3.1探索勾股定理(2)

合集下载

鲁教版(五四制)七年级上册3.1探索勾股定理(二) 优质教案

课题鲁教版七年级数学（上）第三章 1.探索勾股定理（二）作者及工作单位教材分析《探索勾股定理》是鲁教版七年级上册第三章第一节，本节有二课时，本课是第二课时，主要内容是探索勾股定理的证明。

勾股定理是直角三角形三边之间的一种美妙关系，将数与形密切联系起来，在几何学中占有非常重要的位置。

同时勾股定理在生产、生活中也有很大的用途。

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要的结论，它有着广泛的应用，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

同时在勾股定理的探索中，让学生发展合情推理能力，为以后的学习打下基础。

因为勾股定理的出现，使数学从单一的纯计算进入了几何图形的证明，所以为了让学生感受数形结合这一数学思想，让学生亲自动手，互相协作，因此引入了“等积法”证明勾股定理。

学情分析学生经历了一年的初中学习，具备了一定的归纳、总结、类比、转化以及数学表达的能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的指导下通过小组成员间的互助合作，发表自己的见解。

另外，在学本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有了初步的认识，并能从直观把握直角三角形的一些特征，为此在授课时要抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会。

教学目标知识与技能：1. 掌握勾股定理，初步理解割补拼接的面积证法.通过动手实践理解勾股定理的证明过程。

2. 能利用勾股定理进行简单的几何计算过程与方法：通过实践、猜想、拼图、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展过程情感、态度、价值观：通过对勾股定理的历史介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。

教学重点和难点重点：掌握勾股定理的内容及其初步应用难点：勾股定理的证明教学过程教学环节教师活动学生活动和预设学生活动设计意图一、设情景问题，引入课题1.名言激趣：数学是上帝用来书写宇宙的文字。

探索勾股定理（2）(课件）

A.1 C.12
B.2 D.13
课堂练习
3.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是 ( A )
A.c2=a2+b2 B.c2=a2+2ab+b2 C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2
课堂练习
4.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 ( D )
新知讲解
想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?
把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.
新知讲解
请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.
所有三角形的面积都是 1 ab
2
正方形的面积分别是b2，a2，（a+b）2
新知讲解
请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.
所有三角形的面积都是 1 ab
2
正方形的面积分别是b2，a2，（a-b）2
新知讲解
下图中正方形ABCD的面积分别是多少? 图1中正方形ABCD的面积是（a+b）2 又可以表示为：c2+2ab
图2中正方形ABCD的面积是（a-b）2 又可以表示为：c2-2ab
新知讲解
你能利用下图验证勾股定理吗?
图中正方形ABCD的面积是（a+b）2 又可以表示为：c2+2ab ∴a2+b2=c2
A.35 B.43 C.89 D.97
拓展提高
5.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.

七年级数学上册第三章 1 探索勾股定理(第2课时)课件

【变式备选】一路灯坏了，需要换一个新的，灯要安在12.5 m 高的灯柱顶端，电工师傅取来13 m高的梯子，如果梯子底部离灯柱底端5 m远，顶端搭在灯柱上，那么电工师傅_____将新灯安装上去.(填“能”或“不能”)(假设此人身高加臂长共1.9 m) 【解析】设梯子顶端距地面垂直距离为x m，由勾股定理得 x2=132-52=122，因此x=12. 因为12+1.9=13.9＞12.5，所以电工师傅能将新灯安装上去. 答案：能
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5， BC=12，点P是BC边上的动点，则AP长度的取值范围是_________. 【解析】当点P与点C重合时， AP的长度最短，AP=AC=5；当点P与点B重合时，AP的长度最长. 因为AB2=AC2+BC2=52+122=169，所以AB=13，即此时AP的最大长度为13. 综合上述，AP长度的取值范围是5≤AP≤13. 答案：5≤AP≤13
【跟踪训练】
1.小明想知道学校旗杆(垂直地面)的高，他发现旗杆上的绳子垂
到地面还多了1 m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5 m，
且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )
(A)6 m
(B)8 m
(C)10 m
(D)12 m
【解析】选D.设旗杆AB的高为x m，则绳子AC的长为(x+1) m，在Rt△ABC中， AB2+BC2=AC2，所以x2+52=(x+1)2，解得x=12，所以AB=12，所以旗杆的高是12 m.
分类
割 (补)
图形
描述
把正方形ABCD分割成4个直角三
角形和一个正方形，则 c2= _4_×___12_a_b_+_(_b_-_a_)_2_，即c2=_a_2_+_b_2_.

3_1勾股定理的教案

§3．1勾股定理——直角三角形三边的关系一、教学目标：1.知识目标：经历勾股定理的探索，理解并掌握勾股定理，能够使用勾股定理解决简单问题；2.水平目标：通过观察分析，大胆猜测，以及逐层深入的探索过程,发展学生的合情推理水平,体会数形结合的思想方法;3.情感目标：通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感。

二、教学重点、难点：教学重点：勾股定理的探索与使用教学难点：用面积法探索勾股定理三、教具准备：三角板，刻度尺和计算器.四、教学过程：(一)情景导入：和学生共同欣赏一组润扬大桥的图片,揭示斜拉桥的结构特征,由计算拉索的长这个实际问题导入新课.(二)探索新知：1.观察一张希腊邮票,2.画一画、量一量：以四人为一个实验小组,的直角三角形,根据所度量的结果,的长度a、b、c之间的关系并相互交流3.实验探究：4.试一试：(见课本P49的试一试)通过计算归纳计算图中正方形面积的方法,并归纳探究结果.(三)探索成果展示：勾股定理：假如直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么222b a c +=. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

(四)议一议： (1)勾股定理告诉我们什么了?(2)勾股定理又会给我们以什么协助? 归纳勾股定理的作用及变式结论.三、练一练：1、求以下图中字母所表示的正方形的面积.(题目见投影)2.例：在直角三角形ABC 中,∠C=90°,(1)已知： a=5,b=12, 求c;(2)已知： b=6,c=10 ,求a.解：(略)3.如下图,在斜拉桥的结构图中,若桥面以上索塔AB 的高为50m,拉索与桥面的链接点C 距离索塔30m,试求出这条拉索AC 的长(精确到1m).四、讨论交流:假如一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,那么这个直角三角形的周长是多少厘米?五、课堂小结:谈一谈通过这节课的学习你有什么收获与体会？六、作业布置：。

八年级数学探索勾股定理进阶(二)(综合)(含答案)

探索勾股定理进阶（二）（综合）一、单选题(共10道，每道10分)1.在直角三角形中，两边长分别为3和4，则最长边的长度为( )A.5B.4C.3D.5或4答案：D解题思路：由于题中没有说明哪条是直角边哪条是斜边，所以需要分类讨论：①当4是直角边时，设斜边长为x，则，此时最长边为5；②当4为斜边时，此时最长边为4．故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论2.若直角三角形的三边长分别为6，10，m，则m2的值为( )A.8B.64C.136或64D.136或100答案：C解题思路：由于题中没有说明哪条是直角边哪条是斜边，所以需要分类讨论：①10是直角边时，②10是斜边时，，所以的值为136或64故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论3.在△ABC中，AB=26，AC=25，BC边上的高AD=24，则另一边BC等于( )A.3或17B.3C.2或18D.17答案：A解题思路：由题意，有如下两种情况，△ABC为锐角三角形或钝角三角形①如图，△ABC为锐角三角形∵AD⊥BC∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26，AD=24由勾股定理得，BD=10同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=24，AC=25由勾股定理得，CD=7∴BC=BD+CD=10+7=17②如图，△ABC为钝角三角形∵AD⊥BC∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26，AD=24由勾股定理得，BD=10同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=24，AC=25由勾股定理得，CD=7∴BC=BD-CD=10-7=3综上，BC的长为3或17故选A试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论4.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的面积为( )A.84B.24C.24或84D.42或84答案：C解题思路：分情况讨论：（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=15，AD=12由勾股定理得，，∴BD=9在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=13，AD=12由勾股定理得，，∴CD=5△ABC的面积为；（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到，△ABC的面积为．故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论5.在△ABC中，AB=20，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长为( )A.54B.48C.44或48D.44或54答案：D解题思路：分情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，高AD在△ABC内部．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=20，AD=12由勾股定理得，，∴BD=16在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=13，AD=12由勾股定理得，，∴CD=5即可得，故可得△ABC的周长为；（2）当△ABC为钝角三角形时，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD=16，CD=5即可得，故可得△ABC的周长为．故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E．若AC=6，AB=10，则DE 的长为( )A.2B.3C.4D.5答案：B解题思路：由题意知，△ACD≌△AED所以AE=AC=6，BE=4在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10由勾股定理得，BC=8设DE=CD=x，则BD=8-x在Rt△BDE中，∠BED=90°由勾股定理得，解得，则DE=3故选B试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达7.如图，已知∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=，则AC的长为( )A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E由题意知，△ACD≌△AED所以DE=CD=，BD=在Rt△BDE中，，即解得，设AE=AC=x，则AB=2+x在Rt△ABC中，∠C=90°由勾股定理得，解得，则AC=3故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，则BM的长为( )A. B.2C. D.答案：D解题思路：如图，连接MC由题意知，△AMN≌△CMN设BM=x，则AM=CM=4-x在Rt△BMC中，∠B=90°由勾股定理得，解得，则BM=故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达9.如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE的长为( )A.2B.C. D.答案：C解题思路：如图，连接AE，由题意知，△ADE≌△BDE 设AE=BE=x，则CE=4-x在Rt△ACE中，∠C=90°由勾股定理得，解得，即AE=BE在Rt△BDE中，∠BDE=90°由勾股定理得，即解得，DE=故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为BC延长线上一点，当△ABD为等腰三角形时，CD的长为( )A.1或4B.或1C.或1或4D.或1或4答案：C解题思路：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4由勾股定理可得，AB=5当△ABD为等腰三角形时，需要分情况讨论：①如图，AB为腰，AB=AD1，此时点A在BD1的垂直平分线上，CD1=BC=4②如图，AB为腰，AB=BD2，此时BD2=AB=5，CD2=BD2-BC=1③如图，AB为底，AD3=BD3，此时点D3在AB的垂直平分线上，设CD3=x，AD3=BD3=4-x由勾股定理可得，，解得，所以CD3故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论。

教学设计(勾股定理)

课题：3.1.勾股定理课型：新授课教者：罗阳中学姜冬教学目标：1.知识目标：（1）经历勾股定理的探索过程，了解勾股定理的多种证明方法。

（2）会运用勾股定理解决计算直角三角形简单问题和实际的应用。

2.过程与方法：通过学生实际操作、亲身体验，培养学生数学推理、数形结合、综合运用能力，进一步体会数学与生活实际的紧密联系。

3.情感态度和价值观：（1）感受数学的严谨性以及数学结论的正确性。

（2）学会和他人合作。

教学重点：探索和证明勾股定理，并能进行简单的应用。

教学难点：探索勾股定理证明过程。

教学过程：学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。

邮票上的图案是对勾股定理的说明（图1）。

希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。

图1 图2 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．活动（二）勾股定理的证明勾股圆方图图 3 图4赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

最早对勾股定理进行证明的，问题①：同学们，你能在刚才网格纸上的两个直角三角形画出类似的图形吗？（学生展示成果：例如图2）问题②：同学们，你发现正方形的面积之间的数量关系吗？（小组讨论交流--小组代表发言--小组归纳结论）学生归纳结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．教师引导学生将“上面的面积转化成三角形边长的平方”，归纳勾股定理的内容：问题③：同学们，你能用手中的四个全等三角形拼成一个大正方形吗？学生课前准备的在互联网上百度搜集的资料进行展示，通过画图动手实践，老师提出问题，学生小组讨论交流，总结归纳勾股定理的内容，让学生感受从特殊到一般的数学变化过程和数学转化的思想。

设计问题由浅入深，循序渐进，最终掌握主要知识。

给学生一个开放性的问题，用课前准备好的四个全等直角三角形拼一大正方形，学生方法会有很多，选出代表性强的例子，让学生完成勾股定理的一种证明方法。

八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第2课时)》

因为AB=5，AC=4, 所以BC2=52-42. 所以BC2=9,所以BC=3，因为20s=1180h, 所以3÷1180=540km.
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab，所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图验证
应用
思路步骤
1.1 探索勾股定理首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形写出图形面积的表达式找出相等关系恒等变形导出勾股定理
课后作业
作业内容
1.1 探索勾股定理
教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题

3.1探索勾股定理(2)-2024-2025学年第一学期数学鲁教七年级(上册)课件

美国总统证法：
D
c b
A
a
C
c a
b
B
例题飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞
到一个男孩头顶上方4 km处，过了20秒，飞机距
生活
离这个男孩头顶5 km，求飞机飞行的速度.
中
勾
股
定
理的
20 s后
应
C
B
用
4 km
A
拓展练习
生
活中
1.如图是某沿江地区交通平面图，为了
勾股
加快经济发展，该地区拟修建一条连接
(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度
是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是
1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比
1
？
，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何线段都可用整数或整数之比表示的基础上的几何学面临被推翻
图1
图2
b
a
a
c
1.如图，你能表示大正方形的面
c
b
积吗？能用两种方法表示吗？
（1） (a b)2
c
b
c
a
（2） c 2 4 1 ab
2
a 图1 b
2. (a b)2 么？
与
c 2 4 1 ab 2
有什么关系？为什
你能验证勾股定理了吗？
验证方法一
b
a
a
c
c b c2 1 ab 4 (a b)2 2
c c
∴ a²+b²=c²
b
a
a 图1 b
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第2课探索勾股定理课件

【提升训练】 5. 求阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；
（2）阴影部分是长方形.
(1)25 cm2
(2)51 cm2
6. 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=32+42=52，即AB=5 m. 所以矩形塑料薄膜的面积是5×20=100（m2）. 故阳光透过的最大面积是100m2.
A. 36 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 12 cm2
2. 一个直角三角形的两条边的长分别是9和40，则第三条边的长的平方是
（C）
A. 1 681
B. 1 781 C. 1 519或1 681 D. 1 519
3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的自然数，则这三条边的长分
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，
CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，
若CM=4，则CE2+C已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC斜边上
的高是（ A ）
A. 4.8cm
别为 3,4,5 ．
4. 如图，阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积为 9 cm2．
5. 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算出两圆孔的中心点A和点B之间的距离.
150 mm 6. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，∠A=60°， ∠ADC=150°，BC-CD=4，求四边形ABCD的周长. 21
【拓展训练】 7. 如图有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿 AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD的长．

3.1探索勾股定理(教师版)2024-2025学年七年级数学上册同步课堂(鲁教版五四制)

3.1 探索勾股定理◆勾股定理的定义：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：222a b c += ．题型一应用勾股定理求线段长1.（2024春•嘉祥县期中）如图，在ABC D中，90C Ð=°，若1AC =，2AB =，则BC 的长是( )A ．1BC ．2D 【分析】直接根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：90C Ð=°Q ，1AC =，2AB =，BC \===即BC 故选：B ．2.（2023秋•临淄区期末）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，3BC =，4AC =，CD AB ^于点D ，E是AB 的中点，则DE 的长为( )A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.9【分析】由勾股定理求出AB 长，由三角形面积公式求出CD 长，由勾股定理求出BD 长，由线段中点定义求出BE 长，即可得到0.7DE BE BD =-=．【解答】解：90ACB Ð=°Q ，3BC =，4AC =，5AB \==，CD AB ^Q 于点D ，ABC \D 的面积1122BC CA AB CD =×=×，345CD \´=，2.4CD \=，1.8BD \==，E Q 是AB 的中点，1 2.52BE AB \==，0.7DE BE BD \=-=．故选：B ．题型二应用勾股定理求面积1.（2024春•齐河县校级月考）如图，字母B 所代表的正方形的面积是( )A ．12 2cmB ．15 2cmC ．144 2cmD ．306 2cm 【分析】如图，利用勾股定理得到222a b c +=，再根据正方形的面积公式得到281a =，2225c =，则可计算出2144b =，从而得到字母B 所代表的正方形的面积．【解答】解：如图，222a b c +=Q ，而281a =，2225c =，222581144b \=-=，\字母B 所代表的正方形的面积为2144cm ．故选：C ．2.（2022秋•郓城县期中）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当4AC =，2BC =时，则阴影部分的面积为( )A ．4B ．4pC ．8pD ．8【分析】根据勾股定理得到222AB AC BC =+，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，22220AB AC BC =+=，则阴影部分的面积2221111()((2222222AC BC AB AC BC p p p =´´+´´+´´-´´22211124()224AC BC AB p =´´+´´´+-4=，故选：A ．3.（2024春•济南期末）已知，如图长方形ABCD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF ，则ABE D 的面积为( )A ．23cmB ．24cmC ．26cmD ．212cm 【分析】根据折叠的条件可得：BE DE =，在直角ABE D 中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，BE ED \=．9AD cm AE DE AE BE ==+=+Q ．9BE AE \=-，根据勾股定理可知222AB AE BE +=．解得4AE =．ABE \D 的面积为23426()cm ´¸=．故选：C ．4.（2023秋•阳信县期末）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，若15AB =，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A ．225B ．200C ．150D ．无法计算【分析】根据勾股定理得222215225AC BC AB +===，从而得出答案．【解答】解：在Rt ABC D 中，90C Ð=°，由勾股定理得，222215225AC BC AB +===，\正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为225，故选：A ．5.（2024春•沂水县校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是( )A ．50B ．16C ．25D ．41【分析】根据勾股定理求出2AB ，再根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，222131225AB =-=，22225CD BD BC \+==，\阴影部分的面积252550=+=，故选：A ．6.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是( )A．16B．25C．144D．169【分析】根据勾股定理解答即可．【解答】解：AB===，根据勾股定理得出：5\==，EF AB5\阴影部分面积是25，故选：B．题型三勾股定理的证明1.（2024春•历下区期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可．【解答】解：A ．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，222()2a b a ab b \+=++，以上公式为完全平方公式，A \选项不能说明勾股定理；B ．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，\21111()()2222ab ab c a b a b ++=++，整理得222a b c +=，B \选项可以证明勾股定理；C ．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，2214()2ab c a b \´+=+，整理得222a b c +=，C \选项可以证明勾股定理；D ．整个图形的面积等于边长为b 的正方形的面积+边长为a 的正方形面积2+个直角三角形的面积，也等于边长为c 的正方形面积2+个直角三角形的面积，222112222b a abc ab \++´=+´，整理得222a b c +=，D \选项可以证明勾股定理，故选：A ．2.（2024春•梁山县校级月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a ，较短直角边的长为b ，若7ab =，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为( )A ．16B ．8C ．4D ．2【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a b -，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a b -，Q 每一个直角三角形的面积为：1177222ab =´=，\214()302ab a b ´+-=，2()301416a b \-=-=，4a b \-=，故选：C ．3.（2024春•阳谷县校级月考）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b ，较短直角边为a ，则a b +的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据勾股定理求出22a b +等于大正方形的面积，求出四个直角三角形的面积，得出ab 的值，求解．【解答】解：Q 大正方形的面积是29，小正方形的面积是9．\一个小三角形的面积是1(299)54´-=\152ab =．2229a b +=．222()249a b a b ab \+=++=．7a b \+=．故选：C ．4.（2024春•嘉祥县期中）如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值是( )A ．25B ．17C ．29D ．22【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【解答】解：由条件可得22171175240a b ab a b ì+=ï-ï=íï>>ïî，即2217a b +=，212ab =，则222()2171229a b a b ab +=++=+=，所以2()29a b +=，故选：C ．5.（2023秋•邹平市期末）下面图形能够验证勾股定理的有( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积221()42c a b ab =+-´；化简得222c a b =+，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积221()42b ac ab -=-´；化简得222a b c +=，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积2111()()2222a b a b ab c =++=´´+，化简得222a b c +=；可以证明勾股定理．故能够验证勾股定理的有3个．故选：D ．6.（2022春•兖州区期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A 、大正方形的面积为：2c ；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：22214()2ab b a a b ´+-=+，222a b c \+=，故A 选项能证明勾股定理．B 、梯形的面积为：2211()()()22a b a b a b ab ×++=++；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：221112222ab c ab c ´+=+，\22211()22ab c a b ab +=++，222a b c \+=，故B 选项能证明勾股定理．C 、大正方形的面积为：2()a b +；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：221422ab c ab c ´+=+，22()2a b ab c \+=+，222a b c \+=，故C 选项能证明勾股定理．D 、大正方形的面积为：2()a b +；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：222a b ab ++，222()2a b a b ab \+=++，D \选项不能证明勾股定理．故选：D ．7.（2024春•齐河县校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，那么2()a b +的值为．【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到22a b +的值，由已知条件得到ab 的值，根据完全平方公式即可求解．【解答】解：Q 大正方形的面积为16，2216a b \+=，由题意143162ab ´+=，213ab =，222()2161329a b a ab b \+=++=+=，故答案为：29．8.（2015秋•滕州市校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为．【分析】分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理求出另一直角边长为4，小正方形的边长431=-=，即可得出小正方形的面积；②3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长2=，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．【解答】解：分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理得：另一直角边长4==，\小正方形的边长431=-=，\小正方形的面积211==；②3和5为两条直角边长时，小正方形的边长532=-=，\小正方形的面积224=；综上所述：小正方形的面积为1或4；故答案为：1或4．9.（2024春•河东区校级月考）阅读下列材料，并完成相应任务．教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a 、b 、c ，将它们拼成如图2的大正方形．（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用2()a b +表示，也可以用含a 、b 、c 的代数式表示为 2142ab c ´+　，那么可以得到等式：．整理后，得到a 、b 、c 之间的数量关系：222a b c +=，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边a 、b 与斜边c 所满足的关系式．（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）（3）应用：如图3，在直角三角形ABC 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，那么AB = ，点D 为射线BC 上一点，将ACD D 沿AD 所在直线翻折，点C 的对应点为点1C ，如果点1C 在射线BA 上，那么CD = ．（直接写出答案）【分析】（1）将正方形的面积表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即可用含a 、b 、c 的代数式表示出大正方形的面积；根据同一个图形用不同方法表示出其面积，面积不变即可得到等式；（2）此题的方法很多，这里只举一种例子即可，比如把两个直角三角形和一个等腰直角三角形组成一个梯形；（3）分两种情况：点D 在BC 上和点D 在BC 延长线上，并分别画出图形，在Rt BDC ¢D 中利用勾股定理列方程解出即可．【解答】解：（1）由图形可知：正方形的面积也可表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即2142ab c ´+，Q 用不同的方法表示同一个图形的面积，面积不变，221()42a b ab c \+=´+，故答案为：2142ab c ´+，221()42a b ab c +=´+；（2）答案不唯一，比如：（3）在直角三角形ABC 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，由勾股定理，得5AB ===，点D 为射线BC 上一点，分两种情况：①点D 在BC 上时，如图，设CD x =，由翻折可知C D x ¢=，4BD BC CD x =-=-，532BC AB AC AB AC ¢¢=-=-=-=，在Rt BDC ¢D 中，由勾股定理，得222BD BC DC ¢¢=+，即222(4)2x x -=+，解得32x =；②点D 在BC 的延长线上时，如图，设CD y =，由翻折可知C D y ¢=，4BD BC CD y =+=+，538BC AB AC AB AC ¢¢=+=+=+=，在Rt BDC ¢D 中，由勾股定理，得222BD BC DC ¢¢=+，即222(4)8y y +=+，解得6y =．故答案为：32或6．10.（2024春•兰山区校级月考）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a ，()b a b <，斜边长为c ．（1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②)．①小正方形的边长为c ，大正方形的边长为；②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式，整理得，从而验证勾股定理；（2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC 和CD 在一条直线上，连接AE ．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可；（2）利用等积法进行证明即可．【解答】解：（1）①由图和题意可知：大正方形的边长为a b +；故答案为：a b +；②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式221()42a b ab c +=´+，整理得222a b c +=；故答案为：221()42a b ab c +=´+，222a b c +=；（2）90BAC ACB Ð+Ð=°Q ，BAC ECD Ð=Ð，90ECD ACB \Ð+Ð=°，90ACE \Ð=°用两种不同的方法表示出梯形ABDE 的面积，可得：2111()()2222a b a b ab c ++=´+，22222a ab b ab c \++=+，222a b c \+=．11.（2024春•昌乐县期中）公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a 、b 与斜边c 满足关系式222a b c +=．还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222a b c +=，则这个三角形是直角三角形．（1）小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形ACDE 边CD 上取点B ，连接AB ，得到Rt ACB D ，三边分别为a ，b ，c ，剪下ACB D 把它拼接到AEF D 的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理．（2）一个零件的形状如图3，按规定这个零件中A Ð和C Ð都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：)cm 如图③所示，这个零件符合要求吗？【分析】（1）连接BF ，由图1可得正方形ACDE 的面积为2b ，由图2可得四边形ABDF 的面积为三角形ABF 与三角形BDF 面积之和，再利用正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等即可证明；（2）利用反证法，根据勾股定理的逆定理验证A Ð，C Ð是否为直角即可判断这个零件是否符合要求．【解答】（1）证明：如图，连接BF ，AC b =Q ，\正方形ACDE 的面积为2b ，CD DE AC b ===Q ，BC a =，EF BC a ==，BD CD BC b a \=-=-，DF DE EF a b =+=+，90CAE Ð=°Q ，90BAC BAE \Ð+Ð=°，BAC EAE Ð=ÐQ ，90EAF BAE \Ð+Ð=°，BAF \D 为等腰直角三角形，\四边形ABDF 的面积为：2222()()()c b a a b c b a +-+=+-，Q 正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等，2222()b c b a \=+-，2222b c b a \=+-，222a b c \+=，222a b c \+=．（2）解：这个零件不符合要求．理由如下：连接BD ，如图，由勾股定理逆定理，知只有当22222BC DC AB AD BD +=+=时，A Ð和C Ð都是直角，22221520225400625BC DC +=+=+=Q ，222223852964593AB AD +=+=+=，且625593¹，2222BC DC AB AD \+¹+，所以A Ð和C Ð不可能都是直角．因此，这个零件不符合要求．12.（2024春•长清区期中）（1）计算：(2)()a b a b ++= ；（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：图2: ；图3: ；（3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系：做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，再做1个长分别为c 的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：222a b c +=．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即222a b c +=．（4）如图5，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上高，4AC =，3BC =，求CD 的长度．【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（2）根据图形的两种面积计算方法即可得出的答案；（3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出221()42a b c ab +=+´，然后化简即可求证；（4）先求出5AB =，再根据等面积法即可求得．【解答】解：（1）原式22222223a ab ab b a ab b =+++=++．故答案为：2223a ab b ++．（2）222()2a b a ab b -=-+，(a b + 22)()a b a b -=-，故答案为：222()2a b a ab b -=-+；(a b + 22)()a b a b -=-．（3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即221()42a b c ab +=+´，化简，得222a b c +=．（4）在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°Q ，\由勾股定理得222224325AB AC BC =+=+=5AB \=，CD AB^Q，\1122ABCS AC BC AB CDD=×=×，\431255 CD´==．。

3.1勾股定理教学设计

2.探索发现：通过实际操作，让学生观察直角三角形的边长关系，发现勾股定理的规律。
3.理论推导：引导学生用代数方法证明勾股定理，如设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾股定理，推导出a²+b²=c²。
4.应用拓展：介绍勾股定理在实际问题中的应用，如测量距离、计算面积等。
（三）学生小组讨论
随后，我会简要介绍勾股定理的历史背景，如中国古代的“勾三股四弦五”的说法，以及古希腊数学家毕达哥拉斯的研究成果。这样既能拓宽学生的知识视野，又能激发他们对勾股定理的好奇心。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会按照以下步骤进行：
1.知识回顾：带领学生回顾直角三角形的基本性质，如勾股定理的定义、斜边与直角边的关系等。
b.如果一个三角形不是直角三角形，那么是否存在类似的边长关系？
4.掌握勾股定理在几何、代数等领域的应用，提高解决问题的能力。
（二）过程与方法
本节课采用启发式、探究式教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论等过程，掌握勾股定理。具体过程与方法如下：
1.引导学生通过观察直角三角形的性质，发现勾股定理；
2.组织学生进行小组讨论，共同推导勾股定理；
3.设计实际案例，让学生运用勾股定理解决具体问题，提高应用能力；
2.实践应用题：结合生活实际，设计一道运用勾股定理解决的实际问题，要求学生详细阐述问题背景、解题思路和计算过程。
例如：小明家的阳台是一个直角三角形，其中一边长为4米，另一边长为3米，求阳台斜边的长度。
3.提高拓展题：完成课本第57页的拓展题1、2，引导学生运用勾股定理的逆定理解决问题，培养学生的逆向思维。
-鼓励学生提出问题、解决问题，培养他们的创新精神和探究能力。
四、教学内容与过程

八年级数学上册第1章《探索勾股定理(2)》优质教案(北师大版)

第一章勾股定理1．探索勾股定理（2）一、学情与教材分析1.学情分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.2.教材分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.二、教学目标1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.教学难点：验证勾股定理.四、教法建议1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.五、教学设计（一）课前设计1.预习任务结合课本上P5页1-5和1-6，应用等面积法证明勾股定理，（提示：图中的正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示成小正方形加上四个直角三角形的面积）2.预习自测一、选择题1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（）公式．A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2﹣2ab+b2C．c2=a2+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2答案：C解析：∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2，∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，∴c2=a2+b2．故选C．点拨：利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出c2=a2+b2．二、填空题2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是_________．答案：勾股定理解析：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．点拨：观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．3. 如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即_________+_________=_________化简得：a2+b2=c2．答案：4×ab、（b﹣a）2、c2．解析：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2=c2，故答案是：4×ab、（b﹣a）2、c2．点拨：根据直角三角形的面积公式和正方形的面积公式进行填空．（二）课堂设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：探究发现；第三环节：数学小史；第四环节：知识运用；第五环节：随堂检测；第六环节：课堂小结．第一环节：知识回顾内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：探究发现活动1：教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ：自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系图1整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：数学小史活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法. 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.意图：（1（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：知识运用a b内容：例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s 后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题.（1）教材P6练习题1.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第五环节：随堂检测一、选择题1. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选D．点拨：根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34答案：B解析：根据题意得：小正方形的面积=（6﹣3）2=9，大正方形的面积=32+62=45，9﹣45=36．故选B．点拨：由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差．二、填空题3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．其中正确结论序号是_________．答案：①④解析：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；∵小正方形的面积是1，∴b﹣a=1，则（b﹣a）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，∴ab=6，故④正确；根据图形可以得到a2+b2=13，b﹣a=1，而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．故答案是：①④点拨：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．4. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的结论其数学表达式是_________．答案：勾股定理、a2+b2=c2．解析：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．这个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点拨：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．三、解答题5. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是_________三角形，结论是_________（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；答案：（1）直角；a2+b2=c2；（2）见解析解析：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案是：直角；a2+b2=c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°．∵S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2=c2．点拨：（1）根据图示直接填空；（2）利用S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED进行解答．第六环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.布置作业：1．习题1.2 T2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.分层作业基础型：一、选择题1. 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA =S△CEBB．S△EDA+S△CEB=S△CDBC．S四边形CDAE =S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD答案：D解析：∵由S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．可知ab+c2+ab=（a+b）2，∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．故选D．点拨：用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．2. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C解析：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．点拨：观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．二、填空题3. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为6cm，以AC 为边的正方形的面积为25，则正方形M的面积为________．答案：11=AB2，25=AC2，AC2+AB2=BC2=6×6，解析：根据题意知，SM=36﹣25=11（cm2）．∴SM故答案是：11cm2．点拨：根据正方形的面积公式以及勾股定理解答即可．4. 如图，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8．则△ABC的周长为_________．答案：48解析：在直角三角形ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理，得CD=6；∴BC=15+6=21，∴△ABC的周长为17+10+21=48，故答案为：48．点拨：分别在两个直角三角形中求得线段BD和线段CD的长，然后求得BC的长，从而求得周长．三、解答题5. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，试求：（a+b）2的值．答案：B解析：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．点拨：根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．能力型：一、选择题1. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52 B．42 C．76 D．72答案：C解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：C．点拨：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．二、填空题2. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为_______cm2．答案：27解析：∵最大的正方形的边长为3cm，∴正方形G的面积为9cm2，由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，故答案为：27．点拨：根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．3. 魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF=2，CF=4，则AE的长为_______．答案：6解析：∵BF=2，CF=4，∴BC=BF+CF=2+4=6，∵AB∥EC，∴=，即=，解得：CE=12，在Rt△ADE中，AD=6，DE=DC+CE=6+12=18，根据勾股定理得：AE==6，故答案为：6．点拨：由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可．三、解答题4. （1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．答案：见解析解析：（1）这个公式为（a+b）2=a2+2ab+b2；证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，大正方形的面积=（a+b）2，两个长方形的面积=（a+b）b+ab，小正方形的面积=a2，那么大正方形的面积=（a+b）b+ab+a2=（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°﹣（∠ACB+∠DCE）=180°﹣90°=90°．（3）梯形ABDE的面积为（AB+ED）•BD=（a+b）（a+b）=（a+b）2；另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ab+ab+c2．所以，（a+b）2=ab+ab+c2．即a2+b2=c2．点拨：（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．探究型：一、解答题1. 教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长．（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．答案：见解析解析：（1）证明：由图得，×ab×4+c2=（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2=a2+b2+2ab，即a2+b2=c2；（2）解：∵a=3，b=4，∴c==5，梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22；（3）解：如图4，BD是△ABC的高．∵S=AC•△ABCBD=AB×3，AC==5，∴BD===．点拨：（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；（3）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB =S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB =S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+ a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．证明：连结_______，过点B作______________，则_________．∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=______________．又∵S五边形ACBED=______________=ab+c2+a（b﹣a），∴______________=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．答案：BD，BF⊥DE于F，BF=b﹣a，ab+ b2+ab，S△ACB +S△ABE+S△ADE，ab+b2+ ab．解析：证明：连结BD，过点B作BF⊥DE于F，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴。

2024-2025学年北师版中学数学八年级上册1.1探索勾股定理(第2课时)教学课件

400 m
500 m
解：由勾股定理，
得BC 2 =AB2 - AC 2 =5002 - 4002 =90 000，
即BC=300 m.汽车10 s行驶300 m，那么它1 h行驶的距离为：
300 × 3 600=10 80（0 m）=10（8 km /h）. 10 答：敌方汽车速度为108 km /h.
15
10
152 x2 102 （25 x)2
C
解得：x 10
D
答：E站应建在距A站10千米处.
你是如何做的？与同伴交流.
活动1：小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？
D
A C
B
补
你能将所有三角形和正方形的面积用含a,b,c的关系式表示出来吗？
毕达哥拉斯证法
a+b
大正方形ABCD的面积可以表示为：
____4_×__12_a_b_+_c2__或者__(_a__+__b_)2__
可得等式_4_×__12_a_b_+_c2_=_(_a+_b_)_2 ____
你能用右图验证勾股定理吗？
证明：∵S正方形ABCD =4
1 ×
2
ab+c 2，
又∵S正方形ABCD =（a+b）2，
∴4 × 1 ab+c2 =（a+b）2. 2
∴2ab+c2 =a2 +2ab+b2.
∴a2 +b2 =c2.
当堂检测
1.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、 B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和．

3.1探索勾股定理(2)学案(五四制)数学七年级上册

3.1探索勾股定理（2）【自主探究】知识点一：勾股定理的验证1876年，美国总统Garfield利用如图所示图形验证了勾股定理。

你能利用它验证勾股定理吗？针对训练一下列选项中,不能用来验证勾股定理的是( )知识点二：勾股定理应用如图所示，滆湖有两点A.B，从与BA方向成直角的BC方向上的C点，测得CA=50m，CB=40m，试求：（1）A，B两点间的距离；（2）B点到直线AC的最短距离是多少？针对训练二如图所示，台阶的下端点B到上端点A的直线距离是多少？【基础巩固】1.两只小鼹鼠在地下同一个地方同时打洞，一只朝前挖，每分钟挖8cm，一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）。

2.如果一个直角三角形的两条直角边的长分别等于1和3，那么以它的斜边为边的正方形的面积等于（）。

3.如图，一只小鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M游到另一边的中点N，则它游过的最短路程为_________m.4.一个直角三角形有一条边长是5，另外两条边的长是连续自然数，那么它的周长是________。

【素养提优】1.如图所示，一架梯子长25m，底端离墙7m，斜靠在墙上，若梯子的顶端下滑了4m,梯子的底端滑动了多少？【中考链接】（2022济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）A. 136B.56C.76D.65【方法提炼】拼图法验证勾股定理：从整体和部分的角度表示出图形的面积，列出等式再进行恒等变形。

【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________1、如图所示，是由一个直角三角形和两个正方形组成的，如果大正方形的面积等于41，BC=5，那么小正方形的面积等于（）A.36B.16C.6D.42.已知等腰直角三角形的斜边长是12cm，则它的面积为（）22 223.一直角三角形的斜边长比一直角边大2，另一直角边为6，则斜边长为（）4.如图，某建筑工地需要制作等腰三角形支架，为了增加支架的耐压性，需添加一根中柱AD（D为BC的中点），如果AB=AC=5米，BC=8米，求AD的长。

《勾股定理》教学设计(2)

3.1探索勾股定理教学设计教学目标评价任务评价标准教学活动目标一：利用拼图得出勾股定理。

任务一：猜想直角三角形的三条边的数量关系？小组交流。

任务二：通过测量，计算直角三角形的三条边的平方是否满足上述猜想。

任务三：给出具体数据验证猜想是否成立。

1.能根据已有认知大胆作出猜想。

并积极和组员进行研讨交流2.能通过测量准确计算直角三角形的三条边的平方，并能及时修正其他同学的错误答案。

组内负责、计算、记录、归纳同学分工明确3.能详细，流利归纳总结出具体规律并能根据具体数据验证猜想一、引入新课从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一个特定的数量关系。

事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊的关系，让我们一起来探索吧！二、新授：做一做（1）在纸上作出若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边的平方之间有怎样的关系？与同伴交流。

（2）如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴交流。

如图，是否还满足这样的关系？你是如何计算的呢？（3）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由以小组的形式让学生探索得出勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

目标二：熟记勾股定理，并能运用勾股定理任务一：利用勾股定理解决例1任务二：利用1.正确理解勾股定理内容，注意适用条件和字母含义例1、在△ABC中，∠C=90°(1)若a=8，b=6，则c=_____；(2)若c=20，b=12，则a=_____；(3)若a∶b=3∶4，c=10，则a=____，b=____.ABCABC能力提升1、如图, 所有的四边形都是正方形, 所有的三角形都是直角三角形, 请在图中找出若干个图形, 使得它们的面积之和恰好等于最大的正方形的面积能力提升2、小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。