等差数列求和1 北师大版
《等差数列》_精品PPT课件-ppt【北师大版】1
an am(nm)d
∴ d= a m a n mn
记上哦！
《等差数列》精品ppt北师大版1-精品 课件pp t(实用 版)
《等差数列》精品ppt北师大版1-精品 课件pp t(实用 版)
➢课堂检测清单
【当堂检测】独立10分钟完成，小组核对答案
见课堂检测清单！
《等差数列》精品ppt北师大版1-精品 课件pp t(实用 版)
《等差数列》精品ppt北师大版1-精品 课件pp t(实用 版)
➢课堂展示清单
设等差数列{an}的公差为d，当d＞0，
记 d＜0，d＝0时，数列{an}的特点： 上 d＞0时，{an}是递增数列；
哦 d＜0时，{an}是递减数列；
d=0时，{an}是常数列.
ห้องสมุดไป่ตู้
！
《等差数列》精品ppt北师大版1-精品 课件pp t(实用 版)
∴a20=11-3×20=-49
(2)由题意得： a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式：an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
《等差数列》精品ppt北师大版1-精品 课件pp t(实用 版)
➢课前预备清单
【学习目标】
1．理解等差数列的概念； 2．掌握等差数列的通项公式． 3．能在具体问题中发现数列的等差关系，并能用 相关知识解决相应问题。
北师大版高中数学必修5等差数列教案
第二节等差数列
（一）等差数列
【教学目标】
1.知识与技能
（1）理解等差数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差；
（2）能运用等差数列的通项公式解决相关问题．
2.过程与方法
通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。
3.情感、态度与价值观
通过对等差数列概念和通项公式的探究，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。
【教学重难点】
重点：等差数列概念和通项公式的探究及等差数列通项公式的运用。
难点：等差数列通项公式的探究及其运用。
【教学过程】
一、课前预习指导：
仔细阅读课本，完成以下预习检测
1．观察下面几组数列：
(1)3,4,5,6,7，…； (2)6,3,0，－3，－6，…；
(3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…； (4)－1，－1，－1，－1，－1，….
回答这几组数列的共同特点是________________________________．
2.判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，
请说明理由．
(1)4,7,10,13,16，…； (2)31,25,19,13,7，…；
(3)0,0,0,0,0，…； (4)a，a－b，a－2b，…；
(5)1,2,5,8,11，….
二、新课学习
问题探究一等差数列的概念
例1判断下列数列是否为等差数列.
（1）a n＝2n－1 （2）a n＝（－1）
问题探究二等差数列的通项公式
例2 已知等差数列｛a n｝，a=1，d= 2，求通项a n.
高中数学(北师大版)必修五教案：1.2 拓展资料：等差数列求和的故事
等差数列求和的故事
数学家高斯小时候做的题1+2+3+…+100，就是求公差为1的等差数列前100项的和。小高斯想到的方法与等差数列前n项和的公式完全相同。
等差数列是一个古老的数学课题。例如，早在公元前2700年埃及数学的“莱因特纸草书”中，就记载有相关的问题。在巴比伦晚期的“泥板文书”中，也有按递减分物的等差数列问题。
其中一个问题的大意是：
10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目。现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟分得银子相差多少？
在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤。比如卷上第23题（用现代语叙述）：
有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？
这实际上是一个已知首项、末项，以及项数求总数的问题。
等差数列有着较为广泛的实际应用。例如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码。
(北师大版)数学必修五：1.2《等差数列(第1课时)》ppt课件
第一章
§1
数 列
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
2x＝a＋b， 所以 2b＝x＋2x，
1 a 1 解得3b＝a，即b＝3.
第一章
§1
数 列
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
灵活设项求解等差数列问题 (1) 三个数成等差数列，和为 6 ，积为－ 24 ，求 这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2，首末两项
已知 b 是 a ， c 的等差中项，且 lg(a ＋ 1) ， lg(b － 1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值． [分析] 先由等差中项与条件等式解得b值，然后再利用等
差中项公式求解．
第一章
§1
数 列
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
3．已知等差数列 {an}的通项公式 an＝3－2n，则它的公差
为( ) A．2 C．－2 [答案] C [解析] ∵an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)， ∴公差为－2，故选C． B．3 D．－3
等差数列前n项和(北师大版,优质课比赛,优秀获奖课件)
等差数列的前n项和
讲课人：张江平
1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 an1 an d (是与n无关的数或式子）
复习
a1＋(n－1)d ， 2．等差数列的通项公式：an＝______________ an＝nd＋(a1－d) ． an＝am＋(n－m)d 或________________ 可变形为_________________
想 一 想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否 求出其余两个量 ?
n（n 1) S n na1 d 2
an a1 (n 1)d
说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉 及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。
2.等差数列的前项和公式2：
3.(1)倒序相加法求和
n( a1 an ) Sn 2 n(n 1) S n na1 d 2
(2)“知三求二”方程思想：在两个求和公式中,各有五个元素,
只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.
作业布置
P17. 练习1第3题
a9 a1 (9 1)d 9 (9 1) 9 81 （块） .
北师大版高中数学必修五等差数列前n项和教案
1.2.2等差数列前n项和
教学目标
1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；
（2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；
（3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.
教学重点:等差数列的前项和公式的推导和应用，
难点:获得推导公式的思路.
教学方法:讲授法.
教学建议
（1）知识结构
本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．
（2）重点、难点分析
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．
（3）教法建议
①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，
一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.
课件：等差数列(北师大)
数列的函数特性
x
y
自变量
n
函数值
an
从函数的观点看，数列可以看作是自变量
取值集合是正整数集 N*（或它的有限子集
{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到
大依次取值时对应的一列函数值，通项公式
d an an1(n 2)或d an1 an 是 证 明 或 判 断 一 个 数 列是 等 差 数 列 的 依 据 。
(d是 常 数)
作业
1、习题1--2 A组：第1、2、3、5，7
２、选做： (1 )已知数列{ an }的通项公式是an =3n-1， 求证：{an}为等差数列；
(2) 已知数列{an}是等差数列，
求证：数列{an+an+1} 也是等差数列.
例1：判断下面数列是否为等差数列。 （1）an=2n-1（2）an=(-1)n 例2： 已知等差数列{an}，a1=1,d= 2，求通项an。
解：根据等差数列的定义，我们知道，这个数列开头几项应该是：
a１=1, a2=a1+ 2 =1+ 2
a3= a2 + 2 =(1+ 2 )+ 2 =1+2 2 ,
例4 已知在等差数列{an} 中，a5=-20,a20=-35. 试求数列的通项公式。
北师大版必修5：2.1《等差数列》课件
例3： 在等差数列{an}中 ， 已知a6=12 ， a18=36 ,求首项a1 ，公差 d 及通项an 。
分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知
数组成方程组，可解出a1与d 。
***********
等差数列的通项公式推导2（叠加）
a 2 a1 d
a3 a 2 d
a 4 a3 d a n 1 a n 2 d
a n a n 1 d
叠加得 a n a1 ( n 1) d
a n a 1 ( n 1) d
…
例2．已知等差数列10，7，4，……； （1）试求此数列的第10项； （2）－40是不是这个数列的项？－56是不 是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解：（1）设此数列为{an}， 由a1=10，a2=7，得d=7－10=－3， 得到这个数列的通项公式为 an=10－3(n－1)，即an=－3n+13， 当n=10时，a10=－17.
二等差数列的定义如果一个数列an从第2项起每一项与前一项的差都等于同一个常数那么这个数列为等差数列这个常数叫做等差数列的公差公差通常用字母d表示
2.1 等差数列
新课讲解
阅读课本10-12页并弄清:
1.什么样的数列是等差数列？
高中数学课件-1-2-1-1等差数列的概念和通项公式 课件(北师大版必修5)
a3＝a1＋2d＝5， a7＝a1＋6d＝13，
解得ad1＝＝21，，
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ∴通项公式是an＝2n－1.
第一章 数列
进入导航
解法二：∵d＝a77－－3a3＝13－ 4 5＝2， ∴an＝a3＋(n－3)d＝5＋(n－3)×2＝2n－1. ∴通项公式是an＝2n－1. (2)∵a,2a－1,3－a是等差数列的前三项， ∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1)． 解得a＝54， ∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝14.
第一章 数列
进入导航
2．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项 a1与公差d，并求该数列的通项公式．
【分析】 本题主要考查等差数列通项公式的简单应 用，可以用a1，d表示出a5，a12，建立a1，d的方程，再解方 程组．也可用等差数列任意两项的关系求出d和a1.
第一章 数列
进入导航
第一章 数列
进入导航
重点难点
重点：理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的 通项公式.,难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思 想方法.
第一章 数列
进入导航
预习篇01
新知导学
第一章 数列
进入导航
等差数列的定义
如果一个数列从第2项起， 每一项与前一项的差 是 同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常 数为等差数列的 公差 ，通常用字母d表示．
北师大版《等差数列前n项和》教学设计
《等差数列的前n 项和》教学设计
一、概念的提出与逆项相加原理
设}{n a 是等差数列，n S 为}{n a 前n 项的和，则n n a a a S +++=...21.这就是我们这节课要学习的内容，即等差数列前n 项的求和问题.
下面我们来认识一个因为高斯而著名的例题，并给出高斯算法.
例1 }{n a 的通项公式为,n a n =求100S .
高斯算法：10099984321100+++++++=...S
123979899100100+++++++=...S
因为这两项上下对应项的和均为101，所以
101001011011012100100=+++= 个
...S
所以， 5050.2
10100S 100== 这里运用了一种原理，叫作逆项相加原理。我们就以这种方法去获取等差数列前n 项和的公式.
二、等差数列前n 项求和公式的推导
设n S 是等差数列}{n a 前n 项和，即
n n a a a S +++=...21.
根据等差数列}{n a 的通项公式，上式可以写成
])([...)()(d n a d a d a a S n 121111-+++++++=
再把项的次序倒过来，可以写成
])([...)()(d n a d a d a a S n n n n n 12--++-+-+=
把两式等号两边分别相加，得
个
n n n n n a a a a a a S )(...)()(++++++=1112 )(n a a n +=1
于是，首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列的前n 项和
2
北师大版 高中数学 必修五 第一章 数列求和教学设计
数列求和教学设计
一、教材分析
数列的求和是北师大版高中必修5第一章第内容。它是等差数列和等比数列的延续，与前面学习的函数也有着密切的联系。它是从实际问题中抽离出来的数学模型，实际问题中有广泛地应用。同时，在公式推导过程中蕴含着分类讨论等丰富的数学思想。
二、教法分析
基于本节课是专题方法推导总结课，应着重采用探究式教学方法。在教学中以学生的讨论和自主探究为主，辅之以启发性的问题诱导点拨，充分体现学生是主体，教师服务于学生的思路。
三、学法分析
在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的概念及通项公式，已经具备了一定的知识基础。在教师创设的情景中，结合教师点拨提问，经过交流讨论，形成认识过程。在这个过程中，学生主动参与学习，提高自身的数学修养。让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
四、三维目标
1知识与技能
理解掌握各种数列求和的方法,学会解析数列解答题,提高解决中难题的能力.
2过程与方法
通过对例题的研究使学生感受数列求和方法的多样性
3情感态度与价值观
感受数学问题的差异，但又能以不同的方法加以解决，进而体会到数学知识的灵活性五、教学重点与难点
本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立如下教学重点与难点：
重点：数列求和公式的推导及其简单应用。此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重要思想，是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。为此，我给出了四种方法进行数列求和，加深学生理解，突出重点。
难点：数列求和公式的推导及应用。在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的前n项和，可由此引发进行数列求和的专题学习，为此，我引导学生先进性等差与等比数列的复习。由此引入专题学习。
《等差数列》课件北师大版3
两式相减得 a20 a10 60 10d60
d 6 a 1 4
Sna1n（ nn 2 1 ） d3n2n
《等差数列》课件北师大版3
《等差数列》课件北师大版3
对于等差数列的相关量 a1, an, n, d, Sn ，已知几个量就可以 确定其他量？
答案: n=9，或n=-3（舍去）
提 示 ： d 4 , 5 4 1 0 n n n 1 4
2
《等差数列》课件北师大版3
《等差数列》课件北师大版3
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
Sn
n(a1 an) 2
Sn
na1
n(n1)d 2
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；
《等差数列》课件北师大版3
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的
等差数列｛an｝的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 500 （2）a1=100，d=－2，n=50 2550
解： 1Sn
n(a1an) 2
10
(5 2
95)
500
解 ： 2Snna1n(n21)d 5010050(501)-2 2550
2
《等差数列》课件北师大版3
《等差数列》课件北师大版3
1-2-2-1等差数列的前n项和 课件(北师大版必修5)
第一章
数列
进入导航
【思路探究】
a1，d，n称为等差数列的三个基本
量，an和Sn都可以用这三个基本量表示，五个基本量a1， d，n，an，Sn中可“知三求二”．
第一章
数列
进入导航
【尝试解答】 ＝－15，
3 nn－1 1 － (1)∵Sn＝n· 2＋ 2 · 2
整理，得n2－7n－60＝0. 解之得n＝12或n＝－5(舍去)．
第一章
数列
进入导航
求数列{|an|}的前n项和
【例4】
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－
12，求数列{|an|}的前n项和． 【思路探究】 本题实质是求等差数列{an}的前n
项绝对值的和，需要先搞清哪些项是正的，哪些项是负 的．
第一章
数列
进入导航
【尝试解答】
等差数列{an}的公差为：
第一章
数列
进入导航
等差数列中： (1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn； (2)an＝8n＋2，d＝5，求S20； 1 (3)d＝3，n＝37，Sn＝629，求a1及an.
第一章
数列
进入导航
【解析】
(1)由an＝a1＋(n－1)d，且a1＝105，d＝7，
即994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128. na1＋an 128×105＋994 ∴Sn＝ ＝ ＝70 336. 2 2 (2)∵an＝8n＋2，∴a1＝10，又d＝5， 20×20－1 ∴S20＝20a1＋ ×5＝20×10＋10×19×5 2 ＝1 150.
2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：1.2.2 等差数列的前n项和(一)
2.2 等差数列的前n 项和(一)
明目标、知重点 1.把握等差数列前n 项和公式及其猎取思路.2.经受公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的争辩方法，学会观看、归纳、反思.3.娴熟把握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．
1．数列的前n 项和
设S n 为数列{a n }的前n 项和，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1. 2．等差数列的前n 项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式
S n ＝n (a 1＋a n )
2
S n ＝na 1＋n (n －1)
2
d
3.等差数列前n 项和的性质
(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d
2.
(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .
(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1
T 2n －1
.
[情境导学]
“数学王子”高斯是德国数学家．在高斯10岁时，老师出的一道数学题为1到100的全部整数的和为多少？很快高斯便得出答案为5 050.老师大吃一惊，而更使人吃惊的是高斯的算法，高斯的算法是老师未曾教过的方法，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，本节我们就来争辩它． 探究点一 等差数列前n 项和公式
北师大版高中数学必修五学案等差数列的前n项和
等差数列前n 项和
【学习目标】
1、知识与技能: 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题
2、经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思
【课前预习案】
一、【知识储备】
1．等差数列的定义： __________________________________________________________
2．等差数列的通项公式：_______________________________________________________
3．几种计算公差d 的方法：___________________________________________________
4．等差中项：________________________________
5．等差数列的性质： ________________________________________________________
二、【自主学习】
1、学习等差数列
{}n a 前n 项和n S 公式推导过程。 2、等差数列
{}n a 的公差为d ，首项为1a ，前n 项和n S 公式（1）=n S 公式（2）=n S 。
三、【小试身手】
1 等差数列
{}a n 中， (1)已知150a 3,101a == 则50s =__________________
(2)已知1a 3=，12d =
则10s =___________________
2等差数列{}a n 中，已知
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
S 练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列 a n 的 n
( (1 2 )) a a S1 1 1 0 5 1 1,a 0 n ,(0 d 5 25 9 （ 95 0 0 ,5 )2 n 5 0 ,1 n 5 )1 0.5 ;00 ;0 SnSnn1an（ n（ an2121)adn)
2)
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁 时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在 给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6； 4+6=10… 算 得 不 亦 乐 乎 时 ， 高 斯 站 起 来 回 答 说 ：
“1+2+3+…+100=5050。
(1)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与 末项的和; (2)所求的和可以用首项、末项及项数来表示.
计算: 1+2+…3++199=? … 解：设 s199= 1+ 2+ 3+ +197+198+199
… s199=199+198+197+ + 3+ 2 + 1
2s199=(1+199)+(2+198)+(3+197)+ … +(197+3)+(198+2)+(199+1)
为回避个数问题，做一个改写
S n a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n ，
S n a n a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 1 ，
两式左右分别相加，得
2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2) (an2a3)(an1a2)(ana1)
an an1 an2 an3 63 (2)
2 1得 4(a1 an ) 88
a1 an
22
Q sn
n(a1 an ) 286 2
n 26
例4 求集合 M m |m 7 n ,n N * ,且 m 1 0 0
的元素个数，并求这些元素的和.
解：7n100n100142
7
7
所以集合M中的元素共有14个. 将它们从小到大列出，得
7 , 27, 37, 47, , 147,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 a n
a 17,a 14 9,n 814 S1414(7298 )73.5
Sn
n（a1an) 2
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
老师问：“你是如何算出答案的？
高斯的算法： 首项与末项的和：1+100=101, 第2项与倒数第2项的和：2+99=101, 第3项与倒数第3项的和：3+98=101, ……
第50项与倒数第50项的和：50+51=101. 于是所求的和为：(110)01005050 上述求解过程带给我们什么启2示？
由公式可得 10nn(n1)454 2
解之得： n19,n23（舍去）
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54
例 3 、 以 知 等 差 数 列 a n 的 前 四 项 和 为 2 5 ， 最 后
四 项 和 为 6 3 ， 前 n 项 和 为 2 8 6 ， 求 项 数 n 。
解：Q a1 a2 a3 a4 25 (1)
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
3. 等差前n项和Sn公式的理解.
同学们，再见！
(S 3 5)a 0 15 0 3 2 1,a 0 n 0 22 3,n ( 1 2) ;425 Sn5 n0 （a12an)
1 4 [2/3( 3/2 )] 35
S 14
2
. 6
(4 )a 1 1.5 4 ,d 0 .7 ,a n 3.2
n320.174.5126, S26 2 6(12 .5 4 a3 n )2 a16 (0 n.5 .4 1)d
例5 已知一个直角三角形的三条边的长成等 差数列，求证它们的比是3：4：5.
证明： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列，
它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)
由勾股定理，得到
(ad)2a2(ad)2
解得
a4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n 叫做数列 a n 的前n项和。
an
Sn
S1(n 1) Sn1(n
解： 此题中的等差数列共有n+2项
所以各项之和为：
S(52n7)(n2) 2
(n6)n (2)
n28n12
例2. 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{ a n } ，前n项和为 S n 则 a 1 1 ,d 0 ( 6 ) ( 1 ) 0 4 ,S n 54
2.
求正整数中前n个数的和.
Sn
Snn(1 2n)n(n21).
Snn（na（ 12aa12n)an)
3.求正整数中前n个偶数的和.
Snn(222n)n(n1).
小结
1. 等差前n项和Sn公式的推导； 2. 等差前n项和Sn公式的记忆与应用；
Snn(a12 an)n(am 2anm 1)
S nn a 1n (n 2 1 )dn a n （ nn 2 1 )d
S199(119291) 99 =19900
猜想 设Sn是等差数列{an}的前n项的和,
即 S n a 1 a 2 a n 1 a n
n(a1 an) 2
问题：设等差数列a n 的首项为 a 1 ，公差为d，
S n a 1 a 2 a 3 L a n ?
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 L ，
等差数列的 前n项和(1)
复习：
(1)什么叫等差数列?
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:
anan1d(d为常 ,n2 数 )
(2)a等n=差a数1+列(n的-1通)d项公a n 式 是a 什m 么( ?n m ) d(其 中 n ,m N )
2Snn(a1an)
于是有：Sn
n(a1 an) 2
.这就是倒序相加法.
等差数列的前n项和公式
Sn
n（a1an) 2
n(am
anm1) 2
a na 1(n 1 )dSn n1an（n21)d
a 1a n(n 1 )dSn nann（n21)d
例1. 求等差数列5，7，9 … ， 2n+7的各项之和.