高中数学第一章集合与函数概念1.3.1第1课时函数的单调性课后习题117071815

1.3.1 第1课时函数的单调性
一、A组
1.(2016·黑龙江绥化九中高一月考)函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为()
A.(-∞,0],[1,+∞)
B.(-∞,0],(-∞,1]
C.[0,+∞),[1,+∞)
D.[0,+∞),(-∞,1]
解析:由函数图象(图略)可知选D.
答案:D
2.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-∞,5)上为减函数,则实数a的取值范围是()
A. B.
C.D.
解析:由于函数f(x)=x2+3ax+5的单调递减区间为,所以(-∞,5)⊆,
所以a≤-.
答案:A
3.(2016·湖北枣阳白水高中高一月考)若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总
有>0成立,则必有()
A.f(x)在R上是增函数
B.f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)是先增后减
D.函数f(x)是先减后增
解析:由>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a<b时,f(a)<f(b),或当a>b时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数.
答案:A
4.(2016·河北唐山一中高一月考)若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都是减函数,则函数
y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是()
A.增函数
B.减函数
C.先增后减
D.先减后增
解析:由于函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都是减函数,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线
y=ax2+bx的对称轴为x=-<0,且抛物线开口向下,所以y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是减函数.
答案:B
5.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则 ()
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)<f(a)
C.f(a2+a)<f(a)
D.f(a2+1)<f(a)
解析:选项D中,因为a2+1>a,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)<f(a).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.
答案:D
6.如图是定义在区间[-4,7]上的函数y=f(x)的图象,则函数f(x)的单调递增区间
是,单调递减区间是.
解析:由题图可知,函数y=f(x)的图象在[-4,-1.5)及[3,5),[6,7]上具有下降趋势,在[-1.5,3)及[5,6)上具有上升趋势,故函数f(x)的单调递增区间是[-1.5,3)及[5,6);单调递减区间是[-4,-1.5),[3,5)及[6,7].
答案:[-1.5,3),[5,6)[-4,-1.5),[3,5),[6,7]
7.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2)时,f(x)是减函数,则f(1)=.
解析:∵函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,+∞)上是增函数,∴x=-=-2, ∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13.
答案:13
8.已知函数f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则f(2)f(x2-4x+6).(填“≥”“≤”或“=”)
解析:∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,且f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,
∴f(2)≤f(x2-4x+6).
答案:≤
9.证明函数f(x)=-在定义域上为减函数.
证明:函数f(x)=-的定义域为[0,+∞).
设x1,x2是[0,+∞)上的任意两个实数,且0≤x1<x2,则x2-x1>0,
f(x2)-f(x1)=(-)-(-)=
=
=.
∵x1-x2<0,>0,
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).
∴函数f(x)=-在定义域[0,+∞)上为减函数.
10.函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5.
(1)求f(2)的值;
(2)解不等式f(m-2)≤3.
解:(1)∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5,
∴f(2)=3.
(2)由f(m-2)≤3,得f(m-2)≤f(2).
∵f(x)是(0,+∞)上的减函数,
∴解得m≥4.
故不等式的解集为{m|m≥4}.
二、B组
1.函数y=|x+2|在区间[-3,0]上是()
A.递减
B.递增
C.先减后增
D.先增后减
解析:y=|x+2|=
作出y=|x+2|的图象如图所示.
由图易知函数在[-3,-2]上为减函数,在(-2,0]上为增函数.
答案:C
2.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是()
A.0≤m≤4
B.0≤m≤2
C.m≤0
D.m≤0或m≥4
解析:由f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.
又因为f(x)图象的对称轴为x=-=2,
所以f(x)在区间[0,2]上的值域与在区间[2,4]上的值域相同.
所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.
答案:A
3.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是()
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1)
D.(0,1]
解析:f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴a≤1.
∵g(x)=在区间[1,2]上为减函数,
∴a>0,∴0<a≤1.
答案:D
4.函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为.
解析:当x≥0时,y=-x2+2x+3;
当x<0时,y=-x2-2x+3.
画出该函数的图象如图所示,由图象知,该函数的单调递减区间是[-1,0),[1,+∞).
答案:[-1,0),[1,+∞)
5.已知f(x)是定义在R上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x的取值范围为.
解析:∵f(x)是定义在R上的增函数,
又f(x-2)<f(1-x),
∴x-2<1-x,解得x<.
故x的取值范围是.
答案:
6.已知函数f(x)=-2x2+mx+1在区间[1,4]上是单调函数,则实数m的取值范围是.解析:二次函数f(x)的图象的对称轴是直线x=.
因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,即∉(1,4),所以≤1或≥4,即m≤4或m≥16.
答案:(-∞,4]∪[16,+∞)
7.讨论函数f(x)=在区间(-2,+∞)上的单调性.
解:f(x)==a+,
设任意的x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
=(1-2a).
∵-2<x1<x2,
∴x2-x1>0,
(x2+2)(x1+2)>0.
当a<时,1-2a>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
故f(x)在区间(-2,+∞)上为减函数.
当a>时,1-2a<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),
故f(x)在区间(-2,+∞)上为增函数.
综上,当a<时,f(x)在区间(-2,+∞)上为减函数; 当a>时,f(x)在区间(-2,+∞)上为增函数.。