2.1.2等差数列性质及其应用(简单版)
等差数列的性质与应用
等差数列的性质与应用等差数列是指数列中的每个数字与它前面的数字之差都相等。
它具有很多独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质以及在数学和现实生活中的应用。
一、等差数列的性质等差数列具有以下几个重要的性质：1. 公差等差数列的公差是指相邻两项之间的差值。
记为d，公差可以为正、负或零。
公差的大小决定了等差数列的增长趋势，如果公差大，则数列增长得快；如果公差小，则数列增长得慢。
2. 通项公式等差数列可以用通项公式来表示，通项公式可以帮助我们快速地找到数列中的任意一项。
通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3. 前n项和我们可以通过求等差数列的前n项和，来得到数列中若干项的总和。
前n项和的公式如下：Sn = (n/2) * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和。
二、等差数列的应用1. 数学等差数列在数学中有广泛的应用。
它们可以用来解决各种问题，例如算术运算、图形和数学模型的建立等。
在数学建模中，等差数列可以用来表示各种数量的变化规律，从而帮助我们了解和解决实际问题。
2. 经济学等差数列在经济学中也有很多应用。
例如，我们可以通过等差数列来分析某个经济指标的变化趋势，从而预测未来的发展趋势。
另外，等差数列还可以用来计算复利、折旧等经济学中常见的概念。
3. 物理学在物理学中，等差数列也非常有用。
例如，当我们研究一个物体的运动规律时，可以将其位置与时间建立为等差数列，从而更好地描述和分析物体的运动过程。
此外，等差数列还可以用来解决一些关于波动、振动等问题。
4. 工程学在工程学中，等差数列有时用来分析和计算一些工程问题。
例如，在工程设计中，如果某个参数的变化规律可以用等差数列表示，我们可以通过计算等差数列的通项来得到不同情况下的参数取值，从而更好地指导工程设计和优化。
结论等差数列具有明确的数学定义和重要的性质，能够帮助我们理解和解决各种实际问题。
等差数列的性质和应用
等差数列的性质和应用等差数列是数学中常见的一种数列，它具有一些独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质、相关公式以及它在实际生活中的应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的相邻两项之差保持不变。
具体来说，对于一个数列a1, a2, a3, ..., an，如果它满足 a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - an-1 = d，其中d是常数，那么这个数列就是等差数列。
其中，d被称为等差数列的公差。
等差数列的性质如下：1. 常数差：等差数列的相邻两项之差是一个常数，即公差。
2. 通项公式：等差数列可以用一个通项公式来表示。
通项公式的一般形式是an = a1 + (n - 1)d，其中an是数列的第n项，a1是数列的首项，d是公差。
3. 项数和求和公式：等差数列前n项和的求和公式是Sn = (n/2)(a1+ an)，其中Sn是前n项和。
4. 对称性：等差数列中的任意两个项，以中间项为对称轴，其差相等。
二、几个经典的等差数列应用等差数列在数学中有着广泛的应用，下面列举几个经典的应用。
1. 数学题中的应用：等差数列经常出现在数学题目中，尤其是在初中和高中的代数题和数列题中。
通过理解等差数列的性质和公式，可以帮助我们解答相关的问题。
例如：已知等差数列前6项的和为45，首项为2，公差为3，求这个数列的第10项。
我们可以使用等差数列的前n项和求和公式来解决这个问题，将数值代入公式计算即可。
2. 经济学中的应用：等差数列在经济学中的应用比较常见，特别是在描述递增或递减的趋势时。
例如，某公司在过去几年里的年度营业额呈等差数列递增，通过观察前几年的营业额，我们可以推测未来几年的营业额，并作出相应的经营策略。
3. 物理学中的应用：等差数列在物理学中也有一定的应用。
例如，在描述速度随时间变化的问题时，如果速度每单位时间都以相同的增量或减量发生变化，那么我们可以将这个问题建模成等差数列，从而利用等差数列的性质进行求解。
1.2.1.2 等差数列的性质及应用
2A=a+b,即等差中项仅有一个.
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随堂演练
【做一做 1】 已知等差数列{an}中,a2=1,a6=-1,则 a4 等于( A.-1 B.1 C.0 D.解析:∵a2+a6=2a4,∴a4=0,故选 C. 答案:C 【做一做 2】 已知 a= A. 3 解析:∵a+b= B. 2
题型二
等差数列性质的应用
【例 2】 (1)已知{an}是等差数列,且 a1-a4+a8-a12+a15=2,求 a3+a13 的值; (2)已知在等差数列{an}中,若 a49=80,a59=100,求 a79. 分析:本题(1)考查等差数列的性质若“m+n=p+q,则 am+an=ap+aq”的应 用,(2)考查性质“am=an+(m-n)· d”. 解:(1)∵{an}是等差数列, ∴a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8. 又∵a1-a4+a8-a12+a15=2, ∴a8=2,∴a3+a13=2a8=2×2=4. (2)∵{an}是等差数列,∴可设公差为 d. 由 a59=a49+10d,知 10d=100-80,解得 d=2. ∵a79=a59+20d, ∴a79=100+20×2=140. 反思在等差数列中,若 m+n=p+q=2k,则 am+an=ap+aq=2ak(m,n,p,q,k 都是 正整数)是一条重要性质,利用该性质可大大简化运算.
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北师大版高中数学选择性必修第二册 第一章 2.1 第2课时 等差数列的性质及应用
性质6 若ap=q,aq=p,则ap+q=0.
性质7
性质8
有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,都等于
首末两项之和:a1+an=a2+an-1=…=ai+an+1-i=….
若数列{an}为等差数列,公差为d,则{λan+m}(λ,m为常数)是公差
为λd的等差数列.
名师点析(1)等差数列{an}中,若m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N+).
.
课堂篇 探究学习
探究一
等差数列性质的应用
例1已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
解 ∵a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,
∴a4=5.又a2a4a6=45,所以a2a6=9,
所以(a4-2d)(a4+2d)=9,
即(5-2d)(5+2d)=9,
性质3 若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
性质4
性质5
若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以
pd1+qd2为公差的等差数列.
若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成
公差为md的等差数列.
等差数列的性质及应用 性质的应用
利用等差数列解决实际问题
课前篇 自主预习
激趣诱思
《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令
上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、
根据等差数列的基本性质及基本运用
根据等差数列的基本性质及基本运用等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
它在数学中有着广泛的应用，能够帮助我们解决一系列的问题。
在本文档中，我们将探讨等差数列的基本性质以及其在实际问题中的基本运用。
1. 等差数列的基本性质等差数列的基本性质主要有以下几点：1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以帮助我们找到数列中任意一项的值。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$其中，$a_n$表示第$n$项的值，$a_1$表示第一项的值，$d$表示公差。
1.2 等差数列的前$n$项和公式等差数列的前$n$项和公式可以帮助我们求解数列前$n$项的和。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其前$n$项和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$表示前$n$项的和。
1.3 等差数列的性质等差数列还有许多其他性质，例如：任意两项之和与中间项之和相等；对于任意的正整数$m$和$n$，它们对应的项数为$a_m$和$a_n$，则第$(n+m)$项与第$(n-m)$项之和等于$2a_n$等等。
这些性质在求解实际问题时非常有用。
2. 等差数列的基本运用等差数列的基本运用包括以下几个方面：2.1 求解未知项当我们已知等差数列中的部分项及公差时，可以通过等差数列的通项公式来求解未知项的值。
2.2 求解前$n$项和当我们需要计算等差数列的前$n$项和时，可以通过等差数列的前$n$项和公式来求解。
2.3 求解问题等差数列在实际问题中有广泛的应用，例如：求解等差数列中某一项的值；求解等差数列中满足特定条件的项数等等。
这些问题都可以通过等差数列的性质和公式来解决。
在实际应用中，我们可以利用等差数列的基本性质和基本运用来解决一系列的问题，例如：计算利息、预测未来的数值等等。
等差数列的性质及应用
等差数列的性质及应用等差数列是指数列中相邻项之间的差值保持不变的数列。
它是数学中常见且重要的数列类型之一，在数学及其他领域都有着广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质及其在实际问题中的应用。
一、等差数列的定义与性质1. 定义：等差数列可以定义为一个数列，其中每一项与它的前一项之差等于一个常数d，称为等差数列的公差。
2. 通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项可以表示为an = a₁ + (n-1)d。
3. 求和公式：假设等差数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的和可以表示为Sn = (a₁ + an) * n / 2。
二、等差数列的应用1. 数学问题中的应用：等差数列在数学问题中经常出现。
例如，找出等差数列中的特定项、求等差数列的和等都可以通过等差数列的性质与公式进行解决。
2. 自然科学中的应用：等差数列在自然科学中也有着广泛的应用。
例如，物理学中的匀速直线运动、化学中的反应速率等都可以建立在等差数列的基础上，通过分析数值变化的规律来求解实际问题。
3. 经济学与金融学中的应用：等差数列在经济学与金融学中也有着重要的应用。
例如，研究某种商品价格的变化、计算贷款利息等都可以运用等差数列的概念。
三、实际问题中的等差数列应用举例1. 降雨量分析：假设某地区每年的降雨量以等差数列的形式增长，首年降雨量为100毫米，公差为10毫米。
求第5年的降雨量。
解答：根据等差数列的通项公式，第5年的降雨量可以表示为a₅ = a₁ + (5-1)d = 100 + 4*10 = 140毫米。
2. 平均成绩计算：某学生连续4次数学考试的成绩构成等差数列，首次考试得了80分，公差为4分。
求这4次考试的平均分。
解答：根据等差数列的求和公式，这4次考试的总分为S₄ = (80 +a₄) * 4 / 2，其中a₄为最后一次考试的成绩。
平均分可以表示为S₄ / 4，即(80 + a₄) * 2。
由此可得，平均分为(80 + a₄) * 2 / 4。
等差数列的性质和应用
an 的通项为an 2n 7, 前n项和S n n 6n
2
76 又由S 7 得7a1 d 7, 解得 2 a1 5, d 2.
28
am m 1 (2m 7)(2m 5) ( 2) , am 2 2m 3 am am 1 是数列中的项，故可设 am 2 (2m 7)(2m 5) 2k 7 2m 3 令2m 3 t , t 1且为奇数, (t 4)(t 2) 8 2k 7 t 6 t t 8 故 须为整数，且t为奇数, t 1, t
2
一、基础知识回顾 二、重点题型解析
3
一、基础知识回顾
（一）等差数列的概念 如果 一个数列从第二项起， 每
一项减去它的前一项所 得的差都是 同一个常数，那么这个 数列就叫做 等差数列 .
an1 an d (n N )
4
一、基础知识回顾
（二）等差中项的概念
如果 a、A、b这三个数成等差 ab 数列，那么A 叫做a和b的等 2 差中项.
2
(1) (3)得：Sk ( S 3k S 2 k )
a1 ak a2 k 1 a3k
k a1 a2 k 1 ak a3k ak 1 a2 k k 2S 2 k S k 2
Sk , S2k Sk , S3k S2k 成等差数列
例2 : 在等差数列 an }中，若a2 4, a6 12, { 求a7 a8 a21的值.
解：由推广的通项公式 知： a6 a2 4d 8 d 2 a14 28 a7 a21 a7 a8 a21 15 2 a14 15 2815 420
等差数列的性质及简单应用
即时训练1-1:(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于 ()
(A)14
(B)21
(C)28
(D)35
解析:(1)因为a3+a4+a5=12, 所以3a4=12,则a4=4, 又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.
=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864. 答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.
因为 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, 2ak=2a1+2(k-1)d=2a1+(m+n-2)d, 所以 am+an=2ak(m,n,k∈N*).
6.若{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首 末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1=…. 7.数列{λ an+b}(λ ,b是常数)是公差为λ d的等差数列. 因为λ an+b=λ [a1+(n-1)d]+b=(λ a1+b)+(n-1)λ d, 所以公差为λ d. 8.下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的 等差数列.
9.若数列{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也是等差数列. 10.项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列.例如:a1,a3,a5,…构 成等差数列,再比如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍构成等差数列.
中考知识点等差数列的性质与应用
中考知识点等差数列的性质与应用等差数列是数学中常见且重要的一种数列，其性质和应用广泛。
本文将介绍等差数列的定义、性质和应用，帮助读者更好地理解和掌握中考知识点。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
通常用字母$a$表示首项，$d$表示公差，第$n$项表示为$a_n$。
二、等差数列的性质1. 公差公差$d$是等差数列中每一项与它前一项之差的值，即$a_n - a_{n-1} = d$。
公差可以是正数、负数或零。
2. 通项公式等差数列的通项公式是指可以通过已知条件计算出任意一项的公式。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
3. 项数等差数列的项数表示数列中的元素个数，通常用字母$n$表示。
项数的计算公式为$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$。
4. 前n项和等差数列的前n项和表示前n个元素的和，通常用字母$S_n$表示。
前n项和的计算公式为$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。
三、等差数列的应用等差数列不仅出现在数学的抽象理论中，还广泛应用于日常生活和各个领域。
以下是等差数列的几个常见应用：1. 数列求和通过等差数列的前n项和公式，我们可以方便地计算一串连续数字的总和。
例如，计算 $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ 的和，可以将其看作等差数列$1, 3, 5, 7, 9$ 的前5项和，代入公式得到 $S_5 = \frac{5}{2}(1 + 9) =25$。
2. 平均数计算等差数列的平均数等于各项的和除以项数。
通过等差数列的平均数，我们可以方便地计算一组数据的平均值。
例如，计算 $2, 4, 6, 8, 10$ 的平均数，可以将其看作等差数列的前5项和除以5，即 $\frac{2 + 4 + 6+ 8 + 10}{5} = 6$。
3. 等差数列在几何中的应用等差数列在几何中的应用十分广泛。
等差数列的性质及其应用
an－am 类比直线方程的斜率公式得 d＝ . n－m
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等差数列的“子数列”的性质 2． 若数列{an}是公差为d的等差数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列； 偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列 (3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列；公差为ad (4)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列， 当然公差也随之发生变化．
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解 (1)法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得d2＝16，于是d＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2. 法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d， 依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12， 即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2. (2)法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)
公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为 递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
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性质分析
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初中数学知识归纳等差数列的性质与应用
初中数学知识归纳等差数列的性质与应用等差数列是初中数学中常见的数列形式之一，它拥有一系列独特的性质和应用。
本文将对等差数列的性质和应用进行归纳，帮助读者深入理解和应用这一数学概念。
1. 等差数列的定义与性质等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
常用的表示方式是：an= a1+ (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
等差数列的性质有：1.1 公差与项数的关系：由等差数列的定义可知，公差d等于任意两项之差。
公差与项数n的关系为d = (an - a1) / (n-1)。
1.2 通项公式：通过观察等差数列可以发现，第n项等于首项a1加上公差与项数差的乘积。
因此，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
1.3 首项与末项的关系：根据等差数列的定义可知，首项与项数之间的关系为a1 = an - (n-1)d。
2. 等差数列的求和公式等差数列的求和公式是在数列中求和时使用的重要公式。
根据等差数列的性质和数学推导可得：2.1 首项与末项求和：等差数列的首项与末项的和等于所有项的和。
求和公式为S = (n/2)(a1 + an)，其中S表示和, n表示项数。
2.2 公式推导：为了证明等差数列首项与末项的和等于所有项的和，我们可以通过分组的方式进行推导。
将数列按对称性进行分组，将首项与末项相加，次首项与末一次的相加，以此类推。
可以发现，每一组的和均等于首项与末项之和。
而共有n/2个这样的对称组。
因此，得出等差数列的求和公式。
3. 等差数列的应用等差数列的性质和应用广泛存在于数学和实际生活中。
下面是一些常见的等差数列应用案例：3.1 时段距离计算：在物理学中，等差数列可用于计算速度恒定的运动在不同时间段的总距离。
通过将等差数列的通项公式与求和公式应用于时间与距离，可以精确计算出总距离。
3.2 平均数计算：等差数列中的任意三项都能够构成一个等差数列，其中中间项为这三项的平均数。
等差数列的性质和应用
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
例1。在等差数列an 中，已知a2 a3 a4 a5 34，
a2 a5 42,求公差d.
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例3。已知等差数列5，8，11，与等差数列 1，5，9，均有300项，求同时在这两个数列 中出现的项数。
（2）在等差数列an 中, a15 10, a45 90,
则a60
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例2 求一下各题中两数旳等差中项： （1）647与895 ； （2）(a+b)2与(a-b)2
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例3（1） 等差数列{an}，已知a4=10， a7=19，求数列旳通项公式
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例4。已知函数f
(x)
3x x3
,
数列x
n
的通项由
xn f (xn1 )(n 2且n N )确定.
（1）求证： x1n
是等差数列;
（2）当x1
1 2
时,
求x100
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练习题1： （1）在等差数列中a3 5, a5 9, 求a10的值 （2）在等差数列中，a15 33, a25 66, 求a35的值 （3）在等差数列中，a5 10, a1 a2 a3 3, 求：a1、d
(4.)在 1与7之间依次插入三个数，使这五个数 成等差数列，求此数列。
（5）设f (n 1) 1 f (n)(n N ),且f (1) 2求f (101)的值 2
等差数列的性质与应用
等差数列的性质与应用等差数列，又被称为等差数列，是数学中重要且常见的数列之一。
在学习等差数列时，了解其性质和应用是必不可少的。
本文将详细介绍等差数列的性质以及其在实际生活中的应用。
一、等差数列的定义与性质等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
其一般形式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
下面将介绍等差数列的一些重要性质。
1. 公差等差数列的公差指的是相邻两项之间的差值。
公差可以用来判断数列的性质以及求解数列中的元素。
在等差数列中，任意两项之差都等于公差。
2. 通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项、公差和项数来表示第n项的公式。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
利用通项公式，我们可以直接计算出等差数列的任意一项。
3. 前n项和公式等差数列的前n项和公式是指计算前n项和的公式。
对于等差数列而言，其前n项和公式为Sn = (n/2)*(a1+an)。
通过前n项和公式，我们可以快速求解等差数列的前n项和。
二、等差数列的应用等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 数字排列在许多游戏和密码学中，等差数列常被用来进行数字的排列。
通过等差数列的规律，我们可以更加方便地进行数字的组合和排列。
2. 财务投资在财务投资领域，等差数列的概念常被用来计算复利和投资收益。
通过对等差数列的分析和计算，我们可以更好地规划和管理自己的财务投资。
3. 经济增长在宏观经济学中，等差数列的概念被用来描述经济的增长趋势。
通过对等差数列的分析，我们可以了解经济增长的速度和趋势，从而制定更有效的经济政策。
4. 进度安排在项目管理和日常生活中，等差数列可以被用来进行进度安排。
通过对等差数列的应用，我们可以更好地规划和安排时间，提高工作和生活的效率。
综上所述，等差数列是一种重要的数学概念，在学习数学和应用数学的过程中具有重要的地位。
通过了解等差数列的性质和应用，我们可以更好地理解和应用数列，同时也能够更好地解决实际生活中遇到的问题。
等差数列的概念、性质及其应用
等差数列的概念、性质及其应用等差数列是数学中的一种常见数列形式，也是初等数学中较为基础的概念之一。
它在数学、物理等领域中都有广泛的应用。
本文将围绕等差数列展开，介绍等差数列的概念、性质及其应用。
一、等差数列的概念等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差恒定的数列。
设数列的首项为a1，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为an=a1+(n-1)d。
其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
二、等差数列的性质1. 通项公式：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，通过这个公式可以计算出等差数列中任意一项的值。
2. 首项和末项：等差数列的首项为a1，末项为an，根据通项公式可得an=a1+(n-1)d。
3. 公差：等差数列中任意两个相邻项之间的差称为公差，常用字母d表示。
4. 项数：等差数列中项的个数称为项数，常用字母n表示。
5. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n/2*(a1+an)来计算。
三、等差数列的应用等差数列在实际应用中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 金融领域：等差数列常用于计算利息、贷款等金融问题中。
例如，某人每月存款1000元，存款期限为10个月，假设存款的年利率为5%，那么可以通过等差数列的求和公式计算出存款的总金额。
2. 物理学：等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位移变化。
例如，某物体以每秒10米的速度匀速向前运动，可以通过等差数列的通项公式计算出物体在任意时间点的位置。
3. 数学研究：等差数列是数学中的一个重要概念，研究等差数列的性质有助于深入理解数列的规律和数学推理的方法。
等差数列是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、金融等领域中都有广泛的应用。
通过等差数列的概念、性质及其应用的介绍，我们可以更好地理解等差数列的本质和作用，进一步拓展数学思维，并将其运用到实际问题中。
希望本文能对读者对等差数列有更深入的了解和应用提供帮助。
等差数列的推理与证明
等差数列的推理与证明一、等差数列的定义与性质1.1 等差数列的定义：等差数列是一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
1.2 等差数列的性质：（1）等差数列的任意两项之差等于它们下标之差乘以公差；（2）等差数列的任意一项都可以用它的首项和公差表示；（3）等差数列的前n项和可以表示为首项与末项的平均值乘以项数。
二、等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示项数。
三、等差数列的证明方法3.1 数学归纳法：（1）证明等差数列的通项公式成立，首先验证n=1时公式成立；（2）假设n=k时公式成立，证明n=k+1时公式也成立。
3.2 反证法：（1）假设等差数列的某一项不满足通项公式，即存在一项an不满足an = a1 + (n - 1)d；（2）通过推导得出矛盾，从而证明假设不成立，即等差数列的每一项都满足通项公式。
四、等差数列的推理与应用4.1 等差数列的推理：根据等差数列的性质，可以推理出数列的任意一项都可以用首项和公差表示，以及前n项和的计算公式。
4.2 等差数列的应用：（1）解决实际问题：例如计算等差数列的前n项和，求等差数列中的某一项等；（2）其他数学问题的解决：例如求等差数列的极限、求等差数列的通项公式的反函数等。
五、等差数列的综合考察5.1 考察等差数列的性质与通项公式的运用；5.2 考察等差数列的推理与证明方法的应用；5.3 考察等差数列在前n项和、极限等方面的综合运用。
总结：等差数列是数学中的一种基本数列，通过学习等差数列的定义、性质、通项公式以及推理与证明方法，可以更好地理解和运用等差数列解决实际问题。
在教学过程中，要注重培养学生的逻辑思维能力，提高他们对等差数列概念的理解和运用能力。
习题及方法：1.习题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。
第一章数列1.2等差数列1.2.1.2等差数列的性质及应用课件北师大版必修5
������5 -������2 5-2 ������5 -������2 5-2
= 3; = −3.
题型一
题型二
题型三
题型三 实际应用问题 【例3】 梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有 10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度. 分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差 数列的公差.又梯子的级数是12,因此,问题相当于已知等差数列的 首项、末项及项数求公差. 解:设梯子的第n(1≤n≤12)级的宽为an cm,其中最高一级宽为a1 cm,则数列{an}是等差数列. 由题意,得a1=33,a12=110,n=12,则a12=a1+11d, 所以110=33+11d,解得d=7. 所以a2=33+7=40,a3=40+7=47,…,a11=96+7=103, 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
1
2
3
4
5
4若等差数列{an}的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五项 为 . ������ + 4������ + 2 , 解析:由题意,知2a+1是a与4a+2的等差中项,即2a+1 = 2 解得a=0,故数列{an}的前三项依次为0,1,2,则a5=0+4×1=4. 答案:4
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题型一
题型二
题型三
题型一
1 1 1 ������ ������ ������
等差中项的应用
������+������ ������+������ ������+������ , , 也成等差数列. ������ ������ ������
等差数列的应用
等差数列的应用等差数列是数学中常见的一个概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及它在实际问题中的应用。
1. 等差数列的定义和性质等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
用数学符号表示，如果一个数列满足an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，则这个数列就是等差数列。
等差数列具有以下几个性质：(1) 首项和末项的和等于中间任意两项的和；(2) 等差数列的前n项和可以表示为Sn=n(a1+an)/2；(3) 当等差数列的公差为正数时，数列是递增的；当公差为负数时，数列是递减的。
2. 2.1. 数学中的等差数列应用等差数列在数学中有广泛的应用。
例如，在代数学中，等差数列可以用于解决一元二次方程的相关问题。
在数列求和的问题中，等差数列的性质可以帮助我们简化求和的过程，得到更加简洁的表达式。
2.2. 物理中的等差数列应用在物理学中，等差数列也有重要的应用。
例如，当我们研究物体的运动时，等差数列可以帮助我们描述物体在每个时间段内的位移变化情况。
在力学中，等差数列可以用于解决加速度等问题，帮助我们更好地理解物体在运动中的行为。
2.3. 经济学中的等差数列应用等差数列在经济学中也有一定的应用。
例如，当我们分析一项投资项目的收益时，可以使用等差数列来表示每个时间段内的收益情况。
在经济增长的研究中，等差数列可以帮助我们定量地描述经济的发展变化。
2.4. 应用数学中的等差数列应用等差数列在应用数学中也扮演着重要的角色。
例如，在概率论和统计学中，等差数列可以用于解决一些离散事件的计数问题。
在数据分析中，等差数列可以帮助我们更好地理解和描述数据的变化趋势。
总结：等差数列作为一种常见的数学概念，具有许多重要的应用。
它在数学、物理、经济学以及应用数学等领域都有广泛的应用。
通过学习等差数列的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它，解决实际问题。
因此，了解等差数列的应用是数学学习中的重要一环。
等差数列性质及应用
1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)． (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列∈S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值高三数学学案第11期课题： 等差数列性质及应用第11课时第四部分 数列在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．高频考点一 等差数列基本量的运算例1、(1)(2012·天津卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99C.98D.97(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)C (2)30【方法规律】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【变式探究】 （2019年天津一中高三数学第一次质量检测）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和.若S 8＝4S 4，则a 10等于( ) A.172 B.192C.10D.12解析 由S 8＝4S 4，得8a 1＋8×72×1＝4×⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32×1，解得a 1＝12，∈a 10＝a 1＋9d ＝192，故选B. 答案 B高频考点二 等差数列的判定与证明例2、已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 【感悟提升】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．【变式探究】(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 (1)C (2)A1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.高频考点三 等差数列的性质及应用例2、(1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∈S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∈S 30－30＝10＋2×10＝30，∈S 30＝60.(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：∈函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． ∈邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .【举一反三】(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A.13B.12C.11D.10(2)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案 (1)A (2)10高频考点四 等差数列前n 项和及其最值【例4】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A.5 B.6C.7D.8(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.S n 取得最大值.(2)由a n ＝2n －10(n ∈N ＋)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∈n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∈|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋100＝130. 答案 (1)C (2)130【方法规律】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【变式探究】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.12解析 由a 6a 5＝911，得S 11＝S 9，即a 10＋a 11＝0，根据首项a 1＞0可推知这个数列递减，从而a 10＞0，a 11＜0，故n ＝10时，S n 最大. 答案 B1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】由已知,所以故选C.2【2016高考浙江理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且，，（）.若（ ）A ．是等差数列B ．是等差数列C ．是等差数列D ．是等差数列 【答案】A{}n a 108a =100a =1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N P Q P Q ≠表示点与不重合1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则{}n S 2{}n S {}n d 2{}n d3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______.. 【答案】6【解析】∈是等差数列，∈，，，， ∈，故填：6．4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 . 【答案】【解析】由得，因此5.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则= （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B .6.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D{}n a n S n 16a =350a a +=6=S {}n a 35420a a a +==40a =4136a a d -==-2d =-616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-={}n a {S }n 21253,S =10a a +=-9a 20.510S =32a =2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯={}n a 2a 4a 6a 64222240a a a =-=⨯-=,a b ()()20,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -p q +7.【2013高考天津，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则 【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例，而，A 错误，B 举同样反例，，而，B 错误，下面针对C 进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则C.8.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n 项和，且，，则________． 【答案】 【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．9.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则{}n a 120a a +>230a a +>130a a +<120a a +<120a a <<2a >10a <()()21230a a a a -->1232,1,4a a a ==-=-120a a +>230+<a a 1232,1,4a a a ==-=-130a a +<120+>a a {}n a 120a a <<10,a >d 0d >22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a ad d a ad d =++--=>2113a a a >1a ⇒>n S {}n a 11a =-11n n n a S S ++=n S =1n-111n n n n n a S S S S +++=-=⋅1n n S S +⋅1111n nS S +=--1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1-1-11(1)n S n n =---=-1n S n=-{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a += .【答案】10．10．（2014·天津卷）数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.【答案】1【解析】因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q ＝1.。
等差数列的性质与应用
等差数列的性质与应用等差数列是数学中重要的概念之一，它是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等。
等差数列在数学中有着广泛的应用，不仅可以帮助我们理解数学概念，还可以应用于实际生活中的问题。
本文将介绍等差数列的性质与应用，并探讨其在数学和现实世界中的作用。
一、等差数列的定义和性质等差数列的定义很简单，即一个数列中相邻两项之间的差是固定的常数，通常称为公差，记作d。
假设第一项为a₁，第二项为a₂，那么对于任意的正整数n，等差数列可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d等差数列的性质主要包括以下几点：1. 公差d决定了等差数列的增长或减少趋势。
如果d>0，数列递增；如果d<0，数列递减。
2. 等差数列的首项和末项的差等于n-1乘以公差d，即aₙ - a₁ = (n - 1)d。
3. 等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + aₙ) * n / 2，也可以用等差数列的首项a₁、公差d和项数n表示为Sn = n * (a₁ + aₙ) / 2。
4. 如果一个数列同时满足前两项差相等和后两项差相等的条件，那么这个数列一定是等差数列。
二、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用，并且能够帮助我们解决许多实际问题。
以下是等差数列在数学和现实世界中的几个典型应用。
1. 数学中的等差数列应用：等差数列的性质使得它可以应用于数列求和、数列推导以及数列运算等方面。
通过对等差数列进行分析和处理，我们可以更好地理解和解决数学问题。
2. 经济学中的应用：在经济学中，等差数列可以用来描述公司的销售额、利润增长等指标的变化趋势。
通过分析等差数列的性质，可以帮助经济学家做出更准确的预测和决策。
3. 物理学中的应用：在物理学中，等差数列被广泛应用于描述初始速度、加速度和位移的关系。
通过对等差数列的运用，物理学家可以更好地理解物体的运动规律，并进行相关研究和实验。
4. 计算机科学中的应用：在计算机科学中，等差数列的性质被用于算法设计和数据处理。
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2.1.2等差数列的性质及其应用
自主备课 学习目标 1、体会等差数列与一次函数的关系，能够应用一次函数的性质解决等差 数列问题。
2、掌握等差中项的定义，能够用定义解决有关问题。
3、掌握等差数列性质的应用及其实际应用。
一、基础知识梳理
1、复习
①等差数列定义_________________________________
②等差数列通项公n a =1a +______=m a +______=dn +_____
③等差数列的公差
n m
a a d n m -=-=1n n a a +- ④通项公式n a 可以看作式关于n 的一次函数吗？
2、新授课知识点
等差中项定义
如果三个数a,A,b 成等差数列，那么____叫作______与______等差中项。
等差中项的性质
（1）若A 是a 与b 的等差中项，则________或者2A=a+b,即等差中项仅 有______个。
（2）当2A=a+b 时，则A 是a 与b 的等差____项。
（3）如果三个数成等差数列，那么通常设这三个数分别为a-d, a, a+d, 这样可以在解题过程中减少运算量。
（4）若数列
{}n a 满足112(2,n n n a a a n -+=+≥且)n N +∈,那么数列
{}n a 是_______数列。
（5）若数列{}n a 公差为d 的等差数列
d=0时，数列{}n a 为常数数列；d>0时，数列{}n a 为递增数列；
d<0时，数列{}n a 为递减数列。
（6）若
(,,,),m n p q m n p q N ++=+∈则
____m n p q a a a a ++
二、例题讲解
例题5已知点（1,1），（3,5）是等差数列{}
n
a
图像上到两点。
（1）求这个数列{}
n
a
的通项公式。
（2）画出这个数列{}
n
a
的图像。
（3）判断这个数列{}
n
a
的单调性。
例题6 一个木质梯形架的上、下两底边分别为33cm,75cm,把这个梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应的点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度。
补充例题
（1）若{}
n
a
是等差数列，且1481215
2
a a a a a
-+-+=
，求313
a a
+
的值
（2）已知在等差数列{}
n
a
中，若4959
80,100,
a a
==
求79
a
三、课堂练习
1、已知等差数列的通项公式为
27 n
a n
=-+。
（1）求首项和公差。
（2）画出这个数列的图像。
（3）判断这个数列的单调性。
2、已知ABC
∆的三个内角的度数成等差数列，求其中间一项的度数。
3、已知等差数列{}
n
a
中，26
1,1
a a
==-
，求4
a
值。
四、作业
1、已知m,n的等差中项为20，求m+n的值。
2、在等差数列{}
n
a
中，19
10
a a
+=
，求5
a
值。
3、已知m和2n的等差中项是4, 2m和n的等差中项是5，求m和n的
等差中项。
4、若2，a, b, c，9成等差数列，求c- a的值。
5、一个等差数列由三个数组成，这三个数之和为9，平方和为35，
求这三个数构成的数列。
课
后
反
思。