第03章 第4节 保守力与非保守力 势能
CH04-3.4.5.6保守力与非保守力势能
保守力势能的计算
计算方法
根据保守力势能的定义，通过积分计算势能值。
常见保守力势能
重力势能、弹性势能、电势能等。
保守力势能的应用
物理现象
保守力势能是自然界中广泛存在 的现象，如重力势能、弹性势能
等。
工程应用
在机械、建筑、航空航天等领域， 保守力势能的应用十分广泛，如桥 梁、高层建筑、航天器轨道设计等。
交通工具
保守力势能在交通工具方面有应用，如汽车、 火车等利用燃料燃烧产生的能量转化为动能 和势能；非保守力势能在交通工具方面也有 应用，如飞机利用空气阻力和升力进行飞行。
05 总结与展望
总结
保守力与非保守力势能是物理学中非常重要的概 念，它们在描述和解释自然现象中起着至关重要 的作用。
非保守力势能则主要涉及摩擦力、粘滞力和热传 导等，这些力对应的势能形式与保守力势能有所 不同，如与路径有关、不具有势能零点等。
科学研究
保守力势能在物理学、天文学、地 球科学等领域的研究中具有重要意 义，如万有引力定律、弹性力学等 理论的建立和发展。
02 非保守力势能
非保守力势能的定义与特性
定义
非保守力势能是由于非保守力引起的 势能。非保守力是指力的大小和方向 与物体运动路径有关，而不是只与物 体位置有关的力。
特性
非保守力势能的大小和方向会随着物 体运动路径的变化而变化，因此它不 是由物体的位置决定的，而是由物体 的运动状态决定的。
意义
非保守力势能的研究对于理解物体的运动规律、能量转化和传递以及工程应用等 方面都具有重要意义。
03 保守力与非保守力的比较
特性比较
保守力
在运动过程中，保守力做的功与路径无关，只与初末位置有关，即保守力沿任意路径所做的功等于零 。
4.4保守力与非保守力势能
v v d A = F ⋅ d x = − kx d x
xQ
总功
2 A = ∫ dA = ∫ − kxdx = k x − kxQ xP
1
2
2 P
1
2
弹性力所作的功只与物体的始末位置有关， 弹性力所作的功只与物体的始末位置有关， 只与物体的始末位置有关 与物体所经的路径无关. 与物体所经的路径无关
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结束
第四章 动能和势能 2. 保守力与非保守力 定义：如果一个力所做的功， 定义：如果一个力所做的功，只与物体的始末位置 有关，而与物体所经路径无关，这类力叫保守力。 有关，而与物体所经路径无关，这类力叫保守力。 例如：万有引力、重力、弹力、浮力、静电力等。 例如：万有引力、重力、弹力、浮力、静电力等。
v v 元功 d A = F ⋅ d x = − kx d x
2 A = ∫ dA = ∫ − kxdx = k x − kxQ 总功 xP xQ
1
2
2 P
1
2
所以
A = −( Ep Q − Ep P )
上式表明， 上式表明，弹性力所作的功等于弹簧系统弹力势能增量 的负值， 弹力势能的减少量。 的负值，即弹力势能的减少量。
b
ra
r r r r r rb r ⋅ = mg （ − j ）∫r dr = mg（− j）(rb − ra ) ⋅ ra
A = mg( ya − yb ) 重
重力所作的功只由质点的始、 重力所作的功只由质点的始、 末位置决定 决定， 末位置决定，与质点运动的路 径无关
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第四章 动能和势能 (2) 弹力的功 小球由p点移到 点 小球由 点移到Q点，弹力 点移到 做功为多少？ 做功为多少？ 元功
3-4 动能定理 3-5保守力与非保守力 势能
3-5
保守力与非保守力 势能
在受保守力的作用下，质点从
A-->B，所做的功与路径无关，而
初末位置有关。可引入一个只与位 置有关的函数，即势能函数。
A
WAB EPA EPB
定义了势能差
（1）选参考点（势能零点），设 E PB 0
WAB EPA
E pA
零势能点
rA
F保 dr
保守力与非保守力 势能
m从A到B的过程中 F 作功：
B m'm W F dr G 2 er dr A m A r dr r rA e er dr er dr cos dr r
m'm W G 2 dr rA r
得 v 2 gl(cos cos 0 )
FT v ds
l
1.53 m s
1
P
第三章 动量守恒和能量守恒
14
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力
势能
第三章 动量守恒和能量守恒
15
3-5
保守力与非保守力 势能
一 万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
m glsin d
0
d
W mgl sin d
0
l FT v ds
mgl(cos cos 0 )
第三章 动量守恒和能量守恒
P
13
3-4
动能定理
m 1.0 kg
0 30
o
l 1.0 m o θ 10
保守力与非保守力及势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
3. 三种势能函数：
(1) 重力势能：
y y
E p ( y ) F重 d r
(0)
( mg ) ˆ j dy ˆ j
y
( y) 0
o
Ep( y )
mg
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
E p ( y ) mgy
m?????epr?f引?drf引mrrorep?0??mm????g2er?drerrreprmmepr?gorrmmepr?gr即
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
·1 ·
Chapter 3.力，其势能函数为何不同？它们
有何内在关系？ 3. 若选地表为万有引力势能零点，则 引力势能表达式如何？
?
( The end ) ·7 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
归纳：
1.重力势能： E p ( y ) mgy
1 2 2. 弹性势能： E p ( x ) kx 2
Ep( y )
1 E p ( x ) kx 2 2
o
x
·5 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
(3) 万有引力势能：
M
F引 m
E p ( r ) F引 d r
(r )
( )
o
r
Ep( ) 0
Mm ˆ r dr e ˆr ( G 2 )e r r
2. 势能函数选取应遵从的原则：
4-4保守力与非保守力-势能(2024版)
o X0
解：重力势能为： （以o点为重力
势能零点,以向
Ep重力
o
mg dx
下为x正向）
P
ox
P
x
0 mgdx
mgx
弹性势能为： （以o点为弹性势能零点）
E p弹性
o F dx
P
x
Fdx
0
x
0 k( x x0 )dx
4 – 4 保守力与非保守力 势能
E p重 力 mgx
Fx Fz 0
A r2 F dr r1
x
mg y2 dy y1
mg y1 y2
A m gh
4 – 4 保守力与非保守力 势能
y2
y2
A Fzdy (mg)dy mg( y1 y2 )
y1
y1
重力作功的特点：
（1）与质点经过的路径无关； （2） 沿任意闭合路径一周重力作功必为零； （3）质点上升重力作负功。
4 – 4 保守力与非保守力 势能
例：如图半径为R的1/4凹圆柱面M放在光滑水平面上，小球m从
静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落，小球从水平方向飞离大物体 时速度 v ，求重力所做的功和内力所做的功
解：重力只对小球做功 A重力 mgR
V
m
R v
水平方向无外力，系统 保持水平方向动量守恒：
mv MV 0
Gmemh Re2
Gmemh2 Re3
mgh mg h2 Re
(
Gme Re2
g)
mgh ( Re h)
即引力势能在地面附近可用重力势能来替代。
4 – 4 保守力与非保守力 势能
例、 倔强系数为K的弹簧，上端固定，下端悬挂重物。当弹簧 伸长x0时，重物在O处达到平衡。现取重物在O处时各种势能均 为零，则当 m 偏离O点x时，系统的重力势能为多少？系统的弹 性势能为多少？系统的总势能为多少？
保守力和非保守力 势能
1. 弹性力的功
ab
l0 o
x
dW fxdx kxdx
Wab
xb xa
kxdx
1 2
kxa2
1 2
kxb2
Aab
1 2
k xa2
1 2
k xb2
初
末
与路径无关
2. 重力的功
y
W yb mg dr ya
ya
A
C
yb mg cosdy ya
dy
dr
D
yb mg(dy) ya
yb
O
B
x
mg( ya yb )
结论：重力作功仅与初末位置有关。
3. 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
F
G
m'm r2
er
m移动dr时，F作元功为
A
rA
r
m
dr
r dr
m'
rB
B
dW
F
dr
G
m'm r 2 er
势能计算 W (Ep Ep0 ) Ep
令 Ep0 0
Ep (x, y, z)
Ep0 0
F
dr
(x, y,z)
9
讨论
势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关． 势能是属于系统的． 势能差与势能零点选取无关．
dr
3
m从A到B的过程中 F作功：
W
4保守力势能功能原理
④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
dv f mg cos m dt 摩擦力的功 W阻 fdr
A
R
f N
n
d
o
B
解2：动能定理 由质点动能定理： W Ek Ek 0 Ek 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 W阻 Ek Ek 0 A A点物体动能 Ek 0 0 mg cos dr W阻 Ek 1 90 2 W阻 mv 0 mg cos Rd 2 1 2 mv mgR 2
初态机械能： 1 2 E A mvA mgh 2 h AC sin 36.9
36.9º
f
vA
h
末态机械能：
n
1 2 EC k( BC ) 2
n i 1 i 1
由功能原理： Wi外 Wi内非 E
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
i 1
Wi外 0,
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
三、功能原理 利用质点系的动能定理：
i 1
Wi外 Wi内 Ek Ek 0 Ek
i 1 n i 1
n
n
其中内力作功的代数和项 Wi内 可分为 系统内部保守力的功和内部非保守力的功，
i 1 n n n
Wi内 Wi内保 Wi内非
保守力与非保守力课件
03
常见保守力
常见的保守力包括重力、弹性力、万有引力等。
保守力做功与路径无关
做功定义
保守力做功是指力在空间上的累 积效应，等于力的大小与位移的
乘积。
路径无关性
由于保守力的做功只与始末位置 有关，而与路径无关，因此物体 在保守力作用下沿任意路径从同 一位置移动到同一位置所做的功
都是相同的。
计算方法
计算保守力做功时，可以通过始 末位置的势能差值来计算，即做 功等于末位置势能减去初位置势
电场力是非保守力的一种，它是由电 场对电荷的作用所产生的。电场力在 做功时与物体经过的路径和所处的位 置有关。
磁场力
磁场力是非保守力的一种，它是由磁 场对带电粒子或电流的作用所产生的。 磁场力在做功时与物体经过的路径和 所处的位置有关。
04 保守力与非保守力的应用
保守力在物理学的应用
机械能守恒
保守力在机械能守恒中起着关键作用， 重力、弹力等保守力在只有保守力做 功的情况下，系统的机械能保持不变。
保守力与非保守力课 件
目录
CONTENTS
• 保守力与非保守力的定义 • 保守力的特性
01 保守力与非保守力的定义
保守力的定 义
01
02
03
保守力
在物理系统中，保守力是 指做功与路径无关，只与 初末位置有关的力。
常见保守力
重力、弹性力、万有引力 等。
特点
保守力做功不会改变系统 内能，只改变系统的动。
非保守力的定 义
非保守力
与保守力相反，非保守力 做功与路径有关，且做功 会导致系统内能变化。
常见非保守力
摩擦力、空气阻力、电磁 力等。
特点
非保守力做功会改变系统 内能，同时也会改变系统 的动能。
《保守力与非保守力》PPT课件
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
11
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
3 – 5 保守力与非保守力 势能
四 势能曲线
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
Ep mgz
Ep
1 2
k x2
Ep
G
m'm r
Ep
Ep
x
O
z
O
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x
O
弹性势能曲线
x 0, Ep 0
引力势能曲线
r , Ep 0 12
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxA2
)
A
C
D
F dr F dr
ACB
ADB
B
5
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
F dr F dr
ACB
ADB
A
C
F dr F dr F dr
l
ACB
BDA
D B
l F dr 0
A C
D
物体沿闭合路径运动 一周时,
讨论
势能是状态函数
Ep Ep (x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
势能是属于系统的 .
势能计算 W (Ep Ep0 ) Ep
保守力与非保守力
第五版
3-5
保守力与非保守力 势能
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第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力 势能
一
万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m ' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
A
rA e
r
r
rB
m
dr
m'
dr r dr
第三章 动量守恒和能量守恒
r , Ep 0
10
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
*3-3
系统内质量移动问题
3-4 动能定理 3-5 保守力与非保守力 3-7 完全弹性碰撞 3-8 能量守恒定律
第三章 动量守恒和能量守恒 11
势能
3-6 功能原理 机械能守恒定律 完全非弹性碰撞
弹性势能
1 2 Ep k x 2
8
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力 势能
保守力的功 W ( Ep 2 Ep1 ) EP 讨论
——保守力作正功，势能减少．
势能是状态的函数 Ep Ep ( x, y, z) 势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关．
m'm W G 2 dr rA r
rB
m'
dr r dr
rB
B
1 1 W Gmm( ) rB rA
第三章 动量守恒和能量守恒 3
物理学
第五版
3-5
保守力与非保守力 势能
3-4保守力与非保守力(2024版)
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1 万有引力作功如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。
取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为)11(A B r r m m G W -'= （3-10）上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。
这是万有引力作功的一个重要特点。
扩充内容：计算万有引力作的功设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为r 2e F r m m G '-=r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为r e r F d d d r 2⋅'-=⋅=rm m G W从图可以看出rd cos d cos d d r r ===⋅θθr re r e 于是，上式为r r m m G W d d 2'-= 所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为⎰⎰'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d 即2 重力作功如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的高度分别为21 y y 和，计算重力作功为()12mgy mgy W --= （3-11）上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。
扩充内容： 计算重力作的功因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。
我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重力P 所作的功为rP d d ⋅=W若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O ，有ji r y x d d d += 且j P mg -=。
保守力与非保守力
保守力与非保守力非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。
非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。
严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。
通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。
摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。
⑴定义：做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。
⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。
重力、弹力等属于保守力。
耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多。
摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。
物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。
例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。
耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。
例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。
③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。
保守力做正功，则物体系的势能减少；反之，则物体系的势能增加。
而且相对两个位置之间，功量一定，能量差一定。
所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件。
系统的各物体在只受保守力作用的情况下其机械能守恒。
耗散力不象保守力，对于两个位置之间，力对物体做功没有确定的值，从而相应的两个位置之间没有一定的能量差。
3-4保守力与非保守力
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1 万有引力作功如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。
取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为)11(A B r r m m G W -'= （3-10）上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。
这是万有引力作功的一个重要特点。
扩充内容：计算万有引力作的功设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为r 2e F r m m G '-=r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为r e r F d d d r 2⋅'-=⋅=rm m G W从图可以看出rd cos d cos d d r r ===⋅θθr re r e 于是，上式为r r m m G W d d 2'-= 所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为⎰⎰'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d 即2 重力作功如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的高度分别为21 y y 和，计算重力作功为()12mgy mgy W --= （3-11）上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。
扩充内容： 计算重力作的功因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。
我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重力P 所作的功为rP d d ⋅=W若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O ，有ji r y x d d d += 且j P mg -=。
3-5保守力与非保守力 势能 共12页
保守力的功
W (E p2E p 1) E P
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
讨论
物理学教程 （第二版）
势能是状态函数
EpEp(x,y,z)
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
势能是属于系统的 .
势能计算 W (E p E p)0 E p
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
2 ） 重力作功
y
Pmg j
d r d x i d y j
yA
WBP dryBmdy g
A
yA
yB
A
D
dr
PC
B
(mB gy mA g)y o
x
Wmdgy0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
Gmr'2mer
mA
r(t)
dr
m ' r(tdt)
m移动dr时，F作元功为
O
d W F dr Gmr'2mer dr
B
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
W F drA B Gm r'2 m e rdr
mA
r(t)
dr
e rd r e rd r co d s r m ' r(tdt)
W rrABGmr'2mdr
W (G m r'B m )(G m r'A m )
O
B
r(t)
dr
r(tdt)
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
2.3 保守力、非保守力和势能
m'm
dW F dr G r3 r dr
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
O
B
（3）万有引力作功
说明：r
dr
r
dr
cos
rdr
m'm
m' m
dW F dr G
r3
r dr G
r2
dr
m 由A 点移动到B点时F作功为
W
dw
rB
rA
G
m' m r2
dr
m
A
r (t)
保守力、非保守力 和势能
一、几种常见力作功的特点
（1）弹性力作功
F kxi
dW
F
dx
kxi dxi
o
kxdx
F
x
xA xB
W
dw
xB kxdx
xA
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（2）重力作 功
P mgk
dr
dxi
dyj
dzk
W
B
P
d r
zB mgdz
A
zA
(mgz B mgz A )
z
zA A
zB
mg
B
o
y
x
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（3）万有引力作功
以
m' 为参考系，m
的位置矢量为 r
.
m'对 m 的万有引力为
F
G
m' m r3
保守力与非保守力势能
l
ACB
BDA
D B
l F dr 0
A C
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .
D B
➢ 非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能 三 势能
由相互作用的物体的相对位置所确定 的系统能量称为势能（ Ep ）
引力势能曲线
r , Ep 0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
2 ） 重力作功
y
P mg j
dr dxi dyj
W
B P dr
yB mgdy
A
yA
yA
yB
A
D
dr
PC
B
(mgyB mgy A )
o
x
W mgdy 0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
势能的引入（定义式）
Wab
rb
F
dr
[
ra
Ep
！！！
(rb ) Ep
(ra
)]
dW dEp
保守力作功在数值上等于系统势能的减少
保守力的功等于相应势能增量的负值。
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能 （1）势能属于系统
（2）势能的大小只有相对的意义
（3）势能零点可以任意选取
取 r0 点为势能零点，则任意一点 r 的势能为：
Ep (r )
ro
F
dr
r
空间某点的势能 Ep 等于质点从该点 移动到势能零点时保守力作的功。
大学物理：3_5保守力与非保守力
二 保守力 (conservative force)和非保守力
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
引力功
W
(G
m'm) (G rB
mr'Am)
重力功 W (mgzB mgz A ) A
弹力功
W
(
1 2
kxB2
1 kx
2
2 A
)
F dr F dr
ACB
ADB
C D
B
1
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
A C
D
l F dr 0
B
A C
物体沿闭合路径运动 一周时,
D
保守力对它所作的功等于零 .
B
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
)
Ep mgz
引力势能
Ep
G
m' m r
弹性势能
Ep
1 2
k x2
保守力的功
W (Ep2 Ep1) EP
3
2
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
三 势能 (potential energy) 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
W (mgzB mgzA )
引力功
W
(G
m' m ) rB
(G
mr'Am)
弹力功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxLeabharlann 2 A
保守力与非保守力_势能剖析共35页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
保守力与非保守力_势能剖析
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
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drv
v F
drv
A
ACB
ADB
C
D
Ñ v
F
drv
v F
drv
v F
drv
l
ACB
BDA
B
Ñ W
v F
drv
0
保守力作功与路径无关的数学表达式
l
质点沿任意闭合路径运动一周时，保 守力对它所作的功为零。
7
二 势能
势能：与质点位置有关的能量, Ep
重力做功
重力势能（地球表面为势能零点）
WAB (mgzB mgzA )
引力做功
WAB
(G
m'm rB
)
(G
m'm rA
)
弹力做功
WAB
( 1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
Ep mgz
引力势能（无穷远处为势能零点）
Ep
G
m' m r
弹性势能（平衡位置为势能零点）
Ep
1 2
k x2
保守力的功 W (Ep2 Ep1) EP
所以：保守力做功等于势能增量的负值
8
四 势能曲线
3.4 保守力和非保守力 势能
1
一 万有引力、重力与弹性力作功特点
(1) 万有引力作功
m'
对m
：F
G
m'm r2
er
m移动dr：
Am
rABiblioteka r drr drm' rB
B
dW
F
dr
G
m'm r2
er
dr
2
m：A→B
W
F
dr
B
A
G
m'm r2
er
dr
er dr er drcos dr
rA
W rB G m'm dr
m'
rA
r2
W Gmm( 1 1 )
dr
A
r
mdr
r dr
rB
B
rB rA
万有引力作功与路径无关，仅决定 m的起始和终了位置。
3
（2）重力作功
vv
v
dFrvPdxvimgkdyvj
v dzk
z
zA
A dr
y
dW
v P
drv
v mgk
v dzk
zB
mg B
积分
W
B
P
d r
zB mgdz
A
zA
o
x
yo
(mgzB mgzA )
O 为地球表面
重力作功与路径无关， 仅决定m的起始和终了位置。
4
(3) 弹性力作功
dFrvdkxxivi
F F'
o x Px
dW kxdx
W x2 Fdx x2 kxdx
x1
x1
( 1 2
k x22
1 2
k x12
)
弹性力作功与弹性形变的过程无关， 仅决定弹簧的起始和终了位置。
5
引力功 重力功 弹力功
三种力做功数学表达式：
m'm
m'm
W (G
rB
) (G
rA
)
W (mgzB mgz A )
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
共同特点：做功只与质点的始、末位置有关，而与路 径无关。这种力称为保守力。做功与路径有关的力称 为非保守力，例如摩擦力。
6
v
F
2）势能具有相对性，但势能差是绝对的 势能是位置函数，而位置本身只具有相对意义
3）势能属于系统，单独谈质点的势能是没有意义的。势能的存在是由于 系统内各物体间具有保守力作用而产生的，因此属于系统的。平时叙述 中，将地球与质点系统的重力势能说成是质点的，只是为了叙述简便， 其实它是属于地球和质点系统，质点的引力势能和弹性势能也是这样
Ep mgz
Ep
Ep
1 2
k x2
Ep
Ep
G
m'm r
Ep
x
O
z
O
x
O
重力势能曲线 弹性势能曲线 引力势能曲线
z 0, Ep 0 x 0, Ep 0 r , Ep 0
9
讨论： 1）势能只与位置坐标有关，是位置函数 Ep Ep (x, y, z)
当质点在保守力作用下长时间处于某个位置，则该质点的势能就会 一直保持恒定不变
4）势能是一种潜在的能量，一旦条件许可，就会通过保守力做功 的过程释放出来.如果保守力做正功，相应的势能减少；如果 保守力做负功，相应的势能增加
10