空间解析几何与向量代数内容小结
向量代数与空间解析几何知识点总结
向量代数与空间解析几何知识点总
结
向量代数：
1、定义：向量代数是一种数学技术，用于处理和描述空间中的向量。
2、性质：向量的加法满足交换律、结合律，乘法满足分配律。
3、应用：向量代数可以用来求解空间几何问题，例如夹角的大小、两点之间的距离、点的位置等。
空间解析几何：
1、定义：空间解析几何是一种数学技术，用于研究平面图形和立体图形之间的关系。
2、性质：空间解析几何以点、线、面为基本单位，引入向量代数，通过空间关系、变换、测量等方法来求解几何问题。
3、应用：空间解析几何可以用来解决工程设计、地理学、天文学等领域的实际问题。
向量代数与空间解析几何
第六章.向量代数与空间解析几何
本章内容在本课程当中是单独的一个部分，应该说是属于几何的内容，之所以需要在微积分的课程里进行单独的讨论，是因为我们在后面学习多元函数的微积分时，必须和这些几何知识发生关系，所谓多元的函数，从几何意义方面来理解，就是定义域在平面乃至更高维度的空间区域上，这样如果要想得到对于多元函数的直观几何理解，就必须对于平面乃至更高维度的空间中的几何现象具有一定的知识。
向量。
向量可以说是几何的最为基本的概念。因为几何对象的两个基本要素：方向和长度，用一个向量就可以完全表达，从向量的概念出发，可以构造出整个的几何世界。
由于本课程的限制，我们不从一般的观念出发来展开向量的理论，而是基于直观的，运用向量来表示的几何当中的有向直线段，来说明我们需要涉及的有限的向量知识。
我们完全可以把一个向量理解为一根有向直线段，而不会出现任何理论上的错误。基于向量的这种直观图象，可以定义向量的基本属性。
首先，我们定义两个向量相等的意思，就是两个向量的大小与方向都相同，对于这里的具体的一种向量—有向直线段，就是必须长度相等，而方向相同，所谓方向相同，按照几何的意义，就是两根直线段相互平行，而且指向相同。
注意，这里初学者常常产生误解的地方，就是认为要求两个有向直线段方向一样，就一定是要求它们在同一个直线上，或者是相互重合，这是因为还不习惯在一般的空间当中考虑问题，特别是要养成在三维空间当中考虑几何对象的习惯，记住方向相同，是与这两个向量的空间位置无关的，只要它们所在的直线相互平行，而指向一致即可。
空间解析几何与向量代数内容小结
第一章空间解析几何与向量代数内容小结一、向量代数
二、空间中的曲面与曲线
三、空间中的平面与直线方程
2．直线方程
3．直线与平面的关系
例如，球心在原点，半径为R的球面方程为
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注！）
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何
空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.
第一节空间直角坐标系
平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.
一、空间直角坐标系
空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的
正向以π
2
角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐
标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.
图7-1
三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.
向量代数和空间解析几何
向量代数和空间解析几何
向量代数是一门非常重要的数学分支，它有助于我们理解复杂的空间结构和平面模式。在这一领域中，我们不仅研究向量之间的关系，而且还要解决向量代数相关的多种问题。向量代数在很多领域中都有着重要的应用，如工程领域、科学领域、医学领域等。
向量代数涉及到向量的概念，它与空间几何学紧密相关，向量代数和空间解析几何研究向量的几何特性，例如，向量的方向、长度、夹角和其他属性。在空间解析几何中，我们研究特定的向量，它们可以被用来描述空间中的几何关系。通过求解方程，以及利用向量的性质，可以求解几何图形的形状、分布、轮廓等。
向量代数在求解空间几何学中的问题方面发挥着重要作用，可以快速求解复杂的几何问题，并使得空间几何学解决问题更加容易。在解决几何问题时，空间解析几何可以更好地理解向量的概念，更加清晰准确地了解几何图形，更好地解决几何问题。对于复杂的几何模型，向量代数和空间解析几何可以更好地解释这些模型，从而更准确地描述几何关系。
在空间解析几何中，向量的性质也被用于分析空间变换，这样就可以更快、更准确地描述和解释几何变换。向量代数和空间解析几何还能够解决平面几何问题，如坐标变换、焦点变换、形状操作等等。
此外，向量代数和空间解析几何可以用于绘制平面几何图形，以及应用于计算机图形学，使得绘制三维图形更加容易。在计算机图形学中，向量代数和空间解析几何被用于描述和操作图形，这样就可以
生成逼真的图形和动画效果。
综上所述，向量代数和空间解析几何是一门非常重要的数学分支，它有助于更好地理解空间几何的结构，更加有效地解决几何问题。量代数和空间解析几何也有许多应用，如计算机图形学，绘制几何图形等等，从而为现实世界的科技发展做出了重要的贡献。
《解析几何》知识点总结：第1章-向量代数
第一章向量代数一、向量及其线性运算
1.向量及其表示
（1）向量：有大小和方向的量。
（2）表示：AB ，A 为向量的起点，B 为向量的重点。
（3）向量的模：||AB 。
（4）向径（半径向量/定位向量）：称为P 的向径，简记为P 。
（5）单位向量：模为1，记为|a |a
a o =。
（6）零向量：模为0，任意方向，与任何向量共线。
（7）自由向量：可自由平行移动。
（8）相等（相反）：大小相等，方向相同（相反）。
（9）共线（平行）：平行移动到同一始点，在一条直线上；共面。
（10）共面：平行移动到同一始点，在一个平面上。
2.向量的加法和减法
（1）加法：①三角/多边形法则（定义1.1）：首尾相连，第一个向量起点到最后一个向量终点；②平行四边形法则（定义1.2）：首首相连，平行四边形过起点的对角线；
③三角/多边形不等式：|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |。
（2）减法：三角形法则（定义1.3）：首首相连，OA OB AB -=。
3.向量的数乘
（1）定义1.4：实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记为λa。|λa|=|λ||a|，方向取决于λ。
4.运算律（图形法证明）
①交换律：a ±b =b ±a
②结合律：（a ±b ）±c =a ±（b ±c ）；λ（μa ）=（λμ）a
③分配律：（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb
5.共线及共面向量的判定
（1）定理1.1：向量b 与非零向量a 共线⟺∃λ∈R ，使b=λa ；
推论1.1：两个向量a ，b 共线⟺∃λ，μ∈R ，且λ，μ不同时为0，使λa +μb =0。（2）定理1.2：若a ，b 不共线，向量c 与a ，b 共面⟺∃λ，μ∈R ，使c =λa +μb ；
高数(空间解析几何与向量代数)
第一节 空间解析几何与向量代数
一、空间直角坐标 （一）空间直角坐标系
在空间取定一点O ，和以O 为原点的两辆垂直的三个数轴，依次记作x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系（图1-1-1）。通常符合右手规则，即右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2
π角度转向正向y 轴时，大拇指的指
向就是z 轴的正向。并设i
、j 、k 为
x
轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称为O xyz 坐标系，或[i
,j
,
k
]坐标系。
（二）两点间的距离
在空间直角坐标系中，M 1(x 1,y 1,z 1)与M 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为
()()()221221221z z y y x x d -+-+-=
（1-1-1）
（三）空间有向直线方向的确定
设有一条有向直线L ，它在三个坐标系正向的夹角分别
为α、β、γ
（πγβα≤≤,,0），称为直线L 的方向角；{γβαcos ,cos ,cos }称为直线L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关系
1cos cos cos 222=++γβα （1-1-2）
二、向量代数 （一）向量的概念
空间具有一定长度和方向的线段称为向量。以A 为起点，
B 为终点的向量，记作AB ,或简记作a 。向量a 的长记作a ，
又称为向量a 的模,两向量a
和b 若满足：①b a =，②b a //，③
b a ,指向同一侧，则称b a
=。
与a
方向一致的=单位向量记作0a ，则0a =a
a
。若0
a
={γβαcos ,cos ,cos }，也即为a
的方向余弦。
向量代数与空间解析几何教案
向量代数与空间解析几何教案
一、矢量代数与空间解析几何教学目标
（一）知识与技能目标
1.掌握实数张量的基本概念及性质。
2.掌握空间解析几何的基本概念及定义，掌握空间解析几何的性质及关系。
3.理解空间解析几何的基本概念及定义，理解矢量代数的基本概念及定义。
4.掌握矢量代数的基本概念及定义，掌握矢量代数的基本算法及实例分析。
5.掌握常见的几何形状和曲线的推导运算，推导图形的两点之间的距离及角度等。
（二）过程与方法目标
1.掌握数学建模的基本要素，学习建模的方法及过程。
2.养成独立学习、自主思考的习惯，练习解题能力及应用能力。
3.加强个别学习，形成组织学习，自学，互学相结合的学习模式。
二、教学内容
（一）矢量代数
1.实数张量的定义及基本性质：实数张量是一种关系的概括，它描述了一组数字之间的关系，它的基本性质包括变换的对称性、可加性和逆变换。
2.矢量代数的定义及基本性质：矢量代数是由实数张量和实数矩阵组成的数学模型，它可以用来刻画几何物体的几何特征，矢量代数的基本性质包括平行性、正交性和判定性。
高等数学向量代数与空间解析几何总结
定义：以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所成的曲面称之.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
20
方程特点:
设有平面曲线
L
:
f
(
x, y) z0
0
(1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为
f ( x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面方程为
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而 曲面S 就叫做方程的图形.
19
研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
1
A12 B12 C12 A22 B22 C22
[5] 两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0
(2)
1 //
2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
34
5、空间直线
[1] 空间直线的一般方程 1 : A1 x B1 y C1z D1 0
z
1 L
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
8
5、向量积 (叉积、外积)
|
c
||
《高等数学》向量代数和空间解析几何
垂直： sn0
m n p ABC
平行： sn0
m A n B p C 0
夹角公式： sin sn
sn
结束语
谢谢大家聆听！！！
35
方程特点:
设有平面曲线L:
f
(x, y) z 0
0
(1) 曲线L绕 x 轴旋转所成的旋转曲方面程为
f (x, y2 z2 ) 0 (2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲方面程为
f ( x2 z2 , y) 0
（2） 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L
所形成的曲面. 这条定曲线叫柱面 的准线，动直线叫 柱面的母线.
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
a x 2 a y2 a z2 b x 2 b y2 b z2
1 ,
3 .
( 3 ) a b |b |P 2 j b a r Pjrba 4a |b b | 3.
例2
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
大学数学微积分第七章 向量代数与空间解析几何知识点总结
第七章 向量代数与空间解析几何
§7.1 向量代数
一、空间直角坐标系
二、向量概念：a →
＝x i →
+y j →+z k → 坐标(),,x y z 模a →
＝
方向角,,αβγ 方向余弦cos ,cos ,cos αβγ
cos α
＝ ； cos β
＝
； cos γ
＝
三、向量运算： 设a →
()1,11,x y z ； b →()2,22,x y z ；c →
()3,33,x y z 加（减）法 a →
±b →
＝()12,1212,x x y y z z ±±± 数乘 ()111,,a x y z λλλλ→
=
数量积（点乘）（ⅰ）定义a →
·b →
=a →b →
cos ,a b →→⎛⎫∠ ⎪⎝⎭
（ⅱ）坐标公式a →·b →=12x x +12y y +12z z （ⅲ）重要应用a →·b →
=0⇔a →
⊥b →
4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义a →⨯b →＝a b →→
sin ,a b →→
⎛⎫∠ ⎪⎝⎭ a →⨯b →与a →和b →皆垂直，且a →，b →，a →⨯b →
构成右手系
（ⅱ）坐标公式a →
⨯b →
=1
1122
2
i
j k
x y z x y z →
→
→
（ⅲ）重要应用a →⨯b →
=0→⇔a →，b →
共线
5、混合积 （ⅰ）定义 （a →
，b →
，c →
）＝（a →
⨯b →
）·c →
（ⅱ）坐标公式（a →
，b →
，c →）=1112
223
33
x y z x y z x y z （ⅲ）,,a b c →→→⎛⎫
⎪⎝⎭
表示以a →，b →，c →
为棱的平行六面体的体积
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结
空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。以下是一些知识点和公式的总结:
一、向量的数量积与向量积
1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或
点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向
遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。
2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)
定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右
手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。
二、向量的混合积
1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个
新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。
2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。
三、空间平面及其方程
1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为
Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点，
C 和
D 为已知常数。
2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，
n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。
四、空间直线及其方程
1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。
高等数学向量代数与空间解析几何总结
高等数学向量代数与空间解析几何总结高等数学是大学数学学科的一门重要基础课程，其中向量代数与空间
解析几何是其重要的内容之一、本文将对向量代数与空间解析几何的主要
内容进行总结，让我们一起来了解一下吧！
向量代数是研究向量的代数性质和运算法则的数学分支，旨在通过研
究向量的各种运算进行分析与求解问题。空间解析几何则是研究点、线、
面等几何对象在三维空间中的位置关系和几何性质的学科。
首先，我们先来了解一下向量代数的基本概念和运算法则。在向量代
数中，向量是具有大小和方向的量，通常用一个有向线段表示。向量的加
法是指两个向量相加，得到一个新的向量，其结果是由两个向量的平行四
边形法则确定的。向量的乘法有数量乘法和点乘法两种形式。数量乘法是
指数与向量相乘，得到一个新的向量，其长度与原向量的长度相乘，方向
与原向量相同或相反。点乘法是指两个向量进行点乘，得到一个实数结果，其大小等于两个向量的长度相乘再乘以它们的夹角的余弦值，方向与夹角
为锐角的原向量相同，为钝角时与原向量相反。向量代数的运算法则包括
交换律、结合律和分配律。
接下来，我们来了解一下空间解析几何的基本内容。空间解析几何主
要研究三维空间中的点、直线和平面的位置关系和几何性质。其中，点是
空间中没有大小、没有方向的对象，用坐标表示。直线是由无数个点组成
的无限延伸的几何对象，可以通过两点确定一条直线，也可以通过点和方
向向量确定一条直线。平面是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可
以通过三个点确定一个平面，也可以通过点和法向量确定一个平面。空间
解析几何要求我们掌握点与点之间的距离、点与直线之间的关系、直线与
空间解析几何和向量代数总结
第八章空间解析几何和
向量代数总结
向量的概念
向量的线性运算
空间直角坐标系（右手系）向量的坐标
坐标形式的向量的线性运算（8—1，19）
方向角与方向余弦（8—1，15）
向量的数量积、向量积、混合积
（8—2，1、3、6、10；
总习题八，1（3）、（4））
应用：判断向量正交、
平行（共线）、
计算平行四边形面
积、
一向量在另一向量的投影。
曲面
曲面的概念
(),,0F x y z =，
()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程
（P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）
旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程
(),00f x y z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面
为(,0f x =； (),00f x y z ⎧=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面
为()0
f y =；
(),00f y z x ⎧=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面
为(,0f y =； (),00f y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面
为()0f z =； (),00f x z y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为
(,0f x =；
(),00f x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面
为()
0f z =。 空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩
参数方程（P33，例3）
()()()x t y t z t αβγ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4）
6、向量代数与空间解析几何
5.重要的二次曲面
(1) 球面 (x – x0)2+ (y – y0)2+ (z – z0)2 =R2
(2) 椭球面
x2 y2 z2 1. a2 b2 c2
(3) 锥面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0.
x2 y2
(4) 椭圆抛物面
z a2 b2 .
(5) 双曲抛物面
z x 2 y 2 ( p, q异号).
py 式中 r
x
y
,
r0
x0
y
0
,
s
m
n
.
z
z 0
p
(5) 两点式
xx1 yy1 zz1 . x2x1 y2y1 z2z1
4.点到平面的距离
d
Ax0
By0
Cz0
D .
A2 B2 C2
S
1 2
x1 x2
x3
y1 1 y2 1 . y3 1
8. 空间异面直线L1, L2的方向向量为s1, s2, A, B分别 为L1, L2上的两点, 则L1与L2之间的距离为:
d s1s2 A B , 或d s1s2 AB .
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何
空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.
第一节空间直角坐标系
平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.
一、空间直角坐标系
空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的
正向以π
2
角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐
标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.
图7-1
三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.