概率论与数理统计课件2.2

k P{X k} C 4 p k (1 p)4k , k 0, 1, 2, 3, 4.
一般地有
P{ X k } C p (1 p)
k n k
n k
, k 0, 1, 2, ... , n.
称 X服从参数为 n , p 的二项分布, 记为 X~b(n,p). 当n=1时, P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0,1, 即为0-1分布.
解
X pk
1 2/ 3
2 4 / 15
3 1 / 15
P( X 1) 4 / 6 2 / 3. 2 4 4 P( X 2) . 6 5 15 2 1 1 P( X 3) . 6 5 15
例3.常数b=____,
b pk k ( k 1)
k 1,2,
可用表格形式表示 :
X x1 x2 pk p1 p2
… …
xn pn
… ...
性质:
(1) pk 0 , k 1,2 ,...;
( 2) pk 1.
k
例1. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过 四盏信号灯, 每盏信号灯以概率p禁止汽 车通过, 以X表示汽车首次停下时已通过 信号灯的盏数, 求X的分布律. (设各信号灯的工作是相互独立的).
k k e e e e 1. P{ X k } k! k 0 k 0 k! k 0

, k 0, 1, 2, ... ,

例8. 一张报纸上的印刷错误数服从泊松分 布，据统计有一个错误的概率是有两个错误的 概率的二分之一，计算一张报纸上至少有三个 错误的概率.
P{ X 0} (0.99999)520
0.9948
练习 金工车间有10台同类型的机床，每 台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每 台设备的使用情况是相对独立的，且每台设 备每小时平均工作12分钟。设对这10台设备 提供容量为50千瓦的配电设施，试求这10台 机床能正常工作的概率有多大？
解 X：一张报纸上的印刷错 误数，X ~ P ( ).
1 1 2 P{ X 1} P{ X 2}, e e , 4. 2 2 2
P{ X 3} 1 P{ X 2}
1 0.2381 0.7619
泊松(Poisson)定理：
设随机变量序列{ X n }, X n ~ b( n, pn ), 则 k e k k n k
则X ~ b(400, 0.02). ( 400 )( 0.02)k (0.98)400k , k 0, 1, ...,400. P{X k} k
则 P{X 2}
1 - P{X 0} - P{X 1}
1 (0.98) 400 400 (0.02) (0.98) 399 .
解 X pk
0 p
1 2 3 4 (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
即 P{X=k}=(1-p)kp, k=0,1,2,3. P{X=4}=(1-p)4
例2. 袋中装有4只红球和2只白球, 从袋中不放 回地逐一地摸球, 直到第一次摸出红球 为止, X表示到第一次摸出红球时所摸的 次数, 求X的分布律.
§2.2 离散型随机变量的概率分布 一.离散型随机变量
二.几种重要的离散型随机变量
一.离散型随机变量
1. 定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个 或可列无限多个, 则 称为离散型随机变量. 2. 离散型r.v.的分布律:
设离散型 r.v.X所有可能取值为xk ( k 1,2,3,...)
P{ X xk } pk , k 1 ,2 ,... 上式为离散型 r.v.X的概率分布或分布律.
地进行 n次 , 称为n重伯努利试验 .
注: 独立 各次试验结果互不影响, 即相互独立.
重复 各次试验条件不变. 即P(A)不变.
例5. 设X是4重伯努利试验中事件A发生的次数, 成功的概率为p,求:P{X=k}，k=0, 1, 2, 3, 4. 解: k=0, A A A A
则P{X 0} (1 - p) 4 .
为离散型随机变量的概率分布.
b=1
例4.设离散型随机变量X的分布律 pk k
k 1,2,且 0, 则 _____ .
1 1
二 几种重要的离散型r.v.的分布律
(一) 0--1分布 X 0 pk 1-p 1 p
其中0<p<1,
P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0,1.
P{ X 2} 1 P{ X 1}
1 e 8 8e 8 1 0.003 0.997.
例9 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且 各周开奖是相互独立的，若你每周买一张彩票，尽管你坚持10年 （每年52周）之久，你从未中奖的概率有多大？
X ~ b(520,0.00001)
思考：若要使配电设施超载的概率小于0.01， 需配备多少千瓦的配电设施？
(四) 几何分布 进行重复独立试验, 设每次试验成功的概率为p, 失败的概率为1-p=q(0<p<1), 将试验进行到出现一 次成功为止, 以X表示所需的试验次数, 则X的分布 律为: P{X=k}=qk-1p, k=1, 2, … 称为X服从参数为p的几何分布. 例 设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率 为p,某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次继 续再买1张, 直到中奖止, 求购买次数X的分布律. 解： P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1, 2, 3, …
若某随机试验E只有两个(或相互对立 的两类)可能的结果, 只要将其中的一 个(或一类)结果对应于数字1,于是就可 用0--1分布的随机变量来描述有关的随 机事件.
(二) 贝努利试验
(二项分布)
设试验E只有两个可能结果 A与 A, 且 P ( A) p (0 p 1) ,
称E为伯努利(Bernoulli )试验 . 将试验E独立重复
A至多发生一次的概率为：
n
P{ X 1} P{ X 0} P{ X 1} (1 p) n np(1 p)n-1
练习题答案 1. 设在一次试验中，事件A发生的概率为p, 现进行 n 次独立试验，则A至少发生一次的 概率为_____, A至多发生一次的概率为_____。 2. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若 至少命中一次的概率为80/81, 则该射手的命 中率为 2/3。 3. 设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布， 随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布, 若 P{Y>=1}=5/9 , 则 P{X>=1}= 19/27。
k=1, A A A A , AA A A , A AA A, A A AA, 概率均为: p(1 - p) 3 ,
1 41 P{ X 1} C4 p(1 p)
AA A A k 2, A AA A
概率均为: p (1 - p) ,
2 2
2 P{X 2} C4 p 2 (1 p) 4 2 .
所以这是 重贝努利试验则 20 ,
X ~ b(20, 0.2).
20 则P{X k} ( k )( 0.2)k (0.8) 20k , k 0, 1, 2, ... , 20.
例7. 某人进行射击, 每次命中率为0.02, 独立射击 400次, 试求至少击中两次的概率.
解 : 设400次射击中击中的次数为 X,
若该人共准备购买10次共10元钱, 即如 果中奖就停止, 否则下次再购买1张, 直 到10元共花完为止,求购买次数Y的分 布律. 解： P{Y=k} =p(1-p)k-1, k=1, 2, …, 9, P{Y=10} =p(1-p)9 +(1-p)10 =(1-p)9.
(五)超几何分布 若离散型随机变量 X 的分布律为
k max{0, n N M },, min{ n, M }
其中 M N ，n N， 则称X服从超几何分布。
k n k n P( X k ) C M C N M / C N
练习题 1. 设在一次试验中，事件A发生的概率为p, 现进行 n 次独立试验，则A至少发生一次的 概率为_____, A至多发生一次的概率为_____。 2. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若 至少命中一次的概率为80/81, 则该射手的命 中率为_____。 3. 设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布， 随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布, 若 P{Y>=1}=5/9 , 则 P{X>=1}= —————。 4.X服从泊松分布 ,参数 0 ,已知 P( X 1) P( X 2) 则
设 X
1解:以X表示n次独立试验中事件A发生的次数， 则由题意可知: X~ b(n, p).
注意到 P{ X 0} (1 p)
n
1 P{ X 1} C n p(1 p)n-1 np(1 p)n-1
从而A至少发生一次的概率为:
P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 (1 p)
显然pk 满足 : pk 0, k 0 ,1 ,2 , n,且 pk 1,
k 0
n
ห้องสมุดไป่ตู้
例6. 某种电子元件的使用寿命超过1500小时为 一级品, 已知一大批该产品的一级品率为0.2, 从中随机抽查20只. 求这20只元件中一级品只数X的分布律.
一级品可以看作是一 解: 抽查一只元件看是否为 次试验, 抽查20只元件可以看作 次试验, 20 一大批元件不放回抽样 可看作放回抽样处理 ,
当n较大, p又较小时, 二项分布的计算比较困难, 例如 0.98400，0.02400, …, 可以用Poisson分布近 似计算.