定积分的几何应用例题与习题(学生用)电子教案

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数学1.7.1《定积分在几何中的应用》教案2(新人教A版选修2-2)

1.7 定积分的简单应用（共两课时）一、感悟要点1．知识与技能能利用定积分求曲边梯形的面积，以及解决物理中的变速直线运动的路程，变力做功问题。

2．过程与方法通过利用定积分求曲边梯形的面积，体会定积分的基本思想，学会其方法，通过定积分在物理中应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值。

3．情感态度与价值观通过本节学习，进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识，坚定学好数学的信心。

二、学习重难点1.重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。

2.难点：将实际问题化归为定积分的问题。

三、温习旧知1．定积分的几何意义和微积分基本定理分别是什么？2．曲边梯形的面积表达式是什么？3．匀变速直线运动中，s与v,t间的关系是什么？4．如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，那么如何计算变力F（x）所做的功W 呢？四、例题精析例1 计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.解析：【教学札记】合作探究：由例1总结求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤是什么？(1) 画出图形；(2) 确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上下限；(3) 确定被积函数，特别是要分清被积函数的上下位置；(4) 写出平面图形的面积的定积分表达式；(5) 运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积。

例2 计算由曲线y =4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.解析：【教学札记】探究：这道题还有其它解法吗？解法二：将所求平面图形的面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差：解法三：将所求平面图形的面积看成位于y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此可以取y 为积分变量，还需把函数y=x-4变形为x=y-4,,函数y =22y x =.变式训练:计算有曲线22y x =和直线y=x-4所围成的图形面积.作业：58P 练习，60P A 组第1题.例3 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示，求汽车在这1min 行驶的路程。

定积分在几何学上的应用(比赛课教案)

定积分在几何学上的应用(比赛课教案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN教学题目：选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用教学目标：一、知识与技能：1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法二、过程与方法：1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

三、情感态度与价值观：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

课型、课时：新课，一课时教学工具：常用教具，多媒体，PPT课件教学方法：积分⎰ba f (x )dx 在几何上表示引导法，探究法，启示法教学过程x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x 轴所围成平面图形的面积SOxab y =f (x )xOaby =f (x )⎰ba f (x )dx =⎰ca f (x )dx +⎰bc f (x )dx 。

=-S xyoabc)(x f y =xyo)(x f y =ab 当f (x )≥0时，积分dx x f ba )(⎰在几何上表示由y =f (x )、由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解练习. 求抛物线y=x 2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。

定积分的简单应用参考教案

定积分的简单应用教学目标：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法，以及利用定积分求一些简单的旋转体的体积；4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

教学重点：几种曲边梯形面积的求法。

教学难点：定积分求体积以及在物理中应用。

教学过程：一、问题情境1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？二、数学应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1、求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。

答案： 2332320=-=⎰ππo x xdx S |cos sin ＝变式引申：1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。

答案：33233323132231=-+=--⎰|))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3和N （3，0 略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 62+-=x y ，则所求图形的面积为49346234342233232＝＝dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+-+---⎰⎰3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。

略解：所求图形的面积为dy dy y f y g S y ⎰⎰⨯-=-11224)()()(【＝e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（4、在曲线)0(2≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为121.试求：切点A 的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点坐标为),200x x （为2002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为),(020x，则由题可知有121220200220200-+=⎰⎰x x dx x S x x x ( 10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y总结：1、定积分的几何意义是：a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－x x ba S S dx x f =⎰)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０　π2,sin ∈=x x y 的图像与x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。

高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修.doc

§3 定积分的简单应用[对应学生用书P42]如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝f (x )围成的曲边梯形面积S 1＝∫b af (x )d x ，再求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝g (x )围成的曲边梯形面积S 2＝∫b a g (x )d x ，则所求阴影部分面积为S 1－S 2.平面图形的面积一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则S ＝∫b a f (x )d x －∫ba g (x )d x ，f (x )≥g (x )．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．[对应学生用书P42][例1] 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．[精解详析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛-32(－x ＋2)d x －⎠⎛-32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |2－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x |2－3 ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. [一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分⎠⎜⎛3π- 3πcos x d x ＝sin x|33ππ-＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 答案：D2．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D.4解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02x －x 3dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4.答案：D3．计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图形面积为S ＝∫10xdx －∫10x 3dx ＝23x32|1－14x 4|10＝23－14＝512.[例2] 求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．[思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析]作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x dx ＋∫31(3－x)d x ＝(3x －ln x ) |113＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2 |31＝4－ln 3.[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是()A ．1 B.π4C .322D.22－2解析：S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎛4π 2π (sin x －cos x )dx ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π40－(cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝(2－1)－(1－2)＝22－2.答案：D5．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，得B (2,4)，如图所示所求面积为S ＝⎠⎛012x d x －⎠⎛01x d x ＋⎠⎛122x d x －⎠⎛12x 2d x＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x＝12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|21＝76.[例3] 求抛物线y ＝2x 2与直线x ＝a(a>0)及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析] 由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V ＝∫a 0π(2x 2)2d x ＝4π∫a 0x 4d x＝4π·15x5 |a 0＝45πa 5. [一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f (x )．③确定积分上、下限a ，b .④计算体积V ＝∫b a πf 2(x )d x .6．y ＝sin x(0≤x≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( )A ．π2B ．4π2C.13π2D.π22 解析：V ＝π∫π0sin 2x d x ＝π∫π1－cos 2x2d x＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin 2x 2| π0＝π22. 答案：D7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：∫a0π×a 2d x ＝πa 2x |a0＝πa 3.答案：πa 31．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a <b )以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为V ＝π⎠⎛a bf 2(x )d x .[对应课时跟踪训练十六1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是( ) A ．4π B.5π2C ．3πD ．2π解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.答案：D2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 (J)．答案：A3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( ) A ．2 B.83 C.43D.23解析：S ＝－∫0－1(x 2＋2x )d x ＋∫10(x 2＋2x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 20－1＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 210＝23＋43＝2. 答案：A4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14 B.15C.16D.17解析：阴影部分的面积为∫10(x －x )d x ＝3222132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎪⎪⎪1＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案：C5.如图是一个质点做直线运动的v t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________．解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为∫4034x d x ＋∫64⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋9d x ＝38x 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x 2＋9x ⎪⎪⎪64＝6＋3＝9(m)．答案：9 m6.(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e27．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积．解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －∫31(－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 8．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解：作出y ＝x 2－2x 的图像，如图所示．①当a <0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，若0<a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝a 2－13a 3＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2. 若a >2，不合题意，综上a ＝－1或2.。

高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案含解析

1.7 定积分的简单应用积为S 1.由直线x ＝a ，x ＝b ，曲线y ＝g(x )和x 轴围成的曲边梯形的面积为S 2.问题1：如何求S 1? 提示：S 1＝⎠⎛ab f(x)d x.问题2：如何求S 2? 提示：S 2＝⎠⎛ab g(x)d x.问题3：如何求阴影部分的面积S? 提示：S ＝S 1－S 2.平面图形的面积由两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )和直线x ＝a ，x ＝b (b >a )所围图形的面积．(1)如图①所示，f (x )>g (x )>0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab d x .(2)如图②所示，f (x )>0，g (x )<0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛abg x x ＝⎠⎛ab d x .相交曲线所围图形的面积求法如下图，在区间上，若曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )相交，则所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛a cd x ＋⎠⎛c b[g x －f x x＝⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .问题：在《1.5.2 汽车行驶的路程》中，我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题，利用积分还可以解决物理中的哪些问题？提示：变力做功．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间上的定积分，即s ＝⎠⎛abd t.2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W ＝⎠⎛ab F(x )d x.求变速直线运动的路程的注意点对于给出速度－时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意的是分段解析式要分段求路程，然后求和．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．因此所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 23＝92.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求曲线y ＝e x，y ＝e －x及x ＝1所围成的图形面积．解：作图，并由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e －x，解得交点(0,1)．所求面积为⎠⎛01(e x－e －x)d x＝(e x ＋e －x)1＝e ＋1e－2.求抛物线先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x 32－12x 2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为，如图得所求的面积为S ＝⎠⎛－42⎝⎛⎭⎪⎫4－y －y 22d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4y －12y 2－16y 324－＝18.需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．试求由抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝－x ＋7以及x 轴、y 轴所围成图形的面积．解：画出图形(如下图)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y ＝－x ＋7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝10(舍去)，即抛物线与直线相交于点(2,5)．于是所求面积为S ＝⎠⎛02(x 2＋1)d x ＋⎠⎛27(7－x)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7x －12x 272＝143＋252＝1036.A ，BC 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t ) m/s ，经t s 后，在B 点恰好停车．试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离． (1)设A 到C 的时间为t 1，则1.2t 1＝24，t 1＝20 s ，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t220＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2，则24－1.2t 2＝0，t 2＝20 s ，则DB ＝⎠⎛020 (24－1.2t )d t＝(24t －0.6t 2)20＝240(m)．求变速直线运动的路程、位移应关注三点(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．一点在直线上从时刻t ＝0(单位：s )开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(单位：m /s )运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程．解：(1)在t ＝4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43(m )，即在t ＝4 s 时该点距出发点43 m .(2)∵v(t)＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间及上v(t)≥0，在区间上，v(t)≤0. ∴在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 10－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 31＋13t 3－2t 2＋3t 43＝4(m )，即在t ＝4 s 时运动的路程为4 m .一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0 m 处运动到x ＝4 m 处力F (x )做的功．由力位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤2，3x ＋4，2＜x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝46(J)．解决变力做功应关注两点(1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，解得即0.05k ＝100，∴k ＝2 000， ∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛00.152 000x d x ＝1 000x2.015＝22.5(J)．4.利用定积分求面积的策略由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积为( ) A ．16－3223B ．16＋3223C.403D.403＋3223由题意，作图形如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＞，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)．法一：(选y 为积分变量)S ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫6－y －18y 2d y＝⎝⎛⎭⎪⎫6y －12y 2－124y 34＝24－8－124×64＝403.法二：(选x 为积分变量)S ＝⎠⎛02(8x )d x ＋⎠⎛26(6－x )d x＝8×23x 322＋⎝⎛⎭⎪⎫6x －12x 262＝163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22＝403. C1．本题易搞错被积函数及积分上、下限，误认为S ＝⎠⎛04－x －8x)d x ，从而得出S＝16－3223的错误答案．2．求平面图形面积时，应首先求出交点坐标，确定积分上、下限，然后确定被积函数，判定积分的正负，用公式求解面积．如本例法一中的被积函数为f(y)＝6－y －18y 2，y∈(0,4]，法二中的被积函数为f(x)＝⎩⎨⎧8x ，，2]，6－x ，，6].3．利用定积分求面积时，应根据具体问题选择不同的方法求解，常见类型有以下几种： (1)换元积分：当两区域所围成图形纵坐标一致时，换元变成对y 积分可简化运算．如本例中的法一． (2)分割求和：当两曲线处于不同区间时，可分割成几块，分别求出面积再相加，如本节例2的求解法．事实上，本例中的法二就是分割求和．(3)上正下负：若a≤x≤c 时，f(x)＜0，则⎠⎛a c f(x)d x ＜0；若c≤x≤b 时，f(x)≥0，则⎠⎛cb f(x)d x≥0.此时曲线y ＝f(x)和直线x ＝a ，x ＝b(a ＜b)及y ＝0所围图形的面积是 S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cd x ＋⎠⎛c bf(x)d x ＝－⎠⎛acf(x)d x ＋⎠⎛cbd x.例：求正弦曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2和直线x ＝0，x ＝3π2及y ＝0所围图形的面积S .解：作出曲线y ＝sin x 和直线x ＝0，x ＝3π2，y ＝0的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由图可知，当x ∈时，曲线y ＝sin x 位于x 轴的上方；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2时，曲线位于x 轴下方．因此，所求面积应为两部分的和，即S ＝π⎰32|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x －ππ⎰32sin x d x＝－cos xπ＋cos xππ32＝3.(4)上下之差：若在区间上f (x )＞g (x )，则曲线f (x )与g (x )所围成的图形的面积S ＝⎠⎛ab d x .例：求由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围图形的面积S .解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛1x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 321－14x 41＝512.1．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02x －x 3x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 42＝4.2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m解析：选B s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．3．(天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪1＝16.答案：164．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32a＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：495．一物体在变力F (x )＝36x2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8处运动到x ＝18处，求力F (x )在这一过程中所做的功．解：由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x－1188＝(－36×18－1)－(－36×8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.一、选择题1．用S 表示下图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A .⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛acf x xC.⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛b c f(x)d xD .⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x解析：选D 由图可知，x 轴上方阴影部分的面积为⎠⎛bcf x x，x 轴下方阴影部分的面积为－⎠⎛ab f (x )d x ，故D 正确．2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围图形的面积等于( ) A.⎠⎛－11(x －x 3)d xB.⎠⎛－11(x 3－x )d x C ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛－10(x －x 3)d x解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 3，求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .3．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝3.4．一质点运动的速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则它在时间内的位移为( )A.176B.143 C.136 D.116解析：选A 质点在时间内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176.5．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A.23 B ．1 C.43 D.53解析：选B S ＝⎠⎛0－1(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 20－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 310＝1.二、填空题6．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为________．解析：由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为∫5π6π6sin x －12d x ＝－cos x －12x 5π6π6＝3－π3. 答案：3－π37．物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ；v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上，物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为________m.解析：设t ＝a 时两物体相遇，依题意有⎠⎛0a (3t 2＋1)d t －⎠⎛0a 10t d t ＝(t 3＋t )a 0－5t 2a0＝5，即a 3＋a －5a 2＝5，(a －5)(a 2＋1)＝0，解得a ＝5，所以⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝53＋5＝130.答案：1308．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)，则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4⎠⎛06(6t －t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎪⎫3t 2－13t 360＝144(cm 3)．故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 答案：144 cm 3三、解答题9．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围图形的面积S .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 得B (2,4)．如图所示，所求面积(即图中阴影部分的面积)为S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12x－x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12x－x 2)d x ＝12x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 321＝76.10．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)求点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动；当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 340－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 364＝1283.当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 360＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，而t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， ∴t ＝6是所求的值．。

1.7定积分的简单应用第1课时精品教案

1.7 定积分的简单应用【课题】：定积分在几何中的应用【教课目的】：（1）知识与技术：解决一些在几何顶用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，经过数形联合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）感情态度与价值观：领会事物间的互相转变、对峙一致的辩证关系，培育学生辩证唯心主义看法，提高理性思想能力．【教课要点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。

（2）数形联合的思想方法【教课难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适合的切割，从而把求平面图形面积的问题转变为求曲边梯形面积的问题．【课前准备】： Powerpoint或投电影【教课过程设计】：教课环节教课活动设计企图一、（1）师：我们已经看到，定积分能够用来计算曲引入课题例题 1 边梯形的面积，事实上，利用定积分还能够求比较复杂的平面图形的面积。

（2）例题 1 计算由曲线 y2 x, y x2所围图形的面积 S。

yy=x21C B y 2=xD AO1x生：思虑，议论师（指引，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，绘图并确立图形大概形状、范围，借助几何直观，将所求平面图形面积看成位于x 轴上方的两个曲边梯形面积之差；y y1 y=x 21 B y 2=x BA AO 1 x O 1 x师：第二步，确立积分上、下限，即经过解方程组求出交点的横坐标，从而确立被积函数和积分上、下限 ( 本例中需将曲线 y2 x 的解析式进行变形，得到 y x ，由于所围图形在 x 轴上方，因此取 y x ) ；yy= x1 BAO1x2解方程组y x 得交点的横坐标为 x 0 及 x 1 。

yx 2师：第三步，写出平面图形面积的定积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积所以，所求图形的面积为S S 曲边梯形 OABCS 曲边梯形OABD1 xdx1x 2 dx0 023 1 1 3 1 3 x2x32 13 3 13板书解题详尽步骤，规范学生的解题格式。

高中数学(定积分在几何中的应用)学案1 新人教A版选修2-2 学案

定积分在几何中的应用【学习目标】会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积；理解定积分的几何意义.【复习回顾】定积分的概念；微积分基本定理.【例证题】例1 计算由曲线22,x y x y ==所围成图形的面积.S思考：求面积的基本步骤？例2 计算由直线,4-=x y 曲线x y 2=以及x 轴所围成图形的面积.S思考：本题其它解法如何？并比较这些方法.变式训练：计算由直线,4-=x y 曲线x y 22=以及x 轴所围成图形的面积.S例3 由定积分的性质和几何意义，说明下列式子的值： dx x x ⎰---102))1(1(练习：⎰--a a dx x a 22=【作业】某某：学号：1、由x xy ,1=轴及2,1==x x 围成的图形的面积为（） 2ln .A 2lg .B 21.C 1.D 2、π20,sin ≤≤=x x y 与x 轴围成的图形的面积为（）0.A 2.B π2.C 4.D3、由曲线[])(.,,,),0)()((b a b x a x b a x x f x f y <==∈≤=和x 轴围成的曲边梯形的面积S =（）⎰b a dx x f A )(.⎰-ba dx x f B )(. []⎰-b a dx a x f C )(.[]⎰-ba dxb x f D )(. 4、由曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积为（） 316.A 38.B 34.C 32.D 5、如图阴影部分的面积S = ⎰c a dx x f A )(.⎰c a dx x f B )(.dx x f dx x f C c b b a ⎰⎰+)()(.⎰⎰-b ac b dx x f dx x f D )()(. 6、如图阴影部分的面积S =7、dx x ⎰-2024=8、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.0,,===x e y e y x （2）.0,23,2,cos ====y x x x y ππ9、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.1,2ln ,1-=-=-=e y x e y x （2）3,==y x y 和1=xy .（3）.2,0,cos ,sin π====x x x y x y （课本1674P 题）10、过原点的直线l 与抛物线：)0(22>-=a ax x y 所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程.P题11、课本875。

1.7.1定积分在几何中的应用(教学设计)

1.7.1定积分在几何中的应用（教学设计）教学目标：知识与技能目标：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。

过程与方法目标：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

情感、态度与价值观目标：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。

教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

教学过程：一、复习回顾：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. 二、师生互动，新课讲解：问题1：（１）．计算dx x ⎰--2224 （２）．计算 sin x dx ππ-⎰解：（1）22222214⨯=-⎰-πdx x （2）0sin =⎰-ππdx x问题2：用定积分表示阴影部分面积解：图1 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为图2 选择Y 为积分变量，曲边梯形面积为问题3：探究由曲线所围平面图形的面积解答思路例１（课本P56例1）．计算由曲线2x y =与x y =2所围图形的面积．分析：找到图形----画图得到曲边形.1、曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.2、定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.3、计算定积分.解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22x y xy 得到交点横坐标为 0=x 及1=xdxx f dx x f s b aba⎰⎰-=)()(21dy y g ba⎰)(1=s dyy g ba ⎰)(2－ yAB CD 2x y =x y =21∴ss =曲边梯形OABCs-曲边梯形OABDdx x ⎰=10dx x ⎰-121031233132x x -=313132=-= 变式训练1：计算由4-=x y 与x y 22=所围图形的面积.分析：讨论探究解法的过程1．找到图形----画图得到曲边形.2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 问题：表示不出定积分.探讨：X 为积分变量表示不到，那换成Y 为积分变量呢？ 4．计算定积分.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4) 选ｙ为积分变量∴18216)82(21422=-⨯+=⎰-dy y S解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x 的函数）y =x4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 例2（课本P57例2）：计算由曲线x y 2=与4-=x y 及x 轴所围平面图形的面积．分析：A: 442128021⨯⨯-=-=⎰dx x s s sB: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-+=+=⎰⎰442122844021dx x dx x s s sC: dx y s s s ⎰+⨯+=-=4022124)84(21此题为一题多解，解体的大方向分为选X 做积分变量和选Y 做积分变量.问：遇到一题多解时，你会想到什么？答：找最简单的解法.问：以次题为例，如何寻找最简解法？答：我们熟悉X 做积分变量的类型；做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形. 变式训练2：计算由曲线x y sin =与x y cos =及0=x 、2π=x所围平面图形的面积．【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家21S S S +=dxxdxxS⎰⎰-=441sincosππdxxdxxS⎰⎰-=24242cossinππππ例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．变式训练3：（1）、求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。

定积分在几何上的应用教案（2）

定积分在几何上的应用教案（2）定积分在几何上的应用教案(2)目的要求1．了解旋转体的概念，理解旋转体体积公式的推导过程，继续了解“分割——近似代替——求和——取极限”的思想方法．2．掌握用旋转体的体积公式求旋转体的体积，学会用定积分解决一些在几何中用初等数学方法无法解决的体积问题．3．对几何图形的基本度量——体积的概念有较完整的认识，知道在求旋转体的体积时，定积分是一种普遍适用的方法，进一步体会学习定积分的必要性．4．培养学生应用数学的意识和能力，进一步培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及应用定积分的基本思想解决问题的能力．内容分析1．本节课是在学习了定积分的概念与计算的基础上，介绍定积分在几何中的又一种应用，它是微积分解决初等数学的一个生动实例，这充分体现了新教科书对培养学生应用数学的意识的重视．大家知道，微积分是十七世纪数学发展史上的里程碑，是人类思想史上的重大飞跃，微积分可以解决初等数学难以解决或无法解决的许多问题．通过这部分内容的学习，可使旋转体的体积在理论上解决得更彻底，并使学生对体积的概念有较完整的认识．2．“旋转体的体积”这部分内容包括旋转体的定义、旋转体的体积公式的推导、旋转体体积的计算．教学中以旋转体体积的计算为重点；由于旋转体体积公式的推导比较抽象，空间想象能力要求较高，故为本节课的教学难点；突破难点的关键是数形结合，充分采用现代化的多媒体教学手段显示旋转体的形成过程，在计算机中虚拟几何体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，使抽象问题形象化、直观化．3．考虑到本课内容比较抽象，故宜采用启发引导、讲练结合的教学方法，同时采用计算机辅助教学．在具体教学中要注意到以下几点：关于旋转体的定义，要与以前学习过的柱、锥、球等旋转体的定义结合起来教学，使学生明确旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体的平面图形都是直线或圆弧，而在这里是一般的曲线．关于旋转体体积公式的推导，其实在第二册(下)关于体积公式的推导过程中已经渗透了定积分的思想方法．教学中，可通过对球的体积公式的推导及曲边梯形面积公式的推导作一简单的回顾，采用类比的方法，遵循“有限→无限→有限、连续→离散→连续、精确→近似→精确”的原则，化曲为直，化整为零，变未知为已知．关于旋转体体积公式的计算，课本例3显然可直接应用圆锥的体积公式求出圆锥的体积．之所以安排这道例题，是为了让学生明白用定积分求旋转体的体积是一种普遍适用的方法，教学中切勿一带而过．在讲完例3后，要注意总结求旋转体体积的解题步骤．本课的练习要紧紧围绕旋转体的体积公式展开，让学生通过一定的练习，加深对定积分概念的了解，并达到熟练掌握公式的教学效果．4．本节课是定积分应用的一个高潮，有必要在知识和能力方面有所突破，即安排一些综合性较强的例题或课外练习题，让学有余力的学生继续探讨，以提高他们分析问题与解决实际问题的能力．教学过程(一)铺垫引入，创设情景1．铺垫引入①数轴可表示什么样的图形？②什么样的图形叫做圆？③什么样的图形叫做球？(多媒体演示球的形成过程)2．创设情景(1)问题一下列几何体是如何形成的？(多媒体演示形成过程)①圆柱②圆锥③花瓶归纳：①什么叫旋转体？(平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所成的几何体)②旋转体形成的两个要素是什么？(一是被旋转的平面图形，二是旋转轴)③举一些日常生活中的旋转体的例子，并说明被旋转的平面图形及旋转轴分别是什么．(多媒体演示一些旋转体)(2)问题二如何求旋转体的体积？学生展开讨论并提出解决的几种方案，估计会出现下列情况：①对于特殊的旋转体(如球、圆柱、圆锥)，可直接运用公式求解；②对于一般的旋转体，可用物理中测量不规则物体的体积的方法求解；③像求曲边梯形的面积一样，推导出一个计算一般的旋转体的体积公式．(二)类比启迪，推导公式1．复旧：先回忆曲边梯形面积公式的推导思路，再回顾球的体积公式的推导过程(多媒体演示)．2．类比：将球的体积公式的推导过程与曲边梯形面积公式的推导过程进行对比：有限→无限→有限，精确→近似→精确．3．探求：在计算机中虚拟旋转体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，然后由师生共同归纳旋转体体积的推导过程．(如图55－1)①分割：将闭区间[a ，b]用n －1个分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜②近似代替：过各分点x i 作垂直于x 轴的平面，将旋转体割成厚度个小圆柱体，它的底面半径可以用区间上任一点ξi 的纵坐标f(ξi )来近就可用与这个区间对应的小圆柱的体积来近似代替③作和：当n 很大时，每个薄片可以近似地看作圆柱，圆柱的底面半径近似地等于区间左端点的函数值．这样旋转体的体积近似地等于n 个圆柱的体积之和．④求极限：4．深化：[C]A ．由y ＝x 2、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的曲边梯形的面积B ．由y ＝x 、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的曲边梯形的面积C ．由y ＝x 、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积D ．由y ＝x 2、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积②思考2：猜想下列图中阴影部分的图形绕对称轴旋转所得的旋转体的体积公式(三)范例讲解，运用公式三角形绕x轴旋转而成的旋转体的体积．解：依题意知直线与两坐标轴围成的图形为△OSA，其中S(h，0)，A(0，r)．△OSA绕x轴旋转而成的旋转体为圆锥．由旋转体的体积公式得：归纳：求旋转体体积的解题步骤：①根据题意画出草图；②找出曲线范围，确定积分上、下限和被积函数；③写出求体积的定积分表达式；④计算定积分，求出体积．变式：利用旋转体的体积公式，求出底半径为r、高为h的圆锥的体积公式．学生讨论后，归纳出两种解法：解法一：(以高所在直线为x轴，以底面半径所在直线为y轴，建立直角坐标系求解．)解法二：(以高所在直线为y轴，以底面半径所在直线为x轴，建立直角坐标系求解．)绕x轴旋转一周所成旋转体体积的2倍，y轴旋转一周所成旋转体体积的2倍．转而成的旋转体的体积．(四)练习反馈，巩固公式[C]A．单位圆面积的一半B．以1为半径的球的表面积的一半C．以1为半径的球的体积的一半D．以1为半径的球的体积练习2：由曲线y＝sinx，x∈[0，π]与x轴所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积是________练习3：椭圆x2＋3y2＝12绕y轴旋转所得的旋转体的体积是[D]B．9πD．32π练习4：抛物线y2＝4x被其通径所截得部分绕x轴旋转得旋转体的体积是[A]A．2πB．3πC．6πD．8π转体的体积是________(五)归纳小结，内化公式布置作业1．必做题：教科书习题4．4第2、4题．2．选做题：(1)复习参考题四(B组)第5题．(2)(2001年全国新课程高考数学试题)某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A是双曲1线的顶点，C、C1是冷却塔上口直径的两个端点，B、B1是冷却塔下口直径的两个端点，已知AA1＝14m，CC1＝18m，BB1＝22m．(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程；(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3，塔壁厚度不计，π取3.14)．说明：本题是一道综合性较强的试题，主要考查了选择适当坐标系建立曲线方程和解方程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力．。

定积分在几何中的简单应用教学设计04290

《定积分在几何中的简单应用》教学设计六教学过程师生活动设计意图（一）课前准备：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.（二）情景引入：展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？答：……【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系，（三）新课讲授：【热身训练】练习１．计算dxx⎰--2224２．计算⎰-22sinππdxx【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.22222214⨯=-⎰-πdxx0sin=⎰-ππdxx培养学生复习的学习习惯。

激发学生们的求知欲和探索欲，设下悬念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。

复习定积分的几何意义yxππ教学过程【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。

【例题实践】例１．计算由曲线2xy=与xy=2所围图形的面积．【师生活动】探究解法的过程.1.找到图形----画图得到曲边形.2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.4.计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xyxy得到交点横坐标为=x及1=x∴ss=曲边梯形OABC s-曲边梯形OABDdxx⎰=10dxx⎰-102131233132xx-=313132=-=通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法巩固了学生的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。

完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。

Aa b曲边梯形（三条直边，一条曲边）a b XAy曲边形面积 A=A1-A2a b1xyOABCD2xy=xy=211-1-1教学过程【例题实践】例２．计算由4-=xy与xy22=所围图形的面积.【师生活动】讨论探究解法的过程1．找到图形----画图得到曲边形.2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.问题：表示不出定积分.探讨：X为积分变量表示不到，那换成Y为积分变量呢？4．计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xyxy得到交点坐标为(2,-2)及(8,4)选ｙ为积分变量∴18216)82(21422=-⨯+=⎰-dyyS【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳【教师简单点评】帮助学生修改、提炼，强调注意注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数 .【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1．画草图，求出曲线的交点坐标．2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）4．确定被积函数和积分区间．5．计算定积分，求出面积.使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通过该题突破教学难点。

17定积分的应用学案(人教A).docx

1.7定积分的简单应用【学习目标】1.进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法;2.让学生了解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

【学习重难点】重点：曲边梯形面积的求法难点：定积分求面积以及在物理中应用【学习过程】一、学前准备1. (1 ) f xdx =(2 )[x^dx =(3) j4xdx =(4 ) P"cOSX6?X =(5 )1 £ sin xdx =(6 )£ e x dx =2 .直线x=0, x=l, y=0与曲线y=x，所围成的曲边梯形的面积S怎样用定积分表示, 它的大小是多少？3.利用定积分求平面图形面积时，可分成几个步骤？二、合作探究：探究：如何用定积分表示曲边图形的面积?结论:1.当/'(X)在[a,b]±.有正有负时，则S= £|/(x)^x.2.平面图形是由两条曲线y r = f (x), y2F g(x) xe[a可及直线x = a,x = b所围成，且/■(x)>g(x).求其面积都可以用公式S =幺⑴协三、典型例题(日)利用定积分求平面图形的面积例1.计算由两条抛物线r = x和y = /所围成的图形的面积.【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

例2.计算由直线y = x-4,曲线y = J云以及x轴所围图形的面积S.小结：由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观性，确定出被积函数，并通过解方程求得积分的上、下限. (二；)、定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v=v(t)(v(t) 20)在时间区间[a,b]上的定积分，即s=^v(t)dt例3.一辆汽车的速度一时间曲线如图所示.求汽车在这1 min行驶的路程.2.变力作功探究：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x)相同的方向从x =a移动到x=b (a<b),那么如何计算变力F(x)所作的功W呢？例4.如图，在弹性限度内，将。