知识讲解 合情推理与演绎推(理)(提高)

合情推理与演绎推理【学习目标】1. 理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，做出猜想。

2. 理解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.【要点梳理】要点一、推理的概念及分类1. 推理的概念：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．要点诠释：（1）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个．结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．（2） 推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：“因为……，所以……”“根据……，可知……”“如果……，那么……”等．2. 推理的分类：⎧⎨⎩合情推理推理演绎推理（1） 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。

其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。

归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．合情推理的推理过程要点诠释：由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用．（2） 演绎推理：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理．要点二、归纳推理1.定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

2．归纳推理的特点（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；（4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．要点诠释：归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.3．运用归纳推理时的一般步骤（1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；（2）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；（3）对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．（2）一般模式：部分⇒整体，个体⇒一般（3）一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；③检验猜想.4．完全归纳法和不完全归纳法（1）完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理．由于完全归纳法考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．（2）不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理．由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验．要点三、类比推理1．定义：类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．2．类比推理的几个特点（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．3．运用类比推理的一般步骤（1）找出两类事物之间的相似性或一致性．（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．（3）检验猜想.要点诠释：（1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．（2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似．因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性．（3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假．要点四、演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.要点诠释：①如果一个推理规则能用符号表示为“如果a ⇒b ，b ⇒c ，则a ⇒c”，那么这种推理规则叫做三段论推理．②三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论．（3）用集合的观点理解“三段论”若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .要点诠释：演绎推理的结论一定正确演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。

要点五、合情推理与演绎推理的区别与联系（1）从推理模式看：①归纳推理是由特殊到一般的推理．②类比推理是由特殊到特殊的推理．③演绎推理是由一般到特殊的推理．（2）从推理的结论看：①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。

合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.要点诠释：注意： 在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明．【典型例题】类型一、归纳推理例1. 用推理的形式表示数列333331,2,3,4,,,n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的前n 项和n S 的归纳过程.【思路点拨】依题意，n S 表示数列{}3n 的前n 项和，即3333123n S n =+++⋅⋅⋅+.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出n S 与n 的对应关系式.【解析】对数列333331,2,3,4,,,n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的前1,2,3,4,5项和分别进行计算： 3111S ==，332221293(12)S =+===+，333223123366(123)S =++===++，3333224123410010(1234)S =+++===+++，333332251234522515(12345)S =++++===++++.观察可得，数列{S n }的前五项都等于1到相应序号的自然数之和的平方，由此猜想数列的前n 项和2222(1)(1)(123)24n n n n n S n ++⎡⎤=+++⋅⋅⋅+==⎢⎥⎣⎦. 【总结升华】】①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前n 项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系.④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.举一反三：【变式1】（2014秋 台州期末）在数列{a n }中，满足a n+1=a n －a n －1（n ≥2），a 1=a ，a 2=b ，设S n =a 1+a 2+…+a n ，则合情推理推出a 100=________，S 100=________。

【答案】由a n+1=a n ―a n ―1（n ≥2），得a n+6=a n+5―a n+4=a n+4―a n+3―a n+4=―a n+3=―(a n+2―a n+1)=―(a n+1―a n ―a n+1)=a n ，所以6为数列{a n }的周期，又a 3=a 2―a 1=b ―a ，a 4=a 3―a 2=―a ，a 5=a 4―a 3=―b ，a 5=a 5―a 4=a ―b ，所以a 100=a 96+4=a 4=―a ，S 100=16(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6)+a 1+a 2+a 3+a 4=16×0+a+b+b ―a ―a=2b ―a ，故答案为：―a ，2b －a 。

【变式2】用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2n －1），…的前n 项和n S 的归纳过程.【答案】对等差数列1，3，5，…，（2n －1），…的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算： 2111S ==；221342S =+==；2313593S =++==；241357164S =+++==；2513579255S =++++==；261357911366S =+++++==；观察可得，前n 项和等于序号的平方，由此可猜想2n S n =.【变式3】各项均为正数的数列{a n }，a 1=a ，a 2=b ，且对满足m+n=p+q 的正整数m ，n ，p ，q 都有(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=+++++。

当12a =，45b =时，求通项公式a n 。