河北省邢台一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2014-2015年河北省邢台外国语学校高二上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年河北省邢台外国语学校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）某中学从已编号（1～60）的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（）A．6，16，26，36，46，56 B．3，10，17，24，31，38C．4，11，18，25，32，39 D．5，14，23，32，41，502．（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S=（）A．720 B．120 C．24 D．﹣1203．（5分）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方法从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A．两次都不中B．至多有一次中靶C．两次都中靶D．只有一次中靶5．（5分）已知a，b∈R，“a＞b”是“lga＞lgb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．（5分）下面程序执行后输出的结果是（）A．1，2，3 B．2，3，1 C．3，2，1 D．2，3，27．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x0＞0，x02+x0＞0 B．∃x0＞0，x02+x0≤0C．∀x＞0，x2+x≤0 D．∀x≤0，x2+x＞08．（5分）二进制数111011001001（2）对应的十进制数是（）A．3901 B．3902 C．3785 D．39049．（5分）已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}．由他们构成的新命题“p∧q”，“p ∨q”，“￢p”中，真命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（5分）在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，则满足的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，512．（5分）若b，c是从2，4，6，8中任取的两个不相等的数，则方程x2+bx+c=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是．14．（5分）命题“a＞b则ac2＞bc2”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有个．15．（5分）下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②A，B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；③若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1；④事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件．其中错误的是．16．（5分）设命题p：c2＜c和命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0，若p真q假，则实数c的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15．（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？（3）已知y≥185，z≥185，求第三车间中女工比男工少的概率．18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．20．（12分）已知p：﹣2≤x≤3；q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．22．（12分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名学生，测量他们的体重（单位：kg），获得体重数据的茎叶图如图：（1）根据茎叶图判断哪个班的平均体重较重；（2）计算甲班的众数、极差和样本方差；（3）现从乙班这10名体重不低于64kg的学生中随机抽取两名，求体重为67kg 的学生被抽取的概率．2014-2015学年河北省邢台外国语学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）某中学从已编号（1～60）的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（）A．6，16，26，36，46，56 B．3，10，17，24，31，38C．4，11，18，25，32，39 D．5，14，23，32，41，50【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：A．2．（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S=（）A．720 B．120 C．24 D．﹣120【解答】解：执行程序框图，有k=1，s=1满足条件k≤5，k=2，s=2满足条件k≤5，k=3，s=6满足条件k≤5，k=4，s=24满足条件k≤5，k=5，s=120满足条件k≤5，k=6，s=720不满足条件k≤5，输出s的值为720．故选：A．3．（5分）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方法从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为，∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为×5=．故选：B．4．（5分）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A．两次都不中B．至多有一次中靶C．两次都中靶D．只有一次中靶【解答】解：“至少有一次中靶”的对立事件为：一次中靶一次不中靶或两次都中靶．故选：A．5．（5分）已知a，b∈R，“a＞b”是“lga＞lgb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：a＞b但a，b若不是正数，则lga，lgb没有意义，若lga＞lgb，则根据对数函数y=lgx在定义域内单调递增可知a＞b＞0，∴a＞b是lga＞lgb的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）下面程序执行后输出的结果是（）A．1，2，3 B．2，3，1 C．3，2，1 D．2，3，2【解答】解：模拟程序的运行结果执行完前3行后：a=1，b=2，c=3，执行完第4行后：a=2，执行完第5行后：b=3执行完第6行后：c=2执行完第7行后：a=2，b=3，c=2故输出结果为2，3，2．故选：D．7．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x0＞0，x02+x0＞0 B．∃x0＞0，x02+x0≤0C．∀x＞0，x2+x≤0 D．∀x≤0，x2+x＞0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定为：∃x0＞0，x02+x0≤0．故选：B．8．（5分）二进制数111011001001（2）对应的十进制数是（）A．3901 B．3902 C．3785 D．3904【解答】解：二进制数111011001001对应的十进制数是：（2）1×20+1×23+1×26+1×27+1×29+1×210+1×211=3785．故选：C．9．（5分）已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}．由他们构成的新命题“p∧q”，“p ∨q”，“￢p”中，真命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由集合之间的关系得：命题p：∅⊆{0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q真命题，命题p是假命题，故选：A．10．（5分）在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，则满足的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，构成一个以原点为中心且4条边分别与坐标轴平行的正方形构成的区域，满足的x、y构成以原点为圆心，以为半径的圆面．故所求事件的概率等于=，故选：A．11．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5【解答】解：∵f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=（3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8）x+1=[（3x4+4x3+5x2+6x+7）x+8]+1={{{[（3x+4）x+5]x+6}x+7}x+8}x+1∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选：A．12．（5分）若b，c是从2，4，6，8中任取的两个不相等的数，则方程x2+bx+c=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从四个数字中取两个数字作为b，c共有A42种结果，满足条件的事件是使得分成有实根，即b2﹣4c≥0，当b=2时，a没有合适的选择，当b=4时，a=2，当b=6时，a=2，4，8当b=8时，a=2，4，6一共有1+3+3=7种结果，∴要求的概率是P=故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是．【解答】解：盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率为=，故答案为：．14．（5分）命题“a＞b则ac2＞bc2”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有2个．【解答】解：若a＞b，c2=0，则ac2=bc2．∴原命题为假；∵逆否命题与原命题等价∴逆否命题也为假若ac2＞bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＞b．∴逆命题为真；又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真；综上，四个命题中，真命题的个数为2．故答案为：2．15．（5分）下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②A，B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；③若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1；④事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件．其中错误的是②③④．【解答】解：对于①，有对立事件的定义，可知①正确；对于②，A、B不互斥时不成立；可知②不正确；对于③，事件A，B，C两两互斥，两两互斥，并不代表A∪B∪C是必然事件，可知③不正确；对于④，例如：设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P（A）=，P（B）=，满足P（A）+P（B）=1，但A、B不是对立事件．可知④不正确．故答案为：②③④．16．（5分）设命题p：c2＜c和命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0，若p真q假，则实数c的取值范围是．【解答】解：命题p：c2＜c为真时：解得0＜c＜1，命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0真时，则判别式△=16c2﹣4＜0，解得﹣＜c＜，则￢q：c≤﹣或c≥，由，解得，∴c的取值范围为，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15．（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？（3）已知y≥185，z≥185，求第三车间中女工比男工少的概率．【解答】解：（1）由题意可知；（2）由题意可知第三车间共有工人数为1000﹣（173+177）﹣（100+150）=400名，则设应在第三车间级抽取m名工人，则．（3）由题意可知y+z=400，且y≥185，z≥185，满足条件的（y，z）有（185，215），（186，214）…（215，185）第一个数字是连续的整数，有215﹣185+1=31个整数因此共有31组．设事件A：第三车间中女工比男工少，即y＜z，满足条件的（y，z）有（185，215），（186，214）…（199，201），共有199﹣185+1=15组．故．18．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．【解答】解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估计这次考试的平均分是71．19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．【解答】解：（1）从中任取2道题解答，试验结果有=15种；设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，则包含的基本事件共有C=6种，因此，P（A）=．（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，从6件中抽取2道，有C62种情况，而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C41•C21=8种情况，根据古典概型的计算，有P（B）=．20．（12分）已知p：﹣2≤x≤3；q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：因为p：﹣2≤x≤3；q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），p是q的充分不必要条件，所以，所以m≥2．当m=2时，p是q的充要条件，又m＞0所以实数m的取值范围：（2，+∞）．21．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．22．（12分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名学生，测量他们的体重（单位：kg），获得体重数据的茎叶图如图：（1）根据茎叶图判断哪个班的平均体重较重；（2）计算甲班的众数、极差和样本方差；（3）现从乙班这10名体重不低于64kg的学生中随机抽取两名，求体重为67kg 的学生被抽取的概率．【解答】解：（1）由茎叶图可知：乙班的平均体重较重（2）众数为51 极差为71﹣40=31=（40+50+3×51+60+61+62+63+71）=56，S2=[（40﹣56）2+3×（51﹣56）2+（61﹣56）2+（62﹣56）2+（63﹣56）2+（71﹣56）2]=71.8（3）从乙班这10名体重不低于64kg的学生中随机抽取两名共有以下6种不同的方法：（64，65），（64，67），（64，72），（65，67），（65，72），（67，72）设A表示随机事件“抽取体重为67kg的同学”则A中的基本事件有3个：（64，67），（65，67），（67，72）∴概率为P（A）=赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
河北省邢台市高二上学期期中数学试卷(理科)
河北省邢台市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分） (2018高二上·新乡月考) 在中，若，则（）A .B .C .D .2. （2分）不等式组的解集记为D，下列四个命题中正确的是（）A . ∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2B . ∀（x，y）∈D，x+2y≥2C . ∀（x，y）∈D，x+2y≤3D . ∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣13. （2分）在△ABC中，∠A=60°，AC=2， BC=3，则角B等于（）A . 30°B . 45°C . 90°D . 135°4. （2分）数列0，…的通项公式为（）A .B .C .D .5. （2分）若•+||2=0，则△ABC为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形或直角三角形6. （2分）(2018·辽宁模拟) 设集合A={x|x2-x-2<0}，集合B={x|1<x<4}，则A∪B=（）A . {x|1<x<2}B . {x|-1<x<4}C . {x|-1<x<1}D . {x|2<x<4}7. （2分） (2016高二上·和平期中) 不等式log2 ≥1的解集为（）A . （﹣∞，﹣1]B . [﹣1，+∞）C . [﹣1，0）D . （﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）8. （2分）若a、b、c，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·望都期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn=2an﹣2．若数列{bn}满足bn=10﹣log2an ，则是数列{bn}的前n项和取最大值时n的值为（）A . 8B . 10C . 8或9D . 9或1010. （2分）已知等比数列的和为定值，且公比为，令，则的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·三明模拟) 在区域中，若满足ax+y＞0的区域面积占Ω面积的，则实数a的值是（）A .C .D .12. （2分） (2016高一下·赣州期中) 设Sn为正项数列{an}的前n项和，a1=2，Sn+1（Sn+1﹣2Sn+1）=3Sn （Sn+1），则a100等于（）A . 2×398B . 4×398C . 2×399D . 4×39913. （2分） (2019高三上·广州月考) 在△ABC中，，则的最大值为（）A .B .C .D .14. （2分） (2016高一下·滁州期中) 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，则数列{ }的前8项和为（）A . ﹣B . ﹣C .15. （2分）在ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,且则a：b：c为（）A . 1：：2B . 1：1：C . 2：1：D . 2：1：或1：1：二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2016高一下·黑龙江期中) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是________（横线上填“等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形”中的一个）．17. （1分） (2017高二上·南通期中) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若 =2，S4=4，则S8的值为________．18. （1分）设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a6+a14=20，则S19=________19. （1分）(2016·北京文) 函数f（x）= （x≥2）的最大值为________．20. （1分） (2018高三上·山西期末) 已知实数，满足不等式组则的最小值为________．三、解答题 (共4题；共35分)21. （10分） (2016高一下·高淳期中) 数列{an}的前n项和记为Sn ， a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．（1）求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．22. （10分）(2014·辽宁理) 设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（1）求M；（2）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤ ．23. （10分） (2017高一上·唐山期末) 在△ABC中，sinB+ sin =1﹣cosB．（1）求角B的大小；（2）求sinA+cosC的取值范围．24. （5分）已知a1 ， a2 ，…，an是由n（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列．数列{bn}满足bk=n+1﹣ak（k=1，2，…，n），c1 ， c2 ，…，cn是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，记Sn=c1+2c2+…+ncn ．（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak=bk（k=1，2，…，n）的数列{an}；（2）写出ck（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示Sn；（3）利用（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣bn）2≥0，证明：b1+2b2+…+nbn≤n（n+1）（2n+1）及a1+2a2+…+nan≥Sn ．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共4题；共35分) 21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、第11 页共11 页。
河北省邢台市高二上学期期中数学试卷
河北省邢台市高二上学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高一下·卢龙期末) 下列说法正确的是（ ）A . 已知购买一张彩票中奖的概率为，则购买 1000 张这种彩票一定能中奖B . 互斥事件一定是对立事件C . 如图，直线 l 是变量 x 和 y 的线性回归方程，则变量 x 和 y 相关系数在﹣1 到 0 之间D . 若样本 x1 ， x2 ， …xn 的方差是 4，则 x1﹣1，x2﹣1，…xn﹣1 的方差是 32. （2 分） 已知等比数列 中，各项都是正数，且 A.成等差数列，则（）B.C.D.3. （2 分） △ABC 中，a=1，b= ， A=30°，则 B 等于（ ）A . 60°B . 60°或 120°C . 30°或 150°D . 120°第1页共9页4. （2 分） (2016 高二上·郴州期中) 等比数列{αn}中，α4‧ α5‧ α6=27，则 α5=（ ） A.1 B.2 C.3 D.45. （2 分） (2019 高三上·凤城月考) 在中三条边 ， ， 成等差数列,且，，则的面积为（ ）A. B.C.D.6. （2 分） (2017 高二下·定州开学考) 在等比数列{an}中，an＞0，a1+a2=1，a3+a4=9，则 a4+a5=（ ）A . 16B . 27C . 36D . 817. （ 2 分 ） (2018· 临 川 模 拟 ) 在 锐 角中，角所对的边分别为，若，则 的值为（ ） A. 或第2页共9页B. C. D.8. （2 分） (2019 高一下·三水月考) 已知数列 ，则下面结论错误的是（ ）的前 项和 满足：，已知，A.，B.C . 与 均为 的最大值D.9. （2 分） 若关于 x 的不等式在区间内有解，则实数 a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.10. （2 分） (2018 高二上·莆田月考) 下列说法正确的是（ ）A.没有最小值B.当 C . 已知时， ，则当恒成立时，的值最大D.当时，的最小值为 2第3页共9页11. （2 分） 已知实数 x，y 满足 A.1 B.， 则 r 的最小值为（ ）C.D.12. （2 分） (2016 高三上·贵阳模拟) 设正实数 x，y，z 满足 x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当 x+2y﹣z 的最大值为（ ）取得最小值时，A.0B. C.2 D.二、 填空 (共 4 题；共 5 分)13. （2 分） 已知钝角△ABC 的面积为 ， AB=1，BC= ， 则角 B=________ AC=________14.（1 分）(2019 高二上·沈阳月考) 设等差数列 的前 项和为 ，，，则取得最小值的 值为________．15. （1 分） (2017 高一上·建平期中) 已知正数 x，y 满足，则 4x+9y 的最小值为________．16. （1 分） 不等式的解集是________三、 解答题 (共 6 题；共 40 分)17. （5 分） 等差数列{an}中，a2=8，S6=66第4页共9页（1）求数列{an}的通项公式 an；（2）设 bn=， Tn=b1+b2+b3+…+bn ， 求 Tn ．18. （10 分） (2018·海南模拟) ，且的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 .（1） 求角 ；（2） 若，且的面积为，求的周长.19. （5 分） 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把 购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件 300 元．现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件， 商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的 75%，那么羊毛衫的标价 为每件多少元？20. （5 分） 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1 且 a1 ， a3 ， a9 成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若求数列{bn}的前 n 项和 Sn ．21. （5 分） 化简+．22. （10 分） (2019 高二上·菏泽期中)（1） 已知一元二次方程的两根分别为 2 和 ，求关于 的不等式（2） 求关于 的不等式的解集的解集.第5页共9页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空 (共 4 题；共 5 分)参考答案13-1、 14-1、第6页共9页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 40 分)17-1、 18-1、 18-2、第7页共9页19-1、20-1、第8页共9页21-1、22-1、22-2、第9页共9页。
河北省邢台市第一中学高二数学上学期第三次月考(期中)
邢台一中2015-2016学年上学期第三次月考高二年级数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.已知椭圆的一个焦点为F(0,1)，离心率12e =，则椭圆的标准方程为( ).A ．2212x y +=B ．2212y x += C ．22143x y += D ．22134x y +=2.设命题p 和命题q ，“p q ∨”的否定．．是真命题，则必有（ ） A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真3.入射光线沿直线x －2y ＋3＝0射向直线l ：y ＝x ，被l 反射后的光线所在直线的方程是( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x ＋y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝04.下列说法正确的是( ).A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B ．命题“若2x =，则2560x x -+=”的否命题是“若2x =，则2560x x -+≠”C ．已知 a b ∈R ，，命题“若a b >，则||||a b >”的逆否命题是真命题D ．若 a b ∈R ，，则“0ab ≠”是“0a ≠”的充分条件 5.若两个平面互相垂直，则下列命题中正确的是( )A ．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；B ．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；C ．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；D ．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.6.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线 10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（ ）A ．1B 2．2 D ．227.已知椭圆191622=+y x ，则以点)23,2(A 为中点的弦所在直线的方程为（ ） A ．0768=--y x B ．043=+y x C ．01243=-+y x D ．034=-y x8.设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=o，则椭圆的离心率为（ ）A.33 B.36C.13D.169.如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取 值范围是（ ）A ．{2}∪(4,)+∞B ．(2,)+∞C ．{2,4}D ．(4,)+∞10.四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外接 球的表面积为（ ）A ．25πB ．45πC ．50πD ．100π 11.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”是“1=a ”的必要不充分条件；③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔maxmin 2)()2(ax x x ≥+，[]1,2x ∈；④“平面向量a r 与b r的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<r r ”.A.1B.2C.3D.4 12.某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和 三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（ ） A ．2 B ．21 C ．22 D ．42第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上 13.已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 被直线30x y ++=所截得的弦长为4，则圆C 的方程为 .14.设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点,点P 在椭圆上,且满足221π=∠PF F ,则21PF F ∆的面积等于____________.15.直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.16.已知椭圆:14922=+y x ,左右焦点分别为12F F ，,过1F 的直线l 交椭圆于A B ， 两点,则22||||BF AF +u u u u r u u u u r的最大值为________.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（10分）设条件p ：实数x 满足22430(0)x ax a a -+<≠；条件q ：实数x 满足2280,x x +->且命题“若p ，则q ”的逆否命题为真命题，求实数a 的取值范围.18.（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且22PD CD BC ==，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE （Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．（Ⅱ）求异面直线AD 与BE 所成角的余弦值及二面角B DE F --的余弦值。
2014-2015学年河北省邢台一中高二(上)第四次月考数学试卷(理科)
2014-2015学年河北省邢台一中高二（上）第四次月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是（）A.∃x∈R，cosx≥1B.∃x∈R，cosx＞1C.∀x∈R，cos≥1D.∀x∈R，cosx＞1【答案】B【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是∃x∈R，cosx＞1；故答案为B．根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定即可得到答案．本题考查全称命题的否定，是概念型的考点，难度不大．2.从长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（）A.4cmB.2cmC.1cmD.3cm【答案】A【解析】解：设剪去的正方形的边长为xcm，（0＜x＜10），则做成的无盖的箱子的底是长为（32-2x）cm，宽为（20-2x）cm的矩形，箱子的高为xcm，∴箱子的容积V=（32-2x）（20-2x）•x=4（x3-26x2+160x），V′=12（x-4）（x-），当0＜x＜10时，V′=0只有一个解x=4，在x=4附近，V′是左正右负，∴V有x=4处取得极大值即为最大值，∴若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为4cm．故选：A．设剪去的正方形的边长为xcm，（0＜x＜10），箱子的容积V=（32-2x）（20-2x）•x=4（x3-26x2+160x），V′=12（x-4）（x-），由此利用导数性质能求出若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为4cm．本题考查棱柱体积的求法及应用，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．3.已知命题“若函数f（x）=e x-mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（）A.否命题“若函数f（x）=e x-mx在（0，+∞）上是减函数，则m＞1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f（x）=e x-mx在（0，+∞）上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m＞1，则函数f（x）=e x-mx在（0，+∞）上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m＞1，则函数f（x）=e x-mx在（0，+∞）上不是增函数”是真命题【答案】D【解析】解：∵f（x）=e x-mx，∴f′（x）=e x-m∵函数f（x）=e x-mx在（0，+∞）上是增函数∴e x-m≥0在（0，+∞）上恒成立∴m≤e x在（0，+∞）上恒成立∴m≤1∴命题“若函数f（x）=e x-mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”，是真命题，∴逆否命题“若m＞1，则函数f（x）=e x-mx在（0，+∞）上不是增函数”是真命题∵m≤1时，f′（x）=e x-m≥0在（0，+∞）上不恒成立，即函数f（x）=e x-mx在（0，+∞）上不一定是增函数，∴逆命题“若m≤1，则函数f（x）=e x-mx在（0，+∞）上是增函数”是真命题，即B不正确故选D．先利用导数知识，确定原命题为真命题，从而逆否命题为真命题，即可得到结论．本题考查四种命题的改写，考查命题真假的判定，判断原命题的真假是关键．4.在长为6cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，BC的长，则该矩形面积小于8cm2，的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设AC=x，则CB=6-x，（0＜x＜6）则矩形的面积S=x（6-x）由x（6-x）＜8，得x2-6x+8＞0，解得x＜2或x＞4，根据几何概型的概率公式可得所求的概率P==，故选：B求出矩形面积小于8cm2的等价条件，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，利用条件求出矩形面积求出矩形面积小于8cm2的等价条件是解决本题的关键．5.设函数f（x）=（x3-1）2，下列结论中正确的是（）A.x=1是函数f（x）的极小值点，x=0是极大值点B.x=1及x=0均是f（x）的极大值点C.x=1是函数f（x）的极小值点，函数f（x）无极大值D.函数f（x）无极值【答案】C【解析】解：∵f（x）=x6-2x3+1，∴f'（x）=6x5-6x2=6x2（x3-1）令f'（x）=0，x=0或x=1∵当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，当x＜1时，f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，∴函数f（x）在x=1时取到极小值，无极大值．故选C先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0找到有可能的极值点，然后根据导数的正负判断原函数的单调性进而确定函数f（x）的极值．本题主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．6.若定义在R上的函数y=f（x）满足f（+x）=f（-x）且（x-）f′（x）＜0，则对于任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）是x1+x2＞5的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：∵f（+x）=f（-x），∴f（x）=f（5-x），即函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．又因（x-）f′（x）＞0，故函数y=f（x）在（，+∞）上是增函数．再由对称性可得，函数y=f（x）在（-∞，）上是减函数．∵任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），故x1和x2在区间（-∞，）上，∴x1+x2＜5．反之，若x1+x2＜5，则有x2-＜-x1，故x1离对称轴较远，x2离对称轴较近，由函数的图象的对称性和单调性，可得f（x1）＞f（x2）．综上可得，“任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＜5”的充要条件，故选：C．由已知中f（+x）=f（-x）可得函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，由（x-）f′（x）＜0可得函数y=f（x）在（，+∞）上是增函数，在（-∞，）上是减函数，结合函数的图象和性质和充要条件的定义，可判断f（x1）＞f（x2）和x1+x2＞5的充要关系，得到答案．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A.y=±2xB.C.D.【答案】C【解析】解：∵，故可设，，则得，∴渐近线方程为，故选C．由离心率的值，可设，，则得，可得的值，进而得到渐近线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．8.点p（x，y）满足5=|3x-4y+5|，则点p的轨迹是（）A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】A【解析】解：方程5=|3x-4y+5|可化为=，方程左边表示点P（x，y）到一定点（1，2）的距离，方程右边表示点P（x，y）到一定直线3x+4y+5=0的距离因为（1，2）在直线3x-4y+5=0上，所以点P的轨迹为过（1，2）且垂直于直线3x-4y+5=0的直线故选：A．因为（1，2）在直线3x-4y+5=0上，所以点P的轨迹为过（1，2）且垂直于直线3x-4y+5=0的直线．本题考查点的轨迹的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．9.如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计的结果，则图中空白框内应填入P=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：C．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=，即π12÷1=∴π=（π的估计值）即执行框内计算的是P=．故选：C．由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．10.在平面直角坐标系n∈N+，n≥2）中，设A（-2，3），B（3，-2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，则线段AB的长度是（）A. B. C. D.，【答案】B【解析】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则=，∵A（-2，3），B（3，-2），∴C（-2，0），D（3，0），∴，||=5，||=2，=0，=0，=2×3×cos（）=3，∴2=（）2=9+25+4+2×3=44，∴||==2．故选：B．作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则=，由此能求出线段AB的长度．本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A.（0，） B.（0，） C.[，1） D.[，1）【答案】A【解析】解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=＜，故选A．作出简图，则＞，则e=＜．本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．12.函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，若f（ln4）=2，则不等式＞的解是（）A.x＞ln4B.0＜x＜ln4C.x＞1D.0＜x＜1【答案】A【解析】解：∵∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）-f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵不等式f（x）＞，∴g（x）＞1，∵f（ln4）=2，∴g（ln4）=1，∴g（x）＞1=g（ln4），∴x＞ln4，故选：A．构造函数g（x），利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln4）=2，求得g（ln4）=1，继而求出答案．本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.抛物线y=4x2的准线方程为______ ．【答案】【解析】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=-故答案为：．先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题．14.已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程=bx+a必过点______ ．【答案】（1.5，4）【解析】解：∵，=4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4）故答案为：（1.5，4）要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．本题考查线性回归方程必过样本中心点，这是一个基础题，题目的运算量不大，本题是一个只要认真就能够得分的题目．15.（理科做）如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，BC=BD=2，AB=1，则BC和平面ACD所成角的正弦值为______ ．【答案】【解析】解：在三棱锥A-BCD中，∵AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，∴以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，∵BC=BD=2，AB=1，∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），∴=（-2，0，0），=（-2，0，1），=（-2，2，0），设平面ACD的法向量为，，，则=0，=0，∴，∴=（1，1，2），设直线BC和平面ACD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=||=．故答案为：．以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC和平面ACD所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意等价转化思想和向量法的合理运用．16.已知f（x）=-lnx，f（x）在x=x0处取最大值．以下各式正确的序号为______①f（x0）＜x0②f（x0）=x0③f（x0）＞x0④f（x0）＜⑤f（x0）＞．【答案】②⑤【解析】解：∵f（x）=-lnx，∴′，令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，且函数的这个零点是y=lnx与y=-x-1的交点，∴x0＞1，∴-x0-1=lnx0∴f（x0）=（-x0-1）•=x0，故②⑤正确．故答案为：②⑤．由已知得′，令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，且函数的这个零点是y=lnx与y=-x-1的交点，由此能求出结果．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.在直三棱柱中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值．【答案】证明：（1）连接AB1交A1B与点E，则E为A1B的中点，连接DE，B1C，∵D是AC的中点∴B1C∥DE，又∵B1C⊄平面A1BD，DE⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD…（4分）（2）取A1C1中点F，D为AC中点，则DF⊥平面ABC，又AB=BC，∴BD⊥AC，∴DF、DC、DB两两垂直，建立如图所示空间直线坐标系D-xyz，则D（0，0，0），B（0，，0），A1（-1，0，3）设平面A1BD的一个法向量为，，，由，，，，，得⇒取x=3，则z=1，y=0，∴，，…（8分）设平面A1DB与平面DBB1夹角的夹角为θ，平面DBB1的一个法向量为，，，…（10分）则∴平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为．…（12分）【解析】（1）连接AB1交A1B与点E，则E为A1B的中点，连接DE，B1C，由三角形中位线定理可得B1C∥DE，进而由线面平行的判定定理可得B1C∥平面A1BD；（2）建立空间直线坐标系D-xyz，求出平面A1BD的一个法向量和平面DBB1的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何，直线与平面平行的判断，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．18.参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求参加数学抽测的人数n、抽测成绩的中位数及分数分别在[80，90），[90，100]内的人数；（Ⅱ）若从分数在[80，100]内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在[90，100]内的概率．【答案】解：（Ⅰ）分数在[50，60）内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[90，100]内同样有2人．由，得n=25，茎叶图可知抽测成绩的中位数为73．分数在[80，90）之间的人数为25-（2+7+10+2）=4参加数学竞赛人数n=25，中位数为73，分数在[80，90）、[90，100]内的人数分别为4人、2人．（Ⅱ）设“在[80，100]内的学生中任选两人，恰好有一人分数在[90，100]内”为事件M，将[80，90）内的4人编号为a，b，c，d；[90，100]内的2人编号为A，B在[80，100]内的任取两人的基本事件为：ab，ac，ad，a A，a B，bc，bd，b A，b B，cd，c A，c B，d A，d B，AB共15个其中，恰好有一人分数在[90，100]内的基本事件有a A，a B，b A，b B，c A，c B，d A，d B，共8个故所求的概率得答：恰好有一人分数在[90，100]内的概率为【解析】（2）由频率分布直方图可以看出，分数在[90，100]内同样有2人．即可得到抽测的人数n，算出分数在[80，90）之间的人数．（3）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件可以通过列举得到结果数，看出满足条件的事件数，根据古典概型公式得到结果．这是一个统计综合题，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．19.设函数f（x）=x3-2x2-4x．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）关于x的方程f（x）=a在区间[-1，4]上有三个根，求a的取值范围．【答案】解：（1）f'（x）=3x2-4x-4=（3x+2）（x-2），由f'（x）=0得或（2分）由上表得，f（x）的单调增区间为∞，，（2，+∞）；单调减区间为，；当时f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值-8．（2）由题知，只需要函数y=f（x）和函数y=a的图象有两个交点．f（-1）=1，f（4）=16，∴＞＞＞，由（1）知f（x）在，当，上单调递减，，上单调递增，在[2，4]在上单调递减．∴当＜时，y=f（x）和y=a的图象有两个交点．即方程f（x）=a在区间[-1，4]上有三个根．【解析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和极值与导数的关系即可求f（x）的单调区间和极值；（2）求出函数在[-1，4]上的极值和最值，即可求出a的取值范围．本题主要考查函数单调性极值和导数之间的关系，利用列表法是解决此类问题的基本方法．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面EBD；（Ⅱ）若PA=AB=2，直线PB与平面EBD所成角的正弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．【答案】解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又BD⊥PC，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面EBD，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，∴ABCD是菱形，BC=AB=2．设AC∩BD=O，建立如图所示的坐标系O-xyz，设OB=b，OC=c，则P（0，-c，2），B（b，0，0），E（0，-c，1），C（0，c，0）．=（b，c，-2），=（b，0，0），=（0，-c，1）．设n=（x，y，z）是面EBD的一个法向量，则n•=n•=0，即取n=（0，1，c）．依题意，BC==2．①记直线PB与平面EBD所成的角为θ，由已知条件sinθ===．②解得b=，c=1．所以四棱锥P-ABCD的体积V=×2OB•OC•PA=×2×1×2=．【解析】（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又BD⊥PC，根据线面垂直的判定定理推断出BD⊥平面PAC，根据BD⊂平面EBD，进而可知平面PAC⊥平面EBD．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，推断出ABCD是菱形，BC=AB=2．设AC∩BD=O，建立如图所示的坐标系O-xyz，设OB=b，OC=c，进而表示出P，B，E，C．，，．设n=（x，y，z）是面EBD的一个法向量，则n•=n•=0，即取n=（0，1，c），求得BC．记直线PB与平面EBD所成的角为θ，由已知条件根据向量的数量积求得sinθ求得b和c，进而求得四棱锥P-ABCD的体积本题主要考查了线面垂直的判定定理的运用，法向量的应用等知识．注重了对学生分析问题和推理能力的考查．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=-3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（-2，0），设T（-3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my-2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2-4my-2=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．∴x1+x2=m（y1+y2）-4=．∵四边形OPTQ是平行四边形，∴，∴（x1，y1）=（-3-x2，m-y2），∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ的面积S=═=．【解析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（-2，0），设T（-3，m），可得直线TF的斜率k TF=-m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my-2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S=．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合和转化能力，属于难题．22.已知函数f（x）=lnx+ax2-（a+1）x（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的值；（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+x1＜f（x2）+x2恒成立，求a 的取值范围．【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+-2x，f′（x）=-2．∵f′（1）=0，f（1）=-．∴切线方程是y=-．（2）函数f（x）=lnx+ax2-（a+1）x（a∈R）的定义域是（0，+∞）．当a＞0时，f′（x）===．令f′（x）=0，解得x=1或x=．当＜，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-=-2，解得a=2；当＜＜时，f（x）在[1，e]上的最小值是，∴-lna--1=-2，即lna+=1．令h（a）=lna+，′=，可得，函数h（a）单调递减，，函数h（a）单调递增．而＜，不合题意．当时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=1+-（a+1）e=-2，解得＜0，不合题意．综上可得：a=2．（3）设g（x）=f（x）+x，则g（x）=lnx+-ax，∵对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+x1＜f（x2）+x2恒成立，∴只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．而g′（x）=ax-a+=．当a=0时，′＞，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只要ax2-ax+1≥0，则需要＞，解得0＜a≤4．综上a的取值范围是：0≤a≤4．【解析】（3）设g（x）=f（x）+x，则g（x）=lnx+-ax，由于对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+x1＜f（x2）+x2恒成立，只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．利用研究函数g（x）的单调性和对a分类讨论即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、二次函数与判别式的关系等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的是幸福方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
河北省邢台市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
邢台市2014-2015学年度第一学期期末考试高二理科数学试题参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y n x ybx x xn x ====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++，其中n a b c d =+++．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、抛物线22y x =-的准线方程是（ ）A ．18y =-B ．18y =C ．12x =-D ．12x =2、把18化为二进制数为（ ）A ．()210010B ．()210110C ．()211010D ．()210011 3、已知正方体1111CD C D AB -A B 中，点1O 为上底面11C A 的中心，若11D x y AO =AA +AB+A ，则x ，y 的值是（ ） A ．12x =，1y = B ．1x =，12y = C ．12x =，12y = D ．1x =，1y = 4、甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲、乙相邻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．165、假设某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （元）呈线性相关关系，且有如下的统计资料：则x 和y 之间的线性回归方程为（ ）A ．ˆ 2.040.57yx =- B ．ˆ2 1.8y x =- C ．ˆ 1.5y x =+ D ．ˆ 1.230.08y x =+6、下列命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x --=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2430x x --≠”B ．已知a ，b ，c 是C ∆AB 的三条边，C ∆A B是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++C ．命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆命题为“若tan 1α=，则4πα=”D ．若命题:p 0b =，命题:q 函数()2f x ax bx c =++是偶函数，则p 是q 的充分不必要条件7、某篮球运动员甲参加了10场比赛，他每场比赛得分的茎叶图如图所示，则数据落在区间[)22,30内的概率为（ ）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.38、若R k ∈，则“33k -<<”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9、下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5； ②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0； ③如果一组数据1，2，x ，5的中位数是3，那么4x =； ④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410、已知椭圆C :2219y x +=，直线:l 950x y +-=与椭圆C 相交于A 、B 两点，点P 为弦AB 的中点，则点P 的坐标为（ ）A ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．119,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,4-D ．()1,14-11、如图所示，程序框图输出的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．1612、过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l ，依次分别交抛物线的准线、y 轴、抛物线于A 、B 、C 三点．若2C AB =B ，则直线l 的斜率是（ ）A ．B ．2-或2C ．-D ．4-或4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2:2:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为70的样本，则应从高二年级抽取 名学生．14、执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为 ．15、已知命题:p 若x y >，则x y -<-，命题:q 若x y <，则22x y >；在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题的序号为 ．16、设1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212F FF P =，且点2F 到直线1F P 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）给出如下程序框图，令输出的()y f x =．若命题:p 0x ∃，()0f x m ≤为假命题，求m 的取值范围．18、（本小题满分12分）某校100名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．()I 求图中a 的值，并根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的平均分；()II 若这100名学生数学成绩在某些分数段的人数（x ）与语文成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求语文成绩在[)50,90之外的人数． 19、（本小题满分12分）()I 已知关于x 的一次函数ay x b =，其中{}2,1,2,3a ∈--，{}2,2,3b ∈-，求函数ay x b=在R 上是减函数的概率；()II 已知关于x 的一次函数y kx b =+，实数k ，b 满足条件101111k b k b +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，求函数y kx b =+的图象经过一、三、四象限的概率（边界及坐标轴的面积忽略不计）．20、（本小题满分12分）已知四棱锥CD S -AB 的底面CD AB 是正方形，S A ⊥底面CD AB ，D 2S A =AB =A =，E 是C S 的中点．()I 求异面直线D E 与C A 所成角；()II 求二面角C D S B --的大小．21、（本小题满分12分）随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多．为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为415．()I 请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关？说明你的理由；()II 现从常饮酒且患肝病的中年人（恰有2名女性）中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？ 参考数据：22、（本小题满分12分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =12⎫P ⎪⎭在椭圆C 上．()I 求椭圆C 的方程；()II 过点()Q 2,0，作两条互相垂直的动直线Q A 、Q B ，分别交椭圆C 于A 、B 两点，求证：直线AB 必过定点，并求出该定点坐标．邢台市2014-2015学年度第一学期期末考试高二理科数学试题参考答案一．选择题 BACBD DCDBA AC二、填空题 13. 20 14.6?k <或5?k ≤（不写问号不得分） 15.②③ 16.35 三、解答题17. 解：程序框图表示的分段函数为22log ,2()1,2x x y f x x x >⎧==⎨-≤⎩……………………………..4分 因为命题00:,()p x f x m ∃≤为假命题,所以命题:,()q x f x m ∀>为真命题,……………6分 即,()x f x m ∀>恒成立, 即()f x 的最小值大于m ,又()y f x =的最小值为1-, ……………………..8分 所以1m <-. ……………………..10分 18. 解：（Ⅰ）依题意得,10(20.0050.020.04)1a ⨯+++=,解得0.03a = …….4分 这100名学生的数学平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分） …………6分（Ⅱ）语文成绩在[50,60）的人数为：41000.0545⨯⨯=（人） …………7分 语文成绩在[60,70）的人数为：1000.440⨯=（人） …………8分语文成绩在[70,80）的人数为：51000.3503⨯⨯=（人） …………9分 语文成绩在[80, 90）的人数为：11000.245⨯⨯=（人） …………10分所以语文成绩在[50,90）之外的人数为：1004504042----=（人） ……12分 19. 解：（Ⅰ） a 和b 的组合有：(2,2),(2,2),(2,3),(1,2),(1,2),(1,3),--------(2,2),(2,2),(2,3),(3,2),(3,2),(3,3)--,其中符合题意的有9个基本事件．……………2分设使函数ay x b=在R 上是减函数的事件为A ,则A 包含的基本事件(2,2),(2,3),(1,2),(1,3),----(2,2),(3,2)--共有6个, ……4分所以,62(A)93P ==. ……………6分 （Ⅱ）实数,k b 满足条件101111k b k b +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩的区域如图所示,……………8分要使函数的图象过一、三、四象限,则0,0k b ><,故使函数图象过一、三、四象限的(,)k b 的区域为第四象限的阴影部分, ……………10分 ∴所求事件的概率为27p =. ……………12分 20. 解：（Ⅰ）SA ⊥底面ABCD ,所以,SA AD SA AB ⊥⊥ 底面ABCD 是正方形,所以AB AD ⊥ ……………2分 以点A 为坐标原点,AS AD AB ,,所在的直线分别为z y x ,,轴,建立空间直角坐标系,则(0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(0,0,2)S ,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(1,1,1)E ……………4分所以(1,1,1)DE =-,(2,2,0)AC =,0DE AC ⋅=所以异面直线DE 与AC 所成角为90︒. ……………6分 （Ⅱ）由题意可知，(2,0,2)SB =-,(2,2,2)SC =- 设平面BSC 的法向量为),,(1111z y x n =,则11111110n SC x y z n SB x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令11=z ,则)1,0,1(1=n , ……………8分 (0,2,2)DS =-,(2,0,0)DC =设平面SCD 的法向量为),,(2222z y x n =,则222220n DC x n DS z y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令12=y ,则)1,1,0(2=n ……………10分设二面角D SC B --的平面角为α,则21221cos =⨯. 显然二面角D SC B --的平面角为α为钝角,所以120=α 即二面角B SC D --的大小为120︒. ……………12分 21. （Ⅰ）设常饮酒的人有x 人,24,63015x x +== ……………2分 ……4分由已知数据可求得：2230(61824)8.5237.8791020822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关． ……………………6分 （Ⅱ）设常饮酒且患肝病的男生为A 、B 、C 、D,女生为E 、F,则任取两人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种. ………8分 其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF, DE,DF,共8种. ………10分 故抽出一男一女的概率是815p =. ………12分 说明：用排列组合求解，参照上述解法给分.22. （Ⅰ）由题意得c a =2221()321a b += 222=a b c +解得=21a b =， 所以椭圆的标准方程为2214x y +=. ………4分 （Ⅱ）法一：设直线QA 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,则直线QB 的方程为1(2)y x k=--. …………5分 将直线QA 的方程为(2)(0)y k x k =-≠代入椭圆方程整理可得()222214161640k xk x k +-+-=2222(16)4(14)(164)10k k k ∆=-⋅+⋅-=> …………6分 设A 点坐标为(,)A A x y ,B 点坐标为(,)B B x y ,则22164214A k x k-=+ 所以228214A k x k -=+ 24(2)14A Aky k x k -=-=+ …………7分 同理可得222824,44B B k kx y k k-==++ 所以25=4(1)A B AB A B y y kk x x k -=-- 故直线AB 的方程为：22224582()144(1)14k k k y x k k k -+=-+-+ , …………8分 22222455(82)144(1)4(1)(14)k kx k k y k k k k -+=-+--+222224(14)(1)16(1)5(14)5(82)k k y k k k k x k k +-+-=+-- 22224(14)(1)5(14)6(14)k k y k k x k k +-=+-+ 24(1)(56)k y k x -=-显然当65x =时,0y =, …………10分 当0k =时,直线QA 为x 轴,点A 为椭圆的左顶点；直线QB 垂直于x 轴,点B 和点Q 重合,直线AB 即为x 轴,过定点6(,0)5.所以无论k 取何值,直线AB 必过定点6(,0)5. …………12分 法二：令直线QA的斜率分别为1和,则直线QB的斜率分别为1-…………5分第 11 页 共 11 页 得到直线AB的方程为66)55x y x ==-和 …………6分 两直线的交点为6(,0)5P 由法一得222222824824(,).(,)141444k k k k A B k k k k ---++++ …………8分 计算可得2255,4(1)4(1)PA PB k k k k k k ==-- 所以PA PB k k =,即A 、B 、P 三点共线,因此直线AB 过定点6(,0)5…………10分当0k =时,直线QA 为x 轴,点A 为椭圆的左顶点；直线QB 垂直于x 轴,点B 和点Q 重合,直线AB 即为x 轴,过定点6(,0)5.所以无论k 取何值,直线AB 必过定点6(,0)5. …………12分。
河北省邢台市高二上学期期中数学试卷
河北省邢台市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分） (2017高三上·苏州开学考) 命题“∃x＞1，使得x2≥2”的否定是________．2. （1分）经过点A（1，2）和点B（3，m）的直线的倾斜角为45°，则实数m的值为________．3. （1分）△ABC 中，“A=”是“sinA=”的________ 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．4. （1分）(2020·杨浦期末) 己知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为________.5. （1分）已知圆C过点（2，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：x+y﹣7=0被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________6. （1分） (2016高二上·镇雄期中) 底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为________ cm2 ．7. （1分） (2015高三上·锦州期中) 已知△ABC，点A（2，8）、B（﹣4，0）、C（4，﹣6），则∠A BC的平分线所在直线方程为________．8. （1分） (2017高一上·武邑月考) 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为________．9. （1分） (2016高二上·宝应期中) 已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围 ________．10. （1分） (2016高一上·郑州期末) 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是________11. （1分） (2017高二上·南通开学考) 设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是________①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β且l∥m；③l⊥α，m⊥β，且l∥m；④l∥α，m∥β，且l∥m．12. （1分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为________．13. （1分）由直线y=x+1上一点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为________14. （1分） (2019高二上·德惠期中) 已知F1 ， F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为________ ．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分）已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（Ⅰ）顶点C的坐标；（Ⅱ）直线BC的方程．16. （5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17. （10分）(2018高二上·潮州期末) 已知 ,命题，命题.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题是假命题, 命题是真命题,求实数的取值范围.18. （5分）如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．19. （10分）已知过原点O的圆x2+y2﹣2ax=0又过点（4，2），（1）求圆的方程，（2） A为圆上动点，求弦OA中点M的轨迹方程．20. （10分） (2018高二下·双鸭山月考) 已知曲线。
河北省邢台市高二上学期期中数学试卷(理科)
河北省邢台市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合， M={﹣1，1}，则M∩N=（）A . {﹣1，1}B . {0}C . {﹣1}D . {﹣1，0}2. （2分）若过点P的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A . 若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥nB . 若m∥α，n⊂α，则m∥nC . 若m∥α，n∥α，则m∥nD . 若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α4. （2分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出的S=（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·射洪期中) 圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=4的公切线有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条6. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线与黑色阴影部分有公共点；③当时，直线与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A . ①B . ②C . ③D . ①②7. （2分） (2017高三上·太原期末) 如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·南湖期中) 如图，在菱形中，，线段，的中点分别为．现将沿对角线翻折，使二面角的在大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A . 2B . 4C . 2D . 610. （2分） ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是（）A . BD∥平面CB1D1B . AC1⊥BDC . AC1⊥平面CB1D1D . AC1⊥BD111. （2分）若圆x2+y2-2x-4y＝0的圆心到直线x-y+a＝0的距离为，则a的值为（）A . -2或2B . 或C . 2或0D . -2或012. （2分）已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为（）A . 3B .C . 2D . 2二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知点P（0，﹣1），Q（0，1），若直线 l：y=mx﹣2 上至少存在三个点 M，使得△PQM 为直角三角形，则实数 m 的取值范围是________14. （1分） (2018高二上·拉萨月考) 已知直线上有两个点和 ,且为一元二次方程的两个根,则过点且和直线相切的圆的方程为________.15. （1分）正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为________．16. （1分）若直线y=x﹣b与曲线，θ∈[0，2π）有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是________．三、三.解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高一下·长春期末) 已知直线l过定点（1.4）,求当直线l在第一象限与坐标轴围成的三角形面积最小时,此直线的方程.18. （10分）(2014·江苏理) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．19. （5分）(2017·北京) 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5 ．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1 ．20. （10分）(2017·长沙模拟) 在平面直角坐标系xoy中，点，圆F2：x2+y2﹣2 x﹣13=0，以动点P为圆心的圆经过点F1 ，且圆P与圆F2内切．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线l过点（1，0），且与曲线E交于A，B两点，则在x轴上是否存在一点D（t，0）（t≠0），使得x轴平分∠ADB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2017高二下·定州开学考) 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形．侧棱长为5，平面ABCD⊥平面A1ACC1 ， AB=3 ，∠BAD=60°，点E是△ABD的重心，且A1E=4．（1）求证：平面A1DC1∥平面AB1C；（2）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．22. （10分） (2017高二下·金华期末) 已知圆C：x2+y2=4，直线l：y+x﹣t=0，P为直线l上一动点，O为坐标原点．（1）若直线l交圆C于A、B两点，且∠AOB= ，求实数t的值；（2）若t=4，过点P做圆的切线，切点为T，求• 的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、二.填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
河北邢台市第一中学2014-2015学年高二上学期第四次月考数学(理)试题
2.从长32cm ，宽20cm 的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（ ）A ． 4cm B. 2cm C. 1cm D. 3cm 3.已知命题“若函数()mx e x f x -=在()+∞,0上是增函数，则1≤m ”，则下列结论正确的是（ ）A ．否命题“若函数()mx e x f x-=在()+∞,0上是减函数，则1>m ”是真命题 B ．逆命题“若1≤m ，则函数()mx e x f x-=在()+∞,0上是增函数” 是假命题 C ．逆否命题“若1>m ，则函数()mx e x f x-=在()+∞,0上是减函数” 是真命题 D ．逆否命题“若1>m ，则函数()mx e x f x-=在()+∞,0上不是增函数” 是真命题4.在长为cm 6的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ,BC 的长， 则该矩形面积小于28cm ，的概率是( ) A ．31 B ．32 C ．41 D ．215．设函数23)1()(-=x x f ，下列结论中正确的是( ) A ．1x =是函数()f x 的极小值点，0x =是极大值点 B ．1x =及0x =均是()f x 的极大值点C ．1x =是函数()f x 的极小值点，函数()f x 无极大值D ．函数()f x 无极值6．若定义在R 上的连续函数()x f y =满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 2525，且()025<'⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x ，则对于任意的21x x <，都有()()21x f x f >是521>+x x 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ． x y 21±=8．点()y x p ,满足()()54321522+-=-+-y x y x ，则点p 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线9． 如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P 表示估计的结果，则图中空白框内应填入P =（ ）A.1000M B.1000M C.41000M D.10004M10．在平面直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为23π的二面角后，则线段AB 的长度是 （ ）． A.B.C.D.11．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,22 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 C.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 12．函数)(x f 的导函数为)(x f '，对x ∀∈R ，都有2()()f x f x '>成立，若2)4ln (=f ，则不等式2()xf x e >的解是（ ）A ．ln 4x >B ．0ln 4x <<C ．1x >D ．01x <<第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每空5分，共20分）13．抛物线24x y =的准线方程是 . 14．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为ˆybx a =+必过点 ．15．如图，在三棱锥A BCD -中，AB BCD ⊥平面，90DBC ∠=，2BC BD ==，1AB =，则BC 和平面ACD 所成角的正弦值为 ．16．已知ln ()ln ,()1xf x x f x x=-+在0x x =处取最大值。
河北邢台一中2014-2015学年高二上学期期中考试化学试卷.pdf
B．溶液中不变 C．醋酸的电离程度增大，c(H＋)亦增大 D．再加入10 mL pH＝11的NaOH溶液，混合液pH＝7 4．常温下0.1 mol·L－1醋酸溶液的pH＝a，下列能使溶液pH＝(a＋1)的措施是 ( ) A．将溶液稀释到原体积的10倍B．加入适量的醋酸钠固体 C．加入等体积0.2 mol·L－1盐酸 D．提高溶液的温度 5．相同条件下，下列有关溶液的比较中，不正确的是 ( ) ①pH＝2的CH3COOH溶液 ②pH＝2的HCl溶液 ③pH＝12的氨水 ④pH＝12的NaOH溶液 A．水电离出的c (H＋)：①＝②＝③＝④ B．将②、③溶液混合后pH＝7，消耗溶液的体积：②＞③ C．将等体积的①、②溶液分别与足量铝粉反应，生成H2的量①更多 D．分别向等体积的四种溶液中加水稀释至100 mL后，溶液的pH：③＞④＞①＞② 6. 根据下表提供的数据，判断在等浓度的NaClO、NaHCO3混合溶液中，各种离子浓度关系正确的是 ( ) 化学式 电离常数 HClO K＝3×10－8 H2CO3 K1＝4.3×10－7 K2＝5.6×10－11A.c(HCO)>c(ClO－)>c(OH－) B．c(ClO－)>c(HCO)>c(H＋) C．c(HClO)＋c(ClO－)＝c(HCO)＋c(H2CO3)D．c(Na＋)＋c(H＋)＝c(HCO)＋c(ClO－)＋c(OH－) 7．取浓度相同的NaOH和HCl溶液，以3∶2体积比相混合，所得溶液的pH等于12，则原溶液的浓度为 ( ) A．0.01 mol·L－1 B．0.017 mol·L－1 C．0.05 mol·L－1 D．0.50 mol·L－1 8．下列关于电解质溶液的正确判断是 ( ) A．在pH＝12的溶液中，K＋、Cl－、HCO、Na＋可以大量共存B．在pH＝0的溶液中，Na＋、NO、SO、K＋可以大量共存 C．由0.1 mol·L－1一元碱BOH溶液的pH＝10，可推知BOH溶液中存在BOH===B＋＋OH－ D．由0.1 mol·L－1一元酸HA溶液的pH＝3，可推知NaA溶液中存在A－＋H2OHA＋OH－ 9．用0.100 0 mol·L－1 NaOH溶液滴定未知浓度的CH3COOH溶液，反应恰好完全时，下列叙述中正确的是 ( ) A．溶液呈中性，可选用甲基橙或酚酞作指示剂 B．溶液呈中性，只能选用石蕊作指示剂 C．溶液呈碱性，可选用甲基橙或酚酞作指示剂 D．溶液呈碱性，只能选用酚酞作指示剂 10．有关①100 mL 0.1 mol/L NaHCO3、②100 mL 0.1 mol/LNa2CO3两种溶液的叙述不正确的是 A．溶液中水电离出的H＋个数：②＞① B．溶液中阴离子的物质的量浓度之和：②＞① C．①溶液中：c(CO)＞c(H2CO3) D．②溶液中：c(HCO)＞c(H2CO3) 11. 化工生产中含Cu2＋的废水常用MnS(s)作沉淀剂，其反应原理为Cu2＋(aq)＋MnS(s) CuS(s)＋Mn2＋(aq)。
2015-2016年河北省邢台一中高二(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．2．（5分）设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真3．（5分）入射光线沿直线x﹣2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y+3=0 D．2x﹣y+3=04．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x=2，则x2﹣5x+6≠0”C．已知a，b∈R，命题“若a＞b，则|a|＞|b|”的逆否命题是真命题D．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件5．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l 经过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为（）A．1 B．C．2 D．27．（5分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线的方程为（）A．8x﹣6y﹣7=0 B．3x+4y=0 C．3x+4y﹣12=0 D．4x﹣3y=08．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）10．（5分）四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．25πB．45πC．50πD．100π11．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．（5分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C被直线x+y+3=0所截得的弦长为4，则圆C的方程为．14．（5分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于．15．（5分）已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则=．16．（5分）已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B 两点，则||+||的最大值为．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设条件p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a≠0）；条件q：实数x满足x2+2x﹣8＞0，且命题“若p，则q”的逆否命题为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且，过棱PC的中点AB1⊥PQ，作EF⊥PB交PB于点PQD，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．（2）求异面直线与BE所成角的余弦值及二面角B﹣DE﹣F的余弦值．19．（12分）已知圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0相切于M点，求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．20．（12分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M（2，1），N（2，0）两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，试问：k1+k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，原点到过点A （﹣a，0），B（0，b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，故a=2，b=，则椭圆的标准方程为，故选：A．2．（5分）设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真【解答】解：∵“p∨q”的否定是真命题，∴p∨q是假命题，因此p与q都是假命题．故选：B．3．（5分）入射光线沿直线x﹣2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y+3=0 D．2x﹣y+3=0【解答】解：在入射光线上取点（1，2），则关于y=x的对称点（2，1）在反射光线上，代入验证，通过排除法，2x﹣y﹣3=0满足．故选：B．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x=2，则x2﹣5x+6≠0”C．已知a，b∈R，命题“若a＞b，则|a|＞|b|”的逆否命题是真命题D．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件【解答】解：A命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x=2，则x2﹣5x+6=0”，故错误；命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”，故错误；命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，故逆否命题也是假命题；∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，故正确．故选：D．5．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，∴l⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，•一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，•过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选：B．6．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l 经过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，∴化成标准方程，可得x2+（y+1）2=4，由此可得圆的圆心为C（0，﹣1）、半径为2．∵直线x﹣y+1=0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），∴直线l的斜率为k=﹣1，可得直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．因此，圆心C到直线l的距离d==．∴直线l被圆C截得的弦长|AB|=2=2=2，又∵坐标原点O到AB的距离为d'==，∴△OAB的面积为S=|AB|×d'==1．故选：A．7．（5分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线的方程为（）A．8x﹣6y﹣7=0 B．3x+4y=0 C．3x+4y﹣12=0 D．4x﹣3y=0【解答】解：设以点为中点的弦与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=3，分别把M（x1，y1），N（x2，y2）代入椭圆方程，可得，再相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴点为中点的弦所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣2），整理，得：3x+4y﹣12=0．故选：C．8．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，tan∠PF1F2===，∴=，∴e==．故选：A．9．（5分）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故选：A．10．（5分）四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．25πB．45πC．50πD．100π【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．11．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B．12．（5分）某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径m，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=m，则椭圆的焦距c==m，根据离心率公式得，e==故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．（5分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C被直线x+y+3=0所截得的弦长为4，则圆C的方程为（x+1）2+y2=6．【解答】解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）所以圆心到直线的距离等于=，因为圆C被直线x+y+3=0所截得的弦长为4，所以r==所以圆C的方程为（x+1）2+y2=6；故答案为：（x+1）2+y2=6．14．（5分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于1．【解答】解：∵P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=，∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2 ，在△F1PF2中，由勾股定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=12，∴|PF1|•|PF2|=2，∴S△F1PF2=|PF1|•|PF2|=1故答案为：115．（5分）已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则=．【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin =所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．16．（5分）已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B 两点，则||+||的最大值为．【解答】解：由椭圆，得a=3，b=2，c==，由椭圆的定义可得：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12，∵当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值，把x=﹣代入，解得：y=±，∴|AB|min=，∴|AF2|+|BF2|的最大值为12﹣=．故答案为：．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设条件p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a≠0）；条件q：实数x满足x2+2x﹣8＞0，且命题“若p，则q”的逆否命题为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0}当a＞0时，A=（a，3a）；当a＜0时，A=（3a，a），B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|x＜﹣4，或x＞2}由于命题“若p，则q”的逆否命题为真命题，所以命题“若p，则q”为真命题，∴p是q的充分条件，∴A⊆B，∴a≥2或a≤﹣4，所以实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣4．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且，过棱PC的中点AB1⊥PQ，作EF⊥PB交PB于点PQD，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．（2）求异面直线与BE所成角的余弦值及二面角B﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥CD，且PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD，…（2分）而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，…（4分）而PB⊂平面PBC，所以DE⊥PB，又EF⊥PB，DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．…（6分）解：（2）不妨设PD=CD=，则PC=BC=2，∴EC=1，BE=，EF=，…（8分）∵AD∥BC，∴∠EBC就是异面直线AD与BE所成的角．在Rt△BCE中，，故异面直线AD与BE所成角的余弦值为，…（10分）由（1）知DE⊥平面PBC．从而DE⊥EF，DE⊥EB，∴∠FEB就是二面角B﹣DE﹣F的平面角．在Rt△BEF中，，故二面角B﹣DE﹣F的余弦值为…（12分）19．（12分）已知圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0相切于M点，求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m∵圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0相切，∴|OC|=1+=5或|OC|=﹣1=5∴m=9或m=﹣11∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=16或C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=36设M（x，y），由题知，=4或=6，故M（，）或M（﹣，﹣）故所求圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=16或（x+）2+（y+）2=36．20．（12分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．21．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M（2，1），N（2，0）两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，试问：k1+k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1，将M（2，1），N（2，0）代入椭圆E的方程，得，解得m=，n=，所以椭圆E的方程为+=1；（2）k1+k2为定值0．因为k OM=，且直线l平行于OM，所以可设直线l的方程为，由得x2+2tx+2t2﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则，又k1=，k2=，故k1+k2=+=，又，所以上式分子=，故k1+k2=0．22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，原点到过点A （﹣a，0），B（0，b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为，a2﹣b2=c2，所以a=2b．因为原点到直线AB：的距离，解得a=4，b=2．故所求椭圆C的方程为+=1．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l为x=4或x=﹣4，都有．当直线l的斜率存在时，设直线，由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0．因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4．①又由可得；同理可得．由原点O到直线PQ的距离为和，可得．②将①代入②得，．当时，；当时，．因，则0＜1﹣4k2≤1，，所以，的最小值为8．当且仅当k=0时取等号．所以当k=0时，S△OPQ综上可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．第21页（共21页）。
河北省邢台市2014—2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案
高二年级理科数学试题参考答案一．选择题 BACBD DCDBA AC二、填空题 13. 20 14.6?k <或5?k ≤（不写问号不得分） 15.②③ 16.35 三、解答题17. 解：程序框图表示的分段函数为22log ,2()1,2x x y f x x x >⎧==⎨-≤⎩…………………………………..4分 因为命题00:,()p x f x m ∃≤为假命题,所以命题:,()q x f x m ∀>为真命题,……………6分 即,()x f x m ∀>恒成立, 即()f x 的最小值大于m ,又()y f x =的最小值为1-, ……………………..8分 所以1m <-. ……………………..10分 18. 解：（Ⅰ）依题意得,10(20.0050.020.04)1a ⨯+++=,解得0.03a = …….4分 这100名学生的数学平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分） …………6分（Ⅱ）语文成绩在[50,60）的人数为：41000.0545⨯⨯=（人） …………7分 语文成绩在[60,70）的人数为：1000.440⨯=（人） …………8分语文成绩在[70,80）的人数为：51000.3503⨯⨯=（人） …………9分 语文成绩在[80, 90）的人数为：11000.245⨯⨯=（人） …………10分所以语文成绩在[50,90）之外的人数为：1004504042----=（人） ……12分 19. 解：（Ⅰ） a 和b 的组合有：(2,2),(2,2),(2,3),(1,2),(1,2),(1,3),--------(2,2),(2,2),(2,3),(3,2),(3,2),(3,3)--,其中符合题意的有9个基本事件．……………2分设使函数ay x b=在R 上是减函数的事件为A ,则A 包含的基本事件(2,2),(2,3),(1,2),(1,3),----(2,2),(3,2)--共有6个, ……4分所以,62(A)93P ==. ……………6分 （Ⅱ）实数,k b 满足条件101111k b k b +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩的区域如图所示,……………8分要使函数的图象过一、三、四象限,则0,0k b ><,故使函数图象过一、三、四象限的(,)k b 的区域为第四象限的阴影部分, ……………10分 ∴所求事件的概率为27p =. ……………12分 20. 解：（Ⅰ）SA ⊥底面ABCD ,所以,SA AD SA AB ⊥⊥ 底面ABCD 是正方形,所以AB AD ⊥ ……………2分 以点A 为坐标原点,AS AD AB ,,所在的直线分别为z y x ,,轴,建立空间直角坐标系,则(0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(0,0,2)S ,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(1,1,1)E ……………4分所以(1,1,1)DE =-,(2,2,0)AC =,0DE AC ⋅=所以异面直线DE 与AC 所成角为90︒. ……………6分 （Ⅱ）由题意可知，(2,0,2)SB =-,(2,2,2)SC =- 设平面BSC 的法向量为),,(1111z y x n =,则11111110n SC x y z n SB x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令11=z ,则)1,0,1(1=n , ……………8分 (0,2,2)DS =-,(2,0,0)DC =设平面SCD 的法向量为),,(2222z y x n =,则222220n DC x n DS z y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令12=y ,则)1,1,0(2=n ……………10分 设二面角D SC B --的平面角为α,则21221cos =⨯==α. 显然二面角D SC B --的平面角为α为钝角,所以120=α即二面角B SC D --的大小为120︒. ……………12分 21. （Ⅰ）设常饮酒的人有x 人,24,6x x +== ……………2分……4分由已知数据可求得：2230(61824)8.5237.8791020822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关． ……………………6分 （Ⅱ）设常饮酒且患肝病的男生为A 、B 、C 、D,女生为E 、F,则任取两人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种. ………8分 其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF, DE,DF,共8种. ………10分 故抽出一男一女的概率是815p =. ………12分 说明：用排列组合求解，参照上述解法给分.22.（Ⅰ）由题意得2c a = 2221()321a b+= 222=a b c +解得=21a b =， 所以椭圆的标准方程为2214x y +=. ………4分 （Ⅱ）法一：设直线QA 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,则直线QB 的方程为1(2)y x k=--. …………5分 将直线QA 的方程为(2)(0)y k x k =-≠代入椭圆方程整理可得()222214161640k xk x k +-+-=2222(16)4(14)(164)10k k k ∆=-⋅+⋅-=> …………6分设A 点坐标为(,)A A x y ,B 点坐标为(,)B B x y ,则22164214A k x k-=+ 所以228214A k x k -=+ 24(2)14A Ak y k x k -=-=+ …………7分 同理可得222824,44B B k kx y k k-==++ 所以25=4(1)A B AB A B y y k k x x k -=--故直线AB 的方程为：22224582()144(1)14k k k y x k k k -+=-+-+ , …………8分22222455(82)144(1)4(1)(14)k kx k k y k k k k -+=-+--+222224(14)(1)16(1)5(14)5(82)k k y k k k k x k k +-+-=+-- 22224(14)(1)5(14)6(14)k k y k k x k k +-=+-+ 24(1)(56)k y k x -=-显然当65x =时,0y =, …………10分 当0k =时,直线QA 为x 轴,点A 为椭圆的左顶点；直线QB 垂直于x 轴,点B 和点Q 重合,直线AB 即为x 轴,过定点6(,0)5.所以无论k 取何值,直线AB 必过定点6(,0)5. …………12分 法二：令直线QA 的斜率分别为1和则直线QB 的斜率分别为1-…………5分得到直线AB 的方程为66)55x y x ==-和 …………6分 两直线的交点为6(,0)5P 由法一得222222824824(,).(,)141444k k k kA B k k k k ---++++ …………8分 计算可得2255,4(1)4(1)PA PBk kk k k k ==-- 所以PA PB k k =,即A 、B 、P 三点共线,因此直线AB 过定点6(,0)5…………10分当0k =时,直线QA 为x 轴,点A 为椭圆的左顶点；直线QB 垂直于x 轴,点B 和点Q 重合,直线AB 即为x 轴,过定点6(,0)5.所以无论k 取何值,直线AB 必过定点6(,0)5. …………12分。
2014-2015年河北省邢台市清河中学高二上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年河北省邢台市清河中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．2．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线DD1和EF所成的角的大小为．3．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y，则x2＜y2．在命题：①p且q；②p或q；③p且非q；④非p或q中，真命题是．4．（5分）函数的最小正周期是．5．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行”的条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）6．（5分）设椭圆的短轴长为，焦距为2，两个焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为．7．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S4=S9，则S12=．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为．9．（5分）双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，一条渐近线方程为，则双曲线方程为．10．（5分）设F1、F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为．11．（5分）已知向量，，则=．12．（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则•的最大值为．13．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是（填序号）①线段A1M与B1C所在直线为异面直线；②对角线BD1⊥平面AB1C；③平面AMC⊥平面AB1C；④直线A1M∥平面AB1C．14．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1在[1，2]上的最小值为t，若t≤1恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知命题p：+=1表示双曲线，命题q：+=1表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（3）若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F 分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：C1F∥平面ABE；（2）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1．17．（15分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（1）求证：OD⊥面ABC；（2）求点M到平面ABD的距离．18．（15分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，离心率e=．若直线y=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点A，B，以线段AB为直径作圆M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若圆M与x轴相切，求圆M被直线x﹣y+1=0截得的线段长．19．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，且经过点（2，﹣3）．若点P在椭圆上，且在x轴上方，•=0．（1）求椭圆C的方程；（2）①求△PF1F2的内切圆M的方程；②若直线l过△PF1F2的内切圆圆心M，交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M 对称，求直线l的方程．20．（16分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．2014-2015学年河北省邢台市清河中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．2．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线DD1和EF所成的角的大小为45°．【解答】解：∵DD1∥BB1，∴∠BFE是异面直线DD1和EF所成的角，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E，F分别是棱AB，BB1的中点，∴在Rt△BEF中，BF=BE，∠EBF=90°，∴∠BFE=45°．∴异面直线DD1和EF所成的角的大小为45°．故答案为：45°．3．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y，则x2＜y2．在命题：①p且q；②p或q；③p且非q；④非p或q中，真命题是②③．【解答】解：已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y，是真命题；命题q：若x＜y，则x2＜y2是假命题；故：①p且q是假命题；②p或q是真命题；③p且非q是真命题；④非p或q 是假命题，故选：②③．4．（5分）函数的最小正周期是π．【解答】解：由题意可得：y=sin2x+cos2x=2（）=2sin（2x+）∴T==π故答案为：π5．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行”的充分不必要条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）【解答】解：当a=3时，直线可化为3x+2y+1=0和3x+2y﹣2=0，显然平行；若直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y﹣2=0平行，则a（a﹣1）﹣2×3=0，且3×1﹣a（﹣2）≠0，解之可得a=3或a=﹣2，故直线平行推不出a=3，故前者是后者的充分不必要条件．故答案为：充分不必要6．（5分）设椭圆的短轴长为，焦距为2，两个焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为6．【解答】解：椭圆的短轴长为，焦距为2，可得b=，c=1，a==，椭圆的短轴长为，焦距为2，两个焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为4a==6．故答案为：6．7．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S4=S9，则S12=1．【解答】解：在等差数列{a n}中，由S4=S9，得a5+a6+a7+a8+a9=0，∴a7=0，又a1=1，∴d=，∴S12=12×=1．故答案为：1．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为2．【解答】解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：29．（5分）双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，一条渐近线方程为，则双曲线方程为．【解答】解：由题意可设双曲线的方程为：．（a＞0，b＞0）．焦距为2c．∵焦距为16，一条渐近线方程为，∴2c=16，，又c2=a2+b2，联立解得a=6，b=．所求的双曲线方程为：．故答案为：．10．（5分）设F1、F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为．【解答】解：设x=交x轴于点M，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|∵P为直线x=上一点，∴2（﹣c）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e==故答案为：11．（5分）已知向量，，则=2．【解答】解：∵向量，∴||=，，∴．∵，∴，即10+2×5，即，则==，故答案为：2；12．（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则•的最大值为6．【解答】解：设P（x，y），则•=（x，y）•（x+1，y）=x2+x+y2，又点P在椭圆上，故+=1，所以x2+x+（3﹣）=+x+3=+2，又﹣2≤x≤2，所以当x=2时，+2取得最大值为6，即•的最大值为6，故答案为：6．13．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是①②③（填序号）①线段A1M与B1C所在直线为异面直线；②对角线BD1⊥平面AB1C；③平面AMC⊥平面AB1C；④直线A1M∥平面AB1C．【解答】解：∵线段A1M所在平面AD1A1与B1C所在平面BCC1B1互相平行，且直线A1M与B1C不平行，∴线段A1M与B1C所在直线为异面直线，故①正确；设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），M（0，0，1），D1（0，0，2），∴，，，，∴=0﹣4+4=0，=4﹣4+0=0，∴，，∴BD1⊥AB1，BD1⊥AC，∴对角线BD1⊥平面AB1C，故②正确；设平面AMC的法向量为=（x1，y1，z1），则，，∴，∴=（1，1，2），设平面AB1C的法向量为=（x2，y2，z2），则，=0，∴，∴=（1，1，﹣1），∵=1+1﹣2=0，∴平面AMC⊥平面AB1C，故③正确；∵A1（2，0，2），M（0，0，1），∴，∵=﹣2+0+1=﹣1≠0，∴直线A1M与平面AB1C不平行，故④不正确．故答案为：①②③．14．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1在[1，2]上的最小值为t，若t≤1恒成立，则实数a的取值范围是a≤1．【解答】解：a=0，可得f（x）=﹣x﹣1在[1，2]上的最小值t=﹣3＜1成立；a＜0，函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1在[1，2]上单调递减，t=f（2）=6a﹣3＜1成立；a＞0，当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1=a（x﹣）2+2a﹣﹣1，对称轴为x=，当0＜＜1，即a＞时，f（x）在[1，2]上为增函数，t=f（1）=3a﹣2≤1，∴a≤1，∴＜a≤1；当1≤≤2，即≤a≤时，t=f（）=2a﹣﹣1≤1，符合题意；当＞2，即0＜a＜时，f（x）在[1，2]上为减函数，t=f（2）=6a﹣3≤1，∴a≤，∴0＜a＜．综上可得a≤1．故答案为：a≤1．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知命题p：+=1表示双曲线，命题q：+=1表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（3）若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）命题p为真命题，则（m﹣1）（m﹣4）＜0，∴1＜m＜4．∴实数m的取值范围是（1，4）．（2）命题q为真命题，则，∴﹣2＜m＜2．∴实数m的取值范围是（﹣2，2）．（3）∵命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴命题p与q一真一假．①若p真q假，则，得2≤m＜4；②p假q真，则，得﹣2＜m≤1．综上可知，m的取值范围是（﹣2，1]∪[2，4）．16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F 分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：C1F∥平面ABE；（2）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1．【解答】证明：（1）取AB中点D，连接DE，DF，∵D、F分别为AB、BC的中点，∴DF∥AC，且DF=AC，∵E为A1C1中点，∴EC1∥AC，且EC1=AC，∴DF∥EC1，且DF=EC1，∴DFC1E为平行四边形，∴C1F∥ED，又∵ED⊂面ABE，C1F⊄面ABE，∴C1F∥面ABE；（2）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴CC1⊥面ABC，∵AB⊂面ABC，∴AB⊥CC1，又∵AB⊥BC，BC，CC1⊂面B1BCC1，BC∩CC1=C，∴AB⊥面B1BCC1，∵AB⊂面ABE，∴面ABE⊥面B1BCC1．17．（15分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（1）求证：OD⊥面ABC；（2）求点M到平面ABD的距离．【解答】证明：（1）由题意，OM=OD=3，∵DM=3，∴∠DOM=90°，OD⊥OM，又∵菱形ABCD，∴OD⊥AC．∵OM∩AC=O，∴OD⊥平面ABC（2）由（1）知OD=3为三棱锥D﹣ABM的高．△ABM的面积为S=×sin120°==，△ABM=×=，V M﹣ABD=V D﹣MAB，又AB=AD=6，BD=3所以S△ABD•d=×3，d=．18．（15分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，离心率e=．若直线y=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点A，B，以线段AB为直径作圆M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若圆M与x轴相切，求圆M被直线x﹣y+1=0截得的线段长．【解答】解：（1）设椭圆C：+=1（a＞b＞0），由题意可得2b=4，e==，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=2，则椭圆C的标准方程为+=1．（2）点M为线段AB的中点，且位于y轴正半轴，又圆M与x轴相切，故M的坐标为（0，t），不妨设点B位于第一象限，因为MA=MB=t，所以B（t，t）代入椭圆方程，可得+=1，因为t＞0，解得t=，所以圆M的圆心为（0，），半径为，其方程为x2+（y﹣）2=3，因为圆心（0，）到直线x﹣y+1=0的距离d==1，故圆M被直线x﹣y+1=0截得的线段长为2=2=2．19．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，且经过点（2，﹣3）．若点P在椭圆上，且在x轴上方，•=0．（1）求椭圆C的方程；（2）①求△PF1F2的内切圆M的方程；②若直线l过△PF1F2的内切圆圆心M，交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M 对称，求直线l的方程．【解答】解：（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，2c=4，c=2，则a2=b2+4，将点（2，﹣3）代入椭圆方程：．解得：a2=16，b2=12，则椭圆C的方程为：．…（5分）（2）①由（1）可知：c=2，F1（﹣2，0），由•=0，∴PF1⊥F1F2，设点P（﹣2，y P）（y P＞0），代入椭圆方程得，从而y P=3，即P（﹣2，3），…（7分）则在Rt△PF1F2中，丨PF1丨=3，丨F1F2丨=4，丨PF2丨=5，设内切圆半径为r，圆心坐标为M（x M，y M），则r==1，x M=﹣2+1=﹣1，y M=1，即M（﹣1，1），故所求圆方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=1，…（10分）②设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知直线AB斜率k，存在且不等于0，故设直线l：y=k（x+1）+1，，整理得：（4k2+3）x2+8k（k+1）x+4（k+1）2﹣48=0，由A，B关于点M（﹣1，1）对称，∴=﹣•=﹣1，解得：k=，…（15分）所以，直线l的方程为：y﹣1=（x+1），即3x﹣4y+7﹣0．…（16分）20．（16分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题知=a1a7，设等差数列{a n}的公差为d，则=a1（a1+6d），a1d=2d2，∵d≠0∴a1=2d．…（1分）又∵a2=3，∴a1+d=3，∴a1=2，d=1…（2分）∴a n=n+1．…（3分）（Ⅱ）∵b n=+=+=2+﹣．…（4分）∴S n=b1+b2+…+b n=（2+﹣）+（2+﹣）+…+（2+﹣）=2n+．…（6分）（III）c n=2n（﹣λ）=2n（﹣λ），使数列{c n}是单调递减数列，﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立…（7分）则c n+1即﹣﹣λ＜0⇒λ＞…（8分）设f（n）=﹣，f（n+1）﹣f（n）=﹣﹣+=+﹣=2++1+﹣3﹣=…（9分）∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…当n=2或n=3时，f（n）max=，∴=所以λ＞．…（10分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
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河北省邢台一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知实数a＞1，命题P：函数的定义域为R，命题q：x2＜1是x＜a的充分不必要条件，则（）A．p∨q为真命题B．p∧q为假命题C．¬p∧q为真命题D．¬p∨¬q为真命题2．（5分）已知点P是边长为4的正方形内任一点，则P到四个顶点的距离均大于2的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S2，则（）A．B．C．D．4．（5分）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2550，2500 B．2550，2550 C．2500，2500 D．2500，25505．（5分）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．7．（5分）与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上8．（5分）有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③9．（5分）已知抛物线y2=4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1B．3C．6D．1210．（5分）过点P（﹣3，0）的直线l与双曲线交于点A，B，设直线l的斜率为k1（k1≠0），弦AB的中点为M，OM的斜率为k2（O为坐标原点），则k1•k2=（）A．B．C．D．1611．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．412．（5分）设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包括边界）内，则圆的半径能取到的最大值为（）A．B．4﹣C．4+D．﹣1二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为．14．（5分）在区间上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．15．（5分）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB 为直角，则a的取值范围为．16．（5分）我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线与双曲线是“相近双曲线”，则的取值范围是．三、解答题（本题6小题，共70分）17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在专题：计算题．分析：根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．解答：解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选D．点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．7．（5分）与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：设动圆P的半径为r，然后根据动圆与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．解答：解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选B．点评：本题主要考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，属于基础题．8．（5分）有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③考点：共线向量与共面向量．专题：综合题．分析：空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①命题的正误，即可得到正确选项．解答：解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．9．（5分）已知抛物线y2=4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1B．3C．6D．12考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，设直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线y2=4x，再结合弦长公式|AB|=|x1﹣x2|表示出|AB|，把弦长用引入的参数表示出来，再由中点的横坐标为2，研究出参数k，b的关系，使得弦长公式中只有一个参数，再根据其形式判断即可得出最值．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，令直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线y2=4x得k2x2+2（kb﹣2）x+b2=0，故有x1+x2=，x1x2=，故有4=，解得b=，即x1x2=，又|AB|=|x1﹣x2|=，=4=4≤4×=6．故|AB|的最大值为6，故选C．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是用弦垂公式表示出弦长，再结合题设中所给的条件将弦长表示成某个量的函数，利用求最值的方法求出最值．本题比较抽象，难点在二把弦长用参数表示出来之间，需要做大量的运算，做题时要有耐心，平时要注意提高符号运算能力．10．（5分）过点P（﹣3，0）的直线l与双曲线交于点A，B，设直线l的斜率为k1（k1≠0），弦AB的中点为M，OM的斜率为k2（O为坐标原点），则k1•k2=（）A．B．C．D．16考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则①，②，①﹣②⇒k1•=，又k2==，k1•k2可解决．解答：解：∵点P（﹣3，0）的直线l与双曲线交于点A，B，直线l的斜率为k1（k1≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则k1=，，①﹣②得：，即③；设AB的中点M（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，又k1=，代入③得：，又k2==，∴k1•k2=．故选A．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，关键在于点差法的灵活运用，着重考查学生综合分析与转化的能力，属于中档题．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），由中点坐标公式求出M、N坐标关于x1、y1的表达式．根据直径所对的圆周角为直角，得=（4﹣）﹣=0．再由点A在双曲线上且直线AB的斜率为，得到关于x1、y1、a、b的方程组，联解消去x1、y1得到关于a、b的等式，结合b2+a2=c2=4解出a=1，可得离心率e的值．解答：解：根据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M（（x1+2），y1），N（（﹣x1+2），﹣y1）．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM=90°，可得=（4﹣）﹣=0．…①又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．由①②联解消去x1、y1，得﹣=，…③又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴代入③，化简整理得a4﹣8a2+7=0，解之得a2=1或7，由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．故a2=1，得a=1，离心率e==2．故选：C点评：本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式，是解决本题的关键．12．（5分）设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包括边界）内，则圆的半径能取到的最大值为（）A．B．4﹣C．4+D．﹣1考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：当圆C半径取最大值时，由对称性知，圆心C应在x轴上区间（0，3）内，且圆C 与直线x=3相切，设出圆的方程，与抛物线方程联立，进而利用圆C与抛物线相切，判别式为0，可求得结论．解答：解：当圆C半径取最大值时，由对称性知，圆心C应在x轴上区间（0，3）内，且圆C与直线x=3相切，设此时圆心为（a，0）（0＜a＜3），则圆C方程为（x﹣a）2+y2=（3﹣a）2，把y2=2x代入其中得，（x﹣a）2+2x=（3﹣a）2，即x2+2（1﹣a）x+6a﹣9=0，∵圆C与抛物线相切，判别式△=2﹣4（6a﹣9）=0，∴（1﹣a）2﹣6a+9=0，∴a2﹣8a+10=0，∵0＜a＜3∴a=4﹣，∴圆C半径能取到的最大值为3﹣a=3﹣（4﹣）=﹣1．故选D．点评：本题以直线与抛物线为载体，考查圆与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出a2，b2，利用双曲线的三个系数的关系列出m，n的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于m，n的另一个等式，解方程组求出m，n的值，代入方程求出双曲线的方程．解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上且c=2，所以双曲线的方程为，即a2=n＞0，b2=﹣m＞0，所以，又，解得n=1，所以b2=c2﹣a2=4﹣1=3，即﹣m=3，m=﹣3，所以双曲线的方程为．故答案为：．点评：解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有定注意三参数的关系：c2=a2+b2而椭圆中三参数的关系为a2=c2+b214．（5分）在区间上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．考点：几何概型；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间的长度求比值即得．解答：解：利用几何概型，其测度为线段的长度．由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得①，或②，③．解①可得x∈∅，解②可得1≤x＜2，解③可得x≥2．故原不等式的解集为{x|x≥1}，∴|在区间上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P==．故答案为：点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．15．（5分）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB 为直角，则a的取值范围为∴a 的取值范围为16．（5分）我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线与双曲线是“相近双曲线”，则的取值范围是∪．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的几何性质求得双曲线的离心率，再由“相近双曲线”，得到关于的不等式，解不等式求出离心率的范围．解答：解：双曲线的离心率为e1=2，①当m＞0，n＞0时，双曲线的离心率为e2==，由题意得|﹣2|，解得；②当m＜0，n＜0时，双曲线即：的离心率为e2==，由题意得|﹣2|，解得；故答案为：∪．点评：本题考查双曲线线标准方程以及双曲线的简单性质的应用，得到关于的不等式是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本题6小题，共70分）17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．。