28.2解直角三角形(1)导学案

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人教版九年级下册28.2.1解直角三角形(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理和三角函数这两个重点。对于难点部分，如三角函数值的变化规律，我会通过举例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量教室中某一物体的高度，演示勾股定理的基本原理。
4.培养学生的空间观念和几何直观，让学生在实际操作中感受直角三角形的边角关系，提高几何图形的认知和运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握锐角三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦、正切函数在直角三角形中的应用；
-学会运用勾股定理和三角函数解决直角三角形中边长和角度的求解问题；
-能够将解直角三角形的知识应用于实际问题，建立数学模型并解决问题。
c.难点应用：勾股定理在非标准直角三角形中的应用。教师应通过多种类型的题目，如斜边和一直角边长度未知的情况，指导学生如何灵活运用勾股定理求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了解直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理和三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

28.2 解直角三角形（1）导学案（教师版学生版）

28.2解直角三角形（1）学习目标：1、在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．学习重点：直角三角形的解法．学习难点：灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．学习过程：一、新知引入（1）你还记得勾股定理的内容吗？直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？（2）30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值表你记得吗？二、新知讲解活动1 问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？解析：问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC 的长．试一试解答：对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数试一试解答：活动2 在Rt△ABC中,（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?（已知一边一角）（2）根据AC=2，BC=6你能求出这个三角形的其他元素吗？（已知两边）（3）根∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗?（已知两角）你发现了什么?●归纳：三、例题讲解(应用1)例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝6，解这个直角三角形．巩固练习：1.在下列直角三角形中不能求解的是（）A.已知一直角边一锐角B.已知一斜边一锐角C.已知两边D.已知两角2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=1，AB=5，则tan A 的值为（）A.55 B. 552 C. 21 D.2 3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cos B=32，则a ：b=________ (应用2)已知一边及一锐角解直角三角形例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，b ＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)巩固练习：1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，sin B=32，则AB 的长为（） A.6 B.25 C.131318 D. 131312 2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，则c=________．3.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )A ．2＋3B ．23C ．3＋3D ．33 4.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°，D 是边AB 上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC 的长．（结果保留根号）（应用3）已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形例3 如图，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，sin B ＝42，求BC 的长．导引：要求的BC 边不在直角三角形中，已知条件中有∠B 的正弦值，作BC 边上的高，将∠B 置于直角三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．．●总结：巩固练习1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cos B= ，若BC=1，则AC=（）A.1B.2C.3D.52.在△ABC 中，a=1，b= ，∠A=30°，则∠B=__________°3.将一副三角板如图所示放在一起，连接AD ，则∠ADB 的正切值是___________．4.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B= cos ∠DAC. （1）求证：AC=BD ；（2）若sin C=1312，BC=36，求AD 的长．5.如图，BD 是△ABC 的高，AB=6，AC=53，∠A=30°．（1）求BD 和AD 的长；（2）求tan C 的值．四、课堂小结本节课，我们学习了什么内容？你还有什么不懂的地方吗？五、布置作业教材77页1题，78页6题当堂测评1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则a ∶b ∶c 为( )A ．2∶5∶ 3B ．2∶5∶3C ．2∶3∶13D ．1∶2∶32．等腰三角形的底角为30°，底边长为2 3，则腰长为( )A ．4B ．2 3C ．2D ．2 23．如图3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AC ＝6，AB ＝9，则AD 的长为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3图3 图44．如图4，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB ＝( )A ．a sin αB ．a tan αC ．a cos α D.atan α5．如图5，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5 m ，AB 为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( )图5 A.⎝⎛⎭⎪⎫5 33＋32m B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5 3＋32m C.5 33 m D ．4 m 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，∠B ＝45°，则①∠A ＝45°；②b ＝2；③b ＝2 2；④c＝2；⑤c ＝2 2.上述说法正确的是________(请将正确的序号填在横线上)．7.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝10，b ＝53，则∠A ＝________，S △ABC ＝________．8.如图，已知等边和等边，，且的面积为，将绕点逆时针旋转后，则的面积为______．.9.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形；（1）c=20 , A=45°（2）a=62 , b=6610.在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：（1）sinB的值；（2）tanC的值．11．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD＝30°，∠ABD＝45°，BC＝50 m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度(精确到0.1 m；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．。

九年级数学《28.2.2解直角三角形1》导学案

九年数学下28.2.1解直角三角形师生共用导学案
学习目标：
知识与技能：初步理解解直角三角形中仰角和俯角有关的实际应用题
过程与方法：在体验探究过程中，将仰角和俯角转化为直角三角形的角
情感与态度：探索过程中，发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

重点：解直角三角形
难点：解决实际问题
一、自主探究（前置性学习）
探究活动1、画图说明在进行测量时，
（从下向上看，视线与水平线的夹角叫做）仰角；
（从上往下看，视线与水平线的夹角叫做）俯角.
如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为多少米?
如图2，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，求塔高
新知盘点：
预习质疑：
二、合作探究：
㈠交流展示
㈡学以致用（见课件）
拓展探究
1、直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
2：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO . 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .。

28.2解直角三角形(1)学案

28．2解直角三角形（1）学案一．知识回顾。

1、把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′C．3cosA=cosA′ D．不能确定2、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B的正切值（） A．扩大4倍 B．扩大2倍C．保持不变 D．缩小4倍3、用科学计算器求sin24°的值，以下按键顺序正确的是（）A ． sin 2 4 = B． 2 4 sin =C． 2ndf sin 2 4 =D． sin 2 4 2ndf =4、sin30︒的值等于（）（A）12（B）22（C）32（D）15、已知在Rt ABC△中，390sin5C A∠==°，，则tan B的值为（）A．43B．45C．54D．346、特殊角的三角函数值：锐角三角函数300450600 sinAcosAtanA7、已知sin α=23，且α为锐角，则α=（）。

A 、 75°B 、60°C 、45°D 、30°8、在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，则∠A 、a 、c 关系式是c= 。

9、如图，3×3•网格中一个四边形ABCD ，•若小方格正方形的1，•则四边形ABCD 的周长_______．10、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚ A ．43 B ．34 C ．53 D ．54二．探究新知。

1、在三角形中共有几个元素？。

2、直角三角形中，边与角有下列关系：（1）三边的关系：。

（2）两锐角的关系：∠A+∠B= 。

（3）边和角之间的关系： a= ；b= ； c= 。

3、根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．4、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2，a=6，解这个三角形．5、如图,在Rt △ABC 中,a 、b 分别是∠A 、∠B 的对边,c 为斜边,如果已知两个元素a 、∠B,就可以求出其余三个未知元素b 、c、∠A.(1)求解的方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:c ba CBA第一步:由条件:用关系式求出第一步:由条件:用关系式求出求出用关系式由条件:、∠B第一步:(2)请你分别给出a、∠B的一个具体数值,然后按照(1)中的思路,求出b、c、∠A的值.三．应用练习。

人教版9年级下册数学28.2.1 解直角三角形(导学案)

28.2 解直角三角形及其应用上大附中何小龙28.2.1 解直角三角形一、新课导入1.课题导入如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题.2.学习目标（1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.（2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.3.学习重、难点重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形.难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学要求：完成探究提纲.（4）探究提纲：①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：a.两锐角互余 ,即∠A＋∠B＝ 90 °.b.三边关系满足勾股定理，即 a2+b2=c2 .c.边角关系：sinA＝ac，sinB＝bc；cosA＝bc, cosB＝ac；tanA＝ab, tanB＝ba.③已知直角三角形中除直角外的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考）已知其中两个元素（其中至少有一个是边）.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）.②差异指导：根据学进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.4.强化（1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）.（2）解直角三角形的条件：必须已知除直角外的两个元素（其中至少有一个是边）.①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边.②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角.1.自学指导（1）自学内容：教材P73例1、例2.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠.（4）自学参考提纲：①在教P73例1中，已知的元素是两条直角边AC、BC，需求出的未知元素是：斜边AB 、锐角A 、锐角B.方法一：∵tanA =BC AC ∴∠A= 60 °,∠B=90°- ∠A = 30 °.∵，,∴AB =方法二：∵AC=错误!未找到引用源。

28.2解直角三角形(教案)

-难点2：选取一些具有挑战性的实际问题，指导学生如何从复杂问题中提取关键信息，将其简化为直角三角形模型。例如，在测量物体高度时，如何确定视线与水平线的夹角，以及物体与观察者之间的距离。
-难点3：针对含有两个未知数的直角三角形问题，如已知斜边和一个锐角，求另外两个未知数。通过讲解和举例，让学生掌握解题步骤，如先求出另一个锐角，再利用三角函数求解未知边长。
其次，在新课讲授环节，我发现部分学生对三角函数的定义和应用掌握不够扎实。在讲解过程中，我可能过于注重理论推导，而忽略了与实际例子的结合。针对这一问题，我打算在接下来的课程中，增加。
此外，在实践活动环节，虽然学生分组讨论和实验操作进行得如火如荼，但我发现部分小组在讨论过程中偏离了主题，讨论了一些与课程内容关联性不强的问题。在今后的教学中，我需要加强对学生讨论方向的引导，确保实践活动紧扣课程内容。
今天我们在课堂上学习了解直角三角形这一章节，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课环节，我通过提问方式引导学生思考日常生活中的直角三角形实例，但感觉学生的反应并不如预期。可能是我提出的问题不够具体，或者是学生的生活经验有限，导致他们难以快速进入学习状态。在今后的教学中，我需要更贴近学生生活实际，提出更具启发性的问题，激发他们的兴趣。
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生发言不够积极，可能是他们对讨论主题不感兴趣或者缺乏自信。为了提高学生的参与度，我计划在下一节课中，鼓励学生提出自己的观点，并适时给予表扬和鼓励，让他们在讨论中找到成就感和自信心。
最后，关于课堂总结环节，我觉得自己总结得还不够到位，没有完全覆盖本节课的重点和难点。在今后的教学中，我需要更加注重课堂总结，明确指出重点和难点，帮助学生巩固所学知识。
（3）将实际问题抽象成直角三角形模型，运用三角函数解决生活问题。

28.2.1 解直角三角形教案

28．2.1 解直角三角形本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的三角形内角和定理和勾股定理，研究解直角三角形的问题，既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础．解直角三角形是结合三角形内角和定理、勾股定理等知识，利用锐角三角函数对直角三角形的三条边以及两锐角这五个要素进行求解，在解直角三角形时注意借助相应的直角三角形来寻找已知元素与未知元素的关系式．【情景导入】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°(见教材第85页第10题图)，现有一架长6 m 的梯子．(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这架梯子？【说明与建议】说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会解直角三角形来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．建议：教师引导学生思考，为本节课学习解直角三角形做好铺垫．【归纳导入】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝20°，c ＝10 cm. (1)根据“直角三角形两锐角互余”得∠B ＝70°． (2)由sinA ＝ac ，得a ＝c ·sinA ＝10sin20°cm.(3)由cosA ＝bc，得b ＝c ·cosA ＝10cos20°cm.通过以上填空，Rt △ABC 的三条边长及三个角全部知道了，这种由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．【说明与建议】说明：通过解答此题说明已知直角三角形的一个锐角，可以求出另一个锐角，选择恰当的边角关系，还可以求出其他的边长．建议：让学生先自主探究，然后交流解题的方法并比较从中选择最合适的方法．命题角度1 在直角三角形中解直角三角形这类题目一般已知一边一角或两边求其他元素．注意以下知识和技巧的总结及运用：理论依据：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2. (2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°.(3)边角之间的关系：sinA ＝a c ＝cosB ，cosA ＝b c ＝sinB ，tanA ＝a b ＝1tanB .(4)面积公式：S △ABC ＝12ab ＝12ch(h 为斜边上的高)．提示：当所求的元素既可用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，最好用已知数据．技巧方法：1.(宜昌中考)如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC 的值为(B) A.23B.22C.43D.2232．(巴中中考)如图，点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是(A)A ．sinB ＝13B ．sinC ＝255C ．tanB ＝12D ．sin 2B ＋sin 2C ＝1命题角度2 构造直角三角形再解直角三角形这类问题一般和三角形或圆的相关知识结合命题，题目没有直接告诉是直角三角形，通过条件或添加辅助线，可以证明或构造直角三角形，再根据解直角三角形的方法解答问题．3．(黑龙江中考)如图，在△ABC 中，sinB ＝13，tanC ＝2，AB ＝3，则AC 的长为(B)A. 2B.52C. 5D ．24．如图，点A ，B 是以CD 为直径的⊙O 上的两点，分别在直径的两侧，其中点A 是CDB ︵的中点．若tan ∠ACB ＝2，AC ＝5，则BC 的长为(D)A. 5B ．2 5C ．1D ．2命题角度3 分类讨论解不定三角形在解直角三角形问题时，如遇到直角或者某个锐角不确定时，特别是在没有给出图形的情况下，要注意分类讨论，防止漏解．5．(内江中考)已知，在△ABC 中，∠A ＝45°，AB ＝42，BC ＝5，则△ABC 的面积为2或14．双直角三角形所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形．其位置关系有两种：如图1，公共直角边为AD ，则AD ＝BC ·tan α·tan βtan β－tan α，我们把它叫做公式1.图1 图2 如图2，公共直角边为AD ，则AD ＝BC ·tan α·tan βtan β＋tan α，我们把它叫做公式2.课题28.2.1 解直角三角形授课人素养目标1.了解解直角三角形的意义和条件．2．帮助学生理解直角三角形中五个元素(直角除外)的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.3.发展学生的数学应用意识，提高归纳能力，感受解直角三角形的策略.教学重点解直角三角形的意义以及一般方法.教学难点选择恰当的边角关系解直角三角形.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，那么除直角∠C外的两个锐角和三条边之间有如下关系：两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.三边之间的关系：a2＋b2＝c2.边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab.回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】意大利比萨斜塔在落成时就已倾斜，其塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，求∠A的度数．师生活动：教师呈现问题并引导学生结合图形，观察已知条件和所求角之间的关系，分析得到通过求∠A的正弦来求∠A的度数.通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，并一般化：已知直角三角形斜边和直角边，求它的锐角的度数，通过求解的过程，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．解直角三角形的定义问题：将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？师生活动：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数，利用锐角的正弦(或余弦)的概念直接求解．问题：在活动一所述的Rt△ABC中，你还能求出其他未知的边和角吗？师生活动：学生思考并说明求解思路，教师把问题一般化，给出解直角三角形的内涵：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．解直角三角形的方法问题：回想一下，刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？师生活动：如图，引导学生结合图形，梳理五个元素(直角除外)之间的关系，学生展示：(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝ba，cosB＝ac，tanB＝ba.问题：从上述问题来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边这两个元素，可以求出其余的三个元素．一般地，已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素，可以求其余元素吗？教师给出结论：在直角三角形中，知道除直角外的五个元素中的两个元素(至1.有条理地梳理直角三角形除直角外的五个元素之间的关系，明确各自的作用，便于应用．2．在讨论解直角三角形的方法过程中，明确解直角三角形的条件，培养学生的逻辑思维能力.少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第73页例1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．解：AB＝22，∠B＝30°，∠A＝60°.师生活动：学生在教师的引导下，思考如何求出所有未知元素．先让学生找出所有未知元素：∠A，∠B和AB，然后让学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，教师引导学生选择简便的解题途径．最后给出简洁、规范的解题步骤．例2(教材第73页例2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.∵tanB＝ba，∴a＝btanB＝20tan35°≈28.6.∵sinB＝bc，∴c＝bsinB＝20sin35°≈34.9.师生活动：由学生代表参照例1的解题思路，分析本题的解题思路；然后由学生独立完成，再小组交流；最后由学生代表展示解题步骤．对于求c，如果学生采取不同方法，让他们展示不同方法；如果学生没有采取不同方法，教师注意引导他们思考其他解法．【变式训练】1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝43，则CD的值为(D)1.通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高学生分析和解决问题的能力．2．进一步训练解一般直角三角形的思路和方法，并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解．3．变式训练拓展学生思维，同时增强学生对所学知识的灵活应用能力.A ．2 B.45 C.43 D.65提示：延长AD ，BC ，两线交于点O ，得到两个直角三角形，解直角三角形即可． 2．在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝150°，则△ABC 的面积为(A) A ．37.5 B ．75 C ．100 D ．150提示：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D.在Rt △ADC 中利用特殊角求出高CD ，再计算三角形的面积．3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝3，S △ABC ＝923，解这个直角三角形．解：如图：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝3，S △ABC ＝923，∴12ab ＝92 3. ∴a ＝3 3.∴tanA ＝a b ＝333＝ 3.∴∠A ＝60°.∴∠B ＝180°－∠A －∠C ＝180°－60°－90°＝30°. ∴c ＝2b ＝6. 活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，sinA ＝12，则BC 的长为(A)A ．2B ．3 C. 3 D ．2 3通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝40°，BC ＝3，则AC ＝(C) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边中线是3 cm ，sinA ＝13，则S △ABC ＝(D)A. 2 cm 2B ．2 2 cm 2C ．3 2 cm 2D ．4 2 cm 2提示：由中线长可以求出斜边，解直角三角形求出两直角边，再计算三角形面积．4．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，AB ＝6，AC ＝53，∠A ＝30°.(1)求BD 和AD 的长． (2)求tanC 的值．解：(1)∵BD ⊥AC ， ∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝12AB ＝3.∴AD ＝BDtanA＝3BD ＝3 3. (2)CD ＝AC －AD ＝53－33＝23，在Rt △BCD 中，tanC ＝BD CD ＝323＝32.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 课堂小结1.课堂总结：(1)什么叫解直角三角形？(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一边和一个锐角或两边就能解直角三角形呢？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳解直角三角形的定义以及直角三角形五元素之间的关系． 2．布置作业：教材第77页习题28.2第1题.引导学生从知识和方法两个方面总结自己的收获，理清解直角三角形的目的、条件、依据、方法，提升综合运用知识的能力.。

新人教版八年级数学下册28.2.1 解直角三角形(导学案)

28．2．1 解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形⑵ 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【学习重点】直角三角形的解法．【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用【导学过程】一、自学提纲：1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子三、教师点拨：例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形．例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．四、学生展示：完成课本74页练习补充题1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．3、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。

人教版九年级数学下册导学案28.2.1解直角三角形

No. 23 课题：28.2.1解直角三角形课型：新授课
主编：许海云审核：李贺敬验收负责人：许爱农
学习目标：1．了解解直角三角形的意义，知道三角形的六个要素．
2．掌握直角三角形边、角、边角之间的关系，能运用这些关系解直角三角形．
学习重点：选择适当的锐角三角函数解直角三角形．
学习难点：选择适当的锐角三角函数解直角三角形．
一、预习导学
1．三角形的六个元素是．
简记2．直角三角形中边、角的关系是：
（1）三边之间的关系．
（2）两锐角之间的关系．
（3）边角之间的关系，
．
二、学习研讨
已知，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,斜边AB=6，求出这个
直角三角形的其它元素．
★在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三边和两个锐角，
由，求的过程，叫做解直角
三角形．
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=，BC=，解这个直
角三角形．
例2 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20
解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)
（参考数据：tan35°≈ 0.700 ；sin35°≈0.574）
三、课堂小结
四、当堂达标
1．已知在Rt △ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形．（1）∠B=15°，b=10 （2）∠A=30°，a=10
（3）a=2，c=4 （4）a=2，b=5
3．等腰△ABC的底角是30°，一条边长为，求△ABC的周长．四、教（学）后反思。

28.2解直角三角形公开课导学案

课题：28.2解直角三角形
（第1课时）
主备：巧家县第三中学施翔学习目标：
1、知道解直角三角形的意义；
2、知道直角三角形元素之间的关系；
3、会解直角三角形。

导学过程：三思教学法（思习思究思展）
一、思习。

1导2标：
请同学们对照学习目标认真学习课本P85-P86例题前的全部内容.
（5分钟）
二、思究。

3学4展（边学边展）
探究指导1：
1、什么叫做解直角三角形？
2、在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？并牢记。

3、知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？
例如：……
探究指导2：
请同学们在组长的带领下认真学习课本P86的两个例题.理解并掌握在直角三角形中根据已知元素求未知元素的步骤和方法。

6分钟后比谁能迅速完成与例题类似的检测题!
三、思展。

５练６收：
在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=72°,c=14，解这个直角三角形.(精确到0.1) 参考值：tan72°≈3.08 sin72° ≈0.95 cos72°≈0.31
小结：
我的收获!（同桌之间叙述）
本节课我们学习了哪些知识?
1、什么叫解直角三角形?
2、结合下图说说直角三角形的边角关系.
A
C b a ＡＣ
Ｂ
a
b c。

人教版九年级下册数学28.2.1 解直角三角形导学案

第二十八章锐角三角函数原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！落红不是无情物，化作春泥更护花。

出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》28.2 解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形学习目标：1.了解并掌握解直角三角形的概念.2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系.3.学会解直角三角形.重点：理解直角三角形中的五个元素之间的联系.难点：学会解直角三角形.自主学习一、知识链接如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°.(1) 三边之间的关系：a2+b2=_____；(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3) 边角之间的关系：sin A=_____，cos A=_____，tan A=_____.合作探究一、要点探究探究点1：已知两边解直角三角形合作探究在图中的Rt△ABC中，(1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？(2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？【归纳总结】在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【典例精析】如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC =2，BC，解这个直角三角形.练一练在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据条件解直角三角形.探究点2：已知一边及一锐角解直角三角形【典例精析】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).练一练 1. 在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝72°，c= 14.根据条件解直角三角形.2. 如图，已知AC = 4，求AB和BC的长．探究点3：已知一锐角三角函数值解直角三角形【典例精析】例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos =13，BC = 5，试求AB的长.练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=35，BC=6，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．102.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sin B＝45，则菱形的周长是( )A．10 B．20 C．40 D．28【典例精析】例4在△ABC中，AB=2AC=13，cos B=22，求BC的长.二、课堂小结1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是( )A. b=a·tan AB. b=c·sin AC. b=c·cos AD. a=c·cos A2. 图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是( )A.43B. 4C. 3当堂检D.3 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC = (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cos B=45，则AC 的长为 .5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线AD 个直角三角形.6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC的长.参考答案自主学习一、知识链接（1）c 2 90°a cbc a b 课堂探究一、要点探究探究点1：已知两边解直角三角形解：（1）sin sin 6sin 75.BC ABC AB A AB ， cos cos 6cos75.AC A AC AB A AB ，9090907515.A B B A ∠+∠=∴∠=-∠=-=，（2）222 5.5.AB AC BC BC =+∴==≈，2.4cos cos 0.4.66.6AC A A A AB =∴==∴∠≈， 9090906624.A B B A ∠+∠=∴∠=-∠=-=，【典例精析】例1 解6tan 32BC A AC ，60A ，90906030B A ，2AB AC ==练一练解：根据勾股定理222230201013c a b ， 303tan 1.5202aA b ，56.3.A ∠=∴909056.333.7.B A ∠=-∠=-=∴ 探究点2：已知一边及一锐角解直角三角形【典例精析】例2 解：90=9035=55.A B =--∠∠tan ,b B a =2028.6.tan tan 35b a B ∴==≈ sin ,b B c =2034.9.sin sin 35b c B ∴==≈练一练 1.解：∵sin ,b B c =∴sin 14sin 7213.3.b c B ∵cos ,a B c = ∴cos 14cos72 4.33.a c B 907218.A ∠=-=2. 解：如图，作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，∵∠A =30°，∴∠ACD =90°-∠A =60°，12,2CD AC =∴=cos 4AD AC A ===在Rt △CDB 中，∵∠DCB =∠ACB －∠ACD =45°，∴BD =CD =2.∴2cos BC DCB==∠2AB AD BD =+=+∴ 【典例精析】例3 解：190cos 3C A ︒∠==，，1.3AC AB ∴=设1,3AB x AC x ==，222AB AC BC =+，22215.3x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭12.x x ∴==∴ AB 的长为4练一练 1.D 2.C【典例精析】例4 解：∵cos B =2，∴∠B =45°.当△ABC 为钝角三角形时，如图①，=45AB B ∵，==cos 12.AD BD AB B =∴∵AC =13，∴由勾股定理得CD =5.∴BC =BD - CD =12-5=7；当△ABC 为锐角三角形时，如图②，BC =BD +CD =12+5=17.∴ BC 的长为7或17.当堂检测1. C2. D3. 244. 3.755.解：∵cos2AC CAD AD ∠===30CAD ∴∠=︒.∵ AD 平分∠BAC ，6030CAB B ∴∠=︒∠=︒，.12AB BC ∴==，6. 解：过点 A 作 AD ⊥BC 于点D .在△ACD 中，∠C =45°，AC =2，∴CD =AD =sin C · AC =2sin45°.在△ABD 中，∠B =30°，∴BD =tan AD B ==∴BC =CD +BD【素材积累】你可以选择这样的三心二意：信心、恒心、决心；创意、乐意。

人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用优秀教学案例

（二）讲授新知
在导入新课后，我开始讲授解直角三角形的相关知识。首先，我讲解直角三角形的定义和性质，让学生理解直角三角形的特殊地位。接着，我引入勾股定理，并通过几何图形和实例讲解勾股定理的应用。最后，我讲解如何利用三角函数解决直角三角形的问题。在讲授过程中，我注重与学生的互动，提问和引导学生思考，确保学生能够理解和掌握解直角三角形的知识。
问题导向是本节课的重要教学策略。在教学过程中，教师应提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。例如，可以提出“如何利用勾股定理计算直角三角形的边长？”“在实际问题中，如何确定直角三角形的各个角度？”等问题。通过问题导向，激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学组织形式。教师可以将学生分成若干小组，让学生在小组内进行讨论、交流和合作。例如，可以设计一个小组活动，让学生共同解决一个关于直角三角形的实际问题。通过小组合作，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的实践能力。
五、案例亮点
1.贴近生活实际：本案例以实际问题为背景，让学生在解决问题的过程中自然引入解直角三角形的知识和方法。这种贴近生活实际的教学方式能够激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系，从而提高学习的积极性和主动性。
2.问题导向：本案例通过提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。问题导向的教学策略能够激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。在解决问题的过程中，学生能够深入理解和掌握解直角三角形的知识和方法。
在教学过程中，我发现许多学生在学习这一章节时，往往对直角三角形的理解不够深入，无法将理论知识与实际问题相结合。因此，我设计了本节教学案例，以帮助学生更好地理解和应用解直角三角形的知识。
本案例以一个实际问题为切入点，让学生在解决问题的过程中，自然而然地引入解直角三角形的概念和方法。通过案例的引导和学生的积极参与，使学生能够掌握解直角三角形的技巧，提高解决问题的能力。同时，本案例还注重培养学生的合作意识和创新精神，使他们在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学知识，提高自己的综合素质。

解直角三角形导学案

合
二、例题： (2)∠B=60° ,c=14 例 1．如图：在 Rt△ABC 中，∠C 为直角， ∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c，且 b= 2 ，a= 6 ，解这个三角形． 5、在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6， BAC 的平分线 AD=4 3 ，解此直角三角形。
2 作 0 ′
练习： 1.建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 50°，观察底部 B 的仰角为 45 °，求旗杆的高度？
合
20 作 ′
二、自学内容：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
姓名：
月日
学习目标重难点点
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，利用所学知识解决实际问题实际问题转化成数学模型导学授进程学生练习
环节知识链接
时间
新
课
讲
一、复习回顾 1．解直角三角形指什么？ 5 ′
2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：（sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20） (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：（特殊角的三角函数）
习
要满足， (如图). 现有一个长 6m 的梯子，问: 求点 B 到地面的垂直距离 DE 3 2m ， (1)使用这个梯子最高可以 BC．安全攀上多高的墙(精确到 0.1m)？ (2)当梯子底端距离墙面 2.4m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到 1o)这时人是否能够安全使用这个梯子？
探例 2．在 Rt△ABC 中，∠C=90 o ∠B =35o， b=20，解这个三角形．(结果保留一位小数)

九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形导学案 (新版)新人教版

解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据.3.能由已知条件解直角三角形.阅读教材P72-73，自学“探究”、“例1”与“例2”，弄清楚直角三角形的元素，掌握解直角三角形的方法.自学反馈学生独立完成后集体订正①在直角三角形中，由求的过程叫做解直角三角形.②直角三角形中的边角关系:三边之间的关系；两锐角之间的关系；边与角之间的关系:sinA= ，cosA= ，tanA= ，sinB= ，cosB= ，tan B= .③在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A与斜边c，用关系式，求出∠B，用关系式求出a.弄清楚直角三角形五元素之间的数量关系是解直角三角形的关键.活动1 小组讨论例1 Rt△ABC中，∠C=90°,c=0.832 8,b=0.295 4，解这个直角三角形.解:∵sinB=bc=0.29540.8328≈0.354 7，∴∠B≈20°46′，∠A=90°-∠B=90°-20°46′=69°14′，∵tanA=ab，∴a=b·tanA≈0.779.直角三角形除直角外的其它五个元素中，已知其中任何两个元素(必有一边)，即可求出其它三个元素.活动2 跟踪训练(独立完成后小组内交流并展示)1.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB=10，∠A=30°，则BC的长为 .2.如图，在△ABC中,∠B=45°,cosC=35,AC=5a,则△ABC的面积用含a式子表示是 .3.根据下列所给条件解直角三角形，结果不能确定的是( )①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.A.②③B.②④C.只有②D.②④⑤第2小题要过点A作BC的垂线，构造两个直角三角形，再解直角三角形；第3小题要注意解直角三角形中已知的两元素不包括直角.4.已知，如图:△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°,AB=10,D为△ABC外一点，连结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.①若△ABD是等边三角形，求DE的长；②若BD=AB，且tan∠HDB=34，求DE的长.求出AB的长，根据等腰三角形“三线合一”可求出AH和BH等于AB的二分之一，然后在直角三角形AHD和AHE，可利用tan∠DAH和tan∠EAH求出DH和EH的长，从而求出DE的长；第②小题思路和方法同上. 活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:解直角三角形.2.本节学习的数学方法:转化的数学思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①略②略③略【合作探究1】活动2 跟踪训练1.52.14a23.C4.①3-5 ②4。

九年级数学下册28.2解直角三角形(1)导学案

C A (1)边角之间关系：如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那么 ①正弦：边边的斜对sin αα∠= ②余弦：边边的斜邻cos αα∠= ③正切：边的边的邻对tan ααα∠∠= (2)三边之间关系：a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系：∠A+∠B=90°．至少知道2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的3个元素第四课时 28.2解直角三角形（1）一、学习目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形二、自学提纲： 1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，那么剩下的a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？以上三点正是解直角三角形的依据．思考：在直角三角形的五个元素中，至少知道多少元素才能求出其余的元素B20C例1：如图，在ABCRt∆中，︒=∠90C，2=AC，6=BC，解这个直角三角形解：===ACBCAtan︒=∠∴______A︒=∠-︒=∠______90ABAB=练习：在ABCRt∆中，︒=∠90C，30=a，20=b，解这个直角三角形（可利用用计算器计算）例题2：如图，ABCRt∆中，︒=∠90C，︒=∠35B，20=AC，解这个直角三角形（精确到0.1）解：________9090=︒-︒=∠-︒=∠BABCACB=tan，≈==∴BACBCtanABACB=sin，≈==∴BACABsin练习：如图，ABCRt∆中，︒=∠90C，︒=∠72B，14=c，解这个直角三角形（精确到0.1）1、如图ABC Rt ∆中，︒=∠90C ， c ＝ 83,∠A ＝60°，请你解这个直角三角形。

解：︒=︒-︒=∠-︒=∠________9090A B︒=∠30B ________2121=⨯==∴AB AC BC=_____________22=-AC AB2、如图ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，a ＝36， ∠A ＝30°，请你解这个直角三角形。

《28.2.1 解直角三角形》教案、导学案

28．2．1 解直角三角形【教学目标】1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)【教学过程】一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数．在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】利用解直角三角形求边或角已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝ac ，即c ＝a cos B ＝3632＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB ＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．【类型三】运用解直角三角形解决面积问题如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝37，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6.求△ABC的面积．解析：首先利用正弦的定义设BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，从而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进一步求解．解：∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中，sin A＝BCAB＝37，设BC＝3k，则AB＝7k(k＞0)，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝142－62＝410，∴S△ABC＝12AC·BC＝12×410×6＝1210.所以△ABC的面积是1210.方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．探究点二：解直角三角形的综合【类型一】解直角三角形与等腰三角形的综合已知等腰三角形的底边长为2，周长为2＋2，求底角的度数．解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数．解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，∵周长为2＋2，∴AB＝AC＝1.过A作AD⊥BC于点D，则BD＝22，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝BDAB＝22，∴∠ABD＝45°，即等腰三角形的底角为45°.方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值．【类型二】解直角三角形与圆的综合已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O 于点C，连接AC交OB于点P.(1)求证：BP＝BC；(2)若sin∠PAO＝13，且PC＝7，求⊙O的半径．解析：(1)连接OC，由切线的性质，可得∠OCB＝90°，由OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC ，再由∠AOB ＝90°，可得出所要求证的结论；(2)延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE ，在Rt △AOP 和Rt △ACE 中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答．解：(1)连接OC ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OCB ＝90°，∴∠OCA ＋∠BCA ＝90°.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠OAC ＋∠BCA ＝90°，∵∠BOA ＝90°，∴∠OAC ＋∠APO ＝90°，∵∠APO ＝∠BPC ，∴∠BPC ＝∠BCA ，∴BC ＝BP ；(2)延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE ，在Rt △AOP 中，∵sin ∠PAO ＝13，设OP ＝x ，AP ＝3x ，∴AO ＝22x .∵AO ＝OE ，∴OE ＝22x ，∴AE ＝42x .∵sin ∠PAO ＝13，∴在Rt △ACE 中CE AE ＝13，∴AC AE ＝223，∴3x ＋742x＝223，解得x ＝3，∴AO ＝22x ＝62，即⊙O 的半径为6 2.方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义结合勾股定理列出方程．三、板书设计1．解直角三角形的基本类型及其解法；2．解直角三角形的综合．【教学反思】本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性.28．2．1 解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵ 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶ 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【学习重点】直角三角形的解法．【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用【导学过程】一、自学提纲：1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m) a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin α∠的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子三、教师点拨：例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，，解这个三角形．例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．四、学生展示：完成课本74页练习补充题1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．2、在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．3、在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。

九年级数学下册28.2.1解直角三角形导学案

解直角三角形一、新课导入1、在直角三角形中共有几个元素？2、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B, 这五个元素间有哪些等量关系呢？二、学习目标1.理解直角三角形中五个元素的关系，掌握解直角三角形的概念；2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本掌握解直角三角形的概念.一边阅读一边完成检测一。

检测练习一、若已知直角三角形的某____个元素（直角除外，至少有一个是____），就可以求出这个直角三角形中________未知元素.研读二、认真阅读课本完成例题1。

一边阅读一边完成检测二。

检测练习二、根据下列条件解直角三角形,在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝3 2.研读三、认真阅读课本完成例题2。

一边阅读一边完成检测三。

检测练习三、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝45°，解这个直角三角形．研读四、问题探究：在图中的Rt△ABC中，（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？解:(1)能.sin sin 6sin 75cos cos 6cos 7590909075BC A BC AB A AB ACA AC AB A AB A B B A =⇒==⨯=⇒==⨯∠+∠=⇒∠=-∠=-(2)能.22222226 2.4 5.52.4cos cos 0.46669090906624AB AC BC BC AB AC ACA A A AB A B B A =+⇒=-=-≈=⇒==⇒∠≈∠+∠=⇒∠=-∠=-=四、完成跟踪训练(PPT)五、归纳小结（一）这节课我们学到了什么？（二）你认为应该注意什么问题？六、作业布置：完成课后练习.B AC中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一个几何体的三视图如图所示，该几何体是( )A ．直三棱柱B ．长方体C ．圆锥D ．立方体【答案】A 【解析】根据三视图的形状可判断几何体的形状．【详解】观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．故选A ．本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．2．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。

28.2.1解直角三角形导学案

解直角三角形导学案【学习流程】一、导学自习：(一）知识链接1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=,则AB=2、在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=35°,则∠A= .3、如图、在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,则sinA= — = cosA= — = tanA= — =sinB= — = cosB= — = tanB= — =(二）自主学习1．在直角三角形中共有几个元素？2．什么叫解直角三角形？3、分析上面三道小题中各运用了什么知识解决问题：（1)三边之间关系：（2)锐角之间关系：（3)边角之间关系：二、研习展平：探究一：在Rt △ABC 中,∠C=90°,已经会算AB 的长度。

那么∠ A ，∠B 的度数是多少？ＡＣＢ a b cＢＢ变式：在Rt △ABC 中,∠C=90°∠B=30°解这个直角三角形。

探究二如图：在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC= 3cm ,AB = 5 cm,CD ⊥AB,求AD 的长度。

探究三：如图、在四边形ABCD 中，∠A= ，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=20cm ，CD=10cm ，求AD ，BC 的长？（保留根号）┓D A BC 60° BAC D 20 10 60°C1、如图：在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线这个直角三角形。

2、如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE∥ CD ，交AC 的延长线于点E .连接BC ．（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）如果CD =6，tan ∠BCD=21，求⊙O 的直径的长．3、如图,根据图中已知数据,求△ABC 其余各边的长,各角的度数。

四、课堂小结：这节课你学到了些什么？B A 30° A BC 4cm 45°D AB CAD =1．如图，在△ABC 中，已知AC=8，∠C=75°，∠B= 45°，求△ABC 的面积．45° 75°2、已知，如图，在△ABC 中，BC=AC ，以BC 为直径的园O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E 。