二次函数的图像性质(第一课时)

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二次函数的图象与性质第一课时

丹东市第二十四中学 2.2二次函数的图象与性质第一课时主备：曹玉辉副备：李春贺孙芬审核：时间：2014年1月25日一、学习准备：1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。

2.一次函数图象的形状是；反比例函数图象的形状是 . 二、学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用．（重点）三、自学提示：（一）自主学习画二次函数y ＝x 2的图象．在图（3）中描点，并连线1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？2.归纳：① 由图象可知二次函数2x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线； ②抛物线2x y =是轴对称图形，对称轴是； ③2x y =的图象开口_______；④ 与的交点叫做抛物线的顶点。

抛物线2x y =的顶点坐标是；它是抛物线的最点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最值等于0.⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈趋势；即x <0时，y 随x 的增大而，x >0时，y 随x 的增大而。

练习：1、画出函数221x y =，2x y =，22x y =的图象． 2、画出函数221x y -=，2x y -=，22x y -=的图象．（二）合作探究：抛物线2ax y =的性质0的增大而；在对称轴的右侧，即x 0时y 随x 的增大而。

3．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________；因此，a 越大，抛物线的开口越________。

四、学习小结：五、夯实基础：1．函数273x y =的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．2. 函数26x y -=的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．六、能力提升：1. 二次函数()23x m y -=的图象开口向下，则m___________．2. 二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．布置作业：。

《二次函数的图像》第一课时教学课件

1 顶点坐标
顶点的x坐标为-Vx，y坐标为Vy。
2 轴对称线方程
轴对称线的方程为x = Vx。
二次函数图像的几个特殊情况
当二次函数的a、b和c的值满足特定条件时，图像可能具有一些特殊的形状和性质。这些特殊情况需要我们额外关注和分析。
一元二次方程与二次函数的联系
一元二次方程的一元二次项系数可以决定二次函数的图像开口方向以及顶点的坐标。通过对一元二次方程进行因式分解，可以找到对应的二次函数的顶点。
二次函数图像的坐标变化规律
1
沿x轴方向平移
2
当在二次函数中加上或减去常数时，
图像会沿x轴左右平移。
3
缩放
4
当对二次函数进行拉伸或压缩时，图像会沿x轴或y轴方向进行缩放。
二次函数图像的基本性质
开口方向
当a大于0时，图像开口向上；当a小于0时，图像开口向下。
顶点
顶点是图像的最高点或最低点，记为(Vx, Vy)。当a大于0时，Vy是最小值；当a小于 0时，Vy是最大值。
轴对称线
轴对称线是通过顶点并垂直于x轴的直线。它将图像分成对称的两部分。
零点
零点是二次函数图像与x轴相交的点，即使y等于0的点。
《二次函数的图像》第一课时教学课件
欢迎来到《二次函数的图像》第一课时教学课件！本课程将介绍二次函数的定义、图像的基本性质、与一元二次方程的联系，以及图像的坐标变化规律。还将讨论平移、翻折和缩放，特殊情况的图像以及顶点坐标和轴对称线。
二次函数的定义
二次函数是一个以二次方程表示的函数，形如：y = ax^2 + bx + c。其中，a、b 和c是常数，a不等于0。
沿y轴方向平移

26.1.2二次函数图像与性质(第1课时)(共20张)

。y若=2点x2C-3(-2,m),D
（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为
点D的
坐标为(-2,5)
. ( 5,7) 或 ( 5,7)
第19页，共20页。
y=ax2+c (a≠0) 开口方向顶点坐标对称轴增减性极值
a>0
向上
(0 ,c)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。当x>0时， y随着x的增大而增大。
y=-x2 y=-x2-2
位长度,有什么规律吗?
函数(hánshù)y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形状相同，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向平移上个单位c 得到，当c〈0时，
函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
例1 在同一直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，画出y函数1 x2 , y 2x2 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 2
的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
(0,0)
a＜0 最高点 y轴向下
|a|越大,抛物线的开口越小;
第11页，共20页。
xyxy
增增增减大大大小
1、函数y=2x2的图象的开口
顶点是y轴 ;
(0,0)
,对向上称轴 ,
2、函数y=－3x2的图象的开口向,对下称轴

课件二次函数的图象与性质复习第一课时

函数有最小值
函数变化情况：x＜ y随x的增大而增大。
1 时 4
活动四
活动4 求函数y=2x2+x-2与x轴的交点坐标。解：令y＝0，即2x2+x-2＝0，
1 17 解得 x1 ， 4
1 17 x2 4
1 17 、 4 ,0
∴函数y=2x2+x-2与x轴的交点坐标
大显身手
二、选择题 3．二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中（D） A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1) 4．函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，则二次函数y=ax2+bx的大致图象是（B）
大显身手
5．小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y1)，(0.5，y2)， ( 3.5，y3)，则你认为y1， y2，y3的大小关系应为（）D A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 6．物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：s=gt2.其中s表示自某一高度下落的距离，t表示下落的时间，g是重力加速度.若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s和时间t函数图象大致为（ B ）
1 17 ,0 。 4
活动五
活动5 根据图象，请说出当x分别取什么值时，y＞0和y＜0。解： 1 17 1 17 当x＜或x＞时， y＞0；
4
4
1 17 1 17 当＜x＜ 4 4

《二次函数的图像和性质》PPT(第1课时)

第三十章二次函数
二次函数的图像和性质
第1课时
导入新课
讲授新课
当堂练习
-.
课堂小结
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图像，概括出图像的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图像的性质，并会应用. （难点）
导入新课
情境引入
讲授新课
一二次函数y=ax2的图像
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
y x2
y ax2
(-1,-1) (-2,-4)
(1,-1) (2,-4)
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大.
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2 的图像．
关系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为相反数，
开口相反，大小相同，
它们关于x轴对称.
O
x y=-ax2
二二次函数y=ax2的性质问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(1,1)
y x2
y ax2
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.
< (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图像上，则y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图像经过点(0，0)，长方形ABCD的顶
点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图像上，B点的横坐标

二次函数的图像和性质第一课时课件

为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
学习目标：
1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性质
2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
x
… -2
3 2
-1
1 2
0
1 2
1
3 2
2…
y=x用2 光滑…曲线4连结94时要 1
1 4
0
1 4
1
9 4
4…
y= 12x2自左…向右顺2 次连98 结
1 2
1 8
0
1 8
1 2
9 8
2…
y 4
y=x2
y 4
3
3
y= 12x2
2
2
1
1
-2
-1
0
1
2x
-2
-1
0
1
2x
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
-2
-1
0
1
2x
-1
-2
y=－12 x2
-3
-4
y=－x2
y 4
3
y= 12x2
2
1
-2
-1
0
1
-1
y=－12 x2
-2
-3

《二次函数的图像和性质》第一课时教案 (1)

5.4二次函数的图像和性质(1)教材分析：本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用．教学设计：本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质.学习目标：知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性质．2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点．过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数形结合思想的应用.情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性．学习重难点：重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点.课前准备教具准备教师准备PPT 课件教学过程：知识回顾：一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线问:1．如何画出函数图象呢?2．如何得到相应的性质呢?【设计意图】：通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到类比作用.合作探究一: 二次函数y=ax 2(a>0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图： k y x请A组同学同桌合作画函数y=x2的图象；请B组同学同桌合作画函数y= 1/2x2的图象归纳: 二次函数y=ax2 (a>0)的性质合作探究二: 二次函数y=ax2 (a<0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图：请A组的同学同桌合作在和抛物线y=x2同一坐标系中画函数y=-x2的图象，并观察；请B组同学同桌合作在和抛物线y=-1/2 x2同一坐标系中画函数y=-1/2 x2的图象，并观察.归纳: 二次函数y=ax2 (a<0)的性质【设计意图】：在探索性质时，利用课件展示给学生图形，在验证学生图形画的准确的前提下，给出学生一定的提示，从那几个方面进行探索，并先让学生自己探索，然后再与同学交流，这样即锻炼了学生的自学与归纳能力，又培养了学生的合作意识.当堂检测：1．对于函数y＝2x2，下列结论正确的是( )A．当x取任何实数时，y的值总是正的 B．x的值增大，y的值也随着增大C．x的值增大，y的值随着减小 D．图像关于y轴对称2．分别说出抛物线y=4x2与y=-5x2的开口方向，对称轴与顶点坐标.3．如何根据函数的图象，(1)根据图象，求当y=2时，对应的x的值(精确到0.1)；(2)利用图象，求的√3值(精确到0.1).4．已知二次函数y=ax2的图象如图，x1<x2，则对应的y值y1,y2大小关系为y1____y25．观察上面画的图象回答：（1）在对称轴右边，y随x的增大而______（2）在对称轴左边y随x的增大而______课堂小结:本节课学习了二次函数y=ax2的图象和性质作业:课本 P.33第1,2题板书设计:5.4二次函数的图像和性质(1) 知识回顾：合作探究一:二次函数y=ax2(a>0)的图象归纳:二次函数y=ax2(a>0)的性质合作探究二:二次函数y=ax2(a<0)的图象归纳:二次函数y=ax2(a<0)的性质。

二次函数的图像与性质(第一课时)优质课件

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学科组长组织组员针对疑难问题及小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能够y=x2比较出与的图像的异同，初步建立二次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min）【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容展示小组
14组小2源自2组组合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)

二次函数的图像和性质第一课时ppt课件

本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
y x2
当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）
的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
这条抛物线是轴对称
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
图象
开口方向
y Ox 向上
y
O
x
向下
顶点坐标对称轴
(0 ,0) y轴
(0 ,0) y轴
增减
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时，
当x<0时, y随着x的增大而增大。
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
函数y=－
1 2
x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2
的图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线
的最高点，对称轴是 y 轴
-3 -2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。

二次函数的图象与性质(第一课时) 课件(共34张PPT)北师大版初中数学九年级下册

（g为定值）
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？

《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(1)》名师课件

43;1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点， 1＜2＜3， ∴y1＜y2. 【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质活动师生共研，探究性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质： (1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸. a＞0 b (2)对称轴是直线 x , 2a b 4ac b 2 顶点坐标为 ( , ). 2a 4a b (3)在对称轴的左侧，即相当于 x＜时， 2a y随x的增大而减小； b 在对称轴的右侧，即相当于 x 时，简记为“左减右增”. 2a y随x的增大而增大；
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 ( x 12 x 42) 2 1 2 ( x 12 x 36 6) 2 1 ( x 6)2 3 2
所以它的开口向上，对称轴是x=6，顶点坐标是（6，3）.
对称轴和顶点坐标．
同学们自己画图！归纳：一般式化为顶点式的思路：
b 4ac b 2 则： h , k . 2a 4a
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a(x－h)2＋k中，
b 4ac b 2 h ,k . 2a 4a
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测

二次函数图像及性质(1)

九年级数学教学教案2.2 二次函数的图像及性质第一课时§2.2.1 二次函数的图像及性质教学目标【知识与技能】1、能够利用描点法作出函数y=x2的图像.能够根据图像认识和理解二次函数y=x2的性质.2、猜想并能作出y=-x2的图像，能比较它与y=x2的图像的异同.【过程与方法】1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．【情感、态度与价值观要求】1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．学情分析教学重点、难点重点： 1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x2的性质．2．能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同．难点：经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程．关键：利用描点法作正确出函数y=x2和y＝-x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y＝x2和y＝-x2的性质．突破方法：通过学生自主动手列表、描点、连线等操作，正确作出函数图像，对图像进行观察、总结.最后得出2ax y 的性质.教法与学法导航教学方法：采用“探索--总结--运用法”为主线的教学方法.通过设置活动，引导学生动手、分析、类比，得出二次函数y=x 2的图像和性质.学习方法：由学生自己思考，动手操作，合作交流得出结论.教学准备教师准备：幻灯片4张第一张：(记作§2．2 A)第二张：(记作§2．2 B)第三张：(记作§2．2 C)第四张：(记作§2．2 D)．学生准备：两张直角坐标纸．画图工具。

二次函数图像第一课时

–1
13
例下列说法正确的是（ D ）． A．抛物线y=x2图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大 B．抛物线y=-x2图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大
14
C ．抛物线 y=x2 与 y=-x2 开口方向不同，其对称轴都是y轴，且y值都随x的增大而增大
D．当x＜0时，y=x2中y的值随x的值增大的变化情况与x＞0时，y=-x2中y的值随x的值增大的变化情况相同
y
1
O
–3 –2 –1
123x
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
12
二次函数y=-x2的图象与二次函数y=x2的
图象形状相同，但是开口向下，这两个函数
的图象关于x轴成轴对称．
y
1
O
–3 –2 –1
123x
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
–3 –2 –1 O 1 2 3 x
结识抛物线
1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?
答：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质．
2．我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?
2
答：可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象．
（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
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（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各
点，得到函数y=x2的图象，如图所示．