函数的奇偶性的典型例题

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高中数学函数的奇偶性经典习题（带答案）

绝密★启用前1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x 3－1x ； (2)f(x)＝|2|2x ＋－； (3)f(x)＝(x －(4)f(x). 【答案】（1）奇函数（2）奇函数（3）既不是奇函数也不是偶函数（4）既是奇函数也是偶函数解析:(1)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)去掉绝对值符号，根据定义判断．由210|2|20x x ⎧≥⎨≠⎩－，＋－，得1104x x x ≤≤⎧⎨≠≠⎩－，且－. 故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x ＋2＞0.从而有f(x)＝22x x＝＋－，这时有f(－x)＝21(x x --)－＝－f(x)，故f(x)为奇函数． (3)因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)因为f(x)定义域为{，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数2．下列函数是奇函数的是（）A ．()||f x x =-B ．()22x x f x -=+C ．()lg(1)lg(1)f x x x =+--D ．3()1f x x =-【答案】C 解析：对于B ，()22()x x f x f x --=+=，函数()f x 为偶函数，所以B 错；对于C ，由1010x x +>⎧⎨->⎩，故11x -<<，关于原点对称，又()lg(1)lg(1)()f x x x f x -=--+=-对于D ，33()()11()()f x x x f x f x -=--=--≠≠-，函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，3．已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，,lg )(x x f =则( )C.2lgD.-2lg 【答案】D.解析:4．已知函数(1)f x +是奇函数，(1)f x -是偶函数，且(0)2,(4)则f f ==（）A ．-2B ．0C ．2D ．3【答案】A 解析:因为函数(1)f x +是奇函数，所以)(x f 的对称中心为（1,0），因为(1)f x -是偶函数，所以)(x f 的对称轴为x=-1。

函数的奇偶性练习题

函数的奇偶性练习题1. 函数f(x)在定义域上是否是奇函数还是偶函数？解析：要判断函数的奇偶性，需要分析函数在x和-f(x)两点处的取值情况。

2. 函数g(x) = x^3 - x是奇函数还是偶函数？解析：首先，我们分别计算g(x)和g(-x)的值。

当x = 1时，g(1) = 1^3 - 1 = 0；当x = -1时，g(-1) = (-1)^3 - (-1) = -2。

由于g(1) = 0，且g(-1) = -2，即当x = 1时，g(x) = -g(-x)成立。

因此，函数g(x)是奇函数。

3. 函数h(x) = x^4 - x^2是奇函数还是偶函数？解析：同样地，我们分别计算h(x)和h(-x)的值。

当x = 1时，h(1) = 1^4 - 1^2 = 0；当x = -1时，h(-1) = (-1)^4 - (-1)^2 = 0。

由于h(1) = h(-1) = 0，即当x = 1和x = -1时，h(x) = h(-x)成立。

因此，函数h(x)是偶函数。

4. 函数i(x) = sin(x)是奇函数还是偶函数？解析：对于三角函数，我们需要利用其周期性质进行判断。

由于sin(x)的周期是2π，即sin(x + 2πk) = sin(x)（k为整数）。

考虑到奇函数关于原点对称，我们将其分为两种情况进行分析：当x = 0时，sin(0) = 0；当x = π时，sin(π) = 0。

由于sin(0) = sin(π) = 0，即当x = 0和x = π时，sin(x) = sin(-x)成立。

因此，函数i(x)是奇函数。

5. 函数j(x) = x^2 + 1是奇函数还是偶函数？解析：对于函数j(x)，我们分别计算j(x)和j(-x)的值。

当x = 1时，j(1) = 1^2 + 1 = 2；当x = -1时，j(-1) = (-1)^2 + 1 = 2。

由于j(1) = j(-1) = 2，即当x = 1和x = -1时，j(x) = j(-x)成立。

函数的奇偶性练习题及答案

函数的奇偶性练习题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（）A ．a=1／3，b ＝0B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝3，b ＝03．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（）A ．－26B ．－18C ．－10D ．105．函数1111)(22+++-++=x x x xx f 是（）A 偶函数B 奇函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5 B ．最大值－5 C ．最小值－1 D ．最大值－3二、填空题7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） 8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式14.f （x ）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数1．解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件．答案：A2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ．3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x|－2）答案：D 4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．答案：B6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m 12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

函数的奇偶性与周期性典型例题

函数的奇偶性和周期性
例1、已知为定义在上的奇函数，当时，，求的
表达式.
思路点拨：().00上，这是解题的关键的解析式转化到时将<>x x f x 解：∵
为奇函数，且在处有定义0=x ∴ 当时， ∵
为奇函数 ∴
∴ ∴()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧<--=>-=000022x x x x x x x x f
解题回顾：若一个函数具有奇偶性，则不论这个函数是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于原点对称。

如果一个函数定义域不关于原点对称，那么它就失去了奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数又不是偶函数。

变式：已知为定义在上的偶函数，当0≤x 时，，求的
表达式.
例2、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有
()()x f x f =+4，若()263=f ，求()()75f f 与的大小关系思路点拨：解此题的关键由()()x f x f =+4知函数的周期是4. 解：对一切x R ∈，总有f （x+4）=f （x ），故函数)(x f 是周期为4的函数，因此，,2)1(=-f 又函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以，.2)7(,2)5(,2)1(=-=∴-=f f f )7()5(f f <∴。

变式1、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有()()x f x f -=+2，若()263=f ，则()()75f f 与的大小关系是
变式2、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有()()
x f x f 12=+，若()263=f ，求()()75f f 与的大小关系。

函数奇偶性常见经典试题

函数奇偶性试题1．函数f 〔x 〕＝ax 2＋bx ＋c 〔a ≠0〕是偶函数，那么g 〔x 〕＝ax 3＋bx 2＋cx 〔〕A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：f 〔x 〕＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数， ∴g 〔x 〕＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f 〔x 〕·)(x ϕ满足奇函数的条件．2．函数f 〔x 〕＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，那么〔〕A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝3，b ＝0解析：由f 〔x 〕＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．3．f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f 〔x 〕＝x 2－2x ，那么f 〔x 〕在R 上的表达式是〔〕A ．y ＝x 〔x －2〕B ．y ＝x 〔｜x ｜－1〕C ．y ＝｜x ｜〔x －2〕D ．y ＝x 〔｜x ｜－2〕解析：由x ≥0时，f 〔x 〕＝x 2－2x ，f 〔x 〕为奇函数，∴当x ＜0时，f 〔x 〕＝－f 〔－x 〕＝－〔x 2＋2x 〕＝－x 2－2x ＝x 〔－x －2〕． ∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f 〔x 〕＝x 〔|x |－2〕4．f 〔x 〕＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f 〔－2〕＝10，那么f 〔2〕等于〔〕A ．－26B ．－18C ．－10D ．10解析：f 〔x 〕＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f 〔－2〕＋8＝18，∴f 〔2〕＋8＝－18，∴f 〔2〕＝－26．5．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是〔〕 A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f 〔－x 〕＋f 〔x 〕＝0． 6．假设)(x ϕ，g 〔x 〕都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在〔0，＋∞〕上有最大值5，那么f 〔x 〕在〔－∞，0〕上有〔〕A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3解析：)(x ϕ、g 〔x 〕为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f 〔x 〕在〔0，＋∞〕上有最大值5， ∴f 〔x 〕－2有最大值3．∴f 〔x 〕－2在〔－∞，0〕上有最小值－3， ∴f 〔x 〕在〔－∞，0〕上有最小值－1．7. 设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,那么f (7.5)等于( )B.－0.5 D.－1.5解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)=f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5.8. 定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,那么a 的取值范围是( ) A.(22，3) B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)解析：∵f (x )是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0.∴f (a －3)＜f (a 2－9).∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3).9．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________〔填奇函数或偶函数〕．10．假设y ＝〔m －1〕x 2＋2mx ＋3是偶函数，那么m ＝_________．解析：因为函数y ＝〔m －1〕x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f 〔－x 〕＝f 〔x 〕，即〔m －1〕〔－x 〕2＋2m 〔－x 〕＋3＝〔m —1〕x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．11．f 〔x 〕是偶函数，g 〔x 〕是奇函数，假设11)()(-=+x x g x f ，那么f〔x 〕的解析式为_______．解析：由f 〔x 〕是偶函数，g 〔x 〕是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．12．函数f 〔x 〕为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，那么方程f 〔x 〕＝0的所有实根之和为________．13. 假设f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,那么xf (x )<0的解集为_________.解析：由题意可知：xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3)14. 假设函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2),且在［x 2,+∞)上单调递增，那么b 的取值范围是_________.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ，∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0,∴b =－a (x 1+x 2)＜0.15．设定义在［－2，2］上的偶函数f 〔x 〕在区间［0，2］上单调递减，假设f 〔1－m 〕＜f 〔m 〕，求实数m 的取值范围．16．函数f〔x〕满足f〔x＋y〕＋f〔x－y〕＝2f〔x〕·f〔y〕〔x∈R，y∈R〕，且f〔0〕≠0，试证f〔x〕是偶函数．16．证明：令x＝y＝0，有f〔0〕＋f〔0〕＝2f〔0〕·f〔0〕，又f〔0〕≠0，∴可证f〔0〕＝1．令x＝0，∴f〔y〕＋f〔－y〕＝2f〔0〕·f〔y〕⇒f〔－y〕＝f〔y〕，故f 〔x〕为偶函数．17.函数f〔x〕是奇函数，且当x＞0时，f〔x〕＝x3＋2x2—1，求f 〔x〕在R上的表达式．解析：此题主要是培养学生理解概念的能力．f〔x〕＝x3＋2x2－1．因f〔x〕为奇函数，∴f〔0〕＝0．＋2x 2－1，∴f 〔x 〕＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f18.f 〔x 〕是定义在〔－∞，－5］［5，＋∞〕上的奇函数，且f 〔x 〕在［5，＋∞〕上单调递减，试判断f 〔x 〕在〔－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．18．解析：任取x 1＜x 2≤－5，那么－x 1＞－x 2≥－5．因f 〔x 〕在［5，＋∞］上单调递减，所以f 〔－x 1〕＜f 〔－x 2〕⇒f 〔x 1〕＜－f 〔x 2〕⇒f 〔x 1〕＞f 〔x 2〕，即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．19.设函数y＝f〔x〕〔x∈R且x≠0〕对任意非零实数x1、x2满足f〔x1·x2〕＝f〔x1〕＋f〔x2〕，求证f〔x〕是偶函数．解析：由x1，x2∈R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，f〔1〕＝2f〔1〕，∴f〔1〕＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×〔－1〕］＝2f〔1〕＝0，∴〔－1〕＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f〔－x〕＝f〔－1〕＋f〔x〕＝0＋f〔x〕＝f〔x〕，即f〔x〕为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，分外要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体标题问题要求构造出适合结论特征的式子即可．函数的奇偶性试题参考答案1A 2A 3D 4A 5B 6C 7B 8A 9奇函数 10 0 1111)(2-=x x f12 013 (－3，0〕∪(0，3〕 14 (－∞,0〕 15 21<m。

函数奇偶性经典例题

函数的奇偶性一、典型例题例1 判断下列函数的奇偶性（1）1()(1)1x f x x x +=-- （2）2lg(1)()|2|2x f x x -=--（3）22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ （4）22()11f x x x =--（5）()11f x x x =-+- （6）2211()11x x f x x x ++-=+++例2 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为________________.例 3 ①已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是________________.②已知()f x 是奇函数,满足()()2f x f x += ,当[]0,1x ∈时,()21xf x =- ,则=)2(f _____,21log 24f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_________ .例 4 ()f x 和()g x 的定义域都是非零实数，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且21()()1f xg x x x +=-+，求()()f x g x 的取值范围。

二、课后练习1、判断下列函数的奇偶性（1）x xy a a -=+ （2）x xy a a-=-（3）x x x xa a y a a ---=+ （4）11x x a y a -=+（5）1log 1a x y x-=+ （6）2log (1)a y x x =+-（7）若0,1,()a a F x >≠是一个奇函数，讨论11()()12xG x F x a ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的奇偶性。

2、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=（）(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 3、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f4、已知3()sin 4f x a x b x =++（,a b 为实数）且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____5、函数1(1)1y x x =≠±-可以表示成一个偶函数()f x 与一个奇函数()g x 的和，则()f x =____6、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2)1()(-=x x f ;若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为( ) A.1 B. 21 C. 31 D. 43。

函数的奇偶性试题(含答案)

一、选择题1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y 轴一定相交④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③[答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎨⎧ x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错．2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )A ．减函数B ．增函数C ．既可能是减函数也可能是增函数D ．不一定具有单调性[答案] B3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．－15B ．15C ．10D ．－10[答案] A[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15.解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.4．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f (－1)<f (－3)B ．f (0)>f (1)C ．f (2)>f (3)D ．f (－3)<f (5)[答案] A[解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)的值等于( )A ．－1B ．1 C.114D ．－114[答案] A[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x －3，∴f (2)＝22－3＝1，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.6．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为3[答案] D[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝2－|x | [答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C.8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 ` D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，∴选A.9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．不存在[答案] B[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1.10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( )A ．f (1)<f (2)B ．f (1)＝f (2)C ．f (1)>f (2)D ．不能确定 [答案] C[解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴f (－1)<f (－2)，又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．二、填空题11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________．[答案] 奇函数[解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．[答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.三、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1x 2＋x. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎨⎧ x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．[解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．[解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)，∵f (x )在(－1,1)上单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a<1－1<1－a 2<11－a >a 2－1 解得0<a <1.故a 的取值范围是{a |0<a <1}．17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2.当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎨⎧ －2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．。

函数的奇偶性(含习题练习)

2 2 函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义及图象特点判断f (-x) 与 f (x)的关系时，也可以使用如下结论：如果 f (-x) -f (x)= 0 或f (-x)= 1( f (x) ≠ 0) f (x) ，则函数 f (x)为偶函数；如果 f (-x) +f (x)= 0 或f (-x)=-1( f (x) ≠ 0) ，则函数f (x)为奇函数．f (x)注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，-x也在定义域内（即定义域关于原点对称）．定义:设y =f (x) ，x ∈A，如果对于任意x ∈A，都有f (-x) =f (x) ，则称y =f (x) 为偶函数。

如果对于任意x ∈A，都有f (-x) =-f (x) ，则称y =f (x) 为奇函数。

证明：任意一个定义域关于原点对称的函数均可以写为一个奇函数和偶函数之和且唯一。

若函数 f (x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 可以表示为f(x)=1⎡⎣f(x)+f(-x)⎤⎦+1⎡⎣f(x)-f(-x)⎤⎦，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

2.性质：① y =f (x) 是偶函数⇔y =f (x) 的图象关于y 轴对称;y=f(x)是奇函数⇔y =f (x) 的图象关于原点对称。

②若奇函数定义域中有 0，则必有f (0) = 0．即0 ∈f (x) 的定义域时，f (0) = 0是f (x) 为奇函数的必要非充分条件．对于偶函数而言有：f (-x) =f (x) =f (| x |) 。

既奇又偶函数有无穷多个（f (x) = 0 ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]④奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数。

高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解

高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3−∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1−∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数， ∴()()33f x f x −+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3−∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +−<−，整理得，23850x x −+>，解得1x <或53x >．故选：B ．例2、（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（）A ．(][),04,−∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,−∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C 【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥，所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,−∞⋃+∞，故选：C例3、（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x −=+，则使不等式()2122f a a −<成立的实数a 的取值范围是（） A ．()1,3−B ．()3,3−C ．()1,1−D ．(),3−∞【答案】A 【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +−−===−+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()132f =，不等式()2122f a a −<即为()()223f a a f −<．又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f −<等价于()()223f a a f −<，则223a a −<，所以，222323a a a a ⎧−<⎨−>−⎩，解得13a −<<．综上可知，实数a 的取值范围为()1,3−，故选：A ．例4、（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]−∞上单调递增，且(2)2f −=−，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭的解集为（） A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−，又(2)2f −=−，(2)2f =，所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=，即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]−∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例5、（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +−=（）A ．－1B ．12−C ．12D ．1【答案】A 【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则 1111111222222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=−++⇒−+++=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+−=++−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A 例6、（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x −−+−，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（）A ．12ln 2,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4−+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞ 【答案】A 【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x −−−=−+=−，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x −'=+−cos 11cos 0x x ≥−=+≥ ，所以()f x 是R 上的增函数，所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭等价于： 22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫−+≥−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x −+≥−，所以22ln(1)2x a x ≥−++，令2()2ln(1)2x g x x =−++，则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x −=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x −++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =−++， ()()22122()111x x x x g x x x x x +−−−+'=−+==−+++，则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==−，即12ln 22a ≥−，故选：A ．本课结束。

函数的奇偶性练习题含答案

函数的奇偶性练习题（1）1.如图，函数y =f(x)的图象为折线ABC ，设g (x)=f[f(x)]，则函数y =g(x)的图象为（）A. B.C.D.2. 设x ，y 为实数，且满足{(x −1)3+2019(x −1)=−5，(y −1)3+2019(y −1)=5，则x +y =( ) A.2B.5C.10D.20193. 已知y =f (x )在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=2x +m ，则f (−2)=( )A.−3B.54C.−54D.34. 下列函数中，是偶函数的为( )A.y =|x|B.y =x 3C.y =(12)xD.y =log 2x<0的解集为5. 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)−f(−x)x（）A.(−1,0)∪(1,+∞)B.(−∞,−1)∪(0,1)C.(−∞,−1)∪(1,+∞)D.(−1,0)∪(0,1)6. 已知f(x)满足对∀x∈R，f(−x)+f(x)=0，且x≥0时，f(x)=e x+m（m为常数），则f(−ln5)的值为( )A.4B.−4C.6D.−67. 已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)+g(−x)的值为（）A.2B.0C.1D.不能确定8. 已知函数f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，若g(x)＝f(x)sinπx，ℎ(x)＝f(x)cosπx，则下列说法正确的是（）A.函数y＝g(x)是偶函数B.10是函数f(x)的一个周期C.对任意的x∈R，都有g(x+5)＝g(x−5)D.函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称9. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递减的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|C.y＝−x2+1D.y＝10. 已知函数f(x)＝x5+ax3+bx−6，且f(−2)＝10，则f(2)＝________．11. 设奇函数f(x)的定义域为[−6, 6]，当x∈[0, 6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．12. 定义在[−2,2]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−2,0]时，f(x)=2x+a⋅3x(a∈R)，则f(x)在[0,2]上的解析式为________．（化成最简形式）13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f(x)＝x2，若对任意的x∈[a−1, a+1]，恒有f(x2+a)>a2f(x)，则实数a的取值范围为________．14. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−x，则不等式f(x)>0的解集用区间表示为________．15. 已知函数f(x)＝lg3−x3+x（1）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（2）当x≥0时函数g(x)与f(x)相同，且g(x)为偶函数，求g(x)＝的定义域及其表达式．16. 已知定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(2−x)=f(x)；（2）f(x+4)=f(x)（3）x1，x2∈[1, 3]时，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0．则f(2018)，f(2019)，f(2020)大小关系（）A.f(2018)>f(2019)>f(2020)B.f(2020)>f(2018)>f(2019)C.f(2020)=f(2018)>f(2019)D.f(2018)>f(2019)=f(2020)17. 定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−4x．（1）设g(x)＝f(x)，x∈[−4, 4]，求函数g(x)的值域；（2）当m>0时，若|f(m)|＝3，求实数m的值．参考答案与试题解析函数的奇偶性练习题（1）一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1.【答案】A【考点】函数的图象变换函数奇偶性的性质【解析】函数y=f(x)的图象为折线ABC，其为偶函数，所研究x≥0时g(x)的图象即可，首先根据图象求出x≥0时f(x)的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出g(x)的解析式再进行判断；【解答】解：函数y=f(x)的图象为折线ABC，函数f(x)为偶函数，我们可以研究x≥0的情况即可，若x≥0，可得B(0, 1)，C(1, −1)，则直线BC的方程为：l BC:y=−2x+1，x∈[0, 1]，其中−1≤f(x)≤1；若x<0，可得l AB:y=2x+1，∴f(x)={−2x+1(0≤x≤1),2x+1(−1≤x<0),我们讨论x≥0的情况：如果0≤x≤12，解得0≤f(x)≤1，此时g(x)=f[f(x)]=−2(−2x+1)+1=4x−1；若12<x≤1，解得−1≤f(x)<0，此时g(x)=f[f(x)]=2(−2x+1)+1=−4x+3；∴x∈[0, 1]时，g(x)={4x−1(0≤x≤12),−4x+3(12<x≤1).故选A.2.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】将方程组中的方程，形式化成相同，构造函数f(t)=t3+1997t+1，确定函数f(t)为单调递增函数，即可求得结论．【解答】解：设函数f(m)=(m−1)3+2019(m−1)，则f(1+m)=(1+m−1)3+2019(1+m−1)=m3+2019m，f(1−m)=(1−m −1)3+2019(1−m −1)=−m 3−2019m ，所以f(1+m)+f(1−m)=0，所以函数f(m)关于(1,0)中心对称，又因为{(x −1)3+2019(x −1)=−5，(y −1)3+2019(y −1)=5所以f(x)+f(y)=0，所以x +y =2.故选A .3.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，f (x )为定义在R 上的奇函数，可知f (0)=0，即可求出m =−1，即当x ≥0时f (x )=2x −1，可得f (2)=22−1=3，再根据f (x )为奇函数，可得f (−2)=−f (2)=−3．【解答】解：根据题意，f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)=20+m =0，解得：m =−1.∵ 当x ≥0时，f (x )=2x −1，∴ f (−2)=−f (2)=−(22−1)=−3.故选A ．4.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：A ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，是偶函数； B ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=(−x)3=−x 3=−f(x)，是奇函数； C ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=(12)−x ≠f(x)， f(−x)=(12)−x ≠−f(x)，该函数是非奇非偶函数；D ．该函数定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数.故选A .5.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合此题暂无解析【解答】∵f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(x)−f(−x)x <0⇔2f(x)x<0．∵f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，∴f(x)在(−∞,0)上为增函数，且f(−1)=0，∴不等式f(x)x<0的解集为(−1,0)∪(0,1)．6.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】首先利用奇偶性，求出m，再利用奇偶性求值即可.【解答】解：∵f(x)满足对∀x∈R，f(−x)+f(x)=0，故f(−x)=−f(x)，故f(0)=0，∵x≥0时，f(x)=e x+m，∴f(0)=1+m=0，解得m=−1，即x≥0时，f(x)=e x−1，则f(ln5)=4，∴f(−ln5)=−f(ln5)=−4.故选B.7.【答案】A【考点】奇偶函数图象的对称性【解析】利用奇函数的定义可把已知转化为f(t)+f(2−t)=0，从而可得函数f(x)关于(1, 0)对称，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)关于(0, 1)对称，代入可求．【解答】解：∵函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数∴f(−2x+1)=−f(2x+1)令t=1−2x代入可得f(t)+f(2−t)=0函数f(x)关于(1, 0)对称由函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称函数g(x)关于(0, 1)对称从而有g(x)+g(−x)=2故选A二、多选题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）8.B,C,D【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，g(x)＝f(x)sinπx，g(−x)＝f(−x)sinπ(−x)＝−f(−x)sinπx，又由函数f(x)是偶函数，则g(−x)＝−f(x)sinπx，即函数g(x)为奇函数，A错误对于B，由于f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，得f(5−x)＝f(5+x)＝f(x−5)，即f(10+x)＝f(x)，则f(x)是周期为10的周期函数，所以ℎ(x+10)＝f(x+10)cos(πx+10π)＝f(x)cosπx＝ℎ(x)，则y＝ℎ(x)是的最小正周期为10，故B正确；对于C，g(x+5)＝f(x+5)sin（π(x+5)）＝f(5−x)sin(πx+5π)＝f(5−x)(−sinπx)＝−f(x−5)(−sinπx)＝f(x−5)sinπx＝g(x−5)，故C正确；对于D，ℎ(5−x)＝f(5−x)cos(5π−5x)＝f(5+x)cos(5x−5π)＝f(5+x)cos(5x−5π+10π)＝f(5+x)cos(5x+5π)＝ℎ(5+x)，所以函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称，D正确；9.【答案】C,D【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】对于A，y＝x3为奇函数，所以该选项不符合题意；对于B，x>0时，y＝|x|＝x，所以函数y＝|x|的(0, +∞)上为增函数，所以该选项不符合题意；对于C，该函数定义域为R，设y＝f(x)，显然f(−x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，且该函数在(0, +∞)上单调递减，所以该选项符合题意；对于D，该函数定义域为{x|x≠0}，设y＝f(x)，显然f(−x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，且该函数在(0, +∞)上单调递减，可知该选项符合题意．三、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）10.【答案】−22【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据奇函数的性质建立方程组关系进行求解决即可．∵f(x)＝x5+ax3+bx−6，且f(−2)＝10，∴f(−2)＝−25−a⋅23−2b−6＝10，则f(2)＝25+a⋅23−2b−6，两式相加得10+f(2)＝−6−6＝−12，则f(2)＝−10−12＝−22，11.【答案】[−6, −3)∪(0, 3)【考点】函数的图象与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】3−x−2−x【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法【解析】由题意设x>0利用已知的解析式求出f(−x)=x2+2x，再由f(x)=−f(−x)，求出x>0时的解析式．【解答】解：∵ f(x)为奇函数，∴ f(0)=20+a⋅30=1+a=0，∴ a=−1，f(x)=2x−3x.∴ 在x∈[0,2]上时，f(x)=−f(−x)=3−x−2−x.故答案为：3−x−2−x.13.【答案】(0, +∞)【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】由当x≥0时，f(x)＝x2，函数是奇函数，可得当x<0时，f(x)＝−x2，从而f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，再根据不等式f(x2+a)>a2f(x)＝f(ax)，在x∈[a−1, a+1]，恒成立，利用二次函数的性质，可得不等式，即可得出答案．【解答】当x≥0时，f(x)＝x2，∵函数是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝−x2，∴f(x)={x2,x≥0，−x2,x<0∴f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，∵不等式f(x2+a)>a2f(x)＝f(ax)在x∈[a−1, a+1]恒成立，∴x2+a>ax在x∈[a−1, a+1]恒成立，令g(x)＝x2−ax+a，函数的对称轴为x=a2，当a2<a−1，即a>2时，不等式恒成立，可得g(a−1)＝(a−1)2−a(a−1)+a＝1>0，恒成立；当a−1≤a2≤a+1，即−2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g(a2)＝( a2)2−a(a2)+a>0恒成立，解得a∈(0, 2]；当a2>a+1，即a<−2时，不等式恒成立，可得g(a+1)＝(a+1)2−a(a+1)+a＝2a+1>0不恒成立；综上：a>0．14.【答案】(−1, 0)∪(1, +∞)【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据条件可设x<0，从而得出f(−x)＝x2+x＝−f(x)，即得出x<0时，f(x)＝−x2−x，这样即可得出：x>0时，由f(x)>0得出x2−x>0；x<0时，由f(x)> 0得出−x2−x>0，解出x的范围即可．【解答】∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x2−x，∴设x<0，−x>0，则f(−x)＝x2+x＝−f(x)，∴f(x)＝−x2−x，∴ ①x>0时，由f(x)>0得，x2−x>0，解得x>1；②x<0时，由f(x)>0得，−x2−x>0，解得−1<x<0，∴原不等式的解集为(−1, 0)∪(1, +∞)．四、解答题（本题共计 3 小题，每题 10 分，共计30分）15.【答案】根据题意，函数f(x)＝lg3−x3+x是奇函数，证明：对于函数f(x)＝lg3−x3+x ，必有3−x3+x>0，解可得：−3<x<3，即函数的定义域为(−3, 3)，关于原点对称，又由f(x)+f(−x)＝lg3−x3+x +lg3+x3−x=lg1＝0，则有f(−x)＝−f(x)，则函数f(x)为奇函数；根据题意，有（1）的结论，函数f(x)的定义域为(−3, 3)，当0≤x<3时，g(x)＝f(x)＝lg3−x3+x，设−3<x<0，则0<−x<3，则g(−x)＝lg 3+x 3−x ，又由函数g(x)为偶函数，则g(x)＝lg 3+x 3−x ，综合可得：g(x)={lg 3+x 3−x ,−3<x <0lg 3−x 3+x ,0≤x <3．【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，先求出函数f(x)的定义域，进而分析可得f(x)+f(−x)＝0，由函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，分2种情况讨论：当0≤x <3时，g(x)＝f(x)＝lg3−x 3+x ，当−3<x <0，利用偶函数的性质求出g(x)的解析式，综合即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝lg 3−x 3+x 是奇函数，证明：对于函数f(x)＝lg 3−x 3+x ，必有3−x 3+x >0，解可得：−3<x <3，即函数的定义域为(−3, 3)，关于原点对称，又由f(x)+f(−x)＝lg 3−x 3+x +lg 3+x 3−x =lg 1＝0，则有f(−x)＝−f(x)，则函数f(x)为奇函数；根据题意，有（1）的结论，函数f(x)的定义域为(−3, 3)，当0≤x <3时，g(x)＝f(x)＝lg 3−x 3+x ，设−3<x <0，则0<−x <3，则g(−x)＝lg 3+x 3−x ，又由函数g(x)为偶函数，则g(x)＝lg3+x 3−x ，综合可得：g(x)={lg 3+x 3−x ,−3<x <0lg 3−x 3+x ,0≤x <3． 16.【答案】，f(2019)=f，f(2020)=f(0)=f，故f （2020）=f （2018）＞f （2019），【考点】抽象函数及其应用【解析】根据已知可得函数 f (x)的图象关于直线x =1对称，周期为4，且在[1, 3]上为减函数，进而可比较f(2018)，f(2019)，f(2020)的大小．【解答】，f(2019)=f，f(2020)=f(0)=f，故f(2020)=f(2018)>f(2019)，17.【答案】根据题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，则有g(0)＝0，当0<x <4时，f(x)＝x 2−4x ，此时g(x)＝x 2−4x ，当−4<x <0时，0<−x <4，f(−x)＝x 2−4x ，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝−x 2−4x ，此时g(x)＝−x 2−4x ；综合可得：g(x)=f(x)={−x 2−4x,x <00,x =0x 2−4x,x >0当−4≤x ≤0时，0≤g(x)≤4；当0<x ≤4时，−4≤g(x)≤0．g(x)的值域为[−4, 4]根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4， 1)当0<m ≤4时，令−m 2+4m ＝3，解得m ＝1或m ＝3；2)当m >4时，令m 2−4m ＝3，解得m =2+√7或m =2−√7（舍去）综合1)，2)得m ＝1或m ＝3或m =2+√7【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，由函数的解析式以及奇函数的性质分析可得g(x)的解析式，进而分析可得答案；（2）根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4，据此分析可得答案．【解答】根据题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，则有g(0)＝0，当0<x <4时，f(x)＝x 2−4x ，此时g(x)＝x 2−4x ，当−4<x <0时，0<−x <4，f(−x)＝x 2−4x ，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝−x 2−4x ，此时g(x)＝−x 2−4x ；综合可得：g(x)=f(x)={−x 2−4x,x <00,x =0x 2−4x,x >0当−4≤x ≤0时，0≤g(x)≤4；当0<x ≤4时，−4≤g(x)≤0．g(x)的值域为[−4, 4]根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4，1)当0<m≤4时，令−m2+4m＝3，解得m＝1或m＝3；2)当m>4时，令m2−4m＝3，解得m=2+√7或m=2−√7（舍去）综合1)，2)得m＝1或m＝3或m=2+√7。

函数奇偶性的典型例题

函数奇偶性的典型例题[例1]设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1-x)，当-1≤x≤0时， f (x)=-21x ，则f (8.6) = _________.[解析]∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴x = 0是y =f(x)对称轴. 又∵f(1+x)=f(1-x)，∴x=1也是y=f(x)对称轴. 故y=f(x)是以2为周期的周期函数， ∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3.[答案]0.3苏州进步网: szjjedu 整理[例2]定义在(-1，1)上的函数f(x)是奇函数，并且在(-1，1)上f(x)是减函数，求满足条件f(1-a)+f(1-a 2)＜0的a 取值范围.[解析]∵f(x)的定义域是(-1，1)，∴-1＜1-a ＜1①，-1＜1-a 2＜1 ②. 又∵f(x)是奇函数，∴-f(1-a 2)=f[-(1-a 2)]=f(a 2-1). 又∵f(1-a)+f(1-a 2)＜0，有f(1-a)＜-f(1-a 2)=f(a 2-1). ∵f(x)在(-1，1)是减函数，∴1-a ＞a 2-1③由①②③组成不等式组：221111110111a a a a a -<-<⎧⎪-<-<<<⎨⎪->-⎩得∴所求a 的范围为：0＜a ＜1. [答案]0＜a ＜1[例3]定义在区间(-∞，+∞)上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在[0，+∞)上的图象与f(x)的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是( )①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)A.①④B.②③C.①③D.②④[解析]本题可采用三种解法：解法一：直接根据奇、偶函数的定义：由f(x)是奇函数得：f(-a)=-f(a)，f(-b)=-f(b)，g(a)=f(a)，g(b)=f(b)，g(-a)=g(a)，g(-b)=g(b)∴以上四个不等式分别可简化为①f(b)＞0；②f(b)＜0；③f(a)＞0；④f(a)＜0苏州进步网: szjjedu 整理又∵f(x)既是奇函数又是增函数，且a＞b＞0，故f(a)＞f(b)＞f(0)=0，从而以上不等式中①③成立.故选C.解法二：结合函数图象由如图(下图)，分析得：f(a)=g(a)=g(-a)=-f(-a)，f(b)=g(b)=g(-b)=-f(-b)，从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选C.解法三：利用间接法，即构造满足题意的两个模型函数：f(x)=x，g(x)=x，取特殊值a，b.如：a=2，b=1，可验证正确的是①与③，故选C.[答案]C[点拨](1)本题考查了函数的奇偶性和单调性等性质，还考查了图象的对称性和不等式，体现了高考突出重点知识的考查及在各知识网络交汇点上出题这一观点，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.[例4]设f(x)为定义在R 上的偶函数，当x≤-1时，y=f(x)的图象是经过点(-2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(-1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.[解析](1)当x≤-1时，设f(x)=x+b ，则∵射线过点(-2，0)， ∴0=-2+b 即b=2.∴f(x)=x+2.(2)当-1<x<1时，设f(x)=ax 2+2. ∵抛物线过点(-1，1)， ∴1=a·(-1)2+2，即a=-1，∴f(x)=-x 2+2. (3)当x≥1时，f(x)=-x+2.综上可知：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者自己完成.[答案]见解析[例5]设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时， f (x)=x ，则f (7.5) =( ) 苏州进步网: szjjedu 整理A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5[解析]∵y=f(x)是定义在R 上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心. 又∵f (x+2 )=-f(x)=f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)，∴直线x = 1是y = f (x)的对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数.∴f (7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f (0.5) =-0.5. [答案]B[例6]已知函数f(x)是定义在区间[-2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f(x)是减函数，如果不等式f(1-m)＜f(m)成立，求实数m 的取值范围.[解析]∵f(x)在[0，2]上是减函数，在[-2，0]上是增函数，故分类可得： (1)当⎩⎨⎧≤≤-≤≤∴⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-023102012m m m m 解得m ∈∅，故此情况不存在；(2)当⎩⎨⎧≤≤≤≤-∴⎩⎨⎧≤≤≤-≤201120210m m m m 解得0≤m≤1；∵f(x)在[0，2]上为减函数，∴f(1-m)＜f(m)可转化为1-m ＞m.∴m ＜21.∴0≤m ＜21.苏州进步网: szjjedu 整理(3)当⎩⎨⎧≤≤-≤≤-∴⎩⎨⎧≤≤-≤-≤021102210m m m m 解得-1≤m≤0；∵f(1-m)=f(m-1)，∴f(1-m)＜f(m)可转化为f(m-1)＜f(m). ∵f(x)在[-2，0]上是增函数，∴m-1＜m .∴-1≤m≤0.(4)当⎩⎨⎧≤≤≤≤∴⎩⎨⎧≤≤≤-≤-203120012m m m m 解得1≤m≤2.∴0≤m -1≤1.∴f(1-m)=f(m-1).∴f(1-m)＜f(m)可转化为f(m-1)＜f(m). ∵f(x)在[0，2]上是减函数，∴m-1＞m 无解.综上所述，满足条件的实数m 的取值范围为-1≤m ＜21.[答案]-1≤m ＜21[例7]设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(-∞，0)内单调递增，f(2a 2+a+1)<f(3a 2-2a+1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132+-a a 的单调递减区间.[解析]设0<x 1<x 2，则-x 2<-x 1<0，∵f(x)在区间(-∞，0)内单调递增， ∴f(-x 2)<f(-x 1).∵f(x)为偶函数，∴f(-x 2)=f(x 2)，f(-x 1)=f(x 1). ∴f(x 2)<f(x 1). ∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f(2a 2+a+1)<f(3a 2-2a+1)得：2a 2+a+1>3a 2-2a+1.解得0<a<3. 又a 2-3a+1=(a-23)2-45.∴函数y=(21)132+-a a 的单调减区间是[23，+∞].结合0<a<3，得函数y=(23)132+-a a 的单调递减区间为[23，3].[答案][23，3] 苏州进步网: szjjedu 整理[例8]已知函数y=f(x)是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为-5.(1)证明：f(1)+f(4)=0；(2)试求y=f(x)，x ∈[1，4]的解析式； (3)试求y=f(x)在[4，9]上的解析式.[解析](1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4-5)=f(-1)，又y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=-f(-1)=-f(4).∴f(1)+f(4)=0.(2)当x ∈[1，4]时，由题意，可设f(x)=a(x-2)2-5(a≠0)，由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0，解得a=2，∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).(3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=-f(-0)，∴f(0)=0，又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1)，∵f(1)=2(1-2)2-5=-3，又f(1)=k·1=k ，∴k=-3.∴当0≤x≤1时，f(x)=-3x ，当-1≤x ＜0时，f(x)=-3x ，当4≤x≤6时， -1≤x -5≤1，∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15，当6＜x≤9时，1＜x-5≤4，f(x)= f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.∴f(x)=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64(1532x x x x . [答案]见解析苏州进步网: szjjedu 整理[例9])(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是( )A.),3()0,3(+∞⋃-B.)3,0()0,3(⋃-C.),3()3,(+∞⋃--∞D.)3,0()3,(⋃--∞[解析]结合新知识导数的应用与函数的性质在其交汇处知识重构，画出函数草图.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数.由题设可知当x<0时，f(x)g(x)的导数值大于0，故此时函数f(x)g(x)为增函数，结合已知条件及奇函数的图象关于原点对称，可画出函数草图，选出正确答案为D.[答案]D[例10]设奇函数f(x)的定义域为[-5，5].若当x ∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为_________.苏州进步网: szjjedu 整理[解析]根椐函数的奇偶性作出图象.由图象易知不等式的解集是(-2，0)∪(2，5][答案](-2，0)∪(2，5][例11]已知函数y= f (x)在(0，2)上是增函数，y= f(x+2)是偶函数，则下列结论正确的是( )A.)27()25()1(f f f <<B.)25()1()27(f f f <<C.)1()25()27(f f f <<D.)27()1()25(f f f <<[解析]y= f(x+2)是偶函数，f(x)关于x=2对称，f(x)在(0，2)上是增函数，如图所示，由图可知距x=2越近，函数值越大，所以答案选B.[答案]B[例12]若奇函数f(x)在区间[3，7]上的最小值是5，那么f(x)在区间[-7，-3]上( ).A.最小值是5B.最小值是-５C.最大值是-５D.最大值是5[解析]用定义去求，可设x 为[-7，-3]上任意一个值，则-x ∈[3，7]，由题意f(-x)≥５，由于f(x)是奇函数，所以有f(-x)=-f(x)，则-f(x)≥５，得f(x)≤-５，故，-５为f(x)在[-7，-3]上的最大值，故选C.[答案]C苏州进步网: szjjedu 整理[例13]解方程：2)1x(222221)1x(1x1x4x2-=++++++[解析]两边取以2为底的对数得x)1xx(log)x(f)1x()1)1x(1x(logx2)1x4x2(log1x2x)1)1x(1x(log)1x4x2(log)1x(1)1x(1x1x4x2log2222222222222222222222+++=++++++=++++-=++++-++-=++++++构造函数即即于是f(2x)=f(x2+1)易证f(x)为奇函数，且是R上的增函数，所以2x=x2+1.解得x=1.[答案]{}1x x=[点拨]本题构造函数，巧妙地运用函数奇偶性和单调性来解决方程问题.苏州进步网: szjjedu 整理[例14]函数y=f (x) (x≠0)是奇函数，且当x∈R+时是增函数，若f (1)=0，求不等式0)]21([<-xxf的解集.[解析]由函数y=f(x)是奇函数且当x∈R+时是增函数，可得y=f(x)的图象形状大致如图所示，f (-1)=f (1)=0.①若0)21(>-xx时，∵)1()]21([fxxf<-，∴0<1)21(<-xx.解得02171<<-x 或217121+<<x . ②若0)21(<-x x 时，)1()]21([-<-f x x f ，1)21(-<-x x ，解得x ∈Φ. 所以，02171<<-x 或217121+<<x . [答案]02171<<-x 或217121+<<x 苏州进步网: szjjedu 整理。

函数的奇偶性题型及解析

函数的奇偶性题型及解析1.给定四个函数；；y=x 3+1；其中是奇函数的有几个？分析：利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．解：∵，∴是奇函数；∵定义域不关于原点对称，∴不是奇函数；∵（﹣x ）3+1≠﹣（x 3+1），∴不是奇函数；函数的定义域为{x|x ≠0}，=，∴是奇函数综上，奇函数的个数为2个2.若一个函数图象的对称轴是y 轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数：①y=2|x|；②y=6／x ；③y=x 2；④y=（x ﹣1）2+2中，其中是偶函数的有几个？分析：对于y=2|x|分类讨论：当x ＞0，则y=2x ；当x ＜0，则y=﹣2x ，根据正比例函数的性质可判断y=2|x|的对称轴是y 轴；根据反比例函数得到y=6／x 关于直线y=x 和y=﹣x 对称；根据二次函数的性质得到y=x 2的对称轴为y 轴，y=（x ﹣1）2+2的对称轴为直线x=1，然后根据新定义进行判断．解：y=2|x|，当x ＞0，则y=2x ；当x ＜0，则y=﹣2x ，所以y=2|x|的对称轴是y 轴，该函数为偶函数；y=6／x关于直线y=x 和y=﹣x 对称，所以y=6／x 不是偶函数；y=x 2的对称轴为y 轴，所以y=x 2为偶函数；y=（x ﹣1）2+2的对称轴为直线x=1，所以y=（x ﹣1）2+2不是偶函数，偶函数的个数为2个3.函数y=|x+3|﹣|3﹣x|是奇函数还是偶函数？分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解：∵f （﹣x ）=|﹣x+3|﹣|3+x|=﹣（|x+3|﹣|3﹣x|）=﹣f （x ），∴函数f （x ）是奇函数，4.如果函数y=x 2﹣2ax+6是偶函数，求a 的值分析：运用偶函数的定义得出f （﹣x ）=f （x ），即x 2+2ax+6=x 2﹣2ax+6恒成立，得出2a=﹣2a ，即可解：∵函数y=x 2﹣2ax+6是偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ），即x 2+2ax+6=x 2﹣2ax+6恒成立，2a=﹣2a ，解得a=05.①已知函数f （x ）=ax 2+2x 是奇函数，求实数分析：由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法解：由奇函数定义有f （﹣x ）=﹣f （x ），则f （﹣1）=a ﹣2=﹣f （1）=﹣（a+2），解得a=0②如果函数f （x ）=+a 是奇函数，求a 的值分析：函数的定义域为R ，利用奇函数f （0）=0，得到a解：因为函数的定义域为R ，并且函数是奇函数，所以f （0）=0，即1220++a=0，解得a=-1；③已知f （x ）=121-x +a 是奇函数，求a 的值分析：本题考察函数奇偶性的性质，由题意可得f （﹣1）+f （1）=0，可得a 值，再由定义域和反比例函数以及不等式的性质可得函数的值域解：由2x ﹣1=≠0可得x ≠0，可得函数的定义域为{x|x ≠0}，∵f （x ）=121-x +a 是奇函数，∴f （﹣1）+f （1）=0，∴1211--+a+1211-+a=0，解得a=，④函数y=f （x ）是定义在[2a+1，a+5]上的偶函数，求a 的值分析：由偶函数的定义域关于原点对称得，2a+1+a+5=0，再求出a 的值解：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴2a+1+a+5=0，解得a=﹣2，6.①已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x 2+ax （a ∈R ），f （2）=6，求a分析：先根据函数的奇偶性求出f （﹣2）的值，然后将x=﹣2代入小于0的解析式，建立等量关系，解之即可．解：∵函数y=f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），而f （2）=6，则f （﹣2）=﹣f （2）=﹣6，将x=﹣2代入小于0的解析式得f （﹣2）=4﹣2a=﹣6，解得a=5②已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ，求f （﹣2）的值．分析：首先，根据函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，得到f （﹣2）=f （2）=22﹣2×2=0，从而得到结果．解：∵函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，∴f （-2）=f （2）=22﹣2×2=0，∴f （-2）=0，∴f （-2）的值07.①已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=3x 2﹣5x+2，求f （x ）在R 上的表达式．分析：设x ＜0，则﹣x ＞0．利用当x ＞0时，f （x ）=3x 2﹣5x+2，可得f （﹣x ）=3x 2+5x+2．再利用奇函数的性质即可得出解：设x ＜0，则-x ＞0．∵当x ＞0时，f （x ）=3x 2﹣5x+2，∴f （﹣x ）=3x 2+5x+2．∵函数f （x ）是定义域为R的奇函数，∴f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣3x 2﹣5x ﹣2，又f （0）=0．∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---=+-02530025322 x x x x x x x ②已知函数y=f （x ）是偶函数，当x ≥0时，f （x ）=x ﹣1，求f （x ﹣1）＜0的解集分析：由函数y=f （x ）为偶函数可得f （﹣x ）=f （x ），由x ≥0时，f （x ）=x ﹣1可得x ＜0，f （x ）=﹣x ﹣1即f （x ）=，而f （x ﹣1）＜0时，有﹣1＜x ﹣1＜1，解不等式可得解：由函数y=f （x ）为偶函数可得f （﹣x ）=f （x ），∵x ≥0时，f （x ）=x ﹣1，设x ＜0，则﹣x ＞0，f （﹣x ）=﹣x ﹣1=f （x ），f （x ）=，当f （x ﹣1）＜0时，有﹣1＜x ﹣1＜1，∴0＜x ＜28.（1）定义在[﹣1，1]上的奇函数y=f （x ）是增函数，若f （a ﹣1）+f （4a ﹣5）＞0，求a 的取值范围（2）定义在[﹣2，2]上的偶函数f （x ）在区间[0，2]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），求m 的取值范围分析：（1）利用函数的奇偶性可把不等式f （a ﹣1）+f （4a ﹣5）＞0化为f （a ﹣1）＞f （5﹣4a ），根据单调性可去掉符号“f”，考虑到定义域即可求出a 的范围；（2）利用偶函数的性质，可得f （|1﹣m|）＜f （|m|），根据定义在[﹣2，2]上的偶函数f （x ）在区间[0，2]上单调递减，可得不等式组，即可得出结论．解：（1）∵函数y=f （x ）是奇函数，f （a ﹣1）+f （4a ﹣5）＞0，∴f （a ﹣1）＞f （5﹣4a ），∵定义在[﹣1，1]上的函数y=f （x ）是增函数，∴，∴；（2）∵偶函数f （x ），f （1﹣m ）＜f （m ），∴f （|1﹣m|）＜f （|m|），∵定义在[﹣2，2]上的偶函数f （x ）在区间[0，2]上单调递减，∴，∴9.（1）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数，f （x ）在区间[0，2]上单调递减，若f （m ）+f （m ﹣1）＞0，求实数m 的取值范围；（2）已知定义在[﹣2，2]上的偶函数，f （x ）在区间[0，2]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．分析：（1）根据定义域得出m 的范围为﹣1≤m ≤2，由奇函数的性质，结合单调性可知m ＜1﹣m ，得出m 的范围；（2）根据定义域得出m 的范围为﹣1≤m ≤2，由偶函数的性质可知距离y 轴越进，函数值越大，得出|1﹣m|＞|m|，进而求出m 的范围．解：（1）定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴﹣1≤m ≤2，∵f （m ）+f （m ﹣1）＞0，∴f （m ）＞﹣f （m ﹣1）=f （1﹣m ），∴m ＜1﹣m ，∴m ＜1／2，∴﹣1≤m ＜1／2（2）已知定义在[﹣2，2]上的偶函数，f （x ）在区间[0，2]上单调递减，∴﹣1≤m ≤2，∵f （1﹣m ）＜f （m ）， ∴|1﹣m|＞|m|，∴m ＜1／2，∴﹣1≤m ＜1／210.函数y=﹣x2+2ax+1在﹣1≤x≤2上的最大值是4，求a的值分析：二次函数y=﹣x2+2ax+1 的对称轴方程为x=a，分对称轴在闭区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得函数的最大值．解：二次函数y=﹣x2+2ax+1 的对称轴方程为x=a，当a＜﹣1时，函数y=﹣x2+2ax+1在区间[﹣1，2]上单调递减，故函数的最大值为f（﹣1）=﹣1﹣2a+1=4，解得a=﹣2；当﹣1≤a≤2时，函数的最大值为f（a）=a2+1=4，解得a=；当a≥2时，函数y=﹣x2+2ax+1在区间[﹣1，2]上单调递增，故函数的最大值为f（2）=﹣4+4a+1=4，解得a=，舍去．综合知：a的值为﹣2或．11.已知函数f（x）的定义域是一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x ＞0时f（x）＞0．（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）试判断f（x）的单调性，并证明．分析：（1）利用赋值法先求出f（0）=0，然后根据函数奇偶性的定义进行判断即可得到f（x）的奇偶性；（2）结合函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性．解：（1）令x1=0，x2=0，则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令x1=x，x2=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数．（2）函数在定义域上为增函数．证明：当x1＜x2时，则x2﹣x1＞0，此时f（x2﹣x1）＞0则f（x2）﹣f（x1）=f （x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，可得f（x2）＞f（x1）由此，得到y=f（x）是R上的增函数12.已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，（1）求证：f（x）是偶函数；（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；分析：（1）先令x1=x2=1，得到f（1）=0，再令x1=x2=﹣1，得f（﹣1）=0．然后用主条件证明f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x）得证．（2）先任取两个变量，界定大小，再作差变形看符号．解：（1）证明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．令x1=x2=﹣1，得f（﹣1）=0．∴f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函数（2）证明：设x2＞x1＞0，则f（x2）﹣f（x1）=f（x1•）﹣f（x1）=f（x1）+f（）﹣f（x1）=f（）．∵x2＞x1＞0，∴＞1．∴f（）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0．∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在（0，+∞）上是增函数13.已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x2﹣2．（Ⅰ）求f（x）定义域上的解析式；（Ⅱ）解不等式：f（x）＜x．分析：（I）根据条件①变形，得到f（x）在定义域内是奇函数，设x小于0，得到﹣x大于0，代入②中f（x）的解析式中化简后即可得到x小于0时f（x）的解析式，综上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函数解析式；（II）当x大于0时和小于0时，把（I）得到的相应的解析式代入不等式中，分别求出相应的解集，然后求出两解集的并集即为原不等式的解集解：（I）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数，∵当x＞0时，f（x）=x2﹣2，设x＜0，所以﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣f（x）=x2﹣2，即f（x）=2﹣x2，则；（II）∵当x＞0时，x2﹣2＜x，化简得（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，所以不等式的解集为0＜x＜2；当x＜0时，2﹣x2＜x，化简得：（x﹣1）（x+2）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，所以不等式的解集为x＜﹣2，综上，不等式f（x）＜x的解集为{x|0＜x＜2或x＜﹣2}14. 已知定义域为R的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）•f（y）对任何实数x、y都成立；②存在实数x1、x2使，f（x1）≠f（x2），求证：（1）f（0）=1；（2）f（x）＞0．分析：（1）令x=y=0，求出f（0），注意条件②的运用，舍去一个；（2）将x，y均换成，得到f（x）=f2（）即f（x）≥0，注意运用条件②，舍去f（x）=0，即可得证．证明：（1）令x=y=0则f（0）=f2（0），∴f（0）=0或f（0）=1，若f（0）=0则令y=0，即有f（x）=f（x）•f （0）=0对x∈R均成立，与②矛盾，故f（0）≠0，若f（0）=1，则f（x）=f（x）成立，∴f（0）=1；（2）将x，y均换成，则f（x）=f2（）即f（x）≥0，若f（x）=0这与②矛盾，∴f（x）＞0成立。

（完整版）函数的奇偶性练习题[（附答案）

（完整版）函数的奇偶性练习题[（附答案）函数的奇偶性1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（）A ．奇函数⾮偶函数B ．偶函数⾮奇函数C ．奇函数且偶函数D ．⾮奇⾮偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇⼜偶函数D .⾮奇⾮偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,-2)?(2,+∞)D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2(3) f （x ）=?>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是⼆次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最⼩值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。

7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数,(1)求a,b,c 的值;(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.9.定义在R 上的单调函数f (x )满⾜f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成⽴，求实数k 的取值范围．10下列四个命题：（1）f （x ）=1是偶函数；（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）⼀定是奇函数；（4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．411下列函数既是奇函数，⼜在区间[]1,1-上单调递减的是( )A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()2xf x lnx-=+ 12若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，⼀定在曲线y =f （x ）上的是（） A ．（a ，f （－a ）） B ．（－sin a ，－f （－sin a ））C ．（－lg a ，－f （lg a1）） D ．（－a ，－f （a ））13. 已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。

函数奇偶性例题

函数奇偶性题型一：奇偶性判断（两大步骤） 1.一般函数：例1：（1）2()[1,2]f x xx =∈- （2）32()1x x f x x -=-（3）4()f x x = （4）5()f x x = （5）1()f x x x =+（6）21()f x x =（7）()2211x x x f -+-=2，含参数函数例1：f(x)=R a a x a x ∈--+,例2.设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．()1讨论()f x 的奇偶性； ()2求 ()f x 的最小值．例3.（07上海，本题满分14分）已知函数2()af x x x=+(0x ≠，常数)a R ∈. ()1讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由()2若()f x 在[)2,x ∈+∞上是增函数，求a 的取值范围.3.分段函数例1：⎪⎩⎪⎨⎧--∈-+∈--=]1,6(,4)5()6,1[,4)5()(22x x x x x f 例2：⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=0,320,00,32)(22x x x x x x x x f4.抽象函数例1：f(a)+f(b)=f(a+b)已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，()1求证：()f x 为奇函数；()2若(3)f a -=，用a 表示(12)f例2：f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)设函数f （x ）定义在R 上，f （0）≠0，且对于任意a ，b ∈R ，都有f （a+b ）+f （a-b ）=2f （a ）f （b ）．（1）求证：f （x ）为偶函数；（2）若存在正数m 使f （m ）=0，求证：f （x ）为周期函数． 5,指数函数例：f(x)=xx 214+6,对数函数例：f(x)=xxa-+11log 题型二：利用奇偶性求值问题1.8)(35-++=bx ax x x f ，f(2)=10,求f(2)的值2.xx e aa e x f +=)(（a>0）是定义在R 上的偶函数（1）.求a 的值（2）.求证f(x)在（0，+∞）是增函数 3.f(x)=）0(212≠--x a x是奇函数，求实数a 的值 4.设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （）A ．0B ．1C ．25 D ．55.已知函数()f x 是奇函数，且(3)(3),(1)5f x f x f +=-=，则f(7)= 题型三：利用奇偶性求解析式问题例1：已知f(x)是R 上的奇函数,且当X>0时，f(x)=13++x x ,求f(x)的解析式（注意：易丢掉x=0）例2：已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且在公共定义域{}1,|±≠∈x R x x上有11)()(-=+x x g x f ，求)(x f 的解析式.题型四：奇偶性单调性结合例1：f(x)是定义在（-1，1）的奇函数，若0)1()1(2>-+-t f t f ，求t例2：定义在[]1.1-上的偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)为增函数，若)2()1(m f m f <+成立，求m 的取值范围。

函数的奇偶性经典例题

精品资料欢迎下载2．4 函数的奇偶性【知识网络】1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法； 2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题．【典型例题】例 1．（ 1）下面四个结论中，正确命题的个数是（ A ）①偶函数的图象一定与 y 轴相交；②函数 f ( x) 为奇函数的充要条件是 f (0) 0 ；③偶函数的图象关于 y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （ x ）=0（ x ∈ R ）．A ． 1B ． 2C ． 3D ．4提示：①不对，如函数 f ( x)1y轴没有交点；②不对，因为奇函 x 2 是偶函数，但其图象与f （ x ）数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 =0〔 x ∈（－ a ， a ）〕，答案为 A ．（ 2 ）已知函数 f ( x) ax 2 bx 3a b 是偶函数，且其定义域为［a 1, 2a ］，则（）A1 b ＝ 0B ． ab 0C b ＝ 0D ． a 3b ＝ 03提示：由 f (x) ax 2bx 3ab 为偶函数，得 b ＝ 0．又定义域为［ a1, 2a ］，∴ ( a 1) 2a 0 ，∴ a1 ．故答案为 A ．3x 2（ 3）已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f ( x)2 x ，则 f ( x) ）在 R 上的表达式是（）A ． y x( x2) B ． y x(| x | 2)C ．y| x |( x 2)D ．y提示：由 x 0 时， f ( x) x 22x ， f ( x) 是定义在 R 上的奇函数得：当 x ＜ 0 时， x 0 ， f ( x) f ( x) ( x 2 2x) x( x 2) x( x 2) ( x 0) x(| x | 2) ，答案为 D ． ∴ f ( x) x 2) ( x，即 f ( x) x( 0) （ 4）已知 f ( x) x 5 ax 3bx 8 ，且 f ( 2) 10 ，那么 f （2）等于 26 提示： f ( x)8x5ax3bx 为奇函数，f (2) 8 18 ，∴ f (2) 818（ 5）已知 f ( x) 是偶函数，g (x) 是奇函数，若1f (x) g( x)，则x1x(| x | 2)，∴ f (2) 26．f ( x) 的解析式为提示：由 f ( x) 是偶函数， g (x) 是奇函数，可得1 ，联立f ( x)g (x)x1f ( x) g( x)111111x 1 ，得： f ( x) 2 ( x1x 1 )x21， ∴ f (x)1x2例 2．判断下列函数的奇偶性：（ 1 ） f ( x) (x 1) 1x； (2) f ( x) 1 x2x 2 1 ；1 x2x 2x ( x 0)（ 3 ） f (x)lg(1 x ) ；（ 4） f ( x)x 2 x．| x 2 2 | 2( x 0)解：（ 1）由1 x1,1)，关于原点不对称，∴f (x) 为非奇非偶函数．10 ，得定义域为 [x(2)1x20x2 1 x 1 ，∴ f ( x)0 ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数．x210（3）由1x20得定义域为 (1,0)(0,1) ，∴f ( x)lg(1x)2lg(1x)2| x22|2 0( x22) 2x2，∵ f (x)lg[1(x) 2 ]lg(1x2 )f (x)∴ f ( x) 为偶函数(x) 2x2（ 4）当x0 时，x0 ，则 f ( x)( x)2x(x2x) f (x) ，当 x0 时， x0 ，则 f (x) ( x) 2x( x2x) f (x) ，综上所述，对任意的x(,) ，都有 f (x) f ( x)，∴ f ( x) 为奇函数．例 3．若奇函数 f ( x) 是定义在（1，1）上的增函数，试解关于 a 的不等式：f ( a 2) f ( a 24) 0．解：由已知得 f ( a 2) f ( a24)因 f(x) 是奇函数，故 f (a24) f (4a2 ) ，于是 f (a2) f (4 a2 ) ．又 f ( x) 是定义在（1， 1）上的增函数，从而a24 a 23a21 a211a33a21a2415a或3a5 3即不等式的解集是(3,2) ．例 4．已知定义在 R 上的函数 f ( x)对任意实数x、y，恒有 f ( x) f ( y) f ( x y) ，且当 x 0时， f ( x)0 ，又 f (1)2．3（1）求证： f ( x)为奇函数；（ 2）求证：f(x ) 在R上是减函数；（3）求 f ( x) 在[3，6]上的最大值与最小值．（1）证明：令x y0 ，可得 f (0) f (0) f (0 0) f (0)，从而， f(0) = 0 ．令y x，可得 f ( x) f (x) f ( x x) f (0)0 ，即 f ( x) f (x)，故 f ( x ) 为奇函数．（2）证明：设x1 , x2∈R，且 x1x2，则 x1x20 ，于是 f ( x1 x2 )0 ．从而f ( x1 ) f ( x2 ) f [( x1x2 ) x2 ] f ( x2 ) f ( x1x2 ) f (x2 ) f ( x2 ) f ( x1x2 ) 0所以， f ( x) 为减函数．（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为 f ( 3) ，最小值为 f (6) ．f (3) f (3)[ f (2) f (1)][2 f (1) f (1)] 3 f (1)2f (6) f (6)[ f (3) f (3)]4于是， f ( x)在 [-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．【课内练习】1．下列命题中，真命题是（ C ）A ．函数 y1是奇函数，且在定义域内为减函数xB ．函数 y x 3 ( x 1)0 是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数 y x 2 是偶函数，且在（3， 0）上为减函数D ．函数 yax 2 c(ac 0) 是偶函数，且在（0， 2）上为增函数提示： A 中， y 1B 中，函数的定义域不关于原点对称； D 中，在定义域内不具有单调性；x当 a 0 时， y ax 2 c(ac0) 在（ 0， 2）上为减函数，答案为 C ．2．若(x) ， g (x) 都是奇函数， f ( x)a ( x) bg ( x)2 在（ 0，＋∞）上有最大值5 ，则 f (x) 在（－∞， 0）上有（）A ．最小值－ 5B ．最大值－ 5C ．最小值－ 1D ．最大值－ 3提示：( x) 、 g( x) 为奇函数，∴ f ( x)2 a (x)bg( x) 为奇函数．又 f (x) 有最大值 5，∴－ 2 在（ 0，＋∞）上有最大值3．∴ f (x) － 2 在 (, 0) 上有最小值－ 3，∴ f ( x) 在 ( , 0) 上有最小值－ 1．答案为 C ．3．定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在（ 0， +∞）上是增函数，又 f ( 3) 0 ，则不等式 xf ( x)的解集为（ A ）A ．（－ 3， 0）∪（ 0， 3）B ．（－∞，－ 3）∪（ 3， +∞）C ．（－ 3， 0）∪（ 3， +∞）D ．（－∞，－ 3）∪（ 0， 3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为 A ．4. 已知函数 y f ( x) 是偶函数， yf ( x2) 在［ 0，2］上是单调减函数，则（ A ）A . f (0) f ( 1) f (2)B . f ( 1) f (0)f (2) C.f ( 1) f (2) f (0)D.f (2) f ( 1)f (0)提示：由 f （ x － 2）在［ 0， 2］上单调递减，∴ f ( x) 在［－ 2， 0］上单调递减 .∵ y f ( x) 是偶函数，∴f ( x) 在［ 0， 2］上单调递增 . 又 f ( 1) f (1) ，故应选 A .5．已知 f ( x) 奇函数，当 x ∈（ 0，1）时， f ( x) lg 1 ，那么当 x ∈（－ 1，0）时， f ( x)的表达式是 lg(1 x) ．1 x提示：当 x（－ 1，0）时， x ∈（ 0， 1），∴ f ( x)f ( x)lg 1lg(1 x) ．x2 ax是奇函数，则a 20071 6．已知 f ( x)log 3 ＋ 2007a = 2008．a x提示：f (0) log 32a0 ，2a1 ，解得： a 1 ，经检验适合， a 20072007a 2008 ．aa7．若 f ( x) 是偶函数，当 x ∈［ 0，+∞) 时， f ( x) x 1，则 f (x 1) 0的解集是 { x | 0 x 2}提示：偶函数的图象关于 y 轴对称，先作出 f ( x) 的图象，由图可知 f ( x) 0的解集为 { x | 1 x 1} ，∴ f ( x 1) 0 的解集为 { x | 0 x 2} .8．试判断下列函数的奇偶性：（1） f ( x) | x2| | x 2| ；（ 2） f ( x)1 x2 ；（ 3） f ( x)| x |( x 1)0 ． x 33x解：（ 1）函数的定义域为 R ， f ( x) | x2|| x 2| | x2|| x 2|f (x) ，故 f (x) 为偶函数．1 x2 0x1且 x 0 ，定义域为 [ 1, 0)(0, 1] ，关于原点对称，（2）由3| 得： 1| x3 01 x2 1 x2x) 1 x 2f ( x)3x，f (f ( x) ，故 f ( x) 为奇函数．x 3x（ 3）函数的定义域为 (- ∞， 0)∪ (0，1)∪ (1，+∞ )，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．9．已知函数 f (x) 对一切 x, y R ，都有 f ( x y)f (x)f ( y) ，若 f ( 3)a ，用 a表示 f (12) ．解：显然 f (x) 的定义域是 R ，它关于原点对称．在f ( x y)f (x) f ( y) 中，令 y x ，得 f (0)f ( x) f ( x) ，令 xy0 ，得 f (0)f (0)f (0) ，∴ f (0) 0 ，∴ f ( x) f ( x) 0 ，即 f ( x) f ( x) ， ∴ f (x) 是奇函数．∵ f ( 3) a ， ∴ f (12) 2 f (6)4 f (3) 4 f ( 3)4a ．10．已知函数 f ( x)ax 21b, c Z ) 是奇函数，又， f (1)2 ， f (2)3 ，求 a 、 b 、 cbx ( a, 的值 .c解：由 f ( x) f ( x) 得 bxc (bx c) ∴c=0. 又 f (1)2 ，得 a 12b ，而 f (2) 3 ，得4a1 3 ，解得 1 a2 .a 1又 a Z ，∴ a 0 或 a 1.若 a 0 ，则 b= 1 Z ，应舍去；若 a 1 ，则 b=1 ∈Z.2∴ a 1, b 1, c 0 .。

函数奇偶性例题+作业

函数奇偶性例1 判断函数奇偶性。

11)(22-+-=x x x f ； ⎩⎨⎧>+<-=0)1(0)1()(x x x x x x x f练习：（1）f （x ）=（x －1）·x x-+11；（2）()2212-+-=x x x f（3）4y x x =+例2 若a x f x ++=121)(为奇函数，那么?=a练习1：（09重庆）若a x f x +-=121)(为奇函数，那么?=a练习2：已知函数b a bx ax x f +++=3)(2是定义域为]2,1[a a -的偶函数，则b a +的值是（）A ．0；B ．31；C ．1；D ．1-例3．若()))(1(a x x x f ++=为偶函数，那么?=a练习1：设函数)()(x x ae e x x f +=是偶函数，则实数a =_____ _______练习2：若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a =例4. （2010山东）定义在R 上的奇函数)(x f ，当0≥x 时，b x x f x ++=2)(则 ()?1=-f练习1：已知)(x f 是R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时，)1()(+-=x x x f ，求)5(f练习2：若偶函数()f x 在(,1)-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A ．3()(1)(2)2f f f -<-<；B ．3(1)()(2)2f f f -<-<； C ．3(2)(1)()2f f f <-<-；D ．3(2)()(1)2f f f <-<-★ 例5. 求解析式已知)(x f 为奇函数，当0≥x 时，)2()(-=x x x f ，则0<x 时，?)(=x f练习：若函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ．。

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函数的奇偶性的典型例题
函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：
①、定义域是否关于原点对称；
②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2
432)(x x x f += ⑶、1
)(2
3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x / ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=
解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数
⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数
注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。

例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)
0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。

.)(),()()
()()()(,0,0)
()()(,0,0)
(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。

~
命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分
条件。

此命题正确。

如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。

命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。

此命题错误。

一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。

命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。

此命题错误。

一方面，对于函数|f(x)|=⎩
⎨⎧<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。

如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。

命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。

此命题错误。

如函数f(x)=⎩⎨⎧∈+=∈=)
,12(,),2(,2N n n x x N n n x x 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故此函数非奇非偶。

命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。

此命题正确。

由函数奇偶性易证。

>
命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

此命题正确。

由奇函数的定义易证。

命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。

此命题正确。

方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x)=0，则f(-x)=0。

对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。

故原命题成立。

五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征
例1：已知偶函数)(x f y =在y 轴右则时的图像如图（一）试画出函数y 轴右则的图像。

*
七、关于函数奇偶性的简单应用
1、利用奇偶性求函数值
例1：已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f
2、利用奇偶性比较大小
例2：已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。

3.利用奇偶性求解析式
例3：已知)(x f 为偶函数时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ，求)(x f 的解析式
￥
4、利用奇偶性讨论函数的单调性
例4：若3)3()2()(2
+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间
5、利用奇偶性判断函数的奇偶性
例5：已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判断cx bx ax x g ++=23)(的奇偶
性。

6、利用奇偶性求参数的值
例6：定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)123()12(22+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是如何
图（二）图（一）
7、利用图像解题
例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式()0<x f 的解是 .
8.利用定义解题
例8.已知函数1().21x f x a =-
+，若()f x 为奇函数，则a =________。