天津市2019届高三3月九校联考数学(理)试卷附答案解析

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2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案

2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年天津市高考理科数学试卷及答案解析【word版】

绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734i i（）（A ）1i （B ）1i （C ）17312525i （D ）172577i （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945FED CBA （4）函数212log 4f x x 的单调递增区间是（）（A ）0, （B ）,0（C ）2,（D ）,2（5）已知双曲线22221x y a b 0,0ab 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y （D ）2233110025x yD ，交（6）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CEBE DE ；④AF BD AB BF .则所有正确结论的序号是（）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a bR ，则|“a b ”是“a a b b ”的（）（A ）充要不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充要也不必要条件（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC .若1AE AF ，23CE CF，则（）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津市静海区2019届高三上学期三校联考数学(理)试题(解析版)

静海区2018—2019学年度第一学期三校联考试卷高三数学（理）试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先化简集合A，求得后再求．详解：由题意得，∴，∴．故选C．点睛：进行集合间的运算时要注意运算的顺序，若条件中给出的集合需要化简时要先化简．2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：是奇函数，后面的三个函数都是偶函数，但在有增有减，在为减函数，只有既是偶函数，在是增函数，故选D.考点：函数的性质3.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选B．考点：1．对数的性质；2．充分必要条件．4.=（）A. 56B. 28C. D. 14【答案】C【解析】【分析】求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限后作差得结论.【详解】，故答案为.【点睛】本题主要考查微积分基本定理的理解与应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.5.已知为锐角，且，则的值( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由正切的诱导公式得，故，由公式得，，因为为锐角，所以，故选B考点：诱导公式正弦余弦正切之间的关系6.已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.7.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，故选B.考点：函数的图象.8.已知函数，若对任意，存在，使，则实数b的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：函数，若为増函数，若或为减函数，在上有极值，在处取极小值也是最小值，对称轴当时，在处取最小值，当时，在处取最小值，当时，在上是减函数，因为对任意存在,使所以只要的最小值大于等于的最小值即可，当时，解得故无解；当时,无解；当时，解得综上考点：1、利用导数求最值；2、二次函数在闭区间上的最值．【方法点睛】本题主要考查利用导数求最值及二次函数在闭区间上的最值，属于难题．二次函数在区间上的最小值的讨论方法：①当时，②当时，③时，．本题讨论的最小值时就是按这种思路进行的．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.函数的定义域为__________．【答案】【解析】要使函数有意义，需满足解得：，则函数的定义域为，故答案为.10.已知，则的值为__________．【答案】【解析】11.已知是上的增函数，那么实数a的取值范围是______.【答案】【解析】试题分析：由题意得，当时，为增函数，则，解得，当时，为增函数，则，又由函数是上的增函数，则当时，，解得，综上所述，实数的取值范围是.考点：函数的单调性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性及其应用，其中解答中涉及到分段的解析式，一次函数的单调性、对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记一次函数和对数函数的单调性，以及分段函数的单调性的判断方法是解答的关键，试题属于中档试题.12.已知，则的值等于______.【答案】【解析】【分析】由与的和为，利用诱导公式把转化成，从而可得结果.【详解】，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．13.已知函数的图像在点的处的切线过点，则.【答案】1【解析】试题分析：.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得.视频14.定义在上的函数的导函数为，.若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】构造函数，对任意都有，可得，函数在单调递减，利用其单调性即可得结果.【详解】构造函数：，对任意都有，，函数在单调递减，由化为，使得成立的的取值范围为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题（本大题共6个小题，共80分）15.已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：（1）根据定义域求得集合A，根据值域求得集合B，再根据数轴求交集（2）先将条件转化为集合包含关系：，再根据空集讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系.试题解析：（1），即即（2）当为空集满足条件;当即时,;又综上或．点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.16.已知是定义域为的奇函数，且当时，，设“”.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知可得，函数为上的奇函数、且为增函数，由命题为真，则，所以，从而解得；（2）由集合，若为真，则，因为“为假，为真”等价于“、一真一假”，因此若真假，则；若假真，则.从而可得，实数的取值范围是.试题解析：∵函数是奇函数，∴，∵当时，，∴函数为上的增函数，∵，，∴，∴，若为真，则，解得（2），若为真，则，∵为假，为真，∴、一真一假，若真假，则；若假真，则综上，实数的取值范围是考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.17.的内角的对边分别为，且.（1）求角的大小;（2）若，的面积，求的周长.【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（I）由已知可得；（II）依题意得：的周长为．试题解析：（I）∵，∴．……………………1分∴，………………2分∴，………………4分∴，∴，………………5分∴．………………6分（II）依题意得：，………………8分∴，∴，∴，………………11分∴，∴的周长为．………………12分考点：1、解三角形；2、三角恒等变换．18.已知（1）当时，求函数的单调减区间；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）在递减；（2）.【解析】【分析】（1）时，，可得，令，求得的范围即可得结果；（2）函数在区间上是增函数，等价于在上恒成立，即在上恒成立，整理可得，结合,即可得结果.【详解】（1）时，，∴，令，解得：，∴在递减；（2）∵，令，即，整理得：，因为为正数，所以，因为,∴.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】(1)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）当时，，由正弦函数的单调性可得，从而可得结果.【详解】（1）函数；令解得，∴的单调递增区间为；（2）当时，，∴，∴在区间上的最大值为2，最小值为；且时取得最大值2，时取得最小值【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题. 函数（）的单调区间的求法：把看作是一个整体，由求得函数的减区间；由求得函数的增区间.20.已知函数（1）求函数的单调区间（2）若对任意，恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）增区间，减区间；（2）.【解析】【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）对任意，恒成立，等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，由单调性可得，从而可得.【详解】（1）∵，∴，∴有∴函数在上递增，有，∴函数在上递减，（2）∵即，又，∴令，令，解得或（舍）当时，，函数在上递减当时，，函数在上递增，∴.∴，即的最大值为4.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.。

2019年3月2019届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)

（2）显然过点 F2的直线l 不与 x 轴重合，可设直线l 的方程为 x ty 1，且 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，

x2
联立方程 2

y2
1
，消去
x 得 (t
2
2) y2 2ty 1
0
，
x ty 1
2t
1
根据根与系数的关系，得 y1 y2 t 2 2 ， y1 y2 t 2 2 ，（6 分）
2m 1 ln m 1 0 ，即 m 1 e2m1 1 .故选 C.
m
m
13． 25 【解析】由题意作出区域，如图中阴影部分所示，
4
易知 tan MON
21 2
3
，故 sin MON

3
，又
MN
3，设△OMN
的外接圆的半径为 R
，
1 2 1 4
5
2
则由正弦定理得 MN 2R ，即 R 5 ，故所求外接圆的面积为 ( 5)2 25 .
t 22 1
2 t 2 2
理科数学第 7页（共 10页）
得x

t
3t 2 2

y2
x0 ( y2
y2
2t ) t2 2
x0

t
3t 2 2

2t t2 2

x 0
y
2

xy 02
x

t
t 2
2
(2x
0

3)
y 2

xy 02
x
10
y
0
y
0 ，（分）

2019届天津市部分区高三联考一模数学(理)试题(解析版)

2019届天津市部分区高三联考一模数学（理）试题一、单选题1．若集合{}21A x x =<，{}02B x x =<<，则A B =（）A ．{}01x x << B ．{}10x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}12x x -<<【答案】D【解析】先化简集合A ，再利用并集的定义求解即可. 【详解】集合{}{}2111A x x x x =<=-<<,{}02B x x =<<, ∴属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{}12A B x x ⋃=-<<，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用奇偶性的定义证明充分性成立，利用特殊函数证明必要性不成立，从而可得结果. 【详解】若()f x 和()g x 都是偶函数，则()()()() f x f x g x g x -=-=，，()()()() f x g x f x g x -⋅-=⋅，即()()f x g x ⋅是偶函数，充分性成立；当()f x x =,() 2g x x =时，()()f x g x ⋅是偶函数，但是()f x 和()g x 都不是偶函数，必要性不成立，∴“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的充分而不必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩，将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时，直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】C【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值. 【详解】输入1,1n S ==，第一次循环3,2S n ==；第二次循环7,3S n ==；第三次循环15,4S n ==；第四次循环31,5S n ==，退出循环，输出31S =,故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π= 【答案】D【解析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.6．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（） A ．108石 B ．169石C ．237石D ．338石【答案】A【解析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】256粒内夹谷18粒，∴米中含谷的频率为189256128=， 1536∴石中夹谷约为91536129108128⨯=⨯=（石）.故选A. 【点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.7．已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C【解析】分别求出四个选项中双曲线的离心率，判断是否为53，利用排除法可得结果. 【详解】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了抛物线的方程与性质，考查了选择题的特殊解法，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.8．已知函数()y f x =的定义域为(),ππ-，且函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，当()0,x π∈时，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中()'f x 是()f x 的导函数），若()log 3a f π=,13log 9b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【解析】求出()'f x ,可得'2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，能确定()'f x 的解析式，分类讨论可确定()'f x 的符号，可得()f x 在()0,π上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较13log 32ππ、、的大小关系，结合函数()f x 的奇偶性与单调性可得结果.【详解】()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()''cos 2f x f x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()'2cos f x x x π=-，当2x π≤<π时，()2cos 0,'0x f x ≤>；当02x π<<时，()2,2cos 2,'0x f x xπ><∴>，即()f x 在()0,π上递增，()2y f x =+的图象关于2x =-对称，()2y f x ∴=+向右平移2个单位得到()y f x =的图象关于y 轴对称，即()y f x =为偶函数，()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，0log 1log 3log 1ππππ=<<=， 1103212πππ=<<<，即130log 32πππ<<<<，()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭，即b c a >>. 故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． .二、填空题 9．i 是虚数单位，若21aii++是纯虚数，则实数a 的值为_________. 【答案】2-【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，再利用纯虚数的定义求解即可. 【详解】()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a +-++-+==++-， 2i1i a ++是纯虚数， 202a +∴=且202a -≠，2a =-∴.故答案为2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．在的展开式中，含项的系数为_________.（用数字填写答案）【答案】【解析】试题分析：由题意可得，令，综上所述，的系数为，故答案为.【考点】1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.11．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 【答案】2π【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的，高为1的圆锥组成的组合体，利用圆锥的体积公式可得结果. 【详解】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体1，体积为212123ππ⨯⨯⨯=.故答案为2π. 【点睛】本题主要考查圆锥的性质、圆锥的体积公式的应用，考查空间想象能力以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.12．已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B两点，且AB ，则直线l 的斜率为_________.【答案】15±【解析】直线参数方程化为普通方程，圆方程化为标准方程求得圆心与半径，由AB ，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可.【详解】由x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，得tan y x α=，设tan k α=，得直线y kx =，由22430x y x +-+=，得()2221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，∴圆心到直线y kx =12==，得15k =±.故答案为15±. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.13．若对任意的x ∈R ，不等式1221x x a --+≤-恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】(][)12-∞-⋃+∞，，【解析】利用绝对值三角不等式求得12x x --+的最大值为3，解不等式213a -≥，即可得结果【详解】()()12123y x x x x =--+≤--+=，∴要使1221x x a --+≤-恒成立，则213a -≥，213a -≥或213a -≤-，即2a ≥或1a ≤-，∴实数a 的取值范围是(][)12-∞-⋃+∞，，.故答案为(][)12-∞-⋃+∞，，.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.14．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，点,E F 分别在边,AD DC 上，()12BE BA BD =+，13DF DC =，则BE BF ⋅=_________. 【答案】223【解析】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系，求得,BE BF 的坐标，从而可得结果. 【详解】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系，菱形边长为2，60ABC ∠=，()(()(1,0,0,,1,0,A B C D ∴-，()12BE BA BD =+E ∴为AD 的中点，1,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,,333BF DC F ⎛=∴ ⎝⎭， 13315,,23BE BF ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，11522623BE BF ∴⋅=-+=.故答案为223. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的坐标表示，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三、解答题 15．在中，内角所对的边分别为，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）在中，由，利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）先求得，由正弦定理可得，利用二倍角的正弦公式可得，由同角三角函数的关系可得，进而由两角和的正弦公式可得结果.【详解】（1）在中，根据余弦定理，，于是，解得或（舍去），故.（2）在中，，于是.根据正弦定理，得，.又为钝角，为锐角，即.从而，，.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从,,,A B C D四所高校中选2所.（1）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；（2）若甲必选A，记X为甲、乙、丙三名同学中选D校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）18；（2）43.【解析】（1）利用组合知识，由古典概型概率公式可得结果；（2）求出甲同学选中D高校的概率与乙、丙同学选中D高校的概率，判断X所有可能的取值为0,1,2,3，根据互斥事件的概率公式与独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】（1）设“甲、乙、丙三名同学都选D 高校”为事件M ，则()11133322244418C C C P M C C C ==. （2）甲同学选中D 高校的概率为：1=3P 甲，乙、丙同学选中D 高校的概率为：13241=2C P P C ==乙丙， X 所有可能的取值为0,1,2,3，∴，有()2111011326P X ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()22111151112323212P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()11111111112=111=3223223223P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()1111332212P X ==⨯⨯=;∴X 的分布列为∴()1511401236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ；（Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB段DH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）56π；（3）32. 【解析】先利用线面垂直的性质证明直线PD ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，（1）可得()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量，求得()0,2,1QB =-，利用0QB AD ⋅=，且直线QB ⊄平面PDC 可得结果；（2）利用向量垂直数量积为0，列方程组分别求出平面PBC 与平面PBQ 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，()2,2,2PB =-，由cos<,15PB AH >==，解方程可得结果.【详解】（1）平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ADPQ ⊂平面，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD .由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C ，()()()2,0,0,2,0,1,0,0,2A Q P .依题意，易证：()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量，又()0,2,1QB =-，∴ 0QB AD ⋅=，又直线QB ⊄平面PDC ，∴ //QB PDC 平面. （2）()()2,2,2,=0,22PB PC =--，.设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量，则110n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =.设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的法向量，又()()2,2,2,2,0,1PB PQ =-=-，则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =，∴ 1212123cos<,n n n n n n ⋅>==⋅ 又二面角C PB Q --为钝二面角，∴二面角C PB Q --的大小为56π. （3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，又()2,2,2PB =-，又cos<,15PB AH>==，∴ 2625240h h -+=，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为32.【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行、求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a a +=+（*N n ∈），3412a a +=.数列{}n b 为等比数列，且1223,b a b S ==. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)nn n n c a b =-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）()1341388n n n T +-=-⋅-. 【解析】（1）先得到数列{}n a 是以2为公差的等差数列，由3412a a +=求出首项，可得{}n a 的通项公式，由1223,b a b S ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】（1）由已知得：12n n a a +-=，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列.3412a a +=，121012a ∴+=，11a ∴=， 21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，12233,b a b S ===，2339b q S ∴===，3q ∴=， 3n n b ∴=.（2）由题意，得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，()()()()()23133353213nn T n ∴=⋅-+⋅-+⋅-+⋯+-⋅-， ()()()()()()23131333233213n n n T n n +∴-=⋅-+⋅-+⋯+-⋅-+-⋅-.上述两式相减，得()()()()()231432333213n n n T n +⎡⎤=-+-+-+⋯+---⋅-⎣⎦()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅- , ()1341388n n n T +-∴=-⋅- .【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆经过点离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点的直线(不经过点且不与轴重合)与椭圆交于两点，与直线:交于点，记直线的斜率分别为.则是否存在常数，使得向量共线？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据椭圆经过点，离心率，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果；（2）直线的方程为，代入椭圆方程整理得，求得的坐标为，求出,利用韦达定理化简可得，从而可得结果.【详解】（1）由在椭圆上，.①由已知得，又，.②②代入①解得.椭圆的方程为.（2）假设存在常数，使得向量共线，，即.由题意可设的斜率为，则直线的方程为，③代入椭圆方程并整理，得，设，则有，.④在方程③中令得，的坐标为.从而，，., ⑤④代入⑤得，又，.故存在常数符合题意.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径. 20．设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果. 【详解】（1）()()2ln 0f x ax x x =-->，∴()11'ax f x a x x-=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=.从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数.综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数；又22110f e e⎛⎫=>⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<；故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈；又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===，由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ⊂，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

天津市部分区2019年高三质量调查试卷(二)数学(理)答案

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）数学（理）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9．1255i -10．30 11．8312．相交 13．14．84三、解答题：（本大题共6个小题，共80分） 15．解：（Ⅰ）由题意，得2()cos sin f xx x x =- ………………………………1分1sin 2cos2)22x x =-+ …………………………………3分 1sin 2cos 2222x x =--sin(2)32x π=--.…………5分所以()f x 的最小正周期22T p ==p ，其最大值为12-. …6分（Ⅱ）令2,3z x π=-则有函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,22k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z . ………7分由222232k x k πππ-+π≤-≤+π,得5,.1212k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ………9分设5,,,331212A B x k x k k π2π⎧ππ⎫⎡⎤==-+π≤≤+π∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭Z ，易知,312AB π5π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. ………………………………………………………12分所以，当,33x π2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,312π5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间1235π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减. ………………13分 16．解：（Ⅰ）设事件A 为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率”，则有2121125()1(1)23322318P A ⎛⎫=⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭， ……………………………4分（Ⅱ）由已知得：随机变量的所有可能取值为2,3,4， ……………………………5分所以，()211232721221P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………6分 12112111(3)1(1)233223223313P ξ⎛⎫==⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭， ……………………8分()111411223212P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……………………………………10分从而…………………………………………………12分所以，7115()234123122E x =???. …………………………………13分17．解：（Ⅰ）证明：因为,Q P 分别是,AE AB 的中点，所以，1//,2PQ BE PQ BE =，……2分又1C//,2D BE DC BE =，所以，//PQ DC ，PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，…………3分所以，//PQ 平面ACD . ……4分（Ⅱ）因为DC ⊥平面ABC ，90.ACB ∠=︒以点C 为坐标原点，分别以,,CD CA CB 的方向为,,z x y 轴的正方向建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………………………5分则得(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(2,0,0),(4,0,4)C A B D E ， ………………………6分所以(0,4,4),(2,0,4)AB DE =-=，……………………………………………7分所以10cos ,5AB DE AB DE AB DE⋅==， ………………………………………8分所以异面直线AB 与DE 所成角的余弦值5. …………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知(0,4,4)AB =-，(4,4,4)AE =-，设平面ABE 的法向量为(),,,n x y z =00n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则，⎩⎨⎧=+-=+-0444044z y x z y (0,1,1)n 所以=. ………………………10分由已知可得平面ACD 的法向量为以(0,0,4)CB =，所以2cos ,n BC n BC n BC⋅==. ………………………………………….……12分故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小为45︒.......……….………13分18．解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为，.……………………………………………1分由432293a a a -=⎧⎨=⎩得222(2)93a q q a ⎧-=⎨=⎩，.......…………………………………………2分解得3q =或1q =-.......………………………………………………………………3分因为数列{}n a 为正项数列，所以3q =，...………………………....………………4分所以，首项211a a q==，..........………………………………………………………5分故其通项公式为13n n a -=..........………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()32221log (21)(21)n n b n a n n +=-⋅=-+，.......…………………8分所以11111()(2n 1)(21)22121n b n n n ==--+-+，.......………………………10分所以12111111111(1)23352121n n T b b b n n =+++=-+-++--+ 1112422n =-<+.......……………………………………………………13分19．解：（Ⅰ）由椭圆的一个焦点为()11,0F-知:1c =，即221a b -=.①....………2分又因为直线11B F 的方程为0bx y b -+==b =.……4分由①解得24a =.故所求椭圆C 的标准方程为22143x y +=....…………………………………………5分（Ⅱ）假设存在过点A 的直线l 适合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在，于是可设直线l 的方程为()2y k x =-，...............…………………………………6分由()221432x y y k x +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得()2222341616120k x k x k ++-=-.（*）.......………8分因为点A 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且2A x =所以22161234A B k x x k-⋅=+，所以228634B x k k -+=，即点2228612,3434k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭....……………………………………………………10分所以2221612,3434k k OA OB k k ⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭，即222141612,73434k k OT k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭. 因为点T 在圆222x y +=上，所以2222221612273434k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……11分化简得42488210k k --=，解得234k =，所以2k =±. ………………12分经检验知，此时（*）对应的判别式0∆>，满足题意. ………………………13分故存在满足条件的直线l ，其方程为)2y x =-. ……………….……14分 20．解：（Ⅰ）当2a =时，()ln 2f x x x =-，所以1()2f x x'=- ...............………………1分 ()1121f '=-=-， ..........………………………………………….....……...……2分则切线方程为()21y x +=--，即10x y ++=. ………………....……………3分（Ⅱ）①当0a =时，()ln f x x =有唯一零点1x =；…………………............………4分②当0a <时，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，因为()10f a =->，()()10a a a f e a ae a e =-=-<，所以()()10a f f e ⋅<，即函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ………6分③当0a >时，令()0f x '=得1x a=，所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数；且-∞→→)(,0x f x ；当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 是在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上是减函数，且-∞→+∞→)(,x f x ；所以在区间()0,+∞上，函数()f x 的极大值为11ln1ln 1f a a a⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， …8分由10f a ⎛⎫<⎪⎝⎭，即ln 10a --<，解得1a e >，故所求实数a 的取值范围是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. …………………………………………9分（Ⅲ）设120x x >>，由()10f x =，()20f x =，可得11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，所以()1212ln ln x x a x x -=-. 所以1212ln ln x x a x x -=-…........................…10分要证122x x a+>，只需证12()2a x x +>, 即证121212ln ln ()2x x x x x x -⨯+>-，即()1212122ln x xx x x x ->+. …………………11分令121x t x =>，于是()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t -->⇔>++， …………………12分设函数()()()21ln 11t h t t t t -=->+，求导得()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，所以函数()h t 是()1,+∞上的增函数，所以()()10h t h >=，即不等式()21ln 1t t t ->+成立，故所证不等式122x x a+>成立. …………………………………………………14分。

天津市2020届高三数学3月九校联考试题理(含解析)

17.在多面体
中，四边形
是正方形，平面 .
平面，
（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面
与平面
所成的锐二面角的大小为，若
存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【解析】【分析】 (1)由面面垂直的性质定理证明线面垂直即可； (2)在平面 DAE 内，过 D 作 AD 的垂线 DH，以点 D 为坐标原点，DA，DC，DH 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面 FAG 的法向量和平面 EAD 的法向量求二面角的余弦值即可确定线段上是否存在点 . 【详解】(1)∵平面 ADE⊥平面 ABCD，平面 ADE∩平面 ABCD=AD，
天津市 2020 届高三数学 3 月九校联考试题理（含解析）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合均为全集
的子集，且
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
,因为
，所以中必有元素，
【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于
由图可得：
.
故选：D. 【点睛】本题主要考查由函数零点个数确定参数的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题（将答案填在答题纸上）
9.设复数满足
其中为虚数单位，则复数的虚部是_______．
【答案】1 【解析】【分析】
由题意可得：
，据此结合复数的运算法则计算确定 z 的虚部即可.
12.已知三棱锥
中，面，

2019年3月2019届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)

理科数学第 1页（共 10页）2019 年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析1．A 【解析】易得 A = {x | x 2≤ 4} = {x | -2 ≤ x ≤ 2}， B = {x |A B = [0,2) ，故选 A ．x - 2≤ 0} = {x | 0 ≤ x < 2}，所以12320192 ⨯(22019 -1) 20205．D 【解析】由图知输出的结果 S = 2 + 2 + 2 + + 2 = 6．D 【2 -1 = 2 - 2 ．故选 D. 4x - ，π π 此时函数 f (x ) 取不到最大值或者最小值，故 x = 不是函数 f (x ) 图象的对称轴；若 x = ，则2 3π π4x - = π ，此时函数 f (x )=0 ，故 f (x ) 的图象关于点( , 0) 对称.逐一观察各选项可知，答案为 D.3 31 n - 3 r 3 7．A 【解析】由题意， (x n 的通项为T = (-1)r C r x 2，当n = r 即 2n = 3r 时，所得项为常数r +1 n 2项，其中 r = m -1，所以 m ， n 应满足2n = 3(m -1) ，故选 A.2π 解析】由已知T = = π ，解得ω= 2 ，故 f (x ) = sin( 4x - π ) ，若 x ∈( π , π) ，则 2ω π ∈( 2π , 5π) ，由正弦 2 函数的图象可知函数 f (x ) 在( π , π 3 ) 上有增有减；若 x 4 2 = π ，则4x - π = 5π 3 3 3 4 2 2 3 3理科数学第 2页（共 10页）1n⎩ 8．C 【解析】易得圆锥的母线长为13cm ，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过5 cm 时，蚂蚁应爬行在底面半径为25cm ，母线长为 5 cm 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过 5 cm 的概率为 13π⨯ 25 ⨯ 51- 13 = 144，故选 C ．π⨯ 5⨯13 1699．B 【解析】由 a + a + a = 42 ， a + a = 28 ，可得 S = 70 ，由已知得tS = 52 - 12 ⨯ 5 ，得t = - 1，1 3 52 4 5 52故- S n 2= n 2 - 12n ，即S = -2n 2 + 24n = -2(n - 6)2 + 72 ，所以当n = 6 时, S 取得最大值．故选B.11．B 【解析】设抛物线C 的焦点为 F ，则 F ( a,0) ，可得直线l : y = 4x - a 过焦点 F ，设直线l 交抛物4线C 于点 A (x , y ), B (x , y ) ，由抛物线定义可知| AB |= x + x + a，联立直线l 与抛物线C 的方程，1122122消去 y 得16x 2 - 9ax + a 2= 0 ，所以 x + x = 9 a ，则| AB |= 9a + a = 17 ，解得 a = 16 ，则抛物线1 216 16 2C 的方程为 y 2 = 16x . 设与抛物线 C 相切且平行于直线 l 的直线方程为 y = 4x + b ，联立方程⎧ y 2 = 16x ⎨y = 4x + b，消去 y 得16x 2 + (8b -16)x + b 2 = 0 ，则∆= (8b -16)2 - 4⨯16b 2= 0 ，解得b = 1，故所求直线方程为 4x - y +1 = 0 .故选 B.' 1- m 1 mx 2+ x +1- m (mx - m +1)(x +1)12．C 【解析】由题意，得 f (x ) = m + + = = （ x > 0 ），令 x 2 m -1x x 2x 2 m -1 mx - m +1 = 0 ，由 m > 0 ，得 x = .当0 < m ≤ 1时， m m 1- m≤ 0 ，此时函数 f (x ) 在(0,+∞) 上单调递增，且 x → 0 时， mx → 0 ， - x→ -∞ ， ln x → -∞ ，故 f (x ) → -∞ ，不合题意，舍去；当 m > 1时， m -1 m > 0 ，此时函数 f (x ) 在(0, m -1 m ) 上单调递减，在( m -1m,+∞) 上单调递增，所以n理科数学第 3页（共 10页）2 3 5f (x )min = f ( m -1 m ) = m -1 + m + ln m -1 m = 2m -1 + ln m -1 m，要使函数 f (x ) > 0 恒成立，只需2m -1 + ln m -1 > 0 ，即 m -1 e 2m -1> 1 .故选 C.m m13． 25π 【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，42 - 1 易知tan ∠MON = 2 =3 ，故sin ∠MON = 3 ，又 MN = 3，设△OMN 的外接圆的半径为 R ，1+ 2 ⨯1 4 52 MN 5 25则由正弦定理得 = 2R ，即 R = ，故所求外接圆的面积为π⨯ ( )2 = π .sin ∠MON 2 2 42 15．(1,3 ) 【解析】由题意设双曲线C 的半焦距为c ，则右焦点 F (c ,0) 到渐近线 y = ± b x 的距离均为 3 2a| bc | c b ，圆 F 2 的半径为 2 c ，要使圆 F 2 与双曲线 C 的两渐近线有公共点，需满足 2 > b ，即 c 2> 4(c 2- a2) ，解得 c a 2 < 4，又双曲线的离心率e > 1 ，故双曲线C 的离心率的取值范围为(1, ) . 3 316．19π3【解析】作出图形如图（1）所示，由图可知在四面体 A - CDM 中， MA ⊥ AD ， MA ⊥ AC ， AC AD = A ，故 MA ⊥ 平面 ACD ，将图形旋转得到如图（2）所示的三棱锥 M - ACD ，其中△ACD2理科数学第 4页（共 10页）2a + c 为等边三角形，过△ACD 的中心O 1 作平面 ACD 的垂线l 1 ，过线段 MC 的中点O 2 作平面 MAC 的垂线l 2 ，易得直线l 1 与l 2 相交，记l 1 l 2 = O ，则O 即为三棱锥 M - ACD 外接球的球心.设外接球的半径为 R ，连接OC 、O C ，可得O C = 2 ,OO = 1,在Rt △OO C 中，OC 2 = OO 2 + O C 2=19= R 2 ， 113 12 1 1 112故外接球的表面积 S = 4πR 2=19π，故答案为19π .33图（1）图（2）17．（本小题满分 12 分）（2）由（1）可知， b =， 22 2 2a 2 + c 2 - (2a + c )22 2在△ABC 中，由余弦定理，知cos B = a+ c - b =2 = 2a + 3c - 2 2ac ≥2ac2ac 8ac理科数学第 5页（共 10页）1 - cos 2B 6 + 2 6 2 6 2 6ac - 2 2ac =8ac6 - 2 （当且仅当 2a 2 = 3c 2时，等号成立），（8 分）4∴ sin B =≤ = ，（10 分） 4则 BC 边上的高 h = c ⋅ sin B ≤ 4 ⨯4= + ，∴ BC 边上的高的取值范围为(0, + 2] ．（12 分）18．（本小题满分 12 分）∴ PA ⊥ PB ，（4 分）∵ AD ⊥ 平面 PAB ，∴ AD ⊥ PB ，又 PA AD = A ， ∴ PB ⊥ 平面 PAD ，又 PB ⊂ 平面 PBC ，∴平面 PAD ⊥ 平面 PBC .（6 分）（2）由 PA = PB ，可得 PE ⊥ AB ，故以 E 为原点， EP , EB , EC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，AD = 1=同（1），设，则 P (1,0,0) ，A (0,-1,0) ，D (0,-1,1) ，C (0,0,1) ，则 PD (-1, -1,1) ，AD = (0, 0,1) ，1 - (6 - 2 )2 4 6 + 2理科数学第 6页（共 10页）= - 1C 5CD (0, 1, 0) ，（8 分）∴平面 PCD 的一个法向量为 n 2 = (1, 0,1) ，（10 分）∴ cosn , n = n 1 ⋅ n 2 =1 = 1 ，| n 1 || n 2 | ⨯ 2 2π 故平面 PAD 与平面 PCD 所成锐二面角的大小为19．（本小题满分 12 分）．（12 分） 3【解析】（1）由统计表可得 x 1 = 5⨯ (74.31+ 41.08 + 38.37 + 30.55 + 26.46) = 42.154 ，x = 1⨯ (41.82 + 39.08 + 23.43 +18.99 +18.36) = 28.336 . 25可知 x 1 > x 2 .（4 分）（2）由定义，知男性中只有肺癌属于高发率癌种，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，（6 分）设 X 、Y 分别为男、女性前 5 类癌种中抽到的高发病率癌种的类数，则 X 的可能取值有 0，1，C 2 3 C 1C 1 2 P ( X = 0) = 4 = , P ( X = 1) = 1 4 = . 2 2 5 5故 X 的分布列为2 C 1 25理科数学第 7页（共 10页）C C 3 3 1 4 5 10 2 ⎩故 E ( X ) = 0 ⨯ 35+ 1⨯ 2 = 2.5 5（8 分）Y 的可能取值有 0，1，2C 2 3 C 1 C 1 3 C 2 1 P (Y = 0) = 3 = , P (Y = 1) = 2 3 = , P (Y = 2) = 2 = . 2 2 2 5 5故Y 的分布列为（10 分）故 E (Y ) = 0 ⨯ +1⨯ + 2 ⨯ = . 10 5 10 5可得 E ( X ) < E (Y ) ，故男性前 5 类癌种中含有高发病率癌种的类数的均值较小.（12 分）20．（本小题满分 12 分）（2）显然过点 F 2 的直线l 不与 x 轴重合，可设直线l 的方程为 x = ty + 1，且 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，⎧ x 2⎪ 联立方程⎨ 2y = 1 ，消去 x 得(t 2 + 2) y 2+ 2ty -1 = 0 ， ⎪⎩x = ty +1- 2t -1根据根与系数的关系，得 y 1 + y 2 = t 2 + 2 ， y 1 y 2 = t 2 + 2 ，（6 分）⎧ y = y 1 ⎪ 联立直线 m 与直线 PB 的方程 y，消去 y ，整理得 y = y 2(x - x ) ， ⎨ y = 2 (x - x )1 ty + 1 - x 0⎪ x 2 2 0解得 x = ty 1 y 2 + y 1 - x 0 y1 + x ，将 y y = -1 ， y = - y - 2t 代入， 0 12 2t 2+ 2 12 t 2 + 2 0 C + 5 10 - x y理科数学第 8页（共 10页）-3t得 x = t 2+ 2 - y 2 + x 0 ( y 2 y 2+ 2t ) t 2 + 2+ x 0-3t + 2t ⋅ x - y + x y t(2x - 3)- y + x y = t 2 + 2 t 2 + 2 0 2 0 2 + x = t 2 + 2 0 2 0 2 + x 10y 0y0 ，（分） 2 2若存在点 P (x 0 ,0) 满足直线 PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上，t(2x - 3) - y + x y可令 x 0 = 3，则 x =t 2+ 2220 2+ x 0 y 2= 2 ，与t 无关，3故在 x 轴上存在点 P ，使直线 PB 与直线 m 的交点恒在一条定直线上，此时点 P 的坐标为( 2直线的方程为 x = 2 .（12 分）,0) ，定令 2x 2+ (b + 4)x + (2b -1) = 0 （*），则∆= (b + 4)2- 8(2b -1) = (b - 4)2+ 8 > 0 ，∴方程（*）有两个不相等的实根，且 x 1 = - (b + 4) - (b - 4)2 + 8 4 ， x 2 =- (b + 4) + (b - 4)2+ 8, 4若 x 1 > -1，整理得b< 0 ，又b ≥ 1，∴ b< 0 不成立，故 x 1 ≤ -1；理科数学第 9页（共 10页）3 若 x 2 > -1 ，解不等式> -1，得b < 3，当1 ≤ b < 3 时，函数 g (x ) 在[-1, x 2 ] 上单调递减，在(x 2 ,+∞) 上单调递增，（9 分） ∵ g (-1) = 1 - b ≤ 0 ， g (1) = 1+ b - ln 3 ≥ 2 - ln 3 > 0 ，∴当b = 1时，函数 g (x ) 有 2 个零点，当1 < b < 3 时，函数 g (x ) 有 1 个零点，（10 分）若 x 2 ≤ -1 ，解不等式≤ -1，得b ≥ 3，此时 g'(x ) ≥ 0 ，故函数 g (x ) 在[-1,+∞)上单调递增，∴ g (x ) ≥ g (-1) = 1- b ，∵1- b < 0 ，∴函数 g (x ) 有 1 个零点. 综上，若b ≥ 1，函数 g (x ) 至少有 1 个零点．（12 分）（2）（法一）由（1）知曲线C 是以( 3,1) 为圆心，2 为半径的圆，当曲线C 上至少有 3 个点到直线l 的距离为 1 时，此时圆心到直线l 的距离不大于 1，（5 分）设直线l 的直角坐标方程为 y = kx ，即 kx - y = 0 ，其中 k = tan α，∴圆心( 3,1) 到直线l 的距离为 d≤ 1，解得0 ≤ k ≤ 3 ，即0 ≤ tan α≤ ，（8 分）π∵α∈[0, π) ，∴α∈[0, ] ．（10 分）3理科数学第 10页（共 10页）3 3 3 （法二）由题意及（1）知曲线C 是以( 3,1) 为圆心，2 为半径的圆，直线l 与圆C 相交于原点，当曲线C 上至少有 3 个点到直线l 的距离为 1 时，直线l 与圆C 相交的弦长不小于 2 ，将θ=α代入曲线C 的极坐标方程ρ= 4 sin(θ+π) ，得 4 sin(α+ 3 π) ≥ 2 ， 3即sin(α+π) ≥ ，（8 分）3 2π π 4π又α∈[0, π) ，∴α+ ∈[ , ，3 3 3π π 2π π 故α+ ∈[ , ，即α的取值范围是[0, ] ．（10 分）3 3 3 3∴| 3x + 2a | +ax + | x -1|≤ 0 ，即为3x + 2a + ax - x +1 ≤ 0 ，化简得(2 + a )x + 2a + 1 ≤ 0 ，（8 分）2a ∵ x ∈ (-⎧ ,1) 时， f (x )+ | x -1 |≤ 0 恒成立，3 2a⎪(2 + a )(- ⎪ ) + 2a +1 ≤ 03 3 ∴ ⎨(2 + a ) ⨯1+ 2a +1 ≤ 0 ，解得- < a ≤ -1 ． 2 ⎪ 2a⎪- < 1 ⎩ 33故实数a 的取值范围为(- , -1] .（10 分）2。

2019年高考理科数学天津卷(附参考答案及详解)(可编辑修改word版)

⎨x ≥ -1, 绝密★启用前 6 月 7 日 15:00-17:002019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）总分：150 分考试时间：120 分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

第 I 卷（共 40 分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 A = {-1,1, 2, 3, 5} ， B = {2, 3, 4} ， C = {x ∈ R |1 ≤ x < 3} ，则( A C ) B = （）A. {2}B. {2, 3}⎧x + y - 2 ≤ 0, ⎪x - y + 2 ≥ 0,C. {-1, 2, 3}D. {1, 2, 3, 4}2. 设变量 x ⋅ y 满足约束条件⎪⎪ ⎪⎩ y ≥ -1,则目标函数 z = -4x + y 的最大值为（）A. 2B. 3C. 5D. 63.设 x ∈ R ，则“ x 2 - 5x < 0 ”是“∣x -∣1 < 1 ”的（）A.充分而不必要条件 C.充要条件B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件4. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为（）2324 ⎪ 8 ⎪A. 52B. 8C. 24x 2y 2D. 295. 已知抛物线 y = 4x 的焦点为 F ，准线为l ．若l 与双曲线a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且∣AB ∣= 4∣OF ∣（ O 为原点），则双曲线的离心率为（） A. B. C. 2D.6.已知 a = log 52 ， b = log 0.5 0.2 ， c = 0.50.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（）A. a < c < bB. a < b < cC. b < c < aD. c < a < b7. 已知函数 f ( x ) = A sin (x +)( A > 0,> 0∣∣<, π) 是奇函数，将 y = f ( x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g ( x ) ．若 g ( x ) 的最小正周期为 2π，且 g ⎛ π ⎫ = ⎝ ⎭ A. -2，则 f ⎛ 3π ⎫= （） ⎝ ⎭ B. - ⎧⎪x 2 - 2ax + 2a ,x ≤ 1C. D. 28. 已知 a ∈ R ，设函数 f ( x ) = ⎨ ⎪⎩x - a ln x , x > 1 若关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立，则 a的取值范围为（） A. [0,1]B. [0, 2]C. [0, e ]D. [1, e ]第Ⅱ卷二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分。

2019届天津市部分区高三上学期期末考试数学(理)试卷(解析版)

天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高三数学（理）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集，，，则，则，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算是解答问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )A. B. 1 C. -1 D. -3【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移，即可求得目标函数的最大值.【详解】由题意，作出满足的约束条件，对应的平面区域，如图所示，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，此时直线的截距最大，此时最大，由解得，代入目标函数，得，即目标函数的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中作出约束条件表示的平面区域，利用平移目标函数求解目标函数的最大值是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为( )A. 8B. 4C. -4D. -20【答案】B【解析】【分析】由题意，执行如图所示的程序框图，逐次计算，即可求得输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，第1次循环，不满足条件；第2次循环，不满足条件；第3次循环，不满足条件；第4次循环，满足条件，此时输出，故选B.【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．4.已知，，，则的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，根据对数函数的图形与性质，可得，所以的大小关系为，故选C.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意，因为“”，则，根据必要不充分条件的判定方法，即可得到答案.【详解】由题意，因为“”，则，所以“”，是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了正切函数的性质，以及必要不充分条件的判定问题，其中解答中根据正切函数的性质，正确求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则具有的性质是( )A. 图像关于直线对称且最大值为1B. 图像关于点对称且周期为C. 在区间上单调递增且为偶函数D. 在区间上单调递增且为奇函数【答案】A 【解析】【分析】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，根据三角函数的性质，逐一判定，即可得到答案. 【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，则当时，，所以函数关于直线对称，且最大值为1，所以A 是正确的；当时，，所以不关于点对称，所以B 不正确；当时，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以C 不正确；又由是偶函数，所以D不正确，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的判定，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知双曲线的一条渐近线恰好是圆的切线，且双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】求出圆心的坐标，然后根据双曲线的一个焦点到渐近线的距离和渐近线与圆相切，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】由题意，圆的圆心，半径为，双曲线的一条渐近线方程为，即，因为双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为，即，所以一条渐近线的方程为又由双曲线的一条渐近线与圆相切，则，解得，所以双曲线的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据焦点到其渐近线的距离和渐近线与圆相切，列出方程，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.如图，圆是边长为4的正方形的内切圆，是圆的内接正三角形，若是圆的内接正三角形，若绕着圆心旋转，则的最大值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别过点作直线，直线，以点为坐标原点，直线、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，写出点、的坐标，设点的坐标为，从而可得出点的坐标，然后将转化为关于的三角函数，可以利用三角和差角公式以及三角函数的有界性得出答案．【详解】解：分别过点作直线，直线，以点为坐标原点，直线、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则点、，设点，则点，，，所以，，因此，的最大值为，故选：D．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面数量积坐标运算规律，属于中等题．第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）9.是虚数单位，复数_____．【答案】【解析】试题分析：.考点：复数的四则运算.10.在的展开式中，的系数为_____．（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】由题意，二项式的展开式的通项为，令，即可求解.【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，可得，所以的系数为.【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为_____．【答案】【解析】【分析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了球的表面积和球的组合体问题，其中解答中根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知直线：（为参数）与轴交于点，点是圆上的任一点，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】由直线的参数为直线的普通方程，求得，再由圆的方程，求得圆心坐标为，半径，利用两点间的距离公式，求得，进而得到的最大值.【详解】由直线，可得直线的普通方程，令，则，即直线与x轴的交点坐标，又由圆的圆心坐标为，半径，则，所以的最大值为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及点与圆的位置关系的应用，其中解答中把点与圆的最值问题转化为点与圆心之间的距离求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.13.已知，二次函数的值域为，则的最小值____．【答案】1【解析】【分析】由二次函数的值域为，求得，且，，再利用基本不等式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，二次函数的值域为，所以，且，因为，则，所以，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为1,.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中熟练应用二次函数的性质，合理应用基本不等式求最值，解答中保证“一正、二定、三相等”是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】利用分段函数，求出的零点，然后在求解时的零点，即可得到答案.【详解】由题意，函数，当时，方程，可得，解得，函数由一个零点，当时，函数只有一个零点，即在上只有一个解，因为函数开口向上，对称的方程为，所以函数在为单调递减函数，所以，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数的零点的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的零点问题转化为二次函数问题，借助二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在中，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围。

2019年天津市部分区联考2019届高三一模文科数学试题和理科数学试题及参考答案汇编

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C B C D B二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．17i 55z =−− 10．e11．4π3 12．(x −2)2+(y −1)2=13 13．2+2√2 14．200三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵cos A =63，∴sin A =√1−cos 2A =631=93− ……………2分 ∵B =A +2π，∴sin B =sin (A +2π)=cos A =63 . ………………………4分由正弦定理，得332sin 33sin 63b A a B ⨯=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵B =A +2π，∴cos B =−sinA =33−. ……………………………………8分 ∴sin C =sin (A +B )=sinAcos B +cosAsinB 33661()33333=⨯−+⨯= ………………………11分 ∴cos2C =1−2sin 2C =27199−=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分（Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵∠PAD =90°，∴PA ⊥AD . …………1分又∵PA ⊥CD,CD ∩AD =D ， …………………2分∴PA ⊥平面ABCD . …………………………………3分又∵AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：取PA 中点N ，连接MN,BN .∵M,N 分别是PA,PD 的中点，∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分又∵CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分（Ⅲ）解：∵CD ⊥PA,CD ⊥AD,PA ∩AD =A ，∴ CD ⊥平面PAD . ……………………………………………………………9分 ∴∠CMD 为直线CM 与平面PAD 所成的角. …………………………………10分在Rt PAD ∆ 中，22PA =Q ,2AD = ,23PD ∴= ,3MD ∴=……11分所以在Rt CMD ∆中，3tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为d ，134=112,a a a +=，∴2a 1+10=12，∴d =1，∴a n =2n −1. …………………………………4分设等比数列{b n }的公比为q ，1225,b a b a ==，∴b 1=a 2=3，b 2=9，∴q =3，所以b n =3n . ……………………………6分（Ⅱ）由题意，得c n =(−1)n ∙a n ∙b n =(−1)n ∙(2n −1)∙3n=(2n −1)∙(−3)n . ……………………………………………………………8分 ∴T n =1∙(−3)+3∙(−3)2+5∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −1)∙(−3)n ，∴−3T n =1∙(−3)2+3∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −3)∙(−3)n +(2n −1)∙(−3)n+1. 上述两式相减，得4T n =−3+2∙(−3)2+2∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+2∙(−3)n −(2n −1)∙(−3)n+12112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n −+⋅−−−−+−−⋅−+ 1341=(3)22n n +−−⋅−. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +−=−⋅−. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y += …………………………………………………5分（Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A −，设直线l 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k −. 由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++−=. 设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=−+−=. 2122821k x x k +=−+，21228421k x x k −⋅=+ …………………………………………7分∴2012214()221k x x x k =+=−+,2002242(2)(2)2121k k y k x k k k =+=−+=++， ∴0012OP y k x k ==−，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =−= . 所以，直线EM 方程为22y kx k =+ .直线AH 的方程为y =−k(x +2). ∴点42(,)33M k −− …………………………………………………………9分 ∴点M 到直线l:kx −y +2k =0的距离为22424|2|||33311k k k k d k k −++==++ . ∴2222121212241||=1||1()421k AB k x x k x x x x k ++−=++−=+. 22121||=||221k AP AB k +=+. ∴222244||||112133||=2221211APM k k k S AP d k k k ∆+=⋅⨯⋅=+++ ……………………12分 ∵23APM S ∆=，∴24||23213k k =+，解得22k =±. ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得f ′(x )=3x 2+2ax −b 2， …………………………1分由函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与y −3=0平行，得(1)0f '= …………2分即3+2a −b 2=0. ……………………………………………………3分（Ⅱ）当 b =0时, f ′(x )=3x 2+2ax ，由f ′(x )=0知∆=4a 2≥0. ………………………………………………………4分 ①当a =0时，∆=0，f ′(x )≥0在R 恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增. ……………………………………………6分 ②当a >0时，由f ′(x )>0，解得x >0或23x a <−；由f′(x)<0，解得23a −<x <0. 函数f (x )在(−∞,23a −)和(0,+∞)上单调递增；在(23a −，0)上单调递减. 当a <0时，由f ′(x )>0，解得x >23a −或x <0；由f′(x)<0，解得0<x <23a −. 函数f (x )在(−∞,0)和(23a −,+∞)上单调递增；在(0，23a −)上单调递减. 8分（Ⅲ）当a=0,b=1时, f(x)=x3−x，由f(x)<x(e x+k)，得x3−x<x(e x+k)对任意的x∈(0,+∞)恒成立.∵x>0,∴ x2−1<e x+k，∴ k>x2−1−e x在 x∈(0,+∞)恒成立. ……………………………………9分设 g(x)=x2−1−e x,(x>0).则g′(x)=2x−e x,令h(x)=2x−e x,则h′(x)=2−e x,由h′(x)=0，解得x=ln2. …………10分由h′(x)>0，解得0<x<ln2；由h′(x)<0，解得x>ln2.∴导函数g′(x)在区间(0,ln2)单增；在区间(ln2,+∞)单减，………………12分∴g′(x)≤g′(ln2)=2ln2−2<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，∴g(x)<g(0)=−2，∴k≥−2. ……………………………………………13分故所求实数k的取值范围[−2,+∞). ………………………………………14分天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（理）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C D A C D二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．2− 10．20 11．π2 12．1515±13．(,1][2,)−∞−+∞U 14．322 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）在△ABC 中，根据余弦定理，A bc c b a cos 2222−+=， …………1分于是014322=−+b b ， ……………………………………………………………3分解得272−==b b 或（舍去），故2=b . …………………………………………5分（Ⅱ）在△ABC 中，41cos −=A ，于是 415cos 1sin 2=−=A A . ……………6分根据正弦定理，得B b A a sin sin =，所以815sin =B . …………………………8分又A 为钝角，所以B 为锐角，即87sin 1cos 2=−=B B . ……………9分从而32157cos sin 22sin ==B B B ，3217sin cos 2cos 22=−=B B B ， ……11分所以64175216sin 2cos 6cos 2sin )62sin(+=+=+πππB B B . ……………13分 16．解：（Ⅰ）设“甲、乙、丙三名同学都选D 高校”为事件M ，则1113332224441()8C C C P M C C C ==. ………………………………………………………3分（Ⅱ）（ⅰ）由已知得：甲同学选中D 高校的概率为：1=3P 甲，…………………4分乙、丙同学选中D 高校的概率为：1==2P P 乙丙，……………………………5分所以甲同学选中D 高校且乙、丙都未选中D 高校的概率:1111=1-1-==32212P P P P ⨯⨯⨯⨯甲乙丙（）（）. …………………………………………7分（ⅱ）易知，X 所有可能的取值为0,1,2,3, ………………………………………………8分所以，有2111(0)(1)326P X ==−−=（1）； 2211115(1)(1)1()2323212P X ==⨯−+−⨯⨯=（）； 1111111111(2)1(1)+(1)3223223223P X ==⨯⨯−+⨯−⨯−⨯⨯=（）； 1111(3)32212P X ==⨯⨯=； …………………………………………………11分所以，X 的分布列为X 0 1 2 316 512 13 112……………………………………12分因此15114()01236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………13分 17．（Ⅰ）证明：因为平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ I 平面ABCD AD =，PD ⊂平面ADPQ ，AD PD ⊥，所以直线PD ⊥平面ABCD . ………………1分由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP u u u r u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()0,0,0,(2,2,0),(0,2,0),D B C(2,0,0),(20,1),(0,0,2)A Q P ，. ………………………………………………2分依题意，易证：()2,0,0AD =−u u u r 是平面PDC 的一个法向量，又()0,2,1QB =−u u u r ，所以0QB AD ⋅=u u u r u u u r ，又因为直线QB ⊄平面PDC ，所以//QB PDC 平面. ………………………4分（Ⅱ）解：因为()(2,2,2),0,2,2PB PC =−=−u u u r u u u r .设()1111,,n x y z =u r 为平面PBC 的法向量，P则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即111112220220x y z y z +−=⎧⎨−=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =u r . ………………………………………………6分设()2222,,n x y z =u u r 为平面PBQ 的法向量，又因为()(2,2,2),2,0,1PB PQ =−=−u u u r u u u r ，则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，即22222202220x z x y z −=⎧⎨+−=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =u u r ， ………………………………………………8分所以23,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ，又二面角Q PB C −−为钝二面角，故二面角Q PB C −−的大小为65π. ……………………………………………9分（Ⅲ）解：设),0,0(h H （20≤≤h ），则(2,0,),AH h =−u u u r 又(2,2,2)PB =−u u u r ，又1537,cos =><AH PB ，即1537432242=+⋅−−hh ， …………………11分所以0242562=+−h h ，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为23. ……………………………………………………13分 18．解：（Ⅰ）由已知得：21=−+n n a a ，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列. ………………………………………………2分 ∵1243=+a a ，∴121021=+a ，∴11=a ，……………………………………3分 ∴12−=n a n . …………………………………………………………………………4分设等比数列{}n b 的公比为q ，∵3221,3S b a b ===,∴2339b q S ===，∴3=q ，………………………………5分所以n n b 3=. …………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题意，得n n n n n n n n n b a c )3()12(3)12()1()1(−⋅−=⋅−−=⋅−=， …………8分∴231(3)3(3)5(3)(21)(3)n n T n =⋅−+⋅−+⋅−++−⋅−L ，∴23131(3)3(3)(23)(3)(21)(3)n n n T n n +−=⋅−+⋅−++−⋅−+−⋅−L …9分上述两式相减，得132)3()12(])3()3()3[(234+−⋅−−−++−+−+−=n n n n T Λ ………………10分112)3()12(31])3(1[)3(23+−−⋅−−+−−−⋅+−=n n n ……………………11分 1)3(21423+−⋅−−=n n ……………………………………………………12分 ∴1)3(81483+−⋅−−=n n n T . ……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由6(2,)3P −在椭圆上，所以224213a b+=. ① ……………………1分由已知6=3e 得63c a =,所以2223c a = ………………………………………2分又222c a b =− 所以223a b =. ② …………………………………………………4分②代入①解得226,2a b ==. 故椭圆C 的方程为22162x y +=. ……………………………………………………5分（Ⅱ）假设存在常数λ,使得向量123(,),(,1)m k k n k λ=+=u r r 共线，所以123()10k k k λ+⨯−⨯= 即 123k k k λ+=. ……………………………7分由题意可设AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为(2)y k x =+， ③代入椭圆方程22360x y +−=并整理,得2222(31)121260k x k x k +++−=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有 2212122212126,3131k k x x x x k k −+=−=++. ④ ………………………………………9分在方程③中令3x =−得,M 的坐标为(3,)k −−.从而12123126666333,,2213y y k k k k k x x −−−−====+++−. ………………10分所以12121212116666(2)(2)33332222y y k x k x k k x x x x −−+−+−+=+=+++++12121246232()4x x k x x x x ++=−⨯+++⑤ ……………………………………11分 ④代入⑤得22122222124626631222()1262433343131k k k k k k k k k k k −+++=−⨯=+=+−−+++, 又3603k k =+≠,所以1232k k k +=. ………………………………………13分故存在常数2λ=符合题意. …………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）因为()2ln (0)f x ax x x =−−>，所以11()ax f x a x x−'=−=. ……………………………………………………1分当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞恒成立，∴()f x 在(0,)+∞是单减函数. …………………………………………………2分当0a >时，令()0f x '=，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，(),f x '()f x 随x 的变化情况如下表：x 1(0,)a1a 1(,)a +∞ ()f x ' -0 + ()f x单调递减单调递增由上表中可知，()f x 在1(0,)a 是单减函数，在1(,)a +∞是单增函数. …………3分综上，当0a ≤时， ()f x 的单减区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单减区间为1(0,)a ，单增区间为1(,)a +∞. …4分（Ⅱ）当1a =时，由(Ⅰ)可知，()f x 在(0,1)是单减函数，在(1,)+∞是单增函数；又222211()0,(1)10,()40f f f e e e e=>=−<=−>. ………………………7分所以221()(1)0,(1)()0f f f f e e ⋅<⋅<；故()f x 在(0,)+∞有两个零点. …………………………………………………8分（Ⅲ）当1,a k =为整数，且当1x >时，(41ln )()10k x x f x −−+−<恒成立⇔(41ln )2ln 10k x x x x −−+−−−<⇔13ln (ln ).4x k x x x <++ 令3ln ()ln (1)x F x x x x x =++>，只需min 1()()4k F x k Z <∈； ……………9分又2222131ln 2ln ()()0x x x f x F x x x x x x−−−'=−+===，由(Ⅱ)知，()0F x '=在(1,)+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在0(1,)x 上单减，在0(,)x +∞上单增；所以0min 0000ln 3()()ln x F x F x x x x ==++ ()* ……………………………10分又1ln 32ln 42(1ln 2)(3)0,(4)091616F F −−−''=<==>，所以(3)(4)0F F ''⋅<，所以0(3,4)x ∈且002ln 0x x −−=，即00ln 2x x =−代入(*)式，得 0min 0000000231()()21,(3,4)x F x F x x x x x x x −==−++=+−∈. …………12分而0011t x x =+−在(3,4)为增函数，所以713(,)34t ∈，即min 1713()(,)41216F x ∈. 而713(,)(0,1)1216⊂，所以min 1()(0,1)4F x ⊂，故所求k 的最大值为0. …………………………………………………………14分。

2019高考天津卷数学(理)试卷及答案(解析版)

.2.设变量 x,y 满足约束条件，则目标函数 z4x y 的最大值为2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共 8 小题。

参考公式：·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P (AB ) P (A ) P (B ).·如果事件 A 、 B 相互独立，那么 P (AB ) P (A )P (B ).·圆柱的体积公式 VSh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.设集合 A1,1,2,3,5， B2,3,4， C {x R |1 x 3} ，则 (A C) BA. {2}【答案】D【解析】【分析】先求 A B ，再求 (A B. {2，3} C. {-1，2，3}C) B 。

D. {1，2，3，4}【详解】因为 A C {1,2}，所以 (A C) B {1,2,3,4}故选 D 。

【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．x y 2 0,x y 2 0,x… 1, y… 1,A. 2B. 3C. 5D. 6由⎨⎧x-y+2=0,x=-1【答案】D【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。

【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。

目标函数的几何意义是直线y=4x+z在y轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值。

⎩，得A(-1,1)，所以z max=-4⨯(-1)+1=5。

故选C。

【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．3.设x∈R，则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知0<x<5推不出x-1<1；由x-1<1能推出0<x<5，故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件，故选B。

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