等差数列求和1 北师大版

合集下载

高中数学第一章数列1.2结合课本谈等差数列求和素材北师大版(1)

结合课本谈等差数列求和倒序相加求和设()(1)f x f x a +-=（x ∈Z ，a 为常数），求(5)(4)(0)(1)(5)(6)f f f f f f -+-++++++的值．分析：因为取5x =-就有16x -=，，显然倒序后形成两两的和相等，所以可根据课本的等差数列求和的方法解之．我们称此方法为倒序相加法．解：记(5)(4)(0)(1)(5)(6)S f f f f f f =-+-++++++，由(6)(5)(1)(0)(4)(5)S f f f f f f =++++++-+-，可知212S a =，即6S a =．因此原式的值为6a ．说明：此题是一道函数题，其求解时运用了倒序相加法，这是一种重要的解题方法，以后我们学习排列组合时还会经常用到．练习题：设()f x =(5)(4)(0)(1)(5)(6)f f f f f f -+-++++++的值．（提示：可以证明()(1)f x f x +-=）裂项求和求1111133557(21)(21)n S n n =++++⨯⨯⨯-+．解：由1111(21)(21)22121k k k k ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，令12k n =，，，，可得111111111111233557212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．说明：由1111(21)(21)22121k k k k ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，可把每一项裂为两项，从而相加后化无限项（看成是无限项）为有限项，使问题得到解决．一般地有1111(2)(2)22k m k n m n k m k n ⎛⎫=- ⎪-++-+⎝⎭．构造等式求和例3 求数列{}2n 的前n 项和n S ．解：由332(1)331k k k k +=+++（其中k *∈N ），即332(1)331k k k k +-=++，依次取123k n =，，，，，可得3322131311-=⨯+⨯+；3323232321-=⨯+⨯+； 3324333331-=⨯+⨯+，332(1)331n n n n +-=++．两边分别相加即得3(1)133(123)n n S n n +-=⨯+⨯+++++．整理再分解因式可得1(1)(21)6n S n n n =++．注：此结论在以后的学习中我们会经常遇到，希望大家能够熟记．拆项法求和例4 求1427310(31)n n ⨯+⨯+⨯+++的和．分析：显然这是求数列{}n a 的前n 项和问题，其中2(31)3n a n n n n =+=+．解：原式2222(311)(322)(333)(3)n n =⨯++⨯++⨯++++22223(123)(123)n n =⨯+++++++++2113(1)(21)(1)(1)62n n n n n n n =⨯++++=+．注：这里把积拆成了两项和的形式，从而转化成我们所熟悉的问题（等差）使问题得到解决．由此可见，在平时的学习中我们应注意从课本的基础知识的学习中，挖掘其中的数学思想方法及解题模式，这样更有利于拓展思维，提高解题能力．。

等差数列的前n项和+课件-2024-2025学年高二下学期北师大版(2019)选择性必修第二册

an )
பைடு நூலகம்
n1 2n
2
1
n2
典例分析
还有方例2：在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古法代？皇家建筑中包含许多与9相关的设计。例如北京天坛圆丘的地面由扇
圆形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈
有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈。请问：
(1)第9圈共有多少块石板；(2)前9圈一共有多少块石板.
若把次序颠倒是 Sn an an1 an2 an3 a1 (2) 由等差数列的性质 a1 an a2 an1 a3 an2
由(1)+(2)得 2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an )
即:
Sn
n(a1 2
an )
n个
等差数列的前n项和公式
项数首项第n项
答：底层有90盏彩灯，顶层有132盏彩灯。
小试牛刀
3.等差数列{an }中，a1 20, a5 12,求通项an 及前n项
和 Sn 的最大值.
解一：由 a1
20, d
a5 a1 5 1
2，得
an a1 (n 1)d 2n 22，
Sn
(a1
an )n 2
n2
21n，二次函数 y
x2
21x
(2)知三求二建立方程或方程组求解
课后习题
1.求 sin2 10 sin2 20 sin2 30 sin2 80 2.何时可以使用倒序相加法？ 3.P17练习1.2.3
课后思考
已知数列{an}的通项公式an＝项和．
1 n(n
1)
，求数列{an}的前n
感谢指导

北师大版高中数学必修 -等差数列 PPT免费课件2

北师大版高中数学必修《等差数列》P PT免费课件2( 完美课件)
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT免费课件2( 完美课件)
命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150 元，购买当天先付150 元，以后每月的这一天都交付50 元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150 元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解答
问题导学
知识点一等差数列前n项和公式的推导
思考
高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51) ＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2 ＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案
不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1， ∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT免费课件2( 完美课件)
知识点二等差数列前n项和公式的特征
思考1
在等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？答案
S3＝3a12＋a3＝3×a1＋2 a3＝3a2＝21.
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT免费课件2( 完美课件)
题型探究
北师大版高中数学必修《等差数列》P PT免费课件2( 完美课件)
类型一等差数列前n项和公式的应用
命题角度1 方程思想例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解答

等差数列求和ppt3 北师大版

例：已知一个等差数列的前 1 0 项之和为 1 0 0 ，前 1 0 0 项的和为 1 0 ，求前 1 1 0 项之和。
则 S 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0
解： S 1 0 0 , S 1 0 1 0 1 0 0
解得： S 2 1 0 3 k
已知等差数列an ，公差为d ,
na ( a ) 共有2n项，则S 2 n n n 1
S偶 S奇 n d an S奇 a n 1 S
偶
已知等差数列 an ，公差为 d ,
共有 2 n 1项，则 S ( 2 n 1 ) a 2 n 1 n S奇 S偶 an S奇 S偶
a1 2 d 1 S 1 1 n a ( n 1 ) d 2 ( n 1 ) 1 n 2 2
Sn1 Sn 1 n 1 n 2
s 1 n 数列以 2 为首项，以为公差的等差数列。 n 2
数列 { a } 是等差数列 , a 1 1 , d 2 n 1
n 6.5 ( 2 ) . 令 a 1 32 n 0 n
当 n 6 时， a > 0 当 n > 6 时， a < 0 n n
当 n 6时，
T a a a n 1 2 n
a a a 1 2 n nn ( 1 ) 1 1 n 2
12nn
2
2
当 n 6时，
S ( S S ) 2S6 Sn 6 n 6
2
T a a a a a n 1 2 6 7 n

等差数列求和(共24张PPT)

例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。

03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差数列的通项公式进行化简，最终得到等差数列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的项进行倒序相加，再利用等差数列的通项公式进行化简，最终得到等差数列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个常数被称为公差。

北师大版高中必修52.2等差数列的前n项和教学设计

北师大版高中必修5 2.2等差数列的前n项和教学设计一、教学目标1.知道等差数列的概念与性质，会判断一个数列是否为等差数列。

2.熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式和其简单应用。

3.能使用前n项和公式解决等差数列实际问题。

二、教学重难点1.等差数列前n项和公式的理解与应用;2.等差数列的真正意义以及其在实际生活中的应用。

三、教学内容1. 等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义等差数列是指从第二项开始，每项与其前一项的差相等的一种数列，这个差叫做等差数列的公差。

1.2 等差数列的性质•通项公式：a n=a1+(n−1)d•前n项和公式：$S_n=\\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\\frac{2a_1+(n-1)d}{2}×n$•等差中项：$a_m=\\frac{a_n+a_1}{2}$2. 等差数列的前n项和公式的应用以数列 $\\{4,7,10,...\\}$ 为例，在确定其为等差数列后，我们可以用前n项和公式计算前10项的和:$S_{10}=\\frac{(4+31)×10}{2}=175$3. 等差数列的实际应用等差数列在实际中的很多场景中都有应用，特别是在数理金融、经济策略等领域。

例如，假设你每个月存款1000元，而存款利息每年15%的情况下，求10年后本金和利息的总和。

数字小说以等差数列 $\\{12000,12600,13200,...\\}$ 来表示10年后每年的本息总和。

因此，我们可以使用前n项和公式来计算该数列的和：$S_{10}=\\frac{(24000+37200)×10}{2}=306000$四、教学过程1. 复习让学生们回顾等差数列的定义和通项公式，在黑板上让学生们做一些简单的题目。

2. 教学1.介绍等差数列的前n项和公式，并给出一个实例来说明该公式的应用；2.引入等差数列的实际场景，并尝试将其转化为等差数列；3.让学生尝试使用前n项和公式来计算等差数列的总和并解决实际问题。

等差数列前n项和(北师大版,优质课比赛,优秀获奖课件)

想一想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
n（n 1) S n na1 d 2
an a1 (n 1)d
说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。
两个公式共同的已知量是 a1和n, 不同的已知量是 : 公式（1）已知an,公式（2）已知d 。已知三个量就可以求出Sn ，我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。
特别地，当 a1 1, d 1时， n 个连续正整数的和
Sn 1 2 3 n n ( n 1) . 2
a9 a1 (9 1)d 9 (9 1) 9 81 （块） .
（2）由等差数列的前n项和公式，得前9圈一共有石板
S9 9a1 9(9 1) 98 d 99 9 405(块). 2 2
答第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板.
1.等差数列的前项和公式1：
n（a1 an ) Sn 2
(4)a1 14.5, d 0.7, an 32.
an a1 (n 1)d
32 14.5 26 (14.5 32) n 1 26, S 26 604 .5. 0.7 2
课堂练习第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表： a1
2.等差数列的前项和公式2：
3.(1)倒序相加法求和
n( a1 an ) Sn 2 n(n 1) S n na1 d 2
(2)“知三求二”方程思想：在两个求和公式中,各有五个元素,
只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.

等差数列求和1 北师大版精品课件

+(197+3)+(198+2)+(199+1)
S199

(1
199) 199 2
=19900
猜想设Sn是等差数列{an}的前n项的和,
即 Sn a1 a2 an1 an
n(a1 an ) 2
a 问题：设等差数列an 的首项为
，公差为
1
d
，
Sn a1 a2 a3 an ?
四项和为63，前n项和为286，求项数n。
解： a1 a2 a3 a4 25 (1)
an an1 an2 an3 63 (2)
2 1得 4(a1 an ) 88
a1 an2
证明：将成等差数列的三条边的长从小到大排列，
它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)
由勾股定理，得到
(a d)2 a2 (a d)2
解得
a 4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
S 练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列 an 的 n
(1)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和; (2)所求的和可以用首项、末项及项数来表示.
计算: 1+2+…3++199=? … 解：设 s199= 1+ 2+ 3+ +197+198+199
s199=199+198+197+ + 3+ 2 + 1
… 2s199=(1+199)+(2+198)+(3+197)+ …

高中数学北师大版必修5课件：1.2.2.2等差数列前n项和的性质

第2课时等差数列前n项和的性质
1.等差数列前n项和的性质 (1)在等差数列{an}中,每m项的和 a1+a2+…+am,am+1+am+2+…+a2m,a2m+1+a2m+2+…+a3m,…仍为等差数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍为等差数列. (2)在等差数列{an}中,公差为d,S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和, ①当n为奇数时,
S 奇-S 偶=a1+
��- 1 �� 2
= ��+1 (中间项),
2
Sn=n· ��+1 (项数与中间项的积 ),
��奇 ��偶
2
�� + 1 = (项数加 1 比项数减 1); ��-1
②当 n 为偶数时,S 偶-S 奇= 2 �� ,
10��1 +
① ②
=-110. 故此数列的前 110 项之和为-110.
题型一
题型二
题型三
解法二:设 Sn=an2+bn. ∵S10=100,S100=10, 102 �� + 10�� = 100, ∴ 1002 �� + 100�� = 10, 11 �� = , 100 解得 111 �� = .
∴Sn=-100n2+ 10 n.
11
11
10
111
∴S110=-100×1102+ 10 ×110=-110.
111
题型一

北师大版高中数学必修5等差数列的前n项和第1课时

等差数列的前n 项和（第一课时）教学目标：1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题教学重点：等差数列n 项和公式的推导及应用教学过程一、引言：著名的数学家高斯（德国 1777-1855）十岁时计算1+2+3+…+100的故事：高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:“1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”故事结束：归纳为 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和2．高斯的解法是：前100项和2)1001(100100+⨯=S 即2)(1n n a a n S += 二、1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=2．等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= 两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个公式二又可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的关于n 的二次式有关前n 项和得最值问题可由此公式解决三、补充例题：例1：一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为{}n a ，其中120,11201==a a ，根据等差数列前n 项和的公式，得72602)1201(120120=+⨯=S 答：V 形架上共放着7260支铅笔。

北师大七年级上数学数学知识点衔接训练

小升初知识点提升1、数列求和①等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用表示；1a 项数：等差数列的所有数的个数，一般用n 表示；　公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用表示；n a 数列的和：这一数列全部数字的和，一般用表示n S 基本思路：等差数列中涉及五个量：，, d, n, 通项公式中涉及四个量，如果己知1a n a n S 其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：；通项＝首项＋（项数一1) ×公差；d n a a n )1(1-+=数列和公式：；数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；2)(1n a a S n n += 项数公式：；项数=（末项-首项）÷公差＋1；1)(a n 1++=da n 公差公式：；公差=（末项－首项）÷（项数－1）；1)(1--=n a a d n 关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式5、等差数列的求和公式：d n n na a a n S n 2)1(2)(11n -+=+=例：求1+3+5+7+9+11+………..+77的值。

6、求自然数1+2+3+4+5+6+7+……….+98+99+100之和。

7、求54+55+56+57+58+………+85+86+87+88之和。

② 等比数列及求和：等比数列是一种特殊的数列，它的特点是从第二项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如：3、9、27、81、243、、、、、、876333、、练习、求1+2+4+8+16+32+……….1024的和。

③求连续平方数之和：.222224321n +∙∙∙∙∙∙++++它的求和公式：61)1)(2n n(n ++=S 例求、的和。

高考数学一轮复习第六章数列第4讲数列求和教学案理北师大版-北师大版高三全册数学教学案

第4讲数列求和一、知识梳理 1．数列求和方法(1)等差数列求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ．(2)等比数列求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.2．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n ． 3．数列求和的常用方法 (1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (4)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．(5)并项求和法一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．常用结论记住常用的裂项公式(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .二、教材衍化1．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( )A ．100＋200(1－2－9) B ．100＋100(1－2－9) C ．200(1－2－9)D ．100(1－2－9)解析：选 A.第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×2－1（1－2－9）1－2－1＝100＋200(1－2－9)． 2．在数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 0172 018，则项数n 为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017解析：选D.a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0172 018，所以n ＝2 017.故选D. 3． 1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1＝________(x ≠0且x ≠1)．解析：设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，① 则xS n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n，② ①－②得：(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋xn －1－nx n＝1－x n1－x －nx n，所以S n ＝1－x n（1－x ）2－nx n1－x. 答案：1－x n（1－x ）2－nxn 1－x一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)不会分组致误； (2)错位相减法运用不熟练出错．1．已知数列：112，214，318，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________．解析：设所求的数列前n 项和为S n ，则S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋12＋14＋…＋12n ＝n （n ＋1）2＋1－12n .答案：n （n ＋1）2＋1－12n2．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a n ＝n ·2n，则S n ＝________．解析：S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，① 所以2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，②①－②得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2×（1－2n）1－2－n ×2n ＋1，所以S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.答案：(n －1)2n ＋1＋2分组转化求和(师生共研)(2020·某某模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x2－S 2x ＋2<0的解集为(1，2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2<0的解集为(1，2)，所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n. 因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋ (2)) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±，且{b n }，{}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．1．若数列{a n }是2，2＋22，2＋22＋23，…，2＋22＋23＋ (2)，…，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：a n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2，所以S n ＝(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)－(2＋2＋2＋ (2)＝22－2n ＋21－2－2n ＝2n ＋2－4－2n .答案：2n ＋2－4－2n2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N +.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n＋(－1)nn . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋ (2))＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.错位相减法求和(师生共研)(2020·某某市部分区联考)已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且a 1＝1，a 3＋a 4＝12，b 1＝a 2，b 2＝a 5.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设＝(－1)na nb n (n ∈N +)，求数列{}的前n 项和S n .【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，a 3＋a 4＝12，所以2a ＋5d ＝12，所以d ＝2，所以a n ＝2n －1.设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 1＝a 2，b 2＝a 5，所以b 1＝a 2＝3，b 2＝a 5＝9，所以q ＝3，所以b n ＝3n.(2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n，所以＝(－1)n ·a n ·b n ＝(－1)n ·(2n －1)·3n ＝(2n －1)·(－3)n，所以S n ＝1·(－3)＋3·(－3)2＋5·(－3)3＋…＋(2n －1)·(－3)n，① 所以－3S n ＝1·(－3)2＋3·(－3)3＋…＋(2n －3)·(－3)n ＋(2n －1)·(－3)n ＋1，②①－②得，4S n ＝－3＋2·(－3)2＋2·(－3)3＋…＋2·(－3)n－(2n －1)·(－3)n ＋1＝－3＋2·（－3）2[1－（－3）n －1]1＋3－(2n －1)·(－3)n ＋1＝32－4n －12·(－3)n ＋1. 所以S n ＝38－4n －18·(－3)n ＋1.运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }一个为等差数列，一个为等比数列；二是错位相减，如本题先把①式两边同乘以－3得到②式，再把两式错位相减；三是注意符号，相减时要注意最后一项的符号．(2020·某某模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1，所以a na n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1，所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3，所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n .裂项相消法求和(师生共研)(2020·某某八所重点高中4月联考)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n(n ∈N +)．(1)求证：数列{1a n －2}是等差数列； (2)设b n ＝a 2na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)证明：因为a n ＋1＝44－a n ，所以1a n ＋1－2－1a n －2＝144－a n－2－1a n －2＝4－a n2a n －4－1a n －2＝2－a n 2a n －4＝－12，为常数．因为a 1＝1，所以1a 1－2＝－1，所以数列{1a n －2}是以－1为首项，－12为公差的等差数列． (2)由(1)知1a n －2＝－1＋(n －1)(－12)＝－n ＋12，所以a n ＝2－2n ＋1＝2nn ＋1，所以b n ＝a 2n a 2n －1＝4n2n ＋12（2n －1）2n ＝4n 2（2n －1）（2n ＋1）＝1＋1（2n －1）（2n ＋1）＝1＋12(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝n ＋12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n ＋12(1－12n ＋1)＝n ＋n2n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n ＋n2n ＋1.利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1(a n ≠0)．1．数列{a n }满足a 1＝1, a 2n ＋2＝a n ＋1(n ∈N +)．(1)求证：数列{a 2n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2＝a n ＋1得a 2n ＋1－a 2n ＝2，且a 21＝1，所以数列{a 2n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又由已知易得a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)b n ＝2a n ＋a n ＋1＝22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，故数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(3－1)＋(5－3)＋…＋(2n ＋1－2n －1)＝2n ＋1－1.2．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.并项求和(师生共研)(2020·某某八市重点高中联盟测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝3，a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝（－1）na 2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2n .【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列，所以a 24＝(a 2＋2)(a 6－2)，所以(a 3＋d )2＝(a 3－d ＋2)(a 3＋3d －2)，又a 3＝3，所以(3＋d )2＝(5－d )(1＋3d )，化简得d 2－2d ＋1＝0，解得d ＝1，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)×1＝n . (2)由(1)得，b n ＝（－1）na 2n ＋1a n a n ＋1＝(－1)n 2n ＋1n （n ＋1）＝(－1)n (1n ＋1n ＋1)，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝－(1＋12)＋(12＋13)－(13＋14)＋…＋(12n ＋12n ＋1)＝－1＋12n ＋1＝－2n2n ＋1.用并项求和法求数列的前n 项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和．可用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(－1)n”；三是数列{a n }是周期数列．[提醒] 运用并项求和法求数列的前n 项和的突破口是会观察数列的各项的特征，如本题，数列{b n }的通项公式为b n ＝(－1)n2n ＋1n （n ＋1），易知数列{b n }是摆动数列，所以求和时可以将各项进行适当合并．(2020·某某某某二检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2kn (k ∈N +)，S n 的最小值为－9.(1)确定k 的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n·a n ，求数列{b n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.解：(1)由已知得S n ＝n 2－2kn ＝(n －k )2－k 2，因为k ∈N +，则当n ＝k 时，(S n )min ＝－k 2＝－9，故k ＝3.所以S n ＝n 2－6n .因为S n －1＝(n －1)2－6(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝(n 2－6n )－[(n －1)2－6(n －1)]＝2n －7(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＝a 1＝－5，满足a n ＝2n －7，综上，a n ＝2n －7.(2)依题意，得b n ＝(－1)n ·a n ＝(－1)n(2n －7)，则T 2n ＋1＝5－3＋1＋1－3＋5－…＋(－1)2n(4n －7)＋(－1)2n ＋1[2(2n ＋1)－7]＝5－＝5－2n .数列与其他知识的交汇问题一、数列与不等式的交汇问题(2020·某某某某二模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，当n ≥2时，有S n＋S n －1－2S n S n －1＝2na n ，则使得S 1S 2…S m ≥2 019成立的正整数m 的最小值为________．【解析】因为S n ＋S n －1－2S n S n －1＝2na n (n ≥2)，所以S n ＋S n －1－2S n S n －1＝2n (S n －S n －1)(n ≥2)，所以(2n ＋1)S n －1－(2n －1)S n ＝2S n S n －1(n ≥2)．易知S n ≠0，所以2n ＋1S n －2n －1S n －1＝2(n ≥2)．令b n ＝2n ＋1S n，则b n －b n －1＝2(n ≥2)，又b 1＝3S 1＝3a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝2n －1，所以2n ＋1S n ＝2n －1，所以S n ＝2n ＋12n －1.所以S 1S 2…S m ＝3×53×…×2m ＋12m －1＝2m ＋1≥2 019，所以m ≥1 009.即使得S 1S 2…S m ≥2 019成立的正整数m 的最小值为1 009. 【答案】 1 009解决本题的关键：一是细观察、会构造，即通过观察所给的关于S n ，a n 的关系式，思考是将S n 往a n 转化，还是将a n 往S n 转化；二是会解不等式，把求出的相关量代入已知不等式，转化为参数所满足的不等式，解不等式即可求出参数的最小值．二、数列与三角函数的综合(2020·某某某某4月联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3sin B －sin C b －a ＝sin A ＋sin B c .(1)求角A 的大小；(2)若等差数列{a n }的公差不为零，a 1sin A ＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .【解】 (1)由3sin B －sin C b －a ＝sin A ＋sin Bc ，根据正弦定理可得3b －c b －a ＝b ＋a c，即b 2＋c 2－a 2＝3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，由0<A <π，得A ＝π6.(2)由(1)知，A ＝π6，设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a 1sin A ＝1，所以a 1sin π6＝12a 1＝1，解得a 1＝2.因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，所以d 2＝2d .又d ≠0，所以d ＝2，则a n ＝2n ，b n ＝1a n a n ＋1＝12n （2n ＋2）＝14(1n －1n ＋1)，则S n ＝14[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝14(1－1n ＋1)＝n 4n ＋4.破解数列与三角函数相交汇问题的策略：一是活用两定理，即会利用正弦定理和余弦定理破解三角形的边角关系；二是会用公式，即会利用等差数列与等比数列的通项公式求解未知量；三是求和方法，针对数列通项公式的特征，灵活应用裂项相消法、分组求和法、错位相减法等求和．三、数列与函数的综合(2020·某某某某5月联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d >0，a 6和a 8是函数f (x )＝154ln x ＋12x 2－8x 的极值点，则S 8＝( )A ．－38B ．38C ．－17D ．17【解析】因为f (x )＝154ln x ＋12x 2－8x ，所以f ′(x )＝154x ＋x －8＝x 2－8x ＋154x＝（x －12）（x －152）x，令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝152.又a 6和a 8是函数f (x )的极值点，且公差d >0，所以a 6＝12，a 8＝152，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋7d ＝152，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－17，d ＝72.所以S 8＝8a 1＋8×（8－1）2×d ＝－38，故选A.【答案】 A破解数列与函数相交汇问题的关键：一是会利用导数法求函数的极值点；二是会利用等差数列的单调性，若公差大于0，则该数列单调递增，若公差小于0，则该数列单调递减，若公差等于0，则该数列是常数列，不具有单调性；三是会利用公式法求和，记清等差数列与等比数列的前n 项和公式，不要搞混．四、数列中的新定义问题(2020·某某模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，定义{a n }的“优值”为H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n，现已知{a n }的“优值”H n ＝2n，则S n ＝________．【解析】由H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n，得a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)2n －1，②由①－②得2n －1a n ＝n ·2n －(n －1)2n －1＝(n ＋1)2n －1，即a n ＝n ＋1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2也满足式子a n ＝n ＋1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1，所以S n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.【答案】n （n ＋3）2破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含义，如本题，题眼{a n }的“优值”H n ＝2n的含义为a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n；二是想“减法”，如本题，欲由等式a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n 求通项，只需写出a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n －1，通过相减，即可得通项公式．五、数列中的新情境问题(2020·某某六校第二次联考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋ a 2＝3，a 3－a 2＝ 2，等差数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 3＝5，S 4＝16.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系中，有点P 1(a 1，0)，P 2(a 2，0)，…，P n (a n ，0)，P n ＋1(a n ＋1，0)，Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)，…，Q n (a n ，b n )，若记△P n Q n P n ＋1的面积为，求数列{}的前n 项和T n .【解】 (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 1＋a 2＝3，a 3－a 2＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3，a 1q 2－a 1q ＝2，得3q 2－5q －2＝0，又q >0，所以q ＝2，a 1＝1，则a n ＝2n －1.设数列{b n }的公差为d ，因为b 3＝5，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝5，4b 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，d ＝2，则b n ＝2n －1.(2)由(1)得P n P n ＋1＝a n ＋1－a n ＝2n －2n －1＝2n －1，P n Q n ＝b n ＝2n －1，故＝S △P n Q n P n ＋1＝2n －1（2n －1）2＝(2n －1)2n －2，则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝12×1＋1×3＋2×5＋…＋(2n －1)2n －2，① 2T n ＝1×1＋2×3＋4×5＋…＋(2n －1)2n －1，②由①－②得，－T n ＝12＋2(1＋2＋…＋2n －2)－(2n －1)·2n －1＝12＋2（1－2n －1）1－2－(2n －1)2n －1＝(3－2n )2n －1－32，故T n ＝(2n －3)2n －1＋32(n ∈N +)．数列中新情境问题的求解关键：一是观察新情境的特征，如本题中的各个直角三角形的两直角边长的特征；二是会转化，如本题，把数列{}的通项公式的探求转化为直角三角形的两直角边长的探求；三是活用数列求和的方法，如本题，活用错位相减法，即可得数列{}的前n 项和．[基础题组练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )A ．9B ．8C ．17D ．16解析：选A.S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.2．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，n ∈N +，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100D ．99解析：选A.n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.3．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)的图象经过点P (1，3)，Q (2，5)．当n ∈N +时，a n ＝f （n ）－1f （n ）·f （n ＋1），记数列{a n }的前n 项和为S n ，当S n ＝1033时，n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选D.因为函数f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)的图象经过点P (1，3)，Q (2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，a 2＋b ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4(舍去)，所以f (x )＝2x＋1，所以a n ＝2n＋1－1（2n ＋1）（2n ＋1＋1）＝12n ＋1－12n ＋1＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1，令S n ＝1033，得n ＝4.故选D.4．(2020·某某某某期末)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N +)，则该数列的前100项之和是( )A ．18B ．8C ．5D ．2解析：选C.因为a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N +)，所以a 3＝3－1＝2，a 4＝2－3＝－1，a 5＝－1－2＝－3，a 6＝－3＋1＝－2，a 7＝－2＋3＝1，a 8＝1＋2＝3，a 9＝3－1＝2，…，所以{a n }是周期为6的周期数列，因为100＝16×6＋4，所以S 100＝16×(1＋3＋2－1－3－2)＋(1＋3＋2－1)＝5.故选C.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N +)，则S 2 018等于( ) A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：选B.a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，所以a n ＋2a n＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，所以S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋2（1－21 009）1－2＝3·21 009－3.故选B.6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________．解析：因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2.因此S 2 017＝S 2 016＋a 2 017＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＋(a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＋a 2 016)＋a 2 017＝2 0164×2＋a 1＝1 008.答案：1 0087．(2020·某某三湘名校(五十校)第一次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1.当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 019＝________．解析：由a n ＋2S n －1＝n (n ≥2)，得a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式作差可得a n ＋1－a n ＋2a n ＝1(n ≥2)，即a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2)，所以S 2 019＝1＋2 0182×1＝1 010.答案：1 0108．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N +)，记T n＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n(n ∈N +)，则T 2 018＝________．解析：由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N +)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （n ＋1）2，所以1S n＝2n （n ＋1）＝2(1n －1n ＋1)，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2(11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 0362 019. 答案：4 0362 0199．已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n4(n ∈N +)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4na n2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝14.因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n4①，所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝n －14(n ≥2，n ∈N +) ②，①－②得4n －1a n ＝14(n ≥2，n ∈N +)，所以a n ＝14n (n ≥2，n ∈N +)．由于a 1＝14，故a n ＝14n (n ∈N +)．(2)由(1)得b n ＝4na n 2n ＋1＝12n ＋1，所以b n b n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12(12n ＋1－12n ＋3)，故T n ＝12(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝12(13－12n ＋3)＝n 6n ＋9. 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝3a n －12.(1)求a n ；(2)若b n ＝(n －1)a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简得a n ＝3a n －1(n ≥2)，在①中，令n ＝1可得，a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1.(2)b n ＝(n －1)3n －1，T n ＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1，③则3T n ＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n －1)×3n.④ ③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)×3n＝3－3n1－3－(n －1)×3n ＝（3－2n ）×3n－32.所以T n ＝（2n －3）×3n＋34.[综合题组练]1．(2020·某某五个一名校联盟第一次诊断)已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 018项的和为( )A ．1 008B ．1 009C ．2 017D ．2 018解析：选D.设{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，a 1＋9d ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，所以数列{a n cos n π}的前 2 018项的和为(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2 017＋b 2 018)＝2×2 0182＝2 018.故选D.2．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76B ．78C ．80D ．82解析：选B.由已知a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1·a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得a n ＋2＋a n ＝(－1)n·(2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1，5，9及n ＝2，6，10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.3．已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N +)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2 019项和为________．解析：由“凸数列”的定义及b 1＝1，b 2＝－2，得b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，…，所以数列{b n }是周期为6的周期数列，且b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝0，于是数列{b n }的前2 019项和等于b 1＋b 2＋b 3＝－4.答案：－44．(2020·某某质量监测)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2b n (n ∈N +)，若数列{a n }为等比数列，且a 1＝2，a 4＝16，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和S n ＝________．解析：因为{a n }为等比数列，且a 1＝2，a 4＝16，所以公比q ＝3a 4a 1＝3162＝2，所以a n ＝2n ，所以a 1a 2a 3…a n ＝21×22×23×…×2n ＝21＋2＋3＋…＋n＝2n （n ＋1）2.因为a 1a 2a 3…a n ＝2b n ，所以b n ＝n （n ＋1）2.所以1b n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 答案：2n n ＋15．已知等差数列{a n }中，a 5－a 3＝4，前n 项和为S n ，且S 2，S 3－1，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n4na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由a 5－a 3＝4，得2d ＝4，d ＝2. 所以S 2＝2a 1＋2，S 3－1＝3a 1＋5，S 4＝4a 1＋12，又S 2，S 3－1，S 4成等比数列，所以(3a 1＋5)2＝(2a 1＋2)·(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n4na n a n ＋1＝(－1)n(12n －1＋12n ＋1)，当n 为偶数时，T n ＝－(1＋13)＋(13＋15)－(15＋17)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)，所以T n ＝－1＋12n ＋1＝－2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝－(1＋13)＋(13＋15)－(15＋17)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)，所以T n ＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2n ＋1，n 为偶数－2n ＋22n ＋1，n 为奇数.。

北师大版必修5数学1.2.2等差数列前n项和1

中学高二年级上学期数学学科导学稿
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间1 周
集体备课
个人空间
1、课题：1.2.2等差数列的前项和（第一课时）
2、学习目标
1.探索等差数列的前项和公式的推导方法；
2.能应用等差数列的前项和公式解决等差数列的问题.
重点：等差数列的前项和公式的推导过程和思想.
难点：在具体的问题情境中，如何灵活使用这些公式解决相对应的实际问题.
①1+2+3+......+n
②1+3+5+......+(2n-1)
③2+4+6+......+2n
例2、直接代公式求和
①前提在等差数列中已知，，求；
②前提在等差数列中已知，，求；
【检测训练】
1、求；
2、见17页练习1。
反思栏
三、教学过程
【自主预习】
1．等差数列的通项公式.
2．等差数列重要推广公式：
3.阅读问题提出，思考：（1）高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？
（2）从这个问题的解决过程中悟出求一般等差数列的前项和的方法吗？
【合作探究】
一、等差数列的前项和公式的推导过程
二、等差数列的前项和公式的应用
例1、特殊的等差数列求和

2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：1.2.2 等差数列的前n项和(一)

2.2 等差数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1.把握等差数列前n 项和公式及其猎取思路.2.经受公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的争辩方法，学会观看、归纳、反思.3.娴熟把握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．1．数列的前n 项和设S n 为数列{a n }的前n 项和，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1. 2．等差数列的前n 项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式S n ＝n (a 1＋a n )2S n ＝na 1＋n (n －1)2d3.等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[情境导学]“数学王子”高斯是德国数学家．在高斯10岁时，老师出的一道数学题为1到100的全部整数的和为多少？很快高斯便得出答案为5 050.老师大吃一惊，而更使人吃惊的是高斯的算法，高斯的算法是老师未曾教过的方法，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，本节我们就来争辩它．探究点一等差数列前n 项和公式思考1 高斯是用怎样的方法快速求出1＋2＋3＋…＋100＝？答高斯的算法是S 100＝1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100＝100＋99＋98＋97＋…＋3＋2＋1，这两个等式上、下对应项的和均为101，所以2S 100＝101×100＝10 100，即S 100＝5 050.思考2 人们从“高斯的算法”受到启示，制造了“倒序相加法”，即设S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.两式相加有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101， ∴S ＝50×101＝5 050.你能利用此种方法求1＋2＋3＋…＋n 等于多少吗？答设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n (n ＋1)2.思考3 如何用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？答 S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]； S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]．两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )×n ，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2.依据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，代入上式可得S n ＝na 1＋n (n －1)2d .小结 (1)我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .(2)等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .例1 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含很多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从其次圈开头，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问： (1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9. 由等差数列的通项公式，得第9圈有石板 a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板 S 9＝9a 1＋9(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)．答第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟建立等差数列的模型时，要依据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是依据首项和公差选择前n 项和公式进行求解．易错方面：把前n 项和与最终一项混淆，遗忘答或写单位．跟踪训练1 在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10 m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列：0,20,40,60，…，380，这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和 S ＝20×(20－1)2×20＝3 800(m)．答植树工人共走了3 800 m 的路程．例2 九江抗洪指挥部接到预报，24 h 后有一洪峰到达，为确保平安，指挥部打算在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为其次道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h ．但目前只有一辆投入施工，其余的需从昌九高速大路沿线抽调，每隔20 min 能有一辆翻斗车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h 内能否构筑成其次道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：h)依次设为a 1，a 2，…，a 25，由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×242×⎝⎛⎭⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. 因此，在24 h 内能构筑成其次道防线．反思与感悟解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型．本题就是建立了等差数列的前n 项和这一数学模型，以方程为工具解决问题的．跟踪训练2 若只有25辆车可以抽调，则最长每隔多少分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24. 由例题的解答可知，需要完成的工作量为480.即25辆翻斗车完成的工作量需满足条件 a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×242×d ≥480，解得d ≥－25.所以最长每隔24分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务．探究点二等差数列前n 项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？假如是，它们的公差是多少？答由S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1＋md ＋a 2＋md ＋…＋a m ＋md ＝S m ＋m 2d . 同理S 3m －S 2m ＝a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m ＝S 2m －S m ＋m 2d . 所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，并且公差为m 2d .思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答a nb n ＝S 2n －1T 2n －1. 证明：∵S 2n －1＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)＝2n －12·2a n ＝(2n －1)a n ；同理T 2n －1＝(2n －1)b n ； ∴S 2n －1T 2n －1＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝a nb n. 即a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.(2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512. 反思与感悟等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，假如运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)＝12n －52， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ·32＋(－12)×n (n －1)2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171. [呈重点、现规律]1．推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要留意整体思想的应用，留意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类争辩思想．一、基础过关1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15 答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，全部被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．答案n ＋1n解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n .7．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧a ＋3a ＝2×4d ＝4－aka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2d ＝2k ＝50.(注：k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50. 二、力气提升8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析由于{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案 A 解析方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13， ∴a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9照旧是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3， S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开头运动后几分钟相遇？(2)假如甲、乙到达对方起点后马上返回，甲连续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙连续每分钟走5 m ，那么开头运动几分钟后其次次相遇？解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开头运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开头运动后15分钟．12．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解方法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项和为－110.方法二设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.三、探究与拓展13．2000年11月14日训练部下发了《关于在中学校实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中学校建成不同标准的校内网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺当实施，方案每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的将来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解依题意得，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以可以建立一个等差数列{a n }，表示从2001年起各年投入的资金，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2010年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×(10－1)2×50＝7 250(万元)．答从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．。