江苏省射阳县高中数学第2章平面向量2.3向量平行的坐标表示活动单苏教版必修

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苏教版高中数学必修第二册向量平行的坐标表示课件2

【例 3】已知两点 A(3，－4)，B(－9，2)在直线 AB 上，求一点 P 使|A→P|＝13|A→B|.
[思路点拨] 分“A→P＝±13A→B”两类分别求点 P 的坐标．
[解] 设点 P 的坐标为(x，y)， ①若点 P 在线段 AB 上，则A→P＝13A→B， ∴(x－3，y＋4)＝13(－9－3，2＋4)，解得 x＝－1，y＝－2， ∴P(－1，－2)．
【接上页】
所以
k－3＝10λ， 2k＋2＝－4λ，
解得 k＝λ＝－13.
当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，
这时 ka＋b＝－1a＋b＝－1(a－3b)，
3
3
因为λ＝－1<0，所以 ka＋b 与 a－3b 反向． 3
法二：由题知 ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，＝(1，2)，b＝(－3，2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路点拨] 充分利用向量共线的条件解题． [解析] 法一：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当 ka＋b 与 a－3b 平行时，存在唯一实数λ，使 ka＋b＝λ(a－3b)．即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
9.3.3 向量平行的坐标表示
向量平行的坐标表示
1.向量平行的坐标表示一般地，设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 2.若P→1P＝λP→P2，则 P 与 P1，P2 三点共线. (1)当λ∈(0，＋∞)时，P位于线段P1，P2的内部，特别地，当λ＝1时，P 为线段P1P2的中点. (2)当λ∈(－∞，－1)时，P在线段P1P2的延长线上. (3)当λ∈(－1,0)时，P在线段P1P2的反向延长线上.

江苏省射阳县高中数学第2章平面向量2.5向量的应用活动单苏教版必修42018010223

向量的应用【学习目标】：1. 掌握平面向量数量积的坐标表示2. 掌握向量垂直的坐标表示的等价条件【重难点】平面向量数量积的坐标表示的综合运用（解决长度、角度、垂直等问题）..【预习案】1．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 是线段AB 的三等分点（靠近A ），则EC EM =________．2．在边长为6的等边三角形ABC 中，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.【探究案】探究一：特殊图形中的向量数量积1．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2， AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.变式：在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC |BC |＝________.2在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE == 则AD BE ⋅= __________________．探究二：向量的线性运算与向量数量积运算1．已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．2．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，.OP x OA y OB =⋅+⋅（1）若BP PA =，求x ，y 的值；（2）若3BP PA = ，||4OA = ，||2OB = ，且OA与OB 的夹角为60°时，求OP AB ⋅的值。

探究三：向量数量积的简单应用1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．2．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 是线段AB 上的动点，则EC E M 的取值范围是：3、已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB + 的最小值为____________.探究四：运用向量证明1．已知:OA BC OB AC ⊥⊥ ，，求证：OC AB ⊥2．向量,OAOB OC ，满足条件++=0OA OB OC 且===1OA OB OC ，求证：ABC∆是正三角形。

高中数学第二章平面向量 2.3 向量的坐标表示导学案苏教版必修4(2021年最新整理)

高中数学第二章平面向量2.3 向量的坐标表示导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.3 向量的坐标表示导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3 向量的坐标表示课堂导学三点剖析1。

平面向量基本定理的理解与应用【例1】已知A （1，-2）、B （2,1)、C （3,2）和D （-2，3），以AB 、为一组基底来表示AD +BD +。

思路分析：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识.求解时首先由点A 、B 、C 、D 的坐标求得向量、、、、等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式++=m·+n·，再列出关于m 、n 的方程组，进而解方程求出所表示的系数.解:AB =（1，3），=（2，4），AD =（—3，5），=（-4，2)，=（-5，1)， ∴++=(—3，5)+(—4,2）+(—5,1）=(—12,8）。

根据平面向量基本定理，一定存在实数m 、n 使得AD +BD +CD =m·AB +n·AC ,∴（—12,8）=m （1,3)+n （2,4）。

也就是（-12,8）=（m+2n ，3m+4n ）.可得⎩⎨⎧=+-=+.843,122n m n m 解得⎩⎨⎧-==.22,32n m ∴AD +BD +=32·AB —22·.温馨提示用一组基底e 1、e 2表示平面内的任何一个向量a ，应首先根据平面向量基本定理写成：a =λ1e 1+λ2e 2，然后代入各向量的坐标，转化成方程组，解得待定系数λ1、λ2，这就是常用的待定系数法。

高中数学第二章平面向量 2.3 向量的坐标表示学案苏教版必修4(2021年最新整理)

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3 向量的坐标表示典题精讲例1 如图2—3-2，在平行四边形ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM =c ，AN =d ，试用c 、d 表示AB 和AD .图2—3-2思路分析:本题要求用c 、d 表示和，所以可以将c 、d 看作基底,也就变成了用基底表示AB 和AD 两个向量。

解：设AB =a ，AD =b ,由M 、N 分别为DC 、BC 的中点，得=21b ，DM =21a 。

从△ABN 和△ADM 中，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+).2(32),2(32.21,21d c b c d a c a b d b a 解得即AB =32(2d —c ），AD =32（2c -d ). 绿色通道：从解答本题的过程来看,本题策略性较强：（1)为使问题表达简单，采用代换AB =a ，AD =b ；（2）为使问题降低难度，采用正难则反策略，即直接用c 、d 表示AB 、AD 困难，反过来改用、表示c 、d ，然后将和看成是未知量，利用方程组解得和.变式训练如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法错误的有（ ) ①λe 1+μe 2 (λ、μ∈R ）可以表示平面α内的所有向量②对于平面α中的任一向量a ，使a =λe 1+μe 2的实数λ、μ有无数多对③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ，使λ1 e 1+μ1 e 2=λ(λ2 e 1+μ2e2)④ 若实数λ、μ使λe1+μe2=0，则λ=μ=0A。

高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算第2课时向量平行的坐标表示讲义苏教版必修4

第2课时向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .思考：当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？ [提示] 坐标不为0时成正比例．1．下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6) B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14) D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)D [∵在D 中，b ＝(6，－4)，a ＝(－3,2)， ∴b ＝－2(－3,2)＝－2a ， ∴a 与b 共线．]2．若a ＝(2,3)，b ＝(x,6)，且a∥b ，则x ＝________. 4 [∵a∥b ，∴2×6－3x ＝0，即x ＝4.]3．已知四点A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，－4)，则AB →与CD →的关系是________．(填“共线”或“不共线”)共线 [AB →＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)，CD →＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)，因为4×(－8)－4×(－8)＝0，所以AB →∥CD →，即AB →与CD →共线．]向量平行的判定【例1】已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB →与CD →是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？思路点拨：根据已知条件求出AB →和CD →，然后利用两向量平行的条件判断． [解] ∵A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)， ∴AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0， ∴AB →与CD →平行且方向相反．此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断. 提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.1．已知A ，B ，C 三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.[证明] 设点E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．依题意有，AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，同理点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，∴EF →∥AB →.利用向量共线求参数的值【例2】已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：充分利用向量共线的条件解题．[解] 法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：由题知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)．因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．利用x 1y 2－x 2y 1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值． [解] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2. 共线向量与定比分点公式[探究问题]1．若点P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，试用P 1，P 2的坐标表示点P 的坐标．提示：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，因为P 1P →＝12P 1P 2→，所以(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2．若P 1P →＝λPP 2→，则点P 的坐标如何表示？提示：P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ，推导方法类同于探究问题1.已知两点A (3，－4)，B (－9,2)在直线AB 上，求一点P 使|AP →|＝13|AB →|.思路点拨：分“AP →＝±13AB →”两类分别求点P 的坐标．[解] 设点P 的坐标为(x ，y )， ①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →，∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x,2－y )，解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)． ②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP →＝－14PB →，∴(x －3，y ＋4)＝－14(－9－x2－y )，解得x ＝7，y ＝－6，∴P (7，－6)．综上可得点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．1．向量具有大小和方向两个要素，因此共线向量模间的关系可以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．2．本例也可以直接套用定比分点公式求解．提醒：注意方程思想的应用．教师独具1．本节课的重点是平面向量共线的坐标表示． 2．要正确理解向量平行的条件(1)a∥b (b ≠0)⇔a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)a∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)且b 1≠0，b 2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．1．下列说法不正确的是( ) A ．存在向量a 与任何向量都是平行向量B ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2C ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0D ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥bB [A 当a 是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；B 不正确，当y 1＝0或y 2＝0时，显然不能用x 1y 1＝x 2y 2来表示；C 、D 正确．]2．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a∥b ，则y ＝________. －4 [∵a∥b ，∴－12＝2y，∴y ＝－4.]3．若P 1(1,2)，P (3,2)，且P 1P →＝2PP 2→，则P 2的坐标为________．(4,2) [设P 2(x ，y )，则P 1P →＝(2,0)， PP 2→＝(x －3，y －2)，2PP 2→＝(2x －6,2y －4)．由P 1P →＝2PP 2→可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＝2，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.]4．给定两个向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若a ＋2b 与2a －2b 共线，求λ的值． [解] ∵a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)， 2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，又a ＋2b 与2a －2b 共线， ∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0， ∴λ＝12.。

江苏省射阳县高中数学第2章平面向量 2.1 平面向量的

向量的概念及其表示【学习目标】1.了解向量的实际背景；理解向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量等概念.3. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别【重难点】重点: 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 难点: 准确理解向量的有关概念；平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.【预习案】看书P59—60，弄懂下列概念1、书P58实例, 位移和距离有什么不同?；2、你能举出一些不仅有大小, 而且有方向的量么?比如？；3、这些量有何共同特征？；4、向量的概念：；5、根据以前所学知识，你认为可用哪些方法表示向量呢？；6、向量有数的属性，类比特殊的数，你想到了哪几种特殊向量？零向量：；单位向量：；7.类比数与数之间的特殊关系，你想到了向量与向量之间有哪几种特殊关系？相等向量：；相反向量：；8.向量也有形的属性，类比线段与线段的特殊位置关系，你想到了向量与向量之间有什么样的特殊关系?平行向量：；共线向量：；9、实数可以比较大小，向量能吗？为什么? ；10、直线平行与向量平行有区别吗？如果有，你认为区别在那里？【探究案】探究一：判断下列命题的真假, 并说明理由.（以讨论为主）(1)平行向量一定方向相同（）； (2)共线向量一定相等（）；(3)起点不同, 但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量（）；(4)不相等的向量一定不平行（）； (5)向量的模是一个正实数（）；(6)两个相反向量必是共线向量( ) （7）单位向量都相等（）(8)若两个单位向量互相平行, 则这两个单位向量相等（）（9）向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上（）（10）任一向量与它的相反向量不相等. ( )（11）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.( )（12）a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线( )（13）向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量（）（14）有相同起点的两个非零向量不平行. （）（15）若a ∥b ，b ∥c ，则 a ∥c ( ）探究二：已知O 为正六边形ABCDEF 的中心, 在图中所标出的向量中:(1)试找出与FE 共线的向量; ；(2)确定与相等的向量; ； (3)与相等吗? ；探究三：在如图的4×5方格纸中有一个向量, 分别以图中的格点为起点和终点作向量, 其中与相等的向量有多少个? 与长度相等的共线向量有多少个? (除外)CA。

【教育专用】高中数学第二章平面向量2.3向量的坐标表示2.3.2平面向量的坐标运算教案苏教版必修4

2．3.2 平面向量的坐标运算整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA →＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所惟一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？推进新课新知探究1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则实数对(x ，y)叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y)．注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA →的坐标就等于点A 的坐标． (2)两个向量相等对应坐标相等． 2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． |AB →|＝2－x 12＋2－y 12，即平面内两点间的距离公式．(3)若a ＝(x ，y)，则λa ＝(λx ，λy)，λ∈R . 3．线段的中点坐标公式若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．应用示例思路1例1课本本节例1. 变式训练已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：D例2课本本节例2. 变式训练 1.如图1，已知的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D 的坐标．图1活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD →的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图1，设顶点D 的坐标为(x ，y)． ∵AB →＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y)，由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y)．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法二：如图1，由向量加法的平行四边形法则可知BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋BC →＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而OD →＝OB →＋BD →＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， ∴顶点D 的坐标为(2,2)．点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．2.如图2，已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D 的坐标，图2使这四点构成平行四边形的四个顶点．解：当为ABCD 时，仿例2得D 1＝(2,2)；当为ACDB 时，仿例2得D 2＝(4,6)；当为DACB 时，仿例2得D 3＝(－6,0).例3课本本节例4.思路2例1设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ2－y －y 1＝λ2－⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ.这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：(1)如图3，由向量的线性运算可知图3OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．(2)如图4，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1PPP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12，那么 OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→图4＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1P PP 2＝2，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.例2已知点A(1,2)，B(4,5)，O 为坐标原点，OP →＝OA →＋tAB →.若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．解：由已知AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)， ∴OP →＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1<03t ＋2>0⇒－23<t<－13.故t 的取值范围是(－23，－13)．点评：此题通过向量的坐标运算将点P 的坐标用t 表示，由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组，这个不等式组的解集就是t 的取值范围．知能训练课本本节练习1～6.课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算． 2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好的基础．作业课本习题2.3 1～8.设计感想1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、关于点P 分有向线段所成的比的探讨(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P →＝λPP 2→的实数λ的值．例1已知点A(－2，－3)，点B(4,1)，延长AB 到P ，使|AP →|＝3|PB →|，求点P 的坐标．解：因为P 点在AB 的延长线上，P 为AB →的外分点，所以AP →＝λPB →，λ<0. 又根据|AP →|＝3|PB →|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3)． (2)公式法：依据定比分点坐标公式．x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ，结合已知条件求解λ.例2已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点P(12，y)分P 1P 2→所成的比λ及y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧12＝3＋λ－1＋λ，y ＝2＋λ×31＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.例3如图5，已知三点A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，D 点内分AB →的比为1∶3，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标．图5分析：要求DE 中点的坐标，只要求得点D 、E 的坐标即可，又由于点E 在BC 上，△BDE 与△ABC 有公共顶点B ，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解．解：由已知有AD →＝13DB →，则得|DB →||AB →|＝34，又S △BDE S △ABC ＝12，则S △BDE ＝12|DB →||BE →|sin∠DBE， S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC，∴|DB →||BE →||AB →||BC →|＝12，即得|BE →||BC →|＝23. 又点E 在边BC 上，∴|BE →||EC →|＝2.∴点E 分BC →所成比λ＝2.由定比分点坐标公式有⎩⎪⎨⎪⎧x E ＝－4＋2×51＋2＝2，y E＝0＋－1＋2＝－2，即E(2，－2)，又由⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝0＋13－1＋13＝－1，y D＝81＋13＝6，有D(－1,6)．记线段DE 的中点为M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋－2＝12，y ＝－2＋62＝2，即M(12，2)为所求．二、备用习题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1)2．已知A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x ，y)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标是( )A ．(－2,0)B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2)3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使AB →＝λBC →的实数λ的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．0 D ．24．已知A 、B 、C 三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－2B ．9C ．－9D ．135．若A(2,3)，B(x,4)，C(3，y)，且AB →＝2AC →，则x ＝________，y ＝________. 6．已知中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则CO →的坐标(O 为对角线的交点)为________．7．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ 8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试问：当λ为何值时，点P 在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P 在第三象限内？9．如图6所示，已知△AOB 中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．图610．已知四边形ABCD 是正方形，BE∥AC，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE.参考答案：1．B 2.B 3.D 4.C 5.4 72 6.(－12，－4)7．解：∵OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)， ∴AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)． ∵AB →∥BC →，∴存在实数λ，使得(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)． ∴k 2－9k －22＝0.解得k ＝11或k ＝－2. 8．解：∵AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)，∴AB →＋λAC →＝(3＋5λ，1＋7λ)．而AP →＝AB →＋λAC →(已知)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)． (1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λλ＝12；(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<04＋7λ<0⇒λ∈(－∞，－1)．9．解：∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝(0，54)，∴C(0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝(2，32)，∴D(2，32)．设M(x ，y)，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)．∵AM →∥AD →，∴存在实数λ，使得(x ，y －5)＝λ(2，－72)，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4，74)，∵CM →∥CB →，∴存在实数μ，使得(x ，y －54)＝μ(4，74)，即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为(127，2)．10．证明：建立如图7所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x ，y)，这里y>0，于是AC →＝(1,1)，BE →＝(x －1，y)．图7∵AC →∥BE →，∴存在实数λ，使得(1,1)＝λ(x －1，y)，即1×y－(x －1)×1＝0 ⇒y ＝x －1.①∵AC＝OC ＝CE(已知)，∴CE 2＝OC 2－1)2＋(y －1)2＝2.②由y>0，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32，y ＝1＋32，即E(3＋32，1＋32)． AE ＝OE ＝3＋322＋1＋322＝3＋1.设F(t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝(1＋32，－1＋32)．∵F，C ，E 三点共线，∴FC →∥CE →.∴存在实数μ，使得(1－t ，t)＝μ(1＋32，－1＋32)，即(1－t)×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－3.∴AF＝OF ＝1＋3.∴AF＝AE.第2课时导入新课向量的应用主要是解决平面几何问题，而几何中的平行问题占着重要的地位，向量的平行包含着几何中的平行情形，本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但仍然用的是几何方法来研究的．本节课通过坐标的方法来研究向量的平行问题，但涉及内容不是很深．推进新课新知探究若向量a 与非零向量b 为共线向量，则当且仅当存在惟一的一个实数λ，使得a ＝λb ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠a ，由a ＝λb ，(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，得x 1y 2－x 2y 1＝0.结论：a ∥b (b ≠0) ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 教师应向学生特别提醒感悟：1°消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0，∴x 2、y 2中至少有一个不为0.2°此条件不能写成y 1x 1＝y 2x 2(∵x 1，x 2有可能为0)．3°从而向量共线的条件有两种形式：a ∥b (b ≠0) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λb ，x 1y 2－x 2y 1＝0.由此我们得到：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .证明：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，因为a ≠0，所以x 1、y 1不全为0. 不妨假设x 1≠0.(1)如果a ∥b ，则存在实数λ，使b ＝λa ，即(x 2，y 2)＝λ(x 1，y 1)＝(λx 1，λy 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝λx 1，y 2＝λy 1.①②因为x 1≠0，由①得λ＝x 2x 1.③将③代入②，得y 2＝x 2x 1y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)反之，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，因为x 1≠0，所以y 2＝x 2x 1y 1.(x 2，y 2)＝(x 2，x 2x 1y 1)＝x 2x 1(x 1，y 1)．令λ＝x 2x 1，则b ＝λa ，所以a ∥b .应用示例例1已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．解：k a －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)．由向量平行的条件，可得3·(k－2)－(－1)·7＝0，所以k ＝－13.此时，k a －b ＝(－73，－1)＝－13(7,3)＝－13(a ＋3b )．因此，它们是反向的.例2已知点O ，A ，B ，C 的坐标分别为(0,0)，(3,4)，(－1,2)，(1,1)，是否存在常数t ，使得OA →＋tOB →＝OC →成立？解释你所得结论的几何意义．解：设存在常数t ，使得OA →＋tOB →＝OC →，则(3,4)＋t(－1,2)＝(1,1)，所以t(－1,2)＝(1,1)－(3,4)＝(－2，－3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝－2，2t ＝－3.此方程组无解，故不存在这样的常数t. 上述结论表明向量AC →与OB →不平行.知能训练课本本节练习1、2、3.课堂小结代数化研究向量平行问题是本节课的重点内容，向量的平行可以公式化地解决，这就是数学化思考问题的方法，我们通过本节课，不光要记住平行向量的坐标表示的方法，还要理解数学化处理问题的思想．设计感想本节课的主要内容是让学生探究向量平行的坐标表示及应用，实际上向量的应用主要是解决平面几何问题和物理问题的．在平面几何中平行问题占着重要的地位．本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但所用方法仍是向量的几何法．本节是通过坐标的方法来探究向量的平行问题，由于上节学生刚刚探究了向量的坐标表示及坐标运算，所以本节的教学活动完全可以放给学生自己探究完成，本教案的设计就是在教师的指导下，学生探究、应用．由于本节难度小，学生会轻松愉快地掌握好本节内容．备课资料备用习题1．若a ＝2i ＋3j ，b ＝4i ＋y j ，且a ∥b ，则y 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知A(1，－3)，B(8，12)，若A 、B 、C 三点共线，则C 点坐标可能是( )A ．(－9,1)B ．(9，－1)C ．(9,1)D ．(－9，－1)3．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n)共线且方向相同，则n ＝________. 4．已知O 点是ABCD 的对角线的交点，AD →＝(2,5)，AB →＝(－2,3)，则CD →坐标为________，DO →坐标为________，CO →坐标为________．5．△ABC 中，A(2，－1)，B(－3,2)，C(0，－4)，D 、E 、F 是BC 、AB 、AC 的中点，若EF 与AD 交于M 点，求DM →.6．已知四点A(5, 1), B(3, 4)，C(1, 3)，D(5, －3)，求证：四边形ABCD 是梯形． 7．若a ＝(－1，x)与b ＝(－x, 2)共线且方向相同，求x. 参考答案： 1．C 2.C3．2 n 2－4＝0，∴n＝±2.又a 与b 方向相同，∴n＝2. 4．(2，－3) (－2，－1) (0，－4) 5．解：由EF 为中位线，得EF 平分AD ，∴DM →＝12DA →＝12(DB →＋BA →)＝14CB →＋12BA →＝14(－3,6)＋12(5，－3)＝(74，0)．6．解：∵AB →＝(－2, 3)，DC →＝(－4, 6)，∴2AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|≠|DC →|. ∴四边形ABCD 是梯形．7．解：∵a ＝(－1，x)与b ＝(－x, 2)共线， ∴(－1)×2－x·(－x)＝0.∴x＝±2.∵a 与b 方向相同，∴x＝ 2.。

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苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明第3章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义第4章框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。

江苏省盐城市射阳县第二中学高三数学一轮复习活动单平面向量基本定理及坐标表示

课题：平面向量基本定理及坐标表示
活动一、基础训练
1.若向量)9,(),3,2(-==→→x b a ，且→→b a //，则实数=x .
2.若向量)7,4(),3,2(==→→CA BA ，则=→BC .
3.已知向量)0,2(),2,1(==→→b a ，若向量→→+b a λ与向量)2,1(-=→c 共线，则实数=λ .
4.已知→→21,e e 是两个不共线的向量，→
→→→→→→→→-=-=+=212121,52,23e e CD e e CB e e AB λ，若三点D B A ,,共线，则=λ . 活动二、问题探究
问题1.已知)4,3()1,3()4,2(----C B A 、、且→→→→==CB CN CA CM 2,3，求点N M 、以及→
MN 的坐标.
问题2.已知向量)2,1(),,1(),1,2(-=-=-=→→→c m b a ，若→→→+c b a //)(，求m 的值.
问题3.如图，已知ABC ∆的面积为14， E D ,分别为边BC AB 、上的点，且1:2::==EC BE DB AD ，AE 与CD 交与P ，设存在μλ,使得→→→→==CD PD AE AP μλ,， →
→→→==b BC a AB ,. （1）求μλ,的值；
（2）用→→b a ,表示→
BP ；
（3）求PAC ∆的面积.
活动三、课堂检测
1.（★）在ABC ∆中，→
→→→=++0543AB c CA b BC a ，则=c b a :: .
2.（★）在ABC ∆中，过中线AD 中点E 任作一条直线分别交边AB 和AC 与N M 、两点，设)0(,≠==→→→→xy AC y AN AB x AM ，则y x +4的最小值是 .。

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4

答案
知识点三思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，

高中数学第2章平面向量2.5向量的应用活动单苏教版必修4(2021学年)

江苏省射阳县高中数学第2章平面向量2．５向量的应用活动单苏教版必修４编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(江苏省射阳县高中数学第2章平面向量２.5 向量的应用活动单苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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向量的应用【学习目标】:1。

掌握平面向量数量积的坐标表示２. 掌握向量垂直的坐标表示的等价条件【重难点】平面向量数量积的坐标表示的综合运用(解决长度、角度、垂直等问题）.。

【预习案】１．在边长为1的正方形ABＣＤ中,Ｍ为ＢC的中点，点E是线段AB的三等分点(靠近Ａ)，则EC EM=＿__＿＿＿__．2.在边长为6的等边三角形AＢC中,点Ｍ满足BM=2MA,则CM·CB＝＿_＿_____．【探究案】探究一：特殊图形中的向量数量积1.在直角三角形ABC中，∠C=错误!, AC＝3，取点D使BD＝２DA,那么CD·CA＝＿_＿_＿___。

变式：在△ABＣ中，若AＢ=１，AC＝3，|AB+AC｜=|BC|，则BA·BC｜BC|=＿＿_＿____。

2在边长为1的正三角形A ＢC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==则AD BE ⋅=_____＿___＿____＿___．探究二:向量的线性运算与向量数量积运算1.已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，｜AC ｜=２.若AP =λAB ＋AC ,且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________.2．如图，在△OＡＢ中,已知P 为线段AB 上的一点，.OP x OA y OB =⋅+⋅ （1）若BP PA =,求x ,y 的值;(2）若3BP PA =，||4OA =，||2OB =，且OA与OB 的夹角为6０°时,求OP AB ⋅ 的值。

高中数学第二章平面向量2.3向量的坐标表示2.3.2平面向量的坐标运算教案苏教版必修

2．3.2 平面向量的坐标运算整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA →＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所惟一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？推进新课新知探究1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则实数对(x ，y)叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y)．注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA →的坐标就等于点A 的坐标． (2)两个向量相等对应坐标相等． 2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． |AB →|＝2－x 12＋2－y 12，即平面内两点间的距离公式．(3)若a ＝(x ，y)，则λa ＝(λx ，λy)，λ∈R . 3．线段的中点坐标公式若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．应用示例思路1例1课本本节例1. 变式训练已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：D例2课本本节例2. 变式训练 1.如图1，已知的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D 的坐标．图1活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD →的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图1，设顶点D 的坐标为(x ，y)． ∵AB →＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y)，由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y)．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法二：如图1，由向量加法的平行四边形法则可知BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋BC →＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而OD →＝OB →＋BD →＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， ∴顶点D 的坐标为(2,2)．点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．2.如图2，已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D 的坐标，图2使这四点构成平行四边形的四个顶点．解：当为ABCD 时，仿例2得D 1＝(2,2)；当为ACDB 时，仿例2得D 2＝(4,6)；当为DACB 时，仿例2得D 3＝(－6,0).例3课本本节例4.思路2例1设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ2－y －y 1＝λ2－⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ.这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：(1)如图3，由向量的线性运算可知图3OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．(2)如图4，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1PPP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12，那么 OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→图4＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1P PP 2＝2，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.例2已知点A(1,2)，B(4,5)，O 为坐标原点，OP →＝OA →＋tAB →.若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．解：由已知AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)， ∴OP →＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1<03t ＋2>0⇒－23<t<－13.故t 的取值范围是(－23，－13)．点评：此题通过向量的坐标运算将点P 的坐标用t 表示，由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组，这个不等式组的解集就是t 的取值范围．知能训练课本本节练习1～6.课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算． 2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好的基础．作业课本习题2.3 1～8.设计感想1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、关于点P 分有向线段所成的比的探讨(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P →＝λPP 2→的实数λ的值．例1已知点A(－2，－3)，点B(4,1)，延长AB 到P ，使|AP →|＝3|PB →|，求点P 的坐标．解：因为P 点在AB 的延长线上，P 为AB →的外分点，所以AP →＝λPB →，λ<0. 又根据|AP →|＝3|PB →|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3)． (2)公式法：依据定比分点坐标公式．x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ，结合已知条件求解λ.例2已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点P(12，y)分P 1P 2→所成的比λ及y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧12＝3＋λ－1＋λ，y ＝2＋λ×31＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.例3如图5，已知三点A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，D 点内分AB →的比为1∶3，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标．图5分析：要求DE 中点的坐标，只要求得点D 、E 的坐标即可，又由于点E 在BC 上，△BDE 与△ABC 有公共顶点B ，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解．解：由已知有AD →＝13DB →，则得|DB →||AB →|＝34，又S △BDE S △ABC ＝12，则S △BDE ＝12|DB →||BE →|sin∠DBE， S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC，∴|DB →||BE →||AB →||BC →|＝12，即得|BE →||BC →|＝23. 又点E 在边BC 上，∴|BE →||EC →|＝2.∴点E 分BC →所成比λ＝2.由定比分点坐标公式有⎩⎪⎨⎪⎧x E ＝－4＋2×51＋2＝2，y E＝0＋－1＋2＝－2，即E(2，－2)，又由⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝0＋13－1＋13＝－1，y D＝81＋13＝6，有D(－1,6)．记线段DE 的中点为M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋－2＝12，y ＝－2＋62＝2，即M(12，2)为所求．二、备用习题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1)2．已知A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x ，y)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标是( )A ．(－2,0)B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2)3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使AB →＝λBC →的实数λ的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．0 D ．24．已知A 、B 、C 三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－2B ．9C ．－9D ．135．若A(2,3)，B(x,4)，C(3，y)，且AB →＝2AC →，则x ＝________，y ＝________. 6．已知中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则CO →的坐标(O 为对角线的交点)为________．7．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ 8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试问：当λ为何值时，点P 在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P 在第三象限内？9．如图6所示，已知△AOB 中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．图610．已知四边形ABCD 是正方形，BE∥AC，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE.参考答案：1．B 2.B 3.D 4.C 5.4 72 6.(－12，－4)7．解：∵OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)， ∴AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)． ∵AB →∥BC →，∴存在实数λ，使得(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)． ∴k 2－9k －22＝0.解得k ＝11或k ＝－2. 8．解：∵AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)，∴AB →＋λAC →＝(3＋5λ，1＋7λ)．而AP →＝AB →＋λAC →(已知)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)． (1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λλ＝12；(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<04＋7λ<0⇒λ∈(－∞，－1)．9．解：∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝(0，54)，∴C(0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝(2，32)，∴D(2，32)．设M(x ，y)，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)．∵AM →∥AD →，∴存在实数λ，使得(x ，y －5)＝λ(2，－72)，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4，74)，∵CM →∥CB →，∴存在实数μ，使得(x ，y －54)＝μ(4，74)，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为(127，2)． 10．证明：建立如图7所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x ，y)，这里y>0，于是AC →＝(1,1)，BE →＝(x －1，y)．图7∵AC →∥BE →，∴存在实数λ，使得(1,1)＝λ(x －1，y)，即1×y－(x －1)×1＝0 ⇒y ＝x －1.①∵AC＝OC ＝CE(已知)，∴CE 2＝OC 2－1)2＋(y －1)2＝2.② 由y>0，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋32，y ＝1＋32，即E(3＋32，1＋32)． AE ＝OE ＝3＋322＋1＋322＝3＋1.设F(t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝(1＋32，－1＋32)． ∵F，C ，E 三点共线，∴FC →∥CE →.∴存在实数μ，使得(1－t ，t)＝μ(1＋32，－1＋32)，即(1－t)×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－3.∴AF＝OF ＝1＋3.∴AF＝AE.第2课时导入新课向量的应用主要是解决平面几何问题，而几何中的平行问题占着重要的地位，向量的平行包含着几何中的平行情形，本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但仍然用的是几何方法来研究的．本节课通过坐标的方法来研究向量的平行问题，但涉及内容不是很深．推进新课新知探究若向量a 与非零向量b 为共线向量，则当且仅当存在惟一的一个实数λ，使得a ＝λb ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠a ，由a ＝λb ，(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，得x 1y 2－x 2y 1＝0.结论：a ∥b (b ≠0) ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.教师应向学生特别提醒感悟：1°消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0，∴x 2、y 2中至少有一个不为0.2°此条件不能写成y 1x 1＝y 2x 2(∵x 1，x 2有可能为0)． 3°从而向量共线的条件有两种形式：a ∥b (b ≠0) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝λb ，x 1y 2－x 2y 1＝0.由此我们得到：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .证明：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，因为a ≠0，所以x 1、y 1不全为0.不妨假设x 1≠0.(1)如果a ∥b ，则存在实数λ，使b ＝λa ，即(x 2，y 2)＝λ(x 1，y 1)＝(λx 1，λy 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝λx 1，y 2＝λy 1. ①②因为x 1≠0，由①得λ＝x 2x 1.③ 将③代入②，得y 2＝x 2x 1y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)反之，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，因为x 1≠0，所以y 2＝x 2x 1y 1. (x 2，y 2)＝(x 2，x 2x 1y 1)＝x 2x 1(x 1，y 1)．令λ＝x 2x 1，则b ＝λa ，所以a ∥b . 应用示例例1已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．解：k a －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)．由向量平行的条件，可得3·(k－2)－(－1)·7＝0，所以k ＝－13. 此时，k a －b ＝(－73，－1)＝－13(7,3)＝－13(a ＋3b )．因此，它们是反向的.例2已知点O ，A ，B ，C 的坐标分别为(0,0)，(3,4)，(－1,2)，(1,1)，是否存在常数t ，使得OA →＋tOB →＝OC →成立？解释你所得结论的几何意义．解：设存在常数t ，使得OA →＋tOB →＝OC →，则(3,4)＋t(－1,2)＝(1,1)，所以t(－1,2)＝(1,1)－(3,4)＝(－2，－3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧ －t ＝－2，2t ＝－3.此方程组无解，故不存在这样的常数t.上述结论表明向量AC →与OB →不平行.知能训练课本本节练习1、2、3.课堂小结代数化研究向量平行问题是本节课的重点内容，向量的平行可以公式化地解决，这就是数学化思考问题的方法，我们通过本节课，不光要记住平行向量的坐标表示的方法，还要理解数学化处理问题的思想．设计感想本节课的主要内容是让学生探究向量平行的坐标表示及应用，实际上向量的应用主要是解决平面几何问题和物理问题的．在平面几何中平行问题占着重要的地位．本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但所用方法仍是向量的几何法．本节是通过坐标的方法来探究向量的平行问题，由于上节学生刚刚探究了向量的坐标表示及坐标运算，所以本节的教学活动完全可以放给学生自己探究完成，本教案的设计就是在教师的指导下，学生探究、应用．由于本节难度小，学生会轻松愉快地掌握好本节内容．备课资料备用习题1．若a ＝2i ＋3j ，b ＝4i ＋y j ，且a ∥b ，则y 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．82．已知A(1，－3)，B(8，12)，若A 、B 、C 三点共线，则C 点坐标可能是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1)C ．(9,1)D ．(－9，－1)3．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n)共线且方向相同，则n ＝________.4．已知O 点是ABCD 的对角线的交点，AD →＝(2,5)，AB →＝(－2,3)，则CD →坐标为________，DO →坐标为________，CO →坐标为________．5．△ABC 中，A(2，－1)，B(－3,2)，C(0，－4)，D 、E 、F 是BC 、AB 、AC 的中点，若EF 与AD 交于M 点，求DM →.6．已知四点A(5, 1), B(3, 4)，C(1, 3)，D(5, －3)，求证：四边形ABCD 是梯形．7．若a ＝(－1，x)与b ＝(－x, 2)共线且方向相同，求x.参考答案：1．C 2.C3．2 n 2－4＝0，∴n＝±2.又a 与b 方向相同，∴n＝2.4．(2，－3) (－2，－1) (0，－4)5．解：由EF 为中位线，得EF 平分AD ，∴DM →＝12DA →＝12(DB →＋BA →)＝14CB →＋12BA →＝14(－3,6)＋12(5，－3)＝(74，0)． 6．解：∵AB →＝(－2, 3)，DC →＝(－4, 6)，∴2AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|≠|DC →|.∴四边形ABCD 是梯形．7．解：∵a ＝(－1，x)与b ＝(－x, 2)共线，∴(－1)×2－x·(－x)＝0. ∴x＝±2.∵a 与b 方向相同，∴x＝ 2.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第2章平面向量2.3.2第2课时向量平行的坐标表示学案苏教版必修4

第2课时向量平行的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．知识点向量平行的坐标表示已知下列几组向量： (1)a ＝(0，3)，b ＝(0，6)； (2)a ＝(2，3)，b ＝(4，6)； (3)a ＝(－1，4)，b ＝(3，－12)； (4)a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？答案 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a . 思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？答案共线．思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？答案坐标不为0时成比例．梳理 (1)向量平行的坐标表示①条件：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0.②结论：如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . (2)若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1，P 2三点共线．①当λ∈(0，＋∞)时，P 位于线段P 1，P 2的内部，特别地，当λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点． ②当λ∈(－∞，－1)时，P 在线段P 1P 2的延长线上． ③当λ∈(－1，0)时，P 在线段P 1P 2的反向延长线上．1．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2.( × ) 提示当y 1y 2＝0时不成立．2．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .( × ) 3．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .( √ )类型一向量共线的判定与证明例1 (1)下列各组向量中，共线的是________． ①a ＝(－2，3)，b ＝(4，6)； ②a ＝(2，3)，b ＝(3，2)； ③a ＝(1，－2)，b ＝(7，14)； ④a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)．答案 ④解析 ①中(－2)×6－3×4＝－24≠0， ∴a 与b 不平行；②中2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a 与b 不平行； ③中1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a 与b 不平行； ④中(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a ∥b .(2)已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB →＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， CD →＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0， ∴AB →与CD →共线且方向相反．方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反．反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →. 证明设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．∵AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)， ∴AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴(x 1，y 1)－(－1，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， (x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1， ∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. ∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →.类型二利用向量平行求参数例2 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？解方法一 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)．得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.方法二由方法一知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.引申探究1．若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？解由例2知当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？解 a ＋k b ＝(1，2)＋k (－3，2)＝(1－3k ，2＋2k )，3a －b ＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0，解得k ＝－13.反思与感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解．跟踪训练2 设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 答案 2解析 λa ＋b ＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0， ∴λ＝2.类型三三点共线问题例3 已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )，解得k ＝－2或11，又AB →，AC →有公共点A ，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．跟踪训练3 已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线．证明 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．1．已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是________．答案－4解析 ∵a ∥b ，∴(－1)×y －2×2＝0，∴y ＝－4.2．与a ＝(6，8)平行的单位向量为____________________________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45解析设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，6y －8x ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－45.3．已知三点A (1，2)，B (2，4)，C (3，m )共线，则m 的值为________．答案 6解析 A B →＝(2，4)－(1，2)＝(1，2)．A C →＝(3，m )－(1，2)＝(2，m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，即向量A B →，A C →共线， ∴存在实数λ使得A B →＝λA C →，即(1，2)＝λ(2，m －2)＝(2λ，λm －2λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，λm －2λ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，m ＝6.即m ＝6时，A ，B ，C 三点共线．4．已知四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD 是梯形．证明 ∵A (3，－1)，B (1，2)，C (－1，1)，D (3，－5)． ∴AB →＝(－2，3)，CD →＝(4，－6)．∴CD →＝－2AB →，即|AB →|＝12|CD →|，∴AB ∥CD ，且AB ≠CD ， ∴四边形ABCD 是梯形．5．已知A (3，5)，B (6，9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标．解设点M 的坐标为(x ，y )．由|AM →|＝3|MB →|，得AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →. 由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x ，9－y )．当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x ，9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x ，9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝152，y ＝11.故点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．一、填空题1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 答案－6解析因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.2．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x ＝________. 答案－2 解析因为a与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x ，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知三点A (－1，1)，B (0，2)，C (2，0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是________．答案 (1，－1)4．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．答案 15．已知a ＝(2，1)，b ＝(x ，－2)，且a ＋b 与2a －b 平行，则x ＝________. 答案－4解析因为(a ＋b )∥(2a －b )，又a ＋b ＝(2＋x ，－1)，2a －b ＝(4－x ，4)，所以(2＋x )×4－(－1)×(4－x )＝0，解得x ＝－4.6．若三点A (－2，－2)，B (0，m )，C (n ，0)(mn ≠0)共线，则1m ＋1n的值为________．答案－12解析因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，因为AB →＝(2，m ＋2)，AC →＝(n ＋2，2)，所以4－(m ＋2)(n ＋2)＝0，所以mn ＋2m ＋2n ＝0，因为mn ≠0，所以1m ＋1n ＝－12.7．已知e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，当a ∥b 时，实数λ＝________. 答案－2解析 ∵e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2， ∴a ＝2(1，0)＋(0，1)＝(2，1)，b ＝λ(1，0)－(0，1)＝(λ，－1)．又∵a ∥b ，∴2×(－1)－1×λ＝0，解得λ＝－2.8．已知向量OA →＝(k ，6)，OB →＝(4，5)，OC →＝(1－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝________. 答案176解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－1)， BC →＝OC →－OB →＝(－3－k ，5)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，即(4－k )×5＋(－3－k )＝0，k ＝176.9．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．答案 (0，－2)解析由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)，即D 点的坐标为(0，－2)．10．已知A (－1，4)，B (x ，－2)，若C (3，3)在直线AB 上，则x ＝________. 答案 2311．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．答案 λ＝μ12．设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________．答案 {m |m ∈R 且m ≠6}解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形． ∴AB →，AC →不共线．又∵AB →＝OB →－OA →＝(1，1)， AC →＝(m －2，4)，∴1×4－1×(m －2)≠0. 解得m ≠6.∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}．二、解答题13．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1，3)，B (2，－2)，C (4，－1)． (1)若AB →＝CD →，求点D 的坐标；(2)设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值．解 (1)设点D 的坐标为(x ，y )．由AB →＝CD →，得(2，－2)－(1，3)＝(x ，y )－(4，－1)，即(1，－5)＝(x －4，y ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y ＋1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6.所以点D 的坐标为(5，－6)．(2)因为a ＝AB →＝(2，－2)－(1，3)＝(1，－5)，b ＝BC →＝(4，－1)－(2，－2)＝(2，1)，所以k a －b ＝k (1，－5)－(2，1)＝(k －2，－5k －1)，a ＋3b ＝(1，－5)＋3(2，1)＝(7，－2)．由k a －b 与a ＋3b 平行，得(k －2)×(－2)－(－5k －1)×7＝0，解得k ＝－13.三、探究与拓展14．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋b ，则m 的取值范围是____________．答案 {m |m ∈R 且m ≠－3}解析根据平面向量的基本定理知，a 与b 不共线，即2m －3－3m ≠0，解得m ≠－3. 所以m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠－3}．15．如图所示，已知在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解 ∵OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∵OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又∵CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，CM →∥CB →，∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫127，2.。

2018版高中数学第二章平面向量2.3.2第2课时向量平行的坐标表示学案苏教版

第2课时向量平行的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．知识点向量平行的坐标表示已知下列几组向量：(1)a ＝(0,3)，b ＝(0,6)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(3，－12)；(4)a ＝(12，1)，b ＝(－12，－1)．思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？梳理 (1)向量平行的坐标表示①条件：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0.②结论：如果a ∥b ，那么____________；如果__________，那么a ∥b .(2)若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1，P 2三点共线．①当λ∈__________时，P 位于线段P 1，P 2的内部，特别地，当λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点．②当λ∈__________时，P 在线段P 1P 2的延长线上．③当λ∈__________时，P 在线段P 1P 2的反向延长线上．类型一向量共线的判定与证明例1 (1)下列各组向量中，共线的是________．①a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)②a ＝(2,3)，b ＝(3,2)③a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)④a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.类型二利用向量平行求参数例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？引申探究1．若例2条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？反思与感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解．跟踪训练2 设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.类型三三点共线问题例3 已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．跟踪训练3 已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线．1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是________．2．与a ＝(6,8)平行的单位向量为____________．3．已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为________．4．已知四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标依次是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD 是梯形．5．已知A (3,5)，B (6,9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标．1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．答案精析问题导学知识点思考1 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a . 思考2 共线．思考3 坐标不为0时成正比例．梳理 (1)②x 1y 2－x 2y 1＝0 x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)①(0，＋∞)②(－∞，－1) ③(－1,0) 题型探究例1 (1)④ (2)共线且方向相反跟踪训练1 证明设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．∵AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)，∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)．∴(x 1，y 1)－(－1,0)＝(23，23)，(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)，∴(x 1，y 1)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(73，0)．∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)．∵4×(－23)－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →.例2 解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．得⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 引申探究1．解由例2知当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， ∵λ＝－13<0， ∴k a ＋b 与a －3b 反向．2．解 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k,2＋2k )， 3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)，∵a ＋k b 与3a －b 平行，∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0，解得k ＝－13. 跟踪训练2 2例3 解 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )，解得k ＝－2或11，又AB →，AC →有公共点A ，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．跟踪训练3证明 AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72， AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，∵7×4－72×8＝0， ∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．当堂训练1．－42.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45 3．64．证明 ∵A (3，－1)，B (1,2)，C (－1,1)，D (3，－5)． ∴AB →＝(－2,3)，CD →＝(4，－6)．∴CD →＝－2AB →，即|AB →|＝12|CD →|， ∴AB ∥CD ，且AB ≠CD ，∴四边形ABCD 是梯形．5.⎝ ⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11。

江苏省射阳县高中数学第2章平面向量2.3平面向量的坐标运算活动单苏教版必修4

平面向量的坐标运算【学习目标】1.正确理解平面向量的坐标概念2.掌握平面向量的坐标运算3.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.【重难点】学习重点: 平面向理的坐标运算学习难点: 平面向理坐标表示的理解【预习案】看书P76-P77弄懂下列概念，完成5--8题1、前面以平面向量研究从“形”的层面借助于有向线段表示, 能否从“数”的层面研究? 具体怎么研究，小组可以讨论得出结论：2、平面直角坐标系中点与有序实数对如何一一对应的?3、平面向量的坐标表示：4、平面向量的坐标运算：5、已知()()2,3,1,5a b =-= ，则3a b +等于；6、已知A （x ，2），B （5，y －2)，若AB →＝（4，6），则x 、y 的值为；7、已知M （3，－2），N （－5，－1），MP →＝12MN →，则P 点的坐标为； 8、若a －12b ＝（1，2），a ＋b ＝(4，－10），则a 等于； 9、设向量(2,3)AB = ，且点A 的坐标为（1，2），则点B 的坐标为；【探究案】探究一：求向量的坐标●如图, 已知O 是坐标原点, 点A 在第一象限, |OA |=43, ∠xOA=60°, 则向量的坐标为 .变式：已知O 为原点，A(－1 , 3) , B(1 , －3) , C(4 , 1) , D(3 , 4) , 向量= ； = ,；= ；= ；探究二：向量的坐标运算●已知点O 、A 、B 、C 的坐标分别为(0 , 0) , (3 , 4) , (－1 , 2) , (1 , 1)，是否存在常数t , 使OA +t OB =OC 成立?变式：已知a =(3 , 4) , b =(－1 , 2) , c =(1 , 1)，用,a b 的形式表示c探究三：●已知P 1(x 1 , y 1), P 2(x 2 , y 2) , P 是直线P 1P 2上一点, 且12PP PP λ=, 求P 点坐标 .变式：已知A(-1,2),B(3,4),点C 在线段AB 的反向延长线上，且满足AC=3AB,求点C 的坐标。