2.4.2二分法应用---一元二次方程根的分布
方程根的定义
方程根的定义方程根是指能够满足给定方程的解的数值或数值集合。
在数学中，方程是描述数值关系的等式，方程的根是能够使方程成立的数值。
方程根的概念广泛应用于各个数学分支以及实际问题中，如代数方程、微分方程、概率方程等。
一元一次方程是最简单的方程形式，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。
一元一次方程的解即为方程的根，通过对方程进行变形和求解，可以得到方程的根。
例如，对于方程2x + 3 = 0，通过移项和化简可以得到x = -3/2，-3/2即为方程的根。
一元二次方程是一种更复杂的方程形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。
一元二次方程的解也是方程的根，通过应用求根公式或配方法等求解技巧，可以得到方程的根。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，通过因式分解或求根公式可以得到x = 2，3，2和3即为方程的根。
方程根的存在性和唯一性是方程理论中的重要问题。
对于一元一次方程来说，存在且唯一的根，即使方程无解也可以看作是存在一个复数根。
而对于一元二次方程来说，根的情况则有所不同。
如果方程的判别式b^2 - 4ac大于0，方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于0，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于0，方程有两个共轭复数根。
在实际问题中，方程根的求解常常涉及到数学建模和计算机算法等领域。
例如，在物理学中，通过建立方程模型可以描述物体运动的规律，求解方程的根可以得到物体的位置、速度等信息。
在工程学中，通过建立方程模型可以分析电路、结构等问题，求解方程的根可以得到电流、应力等参数。
在计算机科学中，通过建立方程模型可以解决搜索、优化等问题，求解方程的根可以得到最优解或满足特定条件的解。
方程根的求解方法不仅限于代数方法，还可以通过数值计算的方法进行近似求解。
数值方法通过迭代计算，逐步逼近方程的根。
例如，牛顿迭代法、二分法等都是常用的数值求根方法。
二分法求方程的根
二分法求方程的根二分法是求解函数零点的一种简单而又有效的方法。
它适用于xx、xx、xx等情况下，能够快速找出函数的根，对于计算机程序中的解析和数学问题研究都有很大帮助。
接下来，我们就来介绍一下利用二分法求方程的根。
求解方程的根，首先需要通过一些数学手段，将问题转化为一个函数问题。
假设我们需要求解函数$f(x)=0$的根，其中$x$为实数，我们可以将其转化为$f(x)>0$和$f(x)<0$两种情况的判断。
这样的话，就可以寻找一个区间$[a,b]$，在这个区间内，$f(x)>0$的$x$和$f(x)<0$的$x$广泛地分布在$a$和$b$这两个点的两侧，此时我们就可以运用二分法，在这个区间$[a,b]$内寻找函数$f(x)=0$的根。
在使用二分法之前，要定义好区间$[a,b]$，并进行初始化。
通常情况下，我们可以采用等距离的方式将区间分成$n$份，其中$n$为我们估计的一个比较小的值，但要保证区间内$f(x)>0$和$f(x)<0$的值分别在区间的两侧。
然后在处理过程中，每进行一次迭代，区间长度就会缩短一半，这样可以不断逼近根。
接下来就可以按照下述步骤进行计算：1. 首先，选定区间$[a,b]$，将区间分为$n$份（$n$为自己估计的一个小数），如果$f(a)>0$且$f(b)<0$，则继续下一步骤，否则退出。
2. 对于区间$[a,b]$，将其一分为二，这里我们选定中间点为$c=\dfrac{a+b}{2}$，并对区间左半部分$[a,c]$和右半部分$[c,b]$进行讨论。
3. 判断$f(c)>0$还是$f(c)<0$，如果是$f(c)>0$，则根位于左半部分$[a,c]$；如果是$f(c)<0$，则根位于右半部分$[c,b]$。
4. 再次对左半部分$[a,c]$和右半部分$[c,b]$进行二分，不断缩短区间长度，逼近根。
5. 重复执行步骤3和4，直到区间长度小于一定的精度，或者达到迭代的最大次数。
一元二次方程根的分布情况归纳完整版
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
一元二次方程根的分布
(3) 若f(a).f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b)) 4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b)；否则得复2～4
热身训练： （1）判断方程x=3-lgx是否有根？ （2）求方程x=3-lgx根的个数？ （3）求方程x=3-lgx根的所在区间是
一、复习
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点存在判定法则
如果函数y=f(x)在区间[a,b f(b)<0，那么，函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
（7）两个根都在(0,2)内 （8）一个根在(-2,0)内，另一个根在(0,4)内
练习: 1、若一元二次方程（m-1)x2+2(m+1)xm=0有两个正根，求m的取值范围。 2、已知关于x的方程x2+2mx+2m+1=0 （1）若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内， 另一根区间在(1,2)内，求m的取值范围 （2）若方程均在区间(0,1)内，求m的取值范围
A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)
（4）求方程x=3-lgx根的近似解（精确度为0.6）
（5）若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是2和-4， 求a,b的值。
已知方程x2+(m-3)x+m=0,分别满足下列条件 时，求m的取值范围。 （1）两个正根 （2）两个负根 （3）有一正根，有一负根 （4）两根都小于1 （5）两根都大于½ （6）一根大于1，一根小于1
青岛版九年级上册数学《用二分法估计一元二次方程的根》
例 完成下列表格，并回答问题： （ 1）
x 2x2-1 0 －1 1 2 7
1
1 之间． 0 与_____ 由表可知方程2x2-1=0的解在_____
15
（2） x 2x2-1 0.5 －0.5 0.6 0.7 0.8 0.28 0.9
－ 0.28 － 0.02
0.62
0.7 0.8 之间． 由表可知方程2x2-1=0的解在_________ 与_________
44
大于36
这说明，在3和3.5之间有方程x2+7x=36的根．
7
取3和3.5的中间值3.3，重复以上过程，填写下表：
x
x2+7x
3
30
3.3
33.99
3.5
36.75
与36比较
小于36
小于36
大于36
这说明，在3.3和3.5之间有方程x2+7x=36的根．
8
同样地，再取3.3和3.5的中间值3.4，填写下表：
x 3.3 3.4 3.5
x2+7x
与36比较
33.99
小于36
35.36
小于36
36.75
大于36
这说明，在3.4和3.5之间有方程x2+7x=36的根．并 由此可知这个根பைடு நூலகம்十分位上的数字是4，即x=3.4…．
9
于是，便求出了方程x2+7x=36的根的精确到0.1的
近似值为x≈3.4或x≈3.5．
如当x=-12时，x2+7x=60＞36．所以在-12和0的之间还有原方程
的根，这个根是负根．
小莹的分析正确吗？你能求出原方程在-12和0之间的负根
一元二次方程根的分布及应用
一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布讨论记)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程02=++c bx ax 的根为1x 、2x )(21x x ≤ac b 42-=∆，abx x 221-=+，a c x x =21，设m n <一、例题分析例1、若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
)1,0(0101)1(20)1(4)1(42∈⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-+≥-++m mmm m m m m例2、k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？()()）（）（所以时时当3,00,3-0300030000⋃∈<<-⇔><<⇔<<>k k f k k f k 例3、若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。
3512-03k 030)3(49000022121<≤⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≥--⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆>k k k k k k x x x x k 或时当例4、求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x 有两实数根且分别满足（1）一个根比2大，一个根比2小；210)2(-<⇔<m f（2）两根都比1大；⎥⎦⎤⎝⎛--∈⇔⎪⎩⎪⎨⎧>->≥+--=∆⇔1,45110)1(0)62(4)1(42m m f m m（3）两根1x 、2x 满足41021<<<<x x ；)45,57(0)4(0)1(0)0(--∈⇔⎪⎩⎪⎨⎧><>m f f f（4）两根1x 、2x 都在（0，4）内。
[)+∞⋃⎥⎦⎤⎝⎛--∈⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<≥+--=∆,51,570)4(0)0(4100)62(4)1(42m f f m m m。
《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案
《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案【学习要求】1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理；2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．【学法指导】通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点.填一填：知识要点、记下疑难点如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为零点.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？探究点一变号零点与不变号零点问题函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．探究点二二分法的概念问题1由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？例1利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)．问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？跟踪训练1借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)．探究点三二分法的应用例2求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．小结：判定一个函数能否用二分法求其零点的近似值的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练2求32的近似值(精确到0.1)．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.已知函数f(x)的图象是不间断的，x、f(x)的对应法则见下表，则函数f(x)存在零点的区间有()，[4,5]，[5,6]2.设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的，且f(a)·f(b)<0，取x0＝a＋b2，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为__________．3.已知函数f(x)＝mx＋2m－7 (m≠0)在区间[－2,5]上有零点，求实数m的取值范围．课堂小结：1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.。
高中数学 例说“二分法”思想的应用学法指导
例说“二分法”思想的应用“二分法”是高中数学必修内容之一，是现代信息技术与函数、方程知识的有机整合，是求方程近似解的常用方法。
利用“二分法”可以帮助我们轻松、快捷解决一些相关的问题。
一、利用“二分法”思想巧证不等式例1. 已知三个正数a 、b 、c ，满足b a c 2+>，求证ab c c a ab c c 22-+<<--。
解析：从所要证的目标的结构上看，可把ab c c 2--、ab c c 2-+看作一元二次方程0ab cx 2x 2=+-的两个根，同时构造一个区间)ab c c ,ab c c (22-+--。
设ab cx 2x )x (f 2+-=利用“二分法”思想，要证目标，只需证a 在区间)ab c c ,ab c c (22-+--内即可。
如图1所示，由于二次函数的图象开口方向向上，只需证0)a (f <因0)b c 2a (a ab ca 2a )a (f 2<+-=+-=所以a 在区间内，即ab c c a ab c c 22-+<<--图1二、利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布例2. 已知函数c bx 2ax 3)x (f 2++=，0c b a =++，0)1(f ,0)0(f >>，求证：（1）0a >且1ba 2-<<-； （2）方程0)x (f =在（0，1）内有两个实根证明：（1）利用0)1(f ,0)0(f >>及0c b a =++，容易证明（略）。
（2）一般地，要证方程0)x (f =在（0，1）内有两个实根，只需证明：①△0≥②对称轴落在区间（0，1）内③区间（0，1）端点f(0)，f(1)的符号。
而采用“二分法”，其解法简洁明快，只需证明：①区间（0，1）两个端点f(0)，f(1)的符号都为正（题目已知条件已给定）②在区间（0，1）内寻找一个二分点，使这个二分点所对应的函数值小于0，它保证抛物线与x 轴有两个不同的交点（因a>0抛物线开口方向向上）。
一元二次方程根的分布
一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。
2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。
3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。
一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。
判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。
在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。
它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。
求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。
因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。
二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。
牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。
在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。
一元二次方程 根的两边
一元二次方程根的两边一元二次方程是数学中的重要内容，它的解即为方程的根。
在解一元二次方程时，我们需要找到方程的根，并将其分别写在方程的两边。
本文将围绕这一主题展开，详细介绍一元二次方程及其根的含义和求解方法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
方程的根即为使方程成立的数值解，也可以理解为方程与x轴的交点。
我们可以通过求解一元二次方程来确定它的根，并将根的值分别写在方程两边。
我们来看一元二次方程根的定义。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果存在实数r1和r2，使得当x等于r1或r2时，方程成立，那么r1和r2就是方程的根，即方程的解。
我们可以将r1和r2分别写在方程的两边，得到以下形式：(x - r1)(x - r2) = 0这种表示方式将根的概念转化为方程的因式分解形式，有助于我们进一步研究方程的性质和求解方法。
接下来，我们将详细介绍一元二次方程的求解方法。
求解一元二次方程的常用方法有配方法、因式分解法和求根公式法。
这些方法都可以帮助我们找到方程的根，并将根的值分别写在方程两边。
首先是配方法。
通过合理的变换，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其变形为(x + 3)^2 = 0，然后解得x = -3。
将根-3分别写在方程的两边，得到以下形式：(x + 3)(x + 3) = 0其次是因式分解法。
通过因式分解，将一元二次方程表示为两个一次因式的乘积，然后求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x - 5 = 0，我们可以将其分解为(x - 5)(x + 1) = 0，然后解得x = 5和x = -1。
将根5和-1分别写在方程的两边，得到以下形式：(x - 5)(x + 1) = 0最后是求根公式法。
根据一元二次方程的求根公式，我们可以直接计算出方程的根。
2.4二分法应用---一元二次方程根的分布
方法 2：（利用图像）
2m 1 f 0 0
得 2m 1 m 1 0
1 m 1 2
练习：y=x2+(a2-1)x+(a-2)关键：开口方向和 两个零点在1两侧， 求a的范围 界点0处的函数值
m 例2、已知方程 x m 2 x 0 4
解：设f(x)＝7x2－(p＋13)x＋p2－p－2 根据题意得： f(0)＞0 f⑴＜0 f⑵＞0 1 2 p2－p－2＞0 p2－2p－8＜0 p2－3p＞0
解得：p∈(－2，－1)∪(3，4) 小结
例6、已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的 交点至少有一个在原点的右侧，求m的范围。
例1、已知二次方程 2m 1 x 2mx m 1 0
2
有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
方法1：（利用韦达定理）
m 1 x1 x2 0 x x2 1 x1 x2 2m 1 4m2 4(2m 1)(m 1) 0
1 m 1 2
m 2 2 m 0 m 2 m0
m 4或m 1 m 2 m0
2
例3.方程x2＋mx＋2＝0两不等根x1，x2∈(1，2) 求 m的范围
f 1 0 f 2 0 0 m 1 2 2
m 3 m 3 m 2 2或m 2 2 4 m 2
(x1,0)
没有交点
引例：
已知：函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是1和2， （1）求函数f(x)的解析式。 f(x)=x2-3x+2
（2）判断 f(0), f(1.5), f(3)的符号
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教学设计4：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法数零点求解三法我们知道，如果函数y ＝f (x )在x ＝a 处的函数值等于零，即f (a )＝0，则称a 为函数的零点．本文现介绍函数零点求解三法．一、代数法例1 求函数f (x )＝x 2＋2x －3的零点．解 令x 2＋2x －3＝0，Δ＝22－4×(－3)＝16>0， 方程有两个不相等实数根． 方法一 因式分解法或试根法x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)或由f (x )＝x 2＋2x －3， 试一试f (1)＝12＋2×1－3＝0， f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)－3＝0. 所以f (x )的零点为x 1＝1，x 2＝－3. 方法二 配方法x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4＝0，所以x ＋1＝±2.所以零点x 1＝1，x 2＝－3. 方法三 公式法x 1,2＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－2±42.所以零点x 1＝1，x 2＝－3.点评 本题用了由求函数f (x )的零点转化为求方程f (x )＝0的实数根的办法．运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法．二、图象法求函数y ＝g (x )－h (x )的零点，实际上是求曲线y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点的横坐标，即求方程g (x )－h (x )＝0的实数解．三、用二分法求函数近似零点例2 用二分法求函数f (x )＝x 3－3的一个正零点(精确到0.01)． 解 由于f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，因此区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：因为1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5<0.01，所以x 8＝1.437 5＋1.445 312 52≈1.44为函数的一个近似解．点评 首先确定正零点所在的大致区间，区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，应注意运算的准确性，也应注意对精确度的要求．分法在经济和科学技术中的应用 应用问题1：市场的供需平衡问题．详释：市场经济价格自行调整，若供过于求，价格会跌落，若供不应求，价格会上涨，找一个价格平衡点，应怎样找？不妨试着求一下．例 3 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给表表2 )应在区间()A．(2.3,2.4)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内解析由图表分析比较知，市场供需平衡点应在中间某个值，又供给量与需求量均为70×1 000 kg时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡．答案C点评充分阅读题目，理解题意，把两表中的信息与题目要求结合起来，可找到答案．分法在日常生活中的应用应用问题2：运用二分法查线路故障．详释：在日常生活中，经常遇到电线或电话线、网线等出现故障．我们不妨用二分法排查一下．例 4 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？解如图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．点评有步骤地缩小解所在的区间，是二分法的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想．函数的零点错例剖析一、忽略了概念例5 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上连续，且f(a)·f(b)>0，则有结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)上不存在零点．判断该命题是否正确．错解正确．剖析对区间(a，b)上的连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则必存在零点；反之，则不然．正解无法判断是否存在零点及零点个数问题．如函数f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)＝1>0，而在区间(－1,1)上显然存在零点．故该命题不正确．点评 (1)函数y ＝f (x )的图象在区间(a ，b )上连续且有f (a )·f (b )<0，所得在(a ，b )上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点；(2)零点定理仅能判断当函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是连续曲线，并且f (a )·f (b )<0时，在(a ，b )上至少存在一个零点，而无法确定零点个数．二、忽略了分类讨论例6 若函数y ＝ax 2－2x ＋1只有一个零点，求实数a 的取值范围． 错解 由题意可得，实数a 所满足的条件为Δ＝4－4a ＝0，∴a ＝1.剖析 没有对系数a 进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数． 正解 (1)当a ＝0时，y ＝－2x ＋1，有唯一零点； (2)当a ≠0时，由题意可得Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1. 综上，实数a 的取值范围为a ＝0或a ＝1.点评 对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．三、忽略了区间端点值例7 已知f (x )＝3mx －4，若在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，求实数m 的取值范围． 错解 因为在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0， 则f (－2)·f (0)<0，所以(－6m －4)·(－4)<0， 解得m <－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23)．剖析 本题的x 0在[－2,0]上可取到端点， 即f (－2)·f (0)≤0.正解 由f (－2)·f (0)≤0，解得m ≤－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23]．点评 区间值要全部考虑到，做到不重不漏． 四、图象应用例8 已知函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则方程f (x )＝0( )A．有三个实根B．当x<－1时恰有一实根C．当－1<x<0时恰有一实根D．当0<x<1时恰有一实根E．当x>1时恰有一实根错解将已知函数图象向上平移0．01个单位(如图所示)，即得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01的图象．故选B项．剖析肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼”．正解∵f(－2)<0，f(－1)>0，∴f(－2)·f(－1)<0，∴B项正确．又f(0)>0，∴C项错误．而f(0.5)<0，f(1)>0，∴f(x)＝0在区间(0,1)上有两个实根，则D项错误，E项也错，并且由此可知A项正确．故选A、B两项．点评应用数形结合思想处理方程问题，直观易懂，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想与函数思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．解因为f(－1)＝3×(－1)3－2(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．二、确定方程根的个数例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个分析利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．解析设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.答案A点评在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有惟一的零点．三、求参数的取值范围例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．解析因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，所以f(－2)f(0)≤0.即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.答案m≥1点评 本题对方程实根的研究转化为对一次函数f (x )在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m 的不等式求出m 的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．巧用零点与方程根的关系求系数范围例4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0,1)C ．b ∈(1,2)D ．b ∈(2，＋∞)分析 本题主要考查函数的零点及待定系数法，解答时从图中获取正确信息是解答的关键．解析 方法一 从图中可以得f (0)＝0，∴d ＝0，由图可知f (x )有三个零点，故可设函数的解析式是f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .当x >2时，f (x )>0，因此a >0， ∵b ＝－3a ，∴b <0.方法二 由f (0)＝0，得d ＝0， 又∵f (1)＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0① 又∵f (－1)<0，即－a ＋b －c <0 ②①＋②得2b <0，∴b <0. 答案 A例5 已知关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围．分析 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布，函数f (x )的图象只能如图所示．对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，解出即可．解 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是k >0或k <－4.点评 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．二分法思想的应用“逐步逼近”是重要的数学思想，同学们现在学习的求方程近似解的“二分法”就充分运用了这一思想．“考察极端”、“化整为零”、“无限分割”等都是这一数学思想的具体体现．作为研究和解决问题的思想方法，“逐步逼近”渗透在中学数学的许多内容中，比如初中学习的圆面积公式，就是由正多边形“逐步逼近”圆推导的；又如两个集合相等，就是由集合间的子集关系“逼近”的(即A ⊆B 且B ⊆A ⇔A ＝B )；再如，由“有理数逼近无理数”使我们认识了实数指数幂等，在以后的学习中，我们还会看到这一思想的运用(如球的表面积和体积公式的推导)．下面通过“两边夹法则”的应用来体会和领悟“逐步逼近”思想的奥妙．两边夹法则：如果实数a ，b 满足a ≥b ，且b ≥a ，则a ＝b .例6 已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b .当a >0，－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1且g (x )的最大值为2，求f (x )．解 ∵a >0，∴g (x )＝ax ＋b 在[－1,1]上是增函数． 又g (x )在[－1,1]上的最大值为2， ∴g (1)＝2，即a ＋b ＝2.①于是f (1)－f (0)＝2.由题设有－1≤f (0)＝f (1)－2≤1－2＝－1， ∴f (0)＝－1，从而c ＝－1. 又由题设知f (x )≥－1＝f (0)， ∴二次函数f (x )的对称轴为x ＝0，于是－b2a ＝0，得b ＝0，将其代入①，得a ＝2.∴f (x )＝2x 2－1.山重水复疑无路，柳暗花明又一村探索解题方法对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此．分析时“条条是道”，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的．当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的．本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：题目：已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x 1<x 2且f (x 1)≠f (x 2)，求证：方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等的实根，且必有一根属于(x 1，x 2)．分析一：数形结合，从图象分析入手，分别作出两函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象，直观上可以看出两函数有两个不同的交点．方法一 由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是二次函数，不妨设a >0，则函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上．而y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象呢？是一条平行于x 轴的直线．此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f (x 1)与f (x 2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！分析细节：f (x 1)与f (x 2)是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 分别在x 1，x 2处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f (x 1)≠f (x 2)，说明12[f (x 1)＋f (x 2)]一定比最小值大；若y 2的值就是最小值，此时，直线与抛物线相切于顶点，而12[f (x 1)＋f (x 2)]大于最小值，则y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]与二次函数图象一定有两个不同的交点．又因为min{f (x 1)，f (x 2)}≤12[f (x 1)＋f (x 2)]≤max{f (x 1)，f (x 2)}，故必有一根属于(x 1，x 2)．分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的“b 2－4ac ”，然后，再结合函数零点的存在定理．方法二 由f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]，得2ax 2＋2bx ＋2c －f (x 1)－f (x 2)＝0. 那么Δ＝(2b )2－4×(2a )·[2c －f (x 1)－f (x 2)] ＝4[b 2－4ac ＋2af (x 1)＋2af (x 2)]．此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！ 分析细节 在上式中存在f (x 1)与f (x 2)，可否将其替换呢？于是Δ＝4[b 2－4ac ＋2a (ax 21＋bx 1＋c )＋2a (ax 22＋bx 2＋c )] ＝2(4a 2x 21＋4abx 1＋b 2)＋2(4a 2x 22＋4abx 2＋b 2)＝2(2ax 1＋b )2＋2(2ax 2＋b )2≥0.又x 1<x 2，得Δ>0，因此方程有两个不等的实根． 又设g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)g (x 2)＝{f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}·{f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0.说明g(x1)与g(x2)异号，即12[f(x1)＋f(x2)]∈[f(x1)，f(x2)]．故方程必有一根属于(x1，x2)．通过本例，我们可以看出：当思维受挫时，仔细去分析细节，通过细节使问题获解是重要的思维策略，有必要真正掌握.高考中的函数与方程函数与方程是高中数学的重要内容，尤其是二次函数与二次方程，它们有着密切的关系，函数可以看作方程，某些方程也可以看作是函数关系．在解决有关问题时，函数、方程常相互转化．本文精选历年高考试题为例加以说明．考点一函数转化为方程1．(上海高考)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．分析抓住函数f(x)的不动点概念列出方程，即可解决问题(1)；利用方程恒有一个实数解的条件可解决问题(2)．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3.由题意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.故当a＝1，b＝－2时，f(x)的两个不动点为－1和3.(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)恒有两相异不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个相异的实数根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0 (b∈R)恒成立．于是Δ＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1.故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0<a<1.点评本题中的新情境——不动点，它的实质就是方程f(x)＝x的根．考点二方程转化为函数2．(聊城模拟)若关于x的方程x2－3x＋a＝0两根中有一根在(0,1)之间，求实数a的取值范围．分析本问题可转化为函数y＝x2－3x＋a有两个零点，其中有一个在(0,1)内．那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m，n)内有零点的条件f(m)·f(n)<0，求a的取值范围．解 根据题意，函数y ＝x 2－3x ＋a 有两个零点，其中有一个在(0,1)内，作函数y ＝x 2－3x ＋a 的大致图象，如图所示，则可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4a >0，f 0>0，f 1<0.解得0<a <2.故a 的取值范围是(0,2)．点评 利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件．需从三个方面考虑：①判别式；②对称轴直线x ＝－b 2a与区间端点的关系； ③区间端点函数值的正负． 考点三 函数与方程的循环转化3．(浙江高考)若f (x )和g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f [g (x )]＝0有实数解，则g [f (x )]不可能是( )A ．x 2＋x －15B ．x 2＋x ＋15C ．x 2－15D ．x 2＋15 分析 由于本题未知函数f (x )、g (x )的类型，试图用待定系数法去解决比较困难．故可采用较灵活的方法——逐一验证法．解析 若g [f (x )]＝x 2＋x －15，不妨设f (x )＝x 2＋x －15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0即得x 2－15＝0，显然，x 2－15＝0有解．故函数g [f (x )]有可能为x 2＋x －15. 若g [f (x )]＝x 2＋x ＋15，不妨设f (x )＝x 2＋x ＋15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0，即得x 2＋15＝0.显然，x 2＋15＝0无解．故函数g [f (x )]不可能为x 2＋x ＋15. 对于C 、D 两答案，同理可得可能为g [f (x )]．答案 B点评 本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性． 考点四 创新题4．设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，如果存在实数x 0，使得x 0＝f (x 0)，那么x 0为函数y ＝f (x )的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是( )分析 函数的零点即为函数值为0时对应方程的解．因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决．所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去．解析 使x 0＝f (x 0)的解即为y ＝f (x )的图象和y ＝x 的交点的个数问题．观察图象易得结论．答案 B5．关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0，给出下列四个论断：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根其中正确的个数是( )A ．0B ．4C ．2D ．3分析 本题的命制立足函数与方程之间的内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力．解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理．解析 据题意可令x 2－1＝t (t ≥－1)，则方程化为|t |2－|t |＋k ＝0，即k ＝|t |－|t |2.作出y 1＝|t |－|t |2的图象如右图，平移y 2＝k 这一直线，结合函数的图象可知： ①当0<k <14时，t 有4个值，相应的x 有8个值． ②当k ＝14时，t 有2个值，相应的x 有4个值． ③当k ＝0时，t 有3个值，相应的x 有5个值．④当k <0时，t 有1个值，相应的x 有2个值．答案 B6．对于函数y ＝f (x )(x ∈D )其中D 为函数的定义域，若同时满足下列2个条件： ①y ＝f (x )在定义域内是单调函数；②存在区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是[a ，b ]，那么把y ＝f (x )(x ∈D )称为闭函数．(1)求闭函数y ＝－x 3符合条件②的区间[a ，b ]；(2)判断函数f (x )＝－34x ＋1x，x ∈(0，＋∞)是否为闭函数，说明理由． 分析 首先以定义形式给出函数的一项性质，然后围绕此性质进行命题，其实质是对函数单调性的应用考察，其次是函数与方程的转化，数形结合解决有关二次函数根的问题．解 (1)因为y ＝－x 3是R 上的单调递减函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝b ，f b ＝a 且a <b ，即a ＝－b 3<b ，所以b >0.又－a 3＝b 9＝b ，故b ＝1，a ＝－1.所以该区间为[－1,1]．(2)由函数单调性的定义知，该函数在x ∈(0，＋∞)为单调减函数，若为闭函数，则存在x ∈[a ，b ]，值域为[a ，b ]．于是⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ， 即⎩⎨⎧ f a ＝－34a ＋1a ＝b ，f b ＝－34b ＋1b ＝a .所以ab ＝4，得－34a ＋1a ＝4a， 所以a 2＝－4与任意实数的平方是非负数相矛盾，所以不存在满足性质②的区间，故该函数不是闭函数．。
浅析一元二次方程根的分布问题
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ｌ ＼ ｋ
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ｌ
、 一
元 二 次 方 程 ａ ＋ ＋ ＝０ ａ ｘ Ｃ （ ≠０ 的 实 根 符 号 与 ）
Ａ ＝ ６ 一４ａ ｃ＞ ０．
＋ ２： 一 ＞０，
图 １
图
２
图
３
知 识 储 备
１ 设 一 元 二 次 方 程 ａ ＋ ＋ｃ＝０（ ． ｘ ａ＞０） 应 的 二 次 对
△ ≥ ０，
ｌ ， ＞ §？ 一 ） （２ ） ０（ ＞ （１ ＋ 一 ＞ ，解法二） ２ ．
【 一 （ ）（ 一 ）＞０，
函 数 为 ＿ ）＝ ｘ 厂 （ ａ ＋ｂ ｃ ａ＞０ ． ｘ＋ （ ） 韦 达 定 理 ： 程 ａ ＋ ＋ｃ＝ ａ≠０ 的 二 实 根 为 ， 方 ｘ ０（ ）
ｈ ＼ ｙｋ’
图 ６
数学学习与研究
２ １ ． ０２５
●＿ ， ●
●
２； ｏ
专 题 研 究
冁 舔
例 １ 当方 程 ＋口 ２＝ ＋ ０至少 有 一个 根 小 于 一１时 ， 求 实 数 ａ的取 值 范 围． 解 设 ＿ ）＝ ＋ ＋ ． 厂 （ 口 ２
等 式 、 数 以及 新 课 标 新 增 的 函数 零 点 、 的 存 在 性 定 理 和 导 根
3.1.2一元二次方程根的分布
2
x2
12
练习： 1、若方x程 2 (k3)xk 0 的两根都小 1， 于求k的取 x1 x2 0
-1
值范围？
2、若7方 x2程 k13xk2k20的两 根分0 别 ， 1和 在 1， 2内， k的 求取值范
1 0
2 13
练习：
1.已知关于x的方程 a 2 2 x a 1 x a 1 0
解少解题 有：分 一若析 个m：在=原函0，点数则的f(xf右()x=侧)m=x-，23+就x(m+是1-3,表)显x+明然1关的满于图足x象的要与方求x程轴. m的x交2+点(m至-
3)x+1若=0m至≠少0，有有一两个种正根情，况可：借助根与系数的关系来解。
( 1 ) 原 点 的 两 侧 各 有 一 个 ， 则 x 1 x 2 m 1 0 得 m 0
-
b 2a
>k
f(k)<0.
△=b2-4ac≥0
f(k)>0.
m< -
b 2a
<n
ห้องสมุดไป่ตู้
7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内
△=b2-4ac≥0 f(m)>0
f(n)>0.
3
注 ：涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根 分布问题, 一般从四个方面考虑:
① f(x) 图象的开口方向; ②方程 f(x)=0的判别式; ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; ④区间端点处函数值的符号.
1
x 1 x 2 2
反例x1： 3,x2
1 2
7
例题：已x知 2(方 k3程 )xk0 求满足下列 k的 条范 件围 的？
二次方程根的分布情况归纳
二次方程根的分布情况归纳二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
对于一个二次方程，可以通过求解其判别式来分析其根的分布情况。
判别式的公式为Δ = b² - 4ac，Δ可以通过求解来判断方程的根的类型和个数。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
当判别式Δ大于零时，可以得出两个不相等的实根。
这意味着方程图像与x轴有两个交点，也就是图像在x轴上的截距为两个不相等的实数。
这种情况下，方程有两个解，一个解对应于图像与x轴交点的左侧，另一个解对应于图像与x轴交点的右侧。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
当判别式Δ等于零时，可以得出两个相等的实根。
这意味着方程图像与x轴只有一个交点，也就是图像在x轴上的截距相等。
这种情况下，方程有两个相等的解，对应于图像与x轴交点的位置。
3.当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
当判别式Δ小于零时，可以得出方程没有实根。
这意味着方程图像与x轴没有交点，图像完全位于x轴的上方或下方。
但是，方程仍然有两个根，称为共轭复根，其中一个虚部为正，一个虚部为负。
这种情况下，方程的解无法在实数域内找到，需要在复数域中寻找。
在二次方程根的分布情况中，可以根据判别式Δ的正负来进行分类。
其中，Δ>0时有两个不相等的实根，Δ=0时有两个相等的实根，而Δ<0时没有实根但有两个共轭复根。
此外1.当a=0时，方程退化为一次方程。
当二次方程中a的系数为0时，方程退化为一次方程，形式为bx + c = 0。
这种情况下，方程只有一个解，即x = -c/b，对应于直线与x轴的交点。
2. 当b² - 4ac = 0时，方程有两个相等的实根。
当判别式Δ等于零时，有特殊情况。
此时，方程的两个根相等，即x₁=x₂=-b/2a。
此时方程图像在x轴上的截距相等，方程只有一个解。
总结起来，二次方程根的分布情况主要根据判别式Δ的正负进行分类。
数学二分法的原理及应用
数学二分法的原理及应用原理数学二分法是一种常见的数值计算方法，用于求解方程的近似解。
其基本思想是将问题的解空间逐步缩小，通过多次迭代来逼近方程的解。
二分法的原理可以简单地概括为以下几个步骤： 1. 确定解空间的起始范围，即确定一个包含解的区间； 2. 求解区间的中点，并计算中点处的函数值； 3. 判断中点处函数值与目标值的关系，从而确定解所在的区间； 4. 将新的解区间作为起始范围，然后重复步骤2和步骤3，直到满足迭代停止条件。
应用二分法在各个领域都有广泛的应用，下面列举了几个具体的应用场景。
数值计算数值计算中常常需要求解非线性方程的近似解。
通过二分法可以有效地逼近方程的解，从而提供计算的准确性和效率。
例如，二分法可以用于求解多项式的根、方程的解以及函数的零点等。
统计学在统计学中，二分法可以用于确定分位数。
分位数是指将一个集合或分布按照大小划分为几个部分的值，常用于衡量数据的离散程度。
通过二分法可以有效地找到给定百分比的分位数。
优化问题二分法可以应用于求解优化问题。
在一些特定情况下，优化问题可以被转化为求解方程的形式。
通过二分法，可以逐步逼近最优解的取值范围，从而提高求解效率。
数据库查询在数据库查询中，二分法可以用于实现高效的索引查找。
通过将数据按照某种大小顺序进行排序，然后使用二分法进行查找，可以大大提高查询的效率。
二分法在数据库索引的构建和维护中也有广泛应用。
图像处理在图像处理中，二分法可以用于图像分割和边缘检测。
通过将图像的灰度值进行二分，可以将不同的区域分割开来，从而实现对图像的分割和边缘的提取。
在以上应用中，二分法的原理是一致的，即通过逐步缩小解空间来逼近问题的解。
具体应用场景根据问题的特点进行相应的调整和优化，以提高计算的精度和效率。
总之，数学二分法作为一种常见的数值计算方法，在各个领域都有着广泛的应用。
通过了解二分法的原理和相应的应用场景，可以更好地理解和应用这一数学方法。
一元二次方程根的分布(精品)精编版
一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2。
【定理1】x 1＞0，x 2＞0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－ba ＞0x 1x 2＝c a＞0， 推论：x 1＞0，x 2＞0 ⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (0)＝c ＞0b ＜0或⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (0)＝c ＜0b ＞0上述推论结合二次函数图象不难得到。
例1：若一元二次方程(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ＝0有两个正根，求m 的取值范围。
【定理2】x 1＜0，x 2＜0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－ba ＜0x 1x 2＝c a＞0，推论：x 1＜0，x 2＜0 ⇔ ⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (0)＝c ＞0b ＞0或⎩⎨⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (0)＝c ＜0b ＜0由二次函数图象易知它的正确性。
【定理3】x 1＜0＜x 2⇔ ca ＜0例2： k 在何范围内取值，一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根？ 【定理4】①x 1＝0，x 2＞0 ⇔ c ＝0且b a ＜0； ②x 1＜0，x 2＝0 ⇔c ＝0且ba ＞0。
例3：若一元二次方程kx 2＋(2k －1)x ＋k －3＝0有一根为零，则另一根是正根还是负根？二．一元二次方程根的非零分布——k 分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2。
k 为常数。
则一元二次方程根的k 分布（即x 1、x 2相对于k 的位置）有以下若干定理。
初高中衔接——一元二次方程根的分布
一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
【定理1】01>x ，02>x (两个正根)⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩， 推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。
【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ， 推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。
【定理3】210x x <<⇔0<ac 【定理4】 ○101=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b ； ○201<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab 。
二．一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程02=++cbxax（0≠a）的两实根为1x，2x，且21xx≤。
k为常数。
则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。
【定理1】21xxk≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆kabkafacb2)(42【定理2】kxx<≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆kabkafacb2)(42。
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方法2：（利用图像）
2m 1f 0 0
得 2m 1 m 1 0
1 m 1 2
练习：y=x2+(a2-1)x+(a-2)两个零点在1两侧， 求a的范围
m 例2、已知方程 x m 2 x 0 4
2
有两个不等正实根，求实数 m的取值范围。
解得：p∈(－2，－1)∪(3，4) 小结
二次方程根分布问题的解决步骤：
根的位置<=>图象位置<=>等价条件 数 形 数
条件罗列的优先级：
1 是否是二次方程 2 是否需要考虑开口方向 3 端点函数值的符号 4 是否需要判断△ 5 是否需要限定对称轴
判别式 △ =b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
没有实数根
y
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等的 有两个相等的 实数根x1 ,x2 实数根x = x2 (a≠0)的根 1
y y
函数y=ax2 +bx+c (a>0)的图象
函数的图象 与 x 轴的交点
x1
0
x2 x
0 x1
x
0
x
(x1,0) , (x2,0)
2.4二分法应用
一元二次方程根的分布
复习 （1）函数零点的概念
形 f(x)=0的实数解 数 y=f(x)与x轴交 点的横坐标
变号零点
不变号零点
(2)零点分类
（3）变号零点存在的判断：
如果y=f(x)在[a, b]上的图象是连续的，并且 f(a)· f(b)<0，那么f(x)在区间(a, b)内有零点，即 存在零点c∈(a, b),使得f( c )=0
2
有一实根在（0，1）另一实根在其外，求 m 范围。
1
f (0)f (1) 0
1 2 m 2 3
小结
例5.若方程7x2－(p＋13)x＋p2－p－2＝0的两 根α、β满足0＜α＜1＜β＜2，求实数p的取值范围. 2 2
解：设f(x)＝7x －(p＋13)x＋p －p－2 根据题意得： f(0)＞0 f⑴＜0 f⑵＞0 1 2 p2－p－2＞0 p2－2p－8＜0 p2－3p＞0
根，求实数m的取值范围
例3.方程x2＋mx＋2＝0两不等根x1，x2∈(1，2) 求 m的范围
f 1 0 f 2 0 0 m 1 2 2
m 3 m 3 m 2 2或m 2 2 4 m 2
1
2
3 m 2 2
小结
例4.已知方程 x (m 2) x 2m 1 0
(x1,0)
没有交点
引例：
已知：函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是1和2， （1）求函数f(x)的解析式。 f(x)=x2-3x+2
（2）判断 f(0), f(1.5), f(3)的符号
1 2
f(0)>0, f(1.5)<0, f(3)>0
( 3 ) 在图上（1，0），（2，0）两点的特 点是什么？
例1、已知二次方程 2m 1 x 2mx m 1 0
2
有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
方法1：（利用韦达定理）
m 1 0 x1 x2 x x x2 2 2 m 1 x1 1 4m2 4(2m 1)(m 1) 0
1 m 1 2
0 m 2 2 m 0 m 4或m 1 m2 m 2 m 2 0 x1 x2 1 m0 m0 m x1 x2 0 练习：方程x2+mx+m=0有两个不等小于1的实数 4 1 m 0