高中数学圆的方程(难度系数：0.70-0.56)-20150512

高中数学圆的方程(难度系数：0.70-0.56)-20150512
一、单选题（共28小题）
1.圆的圆心坐标和半径分别是（）
A．（0，2）2B．（2，0）4C．（-2，0）2D．（2，0）2
2.在同一直角坐标系中，直线与圆的位置关系是（）
A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离
3.若A、B两点的坐标是A（3cosα，3sinα），B（2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围（）A．[0，5]B．[1，5]C．（1，5）D．[1，25]
4.一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）
A． B． C． D．
5.圆关于直线对称的圆的方程是（）
A．B．C．D．
6.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO﹣A′B′C′D′，A′C的中点E与AB 的中点F的距离为（）A． a B． a C．a D．a
7.将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是（）
A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0
8.圆，圆，M、N分别是圆，上的动点，P为x轴上的动点，则
的最小值（）
A．B．C．D．
9.以棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）
A．（0，）B．（）C．（）D．（）
10.已知圆，直线，点在直线上．若存在圆上的点，使得
（为坐标原点），则的取值范围是（）
A．B． C．D．
11.已知方程所表示的圆有最大面积，则取最大面积时，该圆的圆心坐标为
（）
A．（-1，1）B．（-1，0）C．（1，-1）D．（0，-1）
12.若直线过圆的圆心，则实数的值为（）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
13.过点（，0）引直线与曲线交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于（）
A．B．C．D．
14.点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）
A．B．C．D．
15.点P（x，y，z）满足=2，则点P在（）
A．以点（1，1，﹣1）为圆心，以2为半径的圆上
B．以点（1，1，﹣1）为中心，以2为棱长的正方体上
C．以点（1，1，﹣1）为球心，以2为半径的球面上
D．无法确定
16.圆x2＋y2-4x＋6y＝0和圆x2＋y2-6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）
A．x＋y＋3＝0B．3x-y-9＝0C．2x-y-5＝0D．4x-3y＋7＝0
17.设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）
A．10B．C．D．38
18.已知是方程的两个不等实数根，则点与圆的位置关系是（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．无法确定
19.若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）
A．B．C．D．
20.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程为
（）
A．B．C．D．
23.已知坐标原点O在圆x2+y2-x+y+m=0外，则m的取值范围是（）
A．0<m< B．m< C．m≤ D．m>0
24.已知圆与圆相外切，则的最大值为（）A．B．C．D．
25.过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为（）A．B．C．D．
26.若直线过圆的圆心，则实数的值为（）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
27.直线经过点且与圆相切，则直线的方程是（）
A．B．C．D．
28.在空间直角坐标系中，点关于XOY面对称的点的坐标是（）
A．B．C．D．
29.已知圆的方程为，那么圆心坐标为（）
A．B．C．D．
30.圆：与圆：内切，，则的最小值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
31.直线：圆A，B两点，且，则点
M之间距离的平方最大值为（）
A．B．32C．D．3
32.直线与圆心为I的圆交于M，N两点，则直线MI与NI的倾斜角之和为（）
A． B． C． D．
33.圆和圆的位置关系为（）
A．相交 B．相切C．相离D．以上都有可能
二、解答题（共9小题）
34.已知圆O：上的点到直线的最小距离为1，设P为直线上的点，过P点作圆O的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.
（1）求圆O的方程；
（2）当点P为直线上的定点时，求直线AB的方程.
35.已知圆及点.
（1）若为圆上任一点，求的最大值和最小值；
（2）已知点，直线与圆C交于点A、B，当为何值时取到最小值。

37.在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且
.直线是过点的任意一条直线．
（1）求动点所在曲线的轨迹方程；
（2）设直线与曲线交于两点，且，求直线的方程；
（3）设直线与曲线交于两点，求以的长为直径且经过坐标原点的圆的方程．
39.已知圆，直线
（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点A、B；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；
（3）若定点P（1，1）满足，求直线的方程。

40.在空间直角坐标系中，解答下列各题：
（1）在x轴上求一点P，使它与点P 0（4，1，2）的距离为；
（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．
41.已知点P的坐标为（3，4，5），试在空间直角坐标系中作出点P．
42.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M；使M到点N（6，5，1）的距离最小．
43.如图，点，是单位圆上的两点，，点分别在第一、二象限，点是圆与轴正半轴的交点，
是正三角形，记.
（1）若点的坐标为，求的值;
（2）分别过，作轴的垂线,垂足为，，求当角为何值时，面积最大?并求出这个最大面积.
44.已知圆：，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。

（Ⅰ）求曲线的方程（Ⅱ）当与圆相切时，求直线的方程。

三、填空题（共12小题）
45.已知圆，过点作的切线，切点分别为，则直线的方程为____________
46.已知x，y，z满足（x﹣3）2+（y﹣4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是__________
47.已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上．则C的方程为_________
48.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为__________
49.以点A（1，4）、B（3，-2）为直径的两个端点的圆的方程为__________
50.过点A（0，），B（7，0）的直线l1与过（2，1），（3，k＋1）的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为__________
51.点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|=________
52.已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为_________
53.已知圆方程为：，圆的方程为：，动圆M与外切且与内切，则动圆圆心M的轨迹方程是_________
54.以点A（1，4），B（3，-2）为直径的两个端点的圆的一般式方程为__________
55.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为_________
56.已知三角形的三个顶点为A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则BC边上的中线长为_________
57.关于的方程表示圆，则实数的取值范围是 .
58.已知圆与圆交于两点，则直线的方程
为 .
59.若直线与圆C：相交于A、B两点,则的值
为 _________．
60.已知过原点的直线与圆相切，若切点在第二象限，则该直线的方程
为．
61.已知直线与圆交于、两点，是原点，C是圆上一点，若，则的值为_______ .
四、证明题（共3小题）
62.如图所示，在圆内接四边形ABCD中，BD与AC交于G，延长BD至E，延长AD至F.
证明：BC；证明：AF平分∠CDE，且∠=∠CBA.
63.如图所示，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，AC＝BC，直线OB交⊙O于D、E，连接EC，CD.
证明：；若tan∠CED，⊙O半径r＝3，求OA的长.
64.如图所示，在△ABC中，，AE与DB交于点F，∠∠CBD，BF.
求证：C，D，F，E四点共圆；
求FD的长.
答案部分
1.把圆的方程配方后化为标准方程，得到圆心坐标为，半径为
2.答案:D
2.圆圆心为圆，半径圆
圆心到直线的距离，故直线与圆相交但不经过圆心答案:B
3.解：由题意可得|AB|==
=．
∵﹣1≤cos（α﹣β）≤1，∴1≤13﹣12cos（α﹣β）≤25，
∴1≤≤5，故选B．
4.求出P关于平面xoy的对称点的M坐标，然后求出MQ的距离即可．
解：点P（1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（1，1，﹣1），一束光线自点P（1，1，1）发出，
遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，
那么光所走的路程是：=．故选D．
5.圆关于直线对称只需求出圆心关于直线对称后的坐标，半径不变.由圆心，半径设对称后圆心坐标，则，所以即圆心坐标为.答案:C
6.解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO﹣A′B′C′D′，
∵A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A′（a，0，a），
A′C的中点E与AB的中点F，∴F（a，，0），E（，，），|EF|=
==答案:B
7圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，所以圆心为(1,2)，把点(1,2)代人A、B、C、D，不难得出选项C符合要求答案:C
8作关于轴的对称点
，连接
得
所在直线方程，与轴的交点为
，此
时
最小，连接
、
分别交圆于，则
最小，
=
答案:A
9.解：由题意如图，平面AA 1B 1B 对角线交点是横坐标为AB 的中点值，竖坐标为AA 1的中点值纵坐0，所
以平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（）．故选B ．
10在
中，设
，由正弦定理，得
，即
，得
，
即，解得.
答案:B
11.要使圆的面积最大，只要半径最大，圆
的圆心为半径为，当
时，半径最大为，圆心坐标为
答案:D
12.由题可知，圆的一般方程
化成标准方程为，圆心坐标为（-1，
2），将圆心坐标代入到直线方程
中，得出。

答案:B 13.由题可知，
；当
时，
面积最大，此时O 到AB 的距离
，设AB 方程为
，即，又因为，得k=。

答案:B 14.设动点
的中点坐标，则
，
即
代入（1）得曲线
方程
.答案:C
15.解：式子
=2的几何意义是动点P （x ，y ，z ）到定点（1，1，﹣1）的
距离为2的点的集合．故选C ．
16.由题可知，AB的垂直平分线的方程一定经过两圆的圆心，由圆的一般方程，我们容易知道，圆1的圆心坐标为（2，-3），圆2的圆心坐标为（3，0），两点确定的直线方程为3x-y-9＝0。

答案:B
17.解：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，
∴B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，∴B（2，﹣3，﹣5）∴AB的长度是5﹣（﹣5）=10，
故选A
18.易知点是方程的两个实数根，故===＜8，故点
在圆C:内．答案:A
19.若圆C经过（1，0），（3，0）两点则圆心坐标可设为，又圆与y轴相切，所以
，解得，故圆C的方程为答案:D
20.设该圆的半径为1与轴相切，所以圆心的纵坐标的绝对值为1，所以排除A，C，又点到直线
的距离为等于圆的半径，所以选B
21.由题意，P点在平面BB1C1C内，且PE⊥PF，故P点轨迹是以EF为直径的一段圆弧，圆心是EF的中点，设为G，半径为EF＝.在BB1上取点K，使得B1K＝1，则HK⊥平面BB1C1C，且HK＝4.要使|HP|2最
小，只需|PK|最小，且|PK|≥|GK|-，而|GK|为定值3，故|PK|≥3-,于是|HP|2＝|HK|2＋|PK|2
≥16＋（3-）2＝27-6.选B
22.在BB1上取点K，使得B1K＝1，则HK⊥面BCC1B1，
连结PK，则HP2＝HK2＋PK2＝16＋PK2.
在平面BCC1B1上，以CC1所在直线为x轴，以GF所在直线为y轴
由题意可知，P点轨迹为抛物线，其方程为x2＝2y-1，K点坐标为（0，4）
设P（x，y），则x2＝2y-1（其中x∈[-3，1]，y∈[-]）
PK2＝x2＋（y-4）2＝2y-1＋y2-8y＋16＝y2-6y＋15;当y＝3∈[-]时，PK2|min＝6
故HP2|min＝16＋6＝22.答案:B
23.由题可知，圆的一般方程为x2+y2-x+y+m=0，将其化成标准方程为，圆心为
，若坐标原点O在圆x2+y2-x+y+m=0外，则坐标原点到圆心的距离应大于圆的半径，即
，解得0<m<；答案:A
24.根据题意两圆的圆心坐标，半径分别为：，两圆外切，所以
，化简为：，所以由（当且仅当“”时取“”），得到即，所以（当且仅当“”时取“”），所以答案为C.
25.设，圆心,连接则从而四点共圆，且为圆的直径，圆的方程为，两圆的方程相减可得，选A.
26.由题可知，圆的一般方程化成标准方程为，圆心坐标为（-1，2），将圆心坐标代入到直线方程中，得出。

答案:B
27.
在圆上，所以过点的切线方程为由四个选项知选B
28.两点关于XOY面对称，横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，点关于XOY面对称的点的坐标是答案:C
29把圆的一般方程进行配方可得：
，所以圆心坐标为：，选C
30.圆：，，圆心，
圆，，圆心
相切，，
于是
当且仅当⟹时取等号.
31由条件知△AOB是等腰直角三角形，所以原点O到直线的距离，
即，≥0⟹，于是M的距离平方
+
，故选A.
32.由数形结合思想与平面几何知识求解
根据题意作草图，设直线MI的倾斜角为α，直线NI的倾斜角为β
易知，∠P，∠MNI∠NMI，
⟹
解法二. 可用解析法思路求M，N，I坐标⟹求，
求tan答案:D
33.方程变为标准方程为
所以圆心距为，半径差为，半径和为4，故相交，选A
34.（1）圆心到直线的距离
（2）设
，由于，有
那么直线AB：，即
答案:（1）；（2）.
35（1）⊙C与直线有公共点。

解得.所以；.
（2）记将直线方程代入圆方程得：
由得，
所以，时取到最小值。

答案:（1），；（2）时取到最小值；
37.（1）依据题意，可得点.
又，所求动点的轨迹方程为.
（2）若直线轴，则可求得，这与已知矛盾，因此满足题意的直线不平行于轴．
设直线的斜率为，则．
由得．
设点，有且恒成立（因点在椭圆内部）．又，于是，，即，解得．
所以，所求直线．
（3）当直线轴时，，点到圆心的距离为1.即点在圆外，不满足题意.
满足题意的直线的斜率存在，设为，则.设点，
由（2）知，进一步可求得
依据题意，有，
，
即，解得.
所求圆的半径，
圆心为.
所求圆的方程为：.
答案:（1）；（2）；（3）．
39.考点:4.2 直线、圆的位置关系
试题解析:
（Ⅰ）解法一：圆的圆心为，半径为。

∴圆心C到直线的距离，∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；
方法二：∵直线过定点，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，又因为
，
设，则，
化简得：
当M与P重合时，也满足上式。

故弦AB中点的轨迹方程是。

（Ⅲ）设，，由，
∴，化简的①
又由消去y得（*）
∴②
由①②解得，带入（*）式解得，
∴直线的方程为或。

答案:（1）证明见解析；（2），为圆的轨迹方程；（3）或；
40.解：（1）设点P的坐标是（x，0，0），
由题意|P0P|=，
即=，
∴（x﹣4）2=25．解得x=9或x=﹣1．
∴点P坐标为（9，0，0）或（﹣1，0，0）．先设点M（x，1﹣x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．
（2）设点M（x，1﹣x，0）
则|MN|==
∴当x=1时，|MN|min=．
∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．
答案:（1）点P坐标为（9，0，0）或（﹣1，0，0）．（2）点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．
41.解：由P（3，4，5）可知点P在Ox轴上的射影为A（3，0，0），
在Oy轴上射影为B（0，4，0），
以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影C（3，4，0）．
过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P．
42.解：设点M（x，1﹣x，0）
则=∴当x=1时，．
∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．
答案:点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．
43.（1）由，得（2），，
故
因为，所以所以，当，即时取得最大值
44.解：（Ⅰ）设切点为，连，，则
取关于轴的对称点，连，则是的中位线，
所以，所以．
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，，，（Ⅱ）因为与圆相切，设，则，
因为．所以而，解得，．
则，则直线的方程为，即或
45.设，则由圆的切线知识可知：
切线AP的方程为：，所以有；
切线AQ的方程为：，所以有；
从而得到点P，Q都在直线；
故知直线PQ的方程为：．答案:
46.解：由题意可得P（x，y，z），在以M（3，4，0）为球心，为半径的球面上，
x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O，M之间时，|OP|最小，
此时|OP|=|OM|﹣=﹣=5，所以|OP|2=27﹣10．故答案为：27﹣10．
47.直线AB的斜率是k AB=，中点坐标是（3，2）.故直线AB的中垂线方程，由
得圆心坐标C（2，0），r=|AC|=，故圆的方程为。

48.圆心到直线的距离为，所以切线长的最小值为.答案:
49.由中点坐标公式知圆心，半径，所以圆的方程为.
50.由题可知，4点共圆时，四边形的2个对角之和是180°，所以L1和L2是相互垂直的，即k1k2=-1，求得的k=3
51.解：∵点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，所以P1（﹣1，2，﹣3），P关于坐标平面xOz的对称点为P2，所以P2（1，﹣2，3），
∴|P 1P2|==2．故答案为：2
52.设圆心的坐标为，由题意可得圆的半径，圆心到直线直线的
距离．由弦长公式可得，解得，或（舍去），故半径等
于，故圆的方程为．答案:
53.设动圆圆心M，半径为，由于动圆M与圆外切，则，动圆M与圆内切，则
，则，根据椭圆定义知：点的轨迹是以为焦点的椭圆，
，动圆圆心M的轨迹方程是.答案:
54.首先的中点为圆心，，半径为，圆的方程为
，化为一般式方程为.答案:
55.圆心到直线的距离为，所以切线长的最小值为.答案:
56.解：∵B（3，2，﹣6），C（5，0，2），
∴BC边上的中点坐标是D（4，1，﹣2）
∴BC边上的中线长为=，答案:2
57.由得，若表示圆，则，所以答案:
58.圆展开得（1）
圆（2）（2）（1）得，所以的方程为答案:
59.如图：圆心，圆心到直线的距离，所
所以即，所以答案:0
60.设直线为，依题意，解得，因为切点在第二象限，所以
所以方程为，即答案:
61.由得四边形是菱形，则，所以答案:
62.:在△BCG与△AGD中，
∠CAD∠CBD∠AGD BGC △BCG∽△AGD
EDF
即EDF，AF为∠EDC的平分线
故AF平分∠CDE
由知，又
63.连接OC，，，是等腰三角形AOB底边AB上的高，
，于是AB为⊙O的切线. 于是
由知，……※
DE过圆心O，，于是
tan∠CED，在△CBE与△CBD中
△CBE∽△CBD
⟹设BD=x，则BC=2x，又BE=2r+x=6由
※
64.证明：⟹
∠ABC ACB，又∠∠CBD，
，BDC
∠AEC∠由知，
，且D是AC中点，于是
BC BC8，又C，D，F，E四点共圆，。