第四章 向量组的线性相关性

定理 1
能由向量组 向量 b 能由向量组 A : α 1,α 2 ,L ,α m 线 性 表 示 的
充分必要条件是： 充分必要条件是： 矩 阵 A = (α 1,α 2 ,L ,α m ) 的 秩 等 于 矩 阵 B = (α 1,α 2 ,L ,α m , b) 的秩。 的秩。
即 x1α1 + x2α 2 + L xnα n = b 有解.
定义 2 给定向量组 A: α1,α2,L,αm ， 对于任何一组实数 对于任何一组实数 k1, k2 ,L, km ， 向量 k1α1 + k 2α 2 + L + k mα m 的一个线性组合 线性组合， 称为向量组 A 的一个线性组合， k1, k2 ,L, km 称为这个线性组合的 系数。 系数。
a12 L a1n a22 L a2n M M am2 L amn
A = (α1 ,α 2 ,L,α n )
β β A= M T β m
T 1 T 2

向量组和线性方程组的关系
a11 x1 + a12 x 2 + L a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + L a 2n x n = b2 LLLLLLLLL a x + a x +La x = b m2 2 mn n m m1 1
定理3 若向量组B能由向量组A 定理3 若向量组B能由向量组A 线性表示， 线性表示，则 R ( B ) ≤ R ( A). 证明: 若向量组B能由向量组A线性表示，由定理2 证明: 若向量组B能由向量组A线性表示，由定理2知 R ( A ) = R ( A , B ) ; 而 R ( B ) ≤ R ( A, B ) ,
T
n维向量空间 Rn中的 n − 1 维超平面。 维超平面。 叫做
向量和矩阵的关系
从矩阵的观点看, 从矩阵的观点看 一个向量a = (a1 , a2 ,K , an ) 就是一个矩阵, 但根据计算的需要可以是行矩阵, 就是一个矩阵 但根据计算的需要可以是行矩阵 也可以是列矩阵, 也可以是列矩阵 而向量的加法与数乘实际上也 就是对相应的行或者列矩阵的加法和数乘。 就是对相应的行或者列矩阵的加法和数乘。
a1n b1 a11 a12 a b a a x1 21 + x2 22 + L + xn 2n = 2 M M M M a a a m1 m2 mn bm
x1α1 + x2α 2 + L xnα n = b
n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 维向量写成一行，称为行向量 行向量， T T T T 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 a , b ,α , β 等表示，如：
a T = ( a1 , a 2 , L , a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 维向量写成一列，称为列向量 列向量， 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 a,b,α , β 等表示，如：
a1 T a2 α = (a1, a2 ,K, an )或 α = M a n
若干个同维数 列向量（ 同维数的 向量组 若干个同维数的列向量（或 同维数的行向量 行向量） 同维数的行向量）所组成的集合称为向 量组。 量组。
a11 a A = 21 M a m1
∴ R ( B ) ≤ R ( A) .
n阶单位阵的列向量称为n维单位坐标向量.记为 阶单位阵的列向量称为n维单位坐标向量.
1 0 0 0 1 0 . e1 = , e2 = , L , en = M M M 0 0 1
推论 向量组 A : α1 ,α 2 ,L,α m与向量组 B : b1 , b2 ,L , bl 等价的充分必要 条件是 R( A) = R( B ) = R( A, B ) 例1 设
1 1 1 1 1 ,α = 2 ,α = −1 ,b = 0 ,b α1 = 2 3 2 1 4 3 2 3 0 2
第四章 向量组的线性相关性
§1 向量组及其线性组合 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 §4 线性方程组的解的结构 §5 向量空间
§1 向量组及其线性组合
n维向量
定义1 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 ,L , an 所组成的数
维向量， 个分量， 组称为 n维向量，这 n个数称为该向量的 n个分量， 第i个数a i 称为第 i个分量 .
证明 向量 b 能由向量组α1 ,α 2 ,α 3 线性表示， 线性表示， 并求出表示式。 并求出表示式。
1 1 B= 2 2
1 1 2 −1 1 4 3 0
1 1 0 0 ~ 3 0 1 0
0 3 2 1 −2 −1 0 0 0 0 0 0
作业 P107: 1,2. 107:
§2 向量组的线性相关性
问题： 和向量0 问题：对于向量组 A : α 1 , α 2 , L , α m 和向量0，自然有
0α 1 + 0α 2 + L + 0α m = 0 .
除此之外，向量0是否还可以表示为向量组A 除此之外，向量0是否还可以表示为向量组A的系数不全为零 的线性组合？ 的线性组合？ ——实质上是考察齐次线性方程组 ——实质上是考察齐次线性方程组 是否有非零解. Ax = 0 是否有非零解.
1 3 − 1 1 例2 设α1 = ,α 2 = , 1 1 − 1 3 2 1 3 0 1 − 1 b1 = , b2 = , b3 = 1 0 2 1 2 0
a1 a2 a= M a n
注意: 注意
1.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 行向量和列向量都按照 进行运算； 进行运算；
2.行向量和列向量总被看作是两个不同的 行向量和列向量总被看作是两个不同的
向量； 向量； 3.当没有明确说明是行向量还是列向量时， 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 当没有明确说明是行向量还是列向量时 都当作列向量 列向量。 都当作列向量。
向 量 组 B = (b1 , b2 ,L , bm ) 能 由 向 量组 A = (a1 , a 2 ,L , a m ) 线性表示
b j = k1 j a1 + k2 j a2 + L + kmj am k1 j k2 j = (a1 , a2 ,L, am ) M k mj
n 维向量没有直观的几何形象。 n > 3时， 维向量没有直观的几何形象。
R = x = ( x1 , x 2 ,L, x n ) x1 , x 2 ,L, x n∈ R
n
{
T
}
叫做 n 维向量空间。 维向量空间。
π = {x = ( x1 , x 2 ,L, x n ) a1 x1 + a 2 x 2 +L+ a n x n = b}
向量组 向量组 B : b1, b2 ,L , bs 能 由 向 量 组 A : α1,α 2,L,α m 线性表示的充 分 必 要 条 件 是 ： 矩 阵 阵 ( A, B ) = (α 1 ,L , α m , b1 ,L bs ) 的 秩，即 R(A)=R(A,B)
定理 2
A = (α1,α 2,L,α m ) 的秩等于矩
An×m X = E n 有解 ⇔ R ( A) = n .
(2)该结论用矩阵的语言可叙述为 (2)该结论用矩阵的语言可叙述为 该结论 对矩阵 An×m ,存在矩阵 Qm×n ,使 An×m Qm×n = E n ⇔ R ( A) = n. 对矩阵 An×m ,存在矩阵 Pm×n ,使 Pm×n An×m = E m ⇔ R ( A) = m. 特别, 特别,当 m = n 且 R ( A) = n 逆阵的推广. 逆阵的推广. 时,上述P,Q就是A的逆阵.故上述结论可看作是 上述P,Q就是A的逆阵. P,Q就是
从而 (b1 , b2 ,L, bs ) =
k11 k12 L k1s k21 k22 L k2 s (a1 , a2 ,L, am ) M M M k km 2 L kms m1
矩阵Km×s=(kij)称为这一线性表示的 矩阵 称为这一线性表示的 系数矩阵。 系数矩阵。
给 定 向量 组 A : α1,α 2 ,L,α m 和 向 量 b ,如果存在一组数 λ1, λ2,L, λm ,使得 b = λ1α1 + λ2α 2 + L + λmα m ， 线性表示。 则称向量 b 能由向量组 A 线性表示。
如 α1=(1,2,−1)Τ, α2=(2,−3,1)Τ, α3=(4,1,−1)Τ, α3=2α1+α2 的线性组合. 我们称α3是α1和α2的线性组合.
实向量， 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
例如
(1,2,3,L, n)
n维实向量 维实向量 n维复向量 维复向量
(1 + 2i ,2 + 3i ,L, n + ( n + 1)i )
第2个分量 个分量 第n个分量 个分量 第1个分量 个分量
3维单位坐标向量即
i , j, k .
注:任意n维列向量可由单位坐标向量线性表示,系数即该向量的各分量. 任意n维列ห้องสมุดไป่ตู้量可由单位坐标向量线性表示,系数即该向量的各分量.