第十章复习

（二）排列组合应用题
例3（1）5名同学报名参加4个活动小组（每人限报1 个），共有多少种不同的报名方法 ( 4 5 )
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有多 少种可能？ ( 5 4 )
例4：六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲不站右端，也不站左端； （2）甲乙必须相邻； （3）甲乙不相邻； （4）甲乙之间间隔两人；
高 二(下)期末复习
一、学习 内容
1、分类计数原理与分步计数原理
2、排列 3、组合 4、二项式定理 5、随机事件的概率 6、互斥事件有一个发生的概率 7、相互独立事件同时发生的概率
二、学习要求
1、掌握分类计数原理与分步计数原理，并 能用它们分析和解决一些应用问题。
2、理解排列与组合的意义，掌握排列数和 组合数的计算公式，掌握组合数的两个性 质，并应用它们解决应用问题。 3、掌握二项式定理和二项展开式的性质， 并能用它们计算和证明一些简单的问题。 4、会用排列、组合的公式计算一些等可能 性事件的概率。
3 10
n n
(4)C 2C 3C nC
k k 1 0 1 n1 n1 用KCn nCn 1 原式 n(Cn1 Cn1 Cn1 ) n2
(5)1!2 2!3 3! 10 10!
0 1 2 n (6)Cn 3Cn 9Cn 3n Cn
A C A C
B
D
（1）
B
（2）
D
系统（ 1 ）的可靠度为 P（ 1 ） P（A C B D） 1 P （ [ A C） （ B D） ] 1 P（A C ） P（B D ） 1 (1 r 2 ) 2 r 2 (2 r 2 ) 系统（2）的可靠度为 P（2） P( A B) P(C D) [1 P( A ) P( B )][1 P(C ) P( D ) [1 (1 r ) 2 ]2 r 2 (2 r ) 2 (2 r ) 2 2 r 2 系统（2）更可靠
解：由题意 9 x,6 x 2, x N * 2 x 8, x N 9 ！ 6! 又 6 2 x 8, x N （9 x)! (8 x)!
3 2 2 例2：解方程 3Ax 2 AX 6 A 1 x
解：由题意x 3且 3x( x 1)(x 2) 2( x 1) x 6 x( x 1) x 5
(A )
3 9
（三）二项式定理及其应用
例1：已知 a 1 展开式中的各项系数和 等于
2


n
16 2 1 的展开式的常数项， 5 x (*) x 而 a 1 的展开式的系数最大的 项等于54, 求a的值
解：设（*）的展开式的常数项为 第r 1项
r 16 10 2 r 则Tr 1 C 5 X X 2 第五项为常数项 5 T5 16， 2 n 16, n 4 5 r r
33 27 53 125
1 1 C4 C3 53
例3：甲乙两人进行一场5局3胜制的比赛，如果甲获胜的 概率是2/3，乙获胜的概率是1/3，求下列情形的概率： （1）甲3：1胜（2）乙3：2胜
8 2 2 1 2 （ 1 ）C3 3 3 3 27
2 2 1 3 (构成C2 C3 C2 C3 5个棱锥， m 5 3 15)
12、从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中选出5 个数组成子集，使得这5 个数中的任何两个数的和不等于 11，则这样的子集共有—— (2 5 ) 13、在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节 目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多 少种安排方法？
5

2

n
(a 2 1) n 的展开式系数最大项为 第三项
2 2 T3 C 4 a 54, a 3
例2 : 求 x 3x 1 2 x 1 的展开式中各项
2 10


(1)系数和(2)系数绝对值的和
(1)(310 )
(2)(5 310 )
例3：化简:
1 2 3 9 (1)C10 C10 C10 C10
210 2
10 10
(2)C C C C
2 10 4 10 6 10
29 1
4 C11
(3)C C C C
3 3 3 4 3 5
1 n 2 n 3 n
10、六名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如 果甲不跑第一棒乙不跑最后一棒，那么不同的 参赛方案 有——
(A C C A )
3 5 1 4 1 4 2 4
11: 平面平行平面，在内取两个点，在平面 内取三个点， 过这五个点中的任意两 个点作直线，这些直线 最多可组成m对 异面直线，则 m
5 ) （1）甲、乙、丙三人不能当选； ( C9
1 4 ( C （2）甲、乙、丙三人只有1人当选； 3C9 )
4 ( A6 )
（3）甲乙丙三人至少1人当选
5 5 1 4 2 3 3 2 ( C12 C9 C3 C9 C3 C9 C3 C9 )
例6：按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？
9
例8：把10台相同型号的电脑送给三所学校，每所学校 至少得到2台，不同的送法 种数为——— (C62 )
9、某旅行社招聘了10名翻译，其中4人会说朝鲜语，4人会 说日语，2人既会说朝鲜语又会说日语，现打算10人中选4 人作朝鲜语翻译4人作日语翻译，则不同的选派方法有——
4 4 3 1 4 2 4 (C4 C6 C4 C2C5 C4 C4 )
排列组合与概率
• 知识网络
基本原理
排列 组合 排列数公式 组合数公式 组合数性质 二项式定理 应用
展开式 通项公式 系数性质
应用
概率
随机事件的频率与概率 等可能事件的概率 互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 独立重复试验
2、本章的应用题的解决思路主要是：正向思考 和逆向思考，正向思考时，可通过“分类”或 “分步”，对稍复杂的问题进行分解；逆向思 考时用集合的观点看，就是先从问题涉及的集 合在全集的补集入手，使问题得到简化。
3、注意排列和组合的内在联系和区别，计算应 用题时避免重复和遗漏。
典型例题分析
（一）排列数和组合数公式及组合数性质 的应用 例 1 ：解不等式 A9x 6 A6x2
5、会用互斥事件的概率加法公式与 相互独立事件 的概率乘法公式计算 一些事件的概率，会计算在n次独立 重复试验中恰好发生k次的概率。
6、了解随机事件的发生存在着规律 性和随机事件的概率的意义，了解等 可能性事件的概率 的意义 7、了解互斥事件与相互独立事件的 意义。数原理，排列和组 合的意义，排列数和组合数的计算公式，二项 式定理，等可能性事件的概率，互斥 事件的概 率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式
8 21 2 1 (2)C4 3 3 3 81
2 2
2
例4：用四个相同的元件组成一个系统有两种不同的 连接方式第一种是先串联后并联；第二种是先并联后 串联，如果每个元件是否能正常工作是独立的，每个 元件能正常工作的概率为r，两个系统哪个更可靠？
=11！-1
2 2n
（四）概率
例1：同时掷四枚均匀的硬币，求： C 42 （1）恰有两枚“正面朝上”的概率； 2 4
（2）至少有两枚“正面朝上”的概率。 C2 C3 C4
4
2
4 4
4

11 16
例2：从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续 抽取三个数字，求下列事件的概率： 3 A5 12 （1）三个数字完全不同； 5 3 25 （2）三个数字中不含1和5； （3）三个数字中5恰好出现两次。
1 5 ( C4 A5 )
5 2 ( A5 A2 )
4 2 ( A4 A5 )
2 2 3 ( A4 A2 A3 )
6 5 2 1 2 4 ( A6 A5 A2 A4 A2 A4 )
（5）甲乙之间至少站两人；
（6）甲站在乙的左边； （7）甲不站在左端，乙不站在右端。 ( A66 2 A55 A44 ) 3 3 3 2 2 ( A3 A4 A3 A4 A2 ) （8）甲乙都不与丙相邻 例5：按下列要求，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
2 2 2 ( C 6 C4 C2 ) （1）平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）平均分成三份，每份2本；
2 2 2 C6 C4 C2 ( ) 3 A3
（3）甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本； （4）分成三份，1份1本，一份2本，一份3本；
1 2 3 3 ( C6 C5 C3 A3 )
1 2 ( C6 C5 )
（5）甲、乙、丙三人中，一人得四本，另外两个每人得1本；
4 3 C6 A3
1 1 C 6 5 （6）分成三份，一份4本，另外两份每份1本； ( C ) 2 A2
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本。
1 1 (C6 C5 )
例7：1）5个编号不同的球放入到3个相同的盒子 1 1 C4 C52 C32 中，每盒不空的放法有—— C5 ( 2 ) 2 A2 A2 2）10个相同的球放入到编号不同的5个盒子中， 每盒都不空的放法有—— (C 4 )