2017高考数学必考点【函数的极值与导数的关系】整理.doc

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高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结

高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。

极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。

求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。

对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

函数的极值与导数

a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
(2)设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，
则(;－1
C．a<－1
D．a>－1e
(3)已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－2,2)内，既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是____________.
思考5 可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？
思考6 求可导函数f(x)的极值的步骤有哪些？
[达标自评] 1 ．判断下列说法是否正确． ( 正确的打 “ √” ，错误的打 “×”) (1) 函数的极大值一定大于极小值．( ) (2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是点x0为极值点的充要条件．( ) (3)可导函数f(x)在(a，b)上一定有极大或极小值．( ) 答案 (1)× (2)× (3)×
f′(x)
－
0
＋
f(x)
递减
极小值 3
递增
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且 f(1)＝3.
[跟踪训练 1] 求下列函数的极值： (1) f(x)＝(x2－1)3＋1； (2)y＝2xx3－－122.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(－∞，
(1，＋
x
－1) －1 (－1,0) 0
答案 3，131
解析 f′(x)＝x2－ax＋2，∴x1，x2 是 f′(x)＝0 的两个根，由 0<x1<1<x2<3，结合二次函数的性质得：
f′0＝2>0， f′1＝1－a＋2<0， f′3＝9－3a＋2>0.

函数极值与导数

函数极值与导数函数极值与导数是数学中的一个重要概念，在微积分学中起到了极为重要的作用。

它们被广泛应用于理论研究和实际问题解决中，为人们的工作和生活带来了便利和创新。

本文将分步骤阐述函数极值与导数的相关知识。

第一步：导数的定义和性质在微积分学中，导数是函数变化率的表示，它是函数在某一点的切线斜率。

导数的定义是：当自变量的增量趋近于0时，函数值的增量与自变量增量之比的极限称为函数在该点的导数。

一般用符号f‘(x)表示。

导数具有以下的性质：（1）导数存在的充分必要条件是函数在该点连续；（2）可导函数的任何一点，切线必然过曲线上相应点；（3）可导函数微小区间上的平均变化率在微小区间趋于零时的极限，等于这个区间的导数。

第二步：函数极值的定义和判定函数极值是指函数取得最大值或最小值的点，它是函数曲线的拐点。

函数的极大值和极小值统称为极值。

通常用f(x)表示函数，x0表示函数的零点，若f(x)在x0处取得极大值，则称f(x)在x0处取得极大值；若f(x)在x0处取得极小值，则称f(x)在x0处取得极小值。

判断函数的极值可以采用以下常用方法：（1）导数法：求出函数的导数f’(x)，令其等于0，求根，根即为函数的极值点。

（2）二阶导数法：计算函数的二阶导数f’’(x)，当f’(x)=0，f’’(x)<0时，函数在该点有极大值；当f’(x)=0，f’’(x)>0时，函数在该点有极小值。

（3）边界法：当函数定义域中存在有限区间[a，b]时，在区间端点处极值的情况也可能存在，可以通过求函数在端点取值情况比较的方法来判断该区间内的极值情况。

第三步：函数极值的应用函数极值在实际问题中的应用非常广泛，下面以几个例子进行说明：（1）优化生产问题：生产厂家需要求出生产成本的最小值，可以将生产成本函数的导数求解，找出导数为0的点以及随着自变量的变化，导数变化的趋势，决策者可以依据这些信息来做最优化生产。

（2）为了研究影响空气和水质的因素，需要分析空气和水样品的样本数据，用标准正态分布的概率密度函数来进行拟合，根据函数图像的形状以及导数、二阶导数的符号来判断峰值和谷值。

求导与函数的极值

求导与函数的极值在微积分中，求导是一个重要的概念，它可以用来求函数在某点的变化率，并且可以帮助我们找到函数的极值点。

本文将重点讨论求导与函数的极值之间的关系。

一、求导的基本定义和规则求导，简单来说，就是求函数的导数。

函数的导数表示了函数在某一点上的变化率，也可以理解为函数的斜率。

假设有函数f(x)，它在某点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x))/h其中lim[h→0]表示当h趋近于0时的极限值。

根据这个定义，我们可以求出一些基本函数的导数：1. 常数函数：常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。

2. 幂函数：幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^{n-1}。

3. 指数函数：指数函数f(x) = a^x（a>0，且a≠1）的导数为f'(x) =a^x * ln(a)。

4. 对数函数：对数函数f(x) = log_a(x)（a>0，且a≠1）的导数为f'(x) = 1/(xln(a))。

此外，还有一些基本的求导规则：1. 常数乘法法则：若函数f(x) = c * g(x)，其中c为常数，则f'(x) = c * g'(x)。

2. 和差法则：若函数f(x) = g(x) ± h(x)，则f'(x) = g'(x) ± h'(x)。

3. 积法则：若函数f(x) = g(x) * h(x)，则f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) *h'(x)。

4. 商法则：若函数f(x) = g(x) / h(x)，则f'(x) = [g'(x) * h(x) - g(x) *h'(x)] / h(x)^2。

这些基本的求导定义和规则非常重要，我们可以利用它们来求解各种函数的导数。

【高中数学】高中数学知识点：函数的最值与导数的关系

【高中数学】高中数学知识点：函数的最值与导数的关系函数的最大值和最小值：闭合区间[a，b]上的连续函数f（x）必须在[a，b]上具有最大值和最小值，这分别对应于区间上函数值的最大值和最小值。

利用导数求函数的最值步骤：（1）求（a，b）中F（x）的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。

用导数法计算最大值。

特别提醒：①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；② 如果只求最大值，也可以简化上述方法，因为[a，b]中函数FX的所有极值只能在F（x）的导数为零或不存在导数的点（以下称为可疑点）处获得，因此，只需找到这些可疑点，然后计算可疑点处F（x）的函数值，通过与区间结束时的函数值进行比较，即可得到最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。

生活中的优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，许多优化问题可以转化为寻找函数最大值的问题。

导数法是解决这类问题的有效工具用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：（1）在计算实际问题的最大（最小）值时，必须考虑实际问题的重要性，不符合实际重要性的值应四舍五入；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；（3）在解决函数关系优化问题时，我们不仅要注意函数关系的定义，还要注意函数关系的确定利用导数解决生活中的优化问题：（1）用导数解决实际问题的关键是建立适当的数学模型（函数关系、方程或不等式），并利用导数的知识和方法进行求解，主要转化为求最大值的问题，最后反馈到实际问题中(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，① 求（a，b）上函数y=f（x）的极值；②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）对于开区间（a，b）上定义的可微函数，如果只有一个极值点，则该极值点必须是最大值点。

函数极值、最值与导数的关系bk

函数极值、最值与导数的关系一、利用导数求函数极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是：（1）如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是极大值；（2）如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是极小值.二、函数的最值与导数的关系1、最值定义：设函数y =f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意实数x ∈I ，都有f (x )≤ (≥)M ；②存在x 0∈I 。

使得f (x 0)=M ，那么，我们称实数M 是函数y =f (x )的最大（小）值.2、利用导数求闭区间[a ,b ]上的最值利用导数求出函数极值点（不在区间上的极值点要舍去），再求出求出闭区间上的与端点值，最大者为最大值，最小者为最小值.相关习题1.(2010深圳九校)下图是)(x f y =的导函数)('x f 的图象，下面判断正确的是( )A.在 (－2,1)上)(x f 是增函数B.在 (1,3)上)(x f 是减函数C.在 (4,5)上)(x f 是增函数D. x ＝4时，)(x f 取极大值2.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b aA.1个B.2个C.3个D.4个 3.(2012陕西文)设函数x xx f ln 2)(+=则（） A.21=x 为)(x f 的极大值点 B.21=x 为)(x f 的极小值点 C.2=x 为)(x f 的极大值点 D.2=x 为)(x f 的极小值点4.函数y =x 3－3x 的极大值为m ，极小值为n ，则m +n 为( )A.0B.1C.2D.45.已知函数m x x y ++-=233的极大值为10，则m = ；6.234213141)(x x x x f ++=在[－1,1]上的最小值为__________. x7.(2011重庆文) 设函数12)(23+++=bx ax x x f 的导数为)('x f ，若函数)('x f y =的图象关于21-=x 对称，且0)1('=f . （1）求实数a 、b 的值；（2）求函数)(x f 的极值.8.设函数8332)(23+++=bx ax x x f 在1x =及2x =时取得极值（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有m x f <)(成立，求m 的取值范围．9. (2012重庆文)已知函数c bx ax x f ++=3)(在点2=x 处取得极值16-c .(1)求b a ,的值；（2）若)(x f 有极大值28，求)(x f 在区间]3,3[-的最小值.。

函数的极值与导数

y
f (x3)
f (x4 )
f (x1 )
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
【函数的极值与导数的关系】
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)>0
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
y
f (x3)
f (x4 )பைடு நூலகம்
f (x1 )
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;
函数的极值与导数
【复习与思考】
已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0) (2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;

数学导数与函数极值的关系知识点

数学导数与函数极值的关系知识点在咱们学习数学的漫漫长路中，导数与函数极值的关系这个知识点，那可真是让人又爱又恨。

今天，我就来跟您好好唠唠这个看似神秘，实则有趣的家伙。

先来说说啥是导数。

这导数啊，就像是函数的“侦察兵”，能告诉咱们函数在某一点的变化快慢。

想象一下，函数图像就像是一条弯弯曲曲的道路，而导数呢，就是在每个点上告诉你这条路是在上坡、下坡还是走平路。

那函数极值又是啥呢？简单说，就是函数在某个区间内达到的最大值或者最小值。

比如说，您开着车在山路上行驶，总有那么几个点是最高的山峰或者最低的山谷，这就是极值点。

这导数和函数极值到底有啥关系呢？这关系可大着呢！咱们先假设一个函数 f(x) ，然后对它求导，得到 f'（x) 。

当 f'（x)＝ 0 的时候，这一点就有可能是极值点。

但要注意哦，只是有可能，不是一定！这就好比您在路上看到一个牌子写着“可能有宝藏”，但到底有没有，还得进一步考察。

我给您举个特别通俗的例子。

比如说有个函数 f(x) ＝ x² 4x ＋ 3 ，咱们来求它的极值。

先求导，f'（x) ＝ 2x 4 。

让 f'（x) ＝ 0 ，也就是 2x 4 ＝ 0 ，解出来 x ＝ 2 。

那 x ＝ 2 这个点是不是极值点呢？这时候还不能确定，咱们得再看看它两边的情况。

当 x ＜ 2 的时候，比如说 x ＝ 1 ，f'（1) ＝ 2×1 4 ＝－2 ，这说明函数在 x ＝ 1 这点是在下降的。

当 x ＞ 2 的时候，比如说 x ＝ 3 ，f'（3) ＝ 2×3 4 ＝ 2 ，这说明函数在 x ＝ 3 这点是在上升的。

您瞧，从下降变成上升，中间经过的 x ＝ 2 这个点，不就是极小值点嘛！把 x＝ 2 代入原函数 f(2) ＝ 2² 4×2 ＋ 3 ＝－1 ，所以极小值就是－1 。

再比如说，有个函数 f(x) ＝ x³＋ 3x²，还是先求导，f'（x) ＝－3x²＋ 6x 。

函数与导数的极值问题

函数与导数的极值问题在微积分中，函数与导数的极值问题是一类经典的数学问题，它广泛应用于各个领域，例如物理学、经济学和工程学等。

本文将介绍函数与导数的极值问题的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。

一、函数的极值概念对于一个实数集上的函数，极值是指函数取得的最大值和最小值。

极大值即为函数在某个特定点处取得的最大值，而极小值则是函数在某个特定点处取得的最小值。

函数的极值问题是要确定函数的极大值和极小值的位置及其对应的函数值。

二、导数与函数的极值问题为了求解函数的极值，我们需要利用导数的概念。

导数表示了函数的变化率，即函数值随着自变量变化的速率。

对于一个可导函数，在极值点处，导数为零或者不存在。

1. 导数零点定理根据导数零点定理，如果函数在某个点的导数为零，那么该点可能是函数的极值点。

但是需要注意的是，导数为零只是极值的必要条件，并不是充分条件。

2. 极值点的判断为了判断导数为零点处的函数极值点，我们可以使用导数的符号来进行判断。

当导数由负变正时，对应的点为函数的极小值点；而当导数由正变负时，对应的点为函数的极大值点。

此外，当函数的导数发生突变时，也可能存在极值点。

三、应用举例函数与导数的极值问题在实际中有广泛的应用。

以下是一些常见的例子：1. 经济学中的应用函数与导数的极值问题在经济学中有着重要的应用。

例如，在优化问题中，我们可以使用极值问题来求解最大化利润或最小化成本的最优解。

2. 物理学中的应用物理学中也经常涉及到函数与导数的极值问题。

例如，求解抛物线的飞行轨迹、最短路径问题以及最速降线问题等，都可以使用函数与导数的极值问题求解。

3. 工程学中的应用在工程领域，函数与导数的极值问题也有着重要的应用。

例如，求解最大载荷问题、最佳设计问题以及优化材料结构问题等，都需要通过极值问题来找到最优解答。

四、总结函数与导数的极值问题是微积分中的重要内容，它可以帮助我们解决在各个领域中的优化问题。

通过对函数的导数进行分析，我们可以判断出函数的极大值和极小值点，并且利用这些点来解决实际问题。

高考数学基础突破导数与积分第5讲导数与函数的极值、最值

2017年高考数学基础突破——导数与积分第5讲导数与函数的极值、最值【知识梳理】1．函数的极值一般地，当函数()f x 在点x 0处连续时，(1)如果在x 0附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么f (x 0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么f (x 0)是极小值．2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数()f x 在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数()f x 在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数()f x 在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【基础考点突破】考点1．用导数解决函数极值问题命题点1．求不含参数函数的极值【例1】求函数()31443f x x x =-+的极值．【归纳总结】求函数()f x 极值的步骤：①确定函数的定义域； ②求导数()f x '； ③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．变式训练1．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．命题点2．求含参数函数的极值【例2】已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．变式训练2．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a(a ∈R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值．变式训练3．若函数()ln a f x x x x=++，试讨论函数()f x 的极值存在情况．命题点3．已知极值求参数【例3】(1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________．(2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，52)B ．[2，52)C ．(2，103)D ．[2，103) 变式训练4．设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________．考点2．用导数解决函数最值问题【例4】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 的方程为3x－y ＋1＝0，在点x ＝23处y ＝f (x )取得极值．【归纳总结】求函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值的步骤（1）求函数在(,)a b 内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值()f a ，()f b ；（3）将函数()f x 的极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【例5 】设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0．(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．变式训练5．已知函数h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k ，2]上的最大值为28，求k 的取值范围．变式训练6．已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．题型三函数极值和最值的综合问题【例6】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16．(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在区间[－3，3]上的最小值．变式训练7．（2016年天津高考）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=；（Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41.【基础练习巩固】1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x 等于( ) A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 3．已知a ，b 是实数，x ＝1和x ＝－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则f (－1)的值为（）A ．－2B ．2C ．0D ．14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)5．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )6．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1，2]上的最大值是________．7．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________． 8．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．10．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________．11．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．12．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．13．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．15．（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －e e x ，其中a ∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立．2017年高考数学基础突破——导数与积分第1讲导数与函数的极值、最值（教师版）【知识梳理】 1．函数的极值一般地，当函数()f x 在点x 0处连续时，(1)如果在x 0附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么f (x 0)是极小值． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数()f x 在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数()f x 在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数()f x 在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【基础考点突破】考点1．用导数解决函数极值问题命题点1．求不含参数函数的极值【例1】求函数()31443f x x x =-+的极值．解析：因为()31443f x x x =-+，所以()()()2422f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，解得2x =,或2x =-．下面分两种情况讨论: （1）当()0f x '>，即2x >或2x <-时；（2）当()0f x '<，即22x -<<时．当x 变化时，()f x 、()f x '的变化情况如下表：∴当2x =-时, f(x)的极大值为28(2)3f -=；当2x =时, f(x)的极小值为()423f =-．【归纳总结】求函数()f x 极值的步骤：①确定函数的定义域； ②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．变式训练1．函数y ＝2x －1x2的极大值是________．答案－3解析 (1)y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1．当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0．∴当x ＝－1时，y 取极大值－3．命题点2．求含参数函数的极值【例2】已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax．(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x ＞0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0． (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ．又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．变式训练2．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a(a ∈R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值．解析：由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ．令f ′(x )＝0得x ＝0或2a．当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↘↗∴f (x )极大值＝f (0)＝1－a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－a 2－a＋1．当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↘↗↘∴f (x )极大值＝f (0)＝1－a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－a 2－a＋1．综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a＋1．变式训练3．若函数()ln af x x x x=++，试讨论函数()f x 的极值存在情况．解析：2221()1(0)a x x af x x x x x +-'=-+=>令()0f x '=，即20x x a +-=，14a ∆=+（注意这里方程根的个数需要讨论）．（1）当0∆≤ ，即14a ≤-时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值．（2）当0∆>，即14a >-时，解20x x a +-=得10x =<，2x =①若0a >，则20x >．列表如下：由上表知，2x x =时函数()f x 取到极小值，即0a >函数()f x 存在极小值．②若104a -<≤，则120x x <≤，所以()f x 在()0,+∞上单调递减，函数不存在极值．综上所述，当0a >时，函数()f x 存在极值；当0a ≤时，函数()f x 不存在极值．命题点3．已知极值求参数【例3】(1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________．( )答案 (1)－7 (2)C解析：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7．(2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103．因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．变式训练4．设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________．答案－14解析由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝11＋x－2ax －1＝－2ax 2－2a ＋1x1＋x，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x x －11＋x，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0，所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14．考点2．用导数解决函数最值问题【例4】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 的方程为3x －y ＋1＝0，在点x ＝23处y ＝f (x )取得极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在区间[－3，1]上的最大值和最小值．解析：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ．由f ′(1)＝3，可得2a ＋b ＝0．① 由f ′（23）＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0．②由①②，解得a ＝2，b ＝－4．由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4，即1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5．(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，则f ′(x )＝3x 2＋4x －4．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在区间[－3，1]上的最大值为13，最小值为9527．【归纳总结】求函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值的步骤（1）求函数在(,)a b 内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值()f a ，()f b ；（3）将函数()f x 的极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【例5 】[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0．(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2．令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x－x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0．故f (x )在（－∞，－1－4＋3a 3）和（－1＋4＋3a3，＋∞）内单调递减，在（－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a3）内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0． ①当a ≥4时，x 2≥1．由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1．由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．变式训练5．已知函数h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k ，2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解：h ′(x )＝3x 2＋6x －9，令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1，所以当x 变化时，h ′(x )，h (x )在区间(－∞，2]上的变化情况如下表所示：由表可知，当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．变式训练6．已知a ∈R ，函数f (x )＝ax＋ln x －1．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14．又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0．(2)因为f (x )＝a x＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2．令f ′(x )＝0，得x ＝a ．①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a ．③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减，所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae．综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值；当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ；当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae ．题型三函数极值和最值的综合问题【例6】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16．(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在区间[－3，3]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝3ax 2＋b ．由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝0，f （2）＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2．当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(－2，2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16．由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12．此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在区间[－3，3]上的最小值为－4．变式训练7．（2016年天津高考）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=；（Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41. 【解析】（1）()()31f x x ax b=---，()()2'31f x x a =--① 0a ≤，单调递增；②0a >，()f x 在,1⎛-∞- ⎝单调递增，在11⎛+ ⎝单调递减，在1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增（2）由()0'0f x =得()2031x a -=∴()()()320000131f x x x x b =----()()200121x x b =----()()()()32000032223132f x x x x b -=-----()[]200018896x x x b =---+- ()()200=121x x b ----()()()00132=f x f x f x ∴-=1023x x ∴+=（3）欲证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14，只需证在区间[02]，上存在12,x x ，使得121()()2g x g x -≥即可①当3a ≥时，()f x 在[]02，上单调递减(2)12f a b =-- (0)1f b =--1(0)(2)2242f f a -=->≥递减，成立当03a <<时，311f a b ⎛⎛⎛=--- ⎝⎝⎝a b =+23a b =--11f a b ⎛⎛=- ⎝⎝23a b =-- ∵(2)12f a b =-- (0)1f b =-- ∴(2)(0)22f f a -=-若304a <≤时，()()102222f f a -=-≥，成立当34a >时，411132f f ⎛⎛-=> ⎝⎝，所以，()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14成立【基础练习巩固】1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析由题意知在x ＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．2．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x 等于( )A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 答案 B解析令y ′＝2x ＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 经验证，－1ln 2为函数y ＝x ·2x的极小值点．3．已知a ，b 是实数，x ＝1和x ＝－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则f (－1)的值为（）A ．－2B ．2C ．0D ．1解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝1和x ＝－1是函数f (x )的两个极值点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f ′（－1）＝3－2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3. 所以f (x )＝x 3－3 x ，所以f (－1)=2，选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.5．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(b >－2)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0. 所以函数y ＝xf ′(x )在区间(a ，－2)(a <－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )(－2<b <0)内的函数值为负，由此可排除选项A ，B ，D.6．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1，2]上的最大值是________．答案 8解析 y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23．∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8，所以最大值为8． 7．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．答案－173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝1. 比较f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，可知最小值为－173. 8．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x＋a ＝0有大于零的解，∵x >0时，－e x<－1， ∴a ＝－e x<－1.9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 (22，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22，∴a 的取值范围是(22，＋∞)．10．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________．答案 (－1,1)解析令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ，则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，－a )－a (－a ，a )a(a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗从而⎩⎨⎧－a 3－3a －a ＋b ＝6，a 3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)．11．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝x －2x －3x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.综上，f (x )的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.12．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解 (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，k －1)k －1(k －1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋f (x )↘－ek －1↗所以，f (2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 13．设f (x )＝ex1＋ax2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax1＋ax22.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1212⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 32⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞↗↘↗所以x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．14．已知函数f (x )＝a e 2x－b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x＋2b e －2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立，即2(a －b )(e 2x－e－2x)＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x－e －2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－3≥22e 2x ·2e－2x－3＝1>0，当且仅当2e 2x＝2e－2x，即x ＝0时，“＝”成立．故f (x )在R 上为增函数． (3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－c ，而2e 2x ＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t－c ＝0有两根t 1＝c －c 2－164>0，t 2＝c ＋c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，当x <x 1时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．15．（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －e e x ，其中a ∈R，e=2．718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立．（I ）2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>(0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减． 0a >当时，由'()f x =0，有x =当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增．（II ）令()s x =1ex x --，则'()s x =1e 1x --．当1x >时，'()s x >0，所以1ex x ->，从而()g x =111ex x -->0．（iii ）由（II ），当1x >时，()g x >0．当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<．故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >．当102a <<>1．由（I ）有(1)0f f <=,从而0g >，所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立．当12a ≥时，令()h x =()f x -()g x (1x ≥)．当1x >时，'()h x =122111112e xax x x x x x x --+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>．因此()h x 在区间1+)∞（，单调递增．又因为(1)h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x >0，即()f x >()g x 恒成立．综上，a ∈1+)2∞[，．。

函数的极值与导数

函数的极值与导数
极值与导数是求解函数的基本工具，在数学中有很重要的地位，它们可以用来表示函数的最大值或最小值、函数的斜率或变化率等重要性质，因此，对于任何一个函数问题，熟练掌握极值与导数的计算方法非常重要，让我们充分利用函数模型，熟练运用极值与导数，可以帮助我们解决一些函数问题，例如寻找最优解等问题。

极值是指函数的最大值或最小值，它可以用来表示函数在一定的范围内的最大值或最小值，如果函数在范围内只存在一个最大值或最小值，则称其为极大值或者极小值。

一般来说，极值的函数的曲线在图形上是转折的，它具有拐点或拐角的特点，这样的特点可以帮助我们确定最大值和最小值。

导数是函数的变化率，它可以用来表示函数在某一点上的斜率，可以精确地表示函数的变化率。

如果求出函数的导数，则可以很容易地推出函数的变化情况，而且也可以得到函数的极值。

因此，在解决一些函数问题的时候，正确求出函数的导数，才能判断函数在某一点处是否为极值，以此来寻找最优解。

综上所述，极值与导数都是在计算函数最大最小值，以及判断函数是否存在极值的非常有用的工具。

准确掌握极值与导数的计算方法，无疑可以提高解决函数问题的能力，同时也可以帮助我们找到最优解。

导数与曲线的极值

导数与曲线的极值导数是微积分中一个重要的概念，它与曲线的极值密切相关。

导数可以帮助我们确定函数曲线上的极值点，这对于解决数学问题和应用问题非常有用。

本文将探讨导数与曲线的极值之间的关系，并通过实例加深理解。

一、导数的定义与计算方法导数是函数在某一点的变化速率，表示函数曲线的斜率。

在数学上，导数可以用极限的方式定义，也可以使用微分的方式计算。

常见的导数计算方法包括：使用第一原理定义导数进行极限运算、使用基本函数的导数法则、使用链式法则、使用导数表等。

二、导数与曲线的斜率导数与曲线的斜率有密切的关系。

在曲线上的每一点，导数的值就是该点处曲线的斜率。

当导数为正值时，曲线上的点在上升；当导数为负值时，曲线上的点在下降；当导数为零时，曲线上的点达到极值。

三、导数与曲线的极值导数为零的点被称为曲线的驻点，也就是曲线上的极值点或拐点。

其中，导数为零的点称为极值点。

当函数从增长转为减小时，该点被称为极大值点；当函数从减小转为增长时，该点被称为极小值点。

四、极值点的判断判断一个函数在某一点处的极值，可以使用一阶导数的方法。

首先，求出函数的一阶导数；然后，令一阶导数等于零，并求出导数为零的解；最后，通过二阶导数的符号来判断这个解是极大值点还是极小值点。

若导数为正的区间转为导数为负的区间，则存在极大值；若导数为负的区间转为导数为正的区间，则存在极小值。

五、案例分析下面我们通过一个具体的案例来加深对导数与曲线极值的理解：例：求函数$f(x) = x^3 - 3x$的极值点。

解：首先求出一阶导数：$f'(x) = 3x^2 - 3$令导数等于零，解方程得到：$3x^2 - 3 = 0$化简可得：$x^2 - 1 = 0$解得：$x = \pm 1$然后求二阶导数：$f''(x) = 6x$代入$x = -1$和$x = 1$，得到：$f''(-1) = -6$和$f''(1) = 6$由此可知，当$x = -1$时，$f(x)$取得极小值；当$x = 1$时，$f(x)$取得极大值。

函数的极值与导数

1 答：（1）a=- ,b =-2. (2) f 2 2 49 = f (( x)极大 3 )= 27 ； f 1 =f （ 1 ） =. ( x)极小 2
判定极值的第二充分条件设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则
(1)当f ( x0 ) 0时，x0为f ( x)的极大值点， (2)当f ( x0 ) 0时，x0为f ( x)的极小值点.
4)列表考察 f ' ( x)的符号
xБайду номын сангаас(-∞，-1)
f’(x) f(x)
-1 0
(-1，0)
0 0
极小值 -1
(0，1） 1 (1，+∞)
-
-
+
0
+
由上表知，函数有极小值f '(0) 1, x1 1, x3 1不是极值点。
例3
2 2 求 y ln x 4x 的极值．
2 2 y ln x 4 x 解函数定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)
11 41 2 f (1) ，f (1) ，f (2) , 6 6 3 可知f ( x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
11 最大值为f (1) . 6 41 最小值点为x 1，最小值为f (1) . 6
2 例7 设f ( x) 1 ( x 3 最小值.
(1 2 ,)

y
y
极大值为-1-2ln2．
例4 求y
8
8 3 3 x

2 3 3 x 的极值与极值点 .
2
解所给的函数定义域为 (, ) .
y
5 x3

导数与极值

导数与极值导数是数学中非常重要的术语，它表示一个函数曲线的斜率和变化率。

换句话说，它是描述变化情况的函数曲线的参数。

在分析数学中，人们常常用导数来研究函数的变化情况，即函数在某点的斜率和变化率的概念。

它可以使我们更加清楚地理解函数的变化，进而根据斜率和变化率来研究函数的最值情况。

二、导数的计算计算导数时，首先要了解函数曲线的变化情况，这就要先定义函数中的一些参数，如函数的参数和变量，函数的关系式，函数的定义域等。

这里的函数曲线的变化情况可以用微分的方法来进行描述。

微分是一种分析函数变化的方法，它可以根据导数的概念来描述函数点的变化情况。

所以，一般情况下，可以根据定义域中某一点的函数值，求出该点的导数，也就是斜率和变化率。

三、极值极值是描述函数在某一点变化率最快或最慢的参数。

函数在某一点处的变化情况由导数来描述，而函数在极值点处的变化情况可以由导数的特殊性来描述。

特别的，如果函数的某一点的导数等于0，那么它就是极值点，其变化率也就是最慢；相反，如果函数的某一点的导数不为0，那么它就不是极值点，其变化率也就可能是最快。

四、极值的应用极值的应用十分广泛，它可以帮助我们找出不同变量间的最佳状态，充分利用变量的资源，从而达到最佳的结果。

比如，在经济学中，人们可以通过极值来分析最优状态下的投资；在管理学中，人们可以通过分析极值来确定最佳的组织结构；在生物学中，人们可以通过极值来分析最佳的生物行为，等等。

五、总结导数是数学中十分重要的概念，它表示函数曲线在某点处的斜率和变化率。

通过求导，我们可以找到函数曲线的最值情况，从而分析函数变化的情况。

极值则是函数在某一点变化率最快或最慢的参数，它可以用于求解各种经济学、管理学、生物学等问题。

高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值

高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值高中数学知识点总结：导数的应用之函数的极值与最值在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它被广泛应用于各个数学领域。

其中的一个应用就是求解函数的极值与最值。

本文将针对这一知识点进行总结和讨论。

I. 导数和极值函数的极值指的是函数在某个区间上的最大值或最小值。

在求解极值问题时，我们可以利用导数的性质来进行分析和计算。

下面是一些常见的求解函数极值的方法：1. 极值的必要条件若函数f(x)在x=a处取得极值，那么导数f'(a)存在，且f'(a)=0，或者导数不存在（函数在该点有间断点或者不可导）。

2. 极值的充分条件若函数f(x)在x=a点的左右两侧导数符号相反，即f'(a-)和f'(a+)异号，那么f(x)在x=a处取得极值。

- 若f'(a-)>0且f'(a+)<0，那么极值为极大值；- 若f'(a-)<0且f'(a+)>0，那么极值为极小值。

3. 临界点和拐点临界点是指导数为零或不存在的点，对于一元函数来说，临界点多对应于函数的极值点。

拐点是指在函数图像上出现凹凸性突变的点，即曲线的凸度方向改变的点。

II. 求解函数的极值步骤在应用导数求解函数极值时，一般需要按照以下步骤进行：1. 求取函数f(x)的导数f'(x)。

2. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的临界点。

3. 利用极值的充分条件，对临界点进行分析判断。

4. 若需要，进一步计算临界点处的函数值和边界点处的函数值进行比较。

5. 得到函数的极值。

III. 求解函数的最值函数的最大值和最小值称为最值，求解最值问题需要考虑函数的定义域和导数的变化情况。

下面是一些常见的求解函数最值的方法：1. 函数在开区间内求最值若函数f(x)在开区间(a, b)内进行求最大值，我们需要进行以下步骤：- 求取函数f(x)的导数f'(x)。