洛必达法则失效的种种情况及处理方法

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洛必达法则失效的种种情况及处理方法

今天我在看书时，看到这样一道题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim

，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。

洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则

)()(lim )()(lim

x g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件：（1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）；

（2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；

（3）A x g x f a x =''→)()(lim

（或∞）。

其中第三个条件尤其重要。

其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。而对于极限问题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 来说，因为x x g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷

大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。

实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。【问题】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。

洛必达法则失效的种种情况及处理方法

今天我在看书时，看到这样一道题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim

，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。

洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则

)()(lim )()(lim

x g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件：（1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）；

（2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；

（3）A x g x f a x =''→)()(lim

（或∞）。

其中第三个条件尤其重要。

大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。

实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。【问题】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。

洛必达法则的三个陷阱

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。

因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。

它的三个陷阱分别是：

1、求极限之前，先要检查是否满足0/0或∞／∞型构型，不然滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就无法用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，得从另外途径求极限，例如利用泰勒公式去求解。

2、洛必达法则是求未定式极限的有效工具，如果只用洛必达法则，往往计算比较繁琐，可以与其他方法相结合。

3、洛必达法则常用于求不定式极限，可以通过相应的变换转换成两种基本的不定式形式来求解。

考研数学讲解之洛必达法则失效的情况及处理方法

洛必达法则失效的情况及处理方法

【本章定位】

此部分内容不需要特别掌握，关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒展开式的重要性！

。

洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则

)()(lim )()(lim

x g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件：（1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）；

（2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；

（3）A x g x f a x =''→)()(lim

（或∞）。

其中第三个条件尤其重要。

大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。

实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。

【问题1】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。

洛必达法则使用中常见错误

洛必达法则使用中的5种常见错误

求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。

在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：

000,1,,0,,,00∞∞∞⋅∞-∞∞

∞（其中后面3种可以通过A e A ln =进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。

17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,Hospital Rule ）。虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。首先，复述洛必达法则的其中一种情形：

错误：-∞=-

⋅⋅='⋅'=+++→→→)1(1lim )(lim lim 2101010x

e e x xe x x x x x x 正确：+∞=''⋅==+++→→→)1()1(lim 1lim lim 101010x x e x e xe x

x x x x x 例：错解 2

1126lim 2126lim 42633lim 34223lim 112212331==-=---=+--+-→→→→x x x x x x x x x x x x x x 正确解：5

32126lim 426

33lim 34223lim 12212331=-=---=+--+-→→→x x x x x x x x x x x x x 12

不能用洛必达法则的例子

不能用洛必达法则的例子如下：

1、不是未定型。

2、求导后的极限不存在。

洛必达法则适合于0/0型、∞/∞型未定式的极限计算。

在使用洛必达法则时，要保证导函数比的极限存在或为∞。

洛必达法则可以连续重复使用，但连续使用的次数超过三次时要考虑洛必达法则是否失效。

某些情况下，将洛必达法则与等价无穷小代换结合使用会大大简化极限的计算。

扩展资料

①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则

滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限。

②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法

则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。

洛必达法则失效的情况

洛必达法则是微积分中的基本法则之一。它指出，当自变量趋近于某个特定值时，被

积函数趋近于一个固定的极限值。然而，在某些情况下，洛必达法则并不适用，因为其基

本假设可能没有得到满足。本文将讨论洛必达法则失效的情况。

1. 函数不连续

如果一个函数在某个点不连续，那么在该点使用洛必达法则就会失效。在这种情况下，我们需要使用其他方法来计算该点的极限。

例如，考虑函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$。当$x=0$时，该函数在$x=0$处不连续，

因为$f(0)$是一个未定义的形式。因此，我们不能使用洛必达法则来计算$f(x)$在

$x=0$处的极限。相反，我们需要使用泰勒级数来计算此处的极限。

2. 函数形式复杂

有时我们会遇到函数形式非常复杂的情况。在这种情况下，使用洛必达法则并不方便，因为我们需要对分子和分母同时求导。这样的计算可能很困难或耗时很长，尤其是当函数

的形式非常复杂时。

例如，考虑函数$f(x)=\frac{e^{x^2}\sin(\sqrt{x})}{x^3+1}$。在这种情况下，使

用洛必达法则显然是不切实际的。相反，我们可以考虑使用泰勒级数或长除法等技巧，来

计算该函数在某个特定点的极限。

3. 极限不存在

综上所述，洛必达法则是微积分中非常重要的基本法则之一，但它并不适用于所有情况。在某些情况下，我们需要使用其他方法来计算函数的极限值。

不能使用洛必达法则的经典例题

今天我在看书时，看到这样一道题，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。

洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则的三个条件：

（1）（或），（或）；

（2）和在点的某个去心邻域内可导；

（3）（或）。

其中第三个条件尤其重要。

其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。

而对于极限问题来说，因为不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。

实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。

【问题】求极限。

【解】对于任何足够大的正数，总存在正整数，使，也就是说总存在正整数，使，其中。

这样就等价于，所以

，

这里前面一项注意到了函数的周期为，而后面一项作了令的换元处理。最后注意到积分值的有界性（）。

如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。

【问题2】求极限（1）；（2）。

【分析与解】（1）这是型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到

洛必达法则失效的种种情况及处理方法

《高数解题的四种思维定势》

1．在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

2．在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

3．在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

4．对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

《线性代数解题的八种思维定势》

1．题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。2．若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

3．若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。

4．若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义再说。

5．若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。

6．若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

7．若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。

8．若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

关于可积和原函数存在

如下三种情况可积，是充分条件

1。闭区间上的连续函数是可积的

2。只有有限个第一类间断点的函数是可积的，也就是分段连续函数是可积的

时候不能用洛必达法则

洛必达法则，又称为洛必达定理，是微积分中的一个重要定理，它是计算不定积分的一个有效方法。该定理由法国数学家洛必达于

17世纪提出，经过几百年的发展和完善，已成为微积分中的基本工

具之一。洛必达法则在求解极限、不定积分和定积分等问题中发挥

着重要作用，被广泛应用于物理、工程、经济学等领域。

洛必达法则的核心思想是利用函数的极限性质来求解不定积分。在应用洛必达法则时，我们需要先将被积函数化为分子分母形式，

然后利用洛必达法则中的条件，判断分子和分母的极限是否存在或

者是否为无穷大，最终得出不定积分的结果。洛必达法则的应用需

要一定的技巧和经验，但一旦掌握了其基本原理和方法，就能够轻

松解决许多复杂的积分计算问题。

洛必达法则的应用场景非常广泛。在物理学中，洛必达法则常

常用于求解物体的运动轨迹、力学问题和电磁学问题。在工程学领域，洛必达法则被广泛应用于控制系统、信号处理和通信系统等方面。在经济学和金融学中，洛必达法则也常常用于求解收益率、成

本和利润率等相关问题。总之，洛必达法则在各个领域都发挥着重

要作用，为人们解决了许多实际问题。

然而，尽管洛必达法则在数学和应用领域中有着重要的地位，

但它并不是万能的。在实际应用中，我们需要注意一些限制条件和

注意事项，以免出现错误的结果。首先，洛必达法则只适用于一些

特定的函数形式，对于一些特殊的函数或者复杂的函数，可能无法

直接应用洛必达法则。其次，洛必达法则需要满足一定的条件，如

果条件不符合，就不能直接使用洛必达法则。此外，在应用洛必达

法则时，我们还需要注意函数的连续性和光滑性，以免出现不可导

洛必达法则使用中常见错误

洛必达法则使用中的5种常见错误

求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。

000,1,,0,,,00∞∞∞⋅∞-∞∞

∞

（其中后面3种可以通过A e A ln =进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。 17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,Hospital Rule ）。虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。

在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。

错误：-∞=-

⋅⋅='⋅'=+++→→→)1

(1lim )(lim lim 2

x e e x xe x

x x

x 正确：+∞='

⋅==++

+→→→)1

()1(lim 1lim lim 10101

x e x e xe x

x x

x 例：错解 21

126lim 2126lim 42633lim 34223lim

112212331==-=---=+--+-→→→→x x x x x x x x x x x x x x 正确解：5

2126lim

42633lim 34223lim 12212331=-=---=+--+-→→→x x x x x x x x x x x x x

2015考研数学讲解之洛必达法则失效的情况及处理方法(1)

研
其中第三个条件尤其重要。其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
论
1
bbs.kaoyan.com
3 3 x3 1 x2 x3 1 lim lim x 3 x x ( x 3 1) 2 x
lim
x
可知洛必达法则失效，处理的方法是
3
lim
x
1 x3 1 x3 1 3 lim lim 3 1 3 1 3 x x x x x 。
如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。
3
lim
【问题 2】求极Fra Baidu bibliotek（1）
x
x3 1 e x ex lim x x x ；（2） x e e 。
【分析与解】（1）这是型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证
（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
e x ex e x ex e x ex lim lim x e x e x x e x e x x e x e x ， lim

洛必达失效的例子

洛必达（Lipitor）是一种常用的降脂药物，属于他汀类药物。它通过抑制胆固醇合成酶HMG-CoA还原酶的活性，从而抑制肝脏内胆固醇的合成，降低血浆胆固醇水平。洛必达在临床应用中被广泛使用，但也存在一些失效的情况，下面列举了几个洛必达失效的例子。

1. 缺乏服药依从性：洛必达是一种长期服用的药物，需要每天坚持按时服用，且在空腹时效果更佳。然而，一些患者由于忘记或不愿意服药，导致服药依从性不足，从而使洛必达失去降脂的效果。

2. 药物相互作用：洛必达与其他药物之间可能存在相互作用，影响洛必达的疗效。例如，某些抗生素、抗真菌药物和抗病毒药物可能干扰洛必达的代谢和排泄，导致洛必达的浓度降低，从而降低了其降脂效果。

3. 遗传因素：洛必达的疗效可能受到遗传因素的影响。例如，某些人体内的HMG-CoA还原酶活性较高，导致洛必达对其产生的抑制作用较弱，从而降低了洛必达的降脂效果。

4. 肝脏功能异常：洛必达在肝脏中代谢，如果患者肝脏功能异常，可能会影响洛必达的代谢和排泄，导致洛必达的血药浓度升高或降低，从而降低了洛必达的降脂效果。

5. 饮食习惯：洛必达的降脂效果也可能受到患者饮食习惯的影响。如果患者在服药期间过度摄入高胆固醇食物，或者缺乏摄入富含膳

食纤维和植物固醇的食物，可能会减弱洛必达的降脂效果。

6. 药物剂量不足：洛必达的剂量需要根据患者的具体情况进行调整，以达到最佳的降脂效果。如果患者的洛必达剂量过低，可能无法达到预期的降脂效果。

7. 药物过期：洛必达是一种处方药物，其有效期有限。如果患者使用过期的洛必达药物，药物可能已经失去活性，无法产生降脂效果。

洛必达法则失效的种种情况及处理方法

洛必达法规无效的各样情况及办理方法

lim

x 1 x x 0

sin x dx 今天我在看 XX 书时，看到这样一道题

，说是不能够够使用洛必达法规，我比较这本书上关于

使用洛必达法规的条件，感觉还不太清楚，忧如应该是吻合条件的，感谢你抽空给我指点一下。

洛必达法规是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，必然要注意到该法规是极限存在的充分条件，

f (x) f (x)

lim lim

也就是说洛必达法规 ( )

x x a

a ( x) g x

的三个条件：（1） l im f (x) 0 x （或），

a lim g (x) 0 x （或）； a

（2） f (x) 和 g (x) 在 x a 点的某个去心邻域内可导；

（3）

f ( x) lim x

g (x) a

（或）。其中第三个条件特别重要。

其实，洛必达法规的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中能够不用去细说，而第三个是经过计算过程的试一试考据来加以说明的，由于考据结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法规解题过程中，经常只用式子说话，不用用文字来啰嗦的。

lim x

1 x x 0 sin xdx 来说，由于

lim

x f g (x) (x) lim x sin x 而关于极限问题不存在（既不是某个常数，也不是无量

大），而可知洛必达法规的第三个条件得不到考据。此时，我们只能说洛必达法规对本问题无效，绝对不能够因此而说本问题之极限不存在。

本质上，我们利用“将连续问题失散化”的方法来办理，能够判断这个极限是存在的。

避免使用洛必达法则解题的两类策略

避免使用洛必达法则解题的两类策略在数学和科学中，洛必达法则是一种解决极限问题的常用方法。它通过求导数来简化问题，使得计算更加容易。然而，在一些情况下，使用洛必达法则可能会导致错误的结果或增加解题的复杂性。因此，我会讨论两类策略，以避免在解题过程中使用洛必达法则。

首先，洛必达法则只适用于一些特定类型的极限问题。如果问题不能满足一些条件，洛必达法则就不能应用。例如，当极限问题中的分子和分母同时趋向于无穷大或无穷小时，洛必达法则才能够有效。但是，如果问题的分子和分母趋向于一些常数，而不是无穷大或无穷小，那么洛必达法则就不能使用。在这种情况下，我们需要使用其他方法来求解极限问题，如展开成泰勒级数，使用积分，或应用其他适当的数学技巧。

其次，洛必达法则在一些情况下可能产生误导性的结果。当我们使用洛必达法则时，我们实际上是在对分子和分母分别求导数，并观察它们的极限。然而，这种方法可能会忽略其他因素的影响，从而得出不准确的结果。例如，当分子和分母的导数在一些点处同时趋近于零时，极限的结果可能是无穷大或无穷小，但实际上极限可能不存在。在这种情况下，我们需要使用其他方法来验证极限的存在性，如应用柯西收敛原理或利用极限定义进行严格证明。

为了避免使用洛必达法则产生错误的结果，我们可以采用以下两类策略：

第一，理解洛必达法则的原理和前提条件。了解洛必达法则适用的条件，使我们能够判断何时可以使用它，何时需要使用其他方法。我们应该知道分子和分母都趋于无穷大或无穷小的情况下才能使用洛必达法则。此

外，我们还应该了解洛必达法则的局限性，即不能用于证明极限的存在性。通过掌握这些基本知识，我们可以更好地评估何时使用洛必达法则，并在

洛必达法则失效的处理方法

“画龙点睛”数学专题讲解（三）：

洛必达法则失效的情况及处理方法

【本章定位】

此部分内容不需要特别掌握，关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒展开式的重要性！

。

洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则

)()(lim )()(lim

x g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件：（1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）；

（2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；

（3）A x g x f a x =''→)()(lim

（或∞）。

其中第三个条件尤其重要。

其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。而对于极限问题⎰+∞→x x x x x

0d sin 1lim 来说，因为x x g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。

实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。

【问题1】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。