九下 第二章 二次函数第一节 教学设计 (于海峰)

第二章二次函数

第一节二次函数概念以及表示方法

想一想：并把结果写在下面相应的横线上

1、正方形边长用x表示，面积用y表示，如何用x表示y？

2、圆半径用x表示，面积用y表示，如何用x表示y？

3、圆半径为1，若半径再增加x，那么增加的面积用y表示，如何用x 表示y？

4、一个数平方的2倍，再加这个数，再减少1得到另一个数，若第一个

数用x表示，得到的这个数用y表示，如何用x表示y？

（1）

（2）

（3）

（4）

5、果园有橙子树100棵时每棵树平均能结橙子600个，若多种一棵，导

致平均每棵树少结5个橙子。

（1）问题中变量有那些。

（2）设增种了x棵树，则总共有棵树，导致每棵少结个橙子，那么平均每棵结橙子个

（3）设总产量为y，则x和y的关系式表示为

（4）列表计算

总结：

二次函数概念：

一般地，若对于两个变量x和y，y可以用x表示成c

bx

ax

y+

+

=2的形式（c

b

a,

,是常数，且0

≠

a），我们把y叫做x的二次函数。

二次函数特征：

（1）x的最高次数

（2）二次项为，二次项的系数为

（3）看分母，它是一个方程

自己写几个二次函数：

（1）（2）

（3）（4）

设银行年利率为x，若存款额为100元，两年后本息合计为y 元，则如何用x表示y？（注第一年利息计入下年本金）

随堂练习：

【例1】 函数y=（m ＋2）x 2

2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）

①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x2；④y=2

1

x ＋x ．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【例3】正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．

1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．

2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．

3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．

【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式． 【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．

【例6】如图2-1-1，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．

【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）在第n 个图中，第一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数表达式（不要求写出自变量n 的取值范围）；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值；

（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？ （5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？ 课后练习:

1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．

2．当m 时，y=（m －2）x

2

2-m 是二次函数．

3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．

4．已知：一等腰直角三角形的面积为S ，请写出S 与其斜边长a 的关系表达式，并分别求出a=1，a=2，a=2时三角形的面积．

5．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=2

1mv

2

（m 为定值）．

（1）若物体质量为1，填表表示物体在v 取下列值时，E 的取值：

（2 6．下列不是二次函数的是（ ）

A ．y=3x 2

＋4 B ．y=－3

1x 2

C ．y=52-x

D ．y=（x ＋1）（x －2）

7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）

A ．m 、n 为常数，且m ≠0

B ．m 、n 为常数，且m ≠n

C ．m 、n 为常数，且n ≠0

D ．m 、n 可以为任何常数

8．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ） A ．S=2π（x ＋3）2 B ．S=9π＋x C ．S=4πx 2＋12x ＋9 D ．S=4πx 2＋12x ＋9π 9．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ） A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系

C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

D ．圆的周长与圆的半径之间的关系． 10．下列函数中，二次函数是（ ）

A ．y=6x 2

＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26

x

＋1

11．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为

30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．

12．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．

13．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x 元，每天所赚利润为y 元，请你写出y 与x 之间的函数表达式？

14．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a （m ），则正方体需要涂漆的表面积S （m 2）如何表示？

15．⑴已知：如图菱形ABCD 中，∠A=60°，边长为a ，求其面积S 与边长a 的函数表达式．

⑵菱形ABCD ，若两对角线长a ：b=1：3，请你用含a 的代数式表示其面积S ． ⑶菱形ABCD ，∠A=60°，对角线BD=a ，求其面积S 与a 的函数表达式．

16．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，

同时，

点

Q

从点

B 开始沿

BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S

与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．

17．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作

DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．

（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ；

（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；

（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．