北京市2016届高三数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线文

北京市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、填空、选择题1、（2015年北京高考）已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．2、（2014年北京高考）设双曲线C 的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 .3、（2013年北京高考）若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为________.4、（昌平区2015届高三上期末）双曲线13:22=-y x C 的离心率是_________；若抛物线mx y 22=与双曲线C 有相同的焦点，则=m _____________.5、（朝阳区2015届高三一模）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为A ．2 C ．4 D ．6、（东城区2015届高三二模）已知抛物线22y x =上一点P (,2)m ，则m = ，点P 到抛物线的焦点F 的距离为 .7、（房山区2015届高三一模）双曲线22194x y -=的渐近线方程是( )A ．23y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =± 8、（丰台区2015届高三一模）双曲线22126x y -=的渐近线方程为 9、（丰台区2015届高三二模）设O 是坐标原点，F 是抛物线2y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为6π，则||AF =(A)12(B) 34(C) 1(D) 210、（海淀区2015届高三一模）抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）12（B ） 1 （C ）2 （D ）411、（海淀区2015届高三二模）以坐标原点为顶点，(1,0)-为焦点的抛物线的方程为12、（西城区2015届高三二模）抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的方程是____.13、已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为 （ ）A ．32B ．16C ．8D ．414、点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．515、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 （ ）A B ．2C ．115D ．3二、解答题1、（2015年北京高考）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．2、（2014年北京高考）已知椭圆C ：2224x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.3、（2013年北京高考）直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．4、（昌平区2015届高三上期末）已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>，其四个顶点组成的菱形的面积是O 为坐标原点，若点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥.（I ） 求椭圆C 的方程； （II ）求线段AB 长度的最小值； （III ）试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.5、（朝阳区2015届高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．6、（东城区2015届高三二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的左、右顶点分别为A ，B ，1F 为左焦点，且12AF =，又椭圆C 过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆22+16x y =上（点,A B 除外），设直线PB ,QB 的斜率分别为1k ,2k ，若1234k k =，证明：A ,P ,Q 三点共线．7、（房山区2015届高三一模）已知椭圆W ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为21，Q 是椭圆上的任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点（A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合），E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，O 为坐标原点，若OE k 、OFk 分别是直线OE 、OF 的斜率，求证：OE OF k k ⋅为定值．8、（丰台区2015届高三一模）已知椭圆C ：2236x y +=的右焦点为F ．（Ⅰ）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P '，判断直线P Q '是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．9、（丰台区2015届高三二模）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点为F ，上下两个顶点与点F 恰好是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过原点O 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，如果△FAB 为直角三角形，求直线l 的方程．10、（海淀区2015届高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)A -，且离心率e =（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上.11、（海淀区2015届高三二模）已知椭圆22:14x C y +=，点D 为椭圆C 的左顶点. 对于正常数λ，如果存在过点00(,0)(22)M x x -<<的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得AOB AOD S S λ∆∆=，则称点M 为椭圆C 的“λ分点”.（Ⅰ）判断点1,0M （）是否为椭圆C 的“1分点”，并说明理由； （Ⅱ）证明：点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”；（Ⅲ）如果点M 为椭圆C 的“2分点”，写出0x 的取值范围. （直接写出结果）12、（石景山区2015届高三一模）如图，已知椭圆C短轴的右端点为B ， M （1，0）为线段OB 的中点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．13、（西城区2015届高三二模）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =. （Ⅰ）若椭圆E3E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.14、已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.15、已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．参考答案一、填空、选择题1、【解析】试题分析：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =2、【答案】122=-y x 【解析】由题意知：1,2==a c ，所以1222=-=a c b ，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C的方程为122=-y x .3、2 x ＝－1 [解析] ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，∴p2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.4、332; 4± 5、C 6、2，527、A8、y = 9、C 10、C 11、24y x =-12、1x =-， 22(1)4x y -+= 13、 【答案】A解：由题意知8p =，所以抛物线方程为216y x =，焦点(4,0)F ,准线方程4x =-，即(4,0)K -,设2(,)16y A y ,过A 做AM 垂直于准线于M,由抛物线的定义可知AM AF =,所以AK AF ==,即AM MK =,所以2(4)16y y --=，整理得216640y y -+=，即2(8)0y -=，所以8y =，所以11883222AFK S KF y ∆==⨯⨯=,选A. 14、 【答案】B解：抛物线的准线为1x =-，根据抛物线的对应可知，P 到该抛物线焦点的距离等于P 到该准线的距离，即(1)4x --=，所以3x =，即点P 的横坐标为3，选B. 15、【答案】B解：因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。

所以设P 到准线的距离为PB ,则PB PF =。

P 到直线1:4360l x y -+=的距离为PA ，所以P A P B P A P F FD +=+≥,其中FD 为焦点到直线4360x y -+=的距离，所以1025FD ===，所以距离之和最小值是2，选B.二、解答题1、【答案】（1）3（2）1；（3）直线BM 与直线DE 平行. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用ce a=计算离心率；第二问，由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与x=3相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；第三问，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c =所以椭圆C的离心率c e a ==. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--.令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k-=+.2、解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c =C的离心率c e a ==． （Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥， 所以0OA OB ⋅=， 即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又22024x y +=，所以()()222002AB x t y =-+-()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭22202044y x y x =+++()2202224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为3、解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝± 3.所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．4、解：（I）由题意22c e a ab ⎧==⎪⎨⎪=⎩，解得224,2a b ==.故椭圆C 的标准方程为22142y x +=. ……………3分（II ）设点A ，B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ，其中00≠y ，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r，即0020+=x ty ， ……………4分解得02=-x t y ，又220024+=x y ， 所以22200||(2)()=-+-AB x y t=2200002(2)()-++x x y y =2220002044+++x x y y=2220002042(4)42--+++y y y y =2200284(04)2++<≤y y y ，……………5分因为22002084(04)2+≥<≤y y y ，当且仅当204=y 时等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB长度的最小值为……………7分 （III ）直线AB 与圆222x y +=相切. ……………8分 证明如下：设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(2,)t ，其中00y ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020x ty +=，解得02x t y =-. ……………9分 直线AB 的方程为00(2)2y ty t x x --=--， 即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=， ……………10分 圆心O 到直线AB的距离d =, ……………11分由220024y x +=，02x t y =-，故d ===，所以 直线AB 与圆222x y +=相切. ……………13分 5、解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k+=+． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=， 即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=． 所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得3k =±．故直线l的方程为2)3y x =±-． ……… 14分 6、解：（Ⅰ）由已知可得2a c -=，b =22212b a c =-=，解得4a =.故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=． …………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知(4,0)A -，(4,0)B .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--. 因为11(,)P x y 在椭圆C 上，所以221111612x y +=，即22113124y x =-. 所以2112131234164PA x k k x -⋅==--. 又因为1234k k =， 所以21PA k k ⋅=-. （1）由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥.所以21QA k k ⋅=-. （2） 由(1)（2）可得PA QA k k =． 因为直线PA ，QA 有共同点A ，所以A ，P ，Q 三点共线． …………………………14分7、解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =，2a =.又12c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为：22143x y +=…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k=-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0>∴122834kx x k +=-+，∴1224234E x x kx k+==-+，23134E E y kx k =+=+ ∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K ==-=-∴916OE OF k k ⋅=-…………………14分8、解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F，离心率e =……………………4分（Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ． 因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-．所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分9、解：（Ⅰ）因为椭圆C的右焦点为F，则c =因为上下两个顶点与F 恰好是正三角形的三个顶点，所以1b =，2a =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）依题意，当△FAB 为直角三角形时，显然直线l 斜率存在，可设直线l 方程为y kx =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ． （ⅰ）当FA FB ⊥时，11()FA x y =，22()FB x y =．2244y kx x y =⎧⎨+=⎩，消y 得22(41)40k x +-=． 所以120x x +=，122441x x k =-+．212121212((1))3FA FB x x y y k x x x x ⋅=+=+++224(1)3041k k -=+⋅+=+．解得4k =±． ……………………9分 此时直线l的方程为y x =． （ⅱ）当FA 与FB 不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设2FAB π∠=．也就是点A 既在椭圆上，又在以OF 为直径的圆上．所以22112221114(x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1x =，1y =所以11y k x == 此时直线l的方程为y x =． 综上所述，直线l的方程为y x =或y =． ……………………14分 10、解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =. ………………1分 因为222 2c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>， 得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >.所以 {|S k k k =<>或. ………………11分 因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分 又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-. 所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得x =±所以4033k <<，或4033k -<<，即2k <-，或2k >. 所以{|S k k k =<>或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分11、（Ⅰ）解：点10M （,）是椭圆C 的“1分点”，理由如下： ………………1分当直线l 的方程为1x =时，由2114y +=可得(1,A B .（不妨假设点A 在x 轴的上方） 所以1=12AOB S ∆⨯，1=22AOD S ∆⨯所以AOB AOD S S ∆∆=，即点10M （,）是椭圆C 的“1分点”. ………………4分（Ⅱ）证明：假设点M 为椭圆C 的“2分点”，则存在过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得2AOB AOD S S ∆∆=.显然直线l 不与y 轴垂直，设:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,41x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得 22(4)230m y my ++-=. 所以 12224m y y m -+=+， ① 12234y y m -=+. ② ………………6分 因为 2AOB AOD S S ∆∆=，所以 12111(||||)22||22y y y +=⋅⋅，即21||3||y y =. ………………8分由②可知120y y <，所以213y y =-. ③将③代入①中得 124my m =+, ④ 将③代入②中得21214y m =+, ⑤将④代入⑤中得 2214m m =+，无解. 所以 点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”. ………………10分（Ⅲ）0x 的取值范围为(2,1)(1,2)--. ………………14分12、（Ⅰ）由题意知, 2b = …………………1分由e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--， 即12120y y x t x t +=--，即121211y y my t my t=-+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=，即222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分 13、（Ⅰ）解：设c由题意，得224a b +=，且c a = ………………2分解得a =1b =，c =………………4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ………………5分（Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c，c =. 设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ………………6分 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-， 所以直线2F P 的方程为00()y y x c x c=--， 当0x =时，00y cy x c -=-，即点00(0,)Q y c x c--， 所以直线1F Q 的斜率为1F Q y k c x =-， ………………8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF FQ ⊥.所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， ………………10分 化简，得22200(24)y x a =--， ○1 又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a +=-，00x >，00y >， ○2由○1○2，解得202a x =，20122y a =-， ………………12分所以002x y +=，即点P 在直线20x y +-=上. ………………14分14、解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += ………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y ,得到27880x x +-= ………………5分 所以121288288,,77x x x x ∆=+=-=所以1224||||7CD x x =-= ………………7分（Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-, 此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= ………………8分当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y 和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k+++-=显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++ ………………10分此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k =++=+ ………………12分因为0k ≠,上式1234||||k k =≤==+k = 所以12||S S -………………14分15、解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，…………………… 1分 则a =2c =． …………………………………………2分所以b == …………………………………3分所以 椭圆方程为221106x y +=． …………………………………………4分 （Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． …………………………………………6分于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， …7分 则()221,1062,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= … 8分21222035k x x k+=+， ………………………………………… 9分 所以 1221235k y y k+=-+． ……………………………………… 10分 因为 四边形AOBC 为平行四边形， 所以 OA OB OC +=， ……………………………………… 11分所以 点C 的坐标为2222012,3535k k kk ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ……………………………12分 所以 22222201235351106k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， ……………………………13分 解得21k =，所以1k =±． ………………………………14分。