2015高考数学二轮复习热点题型专题三十一等比数列

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高考数学复习专题等比数列性质(含等差等比数列综合题)

第50炼等比数列性质一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q -=⋅，也可以为：n m n m a a q -=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q-=-可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q -==----，设11a k q =-，可得：n n S k q k =⋅-5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列② 数列{}n a λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++L L ，则有：()()212212km n mm m m k m k n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++L L L L 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-L L2122332,k k k k k a a a S S +++++=-L L ，则232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数）（3）前n 项和公式：nn S kq k =-注：若()nn S kq m m k =-≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系 ()111n n a q S q-=-，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq-⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦===---⋅ ()()1112111111n n n n n n a q a q q S a q T q q ----=⋅=-- 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q ==例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（） A. 64 B. 64- C. 8 D. 8- 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==-⋅=- 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =- 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

2015高考数学二轮复习热点题型：专题31 等比数列(解析版)

例 4、(2013 年高考江苏卷)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足 a1＋a2＋…＋ an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值为________．
【成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
答案：A
【热点题型】
题型五分类讨论思想在等比数列中的应用例 5、已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a≠0)，an＋2＝p·(其中 p 为非零常数，n∈N*)． (1)判断数列是不是等比数列； (2)求 an； (3)当 a＝1 时，令 bn＝，Sn 为数列{bn}的前 n 项和，求 Sn. 当 p＝1 时，Sn＝1＋2＋…＋n＝；当 p＝－1 时，Sn＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n)＝－综上所述，Sn＝【点拨】本题关键是在错位相减求和时出现 Sn 的系数为 1－p2.此时应判断 1－p2 是否为零，从而分 p＝1，p＝－1，p≠±1 三种情况讨论．【提分秘籍】分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知 Sn 与 an 的关系，要分 n＝1，n≥2 两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比 q＝1，q≠1 讨论． (3)项数的奇、偶数讨论． (4)等比数列的单调性的判断注意与 a1，q 的取值的讨论．【举一反三】设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和 Sn>0(n＝1,2,3，…)．则 q 的取值范围为________．综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．答案：(－1,0)∪(0，＋∞) 【高考风向标】 1．（2014·重庆卷）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9 成等比数列
专题三十一等比数列【高频考点解读】 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系．【热点题型】题型一等比数列的相关概念例 1、已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则 a1＋a10＝( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7 【提分秘籍】 1．由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即判断{an}为等比数列，还要验证 a1≠0. 2．等比数列的前 n 项和 Sn (1)等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用． (2)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项和公式 Sn＝＝(q≠1)共涉及五个量 a1，an， q，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用． (3)在使用等比数列的前 n 项和公式时，如果不确定 q 与 1 的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比 q＝1 和 q≠1 两种情况． 3．等比数列{an}，Sn 为其前 n 项和，则 Sn 可表示为 Sn＝k·qn＋b，(k≠0，且 k＋b＝0)．【举一反三】已知等比数列{an}为递增数列，且 a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式 an＝________. 【热点题型】题型二等比数列的判定例 2、数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．

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- 1 -等比数列【知识点回顾】 1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11. 3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2. 4.等比数列的判定方法⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列. 5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即Λ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a mn m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列. 【方法总结】1.求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.例1.已知等比数列{}n a 的前n 项和1-=nn p S (p 是非零常数),则数列{}n a 是( )A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.非等差数列 [名师点拨]先由n S 求出n a ，再根据等差、等比数列定义作出判定.解：Θ1-=n n p S ，∴)2()1(11≥-=-=--n p p S S a n n n n∴当,1≠p 且0≠p 时，{}n a 是等比数列；∴当0=p 时，{}n a 是等差数列，选C. 2.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论. 例2.若实数数列4,,,,1321a a a 是等比数列，则=2a .- 2 -[名师点拨]本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式4122⨯=a ，得.22±=a解：Θ4,,,,1321a a a 是等比数列，∴4122⨯=a ，得.22±=a 又21,,1a a 是等比数列，∴R a a a ∈⋅=1221,1，∴22=a .考点一等比数列的通项与前n 项和题型1：已知等比数列的某些项，求某项例1.已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a [解题思路]可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质解：方法1：Θ811622451612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴1312281162469110=⨯===q a q a a方法2：Θ812162264===a a q ，∴13122811624610=⨯==q a a 方法3：Θ{}n a 为等比数列∴13122216222261026102===⇒=⋅a a a a a a题型2：已知前n 项和n S 及其某项，求项数.例2.⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. [解题思路]⑴利用等比数列的通项公式11-=n n qa a 及qq a S n n --=1)1(1求出1a 及q ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.解：⑴由93=n S ，48=n a ，公比2=q ，得532248293)12(111=⇒=⇒⎩⎨⎧=⋅=--n a a n n n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=363722c b b a bd c c a b ；方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b --3736，，则⎩⎨⎧-=-+-=)37()36()36(22a b b a b b ，解得⎩⎨⎧==1612b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==481499b a ；方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b -2，第1个数为bc 2，则- 3 -⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-20163622c b c b b c c b 或⎪⎩⎪⎨⎧==463481c b ；方法4：设第32、个数分别为c b ，，设第4,1个数分别为ca c c a ++22,2；方法5：设第43、个数分别为d c ,，则设第2,1个数分别为c d --36,37，则⎩⎨⎧===⇒⎩⎨⎧-=+-=-251620)36()37()36(22d c c d c c d c 或.449,463==d c 题型3：求等比数列前n 项和例3.等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.[解题思路]可以先求出10S ，再求出4S ，利用410S S -求解；也可以先求出5a 及10a ，由10765,,,,a a a a Λ成等比数列求解. 解：由2,121==a a ，得2=q ，∴102321)21(11010=--=S ，1521)21(144=--=S ，∴.1008410=-S S 例4.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S[解题思路]可以先求出n a ，再根据n a 的形式特点求解. 解：Θ212331)31(133331132-=--=+++++=-n n n n a Λ，∴n n S n nn 2131)31(32121)3333(2132---⨯=-++++=Λ 即.432143--=n S n n 例5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，nn n a 3)12(⋅-=，求n S .[解题思路]分析数列通项形式特点，结合等比数列前n 项和公式的推导，采用错位相减法求和.解：Θnn n a 3)12(⋅-=∴n n n S 3)12(35333132⋅-++⋅+⋅+⋅=Λ，----------------①14323)12(3)32(3533313+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ-------------② ①—②，得14323)12()3333(232+⋅--+++++=-n n n n S Λ63)22(3)12(31)31(923111-⋅-=⋅----⨯+=++-n n n n n ∴.33)1(1+⋅-=+n n n S- 4 -变式1：已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，Θ6,3876321=++=++a a a a a a ，∴23216545=++++=a a a a a a q ，∴131211a a a ++；考点二证明数列是等比数列例6.已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.[解题思路]⑴证明数列{}n a 不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列{}n b 是等比数列，常用：①定义法；②中项法.解：⑴ 证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有3122a a a ⋅=，即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{}n a 不是等比数列.⑵ 解：因为[]21)1(3)1()213()1(11++--=+--=++n a n a b n n n n n[])14232()1(183)1(111+--=+--=+++n a n a n n n n n n n b n a 32)213()1(321-=+--=+ 又)18(11+-=λb ，所以当)(0,18+∈=-=N n b n λ，此时{}n b 不是等比数列；当)8(,181+-=-≠λλb 时，由上可知)(32,01++∈-=∴≠N n b b b n n n ，此时{}n b 是等比数列【名师点拨】等比数列的判定方法：⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.变式1：已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；C ∴ 11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴11112a -=， ∴数列1{1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列.考点三等比数列的性质例7.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . [解题思路]结合题意考虑利用等比数列前n 项和的性质求解. 解：Θ{}n a 是等比数列，∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列，∴318236)60(5433=⇒=-n n S S . 【名师点拨】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.- 5 -变式1：已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a . 解：Θ{}n a 是等比数列，0>n a∴⇒=+⇒=++36)(36)2(2534624a a a a a a 653=+a a .考点四等比数列与其它知识的综合例8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21nn n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式。

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一、等比数列选择题1．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （） A ．180B ．160C ．210D ．2502．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（） A ．8B ．8±C ．8-D ．13．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（） A ．8 B ．8-C ．16D ．16-4．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝（） A ．4B ．5C ．8D ．155．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为nT，则下列选项错误的是（） A ．01q <<B ．61a >C ．121T >D ．131T >6．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（） A ．1625B ．49C ．12D ．17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞08．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项9．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（）. A ．710S =B ．723S =C ．7623S =D ．71273S =10．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（） A ．2B ．4C ．8D ．1611．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏12．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（）A ．15B ．10C ．5D ．313．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂. A ．55989B ．46656C ．216D ．3614．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（）A ．7-B ．3-C ．3D ．715．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（）A ．2B ．4C ．8D ．1616．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（） A ．152B ．142C ．132D ．12217．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 18．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列19．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a 14a =，则14m n+的最小值为（） A ．53B ．32C ．43D ．11620．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（） A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40024．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（）A ．101a <<B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（） A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <26．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列27．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（） A ．113()2n n a -=⋅-B ．36nn S a =+C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a3a =，则19p s +的最小值为83D ．若1n n t S m S ≤-≤恒成立，则m t -的最小值为11628．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（） A ．8 B ．12 C ．－8D ．－1229．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（）A ．1023B ．341C ．1024D ．34230．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍31．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+32．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路33．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 34．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 35．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a >，87101a a -<-.则下列结论正确的是（） A ．01q <<B ．791a a <C ．n T 的最大值为7TD ．n S 的最大值为7S【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 2．A 【分析】分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2750a a q =>，由等比中项的性质可得275964a a a ==，因此，78a =.故选：A. 3．C 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C.4．C 【分析】由等比中项，根据a 3a 11＝4a 7求得a 7，进而求得b 7，再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11＝4a 7， ∴27a ＝4a 7， ∵a 7≠0， ∴a 7＝4， ∴b 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8．故选：C 5．D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论．【详解】解：等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，67(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，131371T a =<，故D 错误，∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．故选：D ． 6．D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠，当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号，所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 7．A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>，综上，当20210S >时，130a a +>，故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 8．B 【分析】首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a q a -===，所以12q =，则其通项公式为：116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a aa ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 9．D 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和．【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ． 10．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ．【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．故选：C . 11．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-，解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 12．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】因为478a a ⋅=，则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A. 13．B 【分析】第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．【详解】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1666n n n a -=⨯=到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂．故选：B ． 14．A 【分析】先求出1a ，再当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减后化简得，121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，从而得数列{}1n a -为等比数列，进而求出n a ，可求得3a 的值【详解】解：当1n =时，1121S a =+，得11a =-，当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以112(1)n n a a --=-，所以数列{}1n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以1122n n a --=-⨯，所以1221n n a -=-⨯+，所以232217a =-⨯+=-，故选：A 15．D【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D. 16．A 【分析】根据29T T =得到761a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =，故61a =，即511a q =. 又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =，所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A. 17．D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4，因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 18．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项．【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23nn n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列，故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 19．B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出．【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 20．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可．【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-，解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ．二、多选题 21．无 22．无23．AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=；综上所述，AC 正确故选：AC 24．ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列，所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <，又22324a a a <+=，即2122a a =-<，所以10a >，即101a <<，故A 正确；因为{}n b 为递增数列，所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b < 又22234b b b <=，即2122b b =<，所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误；当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->，则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 25．ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=，所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+， 2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 26．AD 【分析】利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-，则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦，所以{}n A 是等差数列，故A 正确；对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ，当1q ≠-时，则11111n n n n n n n n n na q a A a a a qq a A a a --+--+=+++==，当1q =-时，则10nn n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 27．ABD 【分析】根据等差中项列式求出12q =-，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；3a =求出15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，可知19p s +的最小值为114，C 不正确；利用1nn y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由13a =，21344a a a -=+得243343q q -⨯=+⨯，解得12q =-，所以113()2n n a -=⋅-，13(1())1221()121()2n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--；1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝⎭；所以A ，B 正确；3a =，则23p s a a a ⋅=，1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==，所以114p s q qq --=，所以6p s +=，则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，122,2121()2122,2nn n nn S n ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3[,2)2n S ∈，又1n n y S S =-关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138(,]23n n S S -∈，当n 为偶数时，153[,)62n n S S -∈，所以83m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确，故选：ABD . 【点睛】本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 28．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案；【详解】5721624a q q a ==⇒=±，当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-，故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 29．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得；【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±，当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 30．BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错；此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 31．CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈，所以1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 32．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确；对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确；对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 33．ACD 【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的；又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a m a i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++ 11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22n n n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的，故选ACD.【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.34．ACD【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a +++==，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 35．ABC【分析】由11a >，781a a >，87101a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D.【详解】11a >，781a a >，87101a a -<-， 71a ∴>，801a <<，∴A.01q <<，故正确；B.27981a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确.故选：ABC ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

高考数学等比数列专题复习(专题训练)百度文库

一、等比数列选择题1．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12 2．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（）A ．6B ．16C ．32D ．643．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（） A ．1625B ．49C ．12D ．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列5．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（） A ．24-B ．3-C ．3D ．87．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则n a 的表达式为（）A ．12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．123n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭8．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（）A ．102B ．203C ．204D ．2059．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（） A ．76B ．32C ．2132D ．1411．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，416a =，则6S ＝（）A ．32B ．63C ．123D ．12612．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（） A ．1或1-B ．1C ．2或2-D ．213．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202014．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．715．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（） A ．19B ．17C ．13D ．716．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（） A ．2 B ．1或2 C ．-2或2 D ．-2或1或2 17．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（）A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定18．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（）A ．312或112B ．312C ．15D ．619．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（） A ．8B ．7C ．6D ．420．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n nb b +，则b 2020＝（）A ．22017B ．22018C ．22019D ．22020二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0C ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比24．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为125．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列26．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >27．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++28．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（）A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅或 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列C ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列D ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列，且公比相同 29．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 30．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--31．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 32．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<33．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；34．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m = C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为251235．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n nnb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+，即求.【详解】因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即1121n n a a +-=-，所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.则112n n a --=，即121n n a -=+.因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 2．C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 3．D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠，当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号，所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 4．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ．【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 5．A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>．144q ∴-，解得34q．综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：A ．【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 6．A 【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 7．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，111133(3)n S a na a n a -=-=-，该式可以为0，不是等比数列，当1q ≠时，11113311n n a aS a q a q q-=-⋅+---，若是等比数列,则11301a a q -=-，可得23q =，利用213a a =，可以求得1a 的值，进而可得n a 的表达式【详解】设等比数列{}n a 的公比为q当1q =时，1n S na =，所以111133(3)n S a na a n a -=-=-，当3n =时，上式为0，所以{}13n S a -不是等比数列. 当1q ≠时，()1111111n nn a q a aq S qq q-==-⋅+---，所以11113311n n a aS a q a q q-=-⋅+---，要使数列{}13n S a -为等比数列，则需11301a a q -=-，解得23q =.213a a =，2123a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故21111222333n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n 项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311n n a a S a q a q q -=-⋅+---是等比数列，则11301aa q-=-，即可求得q 的值，通项即可求出. 8．C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。

5-3第三节等比数列(2015年高考总复习)

第三节
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题型一
等比数列基本量的计算
【例 1】 (2013· 湖北卷)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和， S4，S2，S3 成等差数列，且 a2＋a3＋a4＝－18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数 n，使得 Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由．【思维启迪】 (1)由条件易得公比 q 与首项 a1 的关系式，从而求得 a1 与 q，再求得通项公式；(2)先求出 Sn，再由 Sn>2 013 得出关于 n 的不等式，再通过分类讨论得出 n 是否存在．
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第五章数列
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解析
a2＋a4＝20， a3＋a5＝40，
2 a1q1＋q ＝20，即 2 2 a q 1 ＋ q ＝40， 1
两式相除得 q＝2，代入 a1q(1＋q2)＝20 得 a1＝2， a11－qn 21－2n ∴Sn＝＝＝2n＋1－2. 1－q 1－2
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第三节
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1 1 又 cn＝an－1，故{cn}是以－为首项，为公比的等比数列． 2 2 (2)由(1)可知
1 1 － 1 n 1 n ， cn＝－2· ＝－ 2 2

2015高考数学数列专题热点复习指导

2015年高考数学数列专题热点复习指导(一)基础题复习导引：数列是定义在正整数集或正整数子集上的函数，函数的图象是平面直角坐标系上的点集。

项an是n的函数，同数Sn也是n的函数，af(n)是复合函数，如下面的第2、3题。

等差、等比中项始终是高考(Q吧)拟题的知识点，如下面的第1、5题。

在数列问题中，从一般到特殊的思想方法，是重要的思路，如第3、5题。

1.若an是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a20040成立的最大自然n是()A、4005B、4006C、4007D、4008解：∵a2003·a2004 ∴a2003与a2004中必有一个为负。

又a1>0只有 d a2003+a2004=2a1+4005d=a1+a1+4005d=a1+a4006>0 ∴S4006=-(a1+a4006)>0S4007=-(a1+a4007)=-·2a2004 ∴选B注：本题不同于当Sn最大时求n的值,在审题中注意区别。

2.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且-=-，则使得-为整数的正整数n的个数是()A.2B.3C.4D.5解：∵an,bn为等差数列∴可设An=(7n+45)gn,Bn=(n+3)gnan=An-An-1=14n+38,bn=Bn-Bn-1=2n+2,(n2)-=-=k,k为正整数n=-,n为正整数，719K=8、9、10、11、13∴选D注：若{an}为等差数列，那么Sn=pn2+qn，是常数项为0，关于n的二次函数。

3.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1,b1∈N*。

设cn=-(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于()A.55B.70C.85D.100解：某些数列问题经常用一般到特殊的思考方法。

c1=-=a1+(b1-1)·1c2=-=a1+(b2-1)·1c3=-=a1+(b3-1)·1c2-c1=b2-b1=1,c3-c2=b3-b2=1c1=a1+b1-1=4∴{cn}为c1=4，公差为1的等差数列∴S10=85选C注：-其中bn是项数，在数列中，项an是项数n的函数。

2015届高考数学(文)二轮专题课件：3.1等差数列与等比数列

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主干考梳理
3．(2014· 新课标Ⅱ卷)等差数列{an}的公差是 2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn＝( A ) A．n(n＋1) n（n＋1） C. 2 B．n(n－1) n（n－1） D. 2
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主干考点梳理解析：由已知得， a24＝a2·a8，又因为 {an}是公差
2
2
主干考点梳理
考点2
等比数列的概念及通项公式
an＋1 1．等比数列的定义． an 数列{an}满足________＝q(其中 an≠0，q 是与 n
值无关且不为零的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列． 2．等比数列的通项公式．若等比数列的首项为 a1 ，公比为 q ，则 an ＝
qn －1＝am·________( qn－m a1· ____ n，m∈N*)．
为 2 的等差数列，故(a2＋2d)2＝a2·(a2＋6d)，(a2＋4)2 ＝a2· (a2＋12)，解得 a2＝4，所以 an＝a2＋(n－2)d＝2n， n（a1＋an）故 Sn＝＝n(n＋1)． 2
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主干考点梳理 4．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2 是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( B ) A．90 B．100 C．145 D．190
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∴bn＝2cn＝2n. ∴T＝log2b1＋log2b2＋log2b3＋„＋log2bn ＝log22＋log222＋log223＋„＋log22n n（ n＋1）＝1＋2＋3＋„＋n＝ . 2
高考热点突破规律方法 (1) 涉及等差数列的有关问题往往用待定系数法 “知三求二”进行解决．

2015年高考数学总复习精品课件：第9章第3讲等比数列

)
A.4
B.5
C.6
D.7
解析：a3a11＝16⇔a27＝16⇔a7＝4⇒a16＝a7×q9＝32⇔log2a16
பைடு நூலகம்
＝5.
答案：B
第九页，编辑于星期五：十一点二十七分。
(2)(2013年新课标Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2 ＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
1 A.3
B.－13
1 C.9
D.－19
解析：设数列{an}的公比为 q，若 q＝1，则由 a5＝9，得 a1 ＝9，此时 S3＝27，而 a2＋10a1＝99，不满足题意，因此 q≠1.
当 q≠1 时，S3＝a111－－qq3＝a1·q＋10a1，
∴11－－qq3＝q＋10，整理，得 q2＝9.
∵a5＝a1·q4＝9，即 81a1＝9，∴a1＝19.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm. 求数列{bm}的前m项和Sm.
第十三页，编辑于星期五：十一点二十七分。
解：(1)由已知，得a51a＋1＋9d1＝0d2＝a110＋5，4d. 解得da＝1＝77. ， ∴数列{an}的通项公式为 an＝7＋(n－1)·7＝7n. (2)由 an＝7n≤72m，得 n≤72m－1，即 bm＝72m－1. ∵bbmm＋1＝7722mm＋－11＝49，∴{bm}是公比为 49 的等比数列， ∴Sm＝711－－4499m＝478(49m－1).
第二十页，编辑于星期五：十一点二十七分。
易错、易混、易漏
⊙在等比数列的计算中没有充分考虑项的符号规律
例题：在等比数列{an}中，a2，a10是方程x2＋8x＋4＝0的两根，则a6为( )

2015年-2019年高考数学分类考点22 等比数列及其前n项和

考点22 等比数列及其前n 项和一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T4)等比数列{an}满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7 = ( ) A.21B.42C.63D.84【解析】选B.设等比数列的公比为q,则a 1+a 1q 2+a 1q 4=21, 又因为a 1=3,所以q 4+q 2-6=0, 解得q 2=2,a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=42.2.(2015·福建高考理科·T8)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 ( )A.6B.7C.8D.9【解题指南】利用等差、等比中项及根与系数的关系求解.【解析】选D.由题可得⎩⎨⎧>=>=+00q ab p b a 所以a>0,b>0,不妨设a>b,所以等比数列为a,-2,b 或b,-2,a 从而得到ab=4=q,等差数列为a,b,-2或-2,b,a 从而得到2b=a-2,两式联立解出a=4,b=1,所以p=a+b=5,所以p+q=4+5=9. 二、填空题3.（2015·安徽高考理科·T14）已知数列{}n a 是递增的等比数列，24239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于【解题指南】先求出首项和公比，再由等比数列求和公式求解。

【解析】311123192,2.8a a q a q a q ⎧+=⎪⇒==⎨=⎪⎩，所以12==2112n n n S ---。

答案：21n-4. (2015·广东高考文科·T13)若三个正数a,b,c 成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b= .【解题指南】利用等比中项公式直接代入数据求解,同时注意a,b,c 都是正数.【解析】因为三个正数a,b,c 成等比数列, 所以,因为b>0,所以b=1. 答案:15.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T13)数列{a n }中,a 1=2, a n+1=2a n,S n 为{a n }的前n 项和,若S n =126,则n= .【解题指南】由a n+1=2a n 确定数列{an}为首项a 1=2,公比q=2的等比数列,然后利用等比数列的前n 项和公式求解.【解析】因为a n+1=2a n ，所以数列{a n }是首项a 1=2，公比q=2的等比数列，由S n =126 ，可得n=6. 答案:66.(2015·福建高考文科·T16)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 .【解题指南】利用等差、等比中项及根与系数的关系求解.【解析】由题可得所以a>0,b>0,不妨设a>b,所以等比数列为a,-2,b 或b,-2,a,从而得到ab=4=q,等差数列为a,b,-2或-2,b,a,从而得到2b=a-2,两式联立解出a=4,b=1,所以p=a+b=5,所以p+q=4+5=9. 答案:9 三、解答题7.(2015·浙江高考文科·T17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (nN *),b 1+b 2+b 3+…+b n =b n+1-1(n ∈N *). (1)求a n 与b n .(2)记数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ,求T n .【解题指南】(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.【解析】(1) （1）由12a =，12n n a a +=，得2n n a = 当1n =时，121b b =-，所以22b =当2n ≥时，11n n n b b b n+=-，整理得11n n b n b n ++=，所以n b n =.（2）由（1）知，2n n n a b n =，所以23222322n n T n =+++⋅⋅⋅+2341222232(1)22n n n T n n +=+++⋅⋅⋅+-+所以234112222222(1)22n n n n n n T T T n n ++-=-=++++⋅⋅⋅+-=-- 所以1(1)22n n T n +=-+8. （2015·安徽高考文科·T18）已知数列{}n a是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设nS 为数列{}n a的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

2015年高考等比数列归纳与讲解

《等比数列的前n项和》知识精点1．数列的定义顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列．数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的．数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列．这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质．3．等差数列的通项公式等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．①这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具．从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系．4．等差中项A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是：2ba A +=，或2 A=a＋b．显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或2ba A +=）是判断三数a，A，b成等差数列的一个依据，并且，2 A=a＋b（或2ba A +=）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或2ba A +=）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a 不是同一个数列．5．等差数列前n 项的和等差数列前n 项和的公式是：()21n n a a n S +=， ① 或 ()d n n na S n 211-+=②公式①和②均可看作方程．事实上，公式①和②中均含有四个量，若知其中任意三个量的值，便可通过解方程的办法求一个量的值．若将前n 项和的公式与通项公式结合起来看，共有五个量，通常知道其中的任意三个量的值，通过解方程组就可求出其余的两个量的值．公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的，这可由教材中码放钢管的示意图得到印证．公式②中的n S 也可看作关于变量n 的二次式（d ≠0时），其图像是在二次函数：x d a x d y ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2212的图像上当x 取1，2，3，…时所对应的那群孤立点．这为我们利用函数的观点求解等差数列前n 项和n S 的最大值或最小值问题提供了直观的背景．6．等比数列的定义顾名思义，等比数列就是“比值相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列，叫做等比数列．和等差数列类似，这个定义也有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的比等于同一个常数”．它们刻画了等比数列的本质．7．等比数列的通项公式等比数列的通项公式是：a n = a 1qn －1． ①这里，一方面，可将a n 看作是n 的函数，另一方面公式本身也可视为一个方程．从发展的角度看，将公式①进行适当推广，便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质．8．等比中项G 称作a 与b 的等比中项是指三数a ，G ，b ，成等比数列．其数学表示是ab G ±=，或 G 2=ab ．显然，只有同两数才有等比中项；若两数有等比中项，若两数有等比中项，则必有两个，它们是一对互为相反数；一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．9．等比数列前n 项的和等比数列前n 项和的公式是：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--==.111,111q q q a q na S nn公式()qq a S nn --=111可视为一个方程，它含有四个量．若已知其中任意三个量的值，便可通过解方程求出另一个量的值．公式()qq a S nn --=111即()111--=n n q q a S ．从函数的观点看，S n 是关于q n的一次式，因此点（q n，S n ）在直线()111--=x q a y 上．等比数列的概念[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。

2015届高考数学二轮题型归纳训练数列要点讲解

数列一、高考要求理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.二、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。

（3）加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。

等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有，即.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列.②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。

山东省2015高考数学(理)总复习课时限时检测31等比数列 Word版含解析

课时限时检测(三十一)等比数列(时间：60分钟满分：80分)命题报告1．已知等比数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于()A．50B．70C．80D．90【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴S3·(S9－S6)＝(S6－S3)2，又S3＝40，S6＝40＋20＝60，∴40(S9－60)＝202，故S9＝70.【答案】 B2．(2014·济南一中等四校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．5 2 B．7C．6 D．4 2【解析】设数列{a n}的公比是q，则有a7a8a9a4a5a6＝a4a5a6a1a2a3＝q9，所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)×(a7a8a9)＝5×10＝50，则a4a5a6＝5 2. 【答案】 A3．(2013·课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n，则()A．S n＝2a n－1 B．S n＝3a n－2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n【解析】法一在等比数列{a n }中，S n ＝a 1－a n q1－q＝1－a n ·231－23＝3－2a n . 法二在等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝23， ∴a n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－23⎝⎛⎭⎪⎫23n －1＝3－2a n . 【答案】 D4．(2014·福州模拟)已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若n ∈N *时，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例．如数列为1,0,0,0，…，应选A.【答案】 A5．(2014·潍坊模拟)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且54为a 4与2a 7的等差中项，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29【解析】设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2.a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31.【答案】 C6．(2014·青岛期中)在正项等比数列{a n }中，lg a 3＋lg a 6＋lg a 9＝6，则a 1a 11的值是( )A ．10 000B ．1 000C ．100D ．10【解析】若{a n }为等比数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ，所以lg a 3＋lg a 6＋lg a 9＝lg(a 3·a 6·a 9)＝lg a 36＝3lg a 6＝6，所以a 6＝102，而a 1a 11＝a 26＝104＝10 000.故选A.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________. 【解析】 ∵数列{a n }为等比数列， ∴a 2·a 4＝a 23＝12，a 1·a 5＝a 23. ∴a 1a 23a 5＝a 43＝14. 【答案】 148．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.【解析】 ∵a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ， ∴q 2＋q －6＝0，又q ＞0，∴q ＝2，由a 2＝a 1q ＝1得a 1＝12， ∴S 4＝12(1－24)1－2＝152.【答案】 1529．(2012·浙江高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.【解析】法一 S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得，3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．法二设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.①由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)． ∵q >0，∴q ＝32. 【答案】 32三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·重庆高考)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.【解】 (1)由题意知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n1－3＝12(3n －1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.11．(12分)(2014·贵阳模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n＝－2n (n ＋1)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝－2nn ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.12．(13分)(2014·南京模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)．(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．【解】 (1)证明由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2. 由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2) 将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎨⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1.上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32. 另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q (1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．。

专题31 等比数列-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)

专题三十一等比数列【考情解读】1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系．【重点知识梳理】 1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n－m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .3．等比数列及前n 项和的性质(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m ． (4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ．【高频考点突破】考点一等比数列中基本量的求解【例1】 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172(2)在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝16，则a n ＝________．(3)在等比数列{a n }中，a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________．【解析】(1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1（1－q 3）1－q＝7，【答案】(1)B (2)2n －3 (3)6规律方法等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．【变式探究】在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．考点二等比数列的性质及应用【例2】 (1)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．【解析】(1)法一由等比中项的性质得a3a11＝a27＝16，又数列{a n}各项为正，所以a7＝4.所以a10＝a7×q3＝32.所以log2a10＝5.规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【变式探究】(1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为()A．－3 B．±3 C．－3 3 D．±3 3(2)已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()A．5 2 B．7 C．6 D．4 2考点三等比数列的判定与证明【例3】已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}中，b1＝a1，b n＝a n－a n－1(n≥2)，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{b n}的通项公式．(1)证明∵a n＋S n＝n，①∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1， ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∵首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列．规律方法证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【变式探究】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．(2)证明数列{b n }的前n 项和S n ＝54（1－2n ）1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列．【真题感悟】【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <> 【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+， ∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n-1．（2014·重庆卷）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9，成等比数列【答案】D【解析】因为在等比数列中a n，a2n，a3n，…也成等比数列，所以a3，a6，a9成等比数列．2．（2014·安徽卷）数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.【答案】1【解析】因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q＝1.3．（2014·广东卷）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．【答案】504．（2014·全国卷）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和等于()A．6 B．5C．4 D．3【答案】C5．（2014·湖北卷）已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.6．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.7．（2014·山东卷）已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋18.（2014·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b. 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B. ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.9．（2014·天津卷）设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．【答案】－12 【解析】∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.10．（2014·天津卷）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x|x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n}．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.11．（2013·新课标全国卷Ⅰ）若数列{a n}的前n项和S n＝23a n＋13，则{a n}的通项公式是a n＝________．【答案】(－2)n－1【解析】因为S n＝23a n＋13①，所以S n－1＝23a n－1＋13②，①－②得a n＝23a n－23a n－1，即a n＝－2a n－1，又因为S1＝a1＝23a1＋13 a1＝1，所以数列{a n}是以1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n＝(－2)n－1.12．（2013·北京卷）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n＋1，a n＋2，…的最小值记为B n，d n＝A n－B n.(1)若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，a n＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1，2，3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，a n≥B1＝1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足a m>2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k<m，a k≤2.又因为a1＝2，所以A m－1＝2，且A m＝a m>2，于是，B m＝A m－d m>2－1＝1，B m－1＝min{a m，B m}>1.故d m－1＝A m－1－B m－1<2－1＝1，与d m－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有a n≤2，即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，所以A n＝2.故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}有无穷多项为113．（2013·北京卷）若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和S n ＝________．【答案】22n＋1－2【解析】∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q，q＝2，又∵a2＋a4＝a1q＋a1q3＝20，∴a1＝2，∴a n＝2n，∴S n＝2n＋1－2.14．（2013·江西卷）等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A ．－24B ．0C ．12D ．24 【答案】A15．（2013·江苏卷）在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．【答案】1216．（2013·湖南卷）设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．【解析】(1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 [解析] (1)因S n ＝(－1)n a n －12n ，则S 3＝－a 3－18，S 4＝a 4－116，解得a 3＝－116.(2)当n 为偶数时，S n ＝a n －12n ，当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ，可得当n 为奇数时a n ＝－12n ＋1，又S 1＋S 2＋…＋S 100＝⎝⎛⎭⎫－a 1－12＋⎝⎛⎭⎫a 2－122＋…＋⎝⎛⎭⎫－a 99－1299＋⎝⎛⎭⎫a 100－12100 ＝－a 1＋a 2＋…－a 99＋a 100－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋1299＋12100 ＝S 100－2(a 1＋a 3＋…＋a 99)－⎝⎛⎭⎫1－12100 ＝S 101－a 101－2⎝⎛⎭⎫－122－124－…－12100－⎝⎛⎭⎫1－12100＝－12102－⎝⎛⎭⎫－12102＋2×122⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫122501－122－⎝⎛⎭⎫1－12100 ＝－13⎝⎛⎭⎫1－12100＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 17．（2013·辽宁卷）已知等比数列{}a n 是递增数列，S n 是{}a n 的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．【答案】63 【解析】由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝1×（1－26）1－2＝63.18．（2013·全国卷）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|＜2 2，代入①并化简得 (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199.由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1， |BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．19．（2013·全国卷）已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【答案】C【解析】由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ≠0(否则a 2＝0)且a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是公比为－13的等比数列，代入a 2可得a 1＝4，故S 10＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101＋13＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫1310＝3(1－3－10)．20．（2013·陕西卷）设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．【解析】(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1；当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q≠1.21．（2013·四川卷）在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．22．（2013·新课标全国卷Ⅱ）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19【答案】C 【解析】S 3＝a 2＋10a 1 a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1 a 3＝9a 1 q 2＝9，a 5＝9 a 3q 2＝9 a 3＝1 a 1＝a 3q 2＝19，故选C. 23．（2013·重庆卷）已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________．【答案】64【解析】设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以S 8＝8×1＋8（8－1）2×2＝64.【押题专练】1．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1·a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2【解析】因为a 2a 9＝a 1a 10＝27，所以log 3a 2＋log 3a 9＝log 3a 2a 9＝log 327＝3. 【答案】C2．记等比数列{a n }的前n 项积为Ⅱn ，若a 4·a 5＝2，则Ⅱ8＝( )A ．256B ．81C ．16D ．1【解析】依题意得Ⅱ8＝(a 1a 8)(a 2a 7)(a 3a 6)(a 4a 5)＝(a 4a 5)4＝24＝16. 【答案】C3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝ ( )A.56B.65C.23D.32【解析】设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2，所以a 5a 7＝a 4a 6＝32.【答案】D4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39，设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为( )A ．log 371B.692C ．50D ．555．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是 ( )A ．－15B ．－5C ．5D.15【解析】由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n ＞0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.【答案】B6．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于 ( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n －1D.14(3n －1)【答案】B7．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n－1)＋m(m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m【答案】C8．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．【解析】∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2，若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【答案】129．设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，若a 1·a 2n －1＝4n ，则数列{a n }的通项公式是______．10．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________．11．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1.所以数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.12．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．13．等比数列{c n }满足c n ＋1＋c n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝log 2c n .(1)求a n ，S n ；(2)数列{b n }满足b n ＝14S n －1，T n为数列{b n }的前n 项和，是否存在正整数m ，k (1＜m ＜k )，使得T 1，T m ，T k 成等比数列？若存在，求出所有m ，k 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)设数列{c n }的公比为q ，由题意知， c 1＋c 2＝10，c 2＋c 3＝c 1q ＋c 2q ＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧c 1＋c 1q ＝10，c 1q ＋c 1q 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧c 1＝2，q ＝4，所以c n ＝2·4n －1＝22n －1，所以a n ＝log 222n －1＝2n －1，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2.：。

【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件专题3 第1讲等差、等比数列的通项、性质与前n项和

走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
[解析]
( 1 ) 证明：因为
Sn＝4an－p(n∈N*)，
则 Sn－1＝4an－1－p(n∈N*，n≥2 )，所以当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 4 整理得 an＝3an－1. p 由 Sn＝4an－p，令 n＝1，得 a1＝4a1－p，解得 a1＝3. 4 p 所以 {an}是首项为 3，公比为 3的等比数列．
数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前 n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).
专题三第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．
2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．
3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形． 4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.
专题三第一讲
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命题热点突破
专题三第一讲
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[ 答案]
D
专题三第一讲
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[解析]
依题意得a6＝S6－S5<0,2a3－3a4＝2(a1＋2d)－3(a1
＋ 3d) ＝－ (a1 ＋ 5d) ＝－ a6>0,2a3>3a4 ； 5a5 － (a1 ＋ 6a6) ＝ 5(a1 ＋ 4d)－a1－6(a1＋5d)＝－2(a1＋5d)＝－2a6>0,5a5>a1＋6a6；a5＋

等比数列复习ppt课件

A．63
B．64
C．127
D．128
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
解析：由 a1＝1，a5＝16，得 q4＝aa51＝16，q＝2，S7＝ a111－－qq7＝127.
解析：对等比数列{an}有 S2、S4－S2、S6－S4 成等比数列，
∵S2＝6，S4－S2＝30－6＝24， ∴S6－S4＝2642＝96，S6＝S4＋96＝126.
答案：126
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
答案：34
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
要点点拨
1．常数列与等差数列、等比数列的关系常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，只有当常数列各项不为零时，才是等比数列．
5．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S6∶S3＝1∶2，则 S9∶S3＝________.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
解析：法一：∵S6∶S3＝1∶2， ∴{an}的公比 q≠1. 由a111－－qq6÷a111－－qq3＝12，得 q3＝－12， ∴SS93＝11－－qq39＝34.
第三节等比数列
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用

2015届高考数学(新课标)二轮复习课件专题六第18讲等差数列和等比数列

S4＝4a1＋4×2 3×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得 a1＝1，所以 an＝2n－1.
第七页，编辑于星期五：十点二十四分。
(2)由题意可知，bn＝(－1)n－1an4ann＋1 ＝(－1)n－1（2n－1）4n（2n＋1）＝(－1)n－12n1－1＋2n1＋1. 当 n 为偶数时， Tn ＝ 1＋13 － 13＋15 ＋ … ＋ 2n1－3＋2n1－1 － 2n1－1＋2n1＋1＝1－2n1＋1＝2n2＋n 1. 当 n 为奇数时， Tn ＝ 1＋13 － 13＋15 ＋ … － 2n1－3＋2n1－1 ＋ 2n1－1＋2n1＋1＝1＋2n1＋1＝22nn＋＋21.
q＝2，所以a1n是首项为 1，公比为12的等比数列，前 5 项和 T5＝1－1－12125＝3116.
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【点评】熟记等差数列和等比数列的主干知识，依题设情境，恰当地运用方程思想将题设条件转化为首项 a1 和公差 d，公比 q 的方程而实现问题解答．
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(3)各项均为正数的等比数列an满足 a1a7＝4，a6 ＝8，若函数 f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10 的导数为 f′(x)，则 f′12＝__________．
【解析】545 各项为正的等比数列an满足：a1a7＝4，a6＝8，推算出 a1＝14，q＝2，所以 an＝2n－3，又 f′(x)＝a1＋2a2x ＋…＋10a10x9，将 x＝12代入得 nanxn－1＝14n，所以 f′12 ＝14(1＋2＋…＋10)．
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题型五数列 ——高考数学高频题型专项讲解

题型五数列——高考数学高频题型专项讲解一、思路分析数列的概念和递推公式是高考的热点，主要考查已知递推关系求通项公式、由n a 与n S 的关系求通项公式、利用数列的性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度中等.等差数列是高考的重点考查知识，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式等，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题，要善于运用函数与方程思想和整体代入思想解决有关等差数列问题，同时要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练.等比数列是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意证明题或以数学文化为背景的数列题，考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等，要会运用函数与方程思想、转化与化归思想和分类讨论思想解题，也要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练.数列求和及数列综合应用是高考的热点题型，其中等差、等比数列的通项与求和，数列与函数、不等式的综合，以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，难度中等，要注重常规考法，也要注重数列与其他知识的综合创新，同时也要注重对结构不良类试题的训练. 二、考纲要求1.数列的概念和递推公式（1）了解数列的概念及表示方法，理解数列的通项公式的意义. （2）理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项. （3）理解n a 与n S 的关系.2.等差数列（1）理解等差数列的概念和通项公式的意义.（2）掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.（3）了解等差数列与一次函数的关系.3.等比数列（1）理解等比数列的概念和通项公式的意义（2）掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.（3）了解等比数列与指数函数的关系.4.数列求和及数列综合应用（1）掌握几种常用的数列求和方法.（2）掌握数列的综合应用.三、方法技巧1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略：（1）常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法.（2）具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑤对于符号交替出现的情况，可用(1)k-，*(1)k+-或1k∈N处理.2.等差数列前n项和的最值求解的常用方法（1）通项公式法：其基本思想是通过通项公式求出符号变化的项，从而求得和的最值；（2）前n 项和法：其基本思想是利用前n 项和公式的二次函数特性，借助抛物线的图象求最值.3.利用等差数列前n 项和解决实际问题的步骤：（1）判断问题中涉及的数列是否为等差数列；（2）若是等差数列，找出首项、公差、项数；（3）确认问题是求n a 还是n S ；（4）选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解.4.解决等差数列前n 项和的基本运算题的思路方法及注意事项：（1）注意公式1()2n n n a a S +=与1(1)2n n n S na d -=+的选择使用；（2）等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1a ，n a ，d ，n ，n S ，已知其中三个就能求另外两个，注意方程思想的应用；（3）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法，同时注意灵活应用等差数列的性质以简化计算过程.5.应用等比数列通项公式解实际应用问题的步骤（1）构建等比数列模型；（2）明确1a ，q ，n ，n a 等基本量；（3）利用11n n a a q -=求解；（4）还原为实际问题.6.判定数列是等比数列的常用方法：（1）定义法：验证1nn a q a -=（q 为常数且不为0）是否成立，但应注意必须从第二项（即2n）起所有项都满足此等式；（2）等比中项法：验证211n n n a a a -+=（n *∈N ，2n且0n a ≠）是否成立；（3）通项公式法：验证11n n a a q -=是否成立，但应注意隐含条件是10a ≠，0q ≠.7.解决等比数列前n 项和的实际应用问题的基本步骤（1）将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；（2）构建等比数列模型；（3）利用等比数列的前n 项和公式求解等比数列问题；（4）将所求结果还原到实际问题中.8.等比数列基本运算中的常用技巧：（1）（对称设元）一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设该数列为x x xq q，，，，；若连续偶数个项成等比数列，则可设该数列为33x x xq xq q q，，，，，（注意：此时公比20q >，并不适合所有情况）.这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便.（2）求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求等，同时还要注意合理运用3232121121n nn n a a a a a a q a a a a a a --+++=====+++.9.用错位相减法解决数列求和问题的步骤：（1）判断结构：若数列{}n n a b ⋅是由等差数列{}n a 与等比数列{}n b （公比q ）的对应项之积构成的，则可用此法求和；（2）乘公比：设{}n n a b ⋅的前n 项和为n T ，然后两边同乘以q ；（3）错位相减：乘以公比q 后，向后错开一位，使含有*()k q k ∈N 的项对应，然后两边同时作差；（4）求和：将作差后的结果求和，从而表示出n T .10.利用裂项相消法求和的基本步骤（1）裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；（2）累加：将数列裂项后的各项相加（3）消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n 项和.11.解决数列与不等式综合问题的一般步骤（1）由已知条件和数列性质求基本量，确定数列的特性（等差或等比数列）；（2）求出n a 或n S 的通项公式；（3）分析n a ，n S 涉及的函数或不等式，利用相关函数或不等式性质解决题目中的问题；（4）得出结果，叙述完整；（5）回顾反思，查验“n ”的取值是否符合要求，运算过程是否有不当之处.12.数列与不等式的综合问题的解题策略（1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解.（2）对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，有时需构造函数，利用函数的单调性，最值来证明.13.数列与函数的综合问题的解题策略（1）已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象等进行研究. （2）已知数列条件，解决函数问题，一般要充分利用数列的有关公式对式子化简变形.（3）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解.14.数列在实际应用中的常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差.（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n 项n a 与第(1)n +项1n a +（或者相邻三项等）之间的递推关系还是前n 项和n S 与前(1)n +项和1n S +之间的递推关系.15.解答数列实际应用题的步骤（1）审题：仔细阅读题目，认真理解题意.（2）建模：将已知条件翻译成数列语言，将实际问题转化成数学问题，分清数列是等差数列、等比数列，还是递推数列，是求通项还是求前n 项和. （3）求解：求出该问题的数学解.（4）还原：将所求结果还原到实际问题中.。