【K12教育学习资料】(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.5 二次函数与幂函数(讲)
2019届高考一轮复习备考资料之数学江苏专版讲义：第二
§2.1 函数及其表示考情考向分析 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．1．函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 知识拓展简单函数定义域的类型(1)当f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)当f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)当f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )题组二 教材改编2．[P83例1]函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________． 答案 [－3,6)3．[P30练习T2]函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2；当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，－x 2＋3，x <0，若f (a )＝2，则a 的值为________．答案 －1或2解析 当a ≥0时，2a －2＝2，解得a ＝2； 当a <0时，－a 2＋3＝2，解得a ＝－1. 综上，a 的值为－1或2.6．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1．已知A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N *，k ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值． 解 由对应法则知，1→4,2→7,3→10，k →3k ＋1. 由a 4≠10，故a 2＋3a ＝10，解得a ＝2或a ＝－5(舍去)，所以a 4＝16.于是3k ＋1＝16，所以k ＝5. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1表示同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域典例 (1)函数f (x )＝1x ln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________．答案 [－4,0)∪(0,1) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2＞0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x ＜0或0＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－1,1)∪(1,2 017]解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0， 解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围典例 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫0，34 解析 要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0， 得0＜m ＜34.由①②得0≤m ＜34.(2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练 (1)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是________．答案 (－1,0)∪(0,3] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域是(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． (3)若函数y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫0，12 解析 由ax 2－4ax ＋2>0恒成立，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－4a )2－4×a ×2<0， 解得0≤a <12.题型三 求函数解析式1．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2，则f (x )＝________.答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2) 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 又| x ＋1x| ≥2，∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1. 由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为________． 答案 1解析 f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫－43＋1 ＝cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－4π3＋1＝1. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.答案 －74解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，若a ≤1，则2a －1－2＝－3，即有2a －1＝－1<0，方程无解；若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7， 则f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝x 2－2x －5，若f (g (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]∪[0,22－1] 解析 ∵g (x )为定义在R 上的奇函数，∴g (0)＝0，若x >0，则－x <0，g (－x )＝x 2＋2x －5， ∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )＝－x 2－2x ＋5，x >0， 由题意，知f (－2)＝2，∴f (g (a ))≤2即为f (g (a ))≤f (－2)．又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g (a )≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0， ∴a ≤－1或0≤a ≤22－1.思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的取值集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝122-.故x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0， ∴g (t )在(－∞，1)上为增函数， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，得当a ＜1时，有3a －1≥1，解得a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，解得a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x -＞2x ＞2＞1； 当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋32， ∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)⎣⎡⎭⎫23，＋∞ (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．(2017·苏州中学月考)从集合A 到集合B 的映射f ：x →x 2＋1，若A ＝{－2，－1,0,1,2}，则B 中至少有________个元素． 答案 3解析 根据映射的定义，可得x ＝±2→y ＝5，x ＝±1→y ＝2，x ＝0→y ＝1， 故集合B 中至少有3个元素．2．(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3,1]解析 要使原函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3,1]． 3．(2017·靖江中学调研)直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋x －1的图象公共点的个数为________． 答案 1解析 ∵函数y ＝x 2＋x －1的定义域为R ，∴根据函数的概念可得直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋x －1的图象公共点的个数为1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 答案 9解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－x ＋1(x ≠1)解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是________．答案 ①解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项①符合条件．7．(2017·山东改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________. 答案 6解析 由当x ≥1时f (x )＝2(x －1)是增函数可知，若a ≥1，则f (a )≠f (a ＋1)，所以0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12 解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )的定义域是__________．答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________________．答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由e x －1≤2，得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]．14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1)上的解析式为f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式． 解 (1)由题意知，f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2；当x ∈[1,2)时，x －1∈[0,1)，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2] ＝4(x ＋2)2.令x ＝0，则f (0)＝－2f (1)，令x ＝1， 则f (1)＝－2f (2)，∴f (0)＝4f (2)． 又f (0)＝0，∴f (2)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1)，－12(x －1)2，x ∈[1，2)，0，x ＝2.。
2019届高考一轮复习备考资料之数学江苏专版讲义：第二章+函数概念与基本初等函数I+2.7+Word版含答案
§2.7 函数的图象考情考向分析 函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x ) ―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x ) ――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．知识拓展1．关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称．(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( × )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( √ ) 题组二 教材改编2．[P88思考]函数f (x )＝x ＋1x 的图象关于________对称．答案 原点解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数． 3．[P71习题T12]函数y ＝21－x 的大致图象为________．(填序号)答案 ①解析 y ＝21－x ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，因为0<12<1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1为减函数，取x ＝0，则y ＝2，故填①. 4．[P35习题T5]f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|的单调递增区间为________． 答案 [3，＋∞)解析 f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤－1，4，－1<x <3，2x －2，x ≥3.画出f (x )的图象如图，由图象可知函数的单调递增区间为[3，＋∞)． 题组三 易错自纠5．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向________平移3个单位长度，再向________平移________个单位长度． 答案 左 下 1解析 ∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－lg 10＝lg(x ＋3)－1，∴把y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度即得y ＝lg x ＋310的图象．6．将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象． 答案 f (－x ＋1)解析 图象向右平移1个单位长度，是将f (－x )中的x 变成x －1.7．设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________． 答案 (4，＋∞)解析 画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b ，故取不到等号)，所以ab >4.题型一 作函数的图象作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②实线部分．(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③实线部分．思维升华 图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二 函数图象的应用命题点1 研究函数的性质典例 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)； ②f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)； ③f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)； ④f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)． 答案 ③解析 (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.答案 9解析 作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm ＝9.命题点2 解不等式典例 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2 解析 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1， 所以f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. 命题点3 求参数的取值范围典例 (1)(2017·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，x 3，－1≤x ≤1，若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 在同一个直角坐标系中，分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图象，则函数f (x )max ＝f (1)＝1，设A (1,1)，B (－1,0)，函数y ＝k (x ＋1)过点B ，则由图可知，要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则0＜k ＜k AB ＝12.(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [－1，＋∞) 解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)． 思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故当f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(2)已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是__________．答案 (－1,0)∪(1，2]解析 由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．高考中的函数图象及应用问题考点分析 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解题前提． 典例 (1)若函数f (x )＝(2－m )x x 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为________．解析 根据图象可知，函数图象过原点， 即f (0)＝0，∴m ≠0.当x >0时，f (x )>0，∴2－m >0，即m <2，函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的， ∴f ′(x )>0在[－1,1]上恒成立， f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2>0，∵m －2<0，∴只需要x 2－m <0在[－1,1]上恒成立， ∴(x 2－m )max <0，∴m >1， 综上所述，1<m <2. 答案 (1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ， 其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m 在(m ，＋∞)上为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3. 答案 (3，＋∞)1．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.按照曲线A ，B ，C ，D 的顺序，则依次与之对应的方程的编号为________． 答案 ④②①③解析 按图象逐个分析，注意x ，y 的取值范围． 2．方程x lg(x ＋2)＝1有________个不同的实数根．答案 2解析 依题意知x ≠0，且x >－2，原式等价于lg(x ＋2)＝1x ，在同一直角坐标系中作出y ＝lg(x＋2)，y ＝1x(x >－2且x ≠0)的图象，如图所示，故方程有2个不同实数根．3．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是________． 答案 x ＝1解析 因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )， 所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.4．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为________． 答案 2解析 在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图象如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．5．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝e－x －1解析 与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移一个单位长度，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e－(x＋1)＝e－x －1.6．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为________． 答案 2解析 作出f (x )的图象，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．7. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝______.答案 2解析 ∵由图象知f (3)＝1， ∴1f (3)＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.8．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________． 答案 {x |x ≤0或1<x ≤2}解析 画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}． 9．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________． 答案 (4,5)解析 作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．10．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 答案 0解析 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.11．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________． 答案 6解析 作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cos πx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.12．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是单调减区间；(1,2]，[3，＋∞)是单调增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．13．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值f (4)＝6.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k的取值范围为________________________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，34∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解析 对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立， 即f (x )max ≤|k －1|.作出f (x )的图象如图实线部分所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.15．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是______． 答案 [－2,1)解析 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1， 得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1. 16．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．。
2019届高考一轮复习备考资料之数学江苏专版讲义：第二
§2.6 对数与对数函数考情考向分析 以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为填空题，中低档难度．1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 知识拓展1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a；(2)log m n ab ＝n mlog ab . 其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 题组二 教材改编2．[P80习题T6]log 29·log 34·log 45·log 52＝________. 答案 23．[P83例2]已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .4．[P85练习T2]函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析 由23log (2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.题组三 易错自纠5．(2018届新海中学摸底)函数f (x )＝log 2(3－a x )在(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3]解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a ≥0，解得1<a ≤3.6．(2018届常州一中质检)若函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，则实数a ＝________. 答案 －14解析 令h (x )＝ax 2＋2x －1，由于函数g (x )＝log 3h (x )是递增函数，∴要使函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，应使h (x )＝ax 2＋2x －1有最大值3，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4＋4a >0，－4a －44a ＝3，解得a ＝－14.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)．题型一 对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.答案10解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷12100-＝________.答案 －20解析 原式＝(lg 2－2－lg 52)×12100＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1 解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 题型二 对数函数的图象及应用典例 (1)如图，已知过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点．①求证：O ，C ，D 三点共线； ②当BC ∥x 轴时，求A 点的坐标．①证明 因为A ，B 在函数y ＝log 8x 的图象上， 所以设它们的坐标分别为(x 1，log 8x 1)，(x 2，log 8x 2)，又AC ∥y 轴，BD ∥y 轴，且点C ，D 在函数y ＝log 2x 的图象上，从而C ，D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2)．由O ，A ，B 三点共线，知k OA ＝k OB ，即log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2， 即13log 2x 1x 1＝13log 2x 2x 2，即log 2x 1x 1＝log 2x 2x 2，所以k OC ＝k OD ，从而O ，C ，D 三点共线．②解 由BC ∥x 轴，知y B ＝y C ，即log 8x 2＝log 2x 1，于是log 8x 2＝log 8x 31，得x 2＝x 31，代入log 2x 1x 1＝log 2x 2x 2，得log 2x 1x 1＝log 2x 31x 31，log 2x 1x 1＝3log 2x 1x 31.因为x 1≠1，所以x 21＝3，得x 1＝3，从而点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，16log 23. (2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1解析 由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入到y ＝log a x 中，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.引申探究若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析 若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点， 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x ||，x ≠0，0，x ＝0，若c <0，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0的互异实根的个数是________． 答案 4解析 偶函数f (x )的图象如图所示．因为c <0，所以关于f (x )的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0两根异号，由图知关于x 的原方程有4个互异实根．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 对数函数的单调性典例 (1)已知函数f (x )＝log a (ax 2－x ＋1)，其中a >0且a ≠1. ①当a ＝12时，求函数f (x )的值域；②当f (x )在区间⎣⎡⎦⎤14，32上为增函数时，求a 的取值范围． 解 ①令u (x )＝ax 2－x ＋1，当a ＝12时，u (x )＝12x 2－x ＋1＝12(x －1)2＋12.因为u (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 即u (x )≥12，所以log 12u (x )≤1，即函数f (x )的值域为(－∞，1]．②当a >1时，因为y ＝log a u (x )是关于u (x )的增函数，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤14，32上为增函数的充要条件是u (x )在⎣⎡⎦⎤14，32上单调递增且恒正， 从而⎩⎨⎧12a ≤14，u ⎝⎛⎭⎫14＝116a －14＋1>0，解得a ≥2；当0<a <1时，因为y ＝log a u (x )是关于u (x )的减函数，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤14，32上为增函数的充要条件是u (x )在⎣⎡⎦⎤14，32上单调递减且恒正， 从而⎩⎨⎧12a ≥32，u ⎝⎛⎭⎫32＝94a －32＋1>0，解得29<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤29，13∪[2，＋∞)．(2)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－4,4)解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．命题点2 和对数函数有关的复合函数 典例 已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即当x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，t (x )＝3－ax ， ∵a >0，∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1.当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响． (2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题． 跟踪训练 (1)(2018届无锡一中质检)已知函数f (x )＝log a1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则实数a ＋b 的值为________． 答案2解析 函数f (x )是奇函数，则其定义域关于原点对称，故由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)，∴b＝1.∴f (x )＝log a 1－x1＋x(0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，又0<a <1，∴f (x )在(－1，a ]上单调递增． 又∵函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1， 则g (a )＝a ，即a 2＋a ＝1－a ，解得a ＝2－1(舍负)， ∴a ＋b ＝ 2.(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0， 解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 知f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.比较指数式、对数式的大小考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一．(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a >b >c解析 因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c .(2)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c <b <a解析 ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)， c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是________．(填序号)①a <b <c ；②b <a <c ；③c <b <a ；④a <c <b . 答案 ①解析 由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下可能：1<c <b <a ；0<a <1<c <b ；0<b <a <1<c ；0<c <b <a <1.对照选项可知①中关系不可能成立．(4)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 b >a >c解析 易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以b >a >c.1．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c <a <b解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2. ∵b ＝21.1，∴b >2. ∵c ＝0.83.1，∴0<c <1. 即c <a <b .2．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为________．答案 (0,1]解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x ≥0，解得0<x ≤1，故所求函数的定义域为(0,1]．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是________． 答案 5解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎫log 312＝31log 23－＋1＝3log 23＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5. 4．(2018届淮安中学模拟)不等式log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，2解析 由log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，－x ＋5>0，2x －1<－x ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <5，x <2，即12<x <2， 故所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫12，2. 5．已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案 8解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝2 012， ∴503(a ＋b )＝2 012，∴a ＋b ＝4. ∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．6．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________． 答案 (0，＋∞)解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．7．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调递增区间是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析 函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在(0，＋∞)上为增函数， t ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数， 所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.9．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52，得t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴(a )a，即2a a ，即a ＝a2，解得a＝4，∴b ＝2.11．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1， 又2×12－a >0，所以13<a <43，且a <1，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数， 所以log a (1－a )>0，即1－a >1，且2×12－a >0，解得a <0，且a <1，此时无解． 综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解 (1)当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝12log ()x -．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以当x <0时，f (x )＝12log ()x -，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧12log x ，x >0，0，x ＝0，12log ()x -，x <0.(2)因为f (4)＝12log 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1， 而当x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2成立， 所以不等式的解集为(－5，5)．13．已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则下列结论正确的是________．(填序号) ①(a －1)(b －1)＜0； ②(a －1)(a －b )＞0； ③(b －1)(b －a )＜0； ④(b －1)(b －a )＞0. 答案 ④解析 由a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得，当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1， 代入验证只有④满足题意．14．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由题意可知原条件等价于f (x )min ≥g (x )min ， 即0≥14－m ，所以m ≥14.15．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题：①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数； ③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数． 其中是真命题的序号为________． 答案 ①③④解析 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x 2，可知当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即f (x )在x ＝1处取得最小值lg 2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④. 16．已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m(x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)当x ∈[2,6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立，∴x ＋1x －1>m(x －1)(7－x )>0， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，当x ∈[2,3]时，函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减， ∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.。
【配套K12】[学习](江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.6 指数与指数函数(测)
2019年高考数学一轮复习 专题2.6 指数与指数函数(测)](https://img.taocdn.com/s3/m/9505e6cb9b89680203d825cd.png)
专题2.6 指数与指数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为________． 【答案】－6a b【解析】原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b. 2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是________．【答案】(－2,0)3．已知实数a ，b 满足等式2 016a ＝2 017b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．【答案】2【解析】设2 016a ＝2 017b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得若t >1，则有a >b >0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x >1，－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 【解析】依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，2－3a <0，－3a＋1≥a 1，解得23<a ≤34. 5．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 【答案】[0,8)【解析】因为x ≥0，所以3－x ≤3，所以0＜23－x ≤23＝8，所以0≤8－23－x <8， 所以函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．6．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m,3)，则f (0)＋f (－m )＝________.【答案】43【解析】设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1.且f (m )＝a m＝3.所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝43. 7．已知函数f (x )＝a －x (a >0，且a ≠1)，且f (－2) >f (－3)，则a 的取值范围是________．【答案】(0,1)8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(－1,2) 【解析】原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 9. (log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)= .【答案】13【解析】原式＝(3log 25＋log 25＋13log 25)(log 52＋log 52＋log 52)＝133log 25·3log 52＝13.10. (log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)= ．【答案】54. 【解析】原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2 ＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
高考总复习课程--2019年高考数学(文)第一轮复习(江苏版) 讲义： 第1讲 集合与简易逻辑
第1讲 集合与简易逻辑金题精讲题一：已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为________． 题二：某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店：① 第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．题三：设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4题四：已知命题p ：0,ln(1)0x x ∀>+>，命题q ：若a > b ，则a 2 > b 2．下列命题为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝题五：设命题p ：2,2n n n ∃∈>N ，则p ⌝为( )A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2n n n ∃∈≤NC ．2,2n n n ∀∈≤ND ．2,=2n n n ∃∈N题六：设θ∈R ，则“||1212θππ-<”是“1sin 2θ<”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题七：设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第1讲 集合与简易逻辑 金题精讲题一：1．题二：①16；②29．题三：B ．题四：B ．题五：C ．题六：A ．题七：A ．。
2019届高考一轮复习备考资料之数学江苏专版讲义：第二
§2.2 函数的单调性与最值考情考向分析 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有填空题，又有解答题．1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ ) 题组二 教材改编2．[P40练习T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________． 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3．[P40练习T5]函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是________．答案 24．[P40练习T3]若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三 易错自纠5．函数y ＝log 12(x 2－4)的单调递减区间为________．答案 (2，＋∞)6．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性典例 (1)(2017·全国Ⅱ改编)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________． 答案 (4，＋∞)解析 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________． 答案 [－1,0]，[1，＋∞)解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是[－1,0]，[1，＋∞)． 命题点2 解析式含参数的函数的单调性典例 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性．解 函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3， 所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)， 故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 引申探究如何用导数法求解本例？解 因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8， 又1＜a ＜3， 所以2ax 3－1＞0， 所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．思维升华 确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法． (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”． (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接． 跟踪训练 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132231x x －＋的单调递增区间为________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，34 解析 易知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，t ＝2x 2－3x ＋1的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. ∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫132231x x －＋的单调递增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，34. (2)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________． 答案 [1,2]解析 由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间； 当x <2时，(－∞，1]是函数f (x )的单调递增区间， [1,2]是函数f (x )的单调递减区间． 题型二 函数的最值1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________．答案 26－6解析 当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x ＞1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小典例 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“>”连接) 答案 b >a >c解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且f (x )在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式典例 f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是________． 答案 (8,9]解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)， 由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f (x (x －8))≤f (9)， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.命题点3 求参数范围典例 (1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－∞，－3] (2)⎣⎡⎭⎫17，13解析 (1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.∴a 的取值范围是a ≤－3.(2)由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1.(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13， ∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫17，13.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a 的值是________． 答案 8解析 f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧x (2x －a )，x >a2，－x (2x －a )，x ≤a2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a 2，所以⎩⎨⎧a4≤2，a2≥4，解得a ＝8.(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________________． 答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增．∴19(log )f x ＞f ⎝⎛⎭⎫12或19(log )f x ＞f ⎝⎛⎭⎫－12，∴19log x ＞12或－12＜19log x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3.1．(2017·江苏前黄高级中学月考)函数f (x )＝232x x －的单调递增区间是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，32 解析 由于y ＝2u 在R 上单调递增，而u ＝3x －x 2在⎝⎛⎦⎤－∞，32上单调递增，在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上单调递减，故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，32. 2．函数f (x )＝1x 2－x ＋1的最大值为________．答案 43解析 由于g (x )＝x 2－x ＋1的最小值为34，故f (x )＝1x 2－x ＋1的最大值为43.3．(2017·江苏宿迁中学质检)函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域是________．答案 [0,1)解析 方法一 由y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1，又0<1x 2＋1≤1，则－1≤－1x 2＋1<0，所以0≤y <1，故函数的值域为[0,1)．方法二 由y ＝x 2x 2＋1，得x 2＝y 1－y ，而x 2≥0，故y1－y≥0，得0≤y <1，函数的值域为[0,1)． 4．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则a >0且a －1≥0，即a ≥1.5．(2017·天津改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 c <b <a解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25)． 又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c .6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．答案 [0,2]解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________． 答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增． 所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数g (x )的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1)．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析 作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2， 即a ≤1或a ≥4.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1， 所以a 的取值范围为1<a ≤2. 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)解 设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.12．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．解 f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －a 22－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a ≤0，∴a ＝1－2；②当0<a 2<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去； ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.13．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定是________函数．(填“增”“减”)答案 增解析 由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在(|a |，＋∞)上为增函数，故g (x )在区间(1，＋∞)上一定是增函数．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝⎛⎭⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )．则f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 答案 34解析 由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②，令x ＝1，可得f ⎝⎛⎭⎫13＝12f (1)＝12. 令x ＝13，可得f ⎝⎛⎭⎫19＝12f ⎝⎛⎭⎫13＝14. 由③结合f ⎝⎛⎭⎫13＝12，可知f ⎝⎛⎭⎫23＝12， 令x ＝23，可得f ⎝⎛⎭⎫29＝12f ⎝⎛⎭⎫23＝14， 因为19<18<29且函数f (x )在[0,1]上为非减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫18＝14，所以f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝34.16．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2， 当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。
【配套K12】(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.8 函数与方程(测)
专题2.8 函数与方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】由题意知，f (－1)·f (1)<0，即(1－a )(1＋a )<0，解得a <－1或a >1.2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞1，f －x ，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，323．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )．若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________． 【答案】7【解析】作出函数f (x )的图象(如图)，则它与直线y ＝1在[－2,4]上的交点的个数，即为函数y ＝f (x )－1在[－2,4]的零点的个数，由图象观察知共有7个交点，从而函数y ＝f (x )－1在[－2,4]上的零点有7个．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】[－1,0)【解析】当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即ex＝－a .当x ≤0时，e x∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >0， 12－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x －1|，x ≤0，2x －1＋a ，x ＞0，有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12【解析】由于当x ≤0，f (x )＝|x 2＋2x －1|时图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x －1＋a ＝0有1个正根即可，变形为2x＝－2a ，结合图形只需－2a ＞1，解得a ＜－12.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】(0,1)8．方程2x＋3x ＝k 的解在[1,2)内，则k 的取值范围为______． 【答案】[5,10)【解析】令函数f (x )＝2x＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x＋3x ＝k 的解在(1,2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.9. [x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4 (x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是 ． 【答案】2【解析】作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B.10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
【配套K12】(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.8 函数与方程(讲)
专题2.8 函数与方程【考纲解读】【直击教材】1．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______．【答案】13．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．【答案】－12，－13【知识清单】1．函数零点所在区间的判定1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2 判断函数零点个数函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f (x )＝0；(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )；(3)作出y 1，y 2图像；(4)由图像交点个数得出结论．3 函数零点的应用函数零点与函数交点关系【考点深度剖析】1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误认为函数图像与x 轴的交点．2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．【重点难点突破】考点1 函数零点所在区间的判定【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________．【答案】(1,2)．【1-2】函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】(0,3)【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.【思想方法】 函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点．考点2 判断函数零点个数【2-1】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______个．【答案】2【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____【答案】4【解析】由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1，又由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12. 若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14； 若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2， 综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点．【思想方法】(1)等价转化思想．(2)数形结合思想 【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质考点3 函数零点的应用【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0【3-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1 【解析】依题意，要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0即2x ＝a 必有一个根，此时0<a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的正实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9a 2－4a >0，3a >0，a >0，由此解得a >49.因此，满足题意的实数a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，a >49，即49<a ≤1. 【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质【易错试题常警惕】函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围． 如：已知集合(){}2,20x y x mx y A =+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若 A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ． 【分析】A B ≠∅，∴方程组212y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数 ()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．()010f =>，当()20f ≤，即32m ≤-时，显然A B ≠∅成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.【答案】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞。
【K12教育学习资料】(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.7 对数与对数函数(练)
专题2.7 对数与对数函数一、填空题 1．函数f (x )＝12x2－1的定义域为________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x 2>1，解得x >2或0<x <12.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 【答案】log 2x3． lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.【答案】－1【解析】lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >0，2－x，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝________.【答案】8【解析】f (f (－4))＝f (24)＝log 416＝2， 因为log 216<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝2－log 216＝2log 26＝6， 即f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝2＋6＝8.5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4. 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a ＞1时，3＋log a x ＞3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1，所以1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，3＋log a x ＜3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )＜0的解集是________． 【答案】(－2,0)∪(2，＋∞)7．设f (x )＝log ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.8若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是 [4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1,2]【解析】当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞13＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]． 二、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝(－x )，所以函数f (x )的解析式为(2)因为f (4)＝4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．能力提升题组11．(2017·扬州质检)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p ，q ，r的大小关系为________． 【答案】p ＝r <q【解析】∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r <q .12．如图所示，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．【答案】{x |－1<x ≤1}【解析】令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．13．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.【答案】4 214．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)。
【K12教育学习资料】(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.7 对数与对数函数(讲)
专题2.7 对数与对数函数【考纲解读】【直击教材】1．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是______(填序号)．【答案】②2．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点________． 【答案】(－1，－2)3．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 4．计算：(1)log 35－log 315＝______； (2) log 23·log 32＝______. 【答案】(1)－1 (2)1【知识清单】1．对数2.对数函数的图象与性质【考点深度剖析】关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．【重点难点突破】考点一 对数式的化简与求值 1．计算：(1)4log 23＝________. (2)log 225·log 34·log 59＝________. 【答案】(1)9 (2)82．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝______.【答案】－20【解析】原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg 122·52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3.12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________. 【答案】12【解析】12lg 3249 －43lg 8＋lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43·12·3lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝12(lg 2＋lg 5)＝12. [谨记通法] 对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 考点二 对数函数的图象及应用1．函数f (x )＝lg 1|x ＋1|的大致图象为________．(填序号)．【答案】④【解析】f (x )＝lg 1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x |的图象可知④正确．2．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫22，1[由题悟法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [即时应用]设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0＜a ＜b . (1)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：ab ＝1； (2)在(1)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.证明：g (4)＞0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.考点三 对数函数的性质及应用 角度一：比较对数值的大小1．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为________．【答案】b >a >c【解析】a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27>33>26， 所以b >a >c .角度二：简单对数不等式的解法2．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是__________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) 【解析】当g (lg x )>g (1)时，f (|lg x |)>f (1)， 由f (x )为增函数得|lg x |>1， 从而lg x >1或lg x <－1， 解得0<x <110或x >10.角度三：对数函数的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解：令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x3－x(a >0，a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x＝log a 1＝0，[通法在握]1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2．比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． [演练冲关]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12－x ，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．【答案】(－1,0)∪(1，＋∞) 【解析】由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2－a ＞log 2－a .解得a ＞1或－1＜a ＜0.2．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，【易错试题常警惕】1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M | (α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围． [小题纠偏]1．函数y ＝log 0.54x －的定义域为______．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤34，12．函数f (x )＝log (x ＋1)(2x －1)的单调递增区间是______．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞。
【配套K12】[学习](江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.9 函数模型及其应用(讲)
2019年高考数学一轮复习 专题2.9 函数模型及其应用(讲)](https://img.taocdn.com/s3/m/10f6e5ce524de518964b7d5c.png)
专题2.9 函数模型及其应用【考纲解读】【直击教材】1．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只． 答案：2002．用18 m 的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m 2.解析：设隔墙长为x m ，则面积S ＝x ·18－4x 2＝－2x 2＋9x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋818.所以当x ＝94时，能围成的面积最大，为818 m 2.答案：818【知识清单】1．几种常见的函数模型2．三种函数模型性质比较【考点深度剖析】解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；②建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学结论还原为实际问题的意义．【重点难点突破】考点1 一次函数与二次函数模型【1-1】某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差_________元．【答案】10【1-2】将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个_________元． 【答案】95【解析】设售价定为(90＋x )元，卖出商品后获得利润为：y ＝(90＋x －80)(400－20x )＝20(10＋x )(20－x )＝20(－x 2＋10x ＋200)＝－20(x 2－10x －200)＝－20[(x －5)2－225]，∴当x ＝5时，y 取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元).【思想方法】(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题． 【温馨提醒】1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 考点2 分段函数模型【2-1】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)． 【答案】(1) v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，200－x3，20<x ≤200.(2) 当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值．【2-2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g (t )与上市时间t 的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．【答案】(1) f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40. g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)． (2) 上市后的第30天．∴F (t )在[0,20]上是增函数，∴F (t )在此区间上的最大值为F (20)＝6 000<6 300.当20<t ≤30时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t . 由F (t )＝6 300，得3 t 2－160t ＋2 100＝0， 解得t ＝703(舍去)或t ＝30.当30<t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240. 由F (t )在 (30,40]上是减函数，得F (t )<F (30)＝6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天． 【思想方法】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2) 分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．【温馨提醒】构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． 考点3 指数函数模型【3-1】一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？【答案】(1) x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110 (2) 5．(3)15.【3-2】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，判定该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用).【答案】略有亏损【思想方法】(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y ＝a (1＋x )n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．【温馨提醒】解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性． 考点二 函数y ＝x ＋ax模型的应用为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2x ＋8003x ＋5－10＝70(万元)， 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元． [由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋bx的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简； (2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？【易错试题常警惕】数学实际应用问题，一定要正确理解题意，选择适当的函数模型；合理确定实际问题中自变量的取值范围；必须验证答案对实际问题的合理性．如：如图所示，在矩形CD AB 中，已知a AB =，C b B =（a b >）．在AB 、D A 、CD 、C B 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形FG E H 的面积最大？求出这个最大面积．【分析】设四边形FG E H 的面积为S ，则()()F D G 12S S a x b x ∆BE ∆H ==--，CFG S S ∆AEH ∆= 212x =，∴()()()22211222224a b S ab x a x b x x a b x x +⎡⎤⎛⎫=-+--=-++=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()28a b ++，由图形知函数的定义域为{}0x x b <≤．0b a <<，∴02a bb +<<，若 4a b b +≤，即3a b ≤时，4a b x +=，使面积S 取得最大值()28a b +；若4a b b +>，即3a b >时，函数()S x 在(]0,b 上是增函数，此时当x b =时，S 有最大值为()22248a b a b b ++⎛⎫--+⎪⎝⎭ 2ab b =-．综上可知，若3a b ≤，当4a b x +=时，四边形FG E H 的面积取得最大值()28a b +；若3a b >，当x b =时，四边形FG E H 的面积取得最大值2ab b -．【易错点】忽略实际问题中自变量的取值范围，造成与实际问题不相符合的错误结论．【练一练】某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？【答案】当矩形温室的边长各为40m ，20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是6482m ．。
江苏专版2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测五函数及其表示5304
课时达标检测(五） 函数及其表示[练基础小题——强化运算能力]1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的序号是________．解析：①中的值域不对，②中的定义域错误，④不是函数的图象，由函数的定义可知③正确．答案：③2．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x ＞0，解得－3≤x ＜6.即函数f (x )的定义域为[－3,6)． 答案：[－3,6)3．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________.解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋1 4．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立， 即2 x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2-52b ＝4，解得b ＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．函数f (x )＝10＋9x －x2lg x －1的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －10≤0，x ＞1，x ≠2，解得1＜x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．答案：(1,2)∪(2,10]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x ＞0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3.答案：33．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2. 答案：24．(2018·盐城检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x ＜a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么a ＝________，c ＝________.解析：因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，① 所以必有4＜a ，且c4＝c2＝30.②联立①②解得c ＝60，a ＝16. 答案：16 605．(2018·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 21－x ，x ＜1，则f (f (4))＝________；若f (a )＜－1，则a 的取值范围为________________．解析：f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1；当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)． 答案：5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：①③7．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34，所以a 的值为－34.答案：－348．若函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋3的定义域为[－1,3]，则函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为________．解析：因为函数f (x )的定义域为[－1,3]，所以ax 2＋2bx ＋3≥0的解集为[－1,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－1＋3＝－2b a ，－1×3＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以g (x )＝ln(3－2x －x 2)．由3－2x －x 2＞0得－3＜x ＜1，即函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为(－3,1)． 答案：(－3,1)9．(2018·连云港中学模拟)已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________. 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7.答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则不等式(x ＋1)f (x )＞2的解集是____________．解析：①当x ＞0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x ＞1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x ＜0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x ＜－3}．所以不等式(x ＋1)·f (x )＞2的解集为{x |x ＜－3或x ＞1}．答案：{x |x ＜－3或x ＞1} 二、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋22，x ∈[－2，－1，－2x ＋12，x ∈[－1，0，x 2，x ∈[0，1]，－12x －12，x ∈1，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
江苏专版2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测十对数与对数函数文52
课时跟踪检测（十） 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·淮安调研)函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为________． 解析：由3x －1＞0，解得x ＞13，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞2．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为________． 解析：因为x ≥1，所以log 2x ≥0，所以y ＝2＋log 2x ≥2. 答案：[2，＋∞)3．(2018·启中检测)计算log 23log 34＋(3)log 34＝________.解析：log 23 log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋312log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4.答案：44．已知函数f (x )＝{ log 4x ，x >0，2－x ，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝________.解析：f (f (－4))＝f (24)＝log 416＝2， 因为log 216<0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝221log 6－＝2log 26＝6，即f (f (－4))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝2＋6＝8.答案：85．若函数f (x )＝{ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4. 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a ＞1时，3＋log a x ＞3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1，所以1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，3＋log a x ＜3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]． 答案：(1,2]6．(2018·镇江期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )＜0的解集是________．解析：当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )＜0，即log 2(－x )－1＜0，解得－2＜x ＜0；当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )＜0，即1－log 2x ＜0，解得x ＞2，综上，不等式f (x )＜0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)2．(2018·镇江中学学情调研)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则实数a 的值为________．解析：因为函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，所以当x >12时，1－a 2x >0，即a 2x <1，所以a <2x，所以x >log 2a .令log 2a ＝12，得a ＝212＝2，所以实数a 的值为 2.答案： 23．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有{ g 1>0，a ≥1，即{ 2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a∈[1,2)．答案：[1,2)4．(2018·连云港模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________.解析：因为f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为－1<x <1，所以f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (－a )＝－f (a )＝－12.答案：－125．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2且x ≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：(2,3)∪(3,4]6．(2018·苏州调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log a x ＋5，x >2(a >0，且a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，f (x )∈[6，＋∞)，所以当x >2时，f (x )的取值集合A ⊆[6，＋∞)．当0<a <1时，A ＝()－∞，log a 2＋5，不符合题意；当a >1时，A ＝(log a 2＋5，＋∞)，若A ⊆[6，＋∞)，则有log a 2＋5≥6，解得1<a ≤2.答案：(1,2]7．已知函数f (x )＝{ log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．函数f (x )＝log 2x 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2. 由{ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， 所以函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2(1＋x )(3－x ) ＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是 f (1)＝log 24＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数， 所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 2．(2018·昆山测试)已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R)． (1)当k ＝0时，求函数f (x )的值域； (2)当k >0时，求函数f (x )的定义域；(3)若函数f (x )在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)当k ＝0时，f (x )＝lg 11－x ，定义域为(－∞，1)．因为函数y ＝11－x (x <1)的值域为(0，＋∞)，所以f (x )＝lg11－x的值域为R. (2)因为k >0，所以关于x 的不等式kx －1x －1>0⇔(x －1)(kx －1)>0⇔(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k >0.(*) ①若0<k <1，则1k>1，不等式(*)的解为x <1或x >1k；②若k ＝1，则不等式(*)即(x －1)2>0，其解为x ≠1； ③若k >1，则1k <1，不等式(*)的解为x <1k或x >1.综上，当0<k ≤1时，函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，＋∞；当k >1时，函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1k ∪(1，＋∞)．(3)令g (x )＝kx －1x －1，则f (x )＝lg g (x )． 因为函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数10>1，所以当x ∈[10，＋∞)时，g (x )>0，且函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数． 而g (x )＝kx －1x －1＝k x －1＋k －1x －1＝k ＋k －1x －1，若k －1≥0，则函数g (x )在[10，＋∞)上不是单调增函数； 若k －1<0，则函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数． 所以k <1.①因为函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，所以要使当x ∈[10，＋∞)时，g (x )>0，必须g (10)>0， 即10k －110－1>0，解得k >110.② 综合①②知，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫110，1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
【配套K12】[学习](江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.6 指数与指数函数(练)
2019年高考数学一轮复习 专题2.6 指数与指数函数(练)](https://img.taocdn.com/s3/m/10d5a72252ea551810a687fd.png)
专题2.6 指数与指数函数一、填空题1．函数f (x )＝ax －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝______. 【答案】9【解析】由图象平移知识及函数f (x )＝a x 过定点(0,1)知，m ＝9.2．若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(0,2)【解析】在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知， 当a ∈(0,2)时符合要求． 3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是________． 【解析】a >1，b ＝1,0<c <1，所以a >b >c .【答案】a >b >c4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．【答案】[1,9]5．不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． 【答案】{x |－1<x <4}【解析】不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0， 解得－1<x <4.6．若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 37．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________． 【答案】[2，＋∞)【解析】由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．8．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________． 【答案】e【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≥1，e|x －2|，x <1. 当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.二、解答题9．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解 (1)由于a x －1≠0，则a x≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)． 又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)． 因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组11．若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．【答案】(－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论：①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c ；④2a ＋2c<2.其中一定成立的是________(填序号)．【答案】④【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知a <0,0<c <1，∴0<2a <1,1<2c <2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.【答案】－2x(x <0)【解析】依题意，f (1)＝12，∴a ＝12， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x . 14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．。
【K12教育学习资料】(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.2 函数单调性与值域(讲)
专题2.2 函数单调性与值域【考纲解读】【直击教材】1．y ＝x 2－6x ＋5的单调减区间为________． 【答案】(－∞，3]【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝(x －3)2－4，表示开口向上，对称轴为x ＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]． 2．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.【答案】43．函数f (x )是在区间(－2,3)上的增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是________． 【答案】(－7，－2)【解析】由－2＜x ＋5＜3，得－7＜x ＜－2，故y ＝f (x ＋5)的递增区间为(－7，－2)．【知识清单】1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的单调性 考点一 函数单调性的判断1．讨论函数f (x )＝xx 2－1在x ∈(－1,1)上的单调性．2．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)： 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－x 2－，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二(导数法)：f ′(x )＝ax ′x －－ax x －x －2＝a x －－ax x －2＝－ax －2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上递增． [谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤： 取值作差商变形确定符号与1的大小得出结论(2)导数法，其基本步骤：求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． [即时应用]1．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，122．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为________．【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 【解析】令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.因为u ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递增． 考点三 函数单调性的应用 角度一：求函数的值域或最值 1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．【答案】2【解析】当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为 ________(用“>”表示)．【答案】b >a >c角度三：解函数不等式3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是________． 【答案】(－1,0)∪(0,1)【解析】由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.所以－1<x <0或0<x <1.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(2,3]【解析】要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]． [通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数最值(五种常用方法)(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． [提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． [演练冲关]1．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，1]【解析】因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．【答案】(－2,1)3．函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. 【答案】1 52【解析】因为f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域． 【答案】(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]． 【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【解析】y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x2－1，∵1＋x 2≥1， ∴0<21＋x2≤2.∴－1<21＋x 2－1≤1.即y ∈(－1,1]．∴ 函数的值域为(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【解析】(判别式法)由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， ∴－13≤y <1.∴函数的值域为1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．4.分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---， 解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2。
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二章函数2.4对数与对数函数讲义
§2.4对数与对数函数考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017对数与对数函数1.对数求值或比较大小2.对数函数图象和性质的运用B填空题解答题★★☆分析解读对数函数是基本函数之一,高考一般考查其基本性质,有时候会在解答题中考查综合运用.近年江苏对本节内容没有单独考查,是命题冷点.五年高考考点对数与对数函数1.(2016课标全国Ⅰ改编,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则log c a与log c b的大小关系为.答案log c a<log c b2.(2016浙江改编,5,5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1.若log a b>1,则(b-1)(b-a) 0.(填“>”“<”“=”)答案>3.(2016浙江理,12,6分)已知a>b>1.若log a b+log b a=,a b=b a,则a= ,b= .答案4;24.(2015浙江,12,4分)若a=log43,则2a+2-a= .答案5.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是.答案(1,2]6.(2014辽宁改编,3,5分)已知a=,b=log 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为.答案c>a>b7.(2014四川改编,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中正确命题的序号是.答案①②③教师用书专用(8—9)8.(2013湖南理改编,5,5分)函数f(x)=2ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为.答案 29.(2013山东理,16,4分)定义“正对数”:ln+x=现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln+(a b)=bln+a;②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;③若a>0,b>0,则ln+≥ln+a-ln+b;④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)答案①③④三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点对数与对数函数1.(2018江苏淮安、宿迁高三(上)期中)函数y=log2(3x-1)的定义域是.答案2.(2018江苏金陵中学高三月考)已知7p=2,7q=5,则lg 2用p,q表示为.答案3.(2018江苏如东中学学情检测)函数f(x)=lg(-x2+2x+3)的单调递减区间是.答案(1,3)4.(苏教必1,三,2,4,变式)已知a=,b=lo,c=log2,则a,b,c的大小关系为.答案a>b>c5.(2017江苏泰州中学期中,3)已知+=2,则a= .答案6.(2017江苏如东高级中学第二次学情调研)函数f(x)=的定义域为.答案(-∞,2)∪(2,3)7.(2016江苏南通调研,6)已知函数f(x)=log a(x+b)(a>0且a≠1,b∈R)的图象如图所示,则a+b的值是.答案8.(2016江苏通东中学月考)已知函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是.答案(-1,0)∪(1,+∞)9.(2017江苏扬州期中,16)函数f(x)=log3(x2+2x-8)的定义域为A,函数g(x)=x2+(m+1)x+m.(1)若m=-4,g(x)≤0的解集为B,求A∩B;(2)若存在x∈使得不等式g(x)≤-1成立,求实数m的取值范围.解析(1)由x2+2x-8>0,解得x<-4或x>2,则A=(-∞,-4)∪(2,+∞),若m=-4,则g(x)=x2-3x-4,由x2-3x-4≤0,解得-1≤x≤4,则B=[-1,4],所以A∩B=(2,4].(2)存在x∈使得不等式x2+(m+1)x+m≤-1成立,即存在x∈使得不等式-m≥成立,所以-m≥,因为=x+=x+1+-1≥1,当且仅当x+1=1,即x=0时取得等号,所以-m≥1,解得m≤-1.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:10分时间:5分钟)填空题(每小题5分,共10分)1.(苏教必1,三,2,13,变式)若log a(a2+1)<log a2a<0,则a的取值范围是.答案2.(2016江苏运河中学一诊,12)已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值是.答案7C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 对数函数的图象及其应用1.(2016江苏淮阴中学期中)已知函数f(x)=若实数a,b,c,d满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),其中d>c>b>a,则abcd的取值范围是.答案(21,24)方法2 对数函数的性质及其应用2.(苏教必1,三,2,13,变式)若log a<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是.答案∪(1,+∞)。
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5 二次函数与幂函数
【考纲解读】
【直击教材】
1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________________． 【答案】f (x )＝x 1
2
(x ≥0)
2．已知f (x )＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为________．
【答案】⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，3127 【知识清单】
1 二次函数解析式的求法
二次函数有三种形式：一般式、顶点式、两根式．求二次函数的解析式，使用待定系数法，即根据题设条件，恰当选择二次函数的形式，可使运算简捷． 2 二次函数的图象与性质的应用
①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． ②二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用． 3．五种常见幂函数的图象与性质
4．二次函数的图象和性质
【考点深度剖析】
从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．
【重点难点突破】
考点一幂函数的图象与性质
1．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋1为偶函数，则m＝________.
【答案】1
【解析】因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．
2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.
【答案】1
3．若(a ＋1)12<(3－2a )1
2，则实数a 的取值范围是________．
【答案】⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 【解析】易知函数y ＝x 1
2
的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1≥0，3－2a ≥0，
a ＋1<3－2a ，
解得－1≤a <2
3
.
[谨记通法]
幂函数的指数与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y ＝x α
(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y ＝x α
(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 考点二 求二次函数的解析式
已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解：法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，
4ac －b 2
4a ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－4，
b ＝4，
c ＝7.
故所求二次函数为f (x )＝－4x 2
＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2
＋n .
[由题悟法]
求二次函数解析式的方法
[即时应用]
已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以f(x)的对称轴为x＝2.
又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
所以f (x )＝0的两根为1和3.
设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又因为f (x )的图象过点(4,3)， 所以3a ＝3，a ＝1.
所以所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2
－4x ＋3.
考点三 二次函数的图象与性质 角度一：二次函数的单调性问题
1．若函数f (x )＝x 2
＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[－4,0]
角度二：二次函数的最值问题
2．已知函数f (x )＝x 2
－2x ＋4在区间[0，m ]( m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是________． 【答案】[1,2]
【解析】作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2
－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3.
角度三：二次函数中恒成立问题
3．已知函数f (x )＝ax 2
－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为________．
【解析】由题意得，对一切x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，f (x )>0都成立， 即a >2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12
，
而－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12≤1
2
，
则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 【答案】⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
[通法在握]
1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴． 2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键 (1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min . [演练冲关]
已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．
【易错试题常警惕】
设函数()2
22f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围
是 ． 【答案】1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【解析】当0a >时，()2
112f x a x a a ⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭，由()0f x >，()1,4x ∈得：()1
11220
a f a ⎧≤⎪⎨⎪=-+≥⎩
或
1141120a f a a ⎧<<⎪⎪⎨
⎛⎫⎪=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩或()14
416820a f a ⎧≥⎪⎨⎪=-+≥⎩，解得： 10a a ≥⎧⎨
≥⎩或1
1412a a ⎧<<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩或14
3
8a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩
，所以1a ≥或112a <<或∅，即12a >；当0a <时，。