1.1 确定质点位置的方法
怎样判断质点的相对应的题
怎样判断质点的相对应的题
判断质点的相对运动问题，可以根据以下几个方面来进行分析和判断：
1. 观察质点的速度和方向：比较两个质点的速度和方向是否相同或相反。
如果速度和方向相同，则质点在相对运动中相对静止；如果速度和方向相反，则质点在相对运动中相对向对方运动；如果速度相同、方向不同，则质点在相对运动中存在夹角，以某种方式相互绕对方运动。
2. 观察质点的相对位置变化：比较两个质点的相对位置变化。
如果位置保持不变，则质点在相对运动中相对静止；如果位置发生变化，可以通过计算位移、速度等物理量来判断质点的相对运动情况。
3. 利用参考系：选择一个适当的参考系来观察质点的运动情况。
通过选择静止的观察者或选择一个质点为基准，可以更清楚地判断质点的相对运动情况。
4. 应用运动学公式：利用运动学公式计算质点的运动情况，如速度、加速度、位移等。
通过比较计算得到的数值，可以得出质点的相对运动情况。
需要注意的是，判断质点的相对运动问题需要根据具体情况综合考虑以上几个方面，不能仅仅依靠其中的一个方面进行判断，同时还需要结合实际问题进行分析和理解。
质点
定义 用来代替物体的有质量而不考虑形状和大小的点。是一个理想的模型，实际上并不存在。
质点判定条件 要把物体看作质点，就要看所研究问题的性质，而与物体本身无关。所以，能否将物体看作质点需要满足其中之一： 当物体的大小与所研究的问题中其他距离相比为极小时。 一个物体各个部分的运动情况相同，它的任何一点的运动都可以代表整个物体的运动。[1] 理想化条件下，满足条件有： （1）物体上所有点的运动情况都相同，可以把它看作一个质点。 （2）物体的大小和形状对研究问题的影响很小，可以把它看作一个质点。 （3）转动的物体，只要不研究其转动且符合第2条，也可看成质点。 可视为质点的运动物体有以下两种情况： （1）运动物体的形状和大小跟它所研究的问题相比可忽略不计，如研究地球绕太阳的公转，可把地球当作一质点。 （2）做平动的物体，由于物体上各点的运动情况相同，可以用一个点代表整个物体的运动。编辑本段详细解释 质点就是有质量但不存在体积与形状的点。通常情况下如果物体大小相对研究对象较小或影响不大，可以把物体看做质点。 质点 mass point，物理学专有名词。不考虑物体本身的形状和大小，并把质量看作集中在一点时，就将这种物体看成“质点”。研究问题时用质点代替物体，可不考虑物体上各点之间运动状态的差别。它是力学中经过科学抽象得到的概念，是一个理想模型。可看成质点的物体往往并不很小，因此不能把它和微观粒子如电子等混同起来。若研究的问题不涉及转动或物体的大小跟问题中所涉及到的距离相比较很微小时，即可将这个实际的物体抽象为质点。例如，在研究地球公转时，地球半径比日、地间的距离小得多，就可把地球看作质点，但研究地球自转时就不能把它当成质点。又如物体在平动时，内部各处的运动情况都相同，就可把它看成质点。所以物体是否被视为质点，完全决定于所研究问题的性质。 质点是将物体简化后得到的只有质量而不计大小、形状的一个几何点，是经典力学中常用的最基本的模型。作平动（见机械运动）的物体，不论其大小、形状如何，体内任一点的位移，速度和加速度都相同，可以用其质心这个点的运动来概括，即可视为质点的运动。 在地球绕太阳的公转中，球中任一点对太阳的位移、速度和加速度都略有差别，但地球半径远小于地球太阳间的距离，上述差别也远小于地心的位移、速度和加速度，可以忽略不计，仍可视公转为质点运动。在物体的转动例如地球的自转中，球内各点的位移、速度和加速度的方向及大小差别悬殊，完全不能忽略，就不能视为质点。但可把物体无限分割为极小的质元，每个质元都可视为质点，物体的转动就成为无限个质点的运动的总和，即质点系的运动。 另一方面，从物体所受引力的角度来看，如果物体的尺寸远较它和产生引力场的另一物体间的距离为小时，可以忽略其形状、尺寸，视为质点；相近时，就须视为质点系。所以世界上一切物体的机械运动均可视为质点或基础。 若一质点的质量为M1，位于轴上的点P1处，P1的坐标为X1；一质点的质量为M2，位于轴上的点P2处，P 2的坐标为X2，则这两个质点所形成的质点系重心P的坐标X=（M1X1+M2X2）/（M1+M2） 如果你仅仅是要描述一个物体运动的特点（对外界运动，其自身的状态如何改变都不会影响运动）就可以当作质点. 这样比喻： 如果有一辆火车要从厦门开往北京的话 那在地图上就可以当做质点（因为就算那个火车是圆的或者是方的对你所要描述的都没有影响） 而当你要描述这辆火车完全经过100米时的运动时你就不能把他当成一个质点..因为它有车身的长度，而这个长度会改变它的运动特点（例如要把车尾也算在内）这样他就不能当作是质点了。编辑本段相关说明 1.质点是一个理想化的模型﹐它是实际物体在一定条件下的科学抽象。 2.质点不一定是很小的物体﹐只要物体的形状和大小在所研究的问题中属于无关因素或次要因素﹐即物体的形状和大小在所研究的问题中影响很小时﹐物体就能被看作质点。它注重的是在研究运动和受力时物体对系统的影响，忽略一些复杂但无关的因素。 3.在理论力学中，一个物体常常抽象为它的重心，尤其在静力学和运动学中。编辑本段质点运动运动学方程
第1章 确定质点空间位置的方法
y′ ′ S′ ′
u
·
1.位移关系： 1.位移关系： 位移关系
●
P x x′ ′
·
r
R
O′
r′
r = r′ + R
∆r = ∆r ′ + ∆R
O
2.速度关系： 2.速度关系： 速度关系 --伽利略速度变换关系 v = v ' + u --伽利略速度变换关系
v 或： p-s
= v 'p-s' + us'-s
二、速度：描述质点运动快慢的物理量 速度： 1.平均速度和平均速率 1.平均速度和平均速率
∆r r (t + ∆t ) − r (t ) v= = ∆t ∆t z P ②平均速率 1 Δs ∆s • v= P2 • ∆t Δr r(t) r(t+Δt ) Δ y 从路程的角度上定义 0 （单位时间内所通过的 x ∆s ≠ ∆r 路程）， ），一般不等于平 路程），一般不等于平 v≠v 均速度的大小， 均速度的大小， 即
r(t)
0
r(t+Δt ) Δ
dr
④在直角坐标系中
r (t ) = x i + y j + z k
dr dx dy dz 则 v= = i+ j+ k dt dt dt dt
= vx i + v y j + vz k
∴ v = vx + v y + vz
2 2 2
⑤在自然坐标系中
s = s (t )
∴ a = a′
*以上结论是在绝对时空观下得出的： 以上结论是在绝对时空观下得出的： 绝对时空观下得出的 *只有假定“长度的测量不依赖于参考系”（空 只有假定“长度的测量不依赖于参考系” 间的绝对性）才能给出位移关系式； 间的绝对性）才能给出位移关系式； *只有假定“时间的测量不依赖于参考系”（时 只有假定“时间的测量不依赖于参考系” 间的绝对性） 间的绝对性）才能进一步给出速度和加速度关系 式。
第1章 确定质点空间位置的方法
2 2
dv 2 v 2 = ( ) +( ) dt r Nhomakorabea2
a 其中： 描述速率的变化， 描述速度方向 速率的变化 a 速度方向的变化 其中：τ 描述速率的变化， n描述速度方向的变化
二、圆周运动的角量描述 1.角坐标（角位置） 1.角坐标（角位置） 角坐标
θ = θ (t )
v
称为绝对速度 称为绝对速度
称为相对速度 v′ 称为相对速度 u 称为牵连速度 称为牵连速度
[例1] 雨是竖直下 时，骑车人在胸 前铺一块塑料布 即可遮雨。 即可遮雨。
v 地 对 人 v 人对地
v雨对地 v雨对人
3.加速度关系： 3.加速度关系： 加速度关系
a = a '+ a 0 du 若u = const, a0 = =0 dt
dv dv a ≠ 加速度的大小： 加速度的大小： = a = dt dt
二、质点运动学的两类问题 1.第一类问题： 1.第一类问题： 已知r，求v 和a. 第一类问题 求解方法： 求解方法：
dr dx dy dz v= = i+ j+ k dt dt dt dt
dv y dvz dv dvx a= = i+ j+ k dt dt dt dt
r = r ( x , y , z ) = xi + yj + zk
1-2 位移 速度 一、位移： 位移： 1.描述质点在一段时间内位 1.描述质点在一段时间内位 描述质点在一段时间内 置的改变。 置的改变。 2.质点在 时间内的位移： 2.质点在∆t 时间内的位移： z
P1
• 轨迹
r(t)
0
高中物理质点参考系
高中物理质点参考系在物理学中，质点参考系是一个用来描述物体运动的惯性系。
在高中物理中，我们经常使用质点参考系来分析物体的位置、速度、加速度等问题。
本文将介绍什么是质点参考系以及如何使用它来分析物体的运动。
首先，我们需要了解什么是质点。
在物理学中，质点是指一个可以忽略其大小和形状的物体。
质点不具有内部结构，只有质量和位置等性质。
因此，质点是一个理想化的概念，在实际应用中往往将物体近似看作质点。
质点参考系是一个以质点为参考点的坐标系。
质点参考系通常用来描述质点的运动情况。
质点参考系的坐标原点可以是任意位置，但一般选取质点的位置为原点，这样可以简化计算。
在质点参考系中，我们通常使用直角坐标系或极坐标系来描述质点的运动。
直角坐标系由x轴和y轴组成，其中x轴和y轴分别与水平和竖直方向平行。
质点在直角坐标系中的位置可以用两个坐标值(x, y)来表示。
质点参考系中的速度是指质点在参考系中运动的快慢和方向。
速度可以分为瞬时速度和平均速度。
瞬时速度是指质点在某一瞬间的速度，可以通过求质点的位移与时间的比值得到。
平均速度是指质点在某个时间段内的速度，可以通过求质点的总位移与总时间的比值得到。
质点参考系中的加速度是指质点速度的变化率。
加速度可以分为瞬时加速度和平均加速度。
瞬时加速度是指质点在某一瞬间的加速度，可以通过求质点的速度变化量与时间的比值得到。
平均加速度是指质点在某个时间段内的加速度，可以通过求质点的速度变化总量与总时间的比值得到。
使用质点参考系，我们可以对物体的运动进行分析和预测。
例如，当我们知道质点的初始位置和速度，并且知道质点所受的外力时，我们可以通过牛顿第二定律和运动学方程来求解质点的位移、速度和加速度。
此外，质点参考系在其他物理学领域中也有重要的应用。
例如，在动量守恒定律中，我们可以通过质点参考系来分析质点间的碰撞过程。
在静电学中，我们可以通过质点参考系来研究带电质点的受力情况。
总之，质点参考系是物理学中一个重要的工具，用于描述物体的运动情况。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
采用欧拉法时，某时刻空间点速度还可表示为：
u u(x, y, z,t)
（4-6）
由于空间坐标x，y，z是时间t的函数，则加速度可表示为：
a du u u dx u dy u dz dt t x dt y dt z dt
描述流体质点运动的两种方法
1.1 拉格朗日法（Lagrange Method）
当研究该流体质点的流速u及加速度a时，可直接将式（4-1）对时间求一阶 和二阶偏导数。在求导过程中，a，b，c均视为常数。
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a,b,c,t)
t
uz
z (a, b, c, t ) t
欧拉法主要包括两个内容：① 确定在空间某一固定点上流体的运动参数随 时间变化的规律；② 确定在某一瞬间各空间点上流体的运动参数的分布规律。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
对于任一个流体质点来说，其位置变量x、y、z都是时间t的函数，即
x x(t) y y(t) z z(t)
例如，有一水箱的放水管在放水，其中有两个水流质 点A与B。假定经过微小时段dt后，它们分别移至A'和B'， 如图所示。由于作用水头H在放水过程中逐渐降低，则
H
管内各固定的空间点上的流动都将随时间而变化，从而 形成时变加速度。但是，由于A与A'两点所处管段直径不
变，因此，这两点在同一时刻流速相同，理论上不存在 迁移加速度；而B与B'两点位于渐变段，管径逐渐变小， 流速逐渐加大，因此，B'点流速大于B点流速，故这两点 之间不仅存在时变加速度，也存在迁移加速度。
质点运动的基本原理与公式推导
质点运动的基本原理与公式推导质点运动是物理学中的一个重要概念，它描述了一个点状物体在空间中的运动状态。
本文将介绍质点运动的基本原理，并通过推导公式来深入理解质点运动的规律。
一、质点运动的基本原理质点是物理学中一个理想化的概念，它假设物体在运动过程中没有形状和大小，只有质量。
因此，质点运动的基本原理可以归纳为以下几点：1. 质点的位置：质点在空间中的位置可以用矢量来表示，通常用r 表示，即r(t)，其中t表示时间。
质点的位置随时间的变化而变化，可以用函数关系式来描述。
2. 质点的速度：质点的速度指的是单位时间内质点位移的变化率。
数学上，可以用矢量v表示，即v(t) = dr(t)/dt，其中dr(t)表示质点在时间t内的微小位移。
3. 质点的加速度：质点的加速度指的是单位时间内质点速度的变化率。
数学上，可以用矢量a表示，即a(t) = dv(t)/dt，其中dv(t)表示质点在时间t内的微小速度变化。
4. 质点的运动方程：质点的运动方程是描述质点运动状态的方程。
一般情况下，可以通过质点的速度和加速度推导得出。
常见的质点运动方程有匀速直线运动方程、匀加速直线运动方程等。
二、质点运动的公式推导下面以匀速直线运动和匀加速直线运动为例，推导出相应的质点运动公式。
1. 匀速直线运动假设质点在匀速直线运动过程中，速度恒定不变，且沿着直线方向运动。
记质点的初始位置为r0，速度为v0，则质点在时间t后的位置可以表示为r(t) = r0 + v0t。
2. 匀加速直线运动假设质点在匀加速直线运动过程中，加速度恒定不变，且沿着直线方向运动。
记质点的初始位置为r0，初始速度为v0，加速度为a，则质点在时间t后的位置可以表示为r(t) = r0 + v0t + (1/2)at^2。
以上推导的公式是质点运动中常用的公式，可以帮助我们准确描述和计算质点在运动过程中的位置、速度和加速度。
结论：通过上述对质点运动的基本原理和公式推导的介绍，我们可以得出质点运动的几个重要结论：1. 质点的位置、速度和加速度都是随时间变化的量，可以用矢量表示。
第一章 2 位置 位移
2位置位移[学习目标] 1.理解坐标系概念，会用坐标系描述物体的位置和位移。
2.理解位移的概念，知道位置、位移、路程等概念的区别与联系。
3.会用位移—时间图像描述物体的直线运动。
4.知道矢量与标量的区别。
一、确定质点位置的方法——坐标系1．要准确地描述质点的位置，需要建立坐标系，即按照规定的方法选取一组有序的数来描述它的位置，这组有序的数就是“坐标”。
2．研究物体的直线运动时，只需要使用沿运动方向的一维直线坐标系就可以准确地描述质点的位置；研究平面上物体的运动，需要建立平面直角坐标系；研究空间物体的运动，需要建立三维坐标系。
二、位置的改变——位移1．路程：物体运动路线的长度。
2．位移：(1)物理意义：描述物体位置变化的物理量。
(2)定义：由初位置指向末位置的有向线段。
线段的长短表示位移的大小，箭头表示位移的方向。
(3)位移在一维直线坐标系中的表示：若点A、B对应的坐标分别为x1、x2，则A到B的位移Δx＝x2－x1。
三、位移—时间图像建立直角坐标系，用纵轴表示位置x，横轴表示时间t，即为x－t图像。
把运动的起始位置和起始时刻分别作为纵轴和横轴的原点，各点的位置坐标x就等于它们相对于起始位置的位移Δx，这样的x－t图像称为位移—时间图像。
四、矢量和标量1．标量：只有大小没有方向的物理量，如质量、时间、路程、温度等。
2．矢量：既有大小又有方向的物理量，如力、速度、位移等。
3．运算法则：标量加减遵循“算术法则”，矢量的加减有所区别(填“相同”或“有所区别”)。
1．判断下列说法的正误。
(1)直线运动中，建立了直线坐标系，任意时刻的位置都可用位置坐标表示。
(√)(2)一个物体的位移为零，路程也一定为零。
(×)(3)温度的高低可以用正、负数表示，所以温度是矢量。
(×)(4)物体在沿一条直线向同一方向运动时，路程与位移相同。
(×)2.如图所示为某一质点的位移—时间图像，则0～3 s时间内，质点的位移大小为________ m，路程为________m；2 s末的位置坐标为x＝________ m。
第1章 质点运动学共48页文档
(2) 位矢法 以O点为参考点
r
x(
t
)i
y(
t
)j
R
cos
t
i
R
sin
t
j
(3) 自然法
以O’点为参考点，逆时为正。
S R t
第一章 质点运动学
7
§1-2 质点的位移、速度和加速度
一、位移 描述质点位置变化的物理量
S
几何描述： 数学描述：
PrQ
r(
t
t
)
r(
t
)
r( t ) r( t t )
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
微分法 r a 积分法
微分法
积分法
ar ra
第一类问题（微分法） 第二类问题（积分法）
第一章 质点运动学
14
例：直杆AB两端可以分别在两固定而 相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆 的倾角按φ=ωt 随时间变化，试求杆 上M点的运动规律。（运动方程、轨 迹、速度、加速度）
直角坐标系
j
i
k
i jk
分别是x、y、z方 向的单位矢量
在直角坐标系中可写成：
r xi yj zk
a
x i y axi ay
j
z
k
j azk
(A)
大小
2 x
2 y
2 z
a
ax2
a
2 y
az2
第一章 质点运动学
12
由基本关系式
有：
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
a
dx
b
2
sin
t
确定质点位置的方法
(3) 根据 a a (t ) 以及初始条件，可确定 v v (t ) a a (t )
积分
v v (t )
积分
r r (t )
例 一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速度为 。
求 用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。 解 O 点为起始点，设t 时刻质点位于 P（x , y）。 直角坐标表示的运动学方程为
v
l0
h O
l (t )
x
解 取坐标系如图
依题意有 坐标表示为
x(t )
l (t ) l0 v t
x(t ) (l0 v t ) 2 h 2
说明 质点运动学的基本问题之一，是确定质点运动学方程。为
正确写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明 确起始条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。
质点的瞬时加速度 a
§1.2 质点的位移、速度和加速度
1 路程/位移大小不等
一. 位移（反映物体位置的变化） r r (t t ) r (t ) 位移 位矢 r 在t 时间内的增量
说明
2 位移等于位矢增量 3 Δr 和 位移的区别
P
s
r (t )
O
z
r
参照物
y
O
x
位置矢量
大小
r xi yj zk
方向 cos
r x2 y 2 z 2
x r
y cos r
z cos r
3. 自然坐标法（用于运动轨迹已知的质点）
• O
s
P
说明 自然坐标 S 是代数量 4. 运动学方程(函数) 直角坐标 自然坐标 位矢法
1.1 确定质点位置的方法
v n
τ
v
v n
τ
v
法向单位矢量 切向单位矢量 显然，轨迹上各点处， 显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断 r r 变化。 变化。即： τ ， n 是变矢量 三. 运动学方程 定义:质点的位矢随时间变化的函数关系。 定义:质点的位矢随时间变化的函数关系。 直角坐标 自然坐标 位矢法
v 切向单位矢量
z 方向的单位矢量. 方向的单位矢量.
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 v . 位置矢量, 位置矢量,简称位矢 r
y
*
P
x
z
v 2 2 2 r = r =方向x + y + z
v 位矢r 大小
的值为
cos α = x cos β = y
r r
注意： 注意：
cos γ = z
r
x, y ,z 是位矢在坐标轴上的投影，可正可负。 是位矢在坐标轴上的投影，可正可负。 当
1.2
一、 位移 位移 =
y
yB yA
质点的位移、 质点的位移、速度和加速度
P
r r (t)
r ∆r
v：路径长度，即弧长. v v 路程：路径长度，即弧长. 路程 = r (t + ∆t ) − r (t ) ∆r
v t 位矢 r 在∆ 时间内的增量 •
r ∆r v r2
B
yB − yA
∆s
v O r (t +∆t )
地球 太阳
地球上各点的公转速度相差很小， 忽略地球自身尺 地球上各点的公转速度相差很小 ， 寸的影响，作为质点处理。 寸的影响，作为质点处理。
二、确定质点位置的常用方法
1. 坐标法 P(x, y, z) 2. 位矢法 质点位置由位置矢量描述） （质点位置由位置矢量描述）
高中物理质点的运动
高中物理质点的运动质点运动是物理学中一个重要的概念，指的是忽略物体自身形状和大小，只考虑物体质心的运动。
在高中物理学中，质点运动是一个基础而重要的内容，它包括质点的位置、速度和加速度等方面的研究。
本文将从不同的角度来探讨质点运动的基本原理和相关概念。
一、质点的位置质点的位置是指质点在空间中的坐标，通常用直角坐标系或极坐标系来表示。
在直角坐标系中，我们可以用x、y、z三个分量来描述质点的位置。
如果质点只在一个平面内运动，我们也可以只用x、y两个分量来表示。
质点的位置随时间的变化而变化，可以用位置函数来描述。
对于平直运动的质点，其位置函数可以表示为：x = x0 + vt其中，x是质点的位置，x0是初始位置，v是质点的速度，t是时间。
二、质点的速度质点的速度是指质点在单位时间内的位移量。
速度有大小和方向两个方面。
在直角坐标系中，我们可以用速度矢量v来表示质点的速度，其大小为v = √(v_x² + v_y² + v_z²)，其中v_x、v_y、v_z是质点在x、y、z三个坐标轴上的速度分量。
质点的速度随时间的变化而变化，可以用速度函数来描述。
对于匀加速直线运动的质点，其速度函数可以表示为：v = v0 + at其中，v是质点的速度，v0是初始速度，a是质点的加速度，t是时间。
三、质点的加速度质点的加速度是指质点在单位时间内速度的变化量。
加速度也有大小和方向两个方面。
在直角坐标系中，我们可以用加速度矢量a来表示质点的加速度，其大小为a = √(a_x² + a_y² + a_z²)，其中a_x、a_y、a_z是质点在x、y、z三个坐标轴上的加速度分量。
质点的加速度可以分为两类：匀速直线运动和匀加速直线运动。
在匀速直线运动中，质点的速度保持不变，加速度为零；而在匀加速直线运动中，质点的加速度保持不变，速度随时间线性增加或减小。
四、质点运动的类型根据质点在空间中运动轨迹的不同，质点的运动可以分为直线运动和曲线运动两种类型。
找质点的技巧
找质点的技巧
以下是找质点的一些常见技巧：
1. 计算几何图形的质心：对于平面几何图形，可以根据形状的对称性等特点，找到图形的质心。
例如，对于一个均匀分布的三角形，可以计算三个顶点的坐标的平均值来得到质心坐标。
2. 利用对称性：如果一个物体具有对称性，可以利用对称轴或平面降低问题的复杂度。
找到对称轴或平面上的一点，然后计算其相对于对称轴或平面的位置即可。
3. 利用分布密度：对于均匀分布的物体，可以考虑将其分解成多个小块，然后再计算每个小块的质心。
最后，根据小块的面积或体积分布在整个物体上的比例，加权求和得到质心的位置。
4. 运用积分：对于连续分布的物体，可以使用积分来计算质心的位置。
根据微元的质量和位置，将整个物体分解成无穷多的小质点，然后对每个微元进行积分求和。
5. 利用物体的参数方程：对于参数方程描述的物体，可以根据参数的变化范围来计算整个物体的质心位置。
将参数方程分别对x，y和z进行积分，然后除以物体的体积或面积，即可得到质心的位置。
请注意，在具体问题中，可能还有其他特定的技巧和方法来求解质点的位置，所以需要根据具体情况进行选择。
质点运动的数学描述
质点运动的数学描述质点运动是物理学的一个重要概念，用数学语言进行描述可以帮助我们更好地理解和分析运动的规律。
在本文中，我们将探讨质点运动的数学描述，并以一些例子来说明。
一、位置、位移和坐标系质点的位置可以用坐标系来描述，一般使用直角坐标系或极坐标系。
在直角坐标系中，质点的位置可以由其在x、y、z轴上的坐标来表示；而在极坐标系中，质点的位置可以由其距离原点的距离和与参考方向的夹角来表示。
质点的位移是指其位置发生变化的差值，可以用Δx、Δy、Δz或Δr、Δθ来表示。
其中，Δx、Δy、Δz表示质点在直角坐标系中的位移量，Δr、Δθ表示质点在极坐标系中的位移量。
二、速度和加速度质点的速度是指其单位时间内位移的瞬时变化率，可用速度矢量来表示。
在直角坐标系中，质点的速度可以表示为v = (vx, vy, vz)，其中vx、vy、vz为质点在x、y、z轴上的速度分量。
在极坐标系中，质点的速度可以表示为v = (vr, vθ)，其中vr为质点沿径向的速度分量，vθ为质点沿角度方向的速度分量。
质点的加速度是指其单位时间内速度的瞬时变化率，可用加速度矢量来表示。
在直角坐标系中，质点的加速度可以表示为a = (ax, ay, az)，其中ax、ay、az为质点在x、y、z轴上的加速度分量。
在极坐标系中，质点的加速度可以表示为a = (ar, aθ)，其中ar为质点沿径向的加速度分量，aθ为质点沿角度方向的加速度分量。
三、运动方程通过对质点的位置、速度和加速度的描述，我们可以得到质点的运动方程。
对于一维运动，质点的运动方程可以表示为x = x0 + v0t +(1/2)at^2，其中x0为初始位置，v0为初始速度，a为加速度，t为时间。
对于二维或三维运动，质点的运动方程需要根据具体情况进行推导和描述。
四、曲线运动对于曲线运动，质点的运动方程可以更为复杂。
在直角坐标系中，质点的曲线运动可以通过参数方程来描述，例如x = f(t)，y = g(t)，z =h(t)；在极坐标系中，质点的曲线运动可以通过参数方程r = f(t)，θ =g(t)来描述。
大物2-位移 速度 加速度
r
不是瞬时量。
3、区别 s r r
A
rΔ 位矢增量的大小 (位移大小)
rA
o
rB
B
rΔ 位矢大小的增量
r
注意： r = r
s
二. 速度
速度是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。
v r 1.平均速度
Δ
Δt
t 物理意义：位矢在时间
内对时间的平均变化率
性质：（1）、矢量性 ： 方向与位移方向相同
·P( t ) Q (t)
大小和方向。
r( t )
x( t ) 0 x
y( t ) y
位矢的性质：
1、矢量性 r rt
运动学方程矢量形式
2、瞬时性
3、叠加性
r＝xi
yj
zk
＝xt
i
yt
j
zt
k
x xt y yt z zt
具有相对性。相对不同参考系位移不同。
区别：
1、位移 r和路程 s
路程: 内 t质点在轨道上经过的路径长度，自然坐标增量的
绝对值。
A ΔS
s A B 曲线长
路程是标量、位移是矢量
r( A)Δ
r
r(B)
B
(1)位移与过程无关
s1
A
B
？ （2） ΔSr2 s
rs1rs
v
t
由初始条件有 dt 4tdt
0
0
v 2t 2
例2：
由速度的定义有
v
dx dt
2t 2
dx 2t 2dt
由初始条件有 x
t
dx 2t 2dt
第一次课-1.1 -1.2确定质点位置的方法
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
r r (t t ) r (t )
P
s
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
说明
O
r (t )
r
P
r (t t )
Δr
(1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 r s r 与Δr ( r)的区别 (2) 分清
x y z
2 2
2
方向
x cos r
y cos r
z cos r
3. 自然坐标法 （用于运动轨迹已知的质点）
• O
s
P
说明 自然坐标 s 是代数量 4. 运动学方程(函数) 直角坐标 自然坐标 位矢法
x x(t )
s f (t )
y y (t )
一、 质点运动学的基本概念
质点 ： 大小和形状可以忽略的物体
z
参照物
O
y
x
参照物 ：为了描述物体运动而被选作参考的物体或物体系
二、确定质点位置的常用方法
1. 直角坐标法 P(x, y, z) 2. 位矢法 （质点位置由位置矢量描述）
z
r
参照物
y
O
x
位置矢量 大小 r
r xi yj zk
v
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
a v t
r (t )
r (t t )
1.1 确定质点位置的方法
3.自然法
在有些情况下，质点相对参考系的运动轨迹是已知的，比如ห้องสมุดไป่ตู้轨电车（地铁、公交、过山车（过山车上的前后排位，哪个位置最恐怖？）、飞机、卫星、彗星、行星、恒星、银河系等）的路线是确定的，那么这时你的位置可以确定在这个路线的哪个位置上，比如说我在洪山广场站。这种轨迹确定上的位置可以通过测量到端点的距离来确定，称为自然法。
北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务，并具短报文通信能力，已经初步具备区域导航、定位和授时能力，定位精度10米，测速精度0.2米/秒，授时精度10纳秒。北斗卫星导航系统空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成，中国计划2012年左右，“北斗”系统将覆盖亚太地区，2020年左右覆盖全球。在北斗卫星定位系统观测量中包含了卫星和接收机的钟差、大气传播延迟、多路径效应等误差。
那么哪些情况下可以忽略物质的大小和内部结构从而作为质点来研究呢？
一个物体能否被看作是质点，主要取决于所研究问题的性质。即一个物体在一个研究场合中，可以忽略物质的大小和内部结构时，就可以作为质点来研究。
确定物质的位置现在是确定质点的位置，那么如何确定这样一个质点呢，如何确定一个空间几何点的位置？
讨论：如何确定发射火箭的位置？（卫星如何确定地面物体的位置？）
球坐标？
柱坐标？
2.位矢法
坐标法比较方便确定质点的位置，质点在每个坐标轴上都有唯一投影。还有一种用矢量描述质点位置的方法，即位矢法。通过选取一套基矢，质点的位置矢量能唯一用这系列基矢叠加（平行四边形法则）得到。比如选取直角坐标中x、y、z轴的单位矢量作为基矢，分别为 。则位置矢量（相对于原点） 可以唯一表示为，
第1章 质点运动学
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
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x
k o j i
y
y cos r
z cos r
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大学物理 第三次修订本
第1章 质点运动学
3. 自然坐标法（用于运动轨迹已知的质点） 在已知运动轨迹 上任选固定点O, 从O • O 点起沿运动轨迹量得 s 曲线长度s正值, 这个 P 方向称为自然坐标的 正向。 质点在轨迹上的位置可以用 s 唯一确定。
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3
第1章 质点运动学
二、确定质点位置的方法
物体的运动具有绝对性。 描述物体运动具有相对性。
为描述物体的运动而选择的标准物叫做 参照系。
在参照系上固定一个坐标系，才能定量 地描述物体的位置。常用的坐标系有直角坐 标系、极坐标系和自然坐标系等。
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4
第1章 质点运动学
以 O 为自然坐标原点， 运动学方程为
s r t
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第1章 质点运动学
例2 如图所示,以速度 用绳跨一定滑轮拉湖面 上的船,已知绳初长 l 0,岸高 h。
v
l0
h
O
l (t )
x
x(t )
求 船的运动方程。
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11
第1章 质点运动学
解 取坐标系 依题意有
位矢 r
r r (t )
自然坐标 s
s f (t )
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8
第1章 质点运动学
例1 一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速 度为 。求用直角坐标、位矢、自然坐标表示 的质点运动学方程。 解 O 点为起始点，设t 时刻 质点位于P（x , y）。 直角坐标表示的运动学 方程为
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2
第1研究和描述物体的机 械运动，不考虑物体的质量及其所受的力。 一、质点 如果在所研究的问题中，物体上各点运动 状态的差异只占很次要的地位，我们就可以忽 略物体的大小和内部结构，把它看成一个有质 量的几何点，叫做质点。 一个物体能否被看做质点，主要取决于所 研究问题的性质。
v
l0
h
O
2 2
l (t ) l0 v t
坐标表示为
l (t )
x
x(t ) (l0 v t ) h
x(t )
质点运动学的基本问题之一 , 是确定质点运 动学方程。 为正确写出质点运动学方程, 先要选 定参考系, 坐标系, 明确起始条件等, 找出质点坐 标随时间变化的函数关系。
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5
第1章 质点运动学
2. 位矢法 质点的直角坐标 (x, y, z)是位矢沿坐标 轴 x, y, z 的投影。
z
参考系
r
P (x, y, z)
r 的大小
r xi yj zk
2 2 2 r x y z
x cos r
r 与三个坐标轴的夹角
1. 坐标法
z
P (x, y, z)
若质点在空间运 动，其位置可用直角 参考系 坐标（x, y, z）确定。 若质点在平面上 运动，其位置可用直 角坐标（x, y）确定。
o
x
y
若质点沿直线运动，可在该直线上建立 一个坐标轴，例如 x 轴，质点的位置只需一 个坐标 x 就可以确定。
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s f (t ) 说明: 自然坐标 s 是代数量。
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第1章 质点运动学
三、运动学方程 当质点相对参考系运动时，用来确定质点 位置的直角坐标(x, y, z)、位矢 r 、自然坐标 s 等都将随时间 t 变化，都是 t 的单值连续函数。 直角坐标(x, y, z)
x f1 (t ) y f 2 (t ) z f (t ) 3
第1章 质点运动学
第1章 质点运动学
1927年第五次索尔维会议
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第1章 质点运动学
第1章 质点运动学
1.1 确定质点位置的方法 1.2 质点的位移 速度和加速度 1.3 用直角坐标表示位移 速度和加速度 1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加 速度 1.5 圆周运动的角量表示角量与线量的关系 1.6 不同坐标系中的速度和加速度变换定理简介
y
y
P ( x, y ) r s x ωt O' x O
x r cos t y r sin t
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第1章 质点运动学
位矢表示为
r xi yj
r cos t i r sin tj
y
y
P ( x, y ) r s x ωt x O' O