图论

• 7.6 树与生成树(Trees and Spanning Trees)
• 7.7 根树及其应用(Rooted Trees and Its Applications)
7.1 图的基本概念
• 7.1.1 图的基本概念 • 7.1.2 图的结点的度数及其计算 • 7.1.3 子图和图的同构
7.1 图的基本概念
vV vV
7.1 图的基本概念
图7.1.4
7.1.3 子图和图的同构 • 1.子图 • 在研究和描述图的性质时，子 图的概念占有重要地位。 • 定义7.1.5 设有图G=〈V , E〉和图 • G′=〈 V′, E′ 〉 。 1) 若V′ V， E′ E， 则称G′是G的子 图。 • 2) 若G′是G的子图，且E′≠E，则称G′ 是G 的真子图。
7.1 图的基本概念
• 定理 7.1.1 图G＝〈V ,E〉中结点度 数的总和等于边数的两倍， 即

V
deg( ) 2 E
• 证明: 因为每条边都与两个结点关联， 所以加上一条边就使得各结点度数的和 增加 2， 由此结论成立。 • 推论: 图G中度数为奇数的结点必为偶 数个。
7.1 图的基本概念
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7.1 图的基本概念
我们将结点a、b的无序结点对记为(a，b）， 有 序结点对记为〈a，b〉。 一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯 一的。
• 【例7.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中 • V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6 ,e7},e1=(a,b), • e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6= (a,d),e7=(b,b) 。 则图G可用图7.1.2(a)或(b)表示。
定义7.1.4 在有向图中,射入结点v的 边数称为结点v 的入度， 记 为 deg(v) ;由结点v射出的边数称为 结点v 的出度， 记为 deg(v) 。结点v的 入度与出度之和就是结点v的度数。 deg(v)＝2。 • 如图7.1.4中 deg(a) ＝1， • 定理 7.1.2 在任何有向图G＝〈V ,E〉 中， 有 deg(v) deg(v) E
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• 3) 若V′=V， E′ E，则称G′是G的生 成子图。 • 图7.1.7给出了图G以及它的真子图G1和 生成子图G2。
7.1 图的基本概念
图7.1.7 图G以及其真子图G 1和生成子图G2
7.1 图的基本概念
2. 图的同构 • 从图的定义可以看出，图的 最本质的内容是结点与结点的邻接 关系。例如例 7.1.1 也可以用图 7.1.8 中几种不同形状的图形表示。它们 与图 7.1.1 一样，都同样表示例 7.1.1 中４个队之间的比赛情况。从这个 意义上讲，我们说它们是同一个图， 并称图 7.1.1 与图 7.1.8 的 (a) 和 (b) 是 同构的。
第七章 图论(Graph Theory)
• 7.1 图的基本概念(Graph)
• 7.2 路与图的连通性(Walks & Connectivity of Graphs) • 7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) • 7.4 欧拉图与哈密尔顿图(Eulerian Graph & Hamilton-ian Graph ) • 7.5 平面图(Planar Graph)
7.1 图的基本概念
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【例7.1.4】（拉姆齐问题）试证在任
何一个有６个人的组里， 存在３个人互 相认识， 或者存在３个人互相不认识。 • 我们用６个结点来代表人， 并用邻接性 来代表认识关系。 这样一来， 该例就是 要证明： 任意一个有６个结点的图 G中， 或者有３个互相邻接的点， 或者有３个 互相不邻接的点。 即， 对任何一个有６ G 个结点的图G， G或 中含有一个三角 形（即K3）。
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定义 7.2.1 给定图G＝〈V ,E〉, 设v0, v1, … , vk∈V，e1，e2，…，ek∈E， 其中ei是关联于结 点vi-1和vi的边， 称交替序列v0e1v1e2…ekvk为连 接 v0到vk的路， v0和 vk 分别称为路的起点与终 点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时, 这条路称为回路。在简单图中一条路 v0e1v1e2…ekvk 由它的结点序列 v0v1…vk 确定 , 所 以简单图的路 ,可表示为 v0v1…vk 。如图7.1.1表 示的简单图中， 路ae1be4ce5d可写成abcd。
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7.1 图的基本概念
图 7 .1. 3
7.1 图的基本概念
3. 图G的分类 (1)按 G 的结点个数和边数分为 (n,m) 图 , 即n个结点, m条边的图; (2)特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为 平凡图 。 (3) 按 G 中关联于同一对结点的边数分为 多重图和简单图; 多重图:含有平行边的图(如图7.1. 3) 。 简单图:不含平行边和自环的图。
7.1 图的基本概念
如例 7.1.1 中的图，结点集 V ＝｛ a ， b，c，d｝， 边集 E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中 • e1＝（a，b），e2＝（a, c），e3 ＝（a，d）， e4＝（b, c）， e5＝ （c, d）。 d与a、 d与c是邻接的， 但 d 与 b 不邻接， 边 e3 与 e5 是邻接的。
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7.1 图的基本概念
图 7.1.8 同构的图
图 7.1.9
7.1 图的基本概念
• 定义7.1.6 设有图 G=〈V , E〉和图 G′=〈 V′, E′〉。 如果存在双射ｇ： V→V′，使得e=(u, v) ∈E iff e′=(ｇ (u),ｇ(v))∈E′， 且(u， v)与(ｇ(u),ｇ (v))有相同的重数，则称G与G′同构。 记作G≌G′。 • 【例 7.1.5】考察图 7.1.9 中的两个图 G ＝〈V , E〉和G′=〈 V′, E′〉 。
•
7.2 路与图的连通性(
Walks & TheConnectivityof Graphs)
7.2.1通性( • The Connectivityof Graphs)
• •
7.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)
7.1 图的基本概念
• 7.1.2 图的结点的度数及其计算 • 我们常常需要关心图中有多少条边 与某一结点关联，这就引出了图的一个 重要概念——结点的度数。
• 定义7.1.3 图中结点v所关联的边数(有自 回路时计算两次)称为结点v 的度数，记 为deg(v)。 • 如图7.1.3中的deg（v1）＝2，deg（v2） ＝ 3， deg（v3）＝5。
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7.1 图的基本概念
【例7.1.3】设图G＝〈V ,E〉 如图 7.1. 3所示。 • 这里V＝｛v1，v2，v3｝， • E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝， • 其中e1 =(v1, v2) ，e2=(v1，v3) ， e3 =(v3, v3), e4 =(v2, v3), e5=(v2，v3)。 • 在这个图中，e3是关联同一个结点 的一条边,即自回路； 边e4和e5都与 结点v2、 v3关联， 即它们是多重边。
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向 图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向 图（图 7 .1.4 (b))； 无向图:每条边都是无向边的图称为无向图； 混合图：既有无向边 , 又有有向边的图称 为混合图。 本书主要研究无向图和有向图。 (4)按G的边旁有无数量特征分为边权图(如 图 7.1.4 (a)) 、无权图;
• 证明: 设V1和V2分别是G中奇数度数 和偶数度数的结点集。 • 由定理7.1.1知
vV1
deg(v) deg(v) 2 E
deg(v) 是偶数之和，
2
vV2
•
由于 vV 必为偶数， 而2|E|也为偶数， 故 V 由此|V1|必为偶数。
1
deg( )
• •
7.1 图的基本概念
7.1 图的基本概念
图 7.1.2
7.1 图的基本概念
图 7.1.2
7.1 图的基本概念
• • • • • • 2. 图G的结点与边之间的关系 邻接点: 同一条边的两个端点。 孤立点: 没有边与之关联的结点。 邻接边: 关联同一个结点的两条边。 孤立边: 不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的 一条边（（v，v）或〈v，v〉）。 • 平行边 ( 多重边 ): 关联同一对结点的 多条边。
7.1 图的基本概念
显然，定义ｇ：V→V′, ｇ(vi)＝v i ′, 可以验证ｇ是满足定义7.1.6的双射， 所以G≌G′。 • 对于同构，形象地说，若图 的结点可以任意挪动位置，而边是完 全弹性的，只要在不拉断的条件下， 这个图可以变形为另一个图，那么这 两个图是同构的。故同构的两个图从 外形上看可能不一样，但它们的拓扑 结构是一样的。
图 7.1.1哥尼斯堡七桥问题
1.图的定义
7.1 图的基本概念
现实世界中许多现象能用某种图形 表示 ,这种图形是由一些点和一些连接 两点间的连线所组成。 • 【例7.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进
• 行友谊比赛。 为了表示４个队之间比赛的 情况， 我们作出图 7.1.1的图形。 在图中 ４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之 为结点。 如果两队进行过比赛， 则在表示 该队的两个结点之间用一条线连接起来， 称之为边。 这样利用一个图形使各队之间 的比赛情况一目了然。
7.1 图的基本概念
• 证明: 设G＝〈V ,E〉， |V|＝6， v是G中一结点。 因为v 与G的其余５个 结点或者在 中邻接， 或者在G中邻接。 G 故不失一般性可假定，有３个结点 v1 ， v2， v3在G中与v邻接。 • 如果这３个结点中有两个结点（如 v1， v2）邻接，则它们与v 就是G中一个三角 形的３个顶点。 如果这 3 个结点中任意 两个在G中均不邻接， 则v1， v2， v3就 是 G 中一个三角形的３个顶点。