最短路径问题(第1课时)最新版

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人教版数学八年级上册1最短路径问题课件示范

为两个，笔直的河在数学中抽象为一
条
.所以可以将图形抽象为：
·B
A·
l
现在的问题是:怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
B A
C
l
• 问题（2）：如何将点B“移”到l的另一侧B′ 处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB 与 CB′的长度相等？
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端、发展、高潮和结局来划分文章层次,进而梳理情节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理为一个情节。小说中的场景就是不同时间人物活动的场所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故事发展的关键。线索有单线和双线两种。双线一般分明线和暗线。高考考查的小说往往较简单,线索也一般是单线式。
•
9.自信让我们充满激情。有了自信，我们才能怀着坚定的信心和希望，开始伟大而光荣的事业。自信的人有勇气交往与表达，有信心尝试与坚持，能够展现优势与才华，激发潜能与活力，获得更多的实践机会与创造可能。
感谢观看，欢迎指导！
•
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的影响，原因在于阅读并非是对作品的简单再现，而是一个积极主动的再创造过程，人生的经历与生活的经验都会参与进来。
•
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理解力有所欠缺，所以在读书时往往容易只看其中一点或几点，对书中蕴含的丰富意义难以全面把握。

13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册

13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。

课件_人教版数学八年级上册1 最短路径问题优秀课件完整版

m
A2 .
拓展提高2：
如图，点A、B是直角坐标系中第一象限的两点，从点A出发先到达X轴在到达Y轴，最后到达B点。问：怎么行走才能使所走的路径最短？
Y
B1 .
.B
N
.N1
.M1
O
M
.A
X
A1 .
提高一步1：
如图，L是一条直线，点A、B是直线同侧的两点，在直线L上求一点C，使AC与BC的差最大?
.A .B
c1
点C即为所求
L
C
提高一步2：
变形：如图，L是一条直线，点A、 B是直线异侧的两点，在直线L上求一点C，使AC与BC的差最大?
.A
. B1
C1 .B
点C即为所求
L
C
归纳小结：
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称、平移等数学变换在所研究问题中起什么作用？
谢谢再见
任取一点C′（与点C 不重合），
证明AC +BC ＜AC′+BC′？
B
·
这里的“C′”的作用是什么？
A
·
若直线l
上任意一点（与点
C′ C
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小．
l
.
B′
拓展提高1：
如图，直线l是草场的边缘，直线m是河流的
岸到能边河是，边所点饮走水的A是，路牧最径场后最，回短牧到？羊牧人场要。A先问.到:他草怎场么放行牧走，才再 =问A在点负现的人=A证的的A人ACCBA题MC盛在两教明两两教C′C＜与与N+2不名的个版：个个版+AC处CC重的问村《若村村《BCEBBL建′C′+合学题庄数桥庄庄数+是的的M桥B=）者就，学的，，学一和和N′C：A，，是现位现现》》。条′最最BA连名怎要置要要八八′河、小小接叫样在建在在年年流B？？两海找河在河河A级级，C地伦出边边边C上上点′，D的．使修修修册册A处B、距有两一一一C，B离′一条个个个，连是为天线水水水B接分′A，段站站站CA别M′一长向向向C+位，M位度AAA于、、、N将之河+BBB军和B两两两两N专村村村岸=程A供供供M拜水水水+为M。。。N最+短EM的直线l上的点1．设C 为直线上的一个动点，

最短路径问题教学设计

l A 13.4课题学习最短路径问题（第1课时）一、教学内容分析本节课是人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》的课题学习，在学习了三角形、全等三角形及轴对称这三章后，学生全面掌握了轴对称这一特殊全等形，从而具备了解决本课问题的知识基础。

课题学习中，总共提出了两个问题，分别利用轴对称和平移解决，第1课时准备解决第一个问题。

二、教学目标分析数学来源于生活，因此，要让学生会将生活中的实际问题转化成数学问题，用数学中的图形、符号来表示生活中的实例。

同时，根据本节课的要求，能够利用轴对称来解决此类问题。

基于以上考虑，确定本节课的教学目标和重难点如下：1、能够将实际问题转化成数学问题，完成具体到抽象的转换；2、能利用轴对称解决简单的最短路径问题；3、通过具体实例感受数学来源生活、服务生活，调动学生的数学学习兴趣，培养学生的数学应用意识。

重点：利用轴对称解决两条线段和最短问题难点：如何把问题转化成“两点之间，线段最短”三、教学过程设计1、知识储备轴对称性质，跟“最短”有关的定理“两点之间，线段最短”，“点到直线的所有连线中，垂线段最短”。

如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，到河边的什么地方最近？若牧马人从A 地出发，淌过笔直的小河l 到另一边的B 地，怎样的路径最短？【设计意图】让学生回忆旧知，为解决问题准备好称手的工具。

2、问题铺垫如图，点A 、B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A 、B 的距离和最短？容易寻找到方法：连接AB ，与直线l 的交点即为所求，根据“两点之间，线段最短”可证l A lB'明。

【设计意图】从已有知识出发，给出一个解决问题的基础。

3、情景导入如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？转换成数学问题：如图，把河边l 近似地看成一条直线，在直线l 上寻找一处点C ，使得AC+BC 的和最小。

人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题公开课课件

BC = B′C ，BC′=B′C′．
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= ACAC′+B′C′，
C’ C
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B
l
B’
对比下活动一，你能找到两个问题的相同点与不同点吗？你有什么启示？
13.4 课题学习最短路径问题
1、已知如图点A和点A’关于直线l对称，直线l上有一点P，PA=11，则PA’= 11。
2、如图，在灌溉时需要把河AB中的水引到C处，如何挖渠能使渠道最短？
C
A
D
B
垂线段最短
3、如图，要从A地到B地去，图中给出了3条路线，请你
在这3条路中选择一条相对近一些的路。
B
A
l
作法：
（1）作点B关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
A
于点C．
则点C 即为所求． A’
理由：两点之间，线段最短
B
l
C
B’
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
河流
A
·P营地
草地
B
P2
变式：如图，已知牧马营地在P处，牧马人从A地出发要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线。
河流
B
· · A地
P营地
草地
C
活动一图
活动二图

课题学习最短路径问题_精品课件1

证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′．即 AC +BC 最短．
A
·
C′ C
B
·
l
课题学习最短路径问题_精品课件1
B′
课题学习最短路径问题_精品课件1
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
课题学习最短路径问题_精品课件1
B
·
A
·
l C
B′
探索新知
课题学习最短路径问题_精品课件1
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
B
·
A
·
l C
课题学习最短路径问题_精品课件1
B′
课题学习最短路径问题_精品课件1
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
课题学习最短路径问题_精品课件1
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
课题学习最短路径问题_精品课件1
课题学习最短路径问题_精品课件1

课题学习最短路径问题(第一课时学案)

13.4课题学习最短路径问题（第一课时学案）一、内容利用轴对称研究某些最短路径问题。

二、目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

三、难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

四、教学过程探究一（两点之间，线段最短。

）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB 两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？探究二、（直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

）一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？行驶到什么位置时距村庄N最近？探究三（轴对称）如图（1），要在公路a上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。

加油站修在公路的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？问题1、这是一个实际问题，应将实际问题抽象成数学问题，怎样做呢？问题2、想一想这个问题与探究一有什么关系？能不能转化成探究一？问题3、你能够在a上再找几个点试一试,发现能够用什么知识证明AC+BC最短?巩固练习1 如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,在图中标出点E，使EC+ED最小。

点评：本题只要把点C、D看成探究题中的Ａ、Ｂ两人，把线段AB看成公路a，问题就能够迎刃而解了，本题仅仅改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。

巩固练习2 如图所示，M、N为△ABC边AB、AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。

AC探究四．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．五、课堂小结六、布置作业拓展如图3，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷. 请你帮他确定这个天的最短路线.河N草地MmAB图3A'B'河N草地MmAB图4CDA'B'河N草地MmAB图5CD。

人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题(第一课时)课件

P1
CC O
DD
A PC+CD+DP
思考：你能利用解决牧马人饮马问题的办法，解决本题吗？
P
= P1C+CD+DP2 利用轴对称(实现线段转移).
B
两点之间，线段最短．
P2
拓展提升
如图，分别在OA、OB上求作点C、D，使得
PC+CD+DP和最短．
P1
A 作法：
C
（1）过点P分别作关于OA、OB的对称点
依据：
两点之间，线段最短
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
A
B
A l
C
l
A、B在直线l的同侧
B
A、B在直线l的异侧
思考2：能否通过图形的变换，把左边未知的问题转化为我们右边研究过的问题呢？
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
B
A l
C
问题转化为：
八年级—人教版—数学—第十三章
13.4课题学习最短路径问题（第一课时）
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
2.能把实际问题抽象为数学问题，体会图形的变化
在解决最值问题中的作用，感悟转化和类比思想．
学习重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
情境引入
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路径最短呢？
D
B
P2
思想方法：类比、转化
课堂小结
最短路径问题：
解决方法：利用轴对称实现线段的转移，化折为直. 理论依据：两点之间，线段最短. 思想方法：类比、转化.

新人教版八年级数学上册《最短路径问题》精品课件(共15张PPT)

13.4 课题学习最短路径问题
1.学会轴对称变换知识的应用，提高解决实际问题的能力.
2.通过独立思考，合作探究，学会求最值问题. 3.感受数学在实际生活中的巨大作用，享受成功学习的乐趣.
重点：应用轴对称解决实际问题. 难点：如何应用轴对称解决实际问题.
阅读课本P85-87页内容，了解本节主要内容.
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
应如何建？
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化为数学中最值问题.
垂线段线段ຫໍສະໝຸດ 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
探究一：在直线上找一点，使它到直线外两点距离和最小
1.点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短.
2.由上面情景导入，当A、B两点在直线l的同侧时，又如何求解.
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.

《最短路径问题》课件

A A1
符合条件的路径,并标明桥的位置.
ll12
l3 B1 l4 B
课堂小结
最
短
A∙
路径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
即AM+NB+MN的值最小.
M′ a M
b
N′
N
∙B
新知探究跟踪训练
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，且使得AC的长等于河宽；（2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作 MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置. A
点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此
时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小.A∙ M
a
A′
b
N
∙B
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线 b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
A∙ M
《最短路径问题》
知识回顾
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找
一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与
直线l的交点.
A
C
l
B
1.两点一线型.
如图，点A，B是直线l同侧的两
B
点，在直线l上找一点C使得
A
AC+BC的值最小，这时先作点B

课件《课题学习最短路径问题》完美PPT课件_人教版1

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
负盛知名的识学者回，名叫答海伦了．有这一天，个一位问将军题专程拜．访这个问题后来被称为“将军饮马
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
问题”．旧口二中高磊
求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小
你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 1、本节课研究问题的基本过程是什么？
已知：直线l和同侧两点A、B
逻辑求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小
1、本节课研究问题的基本过程是什么？
合情
证明
推理
课堂小结
2、轴对称在所研究问题中起什么作用？
A
A
B
C
l
B
C
l
B'
拓展探索
问题：在∠AOB内有一点P，在射线OA上
找一点M，在射线OB上找一点N，使 PMN
的周长最短。
A
P
O
求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小作法： 1、作点B关于直线l的对称点B＇
P
1
作法： 1、作点B关于直线l的对称点B＇知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
P A 30
C
N
谢谢
2020.11
实际数学 1、如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的
是（）
问题海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然已知：直线l和同侧两点A、B
模型
求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小

人教版八年级数学上册1最短路径问题教学课件

最短路径问题
如图，在直线上求作一点，使得 + 最短.

、在直线异侧
′
、在直线同侧
例：造桥选址问题
例
如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从到的路径最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?

作 ′ 关于直线的对称点 ′′.
′

′
′

′′

连接 ′′，与直线交于一点即
为所求点 .
问题
在直线上求作两点，，使
得四边形的周长最小.
练习已知线段，点、在直线的同侧，在直线上求
作两点，（点在点的左侧）且 = ，使得
四边形的周长最小.
思考

哪些点是定点？

哪些点是动点？

思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点在什么位置时， + 最小.

′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥．桥造在何处可使从到的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点在直线的什么位置时，
+ + 最小？

实际问题用数学语言表达.

人教版数学《课题学习最短路径问题》上课课件1

人教版数学《课题学习最短路径问题》上课课件1
第十三章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题
人教版数学《课题学习最短路径问题》上课课件1
人教版数学《课题学习最短路径问题》上课课件1
创设情境
如图：一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面直径，一蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到C，试求出爬行的最短路径.
人教版数学《课题学习最短路径问题》上课课件1
人教版数学《课题学习最短路径问题》上课课件1
自主探究
思考：
（1）根据问题1的探讨，你对这道题有什么思路和想法？
（2）这个问题有什么不同？（3）要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？
就是求当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小
人教版数学《课题学习最短路径问题》上课课件1
将长方体沿棱展开，有三种情况：第一种：过A′C′，路程为 2 10 cm
第二种：过CC′，路程为 34 cm 第三种：过BC，路程为 5 2 cm
所以过CC′的路径最短（如图），最短路程为 34cm
人教版数学《课题学习最短路径问题》上课课件1
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归纳总结
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自主探究
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时， AM+MN+NB最小.
就是求当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小
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