江苏省高考第二轮复习高三数学小题训练8 Word版含解析

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2023年江苏省八市高考数学二调试卷+答案解析(附后)

2023年江苏省八市南通﹑泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城高考数学二调试卷1. 若M ，N 是U 的非空子集，，则( )A. B.C. D.2. 若，则( )A. B.C.D.3. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为( )A. 60B. 80C. 100D. 1204. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧.若在B ，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为( )A. B. C.D.5. 在平行四边形ABCD 中，，若，则( )A. B. C.D.6. 记函数的最小正周期为若，且，则( )A.B.C.D.7. 已知函数的定义域为R ，是偶函数，是奇函数，则的最小值为( )A. eB. C. D. 2e8. 已知，分别是双曲线C ：的左、右焦点，点P 在双曲线上，，圆O ：，直线与圆O 相交于A ，B 两点，直线与圆O 相交于M ，N 两点，若四边形AMBN 的面积为，则C 的离心率为( )A. B. C. D.9. 已知甲种杂交水稻近五年的产量单位：数据为：，，，，，乙种杂交水稻近五年的产量单位：数据为：，，，，，则( )A. 甲种的样本极差小于乙种的样本极差B. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差D. 甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数10.已知数列的前n 项和为，，若，则k 可能为( )A. 4B. 8C. 9D. 1211. 如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，若将正三棱锥绕BC 旋转，使得点A ，P 分别旋转至点，处，且，B ，C ，D 四点共面，点，D 分别位于BC 两侧，则( )A.B.平面C. 多面体的外接球的表面积为D. 点A ，P 旋转运动的轨迹长相等12. 已知，，则( )A.B. C. D.13. 已知点P 在抛物线C ：上，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，点F为C 的焦点.若，点P 的横坐标为1，则______ .14. 过点作曲线的切线，写出一条切线的方程______ .15. 已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为，下边长为1m ，且下边距地面若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为______16. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数：，为n 的所有正因数之和，如，则______ ；______ .17. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知若，求；若，求的面积.18. 已知正项数列的前n 项和为，且，，求；在数列的每相邻两项，之间依次插入，，…，，得到数列：，，，，，，，，，，…，求的前100项和.19. 如图，在圆台中，，AB 分别为上、下底面直径，且，，为异于，的一条母线.若M 为AC 的中点，证明：平面；若，，，求二面角的正弦值.20. 我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量单位：与遥测雨量单位：的关系，统计得到该地区10组雨量数据如表：样本号i 12345678910人工测雨量xi遥测雨量yi并计算得求该地区汛期遥测雨量y 与人工测雨量x 的样本相关系数精确到，并判断它们是否具有线性相关关系；规定：数组满足为“Ⅰ类误差”；满足为“Ⅱ类误差”；满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望.附：相关系数21. 已知椭圆的离心率为，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A、B两点，与直线相交于点若，求证：；过点F作直线l的垂线m与E相交于C、D两点，与直线相交于点求的最大值.22. 已知函数若，，求实数a的取值范围；设，是函数的两个极值点，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为，所以，A正确，B错误；因为M，N是U的非空子集，所以，，C，D错误．故选：根据集合交集的运算性质可得集合的包含关系即可一一判断．本题主要考查集合的交集和补集运算，集合的包含关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：故选：根据复数的四则运算，计算即可．本题考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：当时，，解得，则的展开式第项，令，解得，所以故选：根据各项系数和求出n，再由二项展开式通项公式求解即可．本题主要考查二项式定理，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：如图，设球的半径为R，则，，，，故选：根据三角函数可得，利用，求解R即可．本题考查解三角形问题，数形结合思想，化归转化思想，方程思想，属中档题．5.【答案】D【解析】解：由题意可得，所以，，所以，故选：利用平面向量的四则运算求及平面向量基本定理出m，n即可．本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据最小正周期，可得，解得；又，即是函数的一条对称轴，所以，，解得，又，当时，故选：由最小正周期可得，再由即可得，即可求得本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：因为函数为偶函数，则，即，①又因为函数为奇函数，则，即，②联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为故选：利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值．本题主要考查了函数的奇偶性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：根据对称性，不放设点P在左支上，设圆心O到弦AB的距离为m，圆心O到弦MN的距离为n，则根据题意可得：，，，，又易知圆O的半径的平方为：，根据题意知四边形AMBN的面积为：，，，，，双曲线C的离心率故答案为：根据对称性，不放设点P在左支上，设圆心O到弦AB的距离为m，圆心O到弦MN的距离为n，则根据题意可得，从而可得，又易知圆O的半径的平方为：，从而可得四边形AMBN的面积为：，从而可根据题意建立方程，最后再化归转化，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，圆的弦长公式的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对A，，，故A对；对B，，，故B对；对C，因为甲、乙平均值都为10，所以，，显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；对D，为整数，故甲的60百分位数，乙的60百分位数为，故D对．故选：根据极差判断A，计算平均数判断B，计算方差判断C，分别计算甲乙的样本60百分位数判断本题主要考查了平均数、极差、方差和百分位数的计算，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：，当时，由，解得或舍去，所以A正确；，，，所以B错误；，所以C正确；，所以，所以D错误．故选：根据已知条件列方程，从而求得k的值．本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，，则正三棱锥中侧棱两两互相垂直，正三棱锥中侧棱两两互相垂直，则正三棱锥可以放到正方体中，当点A，P分别旋转至点，处，且，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧时，如图所示，连接，，如图所示，正方体中且，四边形为平行四边形，则有，为等边三角形，则与PC夹角为，，则与PC夹角为，选项A错误；，平面，平面，平面，选项B正确；多面体的外接球即棱长为的正方体的外接球，外接球的半径为，表面积为，选项C正确；点A，P旋转角度相同，但旋转半径不同，所以运动的轨迹长不相等，选项D错误．故选：由已知可得，正三棱锥侧棱两两互相垂直，放到正方体中，借助正方体研究线面位置关系和外接球表面积．本题考查正三棱锥的结构特征，解题的关键在于作出旋转后的图形，根据图形研究相关的性质，而正三棱锥中侧棱两两互相垂直，图形放到正方体中，又使判断线面位置关系和运算变得更简便．12.【答案】ABD【解析】解：由，可得，，，，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，由知，，，A 正确；由可得，可得时取等号，因为，所以，，，B 正确；时，，则，，，C 错误；，，令，则，，，设，，则，在单调递增，，，故D 正确．故选：证明，放缩可判断A ，由，放缩可判断B ，先证出，再放缩，根据再放缩即可判断C ，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．13.【答案】【解析】解：如图所示：不妨设点P在第一象限，联立，整理得，即，由题意得轴，则轴，则，直线PF的倾斜角为，又焦点，则，整理得，且，故，，即，，解得或不合题意，舍去；故答案为：不妨设点P在第一象限，可得点，则直线PF的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于p的等式，求解即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：，，设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，代入点，得，即，解得或，当时，切线方程为；当时，切线方程为故答案为：答案不唯一设切点坐标，利用导数求切线斜率，代入点求出未知数即可得到切线方程．本题主要考查了利用导数求曲线上某点处的切线方程，属于中档题．15.【答案】【解析】解：因为窗户下边长1m，所以留在底面上影子矩形的长为1m，又影子矩形的面积为，所以矩形的宽为，设影子矩形靠近墙的边长到窗户底部墙的距离为x，则，解得，所以窗户与地面影子之间光线所形成的几何体为两个底面为直角三角形，高为1的直三棱柱体积之差，其中大三棱柱底面直角三角形两直角边为，小三棱柱底面直角三角形两直角边长为1m，所以故答案为：根据题意，所得几何体体积为两个直三棱柱体积之差求解即可．本题考查简单几何体的体积计算，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：根据新定义可得，，因为，正因数，，，⋯，，，，，⋯，，⋯，，，，⋯，，所以故答案为：42；根据为n的所有正因数之和，直接计算，分析的正因数的特点，利用等比数列求和求解．本题主要考查归纳推理的应用，属于基础题．17.【答案】解：在中，，则，，，即①，又②，联立①②得，即，又，，由①得，；，在中，由正弦定理得，又，则，的面积为【解析】根据题意和两角差的正弦公式可得，结合和角的范围，求解即可得出答案；由正弦定理可得，则，结合三角形面积公式，求解即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，当时，，因为，所以，故当时，适合上式，所以，方法因为，，所以当时，所以所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，设，则，因为，所以所以的前100项是由14个1与86个2组成．所以方法设，则，因为，所以根据数列的定义，知…【解析】根据，的关系，即可求解，根据的形成规律，分组即可求解．本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：如图，连接因为在圆台中，上、下底面直径分别为，AB，且，所以，，为圆台母线且交于一点P，所以A，，，C四点共面．在圆台中，平面平面，由平面平面，平面平面，得又，，所以，所以，即为PC中点．在中，又M为AC的中点，所以因为平面，平面，所以平面；以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为，所以则因为，所以所以，所以设平面的法向量为，所以，令，则，所以，又，设平面的法向量为，所以，令，则，所以，所以设二面角的大小为，则，所以所以二面角的正弦值为【解析】如图根据题意和圆台的结构可知平面平面，有面面平行的性质可得，根据相似三角形的性质可得为PC中点，则，结合线面平行的判定定理即可证明；建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面、平面的法向量，结合空间向量数量积的定义和同角的三角函数关系计算即可求解．本题考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．20.【答案】解：因为，代入已知数据，得所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系；依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数X的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以X的概率分布为：X0123P所以X的数学期望另解：因为，所以【解析】根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；由X的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望．本题考查相关系数的求解，离散型随机变量的分布列与期望的求解，化归转化思想，属中档题．21.【答案】解：证明：设、，因为椭圆E的焦距为2，所以，解得又因为椭圆E的离心率，所以，所以，所以椭圆E的方程为因为直线l经过、，，所以，直线l的方程为，设点、，联立可得，由，得，所以，，因此，若直线l、m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，所以，直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为，则直线m方程为，其中联立，可得，设、，则，由韦达定理可得，，易知且，将代入直线l的方程可得，即点，所以，同理可得，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为【解析】根据已知条件求出直线l的方程，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，求出点A、B的横坐标，再利用弦长公式可证得成立；分析可知直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为，则直线m方程为，其中，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出的表达式，同理可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值．本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由于，若，，则须有，又，，解得，当时，在上单调递增，，当时，由于，存在使得在上，，单调递减，此时，不成立，综上所述：实数a的取值范围为；证明：由得，当时，，在上单调递减，不成立，当时，，①当，即，，单调递增，不成立，②当，即，，解得或，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，不妨设，则，要证明：，故只需证，只需证，需证，令，则只需证，由知，时，，时，，则，又时，，，即成立，故原式得证．【解析】由已知可得，可得，当时，可得，当时，分析可得不成立；，分，两种情况，当，即，，解得或，只需证，令，则只需证，由可证结论成立．本题考查函数的导数的综合应用，考查构造函数法的应用，考查运算求解能力，属难题．。

江苏省新高考2023届高三下学期二模模拟数学试题及答案

江苏新高考二模数学模拟卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U =R ，集合{|34}=-<≤A x x ，{}25B x x =<<，则()U B A ⋃=ð（）A.{|3x x ≤-或2}x >B.{|3x x ≤-或4}x >C.{}35x x -<< D.{}24x x <≤2.当122m -<<时，复数i2im z +=-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在ABC 所在平面内，D 是BC 延长线上一点且4BD CD =，E 是AB 的中点，设AB a=，AC b= ，则ED =（）A.1455a b + B.3144a b +C.5463a b-+ D.5564a b-+ 4.已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将其图象向右平移3π个单位长度后关于y ()f x 的解析式可能为（）A.()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.7()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.在1220 ，，，这20个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（）A.257B.119C.338D.136.菠萝眼常有两种剔除法：用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线.现有一个波萝准备去眼，假设：()1该菠萝为圆柱体，菠萝有64个菠萝眼，都均匀的错位排列在侧面上(如图2甲());2若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3cm ，且侧棱与底面成60︒夹角的正四棱锥();3若使用三角刀，可挖出8根螺纹条，其侧面展开图如图2丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼A ，B的距离为()cm .h 若将8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为()8cm h ，其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为()1.4cm ，顶角为30︒，则当菠萝眼的距离h 接近于（）cm 时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多(参考数据：3 1.7)≈A.1.7B.1.8C.1.9D.2.07.设2log 3a =，123b =，132c =，则（）A.a c b <<B.a b c <<C.c b a<< D.c<a<b8.记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（）A.1B.2C.5D.8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知A BCD -是棱长均为1的三棱锥，则（）A.直线AB 与CD 所成的角90B.直线BC 与平面ACD 所成的角为60C.点C 到平面ABD 的距离为63D.能容纳三棱锥A BCD -的最小的球的半径为6410.已知0a >，0b >，且21a b +=，则（）A.2a b ≤B.1222a b<<C.22log log 1a b +≥- D.21a b ->-11.已知椭圆2211612x y +=，点F 为右焦点，直线()0y kx k =≠与椭圆交于P Q ，两点，直线PF 与椭圆交于另一点M ，则（）A.PQM 周长为定值B.直线PM 与QM 的斜率乘积为定值C.线段PM 的长度存在最小值D.该椭圆离心率为1212.已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()22,2122,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩,下列叙述正确的是（）A.存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根B.当122x x <<-时，有()()12f x f x >C.当0x a <≤时，()f x 的最小值为1，则13a ≤≤D.若关于x 的方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，则32m -＝三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式2nx ⎛+ ⎝的展开式的第5项为常数项，则n =__________．14.过点()3,2P -且与圆C ：222410x y x y +--+=相切的直线方程为__________15.已知曲线21y x =-与31y x =+在0x x =处的切线互相垂直，则0x =__________16.设过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 与C 交于M N ，两点，若3FN FM = ，且0OM FN ⋅= （O 为坐标原点），则C 的离心率为__________四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，csin cos B b A b =+．（1）求A ；（2）若2c =，1cos b C-=sin C ．18.已知矩形ABCD，1AB AD ==，，M 为AD 的中点，现分别沿BM ，CM 将ABM 和DCM △翻折，使点,A D 重合，记为点P．（1）求证：;BC PM ⊥（2）求直线BC 与平面PMC 所成角的正弦值．19.为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.（1）获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()E ξ；（2）某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求()2P η=．20.已知数列{}n a 满足112a =-，()1120n n n a na +++=.数列{}n b 满足11b =，1n n n b k b a +=⋅+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当1k ≤时，1132n n n b -+≤-．21.如图，过y 轴左侧的一点P 作两条直线分别与抛物线24y x =交于,A C 和,B D 四点，并且满足3PC PA = ，3PD PB =．（1）设CD 的中点为M ，证明PM 垂直于y 轴.（2）若P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，求PAB 面积的最小值．22.已知函数()()1211e2x f x x a x ax -=---+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间;（2）若函数()f x 在()0,∞+的最小值为12-，求a 的最大值．江苏新高考二模数学模拟卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U =R ，集合{|34}=-<≤A x x ，{}25B x x =<<，则()U B A ⋃=ð（）A.{|3x x ≤-或2}x >B.{|3x x ≤-或4}x >C.{}35x x -<< D.{}24x x <≤【答案】A 【解析】【分析】先求出集合A 的补集，再与集合B 求并集．【详解】{|3U A x x =≤-ð或4}x >，{}25B x x =<<，所以(){|3U A B x x =≤- ð或2}x >，故选：A ．2.当122m -<<时，复数i 2im z +=-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．【详解】()()()()i i i 21i 2i 22525i 2i m m m m z -++-+===+-++因为12,2m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2120,055m m-+，故复数z 在复平面内的对应点位于第二象限，故选：B ．3.在ABC 所在平面内，D 是BC 延长线上一点且4BD CD =，E 是AB 的中点，设AB a=，AC b= ，则ED =（）A.1455a b + B.3144a b +C.5463a b-+ D.5564a b-+【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用AB 、AC 表示ED即可判断作答.【详解】在ABC 所在平面内，D 在BC 延长线上，且4BD CD =，则43BD BC =，又E是AB 的中点，所以2)14141454()2332363(ED EB BD AB BC AB AC AB a b a a b =+=+=+-=+-=-+ .故选：C4.已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将其图象向右平移3π个单位长度后关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（）A.()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.7()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于y 轴对称及||2ϕπ<得到ϕ的值，进而可得函数()y f x =可能的解析式．【详解】解：由题意知22πωπ==．将()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移3π个单位长度后得到sin 23y x πϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，因为其图像关于y 轴对称，所以2,32k k Z ππϕπ-=+∈．又||2ϕπ<，所以6πϕ=．即()sin(26f x x π=+，由诱导公式知()sin 2cos 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．5.在1220 ，，，这20个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（）A.257B.119C.338D.13【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得公差9d ≤，进一步确定满足题意的可能情况数，再由古典概型概率公式计算即可．【详解】因为三个数成递增等差数列，设为,,2a a d a d ++，按题意必须满足220a d +≤，9d ≤，若给定了d ，则a 可以取1,2,,202d - ，故三数成递增等差数列的个数为912)109d d -=⨯∑，所以三数成递增等差数列的概率为3201093C 38⨯=，故选：C ．6.菠萝眼常有两种剔除法：用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线.现有一个波萝准备去眼，假设：()1该菠萝为圆柱体，菠萝有64个菠萝眼，都均匀的错位排列在侧面上(如图2甲());2若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3cm ，且侧棱与底面成60︒夹角的正四棱锥();3若使用三角刀，可挖出8根螺纹条，其侧面展开图如图2丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼A ，B 的距离为()cm .h 若将8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为()8cm h ，其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为()1.4cm ，顶角为30︒，则当菠萝眼的距离h 接近于（）cm 时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多?(1.7)≈A.1.7B.1.8C.1.9D.2.0【答案】B 【解析】【分析】根据棱锥及棱柱的体积的计算公式即可得到答案．【详解】欲使留下的果肉一样多，只需两种刀法下削掉的菠萝果肉的体积一样大．若用去眼刀削菠萝，削掉的每个菠萝眼视为一个正四棱锥，该椎体的高为333sin602⨯︒=，底面对角线长为23cos603⨯︒=，故正四棱锥的体积为1933933224⨯⨯=，菠萝眼共有64个，故用去眼刀去掉的菠萝果肉的体积为644⨯，若用三角刀削菠萝削掉的每根螺纹条视为一个直三棱柱，其底面的高为()(0.70.70.72tan15tan 4530==⨯︒︒-︒，底面积为((11.40.7222⨯⨯⨯+=⨯+，直三棱柱的体积为(0.4928h ⨯+⨯，故用三角刀去掉的菠萝果肉的体积为(0.49288h ⨯+⨯⨯，由题可得：(930.49288644h ⨯⨯⨯=⨯，则()()9393921.73 3.64 1.840.49 1.96 1.96h ⨯⨯⨯-==≈=⨯，故选：B ．7.设2log 3a =，123b =，132c =，则（）A.a c b <<B.a b c <<C.c b a<< D.c<a<b【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数以及对数的运算，并借助中间量进行比较，即得答案．【详解】223log 3log 2a =>=，333272(28c =<=，所以32c <，由于5832<，所以25log 38<，即28log 3 1.65<=，而123 1.7b ==>，所以c<a<b ，故选：D ．8.记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（）A.1 B.2C.5D.8【答案】D 【解析】【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1，设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ），对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意．在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i ==，对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d A C d A C ==，平面234C C C 符合题意，即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个；设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G ，当平面α经过234A A A △的中位线EF 时，如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，又34//EF A A ，EF ⊂平面2B EF ，34A A ⊄平面2B EF ，可得34A A //平面2B EF ，且E 、F 分别为2324,A A A A 的中点，则2A 、3A 、4A 到平面2B EF 的距离相等，因此平面2B EF 符合题意．如下图3：对于平面34B B FE ，3B 在线段13A A 上，4B 在线段41A A 上，且131433442A B A B A B A B ==，利用三角形相似可知1313332A A d A B d A B ==，又34//EF A A ，EF ⊂平面34B B FE ，34A A ⊄平面34B B FE ，可得34A A ∥平面34B B FE ，且E 、F 分别为2324,A A A A 的中点，则2A 、3A 、4A 到平面34B B FE 的距离相等，因此平面34B B FE 符合题意．对于中位线EG GF 、，也有类似结论,即平面α经过234A A A △的某条中位线时，满足条件的平面有6个，综上所述，符合题意的平面共有8个．故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知A BCD -是棱长均为1的三棱锥，则（）A.直线AB 与CD 所成的角90B.直线BC 与平面ACD 所成的角为60C.点C 到平面ABD 的距离为63D.能容纳三棱锥A BCD -的最小的球的半径为64【答案】ACD 【解析】【分析】根据正四面体的结构特征、线面垂直判定及性质、线面角定义逐一计算或判断各项正误即可．【详解】A ：若E 为CD 中点，连接,AE BE ，由题设知：各侧面均为等边三角形，所以,AE CD BE CD ⊥⊥，AE BE E =I ，,AE BE ⊂面ABE ，则CD ⊥面ABE ，又AB ⊂面ABE ，故AB CD ⊥，正确；B ：若F 为面ACD 中心，连接BF ，则BF ⊥面ACD ，CF ⊂面ACD ，所以直线BC 与平面ACD 所成的角为BCF ∠，且BF CF ⊥，而2331323CF =⨯⨯=，故cos 3CF BCF BC ∠==，显然BCF ∠不为60 ，错误；C ：由B 分析3BF ==，即该正棱锥的体高为3，故C 到平面ABD 的距离为63，正确；D ：显然正棱锥的外接球半径最小，令其外接球半径为R ，则22263()33R R =-+，所以64R =，正确.故选：ACD10.已知0a >，0b >，且21a b +=，则（）A.a ≤B.1222a <<C.22log log 1a +≥- D.21a b ->-【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 利用基本不等式可判断；对于B 利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断；对于C 可用特殊值法判断；对于D 直接根据不等式的基本性质判断即可．【详解】0a > ，0b >，且21a b +，212a b ∴=+≥，()((22222a b a a ∴+≥+∴+≤，，当且仅当22a ==取等号，故A 正确；0a > ，0b >，且21a b +=，010111a a ∴<<<<∴-<<∴，，，1222a <<，故B 正确；则21a b b ->->-，故D 正确；取2122a ==，则223log log 12a +=-<-，故C 错误.故选：ABD ．11.已知椭圆2211612x y +=，点F 为右焦点，直线()0y kx k =≠与椭圆交于P Q ，两点，直线PF 与椭圆交于另一点M ，则（）A.PQM 周长为定值B.直线PM 与QM 的斜率乘积为定值C.线段PM 的长度存在最小值D.该椭圆离心率为12【答案】BCD 【解析】【分析】通过k 取不同值求出周长即可判断A ，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B ，确定线段PM 取最小值的条件即可判断C ，确定a 、c 的值即可求出离心率从而判断D ．【详解】该椭圆中42a b c ===，，则()2,0F ，所以离心率为12，故D 正确；设()11,M x y ，()22,P x y ，()22Q x y --，，则在PM 、QM 斜率都存在的前提下有1212PM y y k x x -=-，1212QM y y k x x +=+，于是()()()()2212121222121212PM QMy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+-221222123312124434x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--为定值，故B 正确；由题意可设PM 的方程为2x my =+，联立22116122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 得()223412360m y my ++-=，则1212221236,3434m y y y y m m +=-=-++，所以()2224134m PM m +===+2222424134311m m m ==++++，则当0m =时，min6PM =，所以线段PM 的长度存在最小值，故C 正确.当216k =时，直线216y x =与椭圆2211612x y +=交于点2132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，和2132⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，不妨取点P 为2132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，得直线PF 方程为()2122y x =-，求得交点M 为132124⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则254PM =，2174QM =，PQ =PQM的周长为2521744++，当32k =时，联立221161232x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2x =±，不妨取()2,3P ，则PM 垂直于x 轴，此时6PM =，4QM =，PQ =，此时PQM的周长为10+，显然PQM 周长不为定值，故A 错误；故选：BCD ．12.已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()22,2122,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩,下列叙述正确的是（）A.存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根B.当122x x <<-时，有()()12f x f x >C.当0x a <≤时，()f x 的最小值为1，则13a ≤≤D.若关于x 的方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，则32m -＝【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据函数的奇偶性得到()f x 在R 上的解析式，画出函数图象，数形结合得到当12k <<-时，y kx =与()f x 的图象有7个交点，即方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根，A 正确；由图象可得<2x -时，()y f x =单调递减，从而得到B 正确；由()11f =，令211x =-，解得：3x =，数形结合得到13a ≤≤，C 正确；求出()32f x ＝的所有实数根之和为123133x x x ++=，进而当<2x -时，2313513=--+，再结合对称性得到32m -＝时，方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，从而35m =-或32-，D 错误.【详解】因为()f x 为定义域为R 的奇函数，当<2x -时，2x ->，故()()2211f x f x x x =--=-=--+，当20x -≤<时，02x <-≤，故()()()222222f x f x x x x x ⎡⎤=--=--++=---⎣⎦，当0x =时，()0f x =，综上：()222,2122,020,022,202,21x x x x x f x x x x x x x ⎧>⎪-⎪-+<≤⎪⎪==⎨⎪----≤<⎪⎪<-⎪+⎩，画出函数()f x的图象，如下：存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根，理由如下：如图1，当1k =时，直线1:l y x =与()f x 的图象有5个交点，联立y kx =与()222f x x x =-+，()2220xk x -++=，由()2280k ∆=+-=且0k >得：2k =，且此时()2y x =与()222f x x x =---联立，220x ---=，其中(280∆=--=，故2k =时，直线()2:2x l y =与两抛物线刚好相切，故有5个交点，则当12k <<-时，y kx =与()f x 的图象有7个交点，即关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根，A正确；当<2x -时，()y f x =单调递减，故当122x x <<-时，有()()12f x f x >，B 正确；由图象可知：()11f =，令211x =-，解得：3x =，当0x a <≤时，()f x 的最小值为1，则13a ≤≤，C 正确；令()32f x ＝，当02x <≤时，23222x x -+=，设两根为12,x x ，则12221,122x x =+=-，当2x >时，2312x =-，解得：373x =，故()32f x ＝的所有实数根之和为123133x x x ++=，当<2x -时，2313513=--+，故当35m =-时，方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，由对称性可知32m -＝时，方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，综上：35m =-或32-，D 错误.故选：ABC【点睛】数形结合在研究函数与方程方面具有重要作用，通常函数零点，方程的根及两函数的交点可互相转化进行求解，本题中()f x kx ＝实数根个数问题，要转化为两函数()y f x =与y kx =的交点个数问题，再同一平面直角坐标系中画出()y f x =与y kx =的图象，用数形结合的思想求解.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式2nx ⎛+ ⎝的展开式的第5项为常数项，则n =__________．【答案】6【解析】【分析】根据二项式通项公式和展开式的第5项为常数项建立方程即可得解．【详解】二项式2nx ⎛ ⎝展开式的通项公式为23321C 2n r r r n r nT x --+⋅=，由展开式中，第5项为常数项，此时4r =，则23402n -⨯=，即6n =．故答案为：6.14.过点()3,2P -且与圆C ：222410x y x y +--+=相切的直线方程为__________【答案】3x =或3410x y +-=【解析】【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．【详解】解：将圆C 方程化为圆的标准方程()()22124x y -+-=，得圆心()1,2C ，半径为2r =，当过点()3,2P -的直线斜率不存在时，直线方程为3x =是圆C 的切线，满足题意；当过点()3,2P -的直线斜率存在时，可设直线方程为()23y k x +=-，即320kx y k ---=，2=，解得34k =-，即此直线方程为3410x y +-=，故答案为：3x =或3410x y +-=．15.已知曲线21y x =-与31y x =+在0x x =处的切线互相垂直，则0x =__________【答案】366-【解析】【分析】求导得切线斜率，根据切线垂直的斜率关系建立方程即可得解．【详解】由21y x =-，得2y x '=，则曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为102k x =，由31y x =+，得23y x '=，则曲线31y x =+在0x x =处的切线斜率为2203k x =，则根据题意有121k k =-，即3061x =-，得0366x =-．故答案为：6-.16.设过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 与C 交于M N ，两点，若3FN FM = ，且0OM FN ⋅= （O 为坐标原点），则C 的离心率为__________【解析】【分析】利用双曲线的定义结合向量知识建立关于a 、c 的方程即可求出离心率．【详解】如图，设P 为MN 中点，MF t =，由3FN FM =可知3FN t =，MP PN t ==，由双曲线的定义可知22MF t a =+，232NF t a =-，由0OM FN ⋅=可知OM FN ⊥，又O 为2FF 中点，M 为FP 中点，可知2OM PF ，则2PF FN ⊥,从而2PF 为线段MN 的垂直平分线，22MF NF =，即232t a t a +=-，所以2t a =，则2MNF 为正三角形，2PF =，在直角△2FPF 中，22222FP PF FF +=，即222(4))(2)a c +=，所以e =．．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c sin cos B b A b =+．（1）求A ；（2）若2c =，1cos b C-=sin C ．【答案】（1）π3；（2）22.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式及三角函数性质求解作答.（2）利用正弦定理结合已知变形，再由差角的正弦公式求解作答.【小问1详解】在ABC sin cos B b A b =+及正弦定理得sin sin cos sin A B B A B =+，而sin 0B ≠，cos 1A A =+，即cos 1A A -=，整理得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又ππ5π666A -<-<，则ππ66A -=，所以π3A =.【小问2详解】由正弦定理sin sin c b C B =，得sin sin c B b C=，而1cos b C -=2sin 1sin BC C -=，即2sin sin cos B C C C -=，而2π3B C =-，因此2π2sin sin cos 3C C C C ⎛⎫--=⎪⎝⎭，整理得cos C C C =，显然cos 0C ≠，解得sin 2C =，所以sin 2C =.18.已知矩形ABCD ，1AB AD ==，，M 为AD 的中点，现分别沿BM ，CM 将ABM 和DCM △翻折，使点,A D 重合，记为点P ．（1）求证：;BC PM ⊥（2）求直线BC 与平面PMC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】【分析】（1）取BC 的中点Q ，连接,PQ MQ ，先利用线面垂直判定定理证得BC ⊥平面PMQ ，再由线面垂直性质得证；（2）先利用线面垂直判定定理证得PB PMC ⊥平面，可得BCP ∠为直线BC 与平面PMC 所成角的平面角，从而得解．【小问1详解】已知矩形ABCD ，沿BM ，CM 将ABM 和DCM △翻折，使点,A D 重合，记为点P ，可得11BP AB CD CP ====，，取BC 的中点Q ，连接,PQ MQ ，1BP CP ∴==，BM CM =，BC MQ ∴⊥，BC PQ ∴⊥，又MQ PMQ ⊂平面，PQ PMQ ⊂平面，MQ PQ Q ⋂=，BC ∴⊥平面PMQ ，PM PMQ ⊂ 平面，BC PM ∴⊥；【小问2详解】1BP CP == ，BC AD ==，222PB PC BC ∴+=，PB PC ∴⊥，又四边形ABCD 为矩形，PB PM ∴⊥，PM PC P PM PMC PC PMC ⋂=⊂⊂ ，平面，平面，PB PMC ∴⊥平面，BCP ∴∠为直线BC 与平面PMC 所成角的平面角，2sin2BCP ∠==，即直线BC 与平面PMC 所成角的正弦值为22．19.为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.（1）获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()E ξ；（2）某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求()2P η=．【答案】（1）分布列见解析，496（2）11279000【解析】【分析】（1）根据古典概型和相互独立事件的概率乘法公式可求得分布列，进而求出离散型随机变量的期望；（2）根据随机变量η服从二项分布，利用二项分布概率公式即可得解．【小问1详解】设事件i A 为“从甲盒中取出i 个红球”，事件j B 为“从乙盒中取出j 个红球”，则()()21324C C ,01C i i i P A i -==，，()()22426C C ,012C j jj P B j -==，，,记x 为取出的4个球中红球的个数，则()()2234002246C C 10C C 5P x P A B ===⋅=，()()()2111233244011022224646C C C C 71C C C C 15C P x P A B P A B ==+=⋅+⋅=，()()()2121133224021122224646C C C C C 32C C C C 10P x P A B P A B ==+=⋅+⋅=，()()1232122246C C 13C C 30P x P A B ===⋅=，由题意得ξ的分布列为则()113749578930510156E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由（1）可知，获得7折及以下资格的概率为11730530+=．由题意得7330B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()2237711272C ()130309000P η⎛⎫==-= ⎪⎝⎭.20.已知数列{}n a 满足112a =-，()1120n n n a na +++=.数列{}n b 满足11b =，1n n n b k b a +=⋅+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当1k ≤时，1132n n n b -+≤-．【答案】（1）*(1)N 2nn n na n =-∈，；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用累乘法即可得解；（2）利用不等式的基本性质进行放缩，再由累加法和错位相减求和法即可得证．【小问1详解】根据题意，由()1120n n n a na +++=可知，0n a ≠，则112n n a n a n++=-，当2n ≥且*N n ∈时，由累乘法得()()1111121311212223212n n n a n na n --⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-⎢⎥ ⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，又112a =-，则111(1)(1)222n n n n n n n a --⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭，当1n =时，112a =-也符合上式，综上可知，*(1)N 2nn nn a n =-∈；【小问2详解】因为1(1)2nn n n n n nb k b a k b +=⋅+=⋅+-，1k ≤，所以1(1)22nn n n n n n n b k b b +≤⋅+-≤+，即12n n nn b b +-≤，当2n ≥且*N n ∈时，由累加法得121121222n n n b b ---≤+++ ，设21121222n n n S --=+++ ，则2223121222n n n S --=++++ ，所以12211111111111212122222212n n n n n n n n n S --------+=++++-=-=-- ，又11b =，则111112322n n nn n n n b b S b --++-≤=-⇒≤-，当1n =时，11b =上述不等式也成立，因此，当1k ≤时，1132n n n b -+≤-对*N n ∈恒成立．21.如图，过y 轴左侧的一点P 作两条直线分别与抛物线24y x =交于,A C 和,B D 四点，并且满足3PC PA = ，3PD PB =．（1）设CD 的中点为M ，证明PM 垂直于y 轴.（2）若P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，求PAB 面积的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）1669．【解析】【分析】（1）设出相关点坐标，结合向量关系，证得点P 、M 纵坐标相等，从而得证；（2）根据向量关系得19PAB PCD S S = ，又结合点P 在双曲线上表示出面积表达式，根据函数思想求出最小值．【小问1详解】设(),P P P x y ，(),C C C x y ，(),y D D D x ，(),M M M x y ，则由3PC PA =，3PD PB =，(,)3C P C P x x y y --=(,)A P A P x x y y --，(,)3D P D P x x y y --=(,)B P B P x x y y --，可得2233C P C Px x y y A ++⎛⎫⎪⎝⎭，，2233D P D Px x y y B ++⎛⎫⎪⎝⎭，．由点,A C 都在抛物线上可得224(2)2493C C C PC P y x y y x x ⎧=⎪⎨++=⨯⎪⎩，化简可得2221220C P C P P y y y x y -+-=，同理可得2221220D P D P P y y y x y -+-=，故C y ，D y 可视为二次方程2221220P P P y y y x y -+-=的两根，由韦达定理可得2C D P y y y +=，故2C DM P y y y y +==，由此可得PM 垂直于y 轴.【小问2详解】由（1）可得2C D P y y y +=，2122C D P P y y x y ⋅=-；由3PC PA = ，3PD PB =知19PAB PCDS S = 11922C D P C D x x x y y +⎛⎫=⋅⋅-⋅- ⎪⎝⎭221188CD P y y x ⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭2()21188C D C D P y y y y x ⎛⎫+-⋅=⋅- ⎪⎝⎭()21418P P y x =⋅-⋅()2349P P y x =-⋅=，又P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，可得224414PPP P x y x x -=--且2P x ≤-，则PABS = ，又当2P x ≤-时，24184PP x x --≥，因此，当2P x =-时PAB S 取最小值为1669．22.已知函数()()1211e2x f x x a x ax -=---+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间;（2）若函数()f x 在()0,∞+的最小值为12-，求a 的最大值．【答案】（1）单调递增区间为(),∞∞-+（2）e12-．【解析】【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；（2）求导，对a 进行分类讨论，根据函数()f x 在()0+∞，的最小值为12-，求得a 的取值范围，从而得到a 的最大值．【小问1详解】当1a =时，()()1212e 2x f x x x x -=--+，则()()()()111e 11e 1x x f x x x x --'=--+=--，令()()11()1e1,()e 1x x g x x g x x --'=--=-，()g x '在R 上单调递增，当1x <时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增，故()(1)0g x g ≥=，所以()()()11e10x f x x -'=--≥恒成立，仅当1x =时取等号，即()f x 的单调递增区间为(),∞∞-+;【小问2详解】()()()()11e e 1x x f x x a x a x a --'=--+=--当0a ≤时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在1x =取得最小值12-，符合题意；当01a <<时，(0,)x a ∈时，()0f x '>，(,1)x a ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，因为()f x 最小值为()112f -=，所以()()01f f ≥得e 12a ≤-，即e012a <≤-；当1a =时，由（1）可知()f x 单调递增，则当0x >时()f x 无最小值，不合题意；当1a >时，(0,1)x ∈时，()0f x '>，(1,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a∈+∞时，()0f x'>，则有()()112f a f<=-，不合题意；综上可得，a的最大值e12-．【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.。

江苏省高考第二轮复习高三数学小题训练3 Word版含解析

小题训练3【题文】1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()UA B = ð ．【知识点】集合及其运算A1【答案】{2，3}【解析】{2,3}A U C =则()U A B = ð{2，3} 【思路点拨】先求出补集再求结果。

【题文】2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是．【知识点】命题及其关系A2【答案】2,20x R x x m ∀∈++> 【解析】“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是2,20x R x x m ∀∈++>。

【思路点拨】根据全称命题存在命题求出否定。

【题文】3．若复数z1=a ﹣i ，z2=1+i （i 为虚数单位），且z1⋅z2为纯虚数，则实数a 的值为．【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】-1【解析】12z z ⋅=(a-i).(1+i) =(a+1)+(a-1)i 因为是纯虚数所以 a+1 = 0 a = -1【思路点拨】先化简再纯虚数的定义求出a.【题文】4．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案】-cos2【解析】由任意三角函数的定义：sin α=yr =-cos2【思路点拨】根据任意三角函数的定义求得。

【题文】5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【知识点】充分条件、必要条件A2【答案】充分不必要【解析】1a >能推出(1)2a x +>在(1,)x ∈+∞成立，(1)2a x +>，(1,)x ∈+∞，a<1 也可能成立。

【思路点拨】根据推出关系判断条件。

【题文】6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ．【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3【答案】-7【解析】∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=-8∴a4=4，a7=-2或a4=-2，a7=4当a4=4，a7=-2时，312q =-，∴a1=-8，a10=1，∴a1+a10=-7当a4=-2，a7=4时，q3=-2，则a10=-8，a1=1∴a1+a10=-7综上可得，a1+a10=-7【思路点拨】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=-8可求a4，a7，进而可求公比q ，代入等比数列的通项，求a1，a10，即可【题文】7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .【知识点】导数的应用B12【答案】2ln2-2【解析】f'(x)=2f'(1)/x-1 令x=1得: f'(1)=2f'(1)-1 f'(1)=1 所以:f(x)=2lnx-x ，f'(x)=2/x-1 f'(x)=2/x-1的零点x=2 所以:0<x<2时，f'(x)>0，f(x)是增函数 x>2时，f'(x)<0，f(x)是减函数所以:x=2是f(x)的极大值点极大值f(2)=2ln2-2【思路点拨】利用求导数，根据单调性求出极大值。

江苏省2022届高三数学二轮专题训练解答题（82）

江苏省2022届高三数学二轮专题训练：解答题（82）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.在△ABC 中，,,a b c 分别是角C B A ,,的对边，cos 5A =，tan 3B =．（1）求角的值;（2）若，求△ABC 面积．2.如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，为的中点 1求证：①∥平面；② 平面QBD ⊥平面； 2是上一点，MC BM =2，试在上找一点，使得//MN 面，给出证明3.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为（1）求|| ；（2）如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动，若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,求的最大值4.三角形中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且CbB c cos cos =, 1判断三角形的形状；2若为的中点，4,3==BD c ，求的值；3若角不是直角，是上一点，2,3==AM c ，求MC BM ⋅5.如图,某小区准备在一直角围墙内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中长为定值, 长可根据需要进行调节足够长现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积与种花的面积的比值12S S 称为“草花比” 1设DAB θ∠=,将表示成的函数关系式； 2当为多长时,有最小值最小值是多少6已知函数x x g x x f 2)(,13)(2=+=，数列满足对于一切*n N ∈有0n a >，且13(1)()()2n n n f a f a g a ++-=+．数列满足log n n a b a =，设*11,,,1313k l k l N b b l k ∈==++．（1）求证：数列为等比数列，并指出公比；（2）若5k l +=，求数列的通项公式；（3）若0k l M +=（为常数），求数列从第几项起，后面的项都满足1n a >．第17题GFEDC BA1解:1 由题意得1010cos ,10103sin ,552sin ===B B A ，所以22cos cos sin sin )cos(cos =-=+-=B A B A B A C ,所以4π=C 2由正弦定理得23sin sin =⇒=b BbA a , 所以6sin 21==∆C ab S ABC2（1）证明（略）2满足ND PN 2=上靠近的三等分点 3解：（1）1111=-+=（2）因为,OC xOA yOB =+OB OA xy OB y OA x OC ⋅++=222222所以122=-+xy y x ，则1)(4313)(22++≤+=+y x xy y x 即2≤+y x （当且仅当1==y x 时取等号） 4解：1由正弦定理得CBB C cos sin cos sin =，即C B 2sin 2sin = 所以C B 22=或π=+C B 22，即C B =或2π=+C B三角形是等腰三角形或直角三角形 2若三角形是等腰三角形由23,4,3===AD BD AB 得3619cos -=A , 易得=a 若三角形是直角三角形易得72=AC ，所以==BC a （3）三角形是等腰三角形,设y MC x BM ==,在三角形AMB 中，x x AMB 494cos 2-+=，yy AMC 494cos 2-+=所以049449422=-++-+yy x x ，得5=xy 所以5=⋅MC BM5 解:1因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ(0,)2πθ∈设正方形BEFG 的边长为,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a ta a θθ-=, 解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+ 所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==- 2因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+ 当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2aBE =所以当长为2a 时,有最小值6（1）13(1)()()2n n n f a f a g a ++-=+22133(1)312(),2n n n a a a +∴+--=+ 11623n n n n aa a a ++=⇒=即 ,故数列为等比数列,公比为３（2）1log log n n a a n n b a a b =⇒=1111log log 3n a a n n na b b a ++⇒-==所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11b 为首项,公差为 og a 3的等差数列又111313log 33k l a l k b b k l k l-+--===---113313()3a -⇒== ,又111(1)(3)k k b b =+--=13,且5k l +=，113()213k l b =+-=1113(1)(3)163163n n n n b b n ∴=+--=-⇒=-（3）0k l M +=01132M b ⇒=- 00132(1)(3)331nM n M n b ∴=-+--=-+假设第项后有1311()(0,1)log 03a n na ab =∈⇒=< ,即第项后10n b <，于是原命题等价于00110331033(1)1010mm b M M M M b +⎧>⎪-+>⎧⎪⇒⎨⎨-++<⎩⎪<⎪⎩002133M M M ⇒-<<+ *0M N M M ∈⇒=,故数列从01M +项起满足．。

江苏省2022届高三数学二轮专题训练解答题（90）

江苏省2022届高三数学二轮专题训练：解答题（90）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．本小题满分14分在△ABC 中，,,a b c 分别是角A ，B ，C的对边，cos A =，tan 3B =．（Ⅰ）求角的值;（Ⅱ）若，求△ABC 面积．解析：该题（Ⅰ）通过条件cos A =，tan 3B =求角的值考查同角三角函数关系式和正切的和角公式还考查三角形中的有关性质，（Ⅱ）考查正弦定理、同角三角函数关系式以及正弦定理面积公式，属于简单题。

解：（Ⅰ）由cos A =得sin A =，tan 2A ∴=，…………………………3分tan tan tan tan()11tan tan A BC A B A B +=-+=-=-，……………………………………… 5分又0C π<<，∴4C π=。

……………………………………… 7分（Ⅱ）由sin sin a c A C =可得，sin sin Cc a A =⨯=9分由tan 3B =得，sin B =………………………………………12分所以，△ABC 面积是1sin 62ac B = ………………………………………14分2．本小题满分14分如图，在正三棱柱ABC －A1B1C1中，点D 在边BC 上， AD ⊥C1D ．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面BC C1 B1；（Ⅱ）设E 是B1C1上的一点，当11B E EC 的值为多少时，A1E ∥平面ADC1请给出证明．解析：该题（Ⅰ）通过条件在正三棱柱ABC －A1B1C1中，点D 在边BC 上， AD ⊥C1D ．求证：AD ⊥平面BC C1 B1考查线面垂直、线线垂直的判定与性质，B1A1ABCC1D还考查三棱柱的性质；（Ⅱ）给出一个探索性问题，考查正三棱柱性质、线面平行的判定以及平面几何中平行四边形的判定和性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题。

所以四边形1A ADE 为平行四边形，所以1//A E AD ．而在平面1ADC 外，故∥平面1ADC ． ………………………14分3所以在方程2axbx x +=中，()210b -=，即：； ………………………6分所以：12a =-，即：21()2f x x x=-+ …………………………7分（Ⅱ）假设存在实数，使的定义域和值域分别为[,]m n 和[3,3]m n ，2111()(1)222f x x =--+≤, …………………………9分 11326n n ∴≤⇒≤,故f 在 [,]m n 为增函数， …………………………11分()34,()30f m m m f n n n ==-⎧⎧∴∴⎨⎨==⎩⎩又m <n …………………………13分所以存在实数4,0m n =-= …………………………13分4、本小题满分16分如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼设扇形的半径OM R = ，45MOP ∠=，与之间的夹角为（Ⅰ）将图书馆底面矩形ABCD 的面积表示成的函数（Ⅱ）若45R m =，求当为何值时，矩形ABCD 的面积有最大值其最大值是多少精确到0.01m2解析：该题是课本上的习题的改编题，（Ⅰ）中主要考查直角三角形的边角关系以及扇形中的有关计算，还考查函数建模问题；（Ⅱ）考查三角函数的和角公式以及在区间上的值域问题；该题主要考查三角函数的应用和建模问题，还考查转化与化归，属于中档偏上题。

2020—2021年最新高考总复习数学二轮复习模拟试题及答案解析(苏教).docx

2019年高考数学二模试卷一、填空题1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是．2．已知复数z=（2﹣i）（1+3i），其中i是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第象限．3．如图是一个算法流程图，如果输入x的值是，则输出S的值是．4．某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是．5．袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是．6．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ= ．7．已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，②若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）．8．如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B=60°，AD=2，AC=，DC=，则AB= ．9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A（2，0），若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN= ．10．记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且数列{}也为等差数列，则a13= ．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f （3x﹣4）的解集是．12．在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB 的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为．13．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是14．已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为．二、解答题15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC=．（1）若•=，求△ABC的面积；（2）设向量=（2sin，），=（cosB，cos），且∥，求sin （B﹣A）的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=CD=AB，AB∥DC，AD ⊥CD，PC⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB 交于点N，求PN：PB的值．17．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S 最大？18．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b ＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=2，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．19．已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．20．给定一个数列{a n}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{a n}中的先后次序，得到的数列{a n}的一个m阶子数列．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{a n}的一个3子阶数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，b m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=（k为常数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1（3）等比数列c1，c2，…，c m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+c m≤2﹣．三、选修4-1；几何证明选讲21．如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F．已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF∥BC．四、选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：（s为参数），直线l：（t为参数）．设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．六、选修4-5：不行等式选讲24．已知x，y，z都是正数且xyz=1，求证：（1+x）（1+y）（1+z）≥8．25．甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．26．已知m，n∈N*，定义f n（m）=（1）记a m=f6（m），求a1+a2+…+a12的值；（2）记b m=（﹣1）m mf n（m），求b1+b2+…+b2n所有可能值的集合．参考答案与试题解析一、填空题1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是π．考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．解答：解：∵sin2x=2sinxcosx∴f（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T==π故答案为：π点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．2．已知复数z=（2﹣i）（1+3i），其中i是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z=（2﹣i）（1+3i）=5+5i，复数z在复平面上对应的点（5，5）位于第一象限．故答案为：一．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．如图是一个算法流程图，如果输入x的值是，则输出S的值是﹣2 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出S=的值，当x=时，S==﹣2，故答案为：﹣2点评：本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．4．某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是55 ．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出对应的频数即可．解答：解：根据频率分布直方图，得；净重在区间[100，104]上的产品频率是（0.150+0.125）×2=0.55，∴对应的产品件数是100×0.55=55．故答案为：55．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．5．袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：一共有8种不同的结果，“3次摸球所得总分为低于4分”为事件A，事件A包含的基本事件为：（黑、黑、黑），由此利用对立事件概率计算公式能求出3次摸球所得总分至少是4分的概率．解答：解：一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）“3次摸球所得总分为低于4分”为事件A事件A包含的基本事件为：（黑、黑、黑），∴3次摸球所得总分至少是4分的概率：p=1﹣p（A）=1﹣=．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数事件概率计算公式的合理运用．6．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ= ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：，，可得．由E为线段AO的中点，可得，再利用平面向量基本定理即可得出．解答：解：∵，，∴，∵E为线段AO的中点，∴，∴，2μ=，解得μ=，∴λ+μ=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，②若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是③④．（填写所有真命题的序号）．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．解答：解：对于①，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，故①错误；对于②，若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n的位置关系有：平行、相交或者异面，故②错误；对于③，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可以判断α⊥β，故③正确；对于④，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，利用面面垂直、线面垂直的性质定理可以得到m⊥n；故④正确；故答案为：③④点评：本题考查了线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理．8．如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B=60°，AD=2，AC=，DC=，则AB= ．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；解三角形．分析：利用余弦定理求出∠ADB=45°，再利用正弦定理，即可求出AB．解答：解：由题意，cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=135°，∴∠ADB=45°，∵∠B=60°，AD=2，∴，∴AB=，故答案为：．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A（2，0），若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN= 1：3 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得FM=PM．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到PN=2PM，进而算出MN=3PM，由此即可得到FM：MN的值．解答：解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得FM=PM，∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得PN=2PM，得MN=3PM因此可得FM：MN=PM：MN=1：3．故答案为：1：3．点评：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．10．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且数列{}也为等差数列，则a 13= 50 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得，，的值，由数列{}也为等差数列可得2=+，解方程可得d值，由等差数列的通项公式可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a 1=2，∴=，∴=，=，∵数列{}也为等差数列，∴2=+，解得d=4，∴a13=2+12×4=50，故答案为：50．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f （3x﹣4）的解集是（1，2）．考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可．解答：解：当x≥0时，f（x）==1，当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．12．在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB 的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为 2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆．分析：因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，显然CM⊥AB，求出圆的直径，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM与∠OAM互补，即可得出结论．解答：解：因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，显然CM⊥AB，因此，四点C，M，A，O共圆，且AC就是该圆的直径，2R=AC=，在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=，根据题意，OA=OM=2，所以，=，所以sin∠OCM=，tan∠OCM=﹣2（∠OCM为钝角），而∠OCM与∠OAM互补，所以tan∠OAM=2，即直线AB的斜率为2．故答案为：2．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．13．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是．考点：两角和与差的正弦函数．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：直接对三角函数关系式中的角进行恒等变换，再利用弦化切建立一元二次不等式，最后求出结果．解答：解：知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）﹣β]，化简为：cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ，转化为：tan（α+β）=2tanβ，即，则：2tanαtan2β﹣tanβ+tanα=0，所以：△≥0，即：1﹣8tan2α≥0，解得：．由于：α为锐角，所以：，则tanα的最大值为．故答案为：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式中角的恒等变换，弦化切在做题中得应用，一元二次不等式有解得情况讨论．14．已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为10000 ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．解答：解：x∈[0，1）时，f（x）=（x﹣1）2+2（x﹣1）+1=x2，令f（x）=x﹣，得：x2﹣x+=0，∴x1+x2=1；x∈[1，2）时，f（x）=（x﹣1）2+1，令f（x）=x﹣，得：x3+x4=3，x∈[3，4）时，f（x）=（x﹣2）2+2，令f（x）=x﹣，得：x5+x6=5，…，x∈[n，n+1）时，f（x）=（x﹣n）2+n，令f（x）=x﹣，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，x∈[99，100]时，f（x）=（x﹣99）2+99，令f（x）=x﹣，得：x199+x200=199，∴1+3+5+…+199=10000，故答案为：10000．点评：本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，是一道基础题．二、解答题15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC=．（1）若•=，求△ABC的面积；（2）设向量=（2sin，），=（cosB，cos），且∥，求sin （B﹣A）的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）利用•=，求出ab的值，然后求解△ABC的面积．（2）通过∥，求出tanB的值，推出B，转化sin（B﹣A）=sin （﹣A）=sin（C﹣），利用两角和与差的三角函数求解即可．解答：解：（1）由•=，得abcosC=．又因为cosC=，所以ab==．…（2分）又C为△ABC的内角，所以sinC=．…（4分）所以△ABC的面积S=absinC=3．…（6分）（2）因为∥，所以2sin cos=cosB，即sinB=cosB．…（8分）因为cosB≠0，所以tanB=．因为B为三角形的内角，所以B=．…（10分）所以A+C=，所以A=﹣C．所以sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣）=sinC﹣cosC=×﹣×=．…（14分）点评：本题考查两角和与差的三角函数，向量共线的充要条件的应用，考查三角形的解法．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=CD=AB，AB∥DC，AD ⊥CD，PC⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB 交于点N，求PN：PB的值．考点：直线与平面垂直的判定；余弦定理．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结AC，证明BC⊥AC，BC⊥PC，利用线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAC；（2）证明AB∥MN，利用M为线段PA的中点，可得N为线段PB的中点，即可得出结论．解答：（1）证明：连结AC．不妨设AD=1．因为AD=CD=AB，所以CD=1，AB=2．因为∠ADC=90°，所以AC=，∠CAB=45°．在△ABC中，由余弦定理得BC=，所以AC2+BC2=AB2．所以BC⊥AC．…（3分）因为PC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PC．…（5分）因为PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．…（7分）（2）解：如图，因为AB∥DC，CD⊂平面CDMN，AB⊄平面CDMN，所以AB∥平面CDMN．…（9分）因为AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面CDMN=MN，所以AB∥MN．…（12分）在△PAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PN：PB的值为．…（14分）点评：本题考查线面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．17．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S 最大？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．解答：解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cos θ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cos θ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．点评：本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．18．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b ＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=2，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据椭圆的几何性质，利用离心率e以及AB的长，求出a、b的值；（2）方法一：结合椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：①CA，CB，DA，DB斜率都存在时，利用斜率的关系，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出M、N的坐标，计算k MN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，求出M、N的坐标，计算k MN的值；从而得出正确的结论．方法二：利用椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：①CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线的斜率，由直线与椭圆联立，求出M、N点的坐标，计算k MN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，求出M、N点的坐标，计算k MN的值，即可得出正确的结论．解答：解：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故椭圆方程为+=1；由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；…（5分）（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；从而k1•k CB=•====﹣，所以k CB=﹣；…（8分）同理k DB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以k MN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知k DB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而k MN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；…（16分）方法二：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2；显然k1≠k2；直线AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；设点C的坐标为（x1，y1），则2•x1=，从而x1=；所以C（，）；又B（﹣2，﹣1），所以k BC==﹣；…（8分）所以直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；又直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以k MN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，则由①知k DB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而k MN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．…（16分）点评：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的综合应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是较难的题目．19．已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的解析式，求出导数和切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出k=5时f（x）的解析式和导数，求得单调区间和极小值，再由函数的零点存在定理可得（1，10）之间有一个零点，在（10，e4）之间有一个零点，即可得证；（3）方法一、运用参数分离，运用导数，判断单调性，求出右边函数的最小值即可；方法二、通过对k讨论，运用导数求出单调区间，求出f（x）的最小值，即可得到k的最大值为4．解答：解：（1）当k=0时，f（x）=1+lnx．因为f′（x）=，从而f′（1）=1．又f （1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0．（2）证明：当k=5时，f（x）=lnx+﹣4．因为f′（x）=，从而当x∈（0，10），f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=10时，f（x）有极小值．因f（10）=ln10﹣3＜0，f（1）=6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）=4+﹣4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点．（3）方法一：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立，即k＜对x∈（2，+∞）恒成立．令h（x）=，则h′（x）=．设v（x）=x﹣2lnx﹣4，则v′（x）=．当x∈（2，+∞）时，v′（x）＞0，所以v（x）在（2，+∞）为增函数．因为v（8）=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8＜0，v（9）=5﹣2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）=0，即x0﹣2lnx0﹣4=0．当x∈（2，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x=x0时，h（x）的最小值h（x0）=．因为lnx0=，所以h（x0）=∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．方法二：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立．f（x）=1+lnx﹣，f′（x）=．①当2k≤2，即k≤1时，f′（x）＞0对x∈（2，+∞）恒成立，所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．而f（2）=1+ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=2k时，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2k﹣k．从而f（x）＞0在x∈（2，+∞）恒成立，等价于2+ln2k﹣k＞0．令g（k）=2+ln2k﹣k，则g′（k）=＜0，从而g（k）在（1，+∞）为减函数．因为g（4）=ln8﹣2＞0，g（5）=ln10﹣3＜0，所以使2+ln2k﹣k＞0成立的最大正整数k=4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间及极值、最值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想是解题的关键．20．给定一个数列{a n}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{a n}中的先后次序，得到的数列{a n}的一个m阶子数列．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{a n}的一个3子阶数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，b m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=（k为常数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1 （3）等比数列c1，c2，…，c m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+c m≤2﹣．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的定义及其性质即可得出；（2）设等差数列b1，b2，…，b m的公差为d．由b1=，可得b2≤，再利用等差数列的通项公式及其不等式的性质即可证明；（3）设c1=（t∈N*），等比数列c1，c2，…，c m的公比为q．由c2≤，可得q=≤．从而c n=c1q n﹣1≤（1≤n≤m，n∈N*）．再利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出．解答：（1）解：∵a2，a3，a6成等差数列，∴a2﹣a3=a3﹣a6．又∵a2=，a3=，a6=，代入得﹣=﹣，解得a=0．（2）证明：设等差数列b1，b2，…，b m的公差为d．∵b1=，∴b2≤，从而d=b2﹣b1≤﹣=﹣．∴b m=b1+（m﹣1）d≤﹣．又∵b m＞0，∴﹣＞0．即m﹣1＜k+1．∴m＜k+2．又∵m，k∈N*，∴m≤k+1．（3）证明：设c1=（t∈N*），等比数列c1，c2，…，c m的公比为q．∵c2≤，∴q=≤．从而c n=c1q n﹣1≤（1≤n≤m，n∈N*）．∴c1+c2+…+c m≤+++…+=，设函数f（x）=x﹣，（m≥3，m∈N*）．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=x﹣为单调增函数．∵当t∈N*，∴1＜≤2．∴f（）≤2﹣．即c1+c2+…+c m≤2﹣．点评：本题考查了利用等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、选修4-1；几何证明选讲21．如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F．已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF∥BC．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：由切线的性质知∠BDE=∠BAD，再根据角平分线的性质及平行线的判定定理求出EF∥BC解答：证明：如图，连接ED．因为圆与BC切于D，所以∠BDE=∠BAD．…（4分）因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC．又∠DAC=∠DEF，所以∠BDE=∠DEF．所以EF∥BC．…（10分）点评：主要考查的是相似三角形判定和性质的应用，切线的性质，比较简单．四、选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．考点：特征向量的定义；逆矩阵的意义．专题：选作题；矩阵和变换．分析：（1）利用矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=，建立方程组，求a，b的值；（2）确定A的特征多项式，可求A的特征值．解答：解：（1）因为AA﹣1===，所以解得a=1，b=﹣．…（5分）（2）由（1）得A=则A的特征多项式f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣1）．令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=1，λ2=3．…（10分）点评：本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住公式，代入数据时，不要出错．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：（s为参数），直线l：（t为参数）．设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由曲线C：（s为参数），消去参数s可得：y=x2．由直线l代入抛物线方程可得=0，解得t即可得出．解答：解：由曲线C：（s为参数），消去参数s可得：y=x2．由直线l代入抛物线方程可得=0，解得t=0或﹣．∴|AB|=．点评：本题考查了直线与直线的参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5：不行等式选讲24．已知x，y，z都是正数且xyz=1，求证：（1+x）（1+y）（1+z）≥8．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式，即可证明结论．解答：证明：因为x为正数，所以1+x≥2，同理1+y≥2，1+z≥2，所以（1+x）（1+y）（1+z）≥2•2•2=8因为xyz=1，所以（1+x）（1+y）（1+z）≥8．点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．25．甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜。

江苏省高三数学二轮专题训练解答题(4)

江苏省高三数学二轮专题训练：解答题（4）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1、（本小题共14分）已知动点1(3,1)(0,)2P t t t t +≠≠在角α的终边上. （1）若6πα=，求实数t 的值；（2）记1sin 2cos21sin 2cos2S αααα-+=--，试用t 将S 表示出来.2、（本小题共14分）四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=，侧面PAD 是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD ，点G 为AD 的中点. （1）求证：BG ⊥面PAD ；（2）E 是BC 的中点，在PC 上求一点F ，使得PG //面DEF .3、（本小题共14分）为迎接上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm )，能使整个矩形广告面积最小.F EGDCBAP4、（本小题共16分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短半轴长为1，动点(2,)M t (0)t > 在直线2(a x a c=为长半轴，c 为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ．求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．5、（本小题共16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，121n n n a a a +=+，1n n b a =-数列{}n b 的前n 项和为n S ，2n n n T S S =-.（Ⅰ）求证：数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求通项n b ；（Ⅱ）求证：1n n T T +>；（Ⅲ）求证：当2n ≥时，271112n n S +≥．6、（本小题共16分）已知1ln ()xf x x+=. （1）若函数()f x 在区间(,1)a a +上有极值，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程2()2f x x x k =-+有实数解，求实数k 的取值范围；（3）当*n N ∈，2n ≥时，求证：111()2231nf n n <+++⋅⋅⋅+-.1、解：（1）1(3,1)(0,)2P t t t t +≠≠是角α的终边上一点，则1tan 3t tα+=--------------------------3分又6πα=，则133t t +=，所以12t =. ---------------- 6分（2）1sin 2cos 21sin 2cos 2S αααα-+=--=2212sin cos 2cos 112sin cos 12sin αααααα-⋅+--⋅-+=cos (cos sin )sin (sin cos )αααααα-------9分111tan 3S t tα∴=-=-+-------------------12分31tS t ∴=-+ ----------------------------14分 2、（1）连结BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=，所以三角形ABD 为正三角形，又因为点G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ；---------4分因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD 底面ABCD =AD ，所以BG ⊥面PAD . ----------------7分（2）当点F 为PC 的中点时，PG //面DEF连结GC 交DE 于点H因为E 、G 分别为菱形ABCD 的边BC 、AD 的中点，所以四边形DGEC 为平行四边形所以点H 为DE 的中点，又点F 为PC 的中点所以FH 时三角形PGC 的中位线，所以PG //FH------------------------------10分因为FH ⊂面DEF ，PG ⊄面DEF 所以PG //面DEF . 综上：当点F 为PC 的中点时，PG //面DEF .---------------------------14分3、解：设矩形栏目的高为acm ，宽为bcm ，则20000ab =，20000b a∴= 广告的高为(20)a cm +，宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()60600S a b a b a a=++=++=++3060600120006060072600≥⨯=+= 当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号,此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为m ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小.4、解：（1）又由点M 在准线上，得22a c= 故212c c+=，1c ∴= ……………2分从而a =所以椭圆方程为2212x y +=……………4分（2）以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-=即222(1)()124t t x y -+-=+其圆心为(1,)2t ,半径r =……………6分因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2所以圆心到直线3450x y --=的距离d = 2t =所以32552t t--=，……………8分解得4t =所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-= ……………10分（3）方法一：由平几知：2ON OK OM =……………11分直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t=--由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+……………13分2224(1)2244ON t t ∴==+∙∙=+……………15分所以线段ON．……………16分方法二、设00(,)N x y ，则000000(1,),(2,)(2,),(,)FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--=……………11分 0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+= ……………13分又2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+=………15分所以，ON x ==16分5、解：（Ⅰ）由1n n b a =-，得1n n a b =+，代入121n n n a a a +=+，得12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++，∴110n n n n b b b b +++-=，从而有1111n nb b +-=， ∵111211b a =-=-=，∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列，∴1n n b =，即1n b n =.……………5分（Ⅱ）∵1112S n n =+++，∴2111122n n n T S S n n n=-=+++++， 1111112322122n T n n n n n +=+++++++++， 1111111021********n n T T n n n n n n +-=+->+-=++++++，∴1n n T T +>. ……………………………………………………………………10分（Ⅲ）∵2n ≥， ∴11221122222nn n n n S S S S S S S S ---=-+-+⋅⋅⋅+-+=1221122n n T T T T S --++⋅⋅⋅+++.由（2）知12222n n T T T --≥≥⋅⋅⋅≥，∵11217,1,212T S T ===， ∴12211222nn n S T T T T S --=++⋅⋅⋅+++()2111n T T S ≥-++()7111122n =-++71112n +=. ……16分 6、解：（1）1ln ()x f x x +=，221(1ln )ln ()x x x x f x x x ⋅-+'∴==-∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<；∴函数()f x 在区间（0，1）上为增函数；在区间(1,)+∞为减函数-------------------------3分∴当1x =时，函数()f x 取得极大值，而函数()f x 在区间(,1)a a +有极值. ∴111a a <⎧⎨+>⎩，解得01a <<.---------------------------5分（2）由（1）得()f x 的极大值为(1)1f =，令2()2g x x x k =-+，所以当1x =时，函数()g x 取得最小值(1)1g k =-，又因为方程2()2f x x x k =-+有实数解，那么11k -≤，即2k ≤，所以实数k 的取值范围是：2k ≤. ----------10分（另解：2()2f x x x k =-+，21ln 2xk x x x+∴=+-，令()h x =21ln 2x x x x ++-，所以()h x '=2ln xx-22x +-，当1x =时，()0h x '=当(0,1)x ∈时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<∴当1x =时，函数()h x 取得极大值为(1)2h = ∴当方程2()2f x x x k =-+有实数解时，2k ≤.）（3）函数()f x 在区间(1,)+∞为减函数，而111(*,2)n N n n+>∈≥，1(1)(1)1f f n ∴+<=111ln(1)1n n ∴++<+，即1ln(1)ln n n n+-<ln ln 2ln1ln3ln 2ln ln(1)n n n ∴=-+-+⋅⋅⋅+--1111231n <+++⋅⋅⋅+---------------12分即1111ln 2231n n +<+++⋅⋅⋅+-，而()1ln n f n n ⋅=+， 111()2231nf n n ∴<+++⋅⋅⋅+-结论成立.----------------------16分。

江苏省2022届高三数学二轮专题训练解答题（84）

EGA 1C 11A江苏省2022届高三数学二轮专题训练：解答题（84）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．（本题满分14分）设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+．（1）求的最小正周期．（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x = 的最大值．2、（本题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,090ACB ∠=，,,E F G 11,,AA AC BB 的中点，且1CG C G ⊥1求证：//CG BEF 平面；2求证：平面BEF ⊥平面11AC G3、（本题满分15分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，建一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2x 万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。

（1）试写出关于的函数关系式；（2）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小4、（本题满分15分）如图，点为圆形纸片内不同于圆心的定点，动点在圆周上，将纸片折起，使点与点重合，设折痕交线段于点现将圆形纸片放在平面直角坐标系中，设圆：()()()222141,1,0x y a a A ++=>,记点的轨迹为曲线⑴证明曲线是椭圆，并写出当时该椭圆的标准方程；⑵设直线过点和椭圆的上顶点，点关于直线的对称点为点，若椭圆的离心率13,22e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点的纵坐标的取值范围5、（本题满分16分）已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x ==>，设()()()F x f x g x =+（1）求的单调区间；（2）若以()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数的最小值；（3）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数的取值范围。

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专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. x ＜0，有x 2≤02. (2,3) 解析：M ＝(－∞，3)，N ＝(2，＋∞)，∴ M ∩N ＝(2,3)．3. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a －1)2－4＞0.4. [－1,1] 解析：集合A ＝[－1,1]，B ＝(－∞，1]，∴ A ∩B ＝A.5. 215解析：⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ，a ＋45≤10≤a ≤15，⎩⎪⎨⎪⎧b －13≥0，b ≤113≤b ≤1，利用数轴，分类讨论可得集合A ∩B 的“长度”的最小值为13－15＝215.6. ⎣⎡⎦⎤－12，13 解析：p ：x 2＋x －6＜0为真，则不等式的解集为A ＝(－3,2)，由q ：mx ＋1＞0得m ＝0时，解集为B ＝R ，m ＞0时，解集为B ＝⎝⎛⎭⎫－1m ，＋∞，m ＜0时，解集为B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－1m ，m ＝0时，A B 成立；m ＞0时，－1m ≤－3,0＜m ≤13；m ＜0时，－1m ≥2，－12≤m ＜0，综上m ∈⎣⎡⎦⎤－12，13. 7. 12 解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题，如图．设两者都喜欢的人数为x ，则只喜爱篮球的有15－x ，只喜爱乒乓球的有10－x ，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12，即所求人数为12.8. (－∞，－4)∪(42，＋∞) 解析：两集合分别表示半圆和直线，画图利用几何性质可得答案．9. 解：(1) 2－x ＋3x ＋1≥02x ＋2－(x ＋3)x ＋1≥0x －1x ＋1≥0(x －1)(x ＋1)≥0且x ≠－1x ≥1或x ＜－1.∴ 集合A ＝{x|x ≥1或x ＜－1}．(2) (x －a －1)(2a －x)＞0(a<1)(x －a －1)(x －2a)＜0.∵ a ＜1，∴ 2a ＜a ＋1.∴ 2a ＜x ＜a＋1.∴ 不等式的解为2a ＜x ＜a ＋1.∴ 集合B ＝{x|2a ＜x ＜a ＋1}．∵ B A ，∴ 2a ≥1或a ＋1≤－1，∴ a ≥12或a ≤－2.又a<1，则实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1. 10. 解：若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4＞0，－m ＜0m ＞2.若命题q 为真，Δ＝16(m －2)2－16＜0,1＜m ＜3.p 或q 为真，p 且q 为假，所以若命题p 为真，命题q 为假，则m ≥3；若命题p为假，命题q 为真，则1＜m ≤2，综上，则实数m 的取值范围是{m|1＜m ≤2或m ≥3}．第2讲函数、图象及性质1. f(x)＝(x －2)2 解析：函数满足f(x)＝f(x ＋2)，函数周期为2.则x ∈[2,3]，x －2∈[0,1]，f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.2. (0,1] 解析：y ＝x x －m ＝1＋m x －m，由反比例函数性质可得到0＜m ≤1；也可以用导数求得．3. 12 解析：f(－x)＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x＋a ，f(－x)＝－f(x) 2x 1－2x ＋a ＝－⎝⎛⎭⎫12x －1＋a 2a ＝11－2x －2x 1－2x ＝1，故a ＝12；也可用特殊值代入，但要检验．4. 1＜a ＜2 解析：函数为奇函数，在(－1,1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a 2－1)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜11－a ＜a 2－1，1＜a ＜ 2.5. [3，＋∞) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1＞0，x －1≠1⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x ＞1，x ≠2x ≥3.6. 2 解析：函数满足f(x ＋2)＝1f (x )，故f(x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f(x)，函数周期为4，f(2 012)＝f(0)，又f(2)＝1f (0)，∴ f(0)＝2.7. 3 解析：画图可知a ＋(－1)2＝1，a ＝3，也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验．8. 1 解析：由y ＝|x 2－2x －t|得y ＝|(x －1)2－1－t|，函数最大值只能在y(0)，y(1)，y(3)中取得，讨论可得只有t ＝1时成立．9. 解：(1) ∵ f(a ＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝183a ＝2， ∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1,1]．(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14，当x ∈[－1,1]时，2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，令t ＝2x ，∴ y ＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，由二次函数单调性知当t ∈⎣⎡⎦⎤12，2时y 是减函数，又t ＝2x 在[－1,1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1,1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)(3) 由(2)知t ＝2x,2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x在[－1,1]内有解m ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴ m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，14. 10. (1) 证明：取x ＝y ＝0，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴ f(0)＝0，取y ＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴ f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解：任取x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，∴ f(x 2－x 1)＜0，又f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)＜0，∴ f(x 2)＜f(x 1)，f(x)在[－3,3]上单调递减，f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，∴ f(x)在[－3,3]上的最大值f(－3)＝6，最小值f(3)＝－6.第3讲基本初等函数1. 2 解析：lg 22＋lg2lg5＋lg50＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＋lg10＝lg2lg(2·5)＋lg5＋1＝2.2. a ∈(1,2) 解析：y ＝log a (2－ax)是[0,1]上关于x 的减函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2－a ＞01＜a ＜2.3. [－3,1] 解析：2x 2＋2x －4≤122x 2＋2x －4≤2－1x 2＋2x －4≤－1x 2＋2x －3≤0－3≤x ≤－1.4. (2,2)5. a ≥2 解析：二次函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2开口向下，对称轴x ＝－2a－2＝a ，则a ≥2.6. ⎣⎡⎦⎤1，3127 解析：f(x)为偶函数，则b ＝0，又a －1＋2a ＝0，∴ a ＝13，f(x)＝13x 2＋1在⎣⎡⎦⎤－23，23上的值域为⎣⎡⎦⎤1，3127.7. f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵ f(x －4)＝－f(x)，∴ f(x －4)＝f(x ＋4)，∴ 函数周期T ＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[－2,2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)．8. 4 解析：函数图象恒过定点(1,1)，从而m ＋n ＝1，又mn ＞0，∴ 1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋nn＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n 时取等号，1m ＋1n的最小值为4.9. 解：f(x)＝12p x 2－x ＋3＝12p (x －p)2＋3－p 2.① p ≤－1时，f(x)在[－1,2]上递减，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．② －1＜p ＜0，M ＝f(p)＝3－p 2，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝2－6，p ＝2＋6(舍)．③ 0＜p ＜12，M ＝f(2)，m ＝f(p)，由2M ＋m ＝3，得p ＝2±23(舍)．④ 12≤p ≤2，M ＝f(－1)，m ＝f(p)由2M ＋m ＝3，得p ＝8±66(舍)． ⑤ p ＞2，M ＝f(－1)，m ＝f(2)由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．综上，当p ＝2－6时，2M ＋m ＝3成立．10. 解：(1) 设P(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象上的点，Q(x ，y)是y ＝g(x)图象上的点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－2a ，y ＝－y 0.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋2a ，y 0＝－y.又y 0＝log a (x 0－3a)，∴ －y ＝log a (x ＋2a －3a )， ∴ y ＝log a1x －a (x ＞a)，即y ＝g(x)＝log a 1x －a(x ＞a)． (2) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x －3a ＞0，x －a ＞0，∴ x ＞3a ，∵ f(x)与g(x)在x ∈[a ＋2，a ＋3]上有意义，∴ 3a ＜a ＋2,0＜a ＜1，∵ |f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴ |log a (x －3a)(x －a)|≤1恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤log a [(x －2a )2－a 2]≤1，0＜a ＜1a ≤(x －2a)2－a 2≤1a.对x ∈[a ＋2，a ＋3]时恒成立，令h(x)＝(x －2a)2－a 2，其对称轴x ＝2a,2a ＜2，而2＜a ＋2，∴ 当x ∈[a ＋2，a ＋3]时，h(x)min ＝h(a ＋2)，h(x)max ＝h(a ＋3)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤h (x )min ，1a ≥h (x )max⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4－4a ，1a ≥9－6a0＜a ≤9－5712.第4讲函数的实际应用1. log 32 解析：本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x＝2x ＝log 32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＝2无解，故应填log 32.2. 20% 解析：设该产品初始成本为a ，每年平均降低百分比为p ，则a(1－p)2＝0.64a ，∴ p ＝0.2.3. m ∈(1,2) 解析：令f(x)＝x 2－2mx ＋m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0.解得1＜m ＜2.4. a ＞1 解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f(x)＝a x －x －a(a>0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合要求，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.5. 14 解析：设每个销售定价为x 元，此时销售量为100－10(x －10)，则利润y ＝(x －8)[100－10(x －10)]＝10(x －8)(20－x)≤10⎝⎛⎭⎫x －8＋20－x 22＝360，当且仅当x ＝14时取等号．6. ⎝⎛⎭⎫－1，－13 解析：由题意得f(1)·f(－1)＜0，即(3a ＋1)(a ＋1)＜0，－1＜a ＜－13. 7. 6 解析：⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b2＝1b ＝6.8. ①③④ 解析：函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c 为偶函数，当x ≥0时，f(x)＝－x 3＋bx 2＋c ，b ＜0，∴ f ′(x)＝－3x ⎝⎛⎭⎫x －2b3≤0对x ∈[0，＋∞)恒成立，∴ x ＝0时，f(x)在R 上有最大值，f(0)＝c ；由于f(x)为偶函数，②不正确；取b ＝3，c ＝－2③正确；若b ＜0，取a ＝0，若b ≥0，取a ＝2b3，故一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. (1)证明：由条件知f(2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．又∵ x ＝2时，f(2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴ f(2)＝2.(2)解： ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴ 4a ＋c ＝2b ＝1，∴ b ＝12，c ＝1－4a.又f(x)≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立． ∴ a ＞0，Δ＝⎝⎛⎭⎫12－12－4a(1－4a)≤0，∴(8a －1)2≤0. 解得：a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴ f(x)＝18x 2＋12x ＋12.(3)解：(解法1) 由分析条件知道，只要f(x)图象(在y 轴右侧部分，包含与y 轴交点)总在直线y ＝m 2x ＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率，∴⎩⎨⎧y ＝18x 2＋12x ＋12，y ＝m 2x ＋14，解得 m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. (解法2)g(x)＝18x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋12＞14在x ∈[0，＋∞)必须恒成立，即x 2＋4(1－m)x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)恒成立． ① Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得：1－22＜m ＜1＋22； ② ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2(1－m )≤0，f (0)＝2＞0，解得：m ≤1－22. 综上，m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. 10. (1)证明：当x ≥7时，f(x ＋1)－f(x)＝0.4(x －3)(x －4)，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0，故f(x ＋1)－f(x)单调递减，∴ 当x ≥7时，掌握程度的增长量f(x ＋1)－f(x)总是下降．(2)解：由题意可知0.1＋15ln a a －6＝0.85，整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．第5讲不等式及其应用1. (－∞，－2)∪(3，＋∞)2. (－1,2) 解析：由已知得a ＜0，b ＝－a ，ax －b x －2＞0即为ax ＋a x －2＞0，得x ＋1x －2＜0，得－1＜x ＜2.3. －6 解析：作出可行域，求出凸点坐标分别为(3，－3)，(4，－5)，(5，－1)，(6，－3)，则最优解为(4，－5)；或让直线t ＝x ＋2y 平行移动，当直线过点(4，－5)时，目标函数取最小值．4.116 解析：∵ x ，y ∈R ＋，∴ 1＝x ＋4y ≥2x·4y ，∴ xy ≤116，当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号． 5. 9 解析：∵ x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝3，y ＝6时取等号．6. m ≤－5 解析：x 2＋mx ＋4＜0，x ∈(1,2)可得m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，而函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上单调增，∴ m ≤－5.7. ⎣⎡⎦⎤95，6 解析：变量x ，y 满足约束条件构成的区域是以(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92三点为顶点的三角形区域(含边界)，y x 表示区域内的点与原点连线的斜率，∴ y x ∈⎣⎡⎦⎤95，6 8. x ≥1 解析：n n ＋1＝1－1n ＋1＜1，当n 无限变大时，nn ＋1的值趋近于1，不等式要恒成立，显然x ＞12，2x －1|x|＞n n ＋1等价于2x －1x ≥1且x ＞12，故x ≥1.9. 解：(1) y ＝2 150＋10×55＋⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x (55－1)x ＝2 700x ＋9ax ＋18.(0＜x ≤20，12≤a ≤1)．(2) 当34≤a ≤1时，y ≥22 700x·9ax ＋18＝1803a ＋18. 当且仅当2 700x ＝9ax ，即x ＝300a时取等号．即当x ＝300a时，y min ＝1803a ＋18；当12≤a ＜34时，y ′＝－2 700x 2＋9a ＜0，故y ＝f(x)在(0,20]上是减函数，故当x ＝20时，y min ＝2 70020＋180a ＋18＝153＋180a. 答：若12≤a ＜34，则当车队速度为20 m/s 时，通过隧道所用时间最少；若34≤a ≤1时，则当车队速度为300am/s 时，通过隧道所用时间最少．10. 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (－2)＝0⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝0，∴ f(x)＝3x 2＋6x ； (2) g(x)＝3⎣⎡⎦⎤x ＋⎝⎛⎭⎫1＋m 62－2－3×⎝⎛⎭⎫1＋m 62，－⎝⎛⎭⎫1＋m 6≤2，m ≥－18； (3) f(x)＋n ≤3即n ≤－3x 2－6x ＋3，而x ∈[－2,2]时，函数y ＝－3x 2－6x ＋3的最小值为－21，∴ n ≤－21，实数n 的最大值为－21.第6讲导数及其应用1. f(x)＝x 2＋2x ＋12. 98 解析：f ′(2)＝4.5－4＝－98，切线方程为y ＝－98x ＋92，∴ f(2)＝94. 3. y ＝x －1 解析：y ′＝3x 2－2，k ＝y ′x ＝1＝1，则切线方程y －0＝1·(x －1)， ∴ x －y －1＝0.4. ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析：y ′＝3x 2－3≥－3，∴ tanα≥－3，0≤α＜π且α≠π2，结合正切函数图象可得答案．5. a ≥－4 解析：x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋4x ＋a ≥0恒成立，由基本不等式1x ＋4x＋a ≥4＋a ，当且仅当x ＝12时取等号，∴ a ＋4≥0，∴ a ≥－4.6. 32 解析：f(x)＝x 3－12x ＋8，f ′(x)＝3(x －2)(x ＋2)，则f(x)的单调增区间是[－3，－2]∪[2,3]，减区间是[－2,2]，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(3)＝－1，f(－2)＝24，∴ M ＝24，m ＝－8.7. (－2,2) 解析：设f(x)＝x 3－3x ＋a ，f ′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，f(x)在x ＝－1取极大值，在x ＝1时取极小值，⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0－2＜a ＜2.8. 4 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为，a ≥3x 2－1x3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4，所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4＞0，显然g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上，a ＝4.9. 解：(1) 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g(t)＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t)＝g ′(t)而f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt.将a ＝－t 2代入上式得b ＝t.因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.(2) y ＝f(x)－g(x)＝x 3－t 2x －tx 2＋t 3，y ′＝3x 2－2tx －t 2＝(3x ＋t)(x －t)，因为函数y ＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′x ＝－1≤0，y ′x ＝3≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧(－3＋t )(－1－t )≤0，(9＋t )(3－t )≤0，解得t ≤－9或t ≥3.所以t 的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)．10. 解：(1) ∵ f(x)＝x 3＋ax ，g(x)＝x 2＋bx ，∴ f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2x ＋b.x ∈[－1，＋∞)，f ′(x)g ′(x)≥0，即x ∈[－1，＋∞)，(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0，∵ a ＞0，∴3x 2＋a ＞0，∴ x ∈[－1，＋∞)，2x ＋b ≥0，即∴ x ∈[－1，＋∞)，b ≥－2x ，∴ b ≥2，则所求实数b 的取值范围是[2，＋∞)．(2) b 的最小值为2，h(x)＝x 3－x 2＋ax －2x ，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋a －73.当a ≥73时，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2≥0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，h(x)在[－1，＋∞)上单调增，当0＜a ＜73时，由h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝0得，x ＝1±7－3a 3＞－1，∴h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－7－3a 3上单调增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－7－3a 3，1＋7－3a 3上单调减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋7－3a 3，＋∞上单调增．滚动练习(一)1.24 解析：f(x)＝x α，f(4)＝12，α＝－12，f(x)＝x －12，f(8)＝24. 2. x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03. (－∞，0] 解析：x ＜－1时，不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x －1＋1)≤1，－x 2≤1，∴ x ＜－1；x ≥－1时，不等式可化为x ＋x ＋1≤1，x ≤0，∴ －1≤x ≤0，综上x ≤0.4. 12 解析：考虑x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1时取等号． 5. [－4,0)∪(0,1) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0.上面式中等号不能同时成立．6. 2 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝3－x 2的图象，两个函数图象有两个交点．7. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：x 2＋ax ＞4x ＋a －3可化为(x －1)a ＋x 2－4x ＋3＞0对a ∈[0,4]恒成立，设f(a)＝(x －1)a ＋x 2－4x ＋3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (4)＞0.解得x ＜－1或x ＞3.8. －1或－2564 解析：设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由直线y ＝0与抛物线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.9. 2 008 解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log 23(log 321＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.10. a ≥2 解析：由log a x ＋log a y ＝3，得y ＝a 3x ，函数y ＝a 3x 在x ∈[a,2a]上单调递减，得其值域为⎣⎡⎦⎤a 32a ，a 3a ，由题知⎣⎡⎦⎤a 32a ，a3a [a ，a 2]，∴ a ≥2. 11. 解：p 为真，则|x －4|≤6的解集为A ＝[－2,10]，q 为真，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)的解集为B ＝[1－m,1＋m]，∵ p 是q 的必要而不充分条件，∴ p 是q 的充分而不必要条件，∴ A ＝[－2,10]B ＝[1－m,1＋m]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2.两式中等号不能同时成立，又m ＞0，∴ m ≥9. 12. 解：(1) 令g(x)＝f(x)－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，＜1－a 2＜1，g (1)＞0，g (0)＞0⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－1＜a ＜1，a ＜3－22或a ＞3＋220＜a ＜3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a 2，令h(a)＝2a 2.∵ 当a ＞0时h(a)单调递增，∴ 当0＜a ＜3－22时，0＜h(a)＜h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝217＋122＜116，即f(0)·f(1)－f(0)＜116.13. 解：(1) ① 当0＜t ≤10时，V(t)＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50＜50，化简得t 2－14t ＋40＞0，解得t ＜4或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.② 当10＜t ≤12时，V(t)＝4(t －10)(3t －41)＋50＜50，化简得(t －10)(3t －41)＜0，解得10＜t ＜413，又10＜t ≤12，故10＜t ≤12.综合得0＜t ＜4或10＜t ≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．(2)由(1)知：V(t)的最大值只能在(4,10)内达到．由V ′(t)＝e 14t ⎝⎛⎭⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t(t ＋2)(t －8)，令V ′(t)＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)．当t 变化时，V ′(t) 与V (t)的变化情况如下表：t (4,8) 8 (8,10) V ′(t) ＋ 0 － V(t)极大值由上表，V(t)在t ＝8时取得最大值V(8)＝8e ＋50＝108.32(亿立方米)．故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．14. 解：(1) 当x ∈[－2，－1)时，f(x)＝x ＋1x 在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈⎣⎡⎭⎫－52，－2，当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12时，f(x)＝－2，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，此时f(x)∈⎣⎡⎦⎤－32，32，∴ f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32. (2) ① 若a ＝0，g(x)＝－2，对于任意x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，不存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)都成立．② 若当a ＞0时，g(x)＝ax －2在[－2,2]是增函数，g(x)∈[－2a －2,2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[－2a －2,2a －2]，∴有⎩⎨⎧－2a －2≤－52，2a －2≥32，解得 a ≥74.③ 若a ＜0，g(x)＝ax －2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a －2，－2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[2a －2，－2a －2]⎩⎨⎧2a －2≤－52，－2a －2≥32，解得 a ≤－74.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－74∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞.专题二三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 2. 103. 1 解析：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，f ′(x)＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sinx ＋cosx ，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－22f ′⎝⎛⎭⎫π4＋22，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1，f(x)＝(2－1)cosx ＋sinx ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 4. 6 解析：平移后f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，与原来函数图象重合，则ωπ3＝2kπ，k ∈Z ，∵ ω＞0，∴ ωmin ＝6.5. ⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：a ＝cos 2x －cosx －1＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，转化为函数的值域问题． 6. 2＋22 解析：f(x)＝2sin πx4，周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2 2.7. 2 解析：T ＝2ππ2＝4，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，f(x)min ＝f(x 1)，f(x)max＝f(x 2)，于是|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8. 23 解析：考查三角函数的图象、数形结合思想．线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx ＝5tanx ，解得sinx ＝23.线段P 1P 2的长为23.9. 解：f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，当a ＞0时，－2a ＋2a ＋b ＝－5，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝1，∴ a ＝2，b ＝－5；当a ＜0时，－2a ＋2a ＋b ＝1，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝－5，∴ a ＝－2，b ＝1； a ＝0，不存在．综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.10. 解：(1) 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2，由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2kπ－π2，故φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6时，即x ＝0时，f(x)取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.第8讲三角变换与解三角形1. 3 解析：∵ sin 2α＋cos2α＝14，∴ sin 2α＋1－2sin 2α＝14，∴ sin 2α＝34，∵ α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ sinα＝32，∴ α＝π3，tanα＝ 3. 2. 523 解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得 a ＝bsinAsinB ＝5·1322＝523.3. 5 解析：12arcsinB ＝2，c ＝42，由余弦定理可求得b.4. 1 解析：由sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，得tan 2α＋tanα－2＝0，tanα＝1或tanα＝－2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝2tanα1＋tan 2α＝21＋1＝1. 5. 4 解析：由余弦定理得b a ＋ab ＝6cosC ，a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝32c 2，tanC tanA ＋tanC tanB ＝sinC cosC ⎝⎛⎭⎫cosA sinA ＋cosB sinB ＝1cosC ⎝⎛⎭⎫sin 2C sinAsinB ＝2ab a 2＋b 2－c 2⎝⎛⎭⎫c 2ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2，将a2＋b 2＝32c 2代入上式即可．注：(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时，要么把所有关系转化为边的关系，要么把所有的关系都转化为角的关系；(2) 本题也可以转化为角的关系来处理．6.724 解析：tanα＝－34，tanβ＝－12，tan2β＝－43. 7. －17 解析：由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2abcosC ＝3，故最大角为角B.8.817 解析：12bcsinA ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，12bcsinA ＝－2bccosA ＋2bc ， 2－12sinA ＝2cosA ，⎝⎛⎭⎫2－12sinA 2＝(2cosA)2＝4(1－sin 2A)，sinA ＝817. 9. 解：(1) ∵ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4，∴ c ＝2，∴ △ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) ∵ cosC ＝14，∴ sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴ sinA ＝asinC c ＝1542＝158.∵ a ＜c ，∴ A ＜C ，故A 为锐角，∴ cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴ cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.10. 解：(1) sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos2A ＝1＋cosA 2＋2cos 2A －1＝5950.(2) ∵ cosA ＝45，∴ sinA ＝35，∴ S △ABC ＝12bcsinA ＝310bc ，∵ a ＝2，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4，∴ 85bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，bc ≤10，∴ S △ABC ＝12×bcsinA ＝310bc ≤3，当且仅当b ＝c 时，取得最大值，所以当b ＝c 时，△ABC 的面积S 的最大值为3.第9讲平面向量及其应用1. ⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，352.10 解析：|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝0，α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝10.3. π3 解析：∵ (a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴ |a|2－2|b|2＋a·b ＝－6，∴ a·b ＝1，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝12. 4. 4 解析：设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos60°＋32)＝4.5. (－3,1)或(－1,1) 解析：设a ＝(x ，y)，∴ a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1. 6. －14 解析：AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝12⎝⎛⎭⎫－1＋23－13×12＝－14. 7. 1－2 解析：设a ＋b ＝2d ，则d 为单位向量． (a －c )·(b －c )＝1－(a ＋b )·c ＝1－2d·c ＝1－2cos 〈d ，c 〉．8. 2 解析：取O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠COA ＝θ，则θ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，C(cosθ，sinθ)，∴ (cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，32，x ＋y ＝3sinθ＋cosθ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，θ＝π3时取最大值2. 9. 解：(1) 由m·n ＝0得－cosA ＋3sinA ＝0，tanA ＝33，A ∈(0，π)， ∴ A ＝π6.(2)1＋sin2B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴ sinB ＋cosBcosB －sinB＝－3，∴ tanB ＝2，∴ tanC ＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6－B ＝－tan π6＋tanB 1－tan π6tanB＝8＋5 3. 10. 解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6，则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.又∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513.∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2) S △BAD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝2525，S △BAC ＝12AB·AC·sin ∠BAC ＝60，S △ACD ＝24，则S △BCD ＝S △ABC ＋S △ACD －S △BAD ＝1685，∴ S △ABD S △BCD ＝32.滚动练习(二)1. {－1,0,1} 解析：M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{－1,0,1}．2. 0 解析：f(1)＝－f(－1)＝－(－3＋2＋1)＝0.3. 2 解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2sin40°2sin 240°＝ 2.4. (－3,2) 解析：6－x －x 2＞0，∴ x 2＋x －6＜0，∴ －3＜x ＜2.5. 2 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减区间是(0,2)，所以函数在x ＝2处取极小值．6. 1 解析：a －2b ＝(3，3)与c 共线，则3·3＝3k ，∴ k ＝1.7. 6 解析：A*B ＝{0,2,4}．8. 充要解析：f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称－m2＝1m ＝－2.9. (－∞，2ln2－2] 解析：f ′(x)＝e x －2，x ∈(－∞，ln2)，f ′(x)＜0，x ∈(ln2，＋∞)，f ′(x)＞0，x ＝ln2时，f(x)取极小值即为最小值2－2ln2＋a ≤0，a ≤2ln2－2；本题也可转化为a ＝－e x ＋2x ，求函数g(x)＝－e x ＋2x 值域即可．10. ②④ 解析：函数为偶函数，在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调增，画图即可． 11. 点拨：本题考查函数的概念和性质，对分段函数在讨论其性质时要整体考虑．对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题．解：(1) 函数f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0对x ∈R 恒成立，m ＝2；(2) 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞00，x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，知f(x)在[－1,1]上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，得1＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]． 12. 点拨：本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力．解：(1)∵ f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx ，∴ f(x)＝sinωxcosωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12，由ω＞0得2π2ω＝π，∴ ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， ∴ g(x)＝f(2x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12，当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g(x)≤1＋22，故x ＝0时，g(x)在此区间内取最小值为1.13. 点拨：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．解：由cosA ＝1213，得sinA ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bcsinA ＝30，∴ bc ＝156. (1) AB →·AC →＝bccosA ＝156×1213＝144.(2) a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(c －b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴ a ＝5. 14. 点拨：应用题是高考必考题型，解决应用题的关键要学会审题，根据条件，选择合适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意．解：∵ △ABC 是直角三角形，AB ＝2，BC ＝1，∴ ∠A ＝30°.设∠FEC ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∠EFC ＝90°－α，∠AFD ＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α，∴ ∠ADF ＝180°－30°－(30°＋α)＝120°－α，再设CF ＝x ，则AF ＝3－x ，在△ADF 中有DFsin30°＝3－x sin (120°－α)，由于x ＝EF·sinα＝DF·sinα， ∴DF sin30°＝3－DF·sinαsin (120°－α)，化简得DF ＝32sinα＋3cosα≥37＝217， ∴ △DEF 边长的最小值为217.专题三数列第10讲等差数列与等比数列1. 13 解析：a 3＝7，a 5＝a 2＋6，∴ 3d ＝6，∴ a 6＝a 3＋3d ＝13.2. 13 解析：6S 5－5S 3＝5，∴ 6(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5，得a 1＋3d ＝13. 3. 20 解析：a n ＝41－2n ，a 20＞0，a 21＜0.4.152 解析：a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴ q 2＋q ＝6(q ＞0)，∴ q ＝2，则S 4＝152. 5. 15 解析：S 4a 4＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 3＝1－q 4(1－q )q 3＝15.6. 4 解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，由线性规划可知a 1＝1，d ＝1时，a 4取最大值4.7.212解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝33＋2(1＋2＋…＋(n －1))＝n 2－n ＋33，a n n ＝n ＋33n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 在1≤n ≤6，n ∈N *时单调减，在n ≥7，n ∈N *时单调增，∴ n ＝6时，a nn取最小值．8. 4 解析：⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，10≤k ≤1＋10，k ∈N *，∴ k ＝4.9. 解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，2a 1＋7d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.(舍去) ∴ a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) n ＝1时，a 1＝b 12，a 1＝1，∴ b 1＝2，n ≥2时，a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1，2＝a n －a n －1＝b n 2n (n ≥2)，b n ＝2n ＋1(n ≥2)，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)． 10. (解法1)(1)证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q ，∴ a n ＋2＝a n q 2(n ∈N *)． (2)证明：∵ a n ＝a n －2q 2(n ≥3，n ∈N *)，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q 2n －2，∴ c n ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2. ∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n ，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2. 当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n 1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1). 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎨⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1)，q ≠1.(解法2)(1) 证明：同解法1(1)．(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2na 2n －1＋2a 2n＝q 2(n ∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q 2＋…＋q －2n ＋2)．下同解法1.第11讲数列求和及其综合应用1. 2n ＋1－n －2 解析：a n ＝2n －1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(2n －1)－n ＝2n ＋1－n －22. 2＋lnn 解析：累加可得．3. T 8T 4 T 12T 84. －p －q 解析：由求和公式知q ＝pa 1＋p (p －1)2d ，p ＝qa 1＋q (q －1)2d ，因为p ≠q ，两式相减得到－1＝a 1＋p ＋q －12d ，两边同时乘以p ＋q ，则－(p ＋q)＝(p ＋q)a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ，即S p ＋q ＝－(p ＋q)．5. 2n ＋1 解析：由条件得b n ＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1－1＝2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝2a n ＋2a n －1＝2b n 且b 1＝4，所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.6. 11 解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则(a 21＋a 22＋…＋a 250)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴ a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，故a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为50－39＝11.7. [24,36] 解析：a n ＝6n －(9＋a)，由题知5.5≤9＋a6≤7.5，∴ 24≤a ≤36.8. 470 解析：由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3以3 为周期，故S 30＝⎝⎛⎭⎫－12＋222＋32＋⎝⎛⎭⎫－42＋522＋62＋…＋⎝⎛⎭⎫－282＋2922＋302 ＝∑k ＝110⎣⎡⎦⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2＝∑k ＝110 ⎣⎡⎦⎤9k －52＝9×10×112－25＝470，分组求和是解决本题的关键．9. 解：(1) 由S n ＝(1＋λ)－λa n S n －1＝(1＋λ)－λa n －1(n ≥2)．相减得：a n ＝－λa n ＋λa n －1，∴ a n a n －1＝λ1＋λ(n ≥2)，∴ 数列{a n }是等比数列．(2) f(λ)＝λ1＋λ，∴ b n ＝b n －11＋b n －11b n ＝1b n －1＋1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1b 1＝2，公差为1的等差数列，∴ 1b n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.∴ b n ＝1n ＋1.(n ∈N *) (3) λ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ c n ＝a n⎝⎛⎭⎫1b n－1＝⎝⎛⎭⎫12n －1n ， ∴ T n ＝1＋2⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n －1， ①12T n ＝⎝⎛⎭⎫12＋2⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n ， ② ①－②得：12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ∴ 12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ＝ 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －n ⎝⎛⎭⎫12n ，所以：T n ＝4－⎝⎛⎭⎫12n －2－2n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4－n ＋22n －1. 10. 解：(1) n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，解得a 2＝at ，当n ≥2时，S n ＝tS n －1＋a ，所以S n ＋1－S n ＝t(S n －S n －1)，即a n ＋1＝a n t ，当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a 得a 2＝ta 1，又因为a 1＝a ≠0，综上，有a n ＋1a n＝t(n ∈N *)，所以{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以a n ＝at n －1.(2) 当t ＝1时，S n ＝na ，b n ＝na ＋1，b n ＋1－b n ＝[(n ＋1)a ＋1]－[na ＋1]＝a ，此时{b n }为等差数列；当a ＞0时，{b n }为单调递增数列，且对任意n ∈N *，a n ＞0恒成立，不合题意；当a ＜0时，{b n }为单调递减数列，由题意知b 4＞0，b 6＜0，且有⎩⎪⎨⎪⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，即⎩⎪⎨⎪⎧|5a ＋1|≤4a ＋1，|5a ＋1|≤－6a －1，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－29，－211. (3) 因为t ≠1，b n ＝1＋a 1－t －at n 1－t ，所以c n ＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a 1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a (t －t n ＋1)(1－t )2＝2－at (1－t )2＋1－t ＋a 1－t ·n ＋at n ＋1(1－t )2，由题设知{c n }是等比数列，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－at (1－t )2＝0，1－t ＋a 1－t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1,2)．(或通过{c n }的前3项成等比数列先求出数对(a ，t)，再进行证明)滚动练习(三)1. {4,5} 解析：A ∪B ＝{1,2,3}．2. π4 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，∴ sinA ＝cosA ，∴ tanA ＝1，∵ 0＜A ＜π， ∴ A ＝π4.3. 12 解析：由a 1＋3a 8＋a 15＝60得5a 1＋35d ＝60，a 8＝12,2a 9－a 10＝a 8＝12.4. 12 解析：周期是4π，∴ ω＝2π4π＝12. 5. [0,4) 解析：mx 2＋mx ＋1≠0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，成立；当m ≠0时，Δ＝m 2－4m ＜0，∴ 0＜m ＜4.综上，0≤m ＜4.6. 6 解析：本题考查线性规划内容．7. ⎝⎛⎭⎫7π6，11π6 解析：y ′＝1＋2sinx ＜0，∴ sinx ＜－12，∴ 7π6＜x ＜11π6. 8. π3 解析：∵ m ⊥n ，∴ (a ＋c)(a －c)＋b(b －a)＝0，∴ a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴ cosC ＝12，∴ C ＝π3.9. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：画出符合题意的草图，则x －2＜－3或x －2＞0.10. 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a 2＝a 1－t ，a 3＝t ＋2－a 1＋t ＝2t ＋2－a 1，a 4＝a 3－t ＝t ＋2－a 1，a 5＝t ＋2－a 4＝a 1，故实数k 的最小值是4.11. 解：(1) f(x)＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32，∴ f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2) 依题意得g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤32，∴ 23－12≤g(x)≤332，∴ g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为332. 12. 解：(1) 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n－6，因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，n ∈N *，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7，n ∈N *. (2) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ＞80；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n－6，A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫348－68＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫349－69＝767996＜80，所以须在第9年初对M进行更新．13. 解：(1) f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m(m>0)，由原点到切线l 的距离为1010，有|m|32＋1＝1010，解得m ＝1.∵ 切线l 不过第四象限，∴ m ＝1，m ＝－1(舍)，∴ 切线l 的方程为y ＝3x ＋1，由于切点的横坐标为x ＝1，∴ 切点坐标为(1,4)，∵ f(1)＝1＋a ＋b ＋c ＝4，∴ c ＝5.(2) 由(1)知f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5，所以f ′(x)＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)，令f ′(x)＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.x －4 (－4，－2)－2 ⎝⎛⎭⎫－2，2323 ⎝⎛⎭⎫23，1 1 f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值极小值函数值－11139527414. 解：(1) ∵ －1，S n ，a n ＋1成等差数列，∴ 2S n ＝a n ＋1－1， ① 当n ≥2时，2S n －1＝a n －1， ②①－②得：2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ，∴ 3a n ＝a n ＋1，∵ a 1＝1≠0，∴ a n ≠0， ∴ a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，由①得∴ 2S 1＝2a 1＝a 2－1，又a 1＝1，∴ a 2＝3， ∴a 2a 1＝3，∴ {a n }是以3为公比的等比数列，∴ a n ＝3n －1. (2) ∵ f(x)＝log 3x ，∴ f(a n )＝log 33n －1＝n －1，b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3，∴ T n ＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3＝1212＋13－1n ＋2－1n ＋3＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3)，比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可．又2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156)＝2(n 2＋5n －150)＝2(n ＋15)(n －10)，∵ n ∈N *，∴ 当1≤n ≤9时n ∈N *,2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；∴ 当n＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n>10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)>312，即T n >512－2n ＋5312.。

2020年江苏高考数学数列二轮专项训练题组答案解析(9页)

2020年江苏高考数学数列二轮专项训练题组专题13 数列(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.将答案填在题中的横线上.1.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 【答案】1【解析】由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以11a d= 2.等比数列{}n a 中，若12341,4,2,a a a a =成等差数列，则17a a =【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，2344,2,a a a 成等差数列，所以，32444a a a =+，即2344q q q =+，解得：q ＝2，所以，6171a a a q =＝643.等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.【答案】4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a 4.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为．【答案】3【解析】∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===．5. 等差数列{}n a 的公差不为零，121,a a =是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++ ．【答案】97【解析】由题意得：2215a a a =⋅，则2111()(4)a d a a d +=⋅+，整理得：12d a =，15951124641134993377a a a a a d a a a a a a d a +++====+++6.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是．【答案】25 【解析】1Q ，1a ，2a ，4成等差数列，21145a a ∴+=+=，又1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，2213144b b b ∴==⨯=，解得22b =±，又21210b b =⨯>，22b ∴=，∴12252a ab +=． 7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前2019项和为．【答案】20202019【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，44a =Q ，515S =，134a d ∴+=，1545152a d ⨯+=，联立解得：11a d ==， 11n a n n ∴=+-=．∴11111(1)1n n a a n n n n +==-++．则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前2019项和1111112019112232019202020202020=-+-+⋯⋯+-=-=． 8. 在等比数列{}n a 中，首项11a =，且34a ，42a ，5a 成等差数列，若数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则10T 的值为．【答案】452【解析】在等比数列{}n a 中，首项11a =，且34a ，42a ，5a 成等差数列，43544a a a ∴=+，32444q q q ∴=+，解得2q =， 12n n a -∴=，Q 数列{}n a 的前n 项之积为n T ，024567890123456789451022222222222T +++++++++∴=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==．9. 已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为．【答案】31【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，2124a a +=Q ，235a a =，1(2)4a q ∴+=，22411()a q a q =，联立解得11a =，2q =．∴该数列的前5项的和5213121-==-．10.等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则= ．【答案】32【解析】当：时：不合题意当：1≠q 时：11.已知数列是等差数列，是其前n 项和.若，则的值是_____.【答案】16.【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.{}n a n n S 3676344S S ==,8a *{}()n a n ∈N n S 25890,27a a a S +==8S 1=q由题意可得：，解得：，则. 12.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前项和，则使得n S 达到最大值的n 是．【答案】20【解析】设等差数列公差为d ，则有11361053999a d a d +=⎧⎨+=⎩解得139a =，2d =-203921910a ∴=-⨯=>，213922010a =-⨯=-<∴数列的前20项为正， ∴使得n S 达到最大值的是2013.设数列{}n a 各项为正数，且()13log 12n n a -+=，若()321log 1n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使345n T >成立时n 的最小值为 .【答案】6【解析】()13log 12n n a -+=，()221321log 124n n n n b a ---=+==，则()211211444413n nn n T b b b -=+++=++++=-……. 不等式345n T >即为()*41036n n N >∈，所以6n ≥，于是345n T >成立时n 的最小值为6. 14.已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n 项和，则使得成立的n 的最小值为________．【答案】27 【解析】设，则()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩152a d =-⎧⎨=⎩8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，530S =．（1）求n a ；（2）设数列1{}n S 前n 项和为n T ，当20192020n T =时，求n 的值．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，24a =Q ，530S =．14a d ∴+=，1455302a d ⨯+=g ，解得．12a d ==22(1)2n a n n ∴=+-= (6分)（2）由（1）可得(22)(1)2n n n S n n +==+． ⇒1111n S n n =-+．数列1{}n S 前n 项和为1111111122311n T n n n =-+-+⋯+-=-++，当20192020n T =时，12019112020n -=+，2019n ∴=．（14分） 16.（本题满分14分）已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．【解析】 (1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .(3分)由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N *.(7分) (2) 由题意知c n ＝(n ＋1)×2n . 记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n .则T n ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1＋ (n ＋1)×2n ，2T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋(n ＋1)2n ＋1，所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1，(11分) 即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N *.(14分)17. （本题满分14分）已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16. (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1) 设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋da 1＋2d ＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)．所以a n ＝2n －1.(4分) (2) ①因为b 1＝a 1＝1， b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1＝12n －1·2n ＋1＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， (6分) 即b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15， …b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1，n ≥2，累加得b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1，(9分) 所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1.又b 1＝1也符合上式，故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *.(10分) ②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝⎛⎭⎫32－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，即12m －1＝16＋14n －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.(12分) 当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)；当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．(14分)18.(本题满分16分)记{}1,2,100U =…,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0TS=；若{}12,,k T t t t =…，，定义12k T t t t S a a a =+++L .例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,T k ⊆…，，求证：1T k S a +<；【解析】 (1) 由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.于是当T ＝{2,4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.（8分） (2) 因为T ⊆{1,2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k .（15分）因此，S T <a k ＋1.（16分）19. （本题满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．求数列{b n }的通项公式；【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（8分）（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，（12分)当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N∈.（16分）20.（本题满分16分）在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1. (1) 求证：数列{a n ＋n }为等比数列；(2) 记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围．【解析】 (1) 因为a n ＋1＝3a n ＋2n －1，所以a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n )．故a n ＋1＋n ＋1a n ＋n＝3，又a 1＝2，则a 1＋1＝3，故{a n ＋n }是以3为首项，3为公比的等比数列．(4分) (2) 由(1)知a n ＋n ＝3n ，所以b n ＝3n －nλ.(6分)故T n ＝31＋32＋…＋3n －(1＋2＋3＋…＋n )λ＝32(3n －1)－n n ＋12λ.(8分) 因为T 3为数列{T n }中的最小项，则对∀n ∈N *，有32(3n －1)－n n ＋12λ≥39－6λ恒成立，即3n ＋1－81≥(n 2＋n －12)λ对∀n ∈N *恒成立．(10分) 当n ＝1时，由T 1≥T 3，得λ≥365；当n ＝2时，由T 2≥T 3，得λ≥9；(12分)当n ≥4时，n 2＋n －12＝(n ＋4)(n －3)＞0恒成立，所以λ≤3n ＋1－81n 2＋n －12对∀n ≥4恒成立．令f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12，n ≥4，则f (n ＋1)－f (n )＝3n＋12n 2－26＋162n ＋1n 2＋3n －10n 2＋n －12＞0恒成立，故f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12在n ≥4时单调递增，所以λ≤f (4)＝814.(15分)综上，9≤λ≤814.(16分)。

江苏省高三数学二轮专题训练：解答题86

江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练：解答题（86）
本大题共 6 小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.已知函数
f
(x)
a b ，其中 a
(2 sin x,1),b
2 sin
2 3
x,1,
0，
f
(x)
的
图象与直线 y 2 的交点的横坐标成公差为的等差数列
⑴求 f (x) 的解析式；⑵若在 ABC中，a 3, b c 3， f (A) 2 ，求 ABCAB .， AB 面SAB ，所以 SD AB
又 AB / /CD ，所以 CD SD （2）取 SA 中点 N ，连结 ND, NM ，则 NM / / AB，且 MN 1 AB DC ， AB / /CD
2
所以 NMCD 是平行四边形， ND / /MC ，且 ND 面SAD, MC 面SAD
S2n1 S2n1, S2n2 S2n ，且 S2 S1 a2 S1.
故 S1 S3 S5 S S2n1 S2n S2n2 S4 S2 ．
故只需
S2 S1
A, A,
即
a
a2
1,
1 a 0.
解得 1 a 0 ．
综上所述， a 的取值范围是{a | 0 a 1 或 1 a 0} ． 2
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且| PD | 2 | MD | ．点 A(0, 2) 、 F1(1, 0) ．
（1）设在 x 轴上存在定点 F2 ，使 | MF1 | | MF2 | 为定值，试求 F2 的坐标，并指出定值是

江苏省高考第二轮复习高三数学小题训练4 Word版含解析

小题训练4一、填空题2．已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为﹣3．解：由，得=）＜f或“＜”填空）．5．在平面直角坐标系x O y中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．根据向量、的坐标，得到，设=）可得•=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．解：∵==∴﹣=设，可得•又∵，=λ，本题给出向量、的坐标，再•=0=λ．如图，该程序运行后输出的结果为16．值是1．8．函数f(x)=2s in()，x∈的单调递减区间单间为．﹣∴x﹣∈，，则∴由﹣≤≤﹣﹣≤x≤0．﹣9．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．本题考查的知识点是古典概型，由集合素，然后我们分析各个元素，求出满足条件解：∵集合中共有10个元素时，故满足条件故所取元素恰好满足方程10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．根据双曲线与椭圆解：椭圆+∵中心在原点的双曲线与椭圆∵椭圆，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为11．已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．∴解得：12．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．13．已知函数当t∈时，f（f（t））∈，则实数t的取值范围是．又函数所以解得：的取值范围．故答案为：。

《三维设计》2022届高三数学(理)二轮复习题型专题检测(八) 不等式 Word版含答案

题型专题检测(七) 不等式1.已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.122．(2021·贵阳监测)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d3．(2021·长春质检)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞)B ．(－∞，－2 2]∪[2 2，＋∞)C ．[2－2 2，2＋2 2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)4．(2021·南昌一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－125．(2021·山西省考前质量检测)若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)6．(2021·邯郸摸底)已知x ，y ∈R ，且x ＋2y ＝1，则2x ＋4y 的最小值为________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集为________．8．(2021·云南第一次检测)某校今年方案聘请女老师a 名，男老师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，设这所学校今年方案聘请老师最多x 名，则x ＝________.9．定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a .用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R .设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，若用d 表示不等式f (x )<g (x )解集区间的长度，则当0≤x ≤3时，d ＝________.10．已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．12．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )． (1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；(2)若对满足题设条件的任意b ， c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．答案1．选B 依据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．选C A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误； C 项，∵a c 2<bc 2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 3．选A 由直线与圆相切，可知|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2，整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22，可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞)．4．选C⎩⎨⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0，y ＝m 得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝m 得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2， z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2，解得m ＝2.5．选B 不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，由题意知，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.6．解析：由基本不等式可知2x ＋4y ≥2 2x ·4y ＝22x ＋2y ＝2 2，当且仅当x ＝12，y ＝14时取等号．故答案为2 2.答案：2 27．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋x 2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x －x 2≤2，解得0≤x ≤1或x <0，所以不等式的解集为(－∞，1]．答案：(－∞，1]8．解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：139．解析：f (x )＝[x ]·{x }＝[x ]·(x －[x ])＝[x ]x －[x ]2，由f (x )<g (x )，得[x ]x －[x ]2<x －1，即([x ]－1)·x <[x ]2－1.当x ∈[0,1)时，[x ]＝0，不等式的解为x >1，不合题意；当x ∈[1,2)时，[x ]＝1，不等式为0<0，无解，不合题意；当x ∈[2,3]时，[x ]>1，所以不等式([x ]－1)x <[x ]2－1等价于x <[x ]＋1，不等式恒成立，所以此时不等式的解为2≤x ≤3，所以不等式f (x )<g (x )解集区间的长度为d ＝1. 答案：110．解：(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0. 由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)由于x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x ≤22 6＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫66，＋∞. 11．解：(1)设所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]．⎝⎛⎭⎫或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]. (2)由(1)知y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时，等号成立．故当x ＝1810千米/小时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 12．解：(1)证明：易知f ′(x )＝2x ＋b . 由题设，对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1，于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )>0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2. (2)由(1)知c ≥|b |. 当c >|b |时，有M ≥f (c )－f (b )c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2bb ＋c .令t ＝b c ，则－1<t <1，c ＋2b b ＋c ＝2－11＋t.而函数g (t )＝2－11＋t (－1<t <1)的值域是⎝⎛⎭⎫－∞，32. 因此，当c >|b |时，M 的取值集合为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 当c ＝|b |时，由(1)知b ＝±2，c ＝2. 此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c )－f (b )≤32(c 2－b 2)恒成立．综上所述，M 的最小值为32.。

江苏省高考第二轮复习高三数学小题训练12 Word版含解析

小题训练12一．填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）设集合A={a，2}，B={1，2}，A∪B={1，2，3}，则a=3．2．（5分）如果=1+mi（m∈R，i表示虚数单位），那么m=1．解：由=1+mi3．（5分）若函数是奇函数，则a=．由函数是奇函数，解：∵函数是奇函数，x+））x+x+±a=故应填4．（5分）某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s），随机选择了50名学生进行调查，如图是这50名学生百米成绩胡频率分布直方图．根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在（单位：s）内的人数大约是120．5．（5分）设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，现给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥n；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．其中，所有真命题的序号是③④．6．（5分）阅读程序：输出的结果是2，5，107．（5分）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为18．8．（5分）甲盒子里装有分别标有数字1.2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是．=故答案为：．9．（5分）函数f（x）=sin2x cosx（x∈）的值域是．cosx﹣+时，=10．（5分）已知O，A，B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若，，则的值为12．的中点，将向量表示成，而，从而，再结合转化为求数量积再用，代入，=，因此=，=11．（5分）设f（x）=，若f（x1）=f（x2）=a（x1≠x2），则实数a 的取值范围是[1，2e）．，故函数12．（5分）已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．的解集即可得到的范围，即为离心率根据椭圆的第二定义得，d=2d=所以得到得：为任意实数；﹣，解得或≤所以不等式的解集为：≥[[13．（5分）（2011•浦东新区三模）已知数列{a n}是以3为公差的等差数列，S n是其前n项和，若S10是数列{S n}中的唯一最小项，则数列{a n}的首项a1的取值范围是（﹣30，﹣27）．所以：=n（=9，14．（5分）函数f（x）=ax2﹣2（a﹣3）x+a﹣2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的a值的和为﹣14．=1+x==1+，和时，时，。

2021年江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列(含答案解析)

（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn＝log2（an•an+1），求数列{bn}的前n项和为Tn．
15．已知等差数列{an}满足对任意的正整数n有an+an+1＝4n．
（1）若a1＝1，求{an}的通项公式；
（2）设Sn为{an}的前n项和，求bn 的前n项和．
16．已知各项都为正数的等比数列{an}，a2＝32，a3a4a5＝8．
（1）求{an}的通项公式：
（2）记{an}的前n项和为Sn，求使得Sn≥an成立的n的取值范围．
13．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求{an}的公比；
（2）若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S3＝2a3﹣1，．
（2）设，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn的最小值．
28．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足1+S3＝a4，1+S2＝a3．
（1）求{an}的通项公式an；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若Sn是数列{an}的前n项和，设bn ，求数列{bn}的前n项和Tn．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S6＝36．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
8．已知数列{an}的首项a1＝1，Sn为其前n项和，且Sn+1﹣2Sn＝n+1．
2021年江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列
1．在数列{an}中a1＝1，且3an+1＝an （n∈N+）．
（1）求证：数列{3n•an}为等差数列；