭圆离心率的取值范围是[，]．故选：C ．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．=．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解： ===﹣．故答案为：．12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 4=18﹣a 6﹣a 5，则S 8= 36 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的性质可得：a 3+a 6=a 4+a 5=a 1+a 8．再利用前n 项和公式即可得出．【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 4=18﹣a 6﹣a 5， ∴a 3+a 4+a 6+a 5=18，a 3+a 6=a 4+a 5=a 1+a 8． ∴2（a 1+a 8）=18，即a 1+a 8=9．则S 8==36．故答案为：36． 13．设，则a 3= 400 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据x7+x6=[（x+2）﹣2]7+[（x+2）﹣2]6，按照二项式定理展开，可得（x+2）3的系数a3的值．【解答】解：∵x7+x6=[（x+2）﹣2]7+[（x+2）﹣2]6=a0+a1（x+2）+a2•（x+2）2+…+a7（x+2）7，∴a3=•（﹣2）4+•（﹣2）3=400，故答案为：400．14．若x，y满足约束条件则的取值范围为[1，] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简所求表达式，利用表达式的几何意义，求解即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：则==+．由可行域可知：∈[1，kOA]，由，可得A（1，3），kOA=3，∈， +2∈，∈，则∈[1，]．故答案为：[1，]．15．已知a为正整数，f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7，若y=f（x）至少有一个零点x0且x为整数，则a的取值为1或5 ．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=0，则a（x2+4x+4）=2x+7，即a=，结合a为正整数，可得：﹣3≤x≤1，分别代入验证可得答案．【解答】解：∵f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=a（x2+4x+4）﹣2x﹣7，∴f（﹣2）=﹣3≠0，即x=﹣2不是函数y=f（x）的零点，令f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=0，则a（x2+4x+4）=2x+7，即a=，∵a为正整数，∴≥1，解得：﹣3≤x≤1，当且仅当x=﹣3时，a=1，x=﹣1时，a=5，x=1时，a=1满足条件，综上可得：a的值为1或5，故答案为：1或5．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由．利用正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）=c（b﹣c），化简再利用余弦定理即可得出．（II）bcsinA=，化为bc=4．利用余弦定理可得=4，联立解出即可得出．【解答】解：（I）在△ABC中，∵，由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）=c（b﹣c），化为b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴解得A=．（II）bcsinA=，化为bc=4．=4，联立解出：或．17．自2014年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上．小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率；（Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出小张发放10元红包3个，小王恰得到2个的概率．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．∵小张发放10元红包3个，∴小王恰得到2个的概率p==．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，35，40，P（X=0）=（）4=，P（X=5）==，P（X=10）==，P（X=15）=×+=，P（X=20）==，P（X=25）=×2=，P（X=30）==，P（X=35）==，P（X=40）=（）4=，∴X的分布列为：X 0 5 10 15 20 25 30 35 40PEX=+++35×=．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，底面ABCD为正方形，E为DP的中点，AF⊥PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向理量法能证明PC⊥平面AEF．（Ⅱ）先求出平面AEC的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角B﹣AC﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AD=2，则P（0，0，2），C（2，2，0），D（2，0，0），B（0，2，0），E（1，0，1），A（0，0，0），=（1，0，1），=（2，2，﹣2），=2+0﹣2=0，∴PC⊥AE，∵AF⊥PC于F，AE∩AF=A，∴PC⊥平面AEF．解：（Ⅱ） =（2，2，0），=（1，0，1），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角B﹣AC﹣E的平面角为α，则cosα===．∴二面角B ﹣AC ﹣E 的余弦值为．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=6，S 7=56，数列{b n }前n 项和为T n ，且2T n ﹣3b n +2=0．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n }的前n 项和Q n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，由于a 3=6，S 7=56，可得，解出即可得出．由数列{b n }前n 项和为T n ，且2T n ﹣3b n +2=0．利用递推关系即可得出．（II ）对n 分类讨论，分别利用等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=6，S 7=56，∴，解得a 1=d=2．∴a n =2+2（n ﹣1）=2n ．∵数列{b n }前n 项和为T n ，且2T n ﹣3b n +2=0． ∴2b 1﹣3b 1+2=0，解得b 1=2．当n ≥2时，2T n ﹣1﹣3b n ﹣1+2=0， ∴2b n ﹣3b n +3b n ﹣1=0，∴b n =3b n ﹣1，∴数列{b n }是等比数列，首项为2，公比为3． ∴b n =2×3n ﹣1．（II ），当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，数列{c n }的前n 项和Q n =（a 1+a 3+…+a 2k ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2k ﹣2） =2[1+3+…+（2k ﹣1）]+2×（3+33+…+32k ﹣3） =+2×=2k 2+=+．当n=2k （k ∈N *）时，数列{c n }的前n 项和Q n =（a 1+a 3+…+a 2k ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2k ） =2[1+3+…+（2k ﹣1）]+2×（3+33+…+32k ﹣1） =2k 2+=+．20．已知椭圆C 的中心在原点，离心率为，且与抛物线有共同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为椭圆C 上异于A 1、A 2的动点，直线A 1P 、A 2P 分别交直线l ：x=4于M 、N 两点，设d 为M 、N 两点之间的距离，求d 的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I ）抛物线的焦点为，即为椭圆的焦点．设椭圆C 的标准方程为：+=1（a ＞b ＞0）．由题意可得：c=，，a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出．（II ）设P （x 0，y 0），（x 0≠±2，y 0≠0），可得+=1，根据点斜式可得直线A 1P 、A 2P 的方程，分别交直线l ：x=4于M ，N 两点，可得d=，k=表示经过椭圆上的点P （x 0，y 0）与点Q （4，0）的直线的斜率（y 0≠0）．设经过点Q 且斜率为k 的直线方程为：y=k （x ﹣4），与椭圆方程联立，根据判别式即可得出．【解答】解：（I ）抛物线的焦点为，即为椭圆的焦点．设椭圆C 的标准方程为：+=1（a ＞b ＞0）．由题意可得：c=，，a 2=b 2+c 2，联立解得c=，a=2，b=1．故椭圆C 的标准方程为：=1．（II ）由（I ）可得：A 1（﹣2，0），A 2（2，0），设P （x 0，y 0），（x 0≠±2，y 0≠0），则+=1，∴=4﹣．直线A 1P 、A 2P 的方程分别为：y=（x+2），y=（x ﹣2），分别交直线l ：x=4于M ，N 两点，d=====，k=表示经过椭圆上的点P （x 0，y 0）与点Q （4，0）的直线的斜率（y 0≠0）．设经过点Q 且斜率为k 的直线方程为：y=k （x ﹣4），联立，化为：（1+4k 2）x 2﹣32k 2x+64k 2﹣4=0，由△=（32k 2）2﹣4（1+4k 2）（64k 2﹣4）≥0，化为：k 2≤，解得≤k ≤，k ≠0，∴k=±时，d 取得最小值=2．21．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2x+b ，求实数a ，b 的值；（Ⅱ）求f （x ）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，结合曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，即可求实数a，b的值；（Ⅱ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明e x≥x+1．取x=﹣，i=1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤，即（）n≤，利用累加法，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a，∴f′（1）=e﹣a，∵f（1）=e﹣a﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a﹣1）=（e﹣a）（x﹣1），即y=（e﹣a）x﹣1，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，∴e﹣a=2，b=﹣1，∴a=e﹣2，b=﹣1；（Ⅱ）解：∵f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a∴a≤1时，函数在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）=0；a＞1时，f′（x）=e x﹣a=0，x=lna，∴函数在[0，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增，∴x=lna时，f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（lna）=a﹣alna﹣1；（Ⅲ）证明：设t（x）=e x﹣x﹣1，则t′（x）=e x﹣1，令t′（x）=0得：x=0．在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．∴t（x）最小值为t（0）=0，故e x≥x+1．取x=﹣，i=1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤，即（）n≤，累加可得++…+≤+…+=＜，∴．。

2019届高三数学二模试卷理科附答案

2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019•乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（）A．B．C．D．2．[2019•济南外国语]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2019•九江一模] 的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．[2019•榆林一模]已知向量，满足，，，则（）A．2 B．C．D．5．[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．[2019•武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（）A．B．C．或D．或7．[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A．；B．；C．；D．；8．[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．9．[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．11．[2019•湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．[2019•宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．14．[2019•湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019•镇江期末]若，，则_______．16．[2019•遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．18．（12分）[2019•开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019•湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）[2019•河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019•泉州质检]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，，∴．故选C．3．【答案】B【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．4．【答案】A【解析】根据题意得，，又，∴，∴，∴．故选A．5．【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴，则该双曲线的方程为．故选D．6．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，∵，由大边对大角可得，∴解得．故选A．7．【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，∴该程序框图要算出所得到的和，①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；②当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；③当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；④当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；⑤当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；⑥当时，用前一个加上，得，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．故选C．8．【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．9．【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，∴是棱的中点，∴，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】D【解析】结合题意，绘图又，，∴周期，解得，∴，，令，得到，∴，令，，得对称中心，令，得到对称中心坐标为，故选D．11．【答案】B【解析】偶函数满足，即有，即为，，可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；由，可得，又，即有，故为奇函数，故③正确；由，若为偶函数，即有，可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B．12．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点，，设，，则，，∵、是椭圆上的点，∴①，②，①﹣②得：，∴，∴，∴，∴，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】函数，可得，∴，又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．故答案为1．14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，由可得，此时．故答案为5．15．【答案】【解析】由得，即，又，解得，∴．16．【答案】【解析】取的中点，连结、，∵平面，平面，∴，可得中，中线，由，，，可知，又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，∵中，，，∴，可得外接球半径，因此，外接球的表面积，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，当时，，∴，当时，，，两式相减得，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2），∴，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．【解析】（1）联立，得，则，，从而．∵，∴，即，解得，故的方程为．（2）设线段的中点为，由（1）知，，，则线段的中垂线方程为，即．联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或．假设存在点，设的坐标为，∵，∴，则．∵，∴．若的坐标为，则，，则的坐标不可能为．故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解法一：（1），①当时，↘极小值↗∴在上单调递减，在单调递增．②当时，的根为或．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．若，即，在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）∵，∴．当时，恒成立．当时，．令，，设，∵在上恒成立，即在上单调递增．又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，则，∴．综上，的取值范围为．解法二：（1）同解法一；（2）令，∴，当时，，则在上单调递增，∴，满足题意．当时，令，∵，即在上单调递增．又∵，，∴在上有唯一的解，记为，↘极小值↗，满足题意．当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；；（2）2．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，，∵，∴，∴，，∴的极坐标方程为．（2）由题设知，，当时，取得最小值为2．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴的解集为．（2）∵，∴，即，则，∴．。

2019年四川省高考第二次模拟考试理科数学试题及答案

2019年四川省高考第二次模拟考试数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33（B ）23（C ）22（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434（B ）494（C ）37634+（D ）372334+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

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