[理学]离散习题第二篇答案
离散数学课后习题答案(第二章)
(3) 寻求下列各式的真假值。 A） (∀x)( P( x) ∨ Q( x)) ，其中 P( x) : x = 1, Q( x) : x = 2 ，且论域是 {1, 2} B） (∀x)( P → Q( x)) ∨ R( a) ， 其中 P : 2 > 1, Q( x) : x ≤ 3, R( x) : x > 5 而 a : 5 ， 论域是 {−2,3, 6} 解：a) (x)(P(x)∨Q(x))⇔(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))， 但 P(1)为 T，Q(1)为 F，P(2)为 F，Q(2)为 T, 所以(x)(P(x)∨Q(x))⇔(T∨F)∧(F∨T) ⇔T。 b) (x)(P→Q(x))∨R(a)⇔ ((P→Q(−2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a) 因为 P 为 T，Q(−2)为 T，Q(3)为 T，Q(6)为 F，R(5)为 F， 所以(x)(P→Q(x))∨R(a)⇔((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F⇔ F (4) 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。 A） ∀x∃y ( P ( x, z ) → Q ( y ) � S ( x, y ) B） (∀xP( x) → ( R( x) ∨ Q( x))) ∧ ∃xR( x)) → ∃zS ( x, z) 解：a)(u)(v)(P(u，z)→Q(v))S(x，y) b)(u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧(v)R(v))→(z)S(x,z) (5) 对下列谓词公式中的自由变元进行代入。 A） (∃yA( x, y ) → ∀xB ( x, z )) ∧ ∃x∀zC ( x, y , z ) B） (∀yP( x, y ) ∧ ∃zQ( x, z )) ∨ ∀xR( x, y) 解：a)((y)A(u，y)→(x)B(x，v))∧(x)(z)C(x，t，z) b)((y)P(u，y)∧(z)Q(u，z))∨(x)R(x，t) 习题 2-5 （1）考虑以下赋值，论域：
(完整word版)离散数学(第2版,刘爱民)习题解答(1)(1)
附录2 习题答案习题一答案1.1下列各语句中哪些是命题?1) 不是；2) 是；3) 不是；4) 不是；5) 不是；6) 是；7) 是；8) 不是9) 不是；10)是；11)不是；12)是。
1.2 将下列命题符号化。
1) p∧⌝q, p:太阳明亮,q:湿度高；2) q→⌝p, p:明天你看到我，q:我要去深圳。
3) p→q, p:我出校，q:我去图书城；4) q→p , p:你去,q:我去；5) 5.1) p∧q； 5.2) p∧⌝q; 5.3) p∧q； 5.4) p∧⌝q；6) 6.1) p∨q 6.2) ⌝(p ↔q) 6.3) p∧¬q6.4) ¬ (p∧r) 6.5) (p∧q) →r 6.6)¬ (r→ (p∧q))7) p:蓝色和黄色可以调配成绿色；8) ⌝(p↔q), p:李兰现在在宿舍, q:李兰在图书馆里；9) ¬p→¬ q, p:一个人经一事，q:一个人长一智；10) (p∧¬q) →⌝(r↔ s), p:晚上小王做完了做业, q: 晚上小王没有其他事情，r: 晚上小王看电视, s: 晚上小王看电影。
11) ⌝(r↔ s), r:小飞在睡觉, s:小飞在游泳；12) ¬p∧¬q∧r, p:这个星期天我看电视，q: 这个星期天我外出，r:这个星期天我在睡觉。
13) p→q , p:卫星上天了，q:国家强大了；14) p→q, p:今天没有课，q:我呆在图书馆里；15) p→q,p:我去图书城，q:我有时间；16) ¬p→¬q , p:人们辛劳，p: 人们收获1.3 1) 小李家住北大西门外, 他现在坐在公共汽车里看书，没有考虑问题；2) 小李在思考问题, 他没有乘坐公共汽车，也没有看书；3) 小李只要乘坐公共汽车，他就看书或考虑问题；4) 小李乘坐公共汽车，要么看书不考虑问题，要么考虑问题不看书，5) 同4);6) 如果小李家住北大西门外,则他现在没有乘坐公共汽车，没有看书，也没有考虑问题。
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
离散数学课后习题答案(最新)
习题参考解答习题1.11、（3）P：银行利率降低Q：股价没有上升P∧Q（5）P：他今天乘火车去了北京Q：他随旅行团去了九寨沟PQ（7）P：不识庐山真面目Q：身在此山中Q→P，或～P→～Q（9）P：一个整数能被6整除Q：一个整数能被3整除R：一个整数能被2整除T：一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ，Q→T2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F（6）T （7）F （8）悖论习题 1.31（3）)()()()()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q P →∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→（4）()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不， 不， 能习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2) ()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨ 2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价3、解：根据给定的条件有下述命题公式：（A →（C ∇D ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ）⇔（～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ）） ∧（～C ∨～D ）⇔（～A ∧～B ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～C ）∨ （～A ∧～C ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ∧～C ）∨（～A ∧～B ∧～D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～D ）∨ （～C ∧D ∧～C ∧～D ）（由题意和矛盾律）⇔（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～B ∧～A ）∨ （～A ∧～C ∧B ）∨ （～A ∧～C ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ） ⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ） ∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ） 三种方案：A 和D 、 B 和D 、 A 和C习题 1.51、 （1）需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P P P Q P Q TP Q P Q T P Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧（3）需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧3A B A B ⇒∴→ 、为永真式。
离散习题答案(上)
这说明集合A上共有2n 个不同的二元关系， 而 {R i |0 ≤ i ≤ 2n }中共有2n + 1个二元关系， 由抽屉原理可知，{R i |0 ≤ i ≤ 2n }中必存在重复的元素， 故必存在s与t,0 ≤ s<t ≤ 2n , 使得R s = R t .
2 2 2 2
2.17
(1) 证明： 显然 r(R)是自反的， 则由 定理 2.11(1) 可知 sr(R)是对称的 又由 定理 2.12(1) sr(R)=rs(R), 又因为 rs(R)是自反的，所以 sr(R )是自反的， 11 由 定理 2. (1) 及 sr(R)自反可知 tsr(R )是自反的， 11 由 定理 2. ( 2) 及 sr(R )对称可知 tsr(R )是对称的， 又 tsr(R )显然是传递的，所以 tsr(R )是等价关系。 ( 2) 证明： R ′′是等价 关系，所以 R ′′是自反，对称，传递的。 ⎫ ⎫ R ′′ ⊇ R 且 R ′′是自反的 ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ R ′′ ⊇ r(R )⎪ r(R )是 R 的自反闭包 ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ′′ R ′′是对称的 ⎬ ⇒ R ⊇ sr(R ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⇒ R ′′ ⊇ tsr(R ). sr(R )是 r(R )的传递闭包 ⎪ ⎭ ⎪ R ′′是对称的 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ tsr(R)是 sr(R)的传递闭包 ⎭ 以上每一步推导均使用了闭包定义中第三个条件（性质）。
3.3
A > B ,显然由抽屉原理可知, A到B上不存在内射,故不存在双射. f 0 = {(a, 0), (b, 0), (c, 0)}, 非满射. f1 = {(a, 0), (b, 0), (c,1)}, 满射. f 2 = {(a, 0), (b,1), (c, 0)}, 满射 f3 = {(a, 0), (b,1), (c,1)}, 满射 f 4 = {(a,1), (b, 0), (c, 0)}, 满射 f5 = {(a,1), (b, 0), (c,1)}, 满射 f 6 = {(a,1), (b,1), (c, 0)}, 满射 f 7 = {(a,1), (b,1), (c,1)}, 非满射.
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。
离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。
而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。
本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。
第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。
命题变量用字母表示，代表一个命题。
命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。
括号用于改变命题联结词的优先级。
习题2：列举命题逻辑的基本定律。
答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。
1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的基本运算包括并、交、差和补等。
习题2：列举集合的基本定律。
答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。
第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。
答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。
常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。
习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。
答：假言推理规则可以用来证明该命题。
根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。
又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。
2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。
与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。
离散数学第2章习题解答
(2)xF(x) yG(y)
xF(x) yG(y)(量词辖域收缩扩张等值式)
(F(a) F(b) F(c)) (G(a) G(b) (c)).
(3)x yH(x,y)
x(H(x,a) H (x,b) H(x,c)
(H(a,a) H (a,b) H(x,c)
“存在自然数x,x发既为奇数，又为偶数。 ”
取x2，则F(2)为假，于是F(2) G(2)为真，这表明x(F(x) G(x)为真命题。
分析本题说明
x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x)), x(F(x) G(x)) x(F(x) G( x)),
这里，A B表示A与B不等值，以后遇到，含义相同。
“对于任意的实数x和y，如果x为有理数，y为元理数，则x y。” 这是假命题。
分析 闭式在任何解释下不是真就是假， 不可能给出解释I,使得闭式在I下真值不确定，这一点是闭式的一个重要特征。 而非封闭的公式就没有这个特征。
2.9取A1L(f(x,y),g(x,y))和A2x( f (x, y), x)，则A1和A2都是非土产的公式，在A1中，x, y都是自由出现的，在A2中，y是自出现的。
2.5(1)取解释I1为：个体域D R(实数集合)，F ( x) : x为有理数，G( x) : x能表示成分数，在I1下，x(F(x) G(x))的含义为
“对于叙何实数x而言，若x为有理数， 则x能表示成分数”，简言之为“有 理数都能表示成分数。 ”在此蕴含式中，当前件F ( x)为真时，后件G(x)也为真， 不会出现前件为真， 后件为假的情况， 所以在I1下，x(F(x) G (x))为真命题。
( H (b,a) H (b,b) H (b, c)
离散数学简明教程2-2答案
一、证明题（7小题，每小题8分，共56分）1、符号化下列命题并推证其结论．任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车。
每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。
有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。
（设()W x ：x 喜欢步行，()B x ：x 喜欢乘汽车，()R x ：x 骑自行车．），该命题符号化为：(()())(()())()()x W x B x x B x R x x R x x W x ∀→⌝∧∀∨∧∃⌝⇒∃⌝ （2分）证明:(1) ()x R x ∃⌝ P(2) ()R a ⌝ ES (1) （1分） （1分）(3) (()())x B x R x ∀∨ P(4) ()()B a R a ∨ US (3)（1分） (5) ()B a T(2)(4) I（1分） (6) (()())x W x B x ∀→⌝ P(7) ()()W a B a →⌝ US (6)（1分） (8) ()W a ⌝ T(5),(7) I（1分） (9) ()xW x ∃ EG(8)（1分）2、符号化下列命题并推证其结论．所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。
因此有些学生很有风度。
证明：设P(x)：x 是个舞蹈者；Q(x)：x 很有风度；S(x)：x 是个学生；a ：王华，上述句子符号化为：前提：))()((x Q x P x →∀、)()(a P a S ∧ 结论：))()((x Q x S x ∧∃ （2分）①)()(a P a S ∧P ②))()((x Q x P x →∀P ③)()(a Q a P →US ② （2分） ④)(a PT ①I ⑤).(a QT ③④I （2分） ⑥)(a S T ①I⑦)()(a Q a S ∧T ⑤⑥I ⑧)()((x Q x S x ∧∃ EG ⑦ （2分）3、符号化下列命题并推证其结论．任何人如果违反交通规则，就要被处罚；总有些人违反了交通规则。
因此有些人被处罚。
大学离散数学课后习题答案
大学离散数学课后习题答案大学离散数学课后习题答案离散数学是大学数学中的一门重要课程，它主要研究离散结构及其运算规则，是计算机科学、信息技术等领域的基础。
在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
然而，由于离散数学的题目种类繁多、难度不一，学生在解题过程中常常会遇到困难。
为了帮助同学们更好地学习离散数学，我整理了一些常见习题的答案，并将其按照不同章节进行分类。
1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学中的基础内容，它研究命题的真假和推理的规则。
在命题逻辑中，常见的习题类型包括真值表、命题公式的等值变换等。
下面是一道典型的命题逻辑习题及其答案：习题：给定命题P: "如果我明天考试及格，那么我会去图书馆。
" 命题Q: "我没有去图书馆。
" 请判断以下命题的真假：(1) 如果我明天考试及格，那么我没有去图书馆。
(2) 如果我没有去图书馆，那么我明天考试不及格。
答案：根据题意可知，P是一个条件命题，Q是其否定。
根据条件命题的真值定义可知，当P为真，Q为假时，命题(1)为假；当P为假，Q为真时，命题(2)为真。
因此，命题(1)为假，命题(2)为真。
2. 集合论集合论是离散数学中的另一个重要内容，它研究集合的性质和运算规则。
在集合论中，常见的习题类型包括集合的运算、集合关系的判断等。
下面是一道典型的集合论习题及其答案：习题：设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={4,5,6,7,8}，求(A∪B)∩C的元素。
答案：首先，求A和B的并集，得到A∪B={1,2,3,4,5,6,7}；然后，求A∪B和C 的交集，得到(A∪B)∩C={4,5}。
因此，(A∪B)∩C的元素为4和5。
3. 关系与函数关系与函数是离散数学中的另一个重要内容，它研究元素之间的关系和映射规则。
在关系与函数中，常见的习题类型包括关系的性质判断、函数的图像和原像等。
下面是一道典型的关系与函数习题及其答案：习题：设关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}，请判断以下命题的真假：(1) R是自反关系。
离散数学习题集(十五套含答案)
离散数学试题与答案试卷一一、填空20% （每小题2分）1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+xExxBxNxxA且且（+=⋃BA{0，1，2，3，4，6} 。
2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。
3R，S的真值为1，则)()))(((SRPRQP⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 1 。
4．公式PRSRP⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为)()(RSPRSP∨⌝∨⌝∧∨∨⌝。
5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)()(xxPxxP∀→∃在I下真值为1 。
6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为则R2 = {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d> 。
7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为则R= {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>} I A。
8．图的补图为9．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下：那么代数系统<A，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为a , b , c ,d，它们的逆元分别为 a , d , c , d 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。
二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（CD）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（BC ）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（ C ）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（A ）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C ．若R ，S 是对称的， 则S R是对称的；D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
离散数学(第三版)课后习题答案
离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明第一部分集合论刘国荣交大电信学院计算机系离散数学习题解答习题一（第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。
3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。
因为空集是任意集合的子集；2）假。
因为空集不含任何元素；3）真。
因为空集是任意集合的子集；4）真。
因为∅是集合{∅}的元素；5）真。
因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。
因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。
[解] 1）假。
例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。
离散数学课后习题答案二
习题3.71. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><= ><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么？解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？ 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解5,3,2πNadir 航空公司＝6. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解 略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
解 零件供应商二维表与零件数量和颜色代码二维表连接运算2结果第4章：群、环、域习题4.11. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。
（1）集合}|{Z Z ∈⨯=z z n n 关于普通加法和普通乘法运算，其中n 是正整数。
（2）集合}12|{+∈-==Z n n x x S ，关于普通加法和普通乘法运算。
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第一章集合论基础1.设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}⊆S,{{a},1,3,4}⊂R,R=S,{a}⊆S,{a}⊆R,φ⊆R,φ⊆{{a}}⊆R⊆E,{φ}⊆S,φ∈R,φ⊆{{3},4}。
解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ⊆ S ，{{a}，1，3，4 } ⊂ R ，R = S ，{a}⊆S ，{a}⊆ R ，φ⊆ R ，φ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ E ，{φ} ⊆ S ，φ∈R ，φ⊆ {{3}，4 } 2写出下面集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；(4)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x⊆A。
由于A⊆B，故x⊆B，从而x∈ρ(B)，于是ρ(A)⊆ρ(B)。
充分性，任取x∈A，知{x}⊆A，于是有{x}∈ρ(A)。
由于ρ(A)⊆ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A⊆B。
（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X⊆A或X⊆B∴X⊆(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X⊆A且X⊆B∴X⊆ A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y⊆ A∩B∴Y⊆A且Y⊆B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
国家开发大学(电大)离散数学形考任务二部分答案
无向树T有8个结点，则T的边数为( )．选择一项：A. 7B. 9C. 8D. 6反馈你的回答不正确正确答案是：7题目2不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干设图G＝<V, E>，v V，则下列结论成立的是( ) ．选择一项：A.B. deg(v)=2| E |C. deg(v)=| E |D.反馈你的回答不正确正确答案是：题目3不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．图五选择一项：A. （b）是强连通的B. （c）是强连通的C. （d）是强连通的D. （a）是强连通的反馈你的回答不正确正确答案是：（a）是强连通的题目4不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．选择一项：A.B.C.D.反馈你的回答不正确正确答案是：题目5不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干无向完全图K4是（）．选择一项：A. 树B. 非平面图C. 欧拉图D. 汉密尔顿图反馈你的回答不正确正确答案是：汉密尔顿图题目6不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( )．选择一项：A. 8B. 3C. 4D. 5反馈你的回答不正确正确答案是：5题目7未回答满分5.00标记题目题干图G如图四所示，以下说法正确的是( ) ．选择一项：A. {(a, d)}是边割集B. {(b, d)}是边割集C. {(a, d)}是割边D. {(a, d) ,(b, d)}是边割集反馈你的回答不正确正确答案是：{(a, d) ,(b, d)}是边割集题目8不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干以下结论正确的是( )．选择一项：A. 无向完全图都是平面图B. 无向完全图都是欧拉图C. 树的每条边都是割边D. 有n个结点n－1条边的无向图都是树反馈你的回答不正确正确答案是：树的每条边都是割边题目9不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干如图二所示，以下说法正确的是( )．图二选择一项：A. {d}是点割集B. e是割点C. {b, e}是点割集D. {a,e}是点割集反馈你的回答不正确正确答案是：e是割点题目10不正确获得5.00分中的0.00分标记题目题干若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．选择一项：A. 欧拉图B. 连通图C. 平面图D. 对偶图你的回答不正确正确答案是：连通图标记题目信息文本判断题题目11正确获得5.00分中的5.00分标记题目题干设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．( ) 选择一项：对错反馈正确的答案是“对”。
离散参考答案(全)
2013-7-29
离散数学
23
题解1-4(7)
g) (A→D)∧(B→D) (A∨B)→D
证明：(A→D)∧(B→D) ( A∨D)∧(B∨D) ( A∧B) ∨D (A ∨ B) ∨D (A∨B)→D
2013-7-29
离散数学
24
习题1-5(1)
(1) 试证下列各式为重言式。 a) (P∧(P→Q)) →Q。 c) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)。
FFF
F
T
T
18
题解1-4(1)
e）(P→(Q→R)) →((P→Q) →(P→R))
PQR
TTT TTF TFT TFF FTT FTF
Q→R P→(Q→R)
T F T T T F T F T T T T
P→Q
T T F F T T
P→R
T F T F T T
(P→Q) →(P→R)
T F T T T T
e
T T T T T T
FFT
FFF
2013-7-29
T
T
T
T
T
T
离散数学
T
T
T
T
19
T
T
习题1-4(7)
(7) 证明下列等价式： a) A→(B→A) A→(A→ B)。 d) (A B) (A∧ B)∨( A∧B)。 f) A→(B∨C) (A∧ B)→C。 g) (A→D)∧(B→D) (A∨B)→D。
A (BC) (2) (A∧B)C (3) (C∧D)E (4) C (DE) (5) (A∧B) (DE) (6) F(D∧E) (7) F (D ∨ E) (8) F (D E) (9) (D E) F (10) (A∧B)F (11) A(BF)
离散参考答案 全
离散参考答案全离散数学是一门研究离散结构的数学学科，它在现代数学和计算机科学中起着重要的作用。
离散数学的研究对象包括离散集合、离散函数、离散关系、离散算法等。
在离散数学中，参考答案的求解是一个重要的问题。
本文将探讨离散参考答案的求解方法和应用。
首先，我们来讨论离散参考答案的求解方法。
在离散数学中，参考答案的求解通常涉及到逻辑推理、证明和计算等方法。
例如，在集合论中，我们经常需要证明一个集合的子集关系，这就需要运用逻辑推理和证明的方法来求解参考答案。
在图论中，我们需要计算两个节点之间的最短路径，这就需要使用计算方法来求解参考答案。
其次，离散参考答案的求解方法也与离散结构的特性有关。
离散结构的特性决定了参考答案的求解方法的选择。
例如，在离散函数的求解中，如果函数是可逆的，我们可以通过反函数来求解参考答案；如果函数是非可逆的，我们可以通过穷举法或递归法来求解参考答案。
在离散关系中，我们可以通过矩阵运算、图论算法等方法来求解参考答案。
离散参考答案的求解方法不仅仅应用于数学领域，还广泛应用于计算机科学和信息技术领域。
在计算机科学中，离散参考答案的求解方法被应用于算法设计和优化、数据结构和算法分析等方面。
例如，在算法设计中，我们可以使用动态规划、贪心算法等方法来求解参考答案；在数据结构中，我们可以使用哈希表、二叉树等数据结构来求解参考答案。
离散参考答案的求解方法还被应用于信息技术领域的网络安全、人工智能等方面。
在网络安全中，离散参考答案的求解方法可以用于密码破解、入侵检测等方面。
在人工智能中，离散参考答案的求解方法可以用于模式识别、机器学习等方面。
这些应用领域的发展对离散参考答案的求解方法提出了更高的要求，需要更高效、更精确的求解方法。
总结起来，离散参考答案的求解方法涉及到逻辑推理、证明、计算等方法，与离散结构的特性密切相关。
这些方法不仅应用于数学领域，还广泛应用于计算机科学和信息技术领域。
随着科技的不断发展，离散参考答案的求解方法将继续得到改进和应用，为解决实际问题提供更好的解决方案。
离散课后习题答案
第十四章部分课后习题参考答案5、设无向图G有10 条边，3 度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G至、少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、解：由握手定理图G的度数之和为：2⋅10 = 20( ) ™(G) 。
3 度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14 度。
其余顶点的度数共有6度。
其余顶点的度数均小于3，欲使G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2, () = 4 ,( ) = 2 .G™G7、设有向图D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D的入度列，并求(D),™(D) ，(D),™+( ) ,D( D),™(D) .解：D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D 的入度列为1,1,1,2.( ) = 3, ( ) = 2 , +D™D (D) = 2, ™+( ) = 1,D( D) = 2,™( D) = 18、设无向图中有6条边，3 度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？解：由握手定理图G的度数之和为：2⋅6 = 12设2度点x个，则3⋅1 + 5 ⋅1 + 2x= 12 ，x= 2 ，该图有4个顶点.14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。
(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化；(2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化；18、设有3个4阶4条边的无向简单图G1、G2、G3，证明它们至少有两个是同构的。
证明：4 阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列1为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。
但3，3，1，1 对应的图不是简单图。
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(1) ,{a},{{b}},{c},……
ห้องสมุดไป่ตู้
(2) ,{}
(3)
14.化简((A∪ (B-C)) ∩A) ∪(B-(B-A)) 解：原=((A∪ (B ∩～ C)) ∩A) ∪(B ∩～ (B ∩～ A)) =A ∪(B ∩(～ B∪A)) =A ∪(B ∩(～ B))∪(B ∩ A)=A
显然成立
21. 设集合A={1,2},B={a,b,c},C={c,d},试求A× (B∩C).
22. 设集合A={a,b,c}, 则R={(a,a),(b,b)}不具备下列哪个性质？
(1) 传递性
(2)反对称性
(3)对称性 (4)自反性
23. 设集合A={a1,a2,a3,a4},B={b1,b2,b3},是从A到B的函数， ={ (a1,b2), (a2,b2), (a3,b1), (a4,b3)},则是下列4个中的哪一个？
(1) {0,1,2} (2) {1,2,3,4,5,}
(3) {-1}
11.求使得下列集合等式成立时，a、b、c应该满足的条件： （1）{a,b}={a,b,c} c=a或b （2）{a,b,a}={a,b} a,b,c （3） a, , b,c a= , b={ },c= 12.设 A ,,, , ,选择A中适当的符号填在各小题的 横线上。 （1）{1,2,3,4}___N （2）2___Q , （3） ___{1,5} （4）{a}___{{a},a} （5）{1,2,3}___{1,2,3,{(1,2,3)}} 13.写出下列集合的子集 （1）A={a,{b},c} （2） B （3）C
15. 设集合A={a,b},B={1,2,3},C={d},求A×B×C.
16. 设集合A={1,2}, 求A (A) 解：(A)={，{1}，{2}，{1，2}} A (A)={ (1, ),(1,{1}), ),(1,{2}), ),(1,{1,2}), (2, ),(2,{1}), ),(2,{2}), ),(2,{1,2})}
√
25. 设R1,R2是集合A={1,2,3,4}上的二元关系,其中 R1={(1,1),(1,2),(2,4)}, R2={(1,4),(2,3),(2,4),(3,2)},
19. 试证:A-(B-C)= (A-B) ∪(A ∩ C)
证明：A-(B-C)=A ∩～ (B ∩～ C) =A ∩ (～ B ∪ C)
= ( A ∩ ～ B) ∪ ( A ∩ C)
= (A-B) ∪(A ∩ C) 20. 设A,B为任意集合,试证A-B=B-A之充要条件为A=B. 证明： 假设A-B≠ ， xA-B,则xA,且xB;同理，由A-B=B-A知， xB, 且xA，矛盾。所以A-B= ，即 AB；B-A= ，B A，所以A=B。
(3)
{2} ～B=__, {1,3,4} 5.设全集E={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},A∩B=__, ～A∪～B=__. 6.设集合A1={a,b},A2={b,a},A3={a,a,b},A4={a,b,c},A5={x|(x-a) 2 A x | x a b x ab 0 ，则集合A1、 (x-b)(x-c)=0}, 6 A1=A2=A3=A6,A4=A5 A2、A3、A4、A5、A6之间彼此相等的是____ 。 {{c},{b,c},{a,c},{a,b,c}} 7.设集合A={a,b,c},B={a,b},那么 A B ___, B A __ __. {a,c} {a,e,c,d} 8.设A={a,b,c},B={b,d,e},则A-B=___,A+B=___. 9.设S,T,M为任意集合，判定下列命题的真假。 （1） 是 的子集 √ （2）如果S∪T=S∪M,则T=M （3）如果 S-T= ,则S=T （4）如果～S∪T=E,则 S T √ （5）S+S=S 10.用枚举法表示以下集合 2 A x | x N 3 x 3 A { x | x N x 7} （2） （1） 2 （3） A x | x R x 1 0
17. (1)设集合A={{2,1},{1,2,1}},求幂集(A);
(2)求幂集((A)),其中A同(1).
18.设集合A={{1,2},{1,2}, Ø},求 (1)A-{1,2}; (2)A- Ø; (3)A-{Ø}; (4) {{1,2}}-A. 解: (1) Ø; (2) A ; (3) {{1,2}}; (4) Ø
(1)双射
(2) 满射但不是单射
(3) 单射但不是满射 (4) 非单射也非满射
答：是（2）满射但不是单射； (a1 , b2 ),(a2 , b2 ) , 不是
( A) b1 , b2 , b3 是满射。
24. 设A={a,b,c},R={(a,a),(b,b)},则R既有下列性质中的哪种性质？ (1)自反的 (2)反自反的 (3)反对称性 (4)等价的