(人教B)高二数学必修4课件：2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
人教B版高中数学必修四课件2.2.2《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》
a-b=（2，1）-（-3，4）=（2-（-3），1-4） =（5，-3）；
3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（6+（-12），3+16） =（-6，19）
练习：
1. a (1,5) b (1,2) c (0,3) 求：2a 3b 7c
2. a (2,4) b (3,5) c (6,3)
求：1 a b 1 c
2
3
变式 :
3.已知 a (1,2) b (2,3) ，实数 x, y 满足等式 xa yb (3,4) ，求 x, y
小结:
1.向量正交分解
即= a a1+e1 a2 e2
2.平面向量的坐标表示
a a1 e1 a2 e2
a
e2
（a1，a2 ）叫做向量a的坐标
O e1
x
平面向量的坐标表示： a =( a1 , a2 )
那么 e1= (1 , 0) e2 = (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
B
a
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O e1
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点 的坐标减去始点的坐标．
例1：已知A、B两点坐标，求：OA，OB， AB坐标和长度(用坐标表示向量)
(1)A(3,5)
课件9：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
()
A.12a－32b
B.－12a＋32b
C.32a－12b
D.－32a＋12b
(2)已知点 P，A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)是一个平行四边形的四
个顶点，则点 P 的坐标为________．
【解析】 (1)设 c＝xa＋yb，x，y∈R， ∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)，∴xx＋－yy＝＝－2，1， 解得 x＝12，y＝－32，∴c＝12a－32b，故选 A.
自我尝试 题型一 平面向量的坐标表示 例 1 在直角坐标系 xOy 中，a，b 如图所示，分别求出 a，b 的坐标．
【分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、 纵坐标的形式．
【解】 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则 a1＝|a|cos45°＝4× 22＝2 2，a2＝|a|sin45°＝4× 22＝2 2.
b 向量相对于 x 轴正方向的转角为 120°. ∴b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32， b2＝|b|sin120°＝3× 23＝323.∴a＝(2 2，2 2)，b＝－32，323.
【知识点拨】 (1)向量的坐标就是向量在 x 轴和 y 轴上的分量，而与向量的位 置无关，如图所示，A→B的坐标为(B2－A2，B1－A1)．
即 xy＋ －21＝ ＝1212
(x－1) (y－4)
， ，
解得xy＝＝－－52，， 即 C(－5，－2)．又 E 在 DC 延长线上， ∴C→E＝14D→E，设 E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝14(a－4，b＋3)， 解之得 a＝－8，b＝－53.
∴E－8，－53. 答案：－8，－53
5．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，B→C＝b， C→A＝c 且 a＝mb＋nc，求 m－n 的值． 解：A→B＝(5，－5)，B→C＝(－6，－3)，C→A＝(1,8)， 由 a＝mb＋nc， 得(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)， ∴－－63mm＋＋n8＝n＝5，－5， 解得mn＝＝－－11.， ∴m－n＝－1＋1＝0.
2018版高中数学人教B版必修四课件：2-2-2 向量的正交
规律方法 求点和向量坐标的常用方法：
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位
置向量的坐标. (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终 点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
跟踪演练2
在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图
所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标.
解
由 A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得
→ CA＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)，
例2
→ 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，∠xOA
→ ＝60° ，求向量OA的坐标.
解 → → 设点 A(x， y)， 则 x＝|OA|cos 60° ＝4 3cos 60° ＝2 3， y＝|OA|sin
→ 60° ＝4 3sin 60° ＝6，即 A(2 3，6)，∴OA＝(2 3，6).
第二章——
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标 运算
[学习目标]
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区 分开来.
1 预习导学
2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破
2. 相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相 同吗？ 答 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等 向量的起点、终点的坐标可以不同.
→ 3.求向量AB的坐标需要知道哪些向量？
→ 答 求向量AB的坐标，需要知道点 A 和点 B 的坐标.
[预习导引]
1.向量的正交分解 (1)如果两个向量的基线 互相垂直 ，则称这两个向量互相垂直.
高中数学人教B版必修四2.2.1- 2.2.2《平面向量基本定理 向量的正交分解与向量的直角坐标运算》ppt课件
课堂互动讲练
考点突破 用基底表示向量 两个非零向量只要不共线，就能构成基底， 而一个平面的基底，一旦确定，平面上任意 一个向量都可以由这组基底唯一地表示出 来．
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例1 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，A→B＝a，A→D＝b， 试用基底{a，b}表示M→C，M→A，M→B和M→D.
示)，对直线 l 上_任___意___一点 P，存在唯一的实数 t 满
足向量等式O→P＝___(1_－__t_)O_→_A_＋__tO_→_B_____，反之，对每一
个实数 t，在直线 l 上都有__唯___一__的一个点 P 与之对
应．向量等式O→P＝__(_1_－__t)_O→_A__＋__tO→_B____叫做直线 l 的向
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
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【思路点拨】 (1)先计算出A→B，A→C再进行向量的 线性运算； (2)直接利用向量的坐标运算．
【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
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与向量的直角坐标运算
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
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归纳总结 1.两个向量的坐标相同时,这两个向量相等,但是它们 的起点和终点的坐标却不一定相同,如A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6), 则 ������������=(3,3),������������=(3,3),显然������������ = ������������, 但A,B,C,D各点的坐标却不相 同.
(x,y).
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【做一做1】 已知a=(2 016,-2 017),且a=xe1+ye2,{e1,e2}为正交
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1.向量的坐标 (1)若两个向量的基线互相垂直,则称这两个向量互相垂直. (2)若基底的两个基向量e1,e2互相垂直,则称这个基底为正交基底. 在正交基底下分解向量,叫做正交分解. (3)在平面直角坐标系xOy内,分别取与x轴和y轴方向相同的两个 单位向量e1,e2,则对任一向量a,存在唯一的有序实数对(a1,a2),使得 a=a1e1+a2e2,(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐标,即a=(a1,a2). 其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量,a2叫做a在y轴上的坐标分量. (4)向量的坐标:设点A的坐标为(x,y),则 ������������ =xe1+ye2=(x,y).(x,y) 在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又 可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量
人教B版高中数学必修4课件 2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件(人教B版)
第二单元 · 平面向量
2.2.2向量的正交分解 与向量的直角坐标运算
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新课导入 向量正交分解的概念 1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直 2.如果基底的两个基向量? ?1 ，? ?2互相垂直，则称这个基底 为正交基底 3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解
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向量的直角坐标运算
设? ?=(? ?1 , ? ?2 ) ，? ?=(? ?1 , ? ?2 )
? ?+? ? = ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2 + ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2
= ? ?1 +? ?1 ? ?1+ (? ?2 +? ?2 )? ?2
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中a1叫做向量? ?在x轴上的坐标分量 ，a2 叫做向量? ?在y轴上的坐标分量。
练习：
0 = 0，0
? ?1 = 1,0 ? ?2 = (0,1)
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探求新知
设向量? ?=(? ?1 , ? ?2 )，? ?的方向相当于x
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牛刀小试 在直角坐标系xOy中，已知点A（? ?1 ，? ?1），点B（? ?2 ，? ?2），
求线段AB中点的坐标
解：设点M（x，y）是线段AB的中点，则 1
? ? ? ? = 2 (? ? ? ?+? ? ? ? )
上式换用向量的坐标，得
? ?2 )]
2018版高中数学人教B版必修4课件：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
(2)直角坐标的求法 分别过向量 AB 的起点、终点作x轴和y轴的垂线,设垂足分别为A1,B1和A2,B2. 坐标分量a1为向量 A1 B1 在x轴上的坐标,坐标分量a2为向量 A2 B2 在y轴上的坐 标.显然0= (0,0) ,e1= (1,0) ,e2= (0,1) . 设向量a=(a1,a2),a的方向相对于x轴正向的转角为θ ,由三角函数的定义
自我检测
1.已知a=(2,1),b=(1,3),则-2a-3b等于( (A)(-7,-11) (B)(-7,11) A )
(C)(7,-11)
(D)(7,11)
解析:-2a-3b=-2(2,1)-3(1,3)=(-4,-2)-(3,9)=(-7,-11).故选A.
2.已知A(x,2),B(5,y-2),若=(4,6),则x,y值分别为( (A)x=9,y=-2 (C)x=1,y=-10 (B)x=1,y=10 (D)x=-1,y=-10 B )
.
.
即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的 和 .
即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的 差
.
减去 始点的坐标. (4)若a=(a1,a2),λ ∈R,则λ a=λ (a1,a2)= (λ a1,λ a2) . 即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的 积 .
4.中点公式
设线段AB两端点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则其中点M(x,y)的坐标计
可知
a1= |a|cosθ ,a2= |a|sinθ .
(3)向量的直角坐标的意义
在直角坐标系中(如图所示),一点A的位置被点A的位置向量 OA所唯一确定.
设点A的坐标为(x,y),容易看出 OA =xe1+ye2=(x,y),即点A的位置 OA向量 的坐标(x,y),也就是点A的坐标;反之点A的坐标也是点A相对于坐标原点的 位置向量 OA 的坐标.
第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件新人教B版必修4
解: ������������=(1,3),������������ =(2,4),������������ =(-3,5),������������=(-4,2),������������=(-5,1), ∴������������ + ������������ + ������������=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 根据平面向量基本定理,知一定存在实数 m,n,使得 ������������ + ������������ + ������������ =m· ������������+n· ������������ , ∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4), 即(-12,8)=(m+2n,3m+4n), ������ = 32, ������ + 2������ = -12, 可得 解得 ������ = -22. 3������ + 4������ = 8, ∴������������ + ������������ + ������������=32������������-22������������ .
)
)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的坐标表示 【例1】 如图所示,分别用基底i与j表示向量a,b,c,d,并求出它们 的坐标. 解:由题图可知, a=������������1 + ������������2 =2i+3j, 所以a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3). 反思感悟求向量的坐标有三种方法 (1)正交分解;(2)将向量的起点平移到原点,向量的终点,即为向量 的坐标;(3)利用转角求横、纵坐标.
数学人教B版必修4课堂导学：2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算 含解析 精品
课堂导学三点剖析一、向量a =的坐标如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a=x i +y j . 我们把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标,记作a=(x,y).(*)其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a 相等的向量的坐标也为(x,y).特别地,i =(1,0),j =(0,1),0=(0,0). 【例1】 在直角坐标系xOy 中,向量a 、b 、c 的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a =(a 1,a 2),a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ,则有⎩⎨⎧==.sin ||,cos ||21θθa a a a 解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2), 则a 1=|a |cos45°=2×22=2, a 2=|a |sin45°=2×22=2, b 1=|b |cos120°=3×(-21)=23-, b 2=|b |sin120°=3×23323=, c 1=|c |cos(-30°)=4×3223=, c 2=|c |sin(-30°)=4×(-21)=-2, 因此a=(2,2),b=(233,23-),c=(32,-2).各个击破 类题演练 1已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |=34，∠xOA=60°,求向量OA 的坐标. 思路分析:要求向量的坐标，就是要求在x 、y 轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.解:设点A 的坐标为（x,y),则x=|OA |·cos60°=34×3221=, y=||sin60°=34×23=6,即A （32，6）. ∴OA =（32，6）.变式提升 1如图,正方形ABCD 中,P 是对角线BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量证明PA=EF.思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出PA 与EF 的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD,故可以D 点为坐标原点,以DC 、AD 边所在直线分别为x 、y 轴,建立坐标系.证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,|DP |=λ(λ>0),则A(0,a),P(22λ,22λ),E(a,22λ),F(22λ,0), ∴PA =(22-λ,a -22λ),=(22λ-a,22-λ).∵||2=λ2-2aλ+a 2,||2=λ2-2aλ+a 2, ∴|PA |2=|EF |2,故PA =EF .二、向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.(3)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a =(a 1,a 2),λ∈R ,则λa =(λa 1,λa 2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.【例2】 已知点A(-1,2),B(2,8)及=31AB ,DA =-31BA ,求点C 、D 和的坐标. 思路分析：根据题意可设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),然后利用AC =31AB 和DA =-31BA 相等关系可得关于x 1、y 1及x 2、y 2的方程组,可得C 、D 点坐标及坐标.解:设C 、D 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由题意可得=(x 1+1,y 1-2),=(3,6),=(-1-x 2,2-y 2),=(-3,-6),∵=31AB ,DA =-31BA , ∴(x 1+1,y 1-2)=31(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-31(-3,-6),也就是(x 1+1,y 1-2)=(1,2),(-1-x 2,2-y 2)=(1,2).∴⎩⎨⎧=-=--⎩⎨⎧=-=+.22,11,22,112211y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.0,2,4,02211y x y x ∴C 、D 的坐标分别为(0,4)、(-2,0). 因此CD =(-2,-4).类题演练 2(1)设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标. (2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a -b +c 的坐标. 解:(1)a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3), a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7), 3a =3(-1,2)=(-3,6),2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11). (2)3a -b +c =3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(5,-8). 变式提升 2用坐标法证明++=0.思路分析:先设出点A 、B 、C 的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出、和的坐标，再运用坐标运算证明等式. 证明:设A （a 1,a 2)、B （b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则AB =(b 1-a 1,b 2-a 2),BC =(c 1-b 1,c 2-b 2),CA =(a 1-c 1,a 2-c 2),∴++=(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0). ∴++=0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A 、B 、C 是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量. 三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二者的法则互为补充.因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合,为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.【例3】 已知A （1，-2），B （2，1），C （3，2），D （-2，3），以AB ，AC 为一组基底表示++.思路分析:求解时，首先由点A 、B 、C 、D 的坐标求得向量，，，，的坐标.然后根据平面向量基本定理设++=m +n .最后列出关于m ，n 的方程组求解.解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1）. 设++=m +n ,∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n). ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得++=32-22. 温馨提示(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力. 类题演练 3已知向量a =(x+3,x-3y-4)与AB 相等，若A （1，2），B （3，2），求x 、y 的值. 解:AB =OB -OA =（3，2）-（1，2）=（2，0）. ∵a =，∴⎩⎨⎧=--=+.043,23y x x故x=-1,y=35-.温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）. 变式提升 3 如图,在ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点,已知=c ,=d ,试用c 、d 表示和.思路分析:直接用c 、d 表示、比较困难,利用“正难则反”的原则,可先用、表示c 、d ,再来解关于、的方程组.解:设=a ,=b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得=21b ,=21a . +=,即b +21a =c .①AB +=,即a +21b =d .②由①②可得a =32(2d -c),b =32(2c -d ),即=32(2d-c ),=32(2c -d).。
高中数学人教B版必修四讲义：第二章 2.2 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 Word版含答案(1)
向量的分解与向量的坐标运算2．2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算预习课本P99～102，思考并完成以下问题(1)两个向量垂直如何定义？(2)一个向量如何正交分解？(3)向量的直角坐标定义是什么？(4)如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？[新知初探]1．两个向量的垂直与正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．2．向量的平面直角坐标的定义(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段AB 表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a ＝(a 1，a 2)，其中a 1叫做向量a 在 x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在 y 轴上的坐标分量． 3．向量的坐标表示若OA ＝xe 1＋ye 2＝(x ，y )，则OA 的坐标(x ，y )⇔点A 的坐标(x ，y )． 4．向量的直角坐标运算(1)若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，λa ＝(_λa 1，λa 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)；线段AB 中点公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3) D ．(0，－1) 答案：C3．若向量AB ＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则AC ＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)答案：A4．若点M (3,5)，点N (2,1)，用坐标表示向量MN ＝______. 答案：(－1，－4)平面向量的坐标表示[典例] 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB 与AD 的坐标．[解] 由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由三角函数的定义，得 x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，∴B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32.∴AB ＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |＝43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA 的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA 的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23， y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA ＝(23，6)． (2) BA ＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).平面向量的坐标运算[典例] (1)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，则向量3AB ＋2CA ＝________，BC －2AB ＝________.(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴AB＝(1,5)，CA＝(4，－1)，BC＝(－5，－4)．∴3AB＋2CA＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2)＝(11,13)．BC－2AB＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10)＝(－7，－14)．[答案](11,13)(－7，－14)(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7) D．(1,3)解析：选A ∵2b ＝2(－2,1)＝(－4,2)， ∴a －2b ＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP ＝12MN ，则P 点坐标为______．解析：法一：设P (x ，y )，MP ＝(x －3，y ＋2)，MN ＝(－8,1)，∴MP ＝12MN ＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.法二：由MP ＝12MN 知，P 为MN 的中点， 由中点坐标公式得 P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32[典例] 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP ＝OA ＋t AB ，t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[解] 因为OP ＝OA ＋t AB ＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )， 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， 所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， 所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.[一题多变]1．[变条件]本例中条件“点P 在x 轴上，点P 在y 轴上，点P 在第二象限”若换为“B 为线段AP 的中点”试求t 的值．解：由典例知P (1＋3t,2＋3t )， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋3t 2＝4，2＋2＋3t 2＝5，解得t ＝2.2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 值；若不能，说明理由．解：OA ＝(1,2)，PB ＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA ＝PB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．层级一 学业水平达标1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：选C 记O 为坐标原点，则OA ＝2i ＋3j ，OB ＝4i ＋2j ，所以AB ＝OB －OA＝2i －j .2．已知AB ＝a ，且A ⎝⎛⎭⎫12，4，B ⎝⎛⎭⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－18，－1 B.⎝⎛⎭⎫14，3 C.⎝⎛⎭⎫18，1D.⎝⎛⎭⎫－14，－3 解析：选A ∵a ＝AB ＝⎝⎛⎭⎫14，2－⎝⎛⎭⎫12，4＝⎝⎛⎭⎫－14，－2， ∴λa ＝12a ＝⎝⎛⎭⎫－18，－1. 3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选C DA ＝－AD ＝－BC ＝－(AC －AB )＝(1,1)．5．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN ＝－2PM ，则P 点的坐标为( )A ．(－14,16)B ．(22，－11)C ．(6,1)D ．(2,4)解析：选D 设P (x ，y )，则PN ＝(10－x ，－2－y )，PM ＝(－2－x,7－y )，由PN ＝－2PM 得⎩⎪⎨⎪⎧ 10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.6．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－37．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB ＋2BC ＝________. 解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)， ∴AB ＝(2,3)，BC ＝(－3,3)．∴AB ＋2BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)． 答案：(－4,9)8．已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA |＝6，∠xOA ＝150°，向量OA 的坐标为________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝|OA |cos 150°＝6cos 150°＝－33， y ＝|OA |sin 150°＝6sin 150°＝3，即A (－33，3)，所以OA ＝(－33，3)． 答案：(－33，3)9．已知a ＝AB ，B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)， 即a ＝(－7,10)＝AB .又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )， 则AB ＝(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10)．10．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM ―→＝3CA ―→，CN ―→＝2CB ―→，求点M ，N 的坐标．解：法一：∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA ―→＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， CB ―→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)．∵CM ―→＝3CA ―→，CN ―→＝2CB ―→，∴CM ―→＝3(1,8)＝(3,24)，CN ―→＝2(6,3)＝(12,6)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴CM ―→＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3,24)， CN ―→＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋3＝12，y 2＋4＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝20，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝2. ∴M (0,20)，N (9,2)．法二：设O 点为坐标原点，则由CM ―→＝3CA ―→，CN ―→＝2CB ―→， 可得OM ―→－OC ―→＝3(OA ―→－OC ―→)，ON ―→－OC ―→＝2(OB ―→－OC ―→)， ∴OM ―→＝3OA ―→－2OC ―→，ON ―→＝2OB ―→－OC ―→. ∴OM ―→＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)， ON ―→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)． ∴M (0,20)，N (9,2)．层级二 应试能力达标1．已知向量AB ＝(2,4)，AC ＝(0,2)，则12BC ＝( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D12BC ＝12(AC －AB )＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1D ．－1,2解析：选D ∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A 设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 4．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)． 令a ＝xm ＋yn ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．5．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：16．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.设OC ＝λOA ＋OB (λ∈R)，则λ＝ ________.解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以OC ＝OE ＋OB ＝λOA ＋OB ，即OE ＝λOA ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23. 答案：237．在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F ，求DF 的坐标．解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，∴AB ＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)， AC ＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，∴AD ＝12(AB ＋AC )＝12(－4－3，－3－5) ＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4. ∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点．∴DF ＝－FD ＝－12AD ＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(1)若PA ＋PB ＋PC ＝0，求OP 的坐标．(2)若OP ＝m AB ＋n AC (m ，n ∈R)，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，求m －n . 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，因为PA ＋PB ＋PC ＝0，又PA ＋PB ＋PC ＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2,2)，故OP ＝(2,2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，所以AB ＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)， AC ＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，因为OP ＝m AB ＋n AC ，所以(x 0，y 0)＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.。
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明目标、知重点
例2 已知a＝(－2，3)，b＝(3，1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示 c. 解 设c＝xa＋yb， 则(10，－4)＝x(－2，3)＋y(3，1) ∴＝(－102＝x＋－32yx，＋33xy＋，y)，
∴10＝3λ－2μ， －5＝2λ＋2μ，
λ＝1， 解得μ＝－72，
∴a＝b－72c.
明目标、知重点
例 3 已知 A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若C→M＝2C→A＋3C→B， 求点 M 的坐标. 解 由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得 C→A＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， C→B＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)， ∴C→M＝2C→A＋3C→B＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).
A.－4，12
B.4，－12
C.(－8，1)
D.(8，1)
解析 ∵A→B＝O→B－O→A＝(－8，1)，
∴12A→B＝－4，12.
明目标、知重点
3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，
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B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，则顶点 D 的坐标为( A )
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一 对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标 来表示？
明目标、知重点
探究点一 平面向量的坐标表示 思考1 如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b 垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内 所有向量的一组基底？ 答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一 组基底.
1.向量的直角坐标 (1)正交分解：在正交基底下分解向量叫做正交分解. (2)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相 同的两个 单位向量 e1，e2作为基底，对于平面内的一个向量a， 有且只有一对实数x，y使得a＝ xe1＋ye2 ，则 有序数对(x，y) 叫 做向量a的坐标， a＝(x，y) 叫做向量a的坐标表示. (3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则 O→A＝ (x，y) ；若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝ (x2－x1，y2－y1) .
例1 已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b 的坐标. 解 a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)， a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)， 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6， 19). 反思与感悟 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是 终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实 数的运算. 明目标、知重点
二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题.
明目标、知重点
跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3，7)， (4，6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标. 解 不妨设A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x， y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形. ①当平行四边形为 ABCD 时，A→B＝D→C， ∴(4，6)－(3，7)＝(1，－2)－(x，y)，
明目标、知重点
思考2 在正交基底下分解向量，叫 做正交分解.如图，向量i、j是两个互 相垂直的单位向量，向量a与i基线的 夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为 基底，向量a如何表示？ 答 a＝2 3i＋2j.
明目标、知重点
ห้องสมุดไป่ตู้
小结 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相 同的两个单位向量e1、e2作为基底.对于平面内的任一向 量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x， y，使得a＝xe1＋ye2.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的 坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标.显然有，e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，0 ＝(0，0).
明目标、知重点
∴1－x＝1， －2－y＝－1，
∴x＝0， y＝－1.
∴D(0，－1).
②当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3).
③当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6，15).
综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)
或(6，15).
明目标、知重点
4.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ ma＋nb，则m＋n＝__7__.
2m＋n＝9，
m＝2，
解析 由
解得
故 m＋n＝7.
－3m＋2n＝4，
n＝5.
明目标、知重点
呈重点、现规律 1. 在平面直角坐标系中，平面内的点、以原 点为起点的向量、有序实数对三者之间建立 一一对应关系.关系图如图所示： 2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量 的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同. 3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.
明目标、知重点
明目标、知重点
2.向量的直角坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ， 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和. (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ (λx，λy) ，即实数与向量的积 的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
当堂测·查疑缺
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1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于( B )
A.(－2，1)
B.(2，－1)
C.(2，0)
D.(4，3)
解析 b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，故选B.
明目标、知重点
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2.已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的坐标是( A )
跟踪训练1 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b； 解 2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b； 解 a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
明目标、知重点
(3)12a－13b. 解 12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)
明目标、知重点
设点 M 的坐标为(x，y)，则C→M＝(x－3，y－4).
x－3＝－14，
x＝－11，
由向量相等坐标相同可得
解得
y－4＝－19，
y＝－15.
∴点M的坐标为(－11，－15).
反思与感悟 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的
法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，
明目标、知重点
思考 3 在平面直角坐标系中，作向量O→A＝a，若O→A＝(x，y)， 此时点 A 的坐标是什么？根据下图写出向量 a，b，c，d 的坐标， 其中每个小正方形的边长是 1.
答 A(x，y). a＝(2，3)，b＝(－2，3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3).
明目标、知重点
探究点二 平面向量的坐标运算 思考1 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝ (x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向 量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用 基底i、j表示？ 答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
A.2，72
B.2，－12
C.(3，2)
D.(1，3)
解析 设 D 点坐标为(x，y)，则B→C＝(4，3)，A→D＝(x，y－2)，
→ → 4＝2x， 由BC＝2AD得
3＝2y－2，
x＝2， ∴y＝72，
∴D(2，72).
明目标、知重点
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明目标、知重点
→ 思考 3 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB的坐标是什么？一般 地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？
→ 答 AB＝(x2－x1，y2－y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的 有向线段的终点坐标减去始点坐标. (1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等 号. (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终 点的坐标相同. (3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个 向量，叙述中应明目指标明、知点重点(x，y)或向量(x，y).
－4＝3x＋y， 解得x＝－2，y＝2， ∴ c ＝－2a＋2b.
明目标、知重点
反思与感悟 待定系数法是最基本的数学方法之一， 它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程 组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常 用方法.
明目标、知重点
跟踪训练2 已知a＝(10，－5)，b＝(3，2)，c＝(－2，2)， 试用b，c表示a. 解 设a＝λb＋μc (λ，μ∈R). 则(10，－5)＝λ(3，2)＋μ(－2，2) ＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).
明目标、知重点
思考2 根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标 分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算？ 答 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1). 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 (差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标.