第3课 整式及其运算
整式及其运算
知识点3 整式及其因式分解一、分类：单项式和多项式统称为整式。
整式可分为单项式和多项式1.单项式：定义：数与字母的积组成的式子，单独一个数或字母也叫单项式。
系数：单项式中的数字因数。
次数：所有字母的指数和。
注意：单独一个字母a 的系数为1，次数为1。
单独一个数字比如3的系数为3次数为02.多项式：定义：几个单项式的和。
项数：含几个单项式是几项式。
次数：次数最高项的次数。
二、计算1.加减：(1)去括号：括号前是+时，去掉括号和括号前的+，括号内各项不变号 括号前是-时，去掉括号和括号前的-，括号内各项要变号(2)合并同类项。
①同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
②合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。
2. 乘除：(1)公式：a m .a n =a m+n , (a m )n =a mn , (ab)n =a n b n(2) 计算：单项式乘单项式：系数相乘，相同的字母按照同底数幂的乘法相乘 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项再把结果相加多项式乘多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项再把结果相加 平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （a-b ）2=a 2-2ab+b 2 注意：3.除法：a n ÷a m =a m-n （a ≠0） a 0=1(a ≠0), p paa 1=-(a ≠0) 单项式除以单项式：系数相除，相同的字母按照同底数幂的除法相除 多项式除以单项式：用多项式的每一项去除以单项式再把结果相加第三讲整式（A 卷）一、选择题1. 下列各式计算正确的是（ ）A ．222()a b a b +=+B ．235a a a +=C ．824a a a ÷=D ．23a a a ⋅= 2．下列计算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 5B ． a 2+a 3=a 5C ． （a 3）2=a 5D ．a 3÷a 2=13.下列运算正确的是（ ）A.()236aa = B. 22a a a ⋅= C. 2a a a += D. 632a a a ÷=4. 下列运算正确的是A. (－a 3)2= a 5B. (－a 3)2=－a 6C. (－3a 2)2=6a 4 D . (－3a 2)2= 9a 422222222)()(42)(2)(b a b a ab ab b a b a ab b a b a --+=+-=+-+=+5.下列式子正确的是（ ）A ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－b 2C ．(a －b )2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(a －b )2＝a 2－ab ＋b 2 6. 计算()23ab 的结果是（ ）A ．6abB ．26a b C ．29ab D ．229a b 7．下列计算中，不正确的是（ ） A ．﹣2x+3x=x B ． 6xy 2÷2xy=3yC ．（﹣2x 2y ）3=﹣6x 6y 3D ． 2xy 2•（﹣x ）=﹣2x 2y 28. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是（ ）A ． M =mnB ． M =n (m +1)C ．M =mn +1D ．M =m (n +1)二、填空1.如图9所示，图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：()127531-+⋅⋅⋅++++n = . （用n 表示，n 是正整数）2. 一件商品的进价为a 元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为 元.3. 如果x=1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是 ．4.单项式35-x y 的系数是 ．5. 为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m 个篮球和n 个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为 元. 6.若m +n =2，mn =1，则m 2+n 2 = ．7.的结果等于 a 2 ．8 .用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n 个图案中共用小三角形的个数是 .三、计算1. 计算：5a ＋2b ＋(3a —2b )； (3)(3)(4)a a a a +-+-2n -15 12 34n7 1 1 2 43 3 n3.请你化简 22236911211x x x x x x x +++÷+--++，再取恰当x 的值代入求值。
北师大版七年级数学上册课件：第三章《整式及其加减》回顾与思考
3. 先化简，再求值． 2(a2b+ab2)-2(a2b-1)-2ab2-2, 其 中a=-2，b=2． 解:2(a2b+ab2)-2(a2b-1)-2ab2-2
=2a2b+2ab2-2a2b+2-2ab2-2=0 当a=-2，b=2时，原式=0．
达标检测
1.把x本书分给若干学生，若每人分12 本书，尚余5本，用代数式表示学生 总数_________. 2.将1000元钱按定期储蓄存入银行， 月利率0. 98%，一年后的利息是 __1_1_7_._6_元_____． 3.代数式-ab2c3的系数是__-_1__.
去括号则：
括号前是“+”号,把括号 和它前面的“+”号去掉后， 本来括号里各项的符号都不改 变; 括号前是“-”号，把括号 和它前面的“-”号去掉后，本 来括号里各项的符号都要改变.
习题讲授
1、某产品的成本由x元降落10%后是 _(_1_-_1_0_%__) _x_元. 2、 十位上的数字是m，个位上的数字比 十位上的数字大4的两位数是_1_0_m_+_m__+_4__. 变式:a是一个两位数,b是一个一位数(不为 0),若把b放在a的左边组成一个三位数,这个 三位数是___1_0_0_b_+_a___.
写
如: a×3通常写作3a
法 ：
(4)带分数一般写成假分数.
如：1 1×a 5
通常写作
6 5
a
分清哪些是同类项是合并同类项的关键. （1）所含字母相同， （2）相同字母的指数也相同。
合并同类项时注意：
1、同类项合并过程中，把同类项的系数相 加，字母和字母的指数不变。不是同类项不 可以合并。
2、在求代数式的值时，可先合并同类项将 代数式化简，然后再代入数值计算，这样往 往会简化运算过程。
浙江省嘉兴市2014年中考专题复习课件3整式及其运算
【即时应用2】 下面的计算正确的是
A．6a－5a＝1 C．－(a－b)＝－a＋b 答案 C B．a＋2a2＝3a3
(
)
D．2(a＋b)＝2a＋b
整式的乘除运算 1．幂的运算法则 (1)am· an＝_____( am＋n m，n都是正整数)； am－n a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)， (2)am÷an＝_____( 1 1 ，a－p＝__(a≠0 特别的：a0＝_(a≠0) ap，p是正整数)； (3)(am)n＝___(m，n都是正整数)； amn n是正整数)； (4)(ab)n＝____(
对接点一：列代数式表示简单问题中的数量关系 常考角度：1.用代数式表示数量关系； 2．用代数式总结带有规律性的问题，验证总结的规律，
用总结的规律解决问题．
【例题1】 (2012· 温州)某校艺术班同学，每人都会弹钢琴 或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10 人，两种都会的有7人．设会弹古筝的有m人，则该班
__ nb；
(4)乘法公式
a2－b2 ；完全平方公式： 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝______
(a±b)2＝a2±2ab＋b2 ； ___________________
3．整式的除法 (1)单项式的除法：把系数与同底数幂分别相除，作为 商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数作为 ________商的一个因式；
字母的指数 __________不变．
3．去括号法则：括号前是“＋”把括号和它前面的“＋ 不变____；括号前是 ”号去掉后，原括号里各项的符号都 “－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括 改变 号里各项的符号都 ____． 找同类项 合并同类项． 4．整式加减的步骤：(1)________ ，(2)__________
中考复习第一轮课件3整式及其运算
课前热身
5、若|x+y-5|+(xy-6)2=0,则x2+y2的值为（ A ） 、 |x+y-5|+(xy- =0,则 的值为（ A.13 B.26 C.28 D.37 6、（ 、（2007福建泉州课改）先化简下面的代数式， 福建泉州课改） 、（ 福建泉州课改 先化简下面的代数式， 再求值： 再求值：a+2)(a−2)+a(4−a)，其中 a = 2 + 1 ( 解：原式 = a 2 − 4 + 4 a − a 2 = 4a − 4 当 a = 2 +1 时，原式 =4( 2 +1) −4 =4 2+4−4 =4 2
2011数学中考第一轮复习课件 第3讲 整式及其运算
解：原式＝－x2＋5 当 x＝ 3，原式＝2
考点训练 3
整式及其运算 (训练时间：60分钟 分值：100分)
一、选择题(每小题 3 分，共 45 分)
1．(2010·桂林)下列运算正确的是( ) A．a6÷a2＝a3 B．5a2－3a2＝2a C．(－a) 2·a3＝a5 D．5a＋2b＝7ab
4．如果 a－3b＝－3，那么代数式 5－a＋3b 的值是( A．0 B．2 C．5 D．8
D )
5．如果代数式 4y2－2y＋5 的值为 7，那么代数式 2y2－y＋1 的值等于( A．2 B．3 C．－2 D．4
6．若 m2－n2＝6，且 m－n＝3，则 m＋n＝2.
A )
7．化简：(x＋3) 2－(x－1)(x－2)． 9x＋7
1．下列运算中，正确的是( A ) A．x3·x2＝x5 B．x＋x2＝x3 x 3 x3 3 2 C．2x ÷x ＝x D．( ) ＝ 2 2
2．下列运算正确的是( C ) A．a3·a4＝a12 B．a6÷a3＝a2 C．2a－3a＝－a D．(a－2)2＝a2－4
3．下列运算正确的是( D ) A．2x5－3x3＝－x2 － B．(－2x2y)3·4x 3＝－24x3y3 1 1 1 C．( x－3y)(－ x＋3y)＝ x2－9y2 2 2 4 D．(3a6x3－9ax5)÷(－3ax3)＝3x2－a5
)
【解析】同类项必须满足所含字母相同并且相同字母的指数也相同． 【答案】C
15．(2011 中考预测题)现规定一种运算：x*y＝xy＋x－y，其中 x、y 为实数，则 x*y＋(y －x)*y 等于( ) A．x2－y B．y2－y C．y2 D．y2－x
整式及其运算
整式及其运算【知识解读】整式加减：1. 代数式的概念代数式是用基本的运算符号（运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数字或字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2. 代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3. 整式的加减（1）单项式：数与字母的积的代数式叫单项式，数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.（2）多项式：几个单项式的和叫多项式，多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数，单项式的个数也就是多项式的基数.（3）单项式和多项式统称为整式.（4）同类项，两个单项式中，如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等，那么这两个单项式叫同类项.（5）整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项，合并同类项的法则是：把系数相加减，字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项，去括号以及整式加减运算等. 整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：1. 理解四式（单项式、多项式、整式、n 次m 项式）、三数（系数、次数、项数）和二项（常数项、同类项）2. 掌握三个法则（去括号法则、添括号法则、合并同类项法则）.3. 熟悉两种排列（升幂排列、降幂排列）.整式加减的一般步骤1. 根据去括号法则去括号.2. 合并同类项.【例题精讲】【例1】（1）已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式，求mn .（2）已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ，求abc .【例2】（1）先化简，再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+，其中12x =-，y ＝2.（2）已知4m n -=，1mn =-，求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值.【例3】已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式，当x ＝2时的值为－17，求当x ＝－2时，此多项式的值.【例4】已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关，求代数式22223(2)(4)a a b b a a b b ---++的值.【练1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式323222(42)a b a b ---的值.【例5】已知2234A x xy cy =-+，23B ax xy =-，222C x bxy y =-+，且23A B C x xy --=-+2y -，求a 、b 、c .【例6】（1）当x ＝2时，代数式31ax bx -+的值等于－17，那么当x ＝－1时，求代数式31235ax bx --的值.（2）已知代数式3ax bx c ++，当x ＝0时的值为2，当x ＝3时的值为1，求当x ＝－3时代数式的值.（3）已知21x x +=，求432222012x x x x +--+的值.【练2】如果210a a +-=，求3222a a ++的值.【例7】倡导“节能减排”，鼓励居民节约用电. 2012年7月1日起，湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度，方案如下：如：小明家3月份用电量为500度，则应付费：1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=（元）.（1）若小华家4月份电量为100度，则应付费 元，5月用电量为210度，则应付费元，6月份电量为450度，则应付费 元；（2）若小华家7月份的用电量为x 度，请用x 表示应付的电费；（3）若小华家9月份已付电费177.9元，请你求出小华家9月份的用电量；（4）若小华家某月的电费为a 元，则小华家该月用电量属于第几档.【例8】观察下面有规律的三行单项式：x ， 22x ， 34x ，48x ， 516x ， 632x ，……① 2x -， 24x ，38x -， 416x ， 532x -， 664x ，……② 22x ， 33x -， 45x ， 59x -， 617x ， 733x -，……③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为 ；（2）第二行第n 个单项式为 ；（3）第三行第8个单项式为 ；第n 个单项式为 ；【例9】已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++ 是关于x 的恒等式，求1197531a a a a a a +++++的值.【练3】已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式，求24a a +的值.【例10】（1）已知x ，y 为整数，且5|(9)x y +，求证：5|(87)x y +.（2）已知x 、y 、z 均为整数，且11|(725)x y z +-，求证：11|(3712)x y z -+.【跟踪练习】1. 单项式3243x y z -的系数是 ，次数是 .2. 已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式，单项式253n m x y -与该多项式次数相同，则mn ＝ .3. 4243527x x y xy ---是 次 项式，最高次项是 ，最高次项的系数是 ，常数项是 .4. 多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式，则m ＝ ，n ＝ .5. 已知133m x y +与42n mx y +-是同类项，则m ＝ ，n ＝ ，13423m n x y mx y ++-= .6. 如果2(1)|2|0a b +++=，则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为 .7. 已知两个多项式的和是2521x x -+，其中一个多项式是2235x x --，则另一个多项式是 . 8. 电影院里第一排有a 个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有 .9. 某城市广场中央，有一如图阴影部分所示的花坛，其中四个长方形的长和宽都分别是a 米和b 米，重叠部分都是边长2米的正方形，圆的半径是r 米，则这个花坛的占地面积为 .10.（1）化简：22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----；（2）化简：{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---；（3）已知多项式22911A x x =--，2354B x x =++，求(2)A B --.11.（1）2323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--，其中a ＝－2；（2）若2|1||2|1a ab c -+-=-，且a 、b 、c 都为正整数，求65()2ab ab a b c ++--的值.12. 已知m 、n 为正整数，单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式，①试求m 、n 的值；②当x ＝－1，y ＝1时，求此单项式的值.13. 已知m 、x 、y 满足条件：①21(2)2|2|02x m ++-=；②31y a b --与2352b a 是同类项，求代数式2222(236)(39)x x y y m x x y y -+--+的值.14. 已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x －1，且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项，求m的值.15.（1）多项式531ax bx ++，当x ＝2时，其值为－5，则x ＝－2时，该多项式的值为多少？（2）若241550x x +-=，求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.（3）若331x x -=，求432912372003x x x x +--+的值.（4）已知x ＝2时，多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3，则当x ＝－2时，求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16. 武汉某服装厂生产一种夹克和T 恤，夹克每件售价80元，T 恤每件售价50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T 恤；②夹克和T 恤按定价的80%付款，现客户要向服装厂购买夹克50件，T 恤x 件（x ＞50）.（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款 元，T 恤需付款 元（用含x 的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款 元，T 恤需付款 元（用含x 的式子表示）；（2）若x ＝100，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？（3）若两种优惠方案可同时使用，当x ＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由.17. 观察下面的三个数列：①－1， ＋2， －3， ＋4， －5， ＋6，……②－3， 0， －5， ＋2， －7， ＋4，……③－2， ＋4， －6， ＋8， －10， ＋12，……（1）这三个数列的第n 个数分别是 ；（2）在第一行中是否存在连续的三个数，使得和为－40？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由；（3）是否存在这样的一列，使其中三个数的和为78？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由.18.（1）已知a 、b 为整数，且10n a b =+，如果17|(5)a b -，请你证明：17|n .（2）已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数，证明：这个三位数也是11的倍数.。
第3讲整式及其运算
【点评】 (1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练 掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则； (2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．
[对应训练] 3．(1)(2015· B．(x2)3＝x5 C．2a6÷a3＝2a2 D．x3·x2＝x5 1 (2)(2014· 随州)计算(－2xy2)3，结果正确的是( B ) 1 A.4x2y4 1 B．－8x3y6 1 C.8x3y6 1 3 5 D．－8x y
5．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 „
请你猜想(a＋b)10的展开式第三项的系数是( B )
am－n am÷an＝____
6．整式乘法
单项式乘以单 项式 单项式乘以多 项式 多项式乘以多 项式
把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个 单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一 个因式 用单项式分别去乘以多项式的每一项，再把所得的积 ma＋mb 相加，即m(a＋b)＝____ 用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一 项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ ma＋mb＋na＋nb
试题 计算①x3· x5；②x4· x4；③(am＋1)2；④(－2a2· b)2；⑤(m－ n)6÷(n－m)3. 错解 ①x3· x5＝x3×5＝x15；②x4· x4＝2x4；③(am＋1)2＝a2m＋1；④( －2a2· b)2＝－22a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(m－n)6－3＝(m－n)3. 剖析 幂的四种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同 底数幂相除)是学习整式乘除的基础，对幂运算的性质理解不深刻 ，记忆不牢固，往往会出现这样或那样的错误．针对具体问题要分 清问题所对应的基本形式，以便合理运用法则，对符号的处理，应 特别引起重视． 正解 ①x3· x5＝x3＋5＝x8；②x4· x4＝x4＋4＝x8；③(am＋1)2＝a(m＋ 1)×2＝a2m＋2；④(－2a2· b)2＝(－2)2a4b2＝4a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3 ＝(n－m)6÷(n－m)3＝(n－m)3
第三章整式及其加减第4节整式的加减(教案)
同学们，今天我们将要学习的是《整式的加减》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要合并同类项或计算总价的情况？”（如购物时计算多件商品的价格）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索整式加减的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的概念、加减运算法则以及它在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对整式加减的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
具体内容包括：
-单项式、多项式的定义与性质；
-整式的加减法则与运算技巧；
-合并同类项、去括号等方法；
-应用整式加减解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑思维能力，通过整式的加减运算，使学生能够理解数学的内在联系，提高推理与论证能力；
2.培养学生的数学建模素养，使学生能够将实际问题转化为整式的加减问题，建立数学模型，增强解决实际问题的能力；
3.培养学生的数学运算素养，使学生熟练掌握整式的加减法则，提高运算速度和准确性；
4.培养学生的创新意识，鼓励学生在解决整式加减问题时，探索不同的解题方法和技巧，提升数学思维品质。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-单项式与多项式的概念：明确单项式的系数与次数，多项式的项数与次数的概念，以及它们的表示方法。
北师大版数学七年级上册《 第三章 整式及其加减 》教学设计
北师大版数学七年级上册《第三章整式及其加减》教学设计一. 教材分析北师大版数学七年级上册第三章《整式及其加减》是学生在初中阶段第一次接触整式运算的内容。
本章主要介绍了整式的概念、加减法运算以及简单的应用。
内容上由浅入深，逐步引导学生掌握整式的运算规律。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了实数的基础知识，具备一定的逻辑思维能力。
但是，对于整式运算这类抽象的数学概念，学生可能刚开始会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解整式的概念，通过具体的例子让学生感受整式运算的规律。
三. 教学目标1.理解整式的概念，掌握整式的加减法运算规则。
2.能够运用整式加减法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.整式的概念及其理解。
2.整式的加减法运算规则及其应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究整式的运算规律。
2.利用多媒体课件，生动展示整式的运算过程，帮助学生形象理解。
3.分组讨论，合作学习，提高学生的团队合作能力。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.练习题及答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引入整式的概念，激发学生的兴趣。
例如：已知小明身高1.6米，小华比小明高0.5米，请问小华的身高？2.呈现（10分钟）讲解整式的概念，并通过例题展示整式的加减法运算。
引导学生理解整式的运算规律。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师巡回指导。
练习题包括简单的整式加减法运算。
4.巩固（10分钟）讲解练习题，引导学生总结整式加减法的运算规律。
5.拓展（10分钟）通过多媒体课件展示一些复杂的整式加减法运算，引导学生运用所学知识解决问题。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调整式的概念和整式加减法的运算规律。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关整式加减法的练习题，要求学生在家庭中完成。
第3课时整式(定稿)课件
2S
S
1-
1
n2
，原式
3-
1
n2
错位相消法
2
2
精讲精练
练习：如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的
规律，根据此规律，最后一个三角形中 y 与 n 之间的关系是( ) B )
A. y＝2n＋1 C. y＝2n＋1＋n
B. y＝2n＋n D. y＝2n＋n＋1
(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1＝__1__.
拓展延伸 解析：
(a b)5 a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5
225 5 24 10 23 10 22 5 2 1
25 5 24 （-1）10 23 （-1）2 10 22 （-1）3 5 21 （-1）4 （-1）5
多项式的次数：多项式中次数最高项的次数
基础点巧练妙记
提分必练
10. 若2ambn和-3a3bcp是同类项，则m= 3 ，n= 1 ，p= 0 .
11. 一个多项式与x2-2x+1的和是3x-2，则这个多项式为( C )
A. x2-5x+3 B. -x2+x-1 C. -x2+5x-3 D. x2-5x-13
. a b 1 0 b 2
（x y）2
7. |4+4x|+x2+2xy+y2=0，则(xy)2020= 1
4 4x 0 x 1
.
x
y
0
y 1
基础点巧练妙记
基础点 2 整式及其运算
《整式及其运算 》课件
目
CONTENCT
录
• 整式的概念 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 整式的混合运算 • 整式的简化 • 整式
02
01
03
整式是由常数、变量、加、减、乘、乘方等基本运算 组成的代数式。 整式中不含除法运算或开方运算。
整式可以看作是多项式的特殊情况。
多项式乘多项式
总结词
分别相乘，合并同类项
详细描述
多项式与多项式相乘时，需要将每个多项式的每一项分别相乘，然后合并同类项 。例如，$(x^2 + x) times (x + 1) = x^3 + x^2 + x^2 + x = x^3 + 2x^2 + x$。
乘法公式
总结词
利用公式简化计算
详细描述
整式可以用来解决实际问题，例如计 算路程、时间、速度等，有助于解决 实际问题。
THANK YOU
感谢聆听
整式的分类
单项式
只包含一个项的整式，例如：5x 、6y等。
多项式
包含多个项的整式，例如：x^2 3x + 2、xy - 2y等。
整式的加减法
01
同类项是指具有相同未知数的项 ，例如：x^2和3x^2是同类项。
02
合并同类项是指将它们的系数相 加减，未知数保持不变，例如： x^2 + 3x^2 = 4x^2。
在几何中的应用
整式在几何中也有着广泛的应用，例如在平面几何和立体几何中 ，整式可以用来表示长度、面积、体积等几何量。
整式可以用来解决几何问题，例如求圆的周长、面积等，有助于 解决实际问题。
在日常生活中的应用
整式在日常生活中也有着广泛的应用 ，例如在物理学中，整式可以用来表 示物理量之间的关系和变化规律。
北师版七年级数学上册作业课件(BS) 第三章 整式及其加减 第3课时 整式的加减
12．多项式7a2－6a3b＋3a2b＋3a2＋6a3b－3a2b－10a2的值(D ) A．与字母a，b都有关 B．只与字母a有关 C．只与字母b有关 D．与字母a，b都无关
13．一家商店以每包 a 元的价格进了 30 包甲种茶叶，又以每包 b 元的价
格买进 60 包乙种茶叶．如果以每包a＋2 b元的价格卖出这两种茶叶，则卖完后，
七年级上册（北师版）数学
第三章 整式及其加减
3．4 整式的加减
第3课时 整式的加减
1．整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减， 如果有括号就先去括号，然后 再合并同类项 ． 练习1：(2016·雅安)计算：3a－(2a－b)＝ a＋b ． 2．几个整式相加减，通常用括号 将每一个整式括起来 ，再用加减号连接， 然后去括号，合并同类项． 练习2：一根铁丝的长为5a＋4b，剪下一部分围成一个长为a，宽为b的长 方形，则这根铁丝还剩下 3a＋2b ．
4．在2－[2(x＋y)－( )]＝x＋2中，括号内填的式子应是( A ) A．3x＋2y B．－x＋2y C．x－2y D．－x－2y
5．已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，若A＋B＋C＝0， 则多项式C为( C ) A．5a2＋3b2＋2c2 B．5a2－3b2＋4c2 C．3a2－3b2－2c2 D．3a2＋3b2＋4c2
解：由题意得(m＋n)＋[(m＋n)＋(m－3)]＋(2n－m)＝2m＋4n－3， 所以这个三角形的周长为2m＋4n－3 11．某校有A，B，C三个课外活动小组，A小组有学生(x＋2y)名，B小组 学生人数是A小组学生人数的3倍，C小组比A小组多3名学生，问A，B，C 三个课外活动小组共有多少名学生？ 解：三个课外活动小组共有(5x＋10y＋3)名学生
第三章整式及其加减
第三章整式及其加减【要点梳理】要点一、字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a 、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．乘法交换律可以用字母表示为：ab ＝ba要点二、代数式1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34，2n ，2)(b a +等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.要点诠释：带等号或不等号的式子不是代数式，如33x =，33x >，33x ≠等都不是代数式.2.列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.要点三、整式1.单项式（1）单项式的定义：如22xy ，13mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如5m 就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．要点诠释：①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写． ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y 写成254x y ．（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．2．多项式(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．要点诠释：①多项式的每一项包括它前面的符号．②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2x x--是一个三项式．627(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．要点诠释：①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．1x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为如:多项式2x3y2-xy3+2-5x4+2x3y2+1x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排2列为-6-5x4+2x3y2-xy3+1x2y4．2要点诠释：①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．3.整式：单项式与多项式统称为整式．要点诠释：（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．【典型例题】类型一、字母表示数1．填空：(1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．(2)有a 名男生和b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块．这a 名男生和b 名女生一共搬了 块砖（用含a ．b 的代数式表示）．【思路点拨】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.【答案】(1)90%10%1a +；(2)（40a +30b ） 【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价;(2)利润率＝-售价进价进价． 举一反三：【变式】为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a 元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（ ）A ．a ﹣10%B ． a ?10%C ． a （1﹣10%）D ．a （1+10%）【答案】C ．类型二、代数式2．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费．（1）若某用户10月份用去a 度电，则他应缴多少电费？（2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？【思路点拨】当a ﹥140，应付费用分为两部分，一部分为0.43×140元，另一部分为0.57×（a-140）元.【答案与解析】解：（1）当a≤140时，电费为0.43a 元；当a ＞140时，电费为：0.431400.57(140)(0.5719.6)a a ⨯+⨯-=-元.（2）因为用电量为150度，大于140度，因此把a ＝150代入代数式0.5719.6a -，得0.5715019.665.9⨯-=（元）.因此，该缴电费65.9元.【总结升华】根据a 的不同取值，分别对应不同的代数式．举一反三：【变式1】一个堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块a 块，往下每层多铺一块，最下面一层铺了b 块，共铺了n 层，共铺石块块？当a ＝20，b ＝40，n ＝17时，堤坝的这个截面铺石块块？ 【答案】12（a ＋b ）n ，510块.【变式2】代数式12（a ＋b ）n 的意义.【答案】答案不唯一，举一例：设某两数为a b 、，则()a b n +12表示“这两个数平均数的n 倍.类型三、整式3．整式中是单项式的个数有（ ） A ．2个 B ． 3个 C ． 4个D ．5个 【答案】C ．【解析】 解：整式中，单项式有：﹣0.3x 2y ，0，，﹣2a 2b 3c ，共4个． 【总结升华】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，即可得出答案．举一反三： 【变式】下列代数式：322332111;;;;2;-232a x y ab x x y x y y x+--++π①②③④⑤⑥，其中单项式是_______________，多项式是_______________.【答案】①②③，④⑥4．已知多项式32312246753m x xy x y y x y ---+--． (1)求多项式各项的系数和次数．(2)如果多项式是七次五项式，求m 的值．【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项26xy -的系数是-6，次数是3；第二项3127m x y --的系数是-7，次数是3m+1；第三项343x y 的系数是43，次数是4；第四项2x y -系数是-l ，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．(2)由多项式是七次五项式，可得3127m x y --的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m ＝2．【总结升华】对于单项式3127m x y --的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．举一反三：【变式】多项式()34b a x x x b --+-是关于x 的二次三项式，求a 与b 的差的相反数．【答案】5．已知：x 2﹣5x=6，请你求出代数式10x ﹣2x 2+5的值．【思路点拨】先把10x ﹣2x 2+5变形为﹣2（x 2﹣5x ）+5，然后把x 2﹣5x=6整体代入进行计算即可．【答案与解析】解：10x ﹣2x 2+5=﹣2（x 2﹣5x ）+5，∵x 2﹣5x=6，∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7．【总结升华】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值． 【巩固练习】1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.（1）5y 是单项式； （ ）（2）5y ＋1是单项式； （ ）（3）13是单项式；（ ） （4）单项式ab 的系数是0；（ ）（5）单项式2ab的系数是2；（）3（6）单项式xy2次数是2；（）（7）单项式4xy2是三次单项式.（）2.填空：青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段.列车在冻土地段行驶速度是每小时100千米，它2小时行驶的路程是千米，3小时行驶的路程是千米，t小时行驶的路程是千米.3.用单项式填空：（1）底边长为a，高为h的三角形的面积是；（2）一辆汽车从拉萨出发，3小时后到达相距s千米的尼木县城，这辆长途汽车的平均速度是；（3）一台电视机原价a元，现按原价的9折（9折就是90%）出售，这台电视机现在的售价为元.4.填空：（1）多项式x2＋3x＋4是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______，常数项是________；（2）多项式－x2－3＋x是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______，常数项是________；（3）多项式m2－1是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______，常数项是________；（4）多项式2x＋3y2－3xy2是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______.5.填空：（1）多项式3＋2x 2－4x 次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______；（2）多项式m 3－1次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______；（3）多项式2x －3xy 2＋1次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______；（4）多项式3x 4－2x 2y 2次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______.1.填空（1）单项式3x 的系数是_______，次数是______，是_______次单项式；（2）单项式πr 2的系数是_______，次数是______，是_______次单项式；（3）单项式－x 2y 的系数是_______，次数是______，是_______次单项式；（4）单项式22a b 2的系数是_______，次数是______，是_______次单项式.2.填空：（1）多项式―x 2―3x ＋4的项是________________，最高次项是______，常数项是______，次数是________；（2）多项式3－m 2的项是___________，最高次项是＿＿＿＿，常数项是＿＿＿，次数是＿＿＿；（3）多项式a 3＋a 2b ＋ab 2的项是__________________，最高次项是＿＿＿＿＿＿，次数是＿＿＿.3.判断正误：对的画"√"，错的画"×".（1）多项式3a －5的项是3a ，5；（ ）（2）多项式x 3＋x 2y 2的次数3次；（ ）（3）几个多项式的和仍是多项式；（ ）（4）单项式和多项式统称整式.（ ）4.用多项式填空：（1）温度由－3度下降t 度后是＿＿＿度；（2）温度由－3度上升t 度后是＿＿＿度；（3）一个数比x 的2倍小3，则这个数为＿＿＿＿＿＿；（4）a 与b 两数平方的和为＿＿＿＿＿＿；（5）如图，三角尺的面积为＿＿＿＿＿＿.5.用整式填空：（1）体重由x 千克增加2千克后是_____千克；（2）1千克大米售价1.2元，x 千克大米售价＿＿＿＿＿元；（3）a ，b 分别表示长方形的长与宽，则长方形的周长为＿＿＿＿＿；（4）a ，b 分别表示梯形的上底和下底，h 表示梯形的高，则梯形的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）买一个篮球需要x 元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z 元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿元.（6）如图，是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是＿＿＿＿＿＿＿平方米.6.思考题：如图，搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要＿＿＿根小棒，搭3个正方形需要＿＿＿根小棒，搭x个正方形需要＿＿＿＿根小棒，搭2008个正方形需要＿＿＿＿根小棒.【课后作业】一、选择题1．在代数式222515,1,32,,,1x x x x x x π+--+++中，整式有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个2．下面计算正确的是（）A 、2233x x -=B 、235325a a a +=C 、33x x +=D 、10.2504ab ab -+= 3．多项式2112xx ---的各项分别是 （ ） A.21,,12x x - B.21,,12x x --- C.21,,12x x D.21,,12x x -- 4．下列去括号正确的是（ ）A.()5252+-=+-x xB.()222421+-=--x xC.()n m n m +=-323231D.x m x m 232232+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 5.下列各组中的两个单项式能合并的是（ ）A ．4和4xB ．32323x y y x -和C ．c ab ab 221002和D ．2m m 和6.单项式233xy z π-的系数和次数分别是 （ ）A.－π，5B.－1，6C.－3π，6D.－3，7 7一个多项式与2x －2x ＋1的和是3x －2，则这个多项式为（） A ：2x －5x ＋3B ：－2x ＋x －1C ：－2x ＋5x －3D ：2x －5x －138、原产量n 吨，增产30%之后的产量应为（）A 、（1-30%）n 吨B 、（1+30%）n 吨C 、n+30%吨D 、30%n 吨二、填空题1．单项式522xy -的系数是____________，次数是_______________。
北师大版数学七年级上册《 第三章 整式及其加减 》说课稿
北师大版数学七年级上册《第三章整式及其加减》说课稿一. 教材分析北师大版数学七年级上册《第三章整式及其加减》是学生在学习了实数、代数式等基础知识后，进一步学习整式的加减运算的重要章节。
本章主要内容包括整式的概念、加减运算、以及整式的应用。
整式作为初中数学的基础内容，不仅在学习后续章节中占有重要地位，而且对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力也具有重要作用。
本章内容分为7个小节，分别是：1. 整式的概念；2. 整式的加减运算；3. 同类项；4. 整式的乘法；5. 整式的除法；6. 整式的应用；7. 复习与总结。
其中，整式的加减运算是本章的重点，而整式的乘除法则是对整式加减运算的进一步拓展。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了实数、代数式等基础知识，对于整式的概念和运算有一定的理解。
但他们在整式的加减运算方面，可能还存在一些困难，如对同类项的理解、对整式加减运算的规则等。
因此，在教学过程中，需要注重对这些知识点的讲解和巩固。
三. 说教学目标根据新课程标准的要求，本节课的教学目标分为三个方面：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。
1.知识与技能：使学生掌握整式的概念，理解并掌握整式的加减运算规则，能够正确进行整式的加减运算。
2.过程与方法：通过观察、思考、讨论等方法，引导学生自主探究整式的加减运算规则，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的学习习惯，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点本节课的重难点是整式的加减运算。
其中，同类项的识别和整式加减运算的规则是学生理解和掌握的难点。
五. 说教学方法与手段为了突破本节课的重难点，我将以引导探究法为主，辅以讲解法、讨论法等教学方法。
通过引导学生观察、思考、讨论，让学生在自主探究中理解和掌握整式的加减运算规则。
同时，利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂教学效果。
《中考大一轮数学复习》课件 课时3 整式及其运算
中考大一轮复习讲义◆ 数学
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夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学 知识结构梳理
知已知彼
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
基础知识回顾 1. 代数式：用运算符号 ( 加、减、乘、除、乘方、开方 ) 把 ________ 或表示 ____________连接而成的式子叫做代数式. 2. 代数式的值：用__________代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关 系，计算后所得的__________叫做代数式的值． 3. 整式 (1) 单项式：由数与字母的 ________ 组成的代数式叫做单项式 ( 单独一个数或 ________ 也是单项式 ) ．单项式中的 __________ 叫做这个单项式的系数；单项式 中的所有字母的____________叫做这个单项式的次数． (2)多项式：几个单项式的________叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫 做多项式的________，其中次数最高的项的________叫做这个多项式的次数．不 含字母的项叫做__________． (3)整式：________与__________统称整式．
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热点看台
中考大一轮复习讲义◆ 数学
快速提升
热点三 整式的化简 热点搜索 在求整式的值时，应先将整式进行化简，即去括号、合并同类 项，然后再把整式中字母的值代入计算，可化繁为简，使运算简便．
典例分析 3 (2013·湖南娄底 )先化简，再求值： (x＋y)(x－y)－ (4x3y－ 3 . 3
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热点看台
中考大一轮复习讲义◆ 数学
快速提升
点对点训练 1. 某班共有x个学生，其中女生人数占45%，用代数式表示该班的男 0.55x ． 生人数是________ 2. (2014·吉林)如图，矩形ABCD的面积为 ________(用含x的代数式 表示)． (x＋3)(x＋2)(或写为x2＋5x＋6的形式)
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2 2 2 2 2 2 形有：a2＋b2＝ a＋b －2ab；a ＋b ＝a－b ＋2ab；(a＋b) ＝(a－b) ＋4ab；
ab＝
a＋b2 2 －a－b
4
.
【例 5】 (2015· 金华)已知 a＋b＝3，a－b＝5，则代数式 a2－b2 的值是 ________．
解析
答案
根据完全平方公式中各项系数之间的关系可知，常数项等于一
25；5
次项系数一半的平方可求得结果． 变式训练 3 (2012· 黔东南州)二次三项式 x2－kx＋9 是一个完全平方式， 则 k 的值是________． 解析 先根据两平方项确定出这两个数是 x 和± 3，再根据完全平方公 式求解即可．
相加 ． 得的商______
⑤零指数和负整数指数 1 1 ，a－p＝_____ ap (a≠0，p 为正整数)． 规定 a0＝____
基础落实
5 次单项式． 1．单项式 3xy3z 是____ 3 3 － 2 －2 ，一次项系数是____ 2 ，二次项系 2．多项式 x －2x－2 的常数项是_____ 1 ． 数是_____ 810000 ． 3．利用平方差公式计算：899×901＋1＝_______ 1 －2 26 ． 4．计算：－5 ＋( 5)0＝_____
ac＋ad＋bc＋bd ． 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝________________
③乘法公式
a2－b2 ． 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________ a2±2ab＋b2 ． 完全平方公式：(a± b)2＝____________
④整式的除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为 商的因式， 对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，将这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所
解析 答案 根据 a2－b2＝(a＋b)(a－b)，然后整体思想代入求解． 15
变式训练 5 (2015· 梅州)已知 a＋b＝－ 2，求代数式(a－1)2＋b(2a＋b) ＋2a 的值． 解析 首先利用完全平方公式和整式的乘法将代数式化为 (a＋b)的代 数式的形式，然后整体代入求解即可．
答案 当 a＋b＝－ 2时， 原式＝a2－2a＋1＋2ab＋b2＋2a＝a2＋2ab＋b2＋1＝(a＋b)2＋1＝(－ 2)2 ＋1＝3.
2 2 a －6a＋9 ． m 5．化简：m ÷m ＝____；(a－3) ＝_____________
3 2
6．如果(x－6)0＝1，那么 x 的取值范围是( B ) A. x＝6 C. x＝1 B. x≠6 D. x≠1
7．(2015· 宁波)下列计算正确的是( D ) A. (a2)3＝a5 C. (2a)2＝4a A. 2x－3 C. 8x－3 A. 2a5 C. 8a6 A. xy C. x B. 2a－a＝2 D. a· a3＝a4 B. 2x＋9 D. 18x－3 B. 2a6 D. 8a5 B. 3xy D. 3x
解析 根据 3 张边长为 a 的正方形纸片的面积是 3a2，4 张边长分别为 a， b(b＞a)的矩形纸片的面积是 4ab， 5 张边长为 b 的正方形纸片的面积是 5b2， 得出 a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2，再根据正方形的面积公式即可得出答案．
答案 D
题型三 完全平方式 要点回顾： 理解完全平方式、 “配方法”与完全平方公式之间的关系． 配 方时注意口诀“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”的应用． 【例 3】 (2015· 珠海)填空：x2＋10x＋________＝(x＋________)2.
(例 2 题图)
解析
本题考查平方差公式的几何背景，利用大正方形的面积减去 4
个小正方形的面积即可求解． 设大正方形的边长为 x1，小正方形的边长为 x2，由图①和图②列出方程 a＋ b x ＝ 1 2 ， x1＋2x2＝a， 组，得 解得 ∴图②中，大正方形中未被小正方形覆 x － 2 x ＝ b ， a － b 1 2 x2＝ 4 ，
8．化简 5(2x－3)＋4(3－2x)结果是( A )
9．计算(2a)3·a2 的结果是( D )
10．(2014· 扬州)若□×3xy＝3x2y，则□内应填的单项式是( C )
易错警示 易错易混点 1：幂的运算法则 【例题 1】 A. 0 C. 2
【错误原型】 【错因分析】 【正确解答】 【解决方案】
【错误原型】 乘法公式记忆混乱．
【错因分析】 (1)－a＋b 可看成－a 与 b 的和，a－b 是 a 与 b 差，显然 不是两数和与这两数的差的积，所以不能用平方差公式计算；(2) 受积的乘 方公式的负迁移影响，本例实质是完全平方公式的应用．
【正确解答】 (1)(－a＋b)(a－b)＝－a2＋2ab－b2. (2) (3a＋2b)2＝9a2＋12ab＋4b2.
【解决方案】 熟记乘法公式．
题型精析
题型一 幂的运算
要点回顾：幂的运算法则：am·an＝am＋n(m，n 均为整数，a≠0)；(am)n ＝amn(m，n 均为整数，a≠0)；(ab)m＝ambm(m 为整数，a≠0，b≠0)；am÷an ＝am－n(m，n 均为整数，a≠0) . 【例 1】 A. －6a6b3 C. 8a6b3
变式训练 4
(2015· 咸宁)化简：(a2b－2ab2－b3)÷ b－(a－b)2.
解析
原式第一项利用多项式除以单项式法则计算，第二项利用完全
原式＝a2－2ab－b2－a2＋2ab－b2＝－2b2.
平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
答案
题型五
乘法公式的应用
要点回顾：重视整体思想的应用，掌握乘法公式的变形．乘法公式的变
相加”进行计算即可，m6·m3＝m9.
答案 B
题型二 乘法公式的几何背景 要点回顾：重视乘法公式的几何背景，解题时注意“数形结合”思想的 运用，并注意能否应用乘法公式：平方差公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2；完全 平方公式为(a± b)2＝a2±2ab＋b2.
【例 2】 (2014·宁波)一个大正方形和四个全等的小正方形按图①②两 种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 _________(用含 a，b 的代数式表示)．
a＋b2 a－b2 盖部分的面积＝ －4 ＝ab. 2 4
答案
ab
变式训练 2
(2013· 常州)有 3 张边长为 a 的正方形纸片， 4 张边长分别为
a， b(b＞a)的矩形纸片， 5 张边长为 b 的正方形纸片， 从其中取出若干张纸片， 每种纸片至少取一张， 把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空 隙、无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为( A. a＋b C. 3a＋b B. 2a＋b D. a＋2b )
解析 答案
(2015· 潜江)计算(－2a2b)3 的结果是( B. －8a6b3 D. －8a5b3
)
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． B
变式训练 1 (2014· 温州)计算 m6·m3 的结果( A. m18 C. m3
解析
)
B. m9 D. m2
根据“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数
下列运算：①(－3)3＝－9；②23×25＝215；③－36÷(－3)4 ) B. 1 D. 3
A或B或C 幂的运算法则不熟练，张冠李戴． D 熟记幂的运算法则．
＝(－3)2＝9.其中错误的个数是(
易错易混点 2：乘法公式 【例题 2】 下列计算对吗？并说明理由． (1)(－a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)(3a＋2b)2＝9a2＋4b2.
m ＋n a a ·a ＝______ (m，n 均为整数，a≠0)； amn (m，n 均为整数，a≠0)； (am)n＝_______
பைடு நூலகம்
m
n
ambm (m 为整数，a≠0，b≠0)； (ab)m＝_______ am－n (m，n 均为整数，a≠0)． am÷an＝_______
②整式的乘法：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积 的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ma＋mb ． 单项式乘多项式：m(a＋b)＝_________
答案 ± 6
题型四
整式的混合运算
要点回顾：整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解 此类题型的关键． 【例 4】 3 ＝3. (2015· 丽水)先化简，再求值：a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中 a
解析
根据去括号、平方差公式和合并同类项的法则，化简代数式，
3 再将 a＝ 2 代入化简后的代数式求值，可得答案． 3 答案 a(a－3)＋(1－a)(1＋a)＝a2－3a＋1－a2＝1－3a.当 a＝ 3 时，原 式＝1－3a＝1－ 3.
第一章 数与式
第3课
知识梳理
知识回顾 1．整式的概念
整式及其运算
单项式 ， (1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做 _______
单独一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的
系数 ，单项式中所有字母的指数的和 _____ __________________叫做单项式的次数． 和 叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式 (2)多项式：几个单项式的____ 次数最高的项的次数 叫做多项式的次数． 的项，___________________ 多项式 统称为整式． 单项式 和_______ (3)整式：_______
2．同类项、合并同类项
指数 也相同的项叫做同类 (1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的_____
项．
同类项 合并成一项，叫做合并同类项， (2)合并同类项：把多项式中的_______